Objetivos
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XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional “ENCONTRO COM O MUNDO NÃO EUCLIDIANO” Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Índice I Objetivos......................................................................................................... 3 II História.............................................................................................................. 4 A vida de Euclides.......................................................................................... 4 O método axiomático..................................................................................... 8 As fontes......................................................................................................... 11 O quinto postulado......................................................................................... 13 III Pré requisitos.................................................................................................... 24 Trabalhando com o IGEOM............................................................................ 24 Potência de um ponto..................................................................................... 25 Inverso de um ponto....................................................................................... 26 Circunferências ortogonais............................................................................ IV 27 Modelo do disco de Poincaré.......................................................................... 28 Apresentação, definições e métrica............................................................... 28 Problema 1: Traçado de retas........................................................................ 33 Problema 2: Construção da perpendicular..................................................... 34 Problema 3: Construção da reta mediatriz..................................................... 36 V Comparando as geometrias hiperbólica e euclidiana................................... 38 Figura 1 - Pontos............................................................................................ 38 Figura 2 - Retas.............................................................................................. 38 Figura 3 - Retas paralelas.............................................................................. 38 Figura 4 - Quantidade de retas paralelas por um ponto fora da reta dada.... 38 Figura 5 - Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo............. 39 Figura 6 -Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo.......................................................................................................... 39 Figura 7 – Encontro das mediatrizes de um triângulo: circuncentro............... 39 Figura 8 – Encontro das alturas de um triângulo: ortocentro......................... 39 Figura 9 - Simétrico de um segmento............................................................ 39 Figura 10 – Circunferência hiperbólica........................................................... 39 VI Repercussões.................................................................................................. 41 VII Bibliografia....................................................................................................... 44 Página 2 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional I. Objetivos Temos como principal objetivo destas notas fornecer aos professores do ensino médio um material didático que desperte seus alunos para algumas questões fundamentais do desenvolvimento da Geometria, desde seus primórdios até a descoberta das chamadas Geometrias não Euclidianas. Além disso, pretendemos introduzir o mundo não Euclidiano (no caso a Geometria Hiperbólica) por meio de algumas construções básicas utilizando recursos computacionais (Software IGEOM), o que nos permite traçar comparações entre os conceitos e resultados das duas geometrias em questão, Euclidiana e Hiperbólica. Página 3 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional II. História A vida de Euclides O que nos compele a começar falando sobre Alexandria não é somente o fato de ser o local onde Euclides produz “Os Elementos”, mas também um bom início para discutirmos com nossos alunos o que chamamos de civilização, o que entendemos e qual o papel do conhecimento e da tecnologia. Lembremos que em seu auge Alexandria tornou-se um dos mais importantes centros comerciais e intelectuais da época. Para despertar a curiosidade entre os alunos do ensino médio basta citarmos que esta cidade possuía o famoso farol de Alexandria, a Universidade e a Biblioteca descomunal que foi durante muito tempo o maior depósito de conhecimento de todo o mundo chegando a ter mais de 600.000 pergaminhos. Também foi um centro cosmopolita chegando a ter 500.000 habitantes, número este maior que a maioria das cidades existentes no mundo hoje. Ao lembrar esta quantidade de pessoas é preciso pensar nos problemas referentes a transporte, distribuição de água, saneamento e organização como um todo, e não esquecer que estamos falando de uma cidade construída a mais de dois mil e trezentos anos. Após a derrota de Atenas em Queronéia (338 a.C.) a Grécia tornou-se parte do império macedônio. Dois anos após a queda dos estados Gregos, Filipe foi sucedido por seu filho Alexandre, O Grande. Na trilha de suas conquistas foi fundando várias cidades, sempre em locais bem escolhidos. Uma destas cidades foi Alexandria fundada em 332 a.C. no Egito. Num local extremamente bem situado, entroncamento das mais importantes rotas comerciais da época, a cidade prosperou rapidamente e se tornou grande metrópole e centro comercial. Alexandre morre em 323 a.C. e seu império se divide entre alguns de seus generais, resultando na formação de 3 estados. O Egito ficou sob comando de Ptolomeu e Alexandria foi escolhida como capital. Para atrair os sábios da época Ptolomeu empreendeu a construção da universidade de Alexandria. Obra Página 4 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional incomparável em sua arquitetura e planejamento, primeira em seu gênero, assemelha-se em estrutura e objetivos as atuais universidades. Seu maior patrimônio era a biblioteca que por muito tempo foi o maior repositório de registros culturais de todo o mundo. Para formar uma equipe com os mais valorosos homens do conhecimento de sua época, Ptolomeu recorreu a Atenas e Demétrio de Faleron foi convidado para dirigir a grande biblioteca de Alexandria. Juntamente com ele vieram homens de vulto em todas as áreas do conhecimento. Euclides, provavelmente oriundo de Atenas foi escolhido para liderar o departamento de matemática. Neste cenário, por volta de 300 a.C. Euclides desenvolveu seu mais importante trabalho que seria eternizado com o nome de “Os Elementos”. Cinco obras de Euclides chegaram até nós. Além dos Elementos temos: Os Dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Óptica. Muito pouco se sabe sobre Euclides e sua vida, acreditando-se que sua formação matemática tenha se dado na Escola Platônica de Atenas. Para termos uma idéia do quanto é dificultoso situá-lo na história, podemos citar Proclo (410-485 ) comentador dos Elementos e autor do Sumário Eudemiano. Este documento é a principal fonte de informações sobre a geometria grega e, apesar de Proclo ter vivido no século V d.C, é provável que teve acesso a muitos documentos que se perderam, entre estes o que parece ser uma história completa da geometria grega abordando um período anterior a 330 a.C. Este trabalho teria sido supostamente elaborado por Eudemo, discípulo de Aristóteles, e o nome Sumário Eudemiano foi assim batizado por utilizar esta fonte como principal ([8] pg 7). Proclo diz que Euclides precedeu Arquimedes (287-212 a.C.), pelo fato de Arquimedes citar os Elementos e também diz que Euclides é posterior a Eudoxo e Teeteto, pois os Elementos incorporam os trabalhos destes últimos e ainda usa uma história ligando Euclides e um Rei Ptolomeu, e conclui que este rei deve ser Ptolomeu I. Uma confusão comum é identificar os Elementos a um tal Euclides de Megara, o que é um erro, pois Euclides de Megara era um discípulo de Sócrates. Página 5 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional A respeito da personalidade de Euclides são contadas algumas histórias curiosas, a primeira contada por Proclo (consta em seu Sumário Eudemiano), sobre a resposta que Euclides teria dado ao rei Ptolomeu I que o questionou se não havia um caminho mais curto para o conhecimento geométrico: “Não há estradas reais na Geometria”, teria respondido Euclides. Outra história diz que Euclides indagado por um aluno sobre a utilidade prática da matéria que estava sendo vista, teria ordenado a seu escravo que desse a este aluno uma moeda, para que tivesse algum ganho com o que estava aprendendo. Papus (290-350) elogia Euclides por sua modéstia e consideração para com os outros. Verdadeiras ou não, estas histórias são curiosas e como material didático são extremamente úteis para chamar atenção e despertar interesse nos estudantes de matemática. Os Elementos de Euclides versam sobre questões introdutórias de matemática geral e a afirmação de que os Elementos tinham como objetivo conter essencialmente toda a geometria plana e sólida conhecida da época, é considerada falsa por vários autores ([7] pg 176). Afirma-se que Euclides sabia muita mais geometria do que a que está contida nos Elementos. Segundo Proclo, os gregos definiam os elementos de um estudo dedutivo como sendo os teoremas básicos e gerais sobre o assunto, são comparáveis as letras do alfabeto em relação à linguagem. Euclides foi chamado por seus sucessores como o “Elementador” ( [5] pg87). Os Elementos são compostos por 13 livros contendo 465 proposições. Como antigamente era comum atribuir a autores de sucesso obras que não eram suas, algumas versões dos Elementos apareceram com um décimo quarto e até um décimo quinto livro, mas provou-se que estas obras não pertenciam a Euclides ([5] pg86). A obra se propõe a deduzir todas as 465 proposições a partir de 10 afirmações iniciais; na verdade são 23 definições, 5 postulados e 5 noções comuns conforme os trabalhos de Heilberg ([12] Vol1 pg153). Segundo alguns Página 6 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional historiadores seu objetivo era apresentar a teoria de semelhança elaborada por Eudoxo e culminar com a apresentação da teoria dos sólidos de Platão e dos números racionais de Teeteto ([3] pg2). O sucesso dos Elementos é devido a sua forma de apresentação sistemática utilizando método postulacional ou axiomático e o conteúdo abrangente tratado como um todo inter-relacionado. Página 7 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional O Método axiomático Talvez o maior legado dos matemáticos Gregos tenha sido o método postulacional ou axiomático de raciocínio. Os gregos sabiam o que nós estudantes de cursos superiores começamos a nos dar conta, que nem tudo pode ser provado e é necessário se estabelecer (admitir como verdadeiro) um início, se não caímos em circularidade. Este inicio ou afirmações iniciais admitidas como verdades, sem necessidade de provas, é o que chamamos de axiomas ou postulados e todo o mais que vier a ser dito deve ser provado com base nestas afirmações iniciais e nas regras básicas do silogismo; eis a essência do raciocínio postulacional, axiomático ou, se preferir, dedutivo. Os gregos faziam distinção entre axioma (por eles também chamado de noção comum) e postulado e existiam pelo menos três vertentes a seguir descritas: 1) Um axioma é uma afirmação assumida como auto-evidente e um postulado é uma construção de algo assumido como auto-evidente; desta forma relacionamos axiomas e postulados como teoremas e problemas de construção. 2) Um axioma é uma suposição comum a todas as ciências; um postulado é uma suposição particular e peculiar da ciência em estudo. 3) Um axioma é uma suposição de algo que é ao mesmo tempo óbvio e aceitável para o aprendiz; postulado é uma suposição que não é necessariamente nem óbvia e nem aceitável para o aprendiz. Atualmente não se faz distinção entre os dois termos. Tudo indica que Euclides deve ter preferido a vertente número 2 e assumiu algo equivalente a dez suposições que citamos abaixo, sendo cinco delas como noções comuns e as outras cinco como postulados referentes à geometria em questão. Axiomas ou Noções comuns: A1) Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si. A2) Adicionando-se iguais a iguais, as somas são iguais. A3) Subtraindo-se iguais de iguais, as diferenças são iguais. A4) Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si. Página 8 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional A5) O todo é maior do que qualquer uma de suas partes. Postulados: P1) Traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto. P2) Prolongar uma linha reta continuamente em uma linha reta. P3) Descrever uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. P4) Todos os ângulos retos são iguais. P5) Se uma linha reta cortando duas linhas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. Imediatamente podemos notar a diferença com relação à concisão e obviedade do postulado número 5 em relação aos outros. Ele será o pivô de toda a discussão até chegarmos às Geometrias não Euclidianas. É importante discutirmos uma pouco mais a respeito de um corpo de teoria matemática. Este é essencialmente composto por teoremas e demonstrações. A demonstração de um teorema consiste em mostrar que o teorema em questão é uma conseqüência lógica dos teoremas anteriores. Já observamos que existirão teoremas que não podem ser demonstrados e são tomados como verdadeiros: estes são os postulados ou axiomas, que marcam o ponto de partida. É natural que existam bons conjuntos de axiomas e outros não tão bons. Para serem considerados como bons, os conjuntos de axiomas devem ter as seguintes propriedades: 1) Completude – significa que tudo que será usado na teoria está propriamente contido nos axiomas, de maneira que não haverá hipóteses tácitas. 2) Consistência – significa que é impossível deduzir dois teoremas contraditórios a partir dos axiomas. 3) Independência – significa que nenhum dos axiomas é uma conseqüência dos outros. Página 9 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional 4) Categórico – significa que todos os exemplos (modelos) da teoria axiomática em questão são, em certo sentido, equivalentes (isomorfos). É bom notar que o que se pede não é tão simples assim. A axiomatização de uma teoria em grande parte das vezes é feita após esta ser bastante explorada. Com relação à consistência temos uma situação interessante. Em geral, demonstra-se que um conjunto de axiomas e sua conseqüente teoria é consistente se existe uma ponte (relação direta e rigorosamente estabelecida) com um outro conjunto que é considerado consistente. Por exemplo, os axiomas da Geometria Euclidiana Plana são consistentes se os axiomas dos Números Reais o forem, e neste caso, a ponte é a Geometria Analítica. A questão da independência revela uma preocupação com a economia, e esta propriedade foi justamente um dos fatores que levaram ao questionamento do quinto postulado. Devido ao caráter nada simples do mesmo, vários matemáticos passaram a acreditar que ele poderia ser deduzido dos quatro primeiros ou substituído por outro. Sobre os Elementos disse Einstein numa certa ocasião: “Quem não soube entusiasmar-se por este livro em sua juventude, não nasceu para pesquisador teórico” ([14] pg29). Página 10 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional As Fontes O trabalho de reconstituição das obras gregas é quase comparável ao dos melhores detetives. Muitas são as dificuldades, os mais antigos textos gregos na verdade são cópias de cópias sucessivas. Elas são as fontes para tentarmos reconstruir o texto original. Existe um trabalho minucioso para identificar materiais de mesma fonte e de fontes diferentes tentando desta forma isolar as origens e poder assim chegar ao que se chama de arquétipo que representa uma família destas fontes. Superficialmente falando, o trabalho pode ser exemplificado como se segue. Imagine que temos dois manuscritos A e B, nos quais faremos as seguintes hipóteses razoáveis: se B possui todos os erros e estilo de A e alguns erros só seus, é natural dizer que B é uma cópia de A. Se A e B tem apenas alguns erros comuns e os demais somente seus é razoável que ambos tenham vindo de um mesmo exemplar comum, o arquétipo. Desta forma as famílias são separadas em arquétipos e tenta-se assim recompor o original. Outro ponto interessante a levantar é que os profissionais que se dedicam a tais trabalhos devem possuir muitas habilidades como, por exemplo: conhecimento da língua, história da língua, tipo de caligrafia, comentários antigos sobre o texto e evidentemente conhecimento sobre o assunto do texto. Não obstante a última observação repare que é mais fácil recompor um texto matemático do que um literário. Nenhuma versão original de Os Elementos chegou até nós e as edições se basearam numa revisão e comentários do grego Têon de Alexandria (335 d.C). Proclo escreveu, no século V, comentários sobre o primeiro livro dos Elementos e neste também encontramos informações sobre os livros e a vida de Euclides. A revisão de Têon de Alexandria foi, até 1808, a mais antiga edição dos Elementos. Nesta mesma época, Napoleão ordena que os manuscritos das bibliotecas da Itália fossem tomados e enviados para Paris. Página 11 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional F. Peyrard encontrou na biblioteca do Vaticano uma cópia do século X de uma edição da obra que é , segundo Eves [7], anterior a revisão de Têon. Uma revisão minuciosa deste material foi feita e constatou-se que o material introdutório do trabalho original de Euclides sofreu alterações nas revisões que se seguiram, mas os teoremas e demonstrações com exceção de pequenas supressões aparecem como Euclides deveria tê-los escrito. J.L.Heilberg (dinamarquês) estudioso da antiguidade clássica fez um trabalho impressionante em cima destes textos gregos e chegou à conclusão que existiam dois arquétipos básicos. Todos os manuscritos com exceção de um, parecem ter sido originados de Têon de Alexandria, um deles porém estava livre dos erros da edição de Têon ([7] pg 168 e [1] pg38). Heilberg desta forma reconstituiu o texto original de Euclides tão fiel quanto possível e o publicou entre 1883 e 1888 ([1] pg38). Esta edição se tornou a base de todas as traduções posteriores, por exemplo, a clássica tradução inglesa de Heath encontrada em [12]. Página 12 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional O Quinto Postulado Como já dissemos anteriormente basta passar os olhos no quinto postulado e compará-lo com os demais para percebermos algumas diferenças. Já em sua época o ainda não tão famoso quinto postulado despertou a atenção dos contemporâneos de Euclides. Todos os postulados de 1 a 4 pareciam sucintos e até auto evidentes, e de repente nos deparamos: P5) Se uma linha reta cortando linhas duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. Além da falta de simplicidade e concisão em relação aos outros postulados, Euclides propositalmente o vai deixando de lado para demonstrar suas proposições e acaba utilizando-o somente na proposição I29 de modo que as vinte e oito primeiras proposições do livro I são verdadeiras numa geometria em que P5 não é válida. Alguns autores consideram que Euclides poderia ter utilizado o quinto postulado já na proposição I17, a qual teria se tornado mais simples e também facilitado raciocínios posteriores ([1] pg59). A proposição I29 onde se utilizou o quinto postulado é a seguinte: “Quando uma linha reta corta duas paralelas formam-se ângulos alternos internos iguais, ângulos correspondentes iguais e ângulos interiores de um mesmo lado iguais a dois retos”. É importante dizer o que Euclides entendia por paralelas. Isto aparece como uma definição, precisamente a 23 (segundo [12] pg 154), e a reproduzimos abaixo: “Linhas retas paralelas são linhas retas que, estando no mesmo plano e sendo prolongadas indefinidamente em ambas as direções, não se encontram em qualquer das direções.” Pela definição de Euclides, o conceito de linhas retas paralelas está desvinculado da noção de eqüidistância. Página 13 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Como se já não bastasse tudo isto, a proposição I28 abaixo enunciada pode ser entendida como a afirmação inversa do quinto postulado (compare os dois) o que fez alguns historiadores considerarem que Euclides o colocasse como postulado por não conseguir demonstrá-lo. Apresentamos abaixo as proposições I27 e I28 para entendermos melhor como Euclides começa a abordar a questão das paralelas. I27 – Se uma linha reta corta duas outras formando ângulos alternos internos iguais, então as duas linhas retas são paralelas. A prova desta proposição é simples conseqüência da proposição I16, que é chamado teorema do ângulo externo. Observe que se as retas se encontrassem (não fossem paralelas), teríamos um triângulo com um ângulo externo igual a um dos ângulos internos não adjacentes. I28- Se uma linha reta corta duas outras formando ou ângulos correspondentes iguais ou ângulos interiores do mesmo lado iguais a dois ângulos retos então as duas linhas retas são paralelas ([3] pg 5-8). O cenário está montado para que todos nossos colegas matemáticos, desde a época de Euclides, saíssem tentando mostrar que o quinto postulado era na verdade um teorema que poderia ser deduzido das outras afirmações iniciais. O fato de não se conseguir uma tal prova abre a possibilidade de existirem outras geometrias diferentes da Euclidiana, o que até então era visto como impossível, pois contrariava o senso comum, a intuição e o observado na natureza, não se tratando de um simples capricho dos matemáticos. Nesta busca da prova do quinto postulado foram geradas muitas afirmações equivalentes a ele, afirmações estas chamadas de substitutos. É importante entender que as 23 definições de Euclides, as cinco noções comuns, os quatro primeiros postulados e mais a proposição substituta, nos dá uma teoria axiomática que coincide com a geometria de Euclides. O matemático e físico escocês John Playfair (1748-1819) colocou em seu texto de geometria o substituto mais comum nos atuais livros de geometria: “Por um ponto fora de uma reta dada não há mais que uma paralela a essa reta”. Outras alternativas ao postulado das paralelas são: Página 14 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional a) Há pelo menos um triângulo cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a um ângulo raso. b) Existe um par de triângulos semelhantes e não congruentes. c) Existe um par de retas eqüidistantes. d) Por três pontos não colineares pode-se traçar uma circunferência. e) Por qualquer ponto no interior de um ângulo de medida menor que 60º pode-se sempre traçar uma reta que intersecta ambos os lados do ângulo. O fato é que por quase dois mil anos os matemáticos tentaram provar o postulado das paralelas a partir dos demais postulados. Cedo ou tarde foi apontado erro nas demonstrações que vieram a ser dadas ([7] pg 539). Damos a seguir uma lista de alguns matemáticos que se empenharam na busca de uma prova do quinto postulado. Maiores detalhes podem ser encontrados em [4]. Posidonius e Geminus (século I a.C.): O primeiro redefine paralelas como linhas retas eqüidistantes. Esta definição, porém, equivale a assumir o quinto postulado. Geminus indica que esta noção de paralelismo é diferente da de Euclides e apresenta os exemplos das assíntotas da hipérbole e conchóide ([4] pg3-8). Ptolomeu (87 – 165): Segundo Proclo, Ptolomeu escreveu um livro em que apresenta uma prova para o quinto postulado. Em seu trabalho Ptolomeu utiliza a noção de figuras congruentes e assume que paralelismo acarreta congruência o que é tacitamente assumir o quinto postulado. Proclo (410 – 485): O próprio Proclo também tentou fazer a demonstração do quinto postulado: sua estratégia era provar que se uma reta intersecta uma outra reta pertencente a um par de paralelas, necessariamente intersecta a outra. Proclo assume que a distância entre duas retas paralelas pode variar mas é sempre finita, o que é equivalente ao quinto postulado. Página 15 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Aganis (século VI): É referenciado por Simplícius (comentador de Aristóteles) e sua abordagem é basicamente a mesma das retas eqüidistantes de Posidonius ([4] pg10). Al-Nirizi (século IX): Seguiu as idéias de Simplicius e Aganis ([4] pg 9). Nasiredin (1201-1274): Astrônomo e matemático persa, é dele uma edição dos Elementos em árabe. É reconhecido por ter levantado a relação da soma das medidas dos ângulos de um triângulo com o quinto postulado. Ele admitiu como postulado a afirmação abaixo: “Sejam m e n duas linhas retas, A um ponto de m, B um ponto de n, tais que AB é perpendicular a n e forma um ângulo agudo com m. Então as perpendiculares baixadas de m à reta n, do lado do ângulo agudo, são menores do que AB e as que ficam do outro lado são maiores do que AB”. n m B A Embora muito semelhante ao quinto postulado, ele apenas evita dizer que m e n se encontram. Utilizando este postulado mais a figura de um quadrilátero (utilizado por Sacheri posteriormente) ele deduziu o quinto postulado e chegou a fórmula da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ([3] pg 24). Neste ponto é interessante salientar que as versões dos Elementos que chegaram a Europa feitas a partir de cópias árabes nos séculos XII, XIII e mesmo as dos séculos XV e XVI com base em textos gregos não tinham notas críticas com relação ao quinto postulado. Estas apareceram somente nos séculos XVI e Página 16 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional XVII com a tradução dos comentários de Proclo impressos pela primeira vez em Basle (Suíça) em 1533 e depois em Pádua (Itália) em 1560 numa tradução latina de Barozzi. Abaixo citamos os matemáticos da Europa que escreveram trabalhos críticos sobre o quinto postulado, todos eles trabalhando a idéia de retas paralelas como eqüidistantes que já sabemos traz implicitamente o quinto postulado: Federico Comandino 1509-1575,Itália. Chistopher S. Clavio 1537-1612,Alemanha. Pietro A. Cataldi 1548-1626,Itália. G.A. Boreli 1608-1679, Itália. Giordano Vitale 1633-1711, Itália. J.Wallis (1616- 1703,Inglaterra): Wallis abandonou a idéia de eqüidistância e postulou: “Dado um triangulo é possível construir um outro que lhe é semelhante, com lados arbitrariamente grandes”. Na sua prova bem como no que postulou se esconde o quinto postulado ([3] pg27). Girolamo Saccheri ( 1667-1733, Itália): A importância do trabalho de Saccheri em comparação com os anteriores é o fato de ser a primeira tentativa considerando uma hipótese contraditória ao quinto postulado. Sua idéia é simples: retirando o quinto postulado e colocando uma hipótese contrária, se no desenvolvimento aparecer um absurdo significa que o quinto postulado é verdadeiro. Saccheri nasceu em São Remo, concluiu seu noviciado na ordem jesuíta com 23 anos e lecionou como professor universitário o restante da vida. Enquanto ensinava retórica, filosofia e teologia no colégio Jesuíta de Milão tomou conhecimento dos Elementos e ficou fascinado com o método de redução ao absurdo. Mais tarde publicou sua obra “Lógica Demonstrativa” cuja principal Página 17 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional novidade era a aplicação do método de redução ao absurdo no tratamento da lógica formal. Anos mais tarde foi lecionar na universidade de Pávia onde teve a idéia de aplicar o método de redução ao absurdo ao problema das paralelas o que resultou na publicação do livro “Euclides livre de toda imperfeição” em 1733 poucos meses depois de sua morte. A estratégia de Saccheri neste trabalho foi a de aceitar as primeiras 28 proposições de Euclides que não dependem do 5º postulado. Com a ajuda destes teoremas empreende o estudo do quadrilátero ABCD no qual os ângulos de vértices A e B são retos e os lados AD e BC são congruentes. Tais quadriláteros são hoje chamados de quadriláteros de Saccheri. Traçando diagonais e usando teoremas simples de congruência chegou facilmente ao resultado dos ângulos de vértices D e C serem congruentes. C D A B A partir daí Saccheri traça três possibilidades: 1. Ângulos de vértices D e C são agudos (Hipótese do ângulo agudo). 2. Ângulos de vértices D e C são obtusos (Hipótese do ângulo obtuso). 3. Ângulos de vértices D e C são retos (Hipótese do ângulo reto). A idéia era encontrar uma contradição nos casos 1 e 2 e sobraria a hipótese 3 que implicaria no postulado das paralelas. A hipótese do ângulo obtuso foi facilmente eliminada, mas a do ângulo agudo se mostrou difícil. Saccheri fez uma série de considerações não muito rigorosas para poder eliminar esta hipótese. Acabou obtendo muitos teoremas clássicos da primeira Geometria não Euclidiana, mas terminou forçando a eliminação da hipótese do ângulo agudo. Não tivesse feito isto e poderia ter sido Página 18 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional creditado a ele os méritos da descoberta da primeira Geometria não Euclidiana ([3] pg28, [4] pg22, [7] pg 540). Entre as conclusões importantes de Saccheri podemos destacar: - Se uma das hipóteses é verdadeira para um quadrilátero de Saccheri então ela é verdadeira para todos tais quadriláteros. - Nas hipóteses 1), 2) ou 3) anteriormente consideradas , a soma das medidas dos ângulos dos triângulos é, respectivamente, menor, maior ou igual a 180º. - Se existe um único triângulo para o qual a soma das medidas dos ângulos é menor, maior ou igual a 180º, então vale respectivamente a hipótese 1), 2) ou 3). - Duas retas coplanares ou têm uma perpendicular comum, ou se encontram em um ponto, ou são assintóticas ([[3] pg 30). G.S. Klugel (1739 – 1812, Alemanha) publicou em 1763 um trabalho que examinava demonstrações do quinto postulado. Este trabalho traz em sua conclusão pela primeira vez dúvidas sobre a possibilidade de se demonstrar o quinto postulado a partir dos demais. Curiosamente também observava que a certeza que se tinha na época a respeito do quinto postulado ser uma proposição vinha apenas de observações experimentais, ou seja, estava de acordo com nossos sentidos e intuição ([3] pg 31).Começa aqui a se questionar se a dúvida com relação ao quinto postulado era relevante. Página 19 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777, Suiça) / Adrien Marie Legendre (1752 – 1833, França): Não obstante as imensas contribuições de Lambert e Legendre para a matemática e para a ciência, com relação ao postulado da paralelas eles não trouxeram abordagens inovadoras. Aprofundaram o que seus antecessores fizeram, provando diversos teoremas que depois serviriam a Geometria não Euclidiana. As formas que desenvolveram seus trabalhos trouxeram novos interesses pelo assunto e pelas bases da geometria ([3] pg 31). Lambert talvez tenha sido o primeiro a observar a semelhança entre a geometria decorrente da hipótese do ângulo obtuso e a geometria esférica. Há muita semelhança entre os trabalhos de Saccheri e Lambert, este último trabalhou num quadrilátero com 3 ângulos retos conforme abaixo: C D A B Entre as conclusões de Lambert apresentamos abaixo uma tradução livre na qual ele discorre sobre a geometria esférica: “Em conexão com estas fórmulas, devemos observar que a hipótese do ângulo obtuso vale se considerarmos triângulos esféricos ao invés de triângulos planos, porque, neste último caso também a soma dos ângulos é maior que dois ângulos retos e a área do triângulo é proporcional ao excesso. Parece ainda mais interessante que o que aqui afirmo sobre triângulos esféricos, pode ser demonstrado independentemente da dificuldade das paralelas. Estou inclinado a concluir que a hipótese do ângulo agudo ocorre na superfície de uma esfera de raio imaginário.” ([3] pg33). Página 20 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Legendre se destaca pela elegância nas provas, a determinação em provar o quinto postulado e a preocupação com a didática. Seu livro intitulado “Éléments de Géometrie” (publicado no final do século XVIII) é extremamente acessível e dominou o ensino de geometria por mais de 100 anos, ([2] pg 17). No início do século XIX, após os esforços de Saccheri, Lambert, Legendre e Farkas Bolyai de provar o quinto postulado, Carl F. Gauss (1777–1855) chegou à conclusão de que eram possíveis outras geometrias diferentes da de Euclides. No entanto ele guardou para si tais idéias ( este fato está registrado em sua correspondência) e devemos aqui recordar o prestígio que desfrutava a Geometria Euclidiana, consolidada durante tantos anos, até mesmo justificada pelos fracassos na prova do quinto postulado. A sistemática desenvolvida por Euclides, além de modelo para desenvolvimento de todas as áreas de ciências exatas ou não, também influenciava as correntes filosóficas mais respeitadas da época como, por exemplo, a de Emmanuel Kant (1724-1804). Sua teoria afirmava que o espaço era uma estrutura já existente no espírito humano e os postulados são na verdade juízos impostos. Em outras palavras, a Geometria Euclidiana era uma característica implícita do ser humano e esta corrente desfrutava de tanto prestigio em sua época, que muito poucos tentavam contrariá-la ([7] pg545). Um jovem russo chamado Nicolai Lobachevsky (1792-1856) de origem humilde estudou na Universidade de Kazan e teve acesso a vários professores alemães trazidos para aquela universidade, entre eles J.M. Bartels com quem Gauss estudara antes. Em 1829 Lobachevsky publica o artigo “On the principles of Geometry” que é considerado o marco oficial da Geometria não Euclidiana e tornou-se o primeiro matemático a dar o passo revolucionário de publicar uma geometria construída sem considerar o postulado das paralelas. Lobachevsky desenvolveu vários trabalhos sobre o assunto: entre 1835 e 1855 escreveu três exposições completas; em 1838 publicou o livro “Novos fundamentos da Geometria”; em 1840 publicou Geométricas”; em 1855 publicou o livro “Pangeometria”. Página 21 de 44 o livro “Investigações XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Gauss tomou conhecimento de sua obra identificando sua importância, mas nunca deu apoio por escrito, talvez por temer a repercussão. Lobachevsky foi chamado depois de o “Copérnico da Geometria”. Paralelamente e de maneira independente o amigo húngaro de Gauss, Farkas Bolyai (1775-1856), passou a vida inteira tentando provar o postulado das paralelas, e quando soube que seu filho Janos Bolyai (1802-1860) estava também absorvido pelo problema escreveu-lhe: “Pelo amor de Deus eu lhe peço desista. Tema tanto isto quanto as paixões sensuais, porque isso também pode tomar todo o seu tempo e privá-lo de sua saúde, paz de espírito e felicidade na vida ! ”( [5] pg397). Mas Janos Bolyai não atendeu a solicitação do pai que em 1829 recebe do seu filho um manuscrito em que este chega às mesmas conclusões de Lobachevsky. Farkas Bolyai escreveu para Gauss pedindo-lhe a opinião sobre o trabalho de seu filho. Gauss respondeu que não poderia elogiar Janos, pois seria auto elogio, já que ele mesmo já tinha tido tais idéias muitos anos antes. Janos Bolyai ficou arrasado e não publicou mais nada depois deste episódio. Lobachevsky é, portanto, o nome mais lembrado principalmente pela coragem de publicar e defender suas idéias. Frase de Lobachevsky: “Não há ramo na matemática, por mais abstrato que seja , que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real” ([5] pg387). Os trabalhos de G.F.B Riemann (1826-1866,Alemanha) solidificaram sua aceitação. Em 1854 Riemann faz uma das mais célebres conferências da história da matemática, em que apresenta “Sobre as hipóteses que estão nos fundamentos da Geometria”. Propunha uma visão global da geometria como uma estrutura trabalhada com qualquer número de dimensões e espaço. Sua geometria era, portanto, também não euclidiana, mas num sentido muito mais amplo do que a de Lobachevsky. É dito que pela primeira vez na vida Gauss expressou entusiasmo pela obra de outra pessoa. Página 22 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Com seu trabalho Riemann conseguiu unificar toda a geometria, tornando a Euclidiana e a de Lobachevsky apenas casos particulares. Sua obra também deu sustentação para a teoria geral da relatividade e ele próprio contribuiu em muitos ramos da física teórica. A aplicação na teoria da relatividade se deve ao fato do universo Einsteiniano ser curvo onde a Geometria Euclidiana não é adequada ([6] pg 33). A real independência do postulado das paralelas em relação aos demais foi estabelecida quando se forneceram demonstrações da consistência da hipótese do ângulo agudo. Estas demonstrações foram dadas principalmente por: Beltrami(1835-1900. Itália) , Arthur Cayley (1821-1895,Inglaterra), Felix Klein(1849-1925,Alemanha) e Henri Poincaré (1854-1912, França). O método para esta demonstração consistia em criar um modelo na geometria Euclidiana, de modo que a hipótese do ângulo agudo pudesse ter uma interpretação concreta numa parte do espaço Euclidiano. Desta forma qualquer inconsistência na Geometria não Euclidiana implicaria uma inconsistência na Geometria Euclidiana. A apresentação de figuras onde tais geometrias ocorriam também foi um fato importante para sua credibilidade ([7] pg539, [5] pg396, [3] pg47) . Por fim percebemos que a tal prova tanto procurada não existe e que o tropeço com relação à hipótese do ângulo agudo foi devido simplesmente por realmente não haver uma contradição. Apesar de não haver uma prova direta da independência do quinto postulado, a estratégia de se construir modelos e correspondências entre eles e a partir dai amarrar a consistência de um em função do outro é algo bastante comum nos desenvolvimentos matemáticos. Página 23 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional III. Pré-requisitos Trabalhando com IGEOM Utilizar um Sw de geometria dinâmica é um excelente recurso para a sala de aula na investigação e solução de problemas. A investigação de idéias é facilitada pelo caráter dinâmico do Sw, ou seja, a construção realizada pode ser medida e é preservada com os movimentos realizados. Maiores informações sobre o software Igeom assim como seu dowload podem ser conseguidas no site http://www.matematica.br/igeom/instala.html. O software é de livre uso. O SW Igeom é extremamente intuitivo dispensando para uso básico qualquer treinamento, portanto faremos uma apresentação prática inicial e seu aprendizado se dará durante as construções propostas. Demonstrações Todas as demonstrações podem ser encontradas na referência bibliográfica [18] , disponível no CAEM IME-USP. [18] Filho L.C.S, Encontro com o mundo não Euclidiano, Elementos para uma abordagem didática, Projeto de Ensino Matemática USP 2004. Página 24 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Potência de um ponto Definição: Dado um ponto O não pertencente a circunferência C1, se duas retas passando por O são secantes a circunferência C1, intersectando-as nos pontos P1, P2 e Q1, Q2 temos então: (OP1).(OP2)=(OQ1).(OQ2). Este produto é chamado de potência de O em relação a C1. Um caso particular: Se o ponto O está fora da circunferência C1, e o ponto de tangência a esta circunferência por O é o ponto T então (OT)2 = (OP1).(OP2). Página 25 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Inverso de um ponto Definição : Seja C1 uma circunferência de raio r e centro O e P um ponto qualquer tal que P não coincide com O . O inverso P’ de P com relação a C1 é o único ponto P’ pertencente a semi-reta OP tal que (OP).(OP’) = r2 . Note que (OP) é o tamanho do segmento OP num sistema de medidas pré – fixado. As seguintes propriedades são imediatas da definição : A) P=P’ se e somente se P pertence a circunferência C1. B) Se P está no interior de C1 então P’ esta no exterior e vice-versa. C) ( P’ )’ = P. Proposição: Suponhamos P no interior de C1. Se TU é uma corda de C1 perpendicular ao segmento OP ( O = centro de C1), então P’, inverso de P, é o ponto de interseção das tangentes t1 e u1 de C1 por T e U. Página 26 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Circunferências ortogonais Definição: Duas circunferências C1 e C2, são ortogonais se seus raios são perpendiculares no ponto de intersecção. Na figura abaixo temos: - as circunferências C1 e C2 - o segmento OB é raio de C1 - o segmento MB raio de C2 - o ponto B de intersecção entre C1 e C2 C1 e C2 são ortogonais se e somente se o ângulo OBM é reto. Proposição : Seja P um ponto no interior de C1, de modo que P é diferente do centro e seja C2 uma circunferência passando por P. Então C1 e C2 são ortogonais se e somente se C2 passa pelo inverso P’ de P em relação a C1. Página 27 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional IV. Modelo do disco de Poincaré Apresentação, definições e métrica Temos dois tipos clássicos de Geometrias não Euclidianas: Geometria Hiperbólica : Foi à desenvolvida por Lobachevsky e Bolyai e considera a hipótese do ângulo agudo. Para se construir tal geometria retira-se o quinto postulado e coloca-se: “Por um ponto P fora de uma reta r, podem ser traçadas, no plano que contém P e r, pelo menos duas retas que não encontram a reta dada.” Geometria Elíptica: Foi desenvolvida por Riemman e considera a hipótese do angulo obtuso. Nesta poderíamos colocar no lugar do quinto postulado: “Por um ponto fora de uma reta não existe nenhuma paralela”. Paralela aqui é no sentido Euclidiano. Uma das figuras que modela esta geometria pode ser uma esfera considerando-se como pontos pares de pontos antípodas e como retas os círculos máximos da superfície esférica. Quem primeiro utilizou estes termos, hiperbólica e elíptica foi Klein em 1871. Para a geometria de Euclides foi dado o nome de Geometria Parabólica ([6] pg33). Vamos trabalhar agora com o modelo do disco de Poincaré ( geometria hiperbólica). Uma maneira de dar mais credibilidade a novas teorias é exatamente o desenvolvimento de modelos. A idéia fundamental consiste em construir um modelo desta nova geometria hiperbólica utilizando-se os resultados da Geometria Euclidiana. Desta forma se encontramos uma contradição na Geometria Hiperbólica esta será também uma contradição na Geometria Euclidiana. Página 28 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Definições e métrica (OP1) ou OP1 significa o segmento que vai do ponto O até o ponto - P1. Quando nos referirmos a sua medida será explicitado. - Ângulo P2Q1Q2 é o ângulo referente ao vértice Q1. - Todos os arcos que nos interessam estão contidos no disco C1 que será nosso disco de Poincaré. Portanto nos referiremos a eles somente com duas letras, por exemplo: arco AB é o arco contido no disco C1. Definições a) O Universo: é a região interior de uma circunferência euclidiana de centro O e raio r. OBS: A circunferência não está incluída. Página 29 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional b) Ponto: Mesma definição Euclidiana. “ A point is that which has no part” ([6] pg153). c) Retas: Dada a circunferência C1 abaixo consideremos como retas: - arcos de circunferência ortogonais a circunferência C1 - cordas que passam pelo centro ( diâmetros de C1 ). Na figura abaixo - segmento AB é uma reta (os pontos A e B não estão incluídos) - arco P1P2 (centro O2) é uma reta desde que os ângulos OP1O2 e OP2O2 sejam retos (os pontos P1 e P2 não estão incluídos). Esta construção está detalhada e justificada na bibliografia [18]. Página 30 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional d) Estar entre: Mesma definição euclidiana. e) Congruência de ângulos: Mesma definição euclidiana, sendo que o ângulo no modelo do disco de Poincaré corresponde ao ângulo entre as tangentes. Vejamos na figura abaixo: - Arcos P1P2 e P3P4 são retas no modelo do disco. - Ponto A é o encontro dos arcos, o ângulo P1AP3 é o ângulo entre as retas tangentes t2 e t3, sendo t2 tangente a C2 em A e t3 tangente a C3 em A. f) Paralelas: Mesma definição euclidiana. Página 31 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional g) Para que as retas sejam infinitas é adotado um sistema de medida variável. A medida que caminhamos para a circunferência ( do centro para circunferência ), o sistema de medida muda de tal forma que nunca alcançamos a circunferência , desta forma as retas são infinitas. Portanto a distância(A,B) que significa distância hiperbólica do ponto A até o ponto B, fica definida como: distância ( A, B) ln AP1 BP2 AP2 BP1 Note, “AP1” é a distância euclidiana do ponto A até o ponto P1 Note que fixado A, se fizermos B se aproximar de P1 então distância (A,B) tornase arbitrariamente grande. Comportamento análogo acontece se fixarmos B e fazermos A se aproximar de P2. Além disso, se B está entre A e C (C é outro ponto sobre a reta P1P2) então distância (A,B) + distância (B,C) = distância (A,C). A relação AP1 BP 2 é também conhecida como razão dupla. AP 2 BP1 Página 32 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Problema 1: Traçado de retas Dados dois pontos P e Q no interior de uma circunferência C1, de tal forma que P e Q sejam diferentes do centro O da circunferência . Encontre a reta que passa por estes pontos no modelo do disco de Poincaré. Construção e Figura Prb1: 1) Construir o ponto P’ inverso de P. 2) Construir a circunferência C2 contendo os pontos P , P’ e Q . 3) Por construção C1 e C2 são ortogonais, e portanto o arco AB é uma reta hiperbólica no modelo do disco de Poincaré e evidentemente o arco PQ é um segmento de reta hiperbólico. Figura Prb1 Página 33 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Problema 2: Construção da perpendicular Traçar a perpendicular a uma dada reta por um ponto pertencente à reta Nos autores pesquisados esta construção é feita usando-se o conceito de “eixo radical”. Faremos aqui uma apresentação sem usar este conceito utilizando os conceitos estudados de inverso de um ponto e circunferências ortogonais. Imagine uma reta AB no modelo do disco de Poincaré (disco C1). Por um ponto P pertencente a esta reta , devemos traçar uma perpendicular. As dificuldades: 1) Esta perpendicular deve fazer um ângulo reto com a reta AB no ponto P . 2) Esta perpendicular deve ser uma reta no modelo de Poincaré, ou seja, deve estar contida em uma circunferência ortogonal a circunferência C1. Se a reta AB fosse um diâmetro a solução seria simples estando o centro da circunferência procurada sobre o prolongamento da reta AB, mais precisamente a circunferência com centro em P’ inverso de P e raio PP’. Construção e Figura Prb2: Dados uma reta hiperbólica AB no modelo de disco de Poincaré, e um ponto P pertencente a esta reta. a) Encontramos P’ inverso de P em relação a C1. b) Encontramos M ponto médio do segmento euclidiano PP’ e traçamos a mediatriz euclidiana por este ponto M. c) arco Encontramos agora o centro J da circunferência C2 que contém o AB. Ele é o encontro da mediatriz euclidiana do segmento AB com a mediatriz euclidiana do segmento PP’. d) Sabemos que o centro da circunferência procurada ( chamemos seu centro C e a circunferência de C4 ) está na mediatriz euclidiana do segmento PP’ e que também pela definição de ortogonalidade, o ângulo CPJ deve ser reto. Página 34 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Então basta traçarmos o segmento PJ e levantarmos uma perpendicular euclidiana a este segmento por P. O encontro desta perpendicular com a mediatriz de PP’ é o centro C procurado. Note que os ângulos CPJ e CXO são retos. Portanto a perpendicular hiperbólica a reta hiperbólica AB pelo ponto P é a reta hiperbólica que contém o arco XY. Figura Prb2 Página 35 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Problema 3: Construção da reta mediatriz Como o sistema de medidas adotado no modelo do disco de Poincaré é diferente do usual, temos aqui o problema mais difícil e o resultado mais interessante. Os desenvolvimentos nas bibliografias pesquisadas apontam a solução utilizando-se resultados provenientes de transformações lineares com números complexos ([3] pg 167). Apresentaremos uma solução puramente geométrica. A estratégia será resolver inicialmente o problema abaixo que chamaremos de 3. Uma vez resolvido estudaremos suas propriedades buscando o resultado que nos diz que a inversão no modelo do disco de Poincaré, corresponde a uma reflexão na geometria hiperbólica. Este é o resultado principal do nosso estudo e com ele resolvemos o problema do sistema de medidas e podemos realizar muitas das construções desejadas. Todas as provas dos resultados e a construção detalhada podem ser encontradas na bibliografia [18]. Problema 3: No modelo do disco de Poincaré (C1, centro O) , dados uma reta LK ( LK é um arco pertencente a uma circunferência C2 ortogonal a C1) e um segmento hiperbólico AB contido nesta reta, queremos: Encontrar uma reta hiperbólica M1M2 no modelo do disco de Poincaré que é a mediatriz do segmento hiperbólico AB. Construção e Figura Para ser a mediatriz (prova na bibliografia [18]) esta reta M1M2 deve: estar contida numa circunferência C3 ortogonal a C1. fazer com que B seja inverso de A, e K inverso de L em relação a C3. Conclusão: Centro de C3 deve estar no encontro das retas euclidianas AB e LK. Temos assim o centro P de C3, para determinar M1M2 precisamos do raio. Página 36 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Um maneira de determiná-lo é usar o fato de C1 e C3 serem ortogonais, assim posso encontrar o ponto M1 que é o ponto de intersecção de C1 e C3 (vide a construção das circunferências ortogonais). Outra maneira é utilizar o fato de C2 e C3 também serem ortogonais, a reta tangente a C2 pelo ponto P determina o raio procurado e nós fornece o ponto médio. Agora é só traçar a reta hiperbólica M1M2 mediatriz do segmento AB. Observa a figura: C1 e C2 ortogonais, portanto ângulo OLC2 = 90º C1 e C3 ortogonais, portanto ângulo PM1O = 90º C2 e C3 ortogonais, portanto ângulo PTC2 = 90º B é o inverso de A em relação a C3, portanto PA*PB=MX2 K é o inverso de L em relação a C3, portanto PL*PK=MX2 Figura Prb3 Página 37 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional V. Comparando as geometrias hiperbólica e euclidiana Critérios: Ao lado esquerdo ficará a construção na geometria euclidiana. Ao lado direito ficará o círculo C1 que representará o Modelo do Disco de Poincaré e possuirá a construção equivalente. Os arcos referenciados são sempre interiores à circunferência C1. As observações estão no final. Figura 01 – Pontos Figura 02 – Retas Figura 03 – Retas Paralelas Figura 04 – Qtde Paralelas Página 38 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Figura 05 – Triângulo Figura 06 – Quadrilátero Figura 07 – Circuncentro Figura 08 – Ortocentro Figura 10 – Circ. Hiperbólica Figura 09 – Simétrico de AB Página 39 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Observações: Figura 4: Pelo ponto C passam infinitas paralelas a reta Hiperbólica PQ. Figura 5: Triângulo Hiperbólico N-L-Centro , soma dos ângulos internos < 180º. Figura 6: Quadrilátero Hiperbólico Centro-A-B-C, soma dos ângulos internos<360º. Figura 7: As mediatrizes do triângulo Hiperbólico A-B-C não se encontram (caso particular). Figura 8: Ortocentro: o encontro das alturas pode ocorrer dentro do triângulo, no triângulo, fora do triângulo ou não ocorrer. Figura 9: Reta hiperbólica XY é mediatriz da reta hiperbólica AP, P é inverso de A e B’é inverso de B ambos em relação a C3. Medida de AB = Medida de PB’. Inversão no modelo do disco de Poincaré equivale a uma reflexão na geometria hiperbólica. Figura 10: A imagem da circunferência hiperbólica é a mesma da circunferência euclidiana, porém o centro é deslocado em relação ao mesmo centro euclidiano. Página 40 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional VI. Repercussões “A essência da matemática está em sua liberdade.” George Cantor(1845-1918, Rússia) [7] pg545. O cenário desenhado anteriormente é suficiente para percebermos que as Geometrias não Euclidianas causaram uma revolução na maneira de fazer ciência. Uma conseqüência imediata foi a libertação da matemática, os sistemas axiomáticos se tomaram meras hipóteses sem nenhum compromisso com a realidade física seguindo apenas os critérios de rigor já estabelecidos. Podemos citar também que a preocupação com o rigor e os fundamentos foi levada ao extremo disparando um movimento na matemática que teve como um de seus principais representantes David Hilbert (1862-1943, Alemanha). O objetivo era rever diversas áreas da Matemática e colocá-las de forma a estar dentro de um sistema axiomático rigoroso, eliminando tudo que fosse tácito e implícito. Um dos resultados deste movimento, no âmbito da geometria, foi o trabalho elaborado pelo próprio Hilbert em 1899 entitulado “Grundlagen der Geometrie” (Fundamentos da Geometria), onde um conjunto completo de axiomas tornava absolutamente rigorosa a Geometria Euclidiana. Neste momento é interessante destacar algo até curioso e de extrema importância. Enquanto este movimento ganhava força tornando a matemática extremamente rigorosa em todas as áreas e fazendo crer que desta forma tudo que for matematicamente estabelecido será um espelho de completude e verdade, eis que um golpe estabelece alguns limites a esta pretensão. Kurt Godel ( 19061978, Republica Tcheca) desenvolve o conhecido Teorema da Incompletude, onde afirma que num sistema axiomático onde valham os axiomas de Peano (1858-1932, Itália) , não pode haver completude e consistência ao mesmo tempo. Página 41 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional Em outras palavras Godel mostra que se um sistema é consistente necessariamente ele é incompleto e se for completo é inconsistente. Podemos entender ainda que se nosso sistema for consistente então existirão hipóteses sobre as quais não poderemos decidir se são falsas ou verdadeiras. Outro aspecto interessante é que esta revolução ocorrida na Geometria de alguma forma se enquadra no moldes das revoluções científicas descritas por Thomas S. Kuhn [13]. De modo bem resumido as revoluções científicas cobrem etapas que poderíamos citar como sendo: 1) Duas ou mais concepções concorrem até uma prevalecer. 2) Esta nova concepção é articulada até se firmar, isto pode levar muito tempo. 3) A ciência se desenvolve aprimorando esta concepção como novo paradigma (período chamado de ciência normal). 4) Com o tempo este próprio aprimoramento dispara uma crise, já que este paradigma passa a não responder a todas as questões. 5) Um período de crise é estabelecido onde novos paradigmas ou concepções são propostas, e podem não ter nenhum elo com seus antecessores. 6) Voltamos ao início do ciclo. Em seu trabalho Kuhn defende a idéia que o novo paradigma difere completamente de seu antecessor sendo uma nova visão de mundo que acabará influenciando toda a sociedade. Fica claro também a razão do porque a Geometria não Euclidiana não foi aceita ou até mesmo divulgada anteriormente. A ciência caminha de acordo com os valores culturais de uma sociedade e de uma época, não é um acontecimento isolado livre dos valores de seu tempo. A história atual da ciência que passou por grandes modificações nas suas concepções (século XIX), nos traz vários exemplos de idéias novas e revolucionárias que foram refutadas de imediato pela comunidade científica da época e só depois de muito tempo (as vezes gerações depois) se firmaram [10]. Página 42 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional A mensagem é que a ciência está influenciada pelos padrões estéticos, emocionais, políticos e religiosos de sua época e as revoluções vagarosamente quebram estes freios e numa simbiose ciência e humanidade caminham uma moldando a outra. Outro pensamento importante, este talvez fuja aos âmbitos da matemática, pois parece que todos acham razoável dizer que a Geometria Euclidiana é um caso particular de outra Geometria. Isto parece não acontecer no âmbito da Física, depois das mudanças nos fundamentos de como fazer a história da ciência e como entender a estrutura das revoluções científicas, há uma discussão extremamente forte que parece pender para o chamado não continuísmo. O modelo gravitacional de Newton, por exemplo, não é um caso particular do relativismo de Einstein. O relativismo é outra concepção da realidade e o modelo de Newton fornece apenas alguns resultados aproximados em situações muito específicas. A conceituação relativista é absolutamente diferente e independente. Este fascinante assunto está detalhado nas bibliografias [10],[13]. Página 43 de 44 XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional VII. Bibliografia [1] Aaboe A., Episódios da história Antiga da Matemática, Editora da SBM, 2002. [2] Ávila G., “Legendre e o Postulado das Paralelas”, Revista do Professor de Matemática,22 (1992), 16-28. [3] Barbosa J. L. M., Geometria Hiperbólica, Editora da UFG, 2002. [4] Bonola R., Non-Euclidean Geometry, Editora Dover, 1955. [5] Boyer C. B., História da Matemática, Editora Edgard Blucher, 1974. [6] Coutinho L., Convite às Geometrias não Euclidianas, Editora Interciência, 2001. [7] Eves H., Introdução a História da Matemática, Editora da Unicamp, 1995. [8] Eves H., Tópicos de História da Geometria, Editora Atual,1992. [9] Franco H., Evolução dos Conceitos da Física, Editora IFUSP,1998. [10] Goldfarb A. M, O que é História da Ciência,Editora Brasiliense,1994. [11] Greenberg M., Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Editora W.H. Freeman and Company, 1972. [12] Heath T. L., Euclid The Thirteen Books of the Elements, Editora Dover, 1956. [13] Kuhn T. S.,A estrutura das Revoluções Cientificas,Editora Perspectiva,1982. [14] Oliva W. M., “A independência do axiomas das paralelas e as Geometrias Não- Euclidianas”, Revista do Professor de Matemática,02 (1983), 28-31. [15] Petit J. P., As Aventuras de Anselmo Curioso, Editora Dom Quixote, 1982. [16] Providência N. B., Matemática ou Mesas Cadeiras e Canecas de Cerveja, 1º Ed., Editora Gradiva, 2000. [17] Singh S., O Último Teorema de Fermat, Editora Record, 2001. [18] Filho L.C.S, Encontro com o mundo não Euclidiano, Elementos para uma abordagem didática, Projeto de Ensino Matemática USP 2004. Página 44 de 44
