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MATEMÁTICA – GEOMETRIA I
Natália Rodrigues – Pirâmides e Cones
PIRÂMIDES
PIRÂMIDES
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e
cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que
passa por V (vértice).
PIRÂMIDES
Condições para que uma pirâmide seja REGULAR:
a) A base da pirâmide é um polígono regular;
b) A projeção ortogonal do vértice P coincide com o centro do polígono (reta).
Pirâmide Pentagonal
Regular
Base (Pentágono Regular)
Pirâmide Pentagonal
Irregular Oblíqua
Toda pirâmide que não-reta é irregular e a chamamos de OBLÍQUA.
PIRÂMIDES
Caso especial de pirâmide: TETRAEDRO REGULAR
A base é um triângulo equilátero, assim como as suas faces laterais
Note que nesse caso qualquer uma das faces pode ser tomada como
base.
Pirâmide triangular regular (tetraedro)
Planificação tetraedro
PIRÂMIDES
APÓTEMA
Em um polígono, o segmento de reta que partindo do centro geométrico
da figura é perpendicular a um dos seus lados é chamado de apótema. O
conceito se aplica apenas a figuras regulares. Em uma pirâmide regular, o
apótema da pirâmide diz respeito à altura do triângulo da lateral.
apb
Apótema da base (apb)_
Apótema da pirâmide (ap)
PIRÂMIDES
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
Um prisma qualquer pode sempre ser divido em três pirâmides de
mesmo volume.
Vprisma
= Vpirâmide = Ab3.h
3
A fórmula pode ser aplicada para qualquer tipo de pirâmide!
PIRÂMIDES
TRONCO DE PIRÂMIDE
Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base obtemos
duas estruturas: uma pirâmide em miniatura, semelhante à original e uma
outra parte, dita tronco de pirâmide.
PIRÂMIDES
VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE
VT = Volume do tronco
h = Altura do tronco
AB = Área da base maior
Ab = Área da base menor
Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados
5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. Vamos calcular o volume desse
tronco.
1
𝑉𝑇 = 3 .8.[52 + 52 .122 + 122 ] → 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3
PIRÂMIDES
VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE
Resolvendo de outra forma:
Temos que h = d + 8 e que a razão de semelhança
entre as duas pirâmides semelhantes é:
Logo, o volume da pirâmide original é:
E o volume da miniatura é de:
O volume do tronco é a diferença desses dois volumes:
𝑉𝑇 =
1832
→ 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3
3
CONES
CONES
Considerando um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e
um ponto V fora dele:
Chama-se cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os
segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo (geratrizes).
Eixo
CONES
Classificação
Cone reto: Quando o eixo VO é perpendicular à base.
Todo cone reto é um cone de revolução (formado a
partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de
um dos seus catetos). Nessa caso, vale que g2 = R2 + h2.
Cone Oblíquo: Quando o eixo VO não é perpendicular à base.
Cone Equilátero
Quando a geratriz de um cone possui a mesma medida
que o diâmetro do círculo da base, dizemos que o cone é
equilátero. Isso significa que a área de secção meridiana
do cone será um triângulo equilátero.
CONES
ÁREAS DO CONE
Área lateral
L = r.Ɵ (comprimento de um arco)
2πr
2πR = g.Ɵ  Ɵ = g
g
πg2
2π
2πr
g
2πr
2πAl = g . πg2
g
Al

Al = πrg
2πR
(R é o raio da base)
Área da base
Ab = πr2
CONES
VOLUME DO CONE
Volume do cone = Volume das pirâmides
Vcone =
Ab.h πr2h
=
3
3
TRONCO DE CONE
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base
circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova
figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
Área Superficial
As = πg(R+r)
Volume
πh 2
V=
(r + rR + R2)
3
CONES
TRONCO DE CONE
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base
circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova
figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
Área Superficial
As = πg(R+r)
Volume
πh 2
V=
(r + rR + R2)
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