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MATEMÁTICA – GEOMETRIA I Natália Rodrigues – Pirâmides e Cones PIRÂMIDES PIRÂMIDES Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum. A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice). PIRÂMIDES Condições para que uma pirâmide seja REGULAR: a) A base da pirâmide é um polígono regular; b) A projeção ortogonal do vértice P coincide com o centro do polígono (reta). Pirâmide Pentagonal Regular Base (Pentágono Regular) Pirâmide Pentagonal Irregular Oblíqua Toda pirâmide que não-reta é irregular e a chamamos de OBLÍQUA. PIRÂMIDES Caso especial de pirâmide: TETRAEDRO REGULAR A base é um triângulo equilátero, assim como as suas faces laterais Note que nesse caso qualquer uma das faces pode ser tomada como base. Pirâmide triangular regular (tetraedro) Planificação tetraedro PIRÂMIDES APÓTEMA Em um polígono, o segmento de reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados é chamado de apótema. O conceito se aplica apenas a figuras regulares. Em uma pirâmide regular, o apótema da pirâmide diz respeito à altura do triângulo da lateral. apb Apótema da base (apb)_ Apótema da pirâmide (ap) PIRÂMIDES VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Um prisma qualquer pode sempre ser divido em três pirâmides de mesmo volume. Vprisma = Vpirâmide = Ab3.h 3 A fórmula pode ser aplicada para qualquer tipo de pirâmide! PIRÂMIDES TRONCO DE PIRÂMIDE Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base obtemos duas estruturas: uma pirâmide em miniatura, semelhante à original e uma outra parte, dita tronco de pirâmide. PIRÂMIDES VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE VT = Volume do tronco h = Altura do tronco AB = Área da base maior Ab = Área da base menor Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. Vamos calcular o volume desse tronco. 1 𝑉𝑇 = 3 .8.[52 + 52 .122 + 122 ] → 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3 PIRÂMIDES VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE Resolvendo de outra forma: Temos que h = d + 8 e que a razão de semelhança entre as duas pirâmides semelhantes é: Logo, o volume da pirâmide original é: E o volume da miniatura é de: O volume do tronco é a diferença desses dois volumes: 𝑉𝑇 = 1832 → 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3 3 CONES CONES Considerando um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e um ponto V fora dele: Chama-se cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo (geratrizes). Eixo CONES Classificação Cone reto: Quando o eixo VO é perpendicular à base. Todo cone reto é um cone de revolução (formado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos). Nessa caso, vale que g2 = R2 + h2. Cone Oblíquo: Quando o eixo VO não é perpendicular à base. Cone Equilátero Quando a geratriz de um cone possui a mesma medida que o diâmetro do círculo da base, dizemos que o cone é equilátero. Isso significa que a área de secção meridiana do cone será um triângulo equilátero. CONES ÁREAS DO CONE Área lateral L = r.Ɵ (comprimento de um arco) 2πr 2πR = g.Ɵ Ɵ = g g πg2 2π 2πr g 2πr 2πAl = g . πg2 g Al Al = πrg 2πR (R é o raio da base) Área da base Ab = πr2 CONES VOLUME DO CONE Volume do cone = Volume das pirâmides Vcone = Ab.h πr2h = 3 3 TRONCO DE CONE Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. Área Superficial As = πg(R+r) Volume πh 2 V= (r + rR + R2) 3 CONES TRONCO DE CONE Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. Área Superficial As = πg(R+r) Volume πh 2 V= (r + rR + R2) 3 Novo horário de aulas Segunda-feira 1ª e 2ª aula Frequentem a monitoria!
