Múltiplos e Divisores

1
TÓPICOS DE REVISÃO
MATEMÁTICA I
MÓDULO 2 : Números ,
Múltiplos e Divisores
3a Série – Ensino Médio
Prof. Rogério Rodrigues
Nome : ............................................
Número : ............ Turma : ...........
2
II - NÚMEROS INTEIROS – MÚLTIPLOS E DIVISORES
Na difusão dos números indoarábicos,
inclusive tratando o zero como número,
duas correntes de matemáticos, lá pelo
fim da Idade Média, os algoristas que
eram metódicos no tratamento com os
números e os abacistas, que usavam o
famoso ábaco no desenvolvimento de
sua matemática com números inteiros .A
gravura ao lado é uma obra sobre
madeira, representando a Aritmética
ensinando aos algoristas e aos abacistas,
representados por Boécio e Pitágoras .
* ( obra de Gregor Reisch - Freiburg ,
1.503 )
II.1) Base de um sistema de numeração :
Um conjunto finito de coisas (moedas iguais ou selos iguais ou adesivos iguais ou ...)
pode ser quantificado ou contado de infinitos modos . No nosso caso , contamos de 10 em 10 , ou
sejá :
Se temos um conjunto com 112 moedas , procuramos agrupá-las de 10 em 10 , sendo que
cada grupo de 10 moedas recebe o nome de Dezena e cada grupo de 10 Dezenas recebe o
nome de Centena e aí vem a Unidade de Milhar , Dezena de Milhar , ... Então , em
112moedas , há 11 grupos de 10 moedas , portanto , 11 dezenas , ou seja uma centena , mas
sobra 1 dezena e mais duas moedas (duas unidades) .
112 moedas → (10
+ 1 ) dezenas + 2 unidades
1 centena
1 dezena
2 unidades , portanto , 112 .
Suponhamos que no mesmo exemplo anterior , contássemos de 5 em 5 . Então teríamos
112 moedas → 22 X 5
+
2 moedas
Se cada grupo de 5 moedas se chamasse Quinquina e cada grupo de 5 qunquinas fosse 1
Square , 112 moedas (no nosso sistema de m numeração ) , seriam , no sistema de base 5:
22 quinquinas
+ 2 moedas =
e o numeral correspondente seria 422 (5)
.
4 Squares + 2 quinquinas + 2 unidades
Lê-se “ quatro , dois , dois , base 5 ” .
3
Exercício Resolvido :
Lá em Boa Névoa, canto escondido de Minas
Gerais, tinha o Seu Wilson, apelidado de
Wilson Semanal, porque tinha a mania de só
contar usando a semana como base, ou seja,
como a semana tem 7 dias, o Seu Semanal só
contava de 7 em 7 e justificava
- Deus levou 7 dias para construir o
mundo,então o 7 é um número de Deus . E
tinha, uma facilidade estupenda o Semanal
para ouvir na base decimal e, imediatamente,
converter para a sua base favorita .
O Seu Natalino era quem cuidava das contas
do Seu Semanal, era um suplício para ele
aquela missão: só podia usar como consulta
as anotações de Semanal, que estavam todas
na base 7; além da primitiva calculadora, ele
usava um ábaco para lidar com a estranha base
7.
Numa manhã chuvosa, o Semanal recebeu
uma conta de luz com o valor de R$ 1&5 ,00,
ou quase isto.O fato é que o segundo algarismo
do numeral estava quase todo apagado, não
dava para descobrir . Então, o Semanal, de
esperto que gostava de ser , entregou a
anotação para o Natalino, obviamente na
base 7, como R$ 236 , 00 . Calcule quanto o
Semanal teve que desembolsar além de sua
“previsão”, para pagar a conta, depois que o
& foi esclarecido como sendo igual a 3 .
Resolução :
O numeral 236 , na base 7 , significa 2 grupos de 72 + 3 grupos de 71 + 6 elementos ( ou 6
x 70 ) . Trazendo para a base 10, daria 2 X 49 + 3 X 7 + 6 X 1 = 98 + 21 + 6 = 125 . Então ,
na base 10 , o valor da conta seria R$ , 125 , 00 . Se o & vale 3 , então , a conta seria de R$ 135
,00 e o Semanal teve que desembolsar mais R$ 10 , 00 .
Qualquer que seja a base do sistema de numeração , o numeral correspondente será uma
soma de potências da base escolhida , com expoentes naturais . Por exemplo ,
→ 223 na base 9 , significa 2 X 92 + 2 X 91 + 3 X 90 = 183 , na base 10 .
→ 110 na base 2 , significa 1 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20 = 6 , na base 10 .
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OBSERVAÇÃO :
Em situações concretas do cotidiano é comum se trabalhar com bases diferentes da decimal .
Exemplo 1 : Vamos contar ovos
Ainda hoje contamos ovos usando a Dúzia,
ou seja, 12 ovos . Como, na maioria das
vezes, não vivemos a experiência de contar
mais
de
11
dúzias, não
temos
oportunidade de conhecer a terceira ordem
desse sistema de numeração, a Grosa,
equivalente a 12 dúzias. Se tivéssemos
que contar
164 ovos nesse sistema de
numeração , teríamos 1 grosa + 1 dúzia +
8 ovos e o numeral correspondente seria,
nessa base 12, 118(12) .
Exemplo 2 : O tempo não para
Quando marcamos o tempo, usamos a base 60
para quantificá-lo, ou seja, contamos de 60 em 60
os segundos. Então, cada grupo de 60 segundos é 1
minuto e cada grupo de 60 minutos é 1 hora . Então,
se formos expressar numericamente um tempo de
8.235 segundos teremos 2h 17 min 15 s, que é o
mesmo que 2 X (60)2 + 17 X (60)1 + 15 X (60)0.
Exercícios propostos :
1) Calcule a soma 101(2) + 43(5) na base decimal .
2) Dois feirantes contaram , cada um por si , as frutas de uma cesta . Um deles , usando a base 10,
registrou 138 frutas e o outro , usando a base 8 , registrou 21X(8) frutas . Supondo que as duas
contagens estejam corretas , quanto vale X ?
3) O número 10X0 , na base 6 , é divisível por 3 . Nessas condições , qual é o menor valor possível
para X ?
4)Se o numero 25 , na base 10 , é representado em uma determinada base b por 221(b) , qual é o
valor de b ?
5
5) O número de elementos de um conjunto A foi registrado por duas pessoas de modos diferentes.
Uma das pessoas escreveu 315(7) e a outra escreveu 23b(8) . Nessas condições, calcule o
valor de b .
6) Dados os numerais n = 134(X) e m = 54(X) , sabe-se que , n – m = 24 . Calcule o valor de X .
7) (PUC – MG) – Se a = 1112 e b = 123 , então quanto vale a + b na base 10 ?
8) (PUC – MG) – Se A = 1.0023 , B = 2214 e C = 1.0012 , qual é o valor de A + B – C na base 6 ?
9) (PUC – MG) – Se 301 na base a é igual a 193 na base 10 , calcule o valor de a .
10) (PUC – MG) – Dados os números A = 10101 e B = 11011 , na base dois . Calcule , na base
dois a soma A + B .
11) (PUC – MG) - Dado o número 201 na base 3 , calcule esse número na base 2 .
12) (UFMG) – Um certo número , na base 10 é 103 e na base b é 205 . Calcule b.
II . 2) Divisores e múltiplos de um número natural :
Quando efetuamos uma operação de divisão consideramos o Dividendo , o Divisor ,
Quociente e o Resto , assim posicionados no Algoritmo de Euclides :
DIVIDENDO
RESTO
DIVISOR
QUOCIENTE
E equacionados em
DIVIDENDO = QUOCIENTE X DIVISOR + RESTO .
Notemos que o Resto pode ser até 1 unidade inferior ao divisor . Se o Resto for igual
a zero , o número que representa o Dividendo será dito Múltiplo daquele que representa o
Divisor e o Divisor será dito Divisor daquele que representa o Dividendo .
Exemplo 1 :
Se dividirmos o número 261 por 3 , teremos
261
21
0
3
87
onde o Resto é zero . Então , 261 é múltiplo de 3 e , por sua vez , 3 é divisor de 261 .
Exemplo 2 :
→
O conjunto dos divisores de de 72 é indicado por D72 = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24,
6
36 , 72 } .
→ O conjunto dos múltiplos
de 3 é indicado por M3 = {0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , ... } .
Observemos que
- O conjunto dos divisores de um número é finito .
- O conjunto dos múltiplos de um número é infinito .
- O 1 (um) é divisor de qualquer número natural.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural .
II . 3) Máximo divisor comum (MDC) :
Os divisores de 42 são dados por D42 = {1, 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42} e os divisores de
54 é D54 = {1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 } , então os elementos comuns aos dois conjuntos é dado
por D42 ∩ D54 = {1 , 2 , 3 , 6 } . Esse conjunto é Conjunto dos divisores comuns de 42 e 54 .
Nesse caso , o maior dos divisores comuns é o 6 e ele será o Máximo Divisor Comum de 42 e
54 , ou seja MDC(42 , 54) = 6 .
Exemplo 1 :
No caso dos números 32 , 48 e 64 , teremos
- D32 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32}
- D48 = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48}
- D64 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64}
- D32 ∩ D48 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 } ⇒ MDC (32 , 48 , 64) = 16 .
Exemplo 2 :
No caso dos números 8 e 15 , temos
- D8 = {1 , 2 , 4 , 8}
- D15 = {1 , 3 , 5 , 15}
- D8 ∩ D15 = {1 }
⇒ MDC (8 , 15) = 1 .
Quando o máximo divisor comum entre dois números é 1 , dizemos que eles são Primos entre sí .
Então 8 e 15 são primos entre si .
Exemplo 3 :
O conjunto dos divisores de 7 é D7 = {1 , 7}, o conjunto dos divisores de 11 é D11 = {1 , 11} ,
o conjunto dos divisores de 17 é D17 = {1 , 17} e ... isso acontece com muitos números . Se um
número natural possui apenas dois divisores diferentes, em geral o 1 e o próprio
número , dizemos que o número é primo . São primos os números do conjunto P = {2 , 3 , 5 ,
7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ... }
7
Eratóstenes de Cirene foi um homem de
muitas facetas lá pelo século II a.C na
Grécia antiga. Eratóstenes
estudou
matemática, filosofia, gramática
e
astronomia, mas ficou famoso
pelo
cálculo do raio da Terra com uma
precisão muito boa e pelo famoso Crivo
de Eratóstenes, um método de determinar
os números primos, dispondo-se os
naturais em ordem crescente, riscando-se
a seguir os números de dois em dois,
depois de três em três, depois de cinco
em cinco, depois ... , sempre na seqüência
de partida. Os números restantes desse
processo serão primos .
II . 3.1) Decomposição de um número natural em fatores primos :
O número 18 pode ser escrito como 18 = 2 . 32 , um produto com dois fatores nos quais as
bases das potências que são os fatores são números primos . Um método de se decompor
qualquer natural do mesmo modo anterior é dado pelos exemplos a seguir .
Exemplo 1 :
Seja decompor em fatores primos o número 180 , ou seja , fatorar o número 180 .
Basta dividir o 180 sucessivamente pelos números primos em sua ordem natural . Isso pode ser
registrado na forma de algoritmo do seguinte modo
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
⇒ 180 = 22 . 32 . 5
Exemplo 2 :
Do mesmo modo anterior , teremos que
a) 363 = 3 . 112
b) 144 = 24 . 32
c) 400 = 24 . 52
d) 1.024 = 210
e) 1.050 = 2 . 3 . 52 . 7
(2 , 3 e 5 são primos)
8
II . 3 . 2) Cálculo do Máximo divisor comum (MDC )
Os dois processos mais conhecidos para calcular o MDC de dois números são os que
serão mostrados a seguir .
a) Processo da fatoração
Consiste em fatorar separadamente cada um dos números e selecionar os fatores primos comuns
com os menores expoentes .
Exemplo 1 : (UFMG)
Entre algumas famílias de um bairro , foi distribuído um total de 144 cadernos , 192 lápis e 216
borrachas . Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse
contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos , o mesmo número de lápis e o
mesmo número de borrachas ,sem haver sobra de qualquer material .Qual foi o número de cadernos
que recebeu cada família ?
Resolução : Se o maior número de famílias será contemplado ,esse número é o Máximo divisor
comum de 144 , 192 e 216 . Fatorando 144 , 192 e 216 , encontramos 144 = 24 . 32 , 192 = 26 . 3
e 216 = 23 . 33 . Todos os fatores têm base comum .Escolhendo os fatores comuns com os
menores expoentes , teremos MDC (144,192,216) = 23 . 3 = 24 e , então , o material será dividido
do seguinte modo :
→
→
→
CADERNOS : cada família receberá 144 : 24 = 6 cadernos .
LÁPIS : cada família receberá 192 : 24 = 8 lápis .
BORRACHAS : cada família receberá 216 : 24 = 9 borrachas .
Exemplo 2 :
Verificar se os números 54 e 95 são primos entre sí .
Resolução : Fatorando-se os números 54 e 95 , encontra-se 54 = 2 . 33 e 95 = 5 . 19 ,
mostrando que 54 e 95 não têm fator comum diferente de 1 .Os números 54 e 95 são primos entre
sí , pois MDC(54 , 95) = 1 .
b) Grade de Euclides (Processo das divisões sucessivas) :
Nesse processo , divide-se , inicialmente , o maior dos números pelo menor deles . Se a divisão
tiver resto diferente de zero , efetua-se uma nova divisão , sendo que agora , o divisor anterior será o
dividendo e o primeiro resto será o divisor . Se a nova divisão apresentar resto diferente de zero ,
repete-se o processo até que algum resto seja zero e , nesse caso , o MDC dos números dados será
o último divisor considerado . Se , de imediato , o resto for zero , então o menor dos números é o
MDC dos dois .Observe bem que nesse último caso , o maior dos números é múltiplo do menor .
Exemplo 1 : Usando a Grade de Euclides , calcule o MDC de 1.080 e 1.600 .
9
Resolução :
1.600
1
2
13
→ linha dos restos
1.080
520
40
→ linha dos dividendos e divisores
520
40
0
→ linha dos restos
As divisões efetuadas , nesse caso , foram 1.600 : 1.080 = 1 , resto 520 ; 1.080 : 520 = 2 , resto
40 e 520 : 40 = 13 , resto 0 . Então MDC(1.600 , 1.080) = 40 .
Exemplo 2 : Usando o Processo das divisões sucessivas , calcule o MDC de 24 , 192 e 540 .
Resolução:
Neste caso , efetua-se , inicialmente , o processo com dois dos números e o MDC deles será
divisor do outro na segunda aplicação do processo .
Primeiro passo : Efetuemos o processo com 24 e 192 .
8
192
24
0
Segundo passo : Efetua-se o processo com o 24 - resultado anterior e o 540.
540
22
2
24
12
12
0
Então , MDC (24 , 192 , 540) = 12 .
Exercícios propostos :
13) (PUC – MG) – Na divisão do número natural p pelo número natural m , o quociente é 13 e o
resto 5 . Qual é o menor valor para p ?
14) (PUC – MG) – Os números m e n são inteiros positivos . Na divisão de m por n o
quociente é 17 e o resto é o maior possível . Se m – n = 407, qual é o resto?
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15) (UFMG) – O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e 2.205. Calcule
a soma dos algarismos de n .
16) Dois números naturais x e y são tais que x = 23m - 5 . 32 . 5 e y = 22m + 1 . 3 . 7 , sendo m
um número natural . Se o maior número que divide x e y exatamente é 48 , calcule m .
17) (UFMG) – Um desenhista quadriculou um retângulo de dimensões 56 cm e 104 cm .Obteve
quadrados de mesma área e na menor quantidade possível. Quanto mede o lado de cada quadrado?
a
18) (PUC – MG) – Os números naturais a e b são tais que ab = 23.32.5 e
= 0,4 . Qual é o
b
máximo divisor comum de a e b .
19) (PUC – MG) – No conjunto N , a divisão do número M por 14 apresenta como resto o triplo
do quociente . Calcule a soma dos possíveis valores do quociente.
20) (F.C.M – MG) - Calcule o valor de a no número 32a81 para que o resto de sua divisão por
11 seja 3.
21) (UFMG) – Um depósito em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões
internas : 14 m , 22 m e 6 m . Pretende-se encher esse depósito com caixas cúbicas de mesmo
volume e de mesmas dimensões internas . Calcule o número mínimo de caixas desse tipo que
enchem exatamente o depósito .
22) (PUC – MG) – Os números a e b são os menores divisores possíveis , respectivamente , de
324 e 116 de modo que os quocientes sejam iguais . Calcule a + b .
23) (UFMG) – Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3 , respectivamente . Os
restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3 , respectivamente .Determine o maior valor
possível para x + y .
24) (UFMG) – Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17 , cujo resto
é igual ao quadrado do quociente . Calcule a soma dos quocientes dessas divisões .
25) (UFRO) - Um número A de três algarismos é tal que :
a)A soma de seus algarismos é 10 .
b)O algarismo das dezenas é o Quádruplo do algarismo das centenas .
c)O algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas .
A
Calcule o valor de
.
5
II .4) Número de divisores de um número :
Há uma regra prática que determina a quantidade de divisores de um número natural . Ela se
baseia na decomposição do número em fatores primos . Suponhamos que o número x , decomposto
em fatores primos seja x = am . bn . cp ... dq . Então seu número de divisores será dado pelo
produto (m+1)(n+1)(p+1)...(q+1) .
Exemplos :
a) Vejamos quantos divisores tem o número 1440 .
11
→ Decompondo 1440 em fatores primos teremos
1440
720
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
2
2
3
3
5
⇒ 1440 = 25 . 32 . 5
→ Então , 1440 tem (5+1)(2+1)(1+1) divisores , ou seja 36 divisores .
b) (PUC – MG) - O número 2a . 3b tem oito divisores . Se ab = 3 , calcule a + b .
O número citado tem (a + 1)(b + 1) = 8 divisores , ou seja ab + a + b + 1 = 8 . Como ab =3, então
3 + a + b + 1 = 8 , ou seja a + b = 4 .
II . 5) Determinação dos divisores de um número :
Uma regra prática para determinar todos os divisores de um número é descrita pelos passos
a seguir .
→ Decompõe-se o número em seus fatores primos;
→ Coloca-se á direita e acima do primeiro fator primo o número 1;
→ Multiplica-se cada fator primo obtido por todos os números á direita e acima dele (valores
repetidos não são registrados) .
Exemplo : Determinar todos os divisores de 180 .
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
1
2
4
3 , 6 , 12
9 , 18 , 36
5 , 10 , 20 , 15 , 30 , 60 , 45 , 90 , 180 .
Então o conjunto dos divisores de 180 é dado por todos os números situados á direita do
segundo traço, ou seja, D180 = {1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180}.
12
II . 5) Divisibilidade entre números naturais :
Em geral , dados dois números naturais m e n , decompostos em seus fatores primos ,
sabemos que m é divisível por n se m contiver todos os fatores primos de n , com expoentes
maiores ou iguais aos respectivos fatores de n .
Exemplo : O número 5400 , decomposto em fatores primos , é igual a 23 . 33 . 52 e o número
360 , também decomposto em seus fatores primos é igual a 23 . 32 . 5 . Portanto , 5400 é divisível
por 360 .
Alguns critérios particulares de divisibilidade são úteis em determinadas situações , são eles
→ Um número natural é divisível por 2 , se seu último algarismo for par .
→ Um número natural é divisível por 3 , se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for
um múltiplo de 3 .
→ Um número natural é divisível por 4 , se seus dois últimos algarismos forem iguais a zero ou se
constituírem um múltiplo de 4 .
→ Um número natural é divisível por 5 , se seu último algarismo for 0 ou 5 .
→ Um número natural é divisível por 6 , se for divisível por 2 e por 3 .
→ Um número natural é divisível por 8 , se seus três últimos algarismos forem iguais a zero ou
constituírem um múltiplo de 8 .
→ Um número natural é divisível por 9 , se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um
múltiplo de 9 .
→ Um número natural é divisível por 10 , se seu último algarismo for 0 .
→ Um número natural é divisível por 11 , se a soma de seus algarismos de ordens ímpares menos
a soma de seus algarismos de ordens pares for um múltiplo de 11 .
→ Se o número natural m é divisível pelos naturais a e b , com a e b primos entre si , então m
é divisível por ab .
II . 6) O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois naturais :
Sejam os conjuntos dos múltiplos de 12 e 40 , dados , respectivamente por M12 =
={0,12,24,36,48,60,72,84, 96,108,120, ...) e M40 = {0,40,80,120,160,200,240, ...}. Fazendo a
interseção dos dois conjuntos teremos M12 ∩ M40 = {0,120, ... , 240 , ... } , onde o menor múltiplo
comum , maior do que zero é 120 . Então dizemos que MMC(12,40) = 120 .
Há basicamente dois processos para a obtenção do MMC de dois números naturais , sem ter
que escrever os conjuntos de múltiplos , são os processos apresentados a seguir .
13
II .6.1) Processo da decomposição em fatores primos (fatoração) :
Dados dois números decompostos em seus fatores primos , o MMC desses números é o
produto dos fatores comuns e dos fatores não comuns com os maiores expoentes .
Exemplo 1 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 48 e 180 .
Fatorando os números dados , teremos 48 = 24 . 3 e 180 = 22 . 32 . 5 . Então , escolhendo os
fatores apropriados , teremos que MMC(48,180) = 24 . 32 . 5 = 720 .
Exemplo 2 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 12 , 27 e 40 .
Fatorados , os números dados serão 12 = 22 . 3 , 27 = 33 e 40 = 23 . 5 e então teremos que
MMC(12,27,40) = 23 . 33 . 5 = 1.080 .
II . 6.2) Processo da fatoração simultânea :
Trata-se de dividir os números dados pelos números primos , sendo que cada vez que um
dos números dados não for divisível por um primo , repete-se o número na linha seguinte .O MMC
será dado pelo produto dos fatores primos colocados á direita no algoritmo do processo .
Exemplo 1 : Determine o mínimo múltiplo comum de 27 e 84 .
27 , 84
2
27 , 42
2
27 , 21
3
9 , 7
3
3 ,
7
3
1 ,
7
7
1 ,
1
⇒ MMC(27,84) = 2.2.3.3.3.7 = 756 .
Exemplo 2 : Calcular o MMC de 18 , 30 e 48 .
18 , 30 , 48
2
9 , 15 , 24
2
9 , 15 , 12
2
9 , 15 ,
6
2
9 , 15 ,
3
3
3 , 5 ,
1
3
1 , 5 ,
1
5
1 , 1 ,
1
⇒ MMC(18,30,48) = 2.2.2.2.3.3.5 = 720 .
14
Observações :
→ Se dois números são primos entre si , então o MMC desses números é o produto deles .
→ Dados dois números a e b , temos que MDC(a,b) . MMC(a,b) = a.b .
Exercícios Propostos :
26) (UFMG) – Um número é da forma 3a7b . Sabendo-se que este número é divisível por 25 e por
9 , calcule os algarismos a e b .
27) (UFMG) – Calcule a soma de todos os divisores de 105 .
28) (PUC – MG) – A quantidade de números compreendidos entre 200 e 600 que são divisíveis
simultaneamente por 12 , 18 e 30 é n . Calcule n .
29) (PUC – MG) – A soma dos valores absolutos do número ab é 9 . Se invertermos a ordem dos
algarismos (ba) , o número obtido será maior que o anterior em 45 unidades . Calcule o número ab .
30) (PUC – MG) – M e P são inteiros positivos . Na divisão de M por P , o quociente é 25 e o
resto é o maior possível . O que se pode afirmar sobre o número M ?
31) (PUC – MG) – O número natural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é 11 . Calcule a
soma dos valores possíveis de A .
32) (UFMG) – O número 2a . 3 . 6 . 20 tem 48 divisores . Calcule o valor de a .
33) (F.C.M – MG) – Calcule o valor do algarismo a no número 32a81 , para que o resto de sua
divisão por 11 seja 3 .
34) (UFMG) – O número n = 2a . 3b . c divide 3.600 .Suponha que a , b e c são inteiros positivos,
c seja um número primo maior que 3 e n tem 16 divisores . Calcule a + b – c .
35) (UFMG) – Três torneiras estão com vazamento . Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segundos , da segunda uma de 6 em 6 segundos , e da terceira , uma de 10 em 10 segundos . Exatamente
ás 2 horas , cai uma gota de cada torneira . Calcule o número de vezes que as três torneiras
pingaram juntas , no intervalo de 2h 30s ás 2h 27 min .
36) (UFMG) – Calcule o menor número inteiro positivo n pelo qual se deve multiplicar 1.188 para
se obter um número divisível por 504 .
37) (UFMG) – Se a = 23 . 3 . 52 . 7 e b = 22 . 32 . 72 . 11 , então , calcule a diferença entre o
m.m.c. (a , b) e o m.d.c. (a , b) .
38) (UFMG) – De uma praça partem , ás 6 horas da manhã , dois ônibus A e B . Sabe-se que o
ônibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos , e o ônibus B , a cada 45 minutos . Qualé o
primeiro horário , após as 6 horas , em que os dois ônibus partirão juntos ?
39) (FUVEST – SP) – No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com
freqüências diferentes . A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por
minuto . Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente , após quantos segundos elas
voltarão a piscar simultaneamente ?
40) (UFMG) – Três fios têm comprimentos de 36 m , 48 m e 72 m . Deseja-se cortá-los em pedaços
menores , cujos comprimentos sejam iguais , expressos em número inteiro de metros e sem que
haja perda de material . Qual é o menor número total possível de pedaços ?
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41) (UFMG) – A partir das 7 horas , as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira ,
Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário :
Para Itabira , de 20 em 20 minutos .
Para Barbacena , de 30 em 30 minutos .
Para Patos de Minas , de 50 em 50 minutos .
Depois de quanto tempo , após as 7 horas , saem simultaneamente , pela primeira vez , os três
ônibus?
42) (UFMG) - Sabe-se que o número 213 - 1 é primo . Seja n = 217 - 16 . No conjunto dos
números naturais , quantos divisores tem n ?
43) (UFMG) - Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o
resultado seja o quadrado de um número natural. Então, calcule a soma dos algarismos de N.
44) (UFMG) - Sabe-se que:
• para se escreverem os números naturais de 1 até 11, são necessários 13 dígitos; e
• para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n, são necessários 1 341 dígitos.
Calcule n.
45) (UFMG) - Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido
invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Então, quantos são os
possíveis valores de N ?
46) (UFMG) - Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e
não possuem fatores primos em comum com 147. Quantos elementos possui o conjunto S?
47) (UFMG) – Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e
resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7,363636... Calcule o
valor de x + y + z.
48) (UFMG) - Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min
e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante.
Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse
momento, quantas voltas estará completando o atleta mais veloz?
49) (UFMG) - O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e 2205. Então,
calcule a soma dos algarismos de n.
50) (UFMG/2a Etapa) - Seja S o conjunto formado por todos os números naturais n tais que o
mínimo múltiplo comum de n e 504 é igual a 5040. DETERMINE todos os elementos do conjunto
S.
16
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS :
1) 28 2) X = 2 3) X = 0 4) b = 3 5) b = 7 6) X = 6 7) 12 8) 141 9) 8 10) 110000
11) 10011 12) 7 13) 83 14) 23 15) 9 16) m = 3 17) 8 18) 6 19) 10 20) 9 21) 231
22) 110
23) 30
24) 10 25) 29
26) a = 3 e b = 5 27) 192 28) 2 29) 72 30) M é
ímpar 31) 224 32) a = 4 33) a = 9 34) –1 35) 27 36) 14 37) 970.116 38) 13h 30 min
39) 12
40) 13
41) 5 horas 42) 10 divisores 43) 7 44) 483 45) 4 46) 7 elementos
47) 191 48) 15 voltas 49) 9 50) S = {80, 240, 560, 720, 1680, 5040}.