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PAINÉIS
Painel I: Mais curiosidades numéricas
Rubens Vilhena Fonseca e M. da Glória C. Lima
UEPA/CESUPA – UEPA/NPI
Números abundantes e deficientes
Se n é um número natural, denotamos por d(n) o conjunto dos
divisores próprios (diferentes de n) de n, e s(n) indica a soma desses
divisores. Um número é dito abundante quando a soma de seus divisores
próprios for maior que o próprio número. Quando a soma de seus
divisores próprios for menor que ele, então o número é chamado
deficiente. Por exemplo,
d ( 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 },
s( 24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36
s( 24) > 24 , então 24 é um número abundante;
e
d (16) = {1, 2, 4, 8 }, s(16) = 15 e s(16) < 16 , então 16 é um número
deficiente.
Lembramos que um número é perfeito (ver RPM 41) se s( n ) = n .
Vamos agora apresentar os números semiperfeitos: são aqueles que
podem ser obtidos a partir da soma de alguns de seus divisores próprios.
Por exemplo, 20 é um número semiperfeito, pois sendo
d ( 20) = {1, 2, 4, 5,10 } tem-se: 1 + 4 + 5 + 10 = 20 . Fica evidente que um
número semiperfeito também é abundante, mas a recíproca nem sempre é
verdadeira, como nos exemplos:
d (70) = {1, 2, 5, 7,14, 35 } e s(70) = 74 . Como s(70) > 70, então ele
é um número abundante, mas, por mais que tentemos, não conseguimos
obter, utilizando os seus divisores próprios, uma soma igual a 70, logo
não é semiperfeito.
d (836) = {1, 2, 4,11,19, 22, 38, 44, 76, 209, 418 }, s (836 ) = 844 . Logo, 836
é abundante, mas também não é semiperfeito. A esses números chamamos
de estranhos ou predestinados.
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Existem ainda os chamados números felizes e, para reconhecê-los,
procedamos da seguinte maneira: Considere o número p e separe seus
dígitos; eleve cada dígito ao quadrado e depois some as potências obtidas,
obtendo o número q; se q = 1 , p é um número feliz. Se q ≠ 1 ,
repetimos todos os passos com o resultado obtido, tentando chegar no
valor 1, o que garante a “felicidade” do número.
Vejamos se 203 é um número feliz.
p = 203 ; os dígitos são 2, 0 e 3; 2 2 + 0 2 + 32 = 13 , logo q = 13.
Como q é diferente de 1, repetimos os passos com o número 13:
12 + 32 = 10 ; 12 + 02 = 1 , assim obtemos o 1, logo 203 é feliz.
O número 7 também é um número feliz:
7 2 = 49 ; 42 + 99 = 97 ; 92 + 72 = 130 ; 12 + 32 + 02 = 10 (observe que
este valor aparece no ciclo do número 203); 12 + 02 = 1 .
Os números que não são felizes, são chamados infelizes. Por exemplo, 3 é
um número infeliz. Sigamos os passos:
32 = 9 ;
92 = 81 ;
82 + 12 = 65 ;
6 2 + 5 2 = 61 ;
62 + 12 = 37 ;
32 + 72 = 58 ;
52 + 82 = 89 ;
82 + 92 = 145 ;
12 + 42 + 52 = 42 ;
42 + 22 = 20 ; 22 + 02 = 4 ; 42 = 16 ; 12 + 62 = 37 e temos aqui o
resultado já obtido no 5o passo e, dessa maneira, teremos um ciclo que se
repetirá indefinidamente.
Podemos observar (e isso vale também para os números felizes) que
números do tipo ab e ba produzem o mesmo ciclo, ou seja, se ab é
infeliz, ba também o será. Se um número está no “ciclo” de um infeliz,
ele também é infeliz.
Números narcisistas
Alguns números possuem a propriedade de se auto-elogiarem através
de seus dígitos, por essa razão formam uma família de números chamados
de narcisistas. Entre esses destacamos várias categorias, a saber:
Narcisistas clássicos – São os números que são iguais à soma de seus
dígitos elevados a uma potência igual ao número de dígitos. Tomemos por
exemplo o número 153: elevando cada um desses dígitos ao cubo (pois 3
é o número de dígitos) e somando os resultados obtidos, temos:
13 + 53 + 33 = 153 .
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
São também narcisistas clássicos: 1634 = 14 + 6 4 + 34 + 4 4 ;
54748 = 5 5 + 4 5 + 7 5 + 4 5 + 8 5 e 548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46 .
Hiper narcisistas – São aqueles extremamente apaixonados pelos seus
próprios dígitos e até na manipulação matemática só aparecem eles
próprios. (Para conseguir isso são capazes de qualquer coisa!) Vejamos:
4 3 8 5 7 9 0 8 8 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88 .
Coloquemos mais alguns exemplos menos traumáticos:
3 4 3 5 = 33 + 44 + 33 + 55 ; 397612 = 32 + 91 + 76 + 67 + 19 + 23 (nesse
último, as bases das potências são os dígitos do número em sentido inverso).
Narcisistas top – Os dígitos estão sempre “por cima”.
4 624 = 4 4 + 4 6 + 4 2 + 4 4 ;
1 033 = 81 + 8 0 + 8 3 + 8 3 .
Narcisistas selvagens – São capazes de qualquer “arrumação” matemática
para se autopromoverem.
36 = 3!× 6 , 24739 = 24 × 7!× 2 ×8 e 23328 = 2 × 33! × 2 × 8 .
71 e 936 também são narcisistas selvagens: você consegue determinar
uma expressão para mostrar isso?
(Fonte: Internet)
Painel II: WINPLOT (versão em português)
Adelmo Ribeiro de Jesus
UNIFACS / UFBA
[email protected]
Winplot: simples, mas poderoso
O Winplot é um ótimo programa de domínio público, produzido por
Richard Parris, da Phillips Exeter Academy (http://math.exeter.edu/rparris).
É utilizado principalmente para o traçado de funções e equações no plano
e no espaço. Foi recentemente lançada na Internet a sua versão para o
português, melhorando ainda mais sua acessibilidade. O programa tem a
vantagem de ser simples, interativo e gratuito, além de estar sempre
atualizado na rede. Utiliza pouco espaço em disco (um disquete) e dispõe
de vários recursos, alguns enumerados a seguir:
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• Trabalha com duas ou três dimensões, desenha gráficos no plano ou no
espaço, e permite formatá-los em cores e espessuras diversas. É
possível colorir os gráficos, redimensionar suas janelas, exibir escalas
nos eixos, linhas de grade, entre várias outras opções.
• A partir do gráfico de y = f ( x ) pode-se determinar seus zeros, pontos
de mínimo e de máximo, sua derivada, e visualizar a evolução da reta
tangente por um ponto qualquer do seu gráfico (ver menu Um).
• Pode-se também visualizar (e calcular) a área limitada por duas
funções f e g, entre dois pontos especificados.
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
• No caso 2D e 3D é possível plotar (e animar) gráficos de funções em
coordenadas cartesianas, polares, curvas na forma paramétrica e na
forma implícita.
• Pode-se visualizar curvas soluções de campos de vetores no plano e no
espaço e de equações diferenciais. Pode-se exibir também seqüências
de pontos no plano.
•
Uma excelente opção do programa é a possibilidade de animar
gráficos (menu Animação), introduzindo parâmetros em suas
expressões. Por exemplo, podemos ver como evoluem os gráficos de
y = ax 2 + bx + c y quando os parâmetros a, b ou c variam (ver RPM
41/07). Outra opção de atividade é poder vislumbrar uma família de
curvas, por exemplo os cardióides, r = 3 + a cos t , variando-se o
parâmetro a.
4
4
2
2
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
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1
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6
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-2
-4
Duas novas interessantes seções foram incluídas no Winplot a partir
de setembro deste ano, e já estão disponíveis: Polinômio e Adivinhar. A
seção Polinômio cria equações polinomiais (até grau 8) que passam por
determinados pontos (iniciais). Inicialmente são plotados três pontos
arbitrariamente e é exibida uma janela no modo "editar-polinômio". Com
o botão esquerdo do mouse é possível arrastar os pontos pela tela. O
botão direito é usado para adicionar ou deletar pontos e,
conseqüentemente, aumentar ou reduzir o grau do polinômio. A seção
Adivinhar é constituída por uma janela gráfica 2D especial, que mostra
gráficos (de polinômios ou funções racionais, por exemplo)
aleatoriamente e desafia os participantes a identificá-los.
Acreditamos que professores da 8a série do ensino fundamental e do
ensino médio, bem como alunos e professores de cursos do ensino
superior, poderão desenvolver várias atividades com o Winplot, pela sua
facilidade de manuseio e diversidade de recursos didáticos. Existem
ainda pequenos erros na tradução, que serão corrigidos nas versões
posteriores.
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Os interessados em maiores informações ou em apresentar sugestões
podem comunicar–se no endereço [email protected]
ou
[email protected]
Painel III: Ainda os sistemas lineares
Darlan Moutinho
e-mail: [email protected]
Após a leitura de vários autores de textos do ensino médio, verifiquei
que muitos cometem um mesmo erro ao estudar os sistemas de equações
lineares, apesar de livros publicados pela SBM - Sociedade Brasileira de
Matemática e de artigos publicados na RPM (23 e 32) já terem abordado
o assunto e chamado a atenção para o erro. Na minha cidade do Recife,
vários colegas ainda continuam a enunciar e aplicar de um modo errado o
famoso Teorema de Cramer, apesar de minhas críticas, o que é
compreensível, pois fica difícil informar aos alunos que o livro adotado
está errado.
Dado um sistema linear de n equações e n incógnitas:
a1,1 x1 + a1,2 x2 + L + a1,n xn = b1

a2,1 x1 + a2,2 x2 + L + a2, n xn = b2
,

L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L

a x + a x + L + a x = b
n ,2 2
n,n n
n
 n ,1 1
coeficientes.
seja A = ( ai , j )n×n a matriz dos
O que vale é:
Se det (A) ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
Se det (A) = 0, o sistema não é determinado; logo, será possível e
indeterminado ou impossível.
O erro
Alguns livros do ensino médio ainda escrevem erradamente o seguinte:
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Teorema: Se det (A) ≠ 0, o sistema é determinado.
Se det (A) = 0, o sistema é:
Indeterminado se ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0.
Impossível se ∆ x ≠ 0 ou ∆ y ≠ 0 ou ∆ z ≠ 0 ,
sendo ∆ x , ∆ y e ∆ z os determinantes obtidos, substituindo na matriz
dos coeficientes a coluna da variável pela coluna dos termos
independentes.
Para sistemas de duas equações com duas incógnitas, o resultado é
verdadeiro, mas já para sistemas de três equações e três incógnitas
podemos mostrar que o enunciado não é correto:
Considere
o
sistema
x + y + z = 1

2 x + 2 y + 2 z = 4,
3x + 3 y + 3z = 3
que,
escalonado,
fica
x + y + z = 1

 0y + 0z = 2 .

0z = 0

Da segunda equação, concluímos que o sistema é impossível. Mas:
det(A) =
1 1 1
1 1 1
2 2 2 = 0 , ∆ x = 4 2 2 = 0,
3 3 3
3 3 3
1 1 1
∆y = 2 4 2 = 0
3 3 3
1 1 1
∆ z = 2 2 4 = 0. De acordo com o teorema (?) o sistema é
3 3 3
indeterminado e não impossível, o que o exemplo mostra que é falso.
e
Interpretação geométrica
Um auxílio dispensado pelos livros didáticos é a interpretação
geométrica de um sistema linear, o que é uma pena, pois facilita muito o
entendimento da situação apresentada pelo sistema.
Uma equação do 1o grau com duas variáveis representa, no plano
cartesiano, uma reta, e um sistema de duas equações com duas variáveis
será indeterminado ou impossível se as retas forem paralelas. O sistema é
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indeterminado se as retas são paralelas e coincidentes e impossível se as
retas são paralelas e distintas.
a1x + b1 y = c1
será indeterminado se as retas são
Então, o sistema 
a2 x + b2 y = c2
coincidentes; logo, os coeficientes e os termos independentes serão
proporcionais e então teremos, det (A) = 0, ∆ x = ∆ y = 0. O sistema será
impossível se as retas são paralelas e distintas, logo sem a
proporcionalidade com os termos independentes.
Uma equação do 1o grau com três variáveis ax + by + cz = d
representa, no sistema tridimensional de eixos, um plano. (Ver RPM 32.)
Do mesmo modo que as retas, dois planos são paralelos se os seus
coeficientes são proporcionais e, nesse caso, podemos considerar um
sistema 3 × 3 (formado por três planos paralelos e distintos dois a dois),
com det (A) = 0, e ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 (todos os determinantes têm duas
colunas proporcionais) e impossível (e não indeterminado).
A coleção completa da RPM em
CD-ROM.
Havíamos prometido o CD-ROM da
revista para novembro/01 mas, por
problemas técnicos da empresa
contratada para sua produção, o CD só
estará disponível em fevereiro/02.
A RPM continua recebendo pedidos
de reserva pelo e-mail [email protected]
ou pelo telefone/fax: 11 3818-6124.
A RPM em CD-ROM
está
chegando...
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Os leitores que já fizeram, ou farão,
suas reservas, serão informados da
forma e do período de pagamento, por
e-mail ou por telefone.
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