Série 2 - Feis

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE
SEGUNDA SÉRIE DE EXERCÍCIOS DE ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÃO
I – Vetor de Poynting
1) A terra recebe do Sol 2,2 gcal/min/cm2. Calcular:
a) A intensidade do vetor de Poynting correspondente em W/cm2;
R: S=0,15385 W/cm2
b) A potência liberada pelo sol, admitindo-se que é uma fonte isotrópica (irradia uniformemente em todas as
direções);
R: P=4,2922x1026 W
c) A intensidade do campo elétrico (valor eficaz) na Terra devido à irradiação do sol, admitindo-se que toda a
energia do Sol se encontra em uma única frequência,
R: E=1077 V/m
Dados 1 W=14,3 gcal/min, distância Terra-Sol = 149xa106 Km.
2) Se o vetor de Poynting de uma onda TEM que se propaga num meio sem perdas e com r=4 tem magnitude 100
W/m2, calcular
a) A magnitude do campo elétrico.
R: E = 194,16 V/m
b) A magnitude do campo magnético.
R: H = 1,03 A/m
3) A Comissão Federal de Comunicações (FCC) dos EUA requer uma intensidade mínima de campo igual a 25
mV/m para estações de AM cobrindo áreas comerciais numa cidade.
a) Qual a densidade de potência (W/m2) associada a este campo mínimo?
R: S=8,289x10-7 W/cm2
b) Qual a intensidade do campo magnético mínimo associado (A/m)?
R: H = 6,63x10-5 A/m
4) Num meio isotrópico e não magnético propaga-se um campo elétrico

e  4sen[2x10 7 t  0,8x]. zˆ
a)
[V/m]
Determinar a pemissividade relativa r e a impedância intrínseca do meio .
R: r =14,59, =98,69
b) Calcular o vetor de Poynting médio associado à onda.
R:
c)

S  0,081xˆ W/m2
A potência total que atravessa 100 cm2 do plano 2x+y=5.
R: P=0,7245 mW
5) Uma onda plana propagando-se no ar com 1 GHz e com intensidade de campo elétrico (pico) de 1 V/m incide
normalmente numa larga folha de cobre. Encontre a potência média absorvida pela folha por metro quadrado de
área. Dados do cobre: r = r = 1 e  = 58x107 S/m.
R: S=115 nW/m2
6) Duas ondas planas, com polarização x̂ , diferentes em amplitudes e propagando=se no ar em direções opostas

são superpostas: E  (e  jKz  A e jKz ) xˆ
a) Qual o vetor de Poynting médio associado a cada onda separadamente (uma na ausència da outra) ?
R:


S  1,3x10 3 zˆ W/m2, S  1,3x10 3 zˆ W/m2
b) Idem, para a superposição.
R:

S  1,3x10 3 (1 | A | 2 ) zˆ W/m2

7) Repetir o Exercício 6) para E  (e  jKz  A e  jKz ) xˆ
8) Um receptor de rádio AM (1 MHz) consegue detectar facilmente uma onda com um pico de campo elétrico igual
a 10 mV/m de amplitude.
a) Qual a densidade de potência (W/m2) associada com tal onda?
R: S=1,326x10-7 W/m2
b) Qual a magnitude do pico do campo magnético (A/m) assiciado?
R: H=2,65x10-5 A/m
9) Uma onda plana propagando-se no espaço livre pode ser caracterizada por
a) Esta é uma onda plana uniforme?

E  e  y  j 2 x xˆ .
R: Não
b) Qual a sua frequência?
R: f =95,5 MHz
c) Calcular a potência média.
R: S=1,326x10-3 W/m2
II – Polarização de ondas

10) Um campo elétrico propagando-se no espaço livre é dado por e  50. cos (10 8 t  K .x).yˆ [V/m]:
a) Qual a direção e o sentido de propagação da onda ?
R: direção x̂ , sentido + x̂
b) Qual sua polarização ?
R: polarização ŷ
c) Calcular o valor do vetor de onda k.
R: k=0,33 rad
d) Qual o tempo necessário para onda percorrer uma distância 0/2 ?
R: Δt = πx10-8 s
11) Mostrar que as equações paramétricas para polarização elíptica, e x  E x cos t e e y  E y cos(t  ) ,
conduzem a
 ex

 Ex
2
2
exey
  e y 
 
2
cos   sen 2 


ExEy
  Ey 
12) Mostrar que o ângulo (  que o eixo maior da elipse faz com o eixo x é tal que
tg 2 
2E x E y
E x2  E y2
cos 
13) Mostrar que a superposição de duas ondas circularmente polarizadas, uma à direita e outra à esquerda, e, com
mesmas amplitudes, pode da origem a uma onda linearmente polarizada.
14) Mostrar que uma onda polarizada elipticamente pode ser decomposta em duas componentes polarizadas
circularmente em oposição.

15) Dada uma onda circularmente polarizada E  E1 ( xˆ  jyˆ ) e  jKz propagando-se no ar, obter o campo
magnético associado.

R: H 
E1
[ yˆ  jxˆ ]e  jkz
120

16) Qualquer onda monocromática E pode ser representada como a combinação linear de duas ondas polarizadas





circularmente em oposição: E r  ( xˆ  jyˆ ) e  jKz e E  ( xˆ  jyˆ ) e  jKz . Se E  aEr  bE  j3xˆ  2 yˆ em
z=0, então, quais os valores das constantes complexas a e b?
R: a = j2,5; b = j0,5


17) Esboçar o LG de E , o qual é uma onda de forma E  ( E1 x̂  E2 ŷ.e j ).e  jz que se propaga na direção z, para
os casos abaixo, identificando-se os tipos de polarização:
a) E1=1, E2=2 e =0,
b) E1=1, E2=2 e =,
c) E1=1, E2=1 e =,
d) E1=1, E2=1 e =,
e) E1=1, E2=1 e =.
R: a) linear, b) linear, c) linear, d) circular à esquerda e e) elíptica à esquerda
18) Para cada uma das ondas planas uniformes no vácuo, caracterizadas abaixo, fornecer a direção de propagação, o
comprimento de onda em metros, a frequência (Hz) e o esboço da elipse de polarização:

a) E  3 e jy xˆ ;
R: direção y, λ = 2π m, f = 47,746 MHz

b) E  ( jxˆ  yˆ ) e  j 2z ;
R: direção z, λ = 1 m, f = 3x108 Hz

j 2x
c) H  ( yˆ  zˆ) e
.
R: direção x, λ = 1 m, f = 3x108 Hz
19) Encontrar a polarização (linear, circular ou elíptica) e fornecer o sentido de rotação (à esquerda ou à direita) dos
seguintes campos:

a) E  ( jyˆ  zˆ) e  jKx ;
R: circular à direita

b) E  [(2  j ) xˆ  (3 j  1) zˆ] e jKy ;
R: elíptica à esquerda

c) H  ( xˆ  jyˆ ) e jKz .
R: circular à esquerda
20) Um meio uniforme infinito com e está propagando uma onda plana uniforme, com 1 cm de

comprimento de onda, na direção  ẑ . O produto e  xˆ é máximo em x=y=z=t=0. A onda transporta 1 W/cm2.

a) Se esta onda está polarizada na direção x̂ , então, determinar e ( z, t ) . Qual a expressão do campo complexo


E (z ) ? E a do campo magnético H (z ) ?



R: e  2746 cos(3x1010 t  200z) xˆ V/m, E  2746e  j 200z xˆ V/m, H  7,285e  j 200z yˆ A/m

b) Se esta é circularmente polarizada à direita, então, calcular E (z ) .

R: E  1941,7( xˆ  jyˆ )e  jz V/m
21) Uma onda polarizada circularmente com amplitude E1 se propaga na direção positiva de z com a onda refletida
polarizada circularmente de amplitude E’1.

a) Sendo E  E1 ( xˆ  jyˆ ) e  jKz  E1' ( xˆ  jyˆ ) e  jKz calcular o vetor de Poynting médio;

b) Repetir o item anterior para E  E1 ( xˆ  jyˆ ) e  jKz  E1' ( xˆ  jyˆ ) e  jKz ;
c) Discutir os tipos de terminações em z=0 a fim de se obter esses dois tipos de reflexão.

6
22) Uma certa onda plana no vidro () é caracterizada por E  ( 2 xˆ  yˆ  zˆ) e  j 2 .10 ( y  z ) V/m, onde y e z
são dados em metros.
a) Qual a direção de propagação da onda?
R: direção yˆ  zˆ
b) Qual a frequência (Hz)?
R: f = 212,132x1012 Hz
c) Qual a polarização?
R: linear

d) Avaliar o vetor de Poynting complexo S na origem.
R:

S  5,3x10 3 ( yˆ  zˆ) W/m2
e) Repetir a), b), c) e d) para o caso onde

6
E  e  .10 ( z  j 2 y ) xˆ .
 
23) Um campo elétrico e (r , t ) é circularmente polarizado à direita e se propaga no vácuo na direção  ŷ . Ele tem
um comprimento de onda , e, amplitude de pico e direção especificados por E o xˆ em y=0, t=0.
 
a) Dar o vetor de campo harmônico no tempo E (r ) desta onda;
2

j
y
ˆ
ˆ
R: E  E0 ( x  jz )e  V/m
b) Qual a constante de propagação k e frequência f= em termos dos parâmetros fornecidos?
R: k = 2π/λ
 
c) Determinar H (r ) correspondente.
R:
2

j
y

H 
E0 ( zˆ  jxˆ )e  A/m

d) Determinar o vetor de poynting médio.
R:

E 02
S
yˆ W/m2


24) Considere duas ondas planas com frequência angular  propagando-se na direção  ẑ . Uma está polarizada na
direção x̂ com amplitude Ex, e a outra está polarizada na direção ŷ com amplitude Ey. Encontrar o vetor de


Poynting complexo S (z ) para cada onda e verificar se a soma das partes reais de S (z ) para as duas ondas é igual a

parte real de S (z ) para a onda combinada E x xˆ  E y yˆ . Faça o mesmo para as partes imaginárias.


25) Repetir o exercício anterior no caso onde as ondas são E1  E x1e  jKz e E 2  E x1e  jKz  j . Discutir a
diferença entre as respostas relativamente ao exercício anterior.