1 - do Prof. Alexandre Stamford

The American Economic Review, vol LIX, nº5, dez 1969, pp.817-831.
UMA INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
DA TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
Tradução : Alexandre Stamford
Robert Dorfman*
A teoria do Capital é a economia do tempo.
Sua tarefa é explicar se, e porque, um
instrumento de produção durável terá uma
maior contribuição ao valor do produto,
durante seu tempo de vida útil, do que os
custos para produzi-lo ou adquiri-lo. Ou seja,
ela deduz conclusões normativas e descritivas
sobre o curso temporal da acumulação de
capital por unidades econômicas e da
economia como um todo.
Tradicionalmente, a teoria do capital, como
todos os ramos da economia, era estudada no
contexto de equilíbrios estacionários. Por
exemplo, tanto a condição de equilíbrio
estacionário dos economistas clássicos como o
equilíbrio do período de produção da teoria de
Böhm-Bawerk, descrevem situações nas quais
promover a acumulação de capital não vale a
pena. Um modelo de análise que é tão
limitado não é apropriado para se entender
acumulação de capital e crescimento,1 mas
nenhuma outra técnica parecia disponível na
história da teoria do capital.
Nos cinco últimos anos tem-se percebido,
sem muita definição, que a teoria do capital é
formalmente um problema em cálculo das
variações.2 Mas o cálculo das variações é
considerado um assunto muito áspero por
muitos economistas e, além disso, suas
formulações convencionais parecem muito
rígidas para serem aplicadas em muitos
problemas econômicos. A aplicação dessa
ferramenta conceitual à teoria do capital
permaneceu superficial e esporádica até muito
recentemente, e a teoria do capital permanece
presa pelas limitações dos equilíbrios
estáticos.
*
O autor é Professor da Universidade de Harvard
817
1 Um apontamento mais rigoroso é feito por Joan
Robinson em [9] e em outros lugares.
2 Exemplos notáveis são Hotelling [6] e Ramsey [8].
Tudo isso foi mudado abruptamente na
década passada como resultado da
reapresentação, ou reorientação, do cálculo
das variações, que surgiu em grande parte
pelas exigências impostas pela tecnologia
espacial.3 Na sua versão moderna, o cálculo
das variações é chamado de teoria do
controle
ótimo.
Ela
tornou-se,
merecidamente, a ferramenta central da
teoria do capital e tem dado a última uma
nova vida. Como resultado, a teoria do
capital transformou-se tão profundamente,
que rebatizaram-na de teoria do crescimento,
ela trouxe numerosos e importantes
resultados práticos e teóricos que antes não
poderiam ser formulados.
A tese principal desse paper é que a teoria
do controle ótimo é formalmente idêntica a
teoria do capital, e que seus principais
procedimentos podem ser atingidos por
argumentação estritamente econômica. Essa
tese será sustentada pela obtenção do
principal teorema da teoria do controle
ótimo, chamado o princípio do máximo, por
meios de análises econômicas.
I. A Equação Básica
Para termos um vocabulário concreto,
considere o problema de decisão de uma
firma que deseja maximizar seus lucros totais
em algum período de tempo. Em uma data t,
essa firma terá herdado um certo estoque de
capital e outras condições de seu
comportamento passado. Denote isso por k ( t
) .Com esse estoque de capital, e outras
The American Economic Review, vol LIX, nº5, dez 1969, pp.817-831.
facilidades k, e para aquela data particular t,
a firma está
3 A duas fontes do novo cálculo das variações são R.
Bellman [4] e L.S. Pontryagin, et al. [7]. Bellman enfatizou
primeiramente as implicações de seus trabalhos para
economia.
818
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
em posição para tomar algumas decisões que
podem dizer respeito a taxa de produção,
preço de produção, design de produtos, ou
outras coisas mais. Denote as decisões feitas
em alguma data por x(t). Do estoque de capital
herdado na data especificada junto com as
decisões atuais, a firma obtém uma certa taxa
de benefícios ou um conjunto de lucros por
unidade de tempo. Denote isso por u( k(t),x(t),
t).4 Essa função u determina a taxa a qual os
lucros estão sendo ganhos no tempo t como
resultado de se ter k e de se fazer as decisões
x.
Olhe agora para a situação futura como se
ela estivesse na data inicial t = 0. O total de
lucros que serão ganhos nessa época para
alguma data final T é dado por:
T

W (k 0 , x )   u ( k , x, t ) dt
0
que é simplesmente a soma da taxa a qual o
lucro está sendo ganho a todo instante
descontada para a data inicial (se desejado) e
somada para todos os instantes.5 Nessa

notação, x não simboliza um número
ordinário mas um curso temporal inteiro de
variáveis de decisão x da data inicial até T.
Essa notação afirma que se a firma começa
com um montante inicial de capital k0 e então

segue a política de decisões denotada por x ,
ela obterá um resultado total, W, que é a
integral (a soma contínua) dos resultados
obtidos a cada instante; esses resultados
dependem da data no instante pertinente, do
estoque de capital da época e da decisão
aplicada naquele momento. A firma tem
liberdade, dentro de certos limites, de escolher

o curso temporal da variável de decisão x mas
ela não pode, independentemente, escolher o
montante de capital a cada instante; que é uma
conseqüência do capital na data inicial e do
curso temporal escolhido para as variáveis de
818
4 No resultado nós podemos muitas vezes omitir o
argumento – tempo em pró da simplificação, e assim
escrever simplesmente u( k, x, t ).
5 O argumento t permite a introdução de alguma fórmula
de desconto que deve ser apropriada.
de decisão. Essa restrição é expressa
dizendo-se que a taxa de variação do estoque
de capital num instante qualquer é uma
função de sua posição atual, da data, e das
decisões tomadas. Simbolicamente:6
(1)
dk
k 
 f ( k , x, t ) .
dt
Assim as decisões feitas num tempo qualquer
tem dois efeitos. Elas influenciam a taxa a
qual os lucros são ganhos naquele tempo e
também a taxa a qual o estoque de capital
está mudando e assim o estoque de capital
que estará disponível no instante de tempo
subsequente.
Essas duas fórmulas expressam a essência
do problema de se tomar decisões num
contexto dinâmico. O problema é selecionar

o curso temporal simbolizado por x , assim
como também, fazer o valor total do
resultado, W, tão grande quanto possível
levando em conta o efeito da escolha de x nas
taxas instantâneas de lucro e estoque de
capital que serão transportadas para o futuro.
Esse é verdadeiramente um problema difícil,
e não apenas para principiantes. A
dificuldade essencial é que todo um curso
temporal, de algumas variáveis, tem que ser
escolhido. O cálculo elementar ensina como
selecionar o número mais adequado possível
e atribuí-lo a uma única variável, ou os
números mais oportunos para mais de uma
variável, diferenciando alguma função e
estabelecendo as derivadas parciais iguais a
zero. Mas selecionar um curso temporal mais
adequado é uma matéria inteiramente
diferente e conduz a algumas técnicas
matemáticas muito avançadas. A estratégia
da solução é reduzir o problema que, como
colocado, nos exige achar todo um curso
temporal, para um problema que nos requeira
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
apenas determinar um único número (ou
alguns números), e isso nós sabemos como
fazer pelo cálculo normal.
6 O ponto será usado freqüentemente para denotar uma
taxa de variação com respeito ao tempo.
Essa transformação do problema pode ser feita
de várias maneiras. Uma maneira, que data do
século dezoito, conduz ao cálculo das
variações clássico. Outra maneira, que será
seguida aqui, conduz ao princípio do máximo
da teoria do controle ótimo. Esse método
depende muito da introdução de uma notação
apropriada. Primeiro, introduz-se uma fórmula
para o valor que pode ser obtido pela firma
começando de uma data t arbitrária com
algum montante de capital k e seguindo uma

política de decisão x arbitrária até uma data
final. A fórmula é:
T

W (k t , x, t )   u [ k , x,  ] d
t
que, de certo, é uma generalização da fórmula
de W introduzida previamente.
Agora divide-se W em duas partes. Pense
em um intervalo de tempo curto de tamanho 
começando no tempo t. É para se pensar em 
como sendo tão pequeno que a firma não
mudaria x no decorrer dele, mesmo se ela
pudesse. Então nós podemos escrever:

(2) W (k , x, t )  u (k , xt , t ) 
T
 u [k (t ), x,  ]d
t 
Essa fórmula diz que se o montante de capital
disponível no tempo t é k e se a política

denotada por x é seguida nesse tempo, então
o valor de contribuição a soma total, na data t,
consiste de duas partes. A primeira parte é a
contribuição do pequeno intervalo que começa
na data t. Ela é a taxa a qual os lucros são
ganhos durante o intervalo vezes o tamanho
do intervalo. Ela depende do estoque de
capital atual, da data, e do valor presente da
variável de decisão, denotada aqui por xt. A
819
segunda parte é uma integral da mesma
forma que a anterior mas começando na data
t + . Deve-se notar que o capital inicial
nessa data para essa última integral não é k(t)
mas k(t+). Esse fato, de que o estoque de
capital mudará durante o intervalo da
maneira como é influenciado por xt , terá um
papel muito significante. Nós podemos tirar
vantagem do fato de que a forma da integral
é a mesma rescrevendo a fórmula como:


W ( k , x , t )  u ( k , x t , t )   W ( k t   , x , t  )
onde as mudanças nos subscritos são feitas
cuidadosamente.
Agora, mais algumas notações. Se a firma

conhecesse a melhor escolha de x da data t
em diante, ela poderia segui-la e assim obter
um valor seguro. Nós denotamos esse valor,

que resulta da escolha ótima de x , por V*, da
seguinte forma:

V *(k t ,t)  max W ( kt , x , t ) .

Note que V* não tem x como argumento.

Isso porque x já foi maximizado. O valor
máximo que pode ser obtido começando na

data t com o capital k não depende de x mas
é o valor que pode ser obtido com as

condições da melhor escolha possível de x .
Agora suponha que a política designada por
xt é seguida no intervalo curto de tempo, de t
até t+, e que depois disso a melhor política
possível é seguida. Pela fórmula (2) a
conseqüência dessa política peculiar pode ser
escrita como
V(k t ,x t ,t)  u(k t ,x t , t )  V * (k t   ,t  ) .
Em palavras, isso significa que, os resultados
de seguir tal política são os benefícios que
advêm do período inicial usando a decisão xt
, mais o máximo lucro possível que pode ser
realizado começando-se da data t+, com o
capital k(t+) que resulta da decisão feita no
período inicial.
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
Agora nós chegamos a um problema de
cálculo comum de achar o melhor valor
possível para xt. Se a firma adota esse valor,
então o V da última fórmula será igual a V*. O
cálculo nos ensina que, freqüentemente, uma
maneira efetiva de se descobrir um valor de
uma variável que maximiza uma dada função
é diferenciar a função com respeito a variável
e igualar a derivada parcial a zero. Esse é o
método que nós deveríamos usar. Mas
primeiro nós deveremos tomar alguns
cuidados pois esse método não é infalível. É
completamente possível que as derivadas
parciais anulem-se quando a função não está
maximizada (por exemplo, elas podem se
anular quando a função é minimizada, ou
ainda num turn-point), e não é raro que as
derivadas parciais difiram de zero no máximo.
Nós retornaremos a esses inconvenientes mais
tarde. Por enquanto, nós assumiremos que as
derivadas parciais anulam-se no máximo,
diferenciando V(kt , xt ,t) com respeito a xt ,
obtém-se
(3)
taxa de mudança do capital durante o
intervalo de tempo vezes o tamanho do
intervalo. Relembrando a fórmula (1),
k depende de xt :
k  f ( k , xt ,t ) .
Assim nós podemos escrever
k ( t   )
f

.
xt
xt
Retornando, agora, para o primeiro fator,
V * k . Essa derivada é a taxa a qual o
máximo fluxo de lucro possível no tempo
t+ muda com respeito ao montante de
capital disponível em t+. Ela é, então, o
valor marginal do capital no tempo t+; ou o
montante pelo qual, ocorrendo um
incremento de uma unidade de capital nesse
tempo, o máximo valor possível de W
crescerá. Nós denotamos o valor marginal do
capital no tempo t por (t), definido por

 *

u(k,xt , t ) 
V (k ( t   ),t  )  0 .
x t
x t
O incômodo com essa fórmula, sem falar do
fato que a função V* é ainda desconhecida, é
que nós dissemos para diferenciar V* com
respeito a xt , que não envolve xt
explicitamente. Para fugir disso, note que
k ( t   )
V *
V *

.
xt
k ( t   )
x t
820
V * ( k ,t )
( t ) 
.
k
Inserindo esse resultados na fórmula (3),
nós obtemos
(4)

f
u
 ( t   )
0.
x t
xt
Ambas as expressões merecem uma análise e
nós devemos começar com a segunda. Desde
que nós estamos tratando com um curto
período de tempo nós podemos usar a
aproximação
e além disso, a constante  pode ser
cancelada.
Nós
temos
mais
uma
simplificação a fazer antes de chegarmos a
nossa primeira conclusão importante. O valor
marginal do capital muda gradualmente com
o tempo e assim, para uma aproximação
suficientemente boa,
k ( t   )  k ( t )  k .
( t   )  ( t )  ( t ) .
Isso é, o montante de capital no tempo t+ é
igual ao montante de capital no tempo t mais a
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
Isso é, o valor marginal do capital em t+ é o
valor marginal em t mais a taxa a qual ele está
mudando durante o intervalo vezes o tamanho
do intervalo. Inserindo essa expressão na
equação (4), após cancelar o valor comum ,
obtém-se
f
f
u
 ( t )
 ( t )
 0.
x t
x t
x t
Agora faz-se  aproximar-se de zero. O
Terceiro termo torna-se muito pequeno em
comparação com os outros dois. Desprezandoo, resulta
(5)
f
u
 ( t )
 0.
x t
x t
Esse é o nosso primeiro grande resultado e
constitui-se em metade do princípio do
máximo. Ele tem um sentido perfeitamente
válido para um economista. Ele diz que, ao
longo do curso ótimo da variável de decisão,
num tempo qualquer, o efeito marginal de
curto prazo de uma mudança na decisão é
contra balanceado exatamente pelo efeito
daquela decisão no valor total do estoque de
capital um instante depois. Nós entendemos
que o segundo termo na equação é o efeito
marginal da decisão atual na taxa de
crescimento de capital com o capital valorado
pelo seu valor marginal, . O valor de x, que a
firma deve escolher a todo instante, deve ser
de tal maneira que o ganho marginal imediato
seja exatamente igual ao custo de longo prazo,
que é medido pelo valor do capital
multiplicado pelo efeito da decisão na
acumulação de capital.
Agora suponha que xt é determinado de tal
maneira que satisfaça a equação (5). Na
hipótese de que esse procedimento revela o
valor ótimo de xt , V(kt , xt,,t) deverá então ser
igual a seu valor máximo possível ou V*(k, t).
Assim,
821
V * (k,,t)  u(k,xt , t )  V * (k ( t   ),t  ) .
Agora diferencia-se essa expressão em
relação a k. A derivada do lado esquerdo é,
por definição, (t). A derivação do lado
direito é muito similar ao que nós já fizemos
anteriormente e segue-se que:
u
 *

V (k ( t   ),t  )
k k
u k ( t   )


( t  )
k
k
( t )  
f 
u 
 1   (   )
k 
k 
f
f 2
u

   
   

k
k
k

Nós podemos ignorar o termo em 2 e fazer
os cancelamentos óbvios para obter
(6)
  
f
u

.
k
k
Essa é a segunda maior fórmula do princípio
do máximo e possui uma interpretação
econômica esclarecedora.
Para um matemático,  é a taxa a qual o
valor de uma unidade do capital está
mudando. Para um economista, ela é a taxa a
qual o capital está se valorizando. -  é
portanto a taxa a qual uma unidade de capital
está se depreciando no tempo t.
Consequentemente a fórmula afirma que
quando o curso temporal ótimo de
acumulação de capital é seguido, a queda em
valor de uma unidade de capital num
pequeno intervalo de tempo é a soma de sua
contribuição para os lucros realizados
durante o intervalo com sua contribuição
para aumentar o valor do estoque de capital
até o fim do intervalo. Em outras palavras,
uma unidade de capital perde valor ou
deprecia-se com o passar do tempo por uma
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
taxa a qual sua contribuição potencial para os
lucros torna-se sua contribuição passada.
Esse achado é remanescente da figura de
linguagem empregada pelos teóricos do capital
no século dezenove. Eles diziam que um bem
de capital incorporava um certo montante de
valor que ele emprestava gradualmente aos
bens que eram feitos com a sua ajuda. Que é
exatamente o que está funcionando aqui. Cada
unidade de bem de capital está gradualmente
decrescendo em valor a precisamente a mesma
taxa a qual ela está dando acréscimo aos
produtos que têm valor, a cada bem vendido
ou armazenado para o futuro em capital
acumulado. Nós podemos também interpretar
-  como a perda que deve ser incorrida se a
aquisição de uma unidade de capital foi adiada
por um curto período.
II. O Princípio do Máximo
Fomos conduzidos a construir então uma
função auxiliar ou Hamiltoniana
H  u(k,x, t )  ( t ) f(k , x , ,t) ,
e obter sua derivada parcial com respeito a x, e
fazê-la igual a zero, isso é, maximizá-la. Essa
construção tem uma significância econômica
substancial. Se nós imaginarmos H
multiplicado por , nós podemos ver que ele é
a soma dos lucros totais obtidos no intervalo 
mais o acumulado de capital durante esse
intervalo, valorado por seu valor marginal. H
é assim a contribuição total das atividades
executadas no intervalo , incluindo tanto sua
contribuição direta a integral de W, quanto o
valor do capital acumulado durante o
intervalo. Naturalmente, então, a variável de
decisão x durante o intervalo corrente deve ser
escolhida de maneira a fazer H tão grande
quanto possível. É por essa razão que o
procedimento que nós estamos descrevendo é
chamado de princípio do máximo. Uma
maneira simples, e freqüentemente efetiva de
se fazer isso, é escolher um valor da variável
822
de controle para o qual a derivada parcial se
anule, como nós fizemos antes.
Em adição, nós também teremos que fazer
a derivada parcial de H com relação a k e
igualar essa a -  . O sentido dessa operação
pode ser melhor visualizado de um
Hamiltoniano modificado,
d
k
dt
 u(k,x, t )  k  k
H *  u(k,x, t ) 
H* é a soma dos lucros realizados durante
um intervalo de comprimento  e o
acréscimo no valor do estoque de capital
durante o intervalo, ou em outro sentido, o
valor da contribuição total das atividades
durante o intervalo para os lucros presentes e
futuros.7Se nós maximizarmos formalmente
H* com respeito a x e k nós obteremos:
u

x
u

k
f
0
x
f 
   0,
k
que são as equações (5) e (6).
Na verdade, a firma não pode maximizar
H* com respeito a k desde que k não é uma
variável sujeita a escolha. Mas agora nós
vemos que as equações (5) e (6) aconselham
a firma a escolher o curso temporal de x e 
de tal forma que os valores resultantes de k
são os únicos que ela escolheria, se ela puder
fazer isso, para ter a soma dos lucros e o
incremento no valor do capital tão grande
quanto possível em cada pequeno intervalo
de tempo.
Como nota técnica, a respeito da
diferenciação de H, o valor marginal  não é
considerado como uma função de x e k, mas
como um curso temporal separado que deve
ser determinado otimamente.
Agora temos diante de nós a idéia do
princípio do máximo. Existe naturalmente
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
muito mais no método que essas duas
fórmulas. Uma boa quantidade de elaboração
matemática é requerida antes que as duas
fórmulas possam ser interpretadas, e nós
indicaremos depois algumas das complicações
que podem surgir. Mas existe uma
característica adicional que tem que ser
mencionada antes de nós finalizarmos o
tratamento dos fundamentos. Isso diz respeito
a condições de fronteira; por exemplo, o
montante de capital disponível no início do
período planejado e o montante requerido para
se ter na data final.
Para ver como essa limitação nos dados
afeta a solução do problema, considere agora
7
H* difere de H porque inclui ganhos de capital
a maneira como as três fórmulas básicas
operam. Elas são:
(I)
k  f ( k , x , t )
(II)
f
u

0
x
x
f
u

 
k
k
(III)
A primeira delas é parte dos dados do
problema. Ela especifica como o capital cresce
a ca-da instante como o resultado de sua
posição atual e das escolhas feitas. As outras
duas fórmulas são os resultados principais do
princípio do máximo. A fórmula (II) diz que a
variável de escolha a cada instante deverá ser
selecionada de tal maneira que os ganhos
marginais imediatos fiquem em equilíbrio com
o valor da contribuição para a acumulação do
capital. A fórmula (III) diz que o capital se
deprecia a mesma taxa que ele contribui para
os produtos úteis.
As três fórmulas são convenientemente
escritas e relembradas em termos do
Hamiltoniano. Nessa forma elas são:
(I’)
H 
k

(II’’)
(III’’’)
823
H
0
x
H
  .
k
Note o papel recíproco que k e  têm nessas
equações. A derivada parcial de H com
respeito a cada um é simplesmente
relacionada a derivada em relação ao tempo
do outro.
Essas três fórmulas em conjunto
determinam completamente os cursos
temporais da variável de escolha (decisão),
do estoque de capital e do valor do capital.
Nós começaríamos no tempo zero com um
certo estoque de capital. Agora olhe para a
fórmula (II) escrita mais explicitamente:
(II)


u( k , x , t )  ( t )
f ( k , x,t )  0 .
x
x
Com k e  conhecidos, essa fórmula
determina o valor de x, a variável de
decisão.8Colocando esse valor na fórmula (I)
nós obtemos k , a taxa a qual o estoque de
capital está mudando. Colocando ele na
fórmula (III) nós obtemos similarmente  a
taxa a qual o valor de uma unidade de capital
está mudando. Assim nós conhecemos o
estoque de capital e o valor de uma unidade
de capital um curto período de tempo depois.
Usando esses novos valores, nós podemos
repetir nossas substituições nas três fórmulas
e assim achar, sucessivamente, um novo
valor para a variável de escolha, uma nova
taxa para mudança no estoque de capital e
uma nova taxa para a mudança no valor do
capital. Repetindo esse ciclo novamente
repetidas vezes, nós podemos traçar a
evolução de todas as variáveis do tempo zero
até o tempo T.
Em resumo, essas três fórmulas,
trabalhando juntas, determinam os cursos
ótimos de todas as variáveis começando de
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
alguma posição inicial dada. Em outro
sentido, então, o problema da escolha de um
curso ótimo foi reduzido a um problema muito
simples, o problema de escolher um valor
inicial ótimo para o valor de uma unidade de
capital. Isso não é de modo algum um
problema fácil, mas obviamente é mais fácil
que achar todo um curso ótimo sem a ajuda
dessas fórmulas.
III. As Condições de Contorno
Nós podemos agora mencionar o papel das
condições de contorno. Elas são de dois tipos.
A condição inicial descreve o estado da firma
ou da economia para a data inicial, t =0.
8
Algumas complicações matemáticas surgem aqui. Nós
assumimos que com k,  e t dados, a fórmula (II) é satisfeita
por um único valor de x.
Em particular ela estabelece o estoque inicial
de capital. As condições finais prescrevem os
valores de algumas, ou de todas, as variáveis
na data final, t = T. Por exemplo, o problema
pode requerer que a firma tenha em mãos pelo
menos algum estoque de capital especificado,
digamos K , para a data final, que pode ser
imposto incluindo k( T )  K nas condições do
problema. Ou, novamente, se o problema é
estritamente de maximização de lucros
durante um intervalo finito, 0 a T, é claro que
o capital em mãos no tempo T não pode
contribuir para esse objetivo; sua existência é
muito tardia para ter alguma serventia em T.
Tal problema faz surgir a condição final
( T )  0 .
Agora nós vimos que as três equações (I),
(II), (III) juntas determinam toda evolução de
x, k e  , uma vez que os valores iniciais
foram preestabelecidos. Em particular, elas
determinam os valores finais. Nós temos
apenas 9 que determinar um conjunto de
valores iniciais que conduzem a valores finais
aceitáveis para encontrar um curso temporal
completo que satisfaça as condições
necessárias de otimalidade. No nosso
exemplo, como o estoque de capital é dado, o
824
valor inicial crítico a se determinar é ( 0 ) , o
valor marginal do capital no tempo inicial.
As três fórmulas básicas, aparentemente
abstratas, de fato constituem uma solução
construtiva para o problema da escolha de
um curso temporal ótimo. Elas são uma
solução, a princípio, do problema da
acumulação de capital ótima.
Nós agora encontramos que a velha
técnica adaptada de equações marginais,
usada com pouca ingenuidade, conduz ao
princípio do máximo, que é o teorema
fundamental da teoria do controle ótimo.
IV. Um Exemplo
Um conhecido e simples exemplo da
aplicação desse princípio a um problema
econômico
9 Apenas! Reputações foram construídas para resolver
esse problema em importantes instâncias.
é a obtenção do curso temporal socialmente
ótimo da acumulação de capital para uma
economia de um setor com um crescimento
populacional exponencial e uma produção
com retornos constantes de escala.10
Vamos estabelecer a seguir alguma
notação e dados. N(t) é a população na data t.
Como a população cresce exponencialmente,
à taxa n, digamos,
N ( t )  N ( 0 )e nt .
Ela adquirirá menos desordem se nós
assumirmos N(0) = 1 (medido em centenas
de milhões de pessoas). Denote o consumo
per capta por c e a utilidade desfrutada por
uma pessoa consumindo à taxa c por u(c). A
utilidade total desfrutada por todas as
pessoas vivas no tempo t com consumo per
capta à taxa c é
e nt u( c ) .
Seja  a taxa social de preferência temporal
(isso é, a taxa de desconto).
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
Então a importância no tempo 0 do
consumo realizado no tempo t é
(7)
e
 t
e u( c )  e
nt
( n   )t
Finalmente, elimina-se K notando-se que:
d K K  K N 
k 
   
dt N N  K N 
 K

 k 
 n 
 Nk

 f ( k )  c  k  nk
u( c ) .
O objetivo social defendido para uma
sociedade com horizonte de tempo T
(concebidamente infinito) é maximizar
(9)
 f ( k )  c  ( n   )k .
T
(8)
W   e ( n   )t u( c )dt ,
0
ou a soma das utilidades desfrutadas entre 0 e
T.11
O consumo é limitado pelo produto e o
produto pelo estoque de capital. Denote K(t)
como o estoque de capital na data t e
As equações (8) e (9) constituem nosso
exemplo simples. A equação (9) é um
exemplo da equação (I). Para obter a equação
(II), diferencie as equação (7) e (9) com
respeito a variável de decisão, c:
 ( n   )t
e
u( c )  e ( n   )t u' ( c ) .
c
10
Uma discussão extensiva de um modelo muito similar
pode ser achado em Arrow [1].
11 É melhor assumir  > n ou a integral será infinita para T
= .
k(t)=K(t)/N(t) como capital per capta. Em
virtude dos retornos constantes de escala, nós
podemos escrever a função de produção da
economia como
Y ( t )  N ( t ) f ( k ( t )) ,
ou, omitindo o tempo,
Y  Nf ( k )  e nt f ( k ) .
O investimento bruto iguala-se ao produto
menos o consumo, ou Y – Nc. A rede de
investimentos iguala-se ao investimento bruto
menos a depreciação física. Suponha que o
capital físico deteriora-se a uma taxa  por
unidade por ano de maneira que a taxa total de
degeneração do estoque de capital, quando ele
é K, é K. Então a rede de acumulação de
capital é
K  Y  Nc  K  N ( f ( k )  c )  K
 N ( f ( k )  c )  Nk
 N ( f ( k )  c  k )
825

[ f ( k )  c  ( n   )k ]  1.
c
Consequentemente a equação (II) é:
(10)
e ( n   )t u' ( c )    0 ,
ou o valor de uma unidade no tempo t é a
utilidade marginal do consumo nesse tempo,
ajustada pelo crescimento da população e
pela taxa de preferência pelo tempo (taxa de
desconto).
A equação (III) é obtida similarmente
diferenciando as equações (7) e (9) com
respeito a k. Isso resulta em:
   0   [ f ' ( k )  ( n   )] ,
ou
(11)
f' ( k )  n  

.

A equação (10) pode ser usada para eliminar
a variável desconhecida . Diferenciando-a
em relação ao tempo:
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
u' ' ( c ) dc

.
 n 

u' ( c ) dt
Substituindo em (11):
f' ( k )    
com alguma clareza desenhado-se um
diagrama de fase como mostrado na Figura 1.
Nós encontramos que as taxas de mudança de
k e c podem ser escritas como:
k  f ( k )  ( n   )k  c ,
u' ' ( c ) dc
.
u' ( c ) dt
Essa é nossa equação final para o curso ótimo
de acumulação do capital. Ela afirma que ao
longo de tal curso a taxa de consumo a cada
momento deve ser escolhida de tal maneira
que a produtividade marginal do capital seja a
soma de três componentes:
(1) , a taxa social de preferência pelo
tempo (a taxa de desconto)
(2) , a taxa de depreciação física do
capital, e
(3) o termo mais estranho considerado que,
contudo, é simplesmente a taxa
percentual a qual o custo psicológico
de poupar diminui através do tempo.
Isso pode ser visto notando que o custo
psicológico de poupar num tempo
qualquer é u’(c), sua taxa temporal de
mudança é u’’(c)dc/dt, e sua taxa
temporal percentual de mudança é o
negativo do terceiro termo na soma.
Em outras palavras, ao longo do curso
ótimo de acumulação, a contribuição marginal
de uma unidade de capital ao produto durante
um curto intervalo de tempo, deve ser
exatamente suficiente para cobrir os três
componentes de custo social de processar
aquela unidade de capital, que são a taxa
social de preferência pelo tempo (taxa de
desconto), a taxa de deterioração física do
capital e o custo psicológico adicional de
poupar uma unidade no começo do intervalo
preferivelmente que no fim. Todos eles são
expressos em percentuais por unidade de
tempo, que também é a dimensão da
produtividade marginal do capital.
A evolução dessa economia ao longo de seu
curso ótimo de desenvolvimento pode ser vista
826
(9)
c 
u' ( c )
[     f ' ( k )].
u' ' ( c )
Assim k  0 sempre que c e k satisfaçam a
equação
c  f ( k )  ( n   )k .
Na Figura 1, k está no eixo horizontal e c no
eixo vertical. A curva rotulada k  0 mostra
combinações de c e k que satisfazem essa
equação. Ela tem uma forma puxada para
frente por causa das hipóteses convencionais
de que a produtividade marginal do capital é
positiva mas decrescente (isso é, f’(k)>0,
f’’(k)<0), e a hipótese mais plausível de que
para níveis mais baixos de capital por
trabalhador, f’(k)>n+. Nós também
assumimos que não é possível produzir nada
com nenhum capital, isso é, f(0) = 0. Se o
consumo per capta é menor que a taxa no
local descrito, o capital per capta cresce
( k  0 ). Acima do local k  0 .
c  0
c
k  0
B
C
A
k
Figura 1
Similarmente , o consumo per capta não
muda ( c  0 ) se
f’(k)=   .
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
A linha vertical na Figura 1, rotulada de c  0 ,
é desenhada para esse nível de k. Se nós
aceitamos as hipóteses usuais de utilidade
marginal positiva mas decrescente u’(c)>0,
u’’(c)<0. Então c  0 , isso é, o consumo per
capta cresce, do lado esquerdo dessa linha. A
razão é que com níveis mais baixos de capital
per capta o montante depreciado é menor e o
montante de capital necessário para equipar o
incremento da população com o nível de
capital per capta atual também é menor.
Essas considerações permiti-nos descrever
qualitativamente as leis de movimento do
sistema. Imagine um nível de capital per capta
inicial baixo, representado pela linha vertical
tracejada no diagrama. Toda a evolução do
sistema é determinada pela escolha do nível
inicial de consumo per capta. Se um nível
inicial baixo é escolhido, tal como no ponto A
na figura, tanto o consumo quanto o capital
per capta cresceram com o tempo, seguindo a
reta que parte do ponto A. Mas quando o nível
de capital per capta alcança o nível crítico, o
consumo per capta começará a baixar embora
o nível de capital per capta continue a crescer.
Essa é uma política de generosidade inicial no
consumo seguida por abstinência crescente
planejada, presumivelmente para atingir algum
desejado nível final de capital per capta.
Similarmente, o curso que parte do ponto B
representa uma política de consumo per capta
continuamente crescente, com o capital sendo
acumulado inicialmente e eventualmente
sendo consumido. Os outros cursos
desenhados têm interpretações similares.
O curso originado do ponto C é de interesse
particular. Ele conduz à interseção das duas
curvas críticas, o estado fixo do sistema no
qual nem o consumo nem a renda per capta
mudam. Embora nesse ponto todos os valores
absolutos cresçam exponencialmente à taxa
comum n.
Agora vimos que se o capital per capta
inicial é dado, todo o curso da economia está
determinado pela escolha do nível inicial de
827
consumo per capta. Essa escolha determina,
entre outras coisas, o montante de capital per
capta numa data especificada.12 Se as
condições do problema prescrevem um
montante particular de capital em alguma
data, o c inicial deve ser o único curso que
conduz ao ponto especificado. Se não
existem tal prescrição para acumulação do
capital, o c inicial será o único que esgota o
estoque de capital na data final sobre
consideração. E se não existe data final (isso
é, T= ) o problema torna-se muito difícil
matematicamente e, na verdade, a teoria da
otimização com um horizonte de tempo
infinito não está mas completamente
fundamentada. Mas, nesse simples caso, nós
podemos ver que a única solução possível é
um curso que se origina no ponto C e termina
no ponto onde c  k  0 . Pois, a figura
mostra que todos os outros cursos que
satisfazem as condições de otimização
conduzem eventualmente a situações em
que
12
A posição da economia numa data particular não pode
ser lida fora do plano de fase.
ou c ou k é negativo. Como tais cursos não
podem ser realizados, o único caminho de
otimização viável é aquele que se dirigi a
c  k  0 .
Esse é um resultado bem característico de
um problema de horizonte infinito: os cursos
de crescimento ótimo, sobre muitas
condições, dirigem-se à situação em que o
consumo e o estoque de capital crescem
exponencialmente à taxa determinada pela
taxa de crescimento da população e a taxa do
progresso tecnológico (aqui assumida igual a
zero), exatamente como nesse caso.
Para problemas de horizonte finito, podese mostrar que na data final mais remota
considerada, no final o curso se dirigirá para
a posição do estado imutável ( c  k  0 ) indo
antes ou para um alto consumo ou para uma
alta acumulação de capital dependendo do
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
caso. Essa é uma
“turnpike”.
versão do teorema do
Esse problema é resolvido estabelecendose a função Lagrangeana
n
IV. Obtenção via Maximização Finita
Aqueles que desconfiam da habilidade, e de
argumentos intuitivos, como eu, devem achar
mais confortante ver os mesmos resultados
deduzidos por um método mais familiar de
maximização sujeita a um número finito de
restrições. Suponha que o período total de T
meses seja dividido em n subperíodos de m
meses cada. u( xt , kt , t) denota então a taxa a
qual os lucros estão sendo ganhos, ou outros
benefícios estão sendo obtidos, durante o téssimo subperíodo, com xt sendo o valor da
variável de decisão durante aquele subperíodo,
e kt o valor da variável de estado no começo
desse subperíodo. Como o subperíodo tem
duração de m meses, o lucro total ganho é u( xt
, kt ,t)m.
A taxa de mudança da variável de estado
durante o t-éssimo período é f( xt , kt ,t). Então
os valores da variável de estado no começo
dos subperíodos sucessivos são relacionados
pela equação
(12)
k t 1  k t  f ( xt , k t , t )m .
Finalmente, a versão finita do nosso problema
é escolher 2n valores, xt , kt de tal maneira
que maximize o lucro total sobre o período
total,
L   u( x t , k t , t )m
t 1
n
   t [ k t  f ( x t , k t , t )m  k t 1 ] .
t 1
  0 [ K 0  k1 ]   [ k n 1  K T ]
E fazendo cada uma de suas derivadas
parciais iguais a zero. Os símbolos gregos na
fórmula são os multiplicadores de Lagrange,
um para cada restrição. Nós deveremos
interpretá-los depois de terminarmos nossos
cálculos.
A mesma expressão do Hamiltoniano que
nós encontramos no começo está começando
a emergir, assim é conveniente escrever
H ( xt , k t , t )  u( xt , k t , t )  t f ( xt , k t , t )
e
n
n
1
1
L  m H ( x t , k t , t )    t ( k t  k t 1 )
  0 ( K 0  k1 )  ( k n 1  K T ).
Agora diferenciando e igualando as derivadas
a zero:
L

m
H ( xt , k t ,t )
x t
x t
(13)
 [ u1 ( x t , k t , t )   t f 1 ( x t , k t , t )] m  0
para t  1, 2  , n ,
n
 u( xt , k t , t )m .
t 1
Sujeito às n restrições (12), e para algumas
condições de contorno que devem ser
aplicadas. Para ser específico, suponha que os
valores iniciais e finais para a variável de
estado são previamente estabelecidos. Isso faz
aparecer as condições
k1  K 0
k n 1  K T
828
que é análoga a equação (5). E
L

m
H ( x t , k t , t )   t   t 1  0
k t
k t
ou
(14)

 t   t 1
 u 2 ( xt , k t ,t )
m
  t f 2 ( x t , k t , t ), para t  1,  , n,
que é a análoga discreta da equação (6).
Finalmente
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
L
   n    0.
k n 1
Assim,    n e pode ser esquecido.
Essas equações são aplicáveis a problemas
nos quais o tempo é considerado como uma
variável discreta. Os multiplicadores de
Lagrange têm suas interpretações usuais. Em
particular, t é o montante pelo qual o valor
n
máximo atingível de
 u( x , k
t 1
t
t
, t )m será
acrescido se uma unidade adicional de capital
tornou-se disponível por mágica no final do téssimo período. Em outras palavras, t é o
valor marginal do capital em mãos na data mt.
As condições de maximização achadas
previamente devem ser o limite dessas
equações quando m tende para zero e n para
infinito, e elas são. Para mostrar isso, nós
precisamos revisar ligeiramente nossa notação.
As variáveis subscritas agora denotam os
valores que as variáveis têm no t-éssimo
período. Quando m muda, as datas incluídas
no t-éssimo período também mudam. Assim
nós precisamos de símbolos para os valores
das variáveis para uma data fixa. Para esse
fim,  denotará uma data e x(), por exemplo,
o valor de x nessa data. A conexão entre xt e
x() é fácil. Uma data  está em um subperíodo
numerado t onde t é dado por
t  1 [ / m ] .
Nessa fórmula, [ ] é uma antiga notação usual
que significa “parte inteira de”. Por exemplo:
[3,14159]= 3. Então x() é denotado por
x(  )  x1 [  / m ] ,
e similarmente para as outras variáveis. As
equações (13) e (14) podem agora serem
escritas em termos de  :
(15)
u1 [ x(  ), k(  ), ]  t f 1 [ x(  ), k(  ), ]  0,
829
(16)
(  )  (   m )

 u 2 [ x(  ), k(  ), ]
m
 (  ) f 2 [ x(  ), k (  ), ].
Note na equação (16) que  t 1 foi trocado
por  (   m ) , refletindo que o começo dos
intervalos são m meses separadamente.
A equação (15) é idêntica à (II). Quando m
aproxima-se de zero, o lado esquerdo da
equação (16) aproxima-se de  (  ) ,
fazendo por garantia que ela se aproxima
como um limite e aplicando a definição de
derivada. A equação total, portanto,
aproxima-se da equação (III). A equação (I) é
similarmente e obviamente a forma limite da
equação (12).
Assim, as equações básicas do princípio
do máximo são vistas como formas limites
das condições necessárias de primeira ordem
para um máximo aplicado ao mesmo
problema, e as variáveis auxiliares do
princípio do máximo são os valores limites
dos multiplicadores de Lagrange.
VI. Qualificação e Extensão
Todo
esse
desenvolvimento
foi
excessivamente
informal,
posto
generosamente. O cálculo das variações é
uma matéria difícil e delicada, de forma que
sempre foi feita uma escolha entre especificar
corretamente uma proporção, com todas as
qualificações que ela merece, e especificá-la
forçosa e claramente de tal maneira que a
idéia essencial possa ser compreendida
facilmente. A alternativa mais inteligível foi
escolhida nesse paper pois todos os teoremas
foram
rigorosamente
provados
e
estabelecidos na literatura.13 Essa escolha,
quando ela ocorre, tem um obstáculo especial
no presente contexto porque muitas das
virtudes do princípio do máximo reside
precisamente nas qualificações que foram
suprimidas: ele é válido sob condições mais
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
gerais do que os métodos clássicos que
produzem quase os mesmos teoremas.
Como um exemplo do modo alternativo de
exposição, nossas principais conclusões
podem ser estabelecidas mais formalmente e
corretamente como segue:14
TEOREMA 1. Pede-se para achar um curso
temporal de uma variável de controle x(t) de
tal maneira que maximize a integral
T
 u [ k( t ), x( t ), t ] dt ,
0
onde
dk
 f [ k ( t ), x( t ), t ] ,
dt
onde k(0) é preestabelecido, e onde requerse que k( T )  K . Assume-se que as funções
u(k, x, t) e f(k, x, t) são duas vezes
continuamente diferenciáveis (são de classe
C2) com respeito a k, diferenciável com
respeito a x, e contínua com respeito a t. Então
se x*(t) é uma solução a esse problema, existe
uma variável auxiliar  ( t ) tal que:
13
Por exemplo, em Arrow and Kurz [3] e Halkin [5] .
O teorema dado é uma adaptação do de Arrow[2],
Proposições 1 e 2. Teoremas mais elaborados podem ser
achados nessa fonte.
14
(a) Para cada t, x*(t) maximiza
H [ k ( t ), x( t ), ( t ), t ] onde
H ( k , x ,  , t )  u( k , x , t )  f ( k , x , t ) ;
d
H

(b)  ( t ) satisfaça
avaliado
dt
x
para k=k(t), x=x*(t),    ( t ) ; e
( T )  0
(c) k( T )  K ,
,
( t )[ k( T )  K ]  0 .
Esse teorema aplica-se ao tipo de problema
que nós estávamos considerando, com a
elaboração útil de que um limite inferior foi
imposto no valor final da variável de estado, k.
A parte (c) da conclusão, chamada de
condição de transversalidade, resulta desse
830
requerimento adicional. Ela afirma que o
valor final da variável auxiliar não pode ser
negativo e que será zero se, no final do curso
ótimo, k(T) exceder o valor requerido.
A principal diferença entre esse enunciado
formal e nossas prévias conclusões residi na
conclusão (a) do Teorema. A afirmação de
que a função Hamiltoniano, H, é maximizada
a cada instante de tempo não é o mesmo que
afirmar que suas derivadas parciais
desaparecerão, como feito em nossas
equações (II) e (II’). Igualar as derivadas
parciais a zero não é nem necessário nem
suficiente para maximização, embora seja
especialmente
esclarecedora
para
os
economistas, quando é apropriada, porque
condições nas derivadas parciais traduzem-se
prontamente em igualdades marginais.
Existem três complicações que podem fazer o
desaparecimento das derivadas parciais uma
indicação inadequada da localização de um
máximo.
Primeira, existem as chamadas condições
de ordem maior. As derivadas parciais de
primeira ordem podem zerar para um mínimo
ou para um ponto de cela bem como para um
máximo. Para se prevenir contra essas
possibilidades, as derivadas parciais de
segunda ordem, e outras de ordem maior,
devem ser levadas em conta.
Segundo, o desaparecimento das derivadas
parciais, mesmo quando as condições de
ordem mais altas são satisfeitas, estabelece
apenas um máximo local. Isso não impede
que possa existir algum outro valor das
variáveis, a uma distância finita, para a qual a
função será maximizada tendo um valor mais
alto ainda. Para realçar esse ponto, uma
inspeção global é melhor que inspeções
apenas em diferenciais ou propriedades locais
das funções envolvidas.
Finalmente, onde a faixa de variação das
funções envolvidas é limitada de alguma
maneira, o máximo deve ser atingido num
ponto onde as derivadas parciais não
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
desapareceram. Isso ocorre freqüentemente em
aplicações econômicas, como estamos
familiarizados, em programação linear. Por
exemplo, deve ser ótimo para uma firma com
grandes possibilidades de crescimento reduzir
seus dividendos a zero, embora dividendos
negativos não sejam permitidos. Em termos
das nossas fórmulas isso será indicado
achando
H
 0 para todo x t  0 ,
x t
onde xt denota pagamento de dividendos por
ano no tempo t. H deve ser maximizado
escolhendo-se xt =0, seu menor valor
permissível, apesar das derivadas parciais não
serem zero.15 Esse máximo não pode ser
encontrado pelos métodos comuns do cálculo.
Outros métodos, com certeza, estão
disponíveis como esse da programação
matemática. E é exatamente nessas
circunstâncias que o princípio do máximo
produz teoremas mais elegantes e manejáveis
que o velho cálculo das variações, que é o
parente mais próximo do cálculo diferencial.
Por todas essas razões, a condição
fundamental para um curso de crescimento
ótimo é a maximização de H(k, x,, t) a todo
momento de tempo, e o desaparecimento de
H
é apenas dispositivo seguro mas
x
imperfeito para se localizar esse máximo. Ele
é, no entanto, um dispositivo muito
esclarecedor
15
Tecnicamente isso é chamado de “solução de canto”.
e contém o conceito essencial da matéria,
motivo pelo qual nos concentramos nele.
Em toda a discussão nós tentamos ser
ambíguos sobre a natureza exata dos cursos
temporais, x(t) e k(t). Nós tratamos x e k como
se elas fossem variáveis unidimensionais, tal
como a quantidade de capital ou a taxa de
consumo. Em muitos problemas econômicos,
porém, existem várias variáveis de estado e
várias variáveis de escolha (decisão). Em tais
problemas, é proveitoso pensar em x(t), k(t),
831
suas derivadas, e assim por diante, como
vetores. Então  ( t ) também deve ser visto
como um vetor, com um componente para
cada componente de k(t). Quando toma-se
esse ponto de vista, todas as nossas
conclusões e também o teorema são
aplicáveis quase sem mudança na notação.
Isso porque nós fomos ambíguos: é mais fácil
pensar com números ordinários, mas nossas
conclusões e também muitos dos nossos
argumentos são aplicáveis quando as
variáveis são vetores.
A última observação cultiva algumas
novas possibilidades importantes. Muitos
problemas econômicos dizem respeito a
cursos
temporais
de
variáveis
interconectadas. Por exemplo, um problema
pode tratar com cursos de crescimento do
consumo (c), investimento (i), gastos
governamentais (g), e renda (y) em uma
economia. Essas quatro variáveis podem ser
consideradas como quatro componentes de
um vetor de decisão, x, conectados pela
identidade da renda c(t) + i(t) + g(t) = y(t).
Então o problema de otimizar o curso de
crescimento requer que sejam achados os
cursos ótimos de crescimento para essas
quatro variáveis (e talvez outras) que
satisfaçam a identidade da renda.
A nova característica que nós encontramos
é a introdução de restrições ou condições
laterais nos valores das variáveis de decisão.
A mesma linha de raciocínio que nós usamos
pode ser usada, com apenas uma
modificação, a de que, quando a função V(k,
xt , t) é maximizada, o vetor xt tem que ser
escolhido de maneira a satisfazer todas as
condições laterais. A álgebra torna-se um
pouco mais complicada mas conduz a
conclusões como as discutidas acima e com a
mesma importância econômica. Em 1968,
Kenneth Arrow deduziu uma versão lúcida
do enunciado formal do teorema aplicável a
problemas nos quais as variáveis de decisão
são restritas. Veja [2, Proposição 3, p.90]. De
DORFMAN : TEORIA DO CONTROLE ÓTIMO
fato, esse argumento, também, presume
aquelas circunstâncias em que as próprias
derivadas parciais zeram para um máximo.
REFERÊNCIAS:
[1] K. J. ARROW, “Discounting and Public Investment Criteria,” in A. V. Kneese and S. C.
Smith, eds. Water Research, Washington
1966, pp. 13-32.
[2]______, “Applications of Control Theory to
Economic Growth ,” American Mathematical
Society, Mathematics of the Decision Sciences, Part 2. Providence 1968, pp. 85-119.
[3]______, AND M. KURZ, Public Investment,
the Rate of Return, and Optimal Fiscal Policy.
Stanford University Institute for Mathematical
Studies in the Social Sciences, 1968.
[4] R. BELLMAN, Dynamic Programming.
Princeton 1957.
[5] H.HALKIN, “On the Necessary Condition
for Optimal Control of Nonlinear Systems,”
Journal D’Analyse Mathêmatique, 1964, 12,
1-82.
[6] H. HOTELLING, “A General Mathematical
Theory of Depreciation,” J. Amer. Statist. Ass.,
Sept. 1925, 20, 340-53.
[7] L. S. PONTRYAGIN, V. G. BOLTVANSKII, R.
V. MISHCHENKO, The Mathematical Theory of
Optimal Processes,(tr. By K. N. Trirogoff).
New York 1962.
[8] F. P. RAMSEY, “A Mathematical Theory of
Saving,” Econ. J. Dec. 1942, 38, 543-59.
[9] J. ROBINSON, The Accumulation of Capital.
Homewood, 1956.
832