Livro de Fisica - Vamos Estudar Física

Nívio Bernardo
Vamos estudar Física
Introdução à Física
2ª Edição
Recife-PE
2011
Vamos Estudar Física
Copyright2006 by Nívio Bernardo
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Editor
Tarcísio Pereira
Editor Assistente
Maria do Carmo de Oliveira
Diagramação
Regina Coeli Pereira de Castro e Silva
Capa
Khayto Kramer
Revisão
Maria Creusélia Sousa e Nayane Bernardo
B523v
Bernardo, Nívio, 1958Vamos estudar física: introdução à física / Nívio Bernardo. – Recife : Ed. do Autor, 2004.
145p. : il.
ISBN 978-85-7716-765-4
1. FÍSICA. 2. FÍSICA – PROBLEMAS,
EXERCÍCIOS, ETC. 3. MECÂNICA. I. Título.
CDU 53
CDD 530
PeR-BPE
Editora Livro Rápido – Grupo Elógica
Rua Dr. João Tavares de Moura, 57/99 Peixinhos
Olinda-PE CEP: 53230-290
Fone: (81) 2121.5300 Fax: (81) 2121.5333
www.livrorapido.com.br
2
Vamos Estudar Física
Sumário
Capítulo 1-Por que estudar Física?
1-Introdução à Física
2-Como nasce uma Pesquisa Científica
3-Grandezas e Unidades
4-Sistema de Unidades de Medidas
5-Unidade de Comprimento, Tempo e Massa
6-Notação Científica e Ordem de Grandeza
7-Operações com Potência de 10
8-Algarismos Significativos
9-Operações com Algarismos Significativos
9
10
12
14
16
22
27
34
36
Capítulo 2-Coordenadas Cartesianas
1-Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais
40
Capítulo 3-Conceitos Básicos de Mecânica
1-Referencial
2-Movimento e Repouso
3-Trajetória
4-Ponto Material e Corpo Extenso
5-Espaço Percorrido e Deslocamento
6-Velocidade
7-Velocidade Escalar Média
8-Velocidade Instantânea
9-Movimento Uniforme
46
48
49
50
50
54
55
60
65
3
Vamos Estudar Física
10-Sinal da Velocidade (Movimento Progressivo e
Retrógrado)
11-Comportamento Gráfico do Movimento Uniforme
12-Equação Horária da Posição do Movimento Uniforme
13-Velocidade Relativa
66
68
72
82
Capítulo 4- Movimento Variado
1-Aceleração
2-Aceleração Escalar Média
3-Aceleração Instantânea
4-Movimento Acelerado e Movimento Retardado
5-Movimento Uniformemente Variado
6-Comportamento Gráfico da Velocidade do MUV
7-Equação Horária da Posição do Movimento Uniformemente Variado
8-Cálculo da Velocidade Escalar Média no MUV
9- Equação de Torricelli
89
91
93
94
100
104
108
112
116
Capítulo 5-Queda livre (Movimento Uniformemente Variado Na Vertical)
1-Equações de Movimento Para queda livre
Respostas dos Exercícios Propostos
4
119
134
Vamos Estudar Física
Comentários e Apresentação
Tenho visto durante minha vida profissional como
professor e, principalmente, nos dias atuais, que os alunos,
de um modo geral, estão desmotivados a ler os livros didáticos, deixando assim de acompanhar nesse instrumento o
conteúdo programático que o professor vai vivenciando com
ele em sala de aula. Tenho percebido que esses alunos pensam que é suficiente o que o professor comenta e resolve na
sala, não observando toda estrutura que foi pensada e elaborada nos bons livros para o seu enriquecimento. É preciso
que nós professores, orientadores, tenhamos a habilidade de
despertar em nossos jovens a importância do livro didático
como fonte de leitura, pesquisa e orientação.
Este trabalho foi elaborado pensando exatamente no
aluno que está iniciando o estudo da Física, onde ele se depara com uma nova disciplina que vai obrigá-lo a pensar,
coordenar as idéias e, através da matemática elementar, que
será uma ferramenta fundamental de agora por diante, transpor essas idéias em fórmulas matemáticas.
Este trabalho está assim dividido:
Teoria
Procuro introduzir a teoria de uma maneira clara,
mas não perdendo o formalismo dos conceitos físicos.
Inseridos na teoria, temos os Exercícios/Exemplos que
procuram complementar os conceitos abordados na parte
teórica. Nem todos estão resolvidos por completo,
justamente para que o aluno possa resolvê-los sozinho ou
com a orientação do professor: este é um dos propósitos do
5
Vamos Estudar Física
livro. Desta forma, o estudante vai desenvolvendo
competências e criando habilidades.
Exercícios/Exemplos
Os Exercícios / Exemplos estão inseridos dentro da
teoria com o propósito de estimular a compreensão e fazer
com que os alunos sozinhos ou com a orientação do professor concluam a resolução de certos exemplos e, assim, criem
habilidades para resolverem os exercícios propostos.
Exercícios Propostos
Os exercícios propostos elaborados pelo autor têm a
preocupação de aprofundar os conceitos definidos na teoria
e promover uma maior fixação dos mesmos. Consequentemente, os alunos possuirão um maior domínio na compreensão e resolução de problemas. O entendimento dos conceitos
e definições citados na parte teórica de um assunto de Física
é muito importante para que o aluno saiba aplicá-los no
momento certo durante a resolução de problemas. Eliminase, desse modo, a preocupação do aluno de querer decorar
qual fórmula que se deve aplicar num determinado modelo
de exercício.
Como sugestão para um bom aproveitamento cito alguns procedimentos que você, estudante, deverá seguir para
um melhor rendimento escolar:
•
6
Procure ter em mãos o conteúdo programático da
disciplina e poder acompanhá-lo passo a passo;
Vamos Estudar Física
•
•
•
•
•
Com o programa em mãos, sempre que possível, ler
fazendo a anotação do que não ficou claro para que
na aula seguinte no momento em que o assunto esteja sendo abordado pelo professor, você possa questionar as dúvidas;
Caso, durante uma explicação do professor, você
“discordar” por ter outro ponto de vista, entender de
uma outra forma, fale! Peça explicação novamente.
Uma discussão sobre algo que não está claro é muito
valiosa e com isto você estará contribuindo para a
aula ser mais dinâmica e, certamente, fazendo com
que o colega ao seu lado também fique esclarecido,
pois geralmente as dúvidas são comuns neste momento;
A respeito do tópico anterior, eu como professor,
sempre peço aos alunos que, antes de intervir e perguntar sobre a dúvida, ele dê um pequeno intervalo
de tempo, pois muitas vezes, logo em seguida, o que
o professor está falando pode ficar claro e a dúvida
ser solucionada. Mas caso isto não ocorra pergunte!
Em se tratando da disciplina Física, como é o nosso
caso, procure sempre que possível, transpor a situação problema para a prática. “Viaje no problema”;
Sempre que possível, desenhe para representar a situação do problema. É através de uma representação
gráfica ou desenho que visualizamos melhor a questão a ser resolvida e ficamos mais perto da solução.
Exemplo: Um carro que ao passar pelo km 30 de
uma
estrada
possui
velocidade
de
70km/h.......(Desenhe o carro, a sua posição, indique
a velocidade e assim por diante);
7
Vamos Estudar Física
•
Compartilhe a sua dúvida com o seu colega, como
também os seus conhecimentos. Procure ajudar, interagir nos momentos de estudos, pois todos nós, numa
sala de aula, temos um único objetivo: fazer amizade
e adquirir conhecimentos.
Agradecimentos:
•
•
•
•
•
8
Aos meus pais Antônio Bernardo Filho e Josabete
Ribeiro Bernardo por todo apoio que me deram para
ser o que sou.
Aos meus filhos Nayane, Nayara e Pedro e minha
esposa Elizabeth Christine que acompanharam todos
os passos.
Aos professores Helena e Ferrerinha que nos momentos de aulas vagas me auxiliaram na revisão de
alguns tópicos.
Aos demais professores do Colégio da Polícia Militar de Pernambuco pelo incentivo.
Ao mestre professor Luiz Gonzaga Cabral que me
deu a experiência e me fez criar o hábito de escrever
trabalhos didáticos.
Vamos Estudar Física
CAPÍTULO 1
Por que Estudar Física?
1-Introdução à Física.
Certamente está clara na cabeça do jovem a necessidade de estudar e aprender a sua língua mãe e até mesmo
uma língua universal como é o inglês. Mas nem sempre isto
está claro, quando a matéria a ser estudada é Física ou Química, por exemplo. Pergunta o aluno: “Para que estudar
tantas leis, seguidas de fórmulas matemáticas se não vou
precisar disto no meu dia- a- dia?” Acho que professores
que lecionam estas ciências já experimentaram o gostinho
de responder a esta pergunta e tentar fazer o aluno compreender a necessidade de que todos nós temos que ter conhecimentos básicos de ciência de um modo geral. Tais conhecimentos são fundamentais para podermos nos relacionar
bem com o universo que nos envolve e com isto tirarmos
proveito para uma vida melhor e mais saudável. O que aconteceria, por exemplo, se dois cidadãos (um alfabetizado e
outro analfabeto) tivessem a oportunidade de conhecer uma
cidade grande por conta própria sem guia turístico? Pense e
relacione algumas dificuldades.
Em 01 Fevereiro de 2003, vimos e ouvimos a notícia
do ônibus espacial, tripulado por sete astronautas, que praticamente se desintegrou ao entrar na atmosfera devido a,
certamente, uma falha no seu revestimento externo no que
diz respeito ao seu isolamento térmico. Que diferença há no
entendimento desta notícia, para uma pessoa que pelo menos cursou o ensino médio e outra que não cursou? Reflita.
9
Vamos Estudar Física
2-Como nasce uma pesquisa científica.
A ciência não foi construída num passe de mágica,
ela começou a partir de observações que vinham principalmente do céu, onde o homem procurava entender os movimentos aparentes da lua, do sol e das estrelas vistas por ele
daqui da terra. Procuravam entender e se relacionar com a
natureza para com isto tirar proveito no plantio das lavouras
e delas obter o seu sustento. Desde os filósofos gregos até o
século XVII, a “Física” fazia parte das ciências naturais, ou
seja, era tudo relacionado à natureza, daí a palavra Física
que vem do grego physiké, ciência das coisas naturais.
Uma pesquisa científica, muitas vezes, nasce de uma
observação de um fato, e aí dentro dos conhecimentos da
física tenta-se explicar o fato observado. Outras vezes ocorre o contrário, o cientista tem uma hipótese e aí faz experiências para comprovar se a sua hipótese está correta. De um
modo geral, o objetivo da Física é estabelecer leis, muitas
vezes expressas por fórmulas matemáticas, que expliquem
os fenômenos que ocorrem na natureza. Os fenômenos podem ser classificados em dois tipos: Fenômeno Físico e Fenômeno Químico.
a) Fenômeno Físico: Um fenômeno é dito Físico
quando não se verifica formação de nova substância,
ou seja, não altera a natureza dos corpos.
b) Fenômeno Químico: Um fenômeno é dito Químico
quando se verifica formação de nova substância, ou
seja, altera a natureza dos corpos.
10
Vamos Estudar Física
Observação:
Em reações nucleares,
onde há interação entre núcleos, observa-se que há formação de nova substância e,
no entanto, o fenômeno é
Físico, pois o que há é uma
transformação nuclear em
nível de Núcleo e não em
nível de Eletrosfera.
Partícula α sendo emitida por um átomo radioativo
EXEMPLOS:
Fenômeno
Classificação
Fusão do gelo
Quebra de um palito de fósforo
Queima de um palito de fósforo
Comprimido efervescente com água
Físico
Físico
Químico
Químico
Áreas da Física
Até o final do século XIX o estudo da Física era divido
em:
•
•
•
Mecânica - que estuda os movimentos e todas as grandezas com movimento.
Termologia - que estuda o calor e seus efeitos.
Ótica - que estuda a luz e subdivide em: Ótica Geométrica e Óptica Física.
11
Vamos Estudar Física
•
•
Ondulatória - que estuda os fenômenos relacionados a
ondas, por exemplo, o som.
Eletromagnetismo - que estuda os fenômenos elétricos e
magnéticos.
Esta Física é conhecida como a Física clássica. A partir
do século XX surgem:
•
•
A Relatividade - que é usada quando trabalhamos com
corpos que possuem velocidades muito grandes próximas da velocidade da luz.
A Mecânica Quântica - que é usada quando se trabalha
com partículas.
Esta Física é conhecida como Física Moderna.
3-Grandezas e Unidades
Tudo que pode ser medido e ter associado a essa
medição um número e uma unidade, é denominado de
Grandeza Física. Como exemplo de grandezas físicas temos: tempo, comprimento, massa, velocidade, temperatura,
pressão etc.
Grandeza Escalar
As grandezas físicas são classificadas em:
Grandeza Vetorial
12
Vamos Estudar Física
a) GRANDEZA ESCALAR
Toda grandeza que fica bem definida apenas pelo
valor numérico e a unidade de medida associada a ela é dita
uma grandeza escalar.
Valor numérico
Exemplos:
• O comprimento daquela estrada é de 10 km
• O edifício tem 80m de altura.
Unidade
de medida
• Comprei 2 kg de feijão
• A temperatura de meu corpo é de 37 ºC.
b) GRANDEZA VETORIAL
Toda grandeza que, para ficar perfeitamente caracterizada, precisar além do valor numérico e da unidade, acrescentar a ela uma direção e um sentido é dita grandeza vetorial.
Exemplos:
• A força que apliquei para empurrar aquele carro foi de
300N com direção horizontal e sentido para direita.
Grandeza Física
Intensidade
Direção
Sentido
Força
300 N
Horizontal
Para direita.
Se disséssemos apenas o módulo da grandeza (300N), a informação estaria incompleta.
13
Vamos Estudar Física
•
A velocidade do ônibus espacial no primeiro minuto de
lançamento é de 5 Km/s, direção vertical, sentido para
cima.
Grandeza Física
Intensidade
Direção
Sentido
Velocidade
5 Km/s
Vertical
Para cima.
• Ao chutar uma bola para cobrança de falta, diante de
uma barreira, um jogador impulsionou a bola de um ângulo de 60º e velocidade de 100m/s.
Grandeza Física
Intensidade
Direção
Sentido
Velocidade
100 m/s
60º com a horizontal
Para cima.
60º
4- Sistema de Unidades de Medidas
O sistema de unidade adotado oficialmente no Brasil
e na maioria dos países é o Sistema Internacional de Unida14
Vamos Estudar Física
de (S.I), que foi adotado em 1960 na 11º Conferência Geral
de Pesos e Medidas.
No SI (Sistema Internacional de Unidade) há sete
unidades denominadas de Grandezas Fundamentais. As
outras grandezas que são definidas a partir dessas são chamadas de Grandezas Derivadas.
Unidades fundamentais do S.I
Grandeza
comprimento
Unidade
metro
Símbolo
m
massa
quilograma
kg
tempo
segundos
s
corrente elétrica
ampère
A
temperatura termodinâmica
Kelvin
K
quantidade de matéria
mol
mol
Intensidade luminosa
candela
cd
Unidades derivadas do S.I
Grandeza
área
volume
densidade
Unidade
Símbolo
metro quadrado
m2
metro cúbico
m3
quilograma por metro cúbico
Kg/m3
velocidade metro por segundo
m/s
aceleração
m/s2
metro por segundo ao quadrado
o
o
o
o
o
o
15
Vamos Estudar Física
5- Unidades de Comprimento, Tempo e Massa
É oportuno relembrarmos o uso destas unidades, já
que elas farão parte de agora por diante do nosso conteúdo
de Física na resolução de problemas e, para isto, temos que
estar bem familiarizados com elas.
•
Comprimento
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro
Km
hm
dam
m
dm
cm
milímetro
mm
O deslocamento da virgula dá-se para direita ou para esquerda, conforme o deslocamento na escala métrica.
♦ Exercícios /Exemplos
1- Transforme em metro.
a) 1km =1000m
b) 3 km =
c) 2,5 km =
d) 0,35 km =350m
e) 3 hm =
•
f) 0,35hm =
k) 23mm = 0,023 m
g) 8dam =
l) 52dm =
h) 100cm =
m) 0,28mm =
i) 38,4cm = 0,384m n) 4,5cm =
j) 1000mm =
o) 0,002mm =
Tempo
Vamos relacionar algumas unidades de tempo.
1h = 60 min
1 min = 60s
Portanto, podemos afirmar que 1h = 60 min = 3600 s .
16
Vamos Estudar Física
Outras relações:
1 dia = 24 h
1 ano = 365 dias
♦ Exercícios /Exemplos
1-Quantos minutos há em 2,5 h?
Solução:
Através de uma regra de três simples e direta podemos resolver.
1h → 60 min
1
60
=
⇒ X = 60 x 2,5 = 150 min
2,5 X
2,5h → X
2-Um carro partiu da cidade do Recife justamente quando o
meu relógio marcava 2h 18 min 35s. Chegou a Caruaru às
3h 45 min 59s. Quanto tempo levou o carro nesse trajeto?
Obs: Esse tempo que se quer determinar chama-se intervalo
de tempo e é representado por: ∆t
Solução:
Se chamarmos de ti o instante inicial e de tf o instante
final correspondendo, respectivamente, ao instante de partida e de chegada temos: ∆t = t f − t i .
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Vamos Estudar Física
tf →
3h 45 min 59s
t i → − 2h 18 min 35s
__________________
∆t → 1 h 27 min 24s
O intervalo de tempo gasto pelo carro foi de
∆t = 1h 27 min 24 s
3- Determine o intervalo de tempo para os carros A, B, C e
D preenchendo a última coluna da tabela.
Carro
Carro
Carro
Carro
•
A
B
C
D
Instante de partida
ti
4h 20 min 15 s
1h 30 min
2h 40 min 20 s
15h 23 min
Instante de chega- Intervalo
da
de tempo
tf
∆t
6h 10 min 30 s
6h 20 min 20 s
8h 30 min
19h
Massa
quilograma
kg
hectograma decagrama
hg
dag
grama decigrama
g
dg
centigrama
cg
miligrama
mg
O deslocamento da virgula dá-se da mesma forma que no
comprimento.
18
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios /Exemplos
1-Transforme para quilograma
a) 1000g = 1kg
b) 20000dg =
c) 0,0023mg =
d) 23,58 hg =
e) 1mg =
f) 30000mg =
2-Determine a densidade de certo líquido cuja massa é de
50000 g e volume de 500000 cl . Expresse a sua resposta no
SI.
Obs.: Veja a definição de densidade na tabela da página 15 e
lembres-se que 1litro = 1dm3.
Solução:
•
Outras Unidades
As unidades relacionadas abaixo, embora não façam
parte do Sistema Internacional de unidades (SI), são bastante usadas e, certamente, você vai precisar na resolução de
problemas durante o estudo de Física e Química.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 12 polegadas
1 milha marítima = 1852 m
1 jarda = 3 pés
1 mícron =10-6m
1 angstron = 10-10m
1 litro = 1dm3
1 tonelada =1000 kg
1 u.m.a = 1,66. 10-27 kg
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Vamos Estudar Física
Exercícios Propostos 1.1
1- (ESAL-MG) A física é uma ciência que:
a.( ) cria novos mecanismos para controlar a natureza.
b.( ) controla o comportamento da natureza.
c.( ) age no sentido de explicar o comportamento da natureza.
d.( ) estabelece leis que a natureza deve cumprir.
e.( ) cria condicionantes para governar os fenômenos naturais.
2-Você, que é um aluno atento, deve ter lido e até respondido mentalmente algumas questões dentro do texto de introdução à física. Então, responda agora por extenso:
a) A pergunta do 1º parágrafo linha 14
b) A pergunta do 2º parágrafo linha 6
3-Um automóvel parte do Recife às 12h 40 min em sentido
a Garanhuns e leva 3h 30min para chegar. Qual foi o instante de chegada?
4-O que difere uma Grandeza Escalar de uma Grandeza
Vetorial?
5-Um professor de Física fazendo demonstrações para seus
alunos de lançamento de projétil lança um foguete com uma
velocidade de 100m/s. Diante desta afirmativa, indique qual
figura representa melhor esse lançamento.
20
Vamos Estudar Física
6- O que faltou como complemento da grandeza velocidade,
para a identificação do referido lançamento?
7- Para cada item da questão de nº 5 dê todas as características da grandeza vetorial que represente corretamente o lançamento. Use o transferidor para informar a direção.
8-A grandeza velocidade é composta por quantas grandezas
fundamentais? Em que unidade do SI ela é representada?
9-Quantos centímetros tem 1 jarda ?
10-Transforme as velocidades para km/h.
a) 20 m/s =
b) 10 m/s =
c) 2 m/s =
d) 50 cm/s =
11-Transforme para m/s.
a)108 km/h =
b) 72 km/h =
c)180 km/h =
d) 36 km/h =
21
Vamos Estudar Física
12- (OBF 2006) As aulas de um colégio têm início às 7h
30min, todos os dias. Num determinado dia o relógio apresentou um mau funcionamento e o sinal de término soou às
13h 15 min 20s. A duração das aulas neste dia no colégio
foi:
a) 6h 15 min 20s.
b) 6h 45 min 20s.
c) Exatamente 6h.
d) 5h 45 min 40s.
e) 5h 45 min 20s.
13-(OBF- 2009) Considere um bloco de madeira com uma
massa total igual a 540 kg. Este tipo de madeira possui 1 g
de material em cada centímetro cúbico. Suponha que você
adicione 50 g de madeira ao bloco. De quanto aumentaria o
volume do bloco inteiro?
6-Notação Científica e Ordem de Grandeza
•
Notação Científica
No estudo da Física e da Química é comum aparecer
números muito grandes ou pequenos demais. Por exemplo, a
velocidade da luz que é c = 300000000 m / s . O diâmetro de
um átomo de hidrogênio é de: dh=0,0000000001m. Para
trabalharmos com números deste tipo, vamos utilizar uma
ferramenta matemática denominada de potência de 10 e, ao
mesmo tempo, expressá-los em Notação Científica da seguinte forma: Todo número muito grande ou pequeno demais pode ser escrito como um número compreendido entre
1 e 10, multiplicado por uma potência de 10 adequada.
a x10n
22
, onde 1≤ a<10 e n∈Z
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios /Exemplos
1-Escreva os números em notação científica.
a)
b)
c)
d)
e)
3840000 = 3,84 x10 6
5000000 =
56,5 =
0,000049 =
0,0003 = 3 x 10 -4
f) 0,0025 =
g) 35,46 =
h) 300000000 m/s =
i) 0,0000000001 m =
j) 0,5 =
Solução:
a) Sabemos que o número tem que ficar na forma a x 10 n ,
onde 1≤ a <10, portanto deslocamos a vírgula para ficar
entre o 3 e o 8 e contamos o número de casas percorridas
pela vírgula que será o valor do expoente n. Se a vírgula
corre para esquerda o expoente será positivo. Caso contrário, será negativo.
3840000 → 3,840000 = 3,8 x 10 6
n=6
e) 0,000049 →000004,9 = 4,9 x 10 -5
n=5
23
Vamos Estudar Física
•
Ordem de Grandeza
Muitas vezes precisamos
apenas saber o valor aproximado de
uma medida e não o seu valor exato,
daí estimamos o valor da medida
Laje
através de cálculos aproximados que
nos fornecem o valor próximo do
real. Podemos determinar aproximadamente a altura de um edifício,
por exemplo, apenas fazendo estimativas, pois a altura do piso até o teto é aproximadamente
de 3m e a espessura da laje é de aproximadamente de 30 cm.
Diante dessa informação faça uma estimativa da altura do
edifício que você mora ou de um edifício perto da sua casa.
Para expressar a ordem de grandeza de um número
(grandeza física), determinamos a potência de 10 que mais
se aproxima da medida.
♦ Exercícios/Exemplos
1-Se um edifício possui 20 andares estime a sua altura.
Obs.: A altura do pilar é de 4,0 m e possui 21 lajes.
Solução:
Número de andares 20;
Número de lajes 21 e, portanto a estimativa de sua altura é:
24
Vamos Estudar Física
20 x 3m = 60 m
21 x 30 cm = 630 cm = 6,3 m
Altura pilar 4,0 m.
Logo a altura aproximada é de 70,3m
2-Represente a ordem de grandeza dos números abaixo:
a) 65 b) 30 c) 52 d) 4 e) 5,2 f) 5,8
Solução:
a) 65 → 101 < 65 < 10 2 , 65 está mais próximo de 102, logo
a OG = 102.
b) 30 →101 < 30 < 10 2 , 30 está mais próximo de 10, logo a
OG = 10.
c) 52 → 101 < 52 < 10 2 , 52 está mais próximo de 101 , logo
a OG = 101
d) 4 → 10 0 < 4 < 101 , 4 está mais próximo de 100, logo OG
= 100
e)
f) 5,8 → 10 0 < 5,8 < 101 , 5,8 está mais próximo de 101, logo
OG = 101.
Uma forma prática de obtermos a OG de um número
qualquer é primeiramente expressá-lo em notação científica
na forma a x 10 n , onde 1≤ a <10. Em seguida compararmos a com posição média entre 1 e10 que é 5,5.
25
Vamos Estudar Física
Se a > 5,5 aproximamos a de 101
Se a < 5,5 aproximamos a de 100
3- Determine a ordem de grandeza de:
a) 500
e) 8,9 x10-8
b) 823
f) 5,58 x 103
c) 6345
g) 0,435
d) 8,4 x108
OG= 101x108=109 h) 0,00003
4-Expresse a ordem de grandeza em segundos, para uma
pessoa que tem 15 anos e 3 meses de idade. (admita um ano
de 365 dias e um mês de 30 dias).
Solução
26
Vamos Estudar Física
7- Operações com Potência de 10
Agora que já aprendemos a expressar um número em
notação científica, precisamos também saber operar com
ela, para que os cálculos fiquem mais simples.
•
Comparação
♦ Exercícios / Exemplos
1-Coloque em ordem crescente os números expressos em
potência de 10.(Expoentes iguais)
a) 3,75 x10 3 , 3,84 x10 3 e 3 x10 3
Observe que, quando os expoentes são iguais, menor será
aquele que possuir o menor número multiplicando a potência de 10.
b) 5,84 x10 2 , 6,3x10 2 e 1x10 2
c) 3, 45 x10−2 ; 84,3 x10−2 ; 2, 4 x10−2 e 3, 25 x10−2
d) 0, 2 x105 ; 0,02 x105 ; 0,01x105 ; e 0, 015 x105
2- Coloque em ordem crescente os números expressos em
potência de 10.(Expoentes desiguais)
27
Vamos Estudar Física
a) 3, 4 x103 ; 3, 4 x102 e 8, 4 x102
34 x102 ; 3, 4 x102 e 8, 4 x102
3,4 x10 2 < 8,4 x10 2 < 34 x10 2
Observe que igualamos os expoentes e daí procedemos
normalmente.
b) 5,8 x10−5 ; 5,85 x10−4 e 0,58 x10−3
c) 6,3 x10−2 ; 6,3x10−3 e 6,3 x10−5
d) 2, 4 x10−2 ;35 x10−3 e 2,5 x10−3
•
Multiplicação
a .10 m x b.10 n = a.b x 10 m + n
♦ Exercícios/Exemplos
1-Desenvolva as multiplicações:
a) 3x10 4 x 5 x10 3 = 3 x 5 x 10 4 x 10 3 = 15 x 10 7
b) 8 x10 5 x (− 3)x10 2 =
c) 5 x10 −6 x 10 4 =
d) − 5 x10 −3 x (− 7 )x10 −2 =
28
Vamos Estudar Física
•
Divisão
a .10 m a m
a
a .10 : b .10 =
= 10 x10 − n = x10 m −n
n
b
b
b .10
m
n
♦ Exercícios/Exemplos
1- Desenvolva as divisões:
8 x1012
a) 8 x10 : 4 x10 =
= 2 x1012 x10 −5 = 2 x10 7
5
4 x10
12
5
b) 16 x10 4 : 20 x1010 =
c)
3 x10 5 x8 x10 6
=
2 x10 4 x3x10 8
2
8
d) x10 6 : x10 4 =
3
4
•
Potenciação
(a x10 )
m n
= a n x10 mxn
♦ Exercícios/Exemplos
1- Desenvolva:
(
a) 3x10 3
)
2
= 3 2 x10 3 x 2 = 9 x10 6
(
b) 2x10 −5
)
3
=
29
Vamos Estudar Física
c)
•
n
(
3x10 2
=
(3x10 )4
d) 5x10 5
)
−2
=
Radiciação
a .10 = a x 10 = a x 10
m
n
n
m
n
m
n
♦ Exercícios / Exemplos
1- Simplifique os radicais:
a) 64 x 10 8 = 8 x 10 4
b) 10 x 6 64 x1012 =
c)
•
10 6
1010
=
Adição e Subtração
Na adição e subtração de números escritos em potência de 10, colocamos as potências com os expoentes no
mesmo valor, o que facilita a adição, pois podemos assim,
colocar em evidência a potência de 10.
30
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios /Exemplos
1-Efetue, expressando o resultado em notação científica.
a)
3x10 2 + 5,4 x10 3 − 10 2 = 3 x 10 2 + 54 x 10 2 − 10 2 =
= (3 + 54 − 1)x10 2 = 56 x 10 2 = 5,6 x 10 3
b) 8 x10 −2 + 0,03x101 + 4 x10 −3 =
c) − 3 x10 5 + 45 x10 5 − 10 4 + 4 x10 6 =
Exercícios Propostos 1.2
1- Efetue as operações colocando a resposta em notação
científica e em seguida dê a ordem de grandeza (OG) do
resultado.
a) 3,2 x10 5 x 4 x10 4 =
b) 1,3x10 2 x 2 x10 5 =
c) 8 x10 3 x 7 x10 −4 =
d) 4 x10 5 : 2 x10 8 =
(
e) 3x10 −5
)
2
=
31
Vamos Estudar Física
81x10 2 =
f)
g) 79 x10 2 + 2 x10 2 =
h) 3,2 x10 3 + 7,6 x10 4 =
i)
8 x10 4
+ 3 x10 − 2 − 3 x10 4 x 6 x10 − 6 =
6
2 x10
j) 2,5 x10 5 =
l) (5000000 x 9000000)2 : 15 x 105 =
2-A lei da gravitação universal nos diz que a força de atração entre dois corpos de massa m1 e outro de massa m2, que
estejam separados um do outro de uma distância d, é dada
G . m1 .m2
, onde G é chamada de Constante Unipor: FG =
d2
versal da Gravidade e tem como valor: G = 6,67 x10 −11 .
Determine o valor numérico da expressão, quando
m1=9,1x10-31 , m2=1,67x10 -27 e d=5,3x10-11.
3- (UFPE-2006 Adaptado) Albert Einstein revolucionou a
nossa idéia sobre a natureza com a teoria da relatividade. A
equivalência entre massa e energia com a famosa equação
E = mc 2 constitui um dos resultados importantes da teoria
da relatividade. Nesta equação m é a massa do corpo e c é a
32
Vamos Estudar Física
velocidade da luz. Determine a ordem de grandeza em Joules do equivalente em energia da massa de um pãozinho de
50g. Expresse as grandezas no SI, para que a energia seja
dada na unidade do SI (Joules).
a) 109
b0 1011 c) 1013
d) 1015
e) 1017
4- (UFPE) Qual a ordem de grandeza, em km/h, da velocidade orbital da terra em torno do Sol? A distância média
Terra ao Sol é 1,5x108km
5-(OBF-2010) Faça uma estimativa de quantos passos um
maratonista dá durante uma prova (lembre-se que a maratona é uma prova com 42 km.
a) 35.000 b) 420 c) 4.200 d) 3.500 e) 420.000
6-(OBF-2010) Quantas barrinhas de cereal são necessárias,
como referência, para medir uma linha de 100 m?
a) 100
b) 1.000 c) 1 x 106 d) 1 x 107 e) 1 x 108
7- (OBF-2010) Quanto tempo (em horas) são necessários
para se contar até um milhão?
a) 10 b) 27 c) 278 d) 10.000 e) 2.777
8-(OBF-2010) O mundo tem hoje aproximadamente 6 bilhões de habitantes. Quantos litros de água estão armazenados na população humana?
a) 6 x 109 b) 6 x 108 c) 2,5 x 1011 d) 2,5 x 109 e) 5 x 10
.
33
Vamos Estudar Física
8-Algarismos Significativos
Na Física experimental, a Pesquisa é realizada através de levantamentos de dados que são feitos com observações e medições, tendo o instrumento de medida como a
ferramenta necessária para tal fim. A precisão dessas medidas depende não só da pessoa que está executando as medidas, mas também do próprio instrumento de medida. Quanto
mais preciso o instrumento de medida, mais ficamos perto
do valor real da grandeza que queremos medir. Quando falamos em instrumento de medida, estamos nos referindo a
um simples cronômetro, balança, trena ou até mesmo a um
sofisticado micrômetro que tem uma precisão de
10 −6 m, ou seja, 0,000001 m .
Uma medida deve ser expressa com a quantidade de
algarismos que indique a precisão do instrumento utilizado.
Portanto uma medida, por exemplo, de 30,00 cm é diferente
de 30,0 cm ou de 30 cm simplesmente. Matematicamente,
podemos dizer que esses números são iguais, mas no que diz
respeito a Grandezas Físicas, são bem diferentes, pois
30,00 cm é a grandeza mais precisa, com uma precisão de
centésimo de centímetros (0,01cm).
Vamos agora tentar mostrar, através de uma ilustração o que foi dito acima. Observe o comprimento de um
lápis que está sendo medido por uma régua calibrada apenas
em centímetro (régua A). Nesta comparação de medida poderíamos estimar o comprimento do lápis em 3,6 cm, 3,7 cm
ou até mesmo 3,8 cm, onde o último algarismo seria o algarismo avaliado, ou seja, o duvidoso, pois a precisão da régua
é em centímetro e não em décimos de centímetros.
34
Vamos Estudar Física
3,6cm ; 3,7cm
Correto
Duvidoso
Está claro que não faz sentido em tentar estimar outro algarismo para a medida, acrescentando, por exemplo, 5
e representar a medida como sendo 3,65 cm ou 3,75 cm. Se
6 ou 7 já são duvidosos , quanto mais o algarismo 5!
Fazendo uso de uma régua mais precisa (régua B)
que tem precisão em milímetro, ou seja, décimos de centímetro (0,1cm), o aluno pode verificar que fica mais fácil
estimar o tamanho do lápis aproximando mais de sua medida real. A leitura será, portanto 3,65cm, onde 3 e 6 são valores corretos e 5 passa ser o valor duvidoso.
Portanto, podemos definir algarismos significativos
como:
Algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso.
35
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios/Exemplos
1-Numa corrida de fórmula 1, um piloto olha para o velocímetro do carro e informa que a sua velocidade é de 285
km/h. Diante de seus conhecimentos sobre algarismos significativos, e sabendo que o piloto expressa essa grandeza
com algarismos significativos, pergunta-se:
a) Quais os algarismos corretos, lidos, pelo piloto?
b) Qual o algarismo que foi avaliado?
c) Se ele tivesse informado que sua velocidade era de 285,0
km/h que diferença haveria entre essa leitura e a anterior?
Solução:
9-Operações com Algarismos Significativos
•
Arredondamento
Às vezes precisamos diminuir a precisão de uma
medida, a fim de trabalhar com um menor número de casas
decimais e, para tal, fazemos o arredondamento da medida
que poderá seguir a seguinte regra:
- Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a
5, arredondamos para cima o algarismo que ficou.
- Se o algarismo a ser eliminado for menor que 5, o
algarismo que ficar não se altera.
36
Vamos Estudar Física
•
Adição e Subtração
Na adição e subtração de algarismos significativos o
resultado deve conter o mesmo número de casas decimais da
parcela que contiver o menor número delas, desprezando as
demais e fazendo o arredondamento.
♦ Exercícios/Exemplos
1-Expresse a soma das medidas efetuadas com algarismos
significativos.
•
Multiplicação e Divisão
Na multiplicação e divisão, o resultado deve ficar
com a quantidade de algarismos significativos do fator que
possuir a menor quantidade de algarismos significativos,
37
Vamos Estudar Física
podendo ainda acrescentar mais um algarismo no resultado,
pois as regras para operações com algarismos significativos
não são rigorosas.
♦ Exercícios/Exemplos
1-Suponha que medíssemos a área de um retângulo usando
as duas réguas citadas nos exemplos acima e encontrássemos paras as medidas o seguinte:
Largura: 8,9cm (régua A)
Comprimento: 10,75 cm (régua B)
Área = 8,9 cm x 10,75 cm = 95,675 cm2. Seguindo a regra,
teríamos área =96 cm2 ou 95,7 cm2 que também é aceitável.
Observe que ao abandonarmos casas decimais, foi aplicado
o critério de arredondamento.
Exercícios Propostos 1.3
1-Expresse os números abaixo em notação científica e, em
seguida, dê a sua ordem de grandeza.
a) 485= 4,85 x 102 → OG = 102
b) 254000=
c) 0,85=
d) 0,00095=
e) 54000000=
38
Vamos Estudar Física
2-Considere a figura abaixo:
a) Como você expressaria o comprimento da barra ?
b) Qual é o algarismo correto e o avaliado ?
3- Ao medir a temperatura de uma pessoa através de dois
termômetros diferentes, obtiveram-se as seguintes temperaturas: 36,8 ºC e 36,80 ºC.
a) Quais são os algarismos corretos e duvidosos da
primeira e da segunda medida ?
b) Qual o instrumento mais preciso ? Por quê ?
4-Determine o perímetro e a área das figuras abaixo
medindo diretamente com uma régua as medidas de seus
lados e levando em conta os algarismos significativos.
39
Vamos Estudar Física
5-Use a regra de arredondamento para expressar as medidas
abaixo com apenas 2 algarismos significativos.
a)32,5 m2 =
b) 8,59 g =
c)52,467 s =
d)3,45 m/s =
e)2,75 cm3 =
f)0,890 kg =
6-Um comprimento de um certo objeto foi medido com
instrumentos diferentes, e os resultados foram apresentados
como: 10,6 cm e 10,60 cm. Responda.
a) Matematicamente os números que representam essas
medidas são idênticos?
b) A grandeza representada por essas duas medidas são
identicas?
c) Quantos algarismos significativos há em cada medida e
quais são os corretos e os duvidosos?
d) Qual a medida mais precisa?
e) Dê o resultado da soma dessas duas medidas levando em
conta os algarísmos significativos.
CAPÍTULO 2
Coordenadas Cartesianas
Introdução
Neste momento é oportuno introduzirmos o sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais, pois esse estudo
vai facilitar a compreensão do sistema de referência na
definição de movimento, repouso e trajetória. Como
40
Vamos Estudar Física
veremos, esses são conceitos relativos, que dependem de um
referencial para defini-los. Embora seja assunto da
matemática, iremos abordá-lo aqui, pois talvez seu
professor ainda não tenha visto e, portanto, daremos uma
introdução breve para continuarmos o nosso programa sem
muitas dificuldades.
1- Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais
Antes de mais nada vamos ver como se dá a
localização de um ponto sobre uma reta. Tracemos uma reta
e sobre ela coloquemos um ponto de referência (zero), que
será a origem. Todos os pontos localizados a sua direita
serão positivos, e aqueles a sua esquerda serão negativos, tal
como a reta numérica do conjunto dos números reais.
Nesta condição podemos dizer que a posição de A é
–4m e que a posição de B é de 6m. Note que, quando
estamos nos referindo à posição de A e de B, estamos
indicando a sua distância em relação à origem (zero), à
esquerda e à direita, respectivamente.
♦ Exercícios/Exemplos
1-Suponha que a figura abaixo represente a trajetória
(caminho percorrido) de uma locomotiva sobre as linhas e
41
Vamos Estudar Física
que a estação esteja localizada na origem. Determine as
posições da locomotiva nos instantes t1 , t2 , e t3 .
Solução:
A posição em t1 é x = -10km.
A posição em t2 é x = 0 (origem).
A posição em t3 é x = 12km.
Observe que o sistema de referência acima é uma
reta na qual podemos localizar qualquer ponto em relação à
origem.
Suponha agora que a trajetória de nossa locomotiva
não fosse exatamente uma reta. Como poderíamos localizálo num determinado instante? Veja a figura abaixo.
Acontece que o movimento do trem não foi sobre uma reta.
Trata-se de um movimento composto, ou seja, um movimento bidimensional , em duas direções, e a melhor maneira
de localizarmos a locomotiva é através de sistemas de eixos
ortogonais, chamados de eixo X(horizontal) e eixo
Y(vertical). Veja como representamos este sistema de eixos
ortogonais.
42
Vamos Estudar Física
O ponto de intersecção das duas retas coincide com a
estação e é a origem dos eixos. Da mesma forma que em
uma só dimensão, os pontos sobre o eixo Y possuem pontos
positivos e negativos.Um ponto qualquer sobre este plano
será dado pelo par ordenado, também chamado de
coordenadas cartesianas (x,y), onde x é denominado de
abscissa e y de ordenada. De um modo geral, temos:
• (x,y) é chamado de par ordenado ou coordenadas de um
ponto sobre um plano.
• x é a abscissa e representa a posição medida na direção
do eixo X em relação à origem.
• y é a ordenada e representa a posição medida na direção
do eixo Y em relaçào à origem.
• X eixo das abscissas.
• Y eixo das ordenadas.
2-Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto que está
localizado no plano cartesiano abaixo.
43
Vamos Estudar Física
Solução
Posição de A (6,6)
Posição de E ( , )
Posição de B (12,0)
Posição de F ( , )
Posição de C ( , )
Posição de G
Posição de D ( , )
Posição de H
3-Localize no plano cartesiano os pontos cujos pares
ordenados são dados pela tabela abaixo.
X
3
0
0
5
-2
-4
0
-2
Y
-4
5
7
0
4
-6
0
-8
Solução:
4-Diante do que foi estudado, podemos agora localizar a
posição da locomotiva qualquer que seja a sua trajetória.
Portanto, indique a posição dela no instante t em que ela
não possuia trajetória retilínea.
Solução:
44
Vamos Estudar Física
5-Um maquinista observa a velocidade de sua locomotiva
anotando de 10 em 10 s a sua velocidade e põe isto numa
tabela da seguinte forma:
T(s)
10
20
30
40
50
V(m/s)
20
20
20
20
20
a) Represente graficamente o comportamento da velocidade
da locomotiva, localizando os pontos da tabela num sistema
de eixos ortogonais, onde o eixo horizontal será
representado por t(s) (tempo) e o eixo vertical por v(m/s)
(velocidade). Ligue os pontos .
b) O que podemos afirmar sobre a velocidade da locomotiva
observando o gráfico?
Solução:
45
Vamos Estudar Física
CAPÍTULO 3
Conceitos Básicos de Mecânica
Introdução à Mecânica
Vimos no Capítulo 1 que a mecânica faz parte do
estudo da Física e que dentro da mecânica temos a
cinemática. Essa é responsável pelo estudo dos movimentos
dos corpos determinando velocidade, posição, espaço
percorrido, entre outras coisas, tudo isto sem levar em conta
as causas que provocam estes movimentos. O estudo dessas
causas já é uma outra parte da mecânica, a Dinâmica, que
não é o nosso propósito neste capítulo. Antes de
começarmos o estudo da cinemática, temos que introduzir
alguns conceitos básicos que serão ouvidos e falados por
você daqui por diante no estudo da Física.
1- Referencial
Um referencial pode ser qualquer corpo que
escolhemos como referência , para que possamos localizar a
posição de outro corpo em relação a ele. Você agora, neste
momento, poderá tomar algo que está em sua volta como
ponto de referência, e este será agora o seu referencial para
localizar a sua própria posição em relação a ele. Se você está
numa sala de aula, o referêncial pode ser a parede a sua
frente. A quantos metros desta parede você se localiza ? É
verdade que embora você saiba a quantos metros da parede
46
Vamos Estudar Física
você está, isto ainda não localiza a sua posição corretamente.
Você poderá estar localizado a uma
mesma distância X, assumindo
diferentes posicionamentos em uma
linha paralela àquela parede. Veja,
por exemplo, Einstein à frente do
quadro. É preciso que você tome
como referência um sistema de
eixos de coordenadas, por exemplo,
o
sistema
de
coordenadas
cartesianas. Vejamos o exemplo
seguinte.
♦ Exercícios /Exemplos
1-(NARB) Uma bola encontra-se no canto da parede de uma
sala (posição A) e outra no meio da sala (posição B). Adote
um sistema de referência e determine a localização das
bolas. Os quadrados do assoalho são de 1m2.
47
Vamos Estudar Física
Solução:
Se tomarmos a aresta formada pela parede da janela e
o assoalho da sala como eixo X e a aresta formada pela parede da porta e o assoalho da sala com o eixo Y temos:
Posição A = (4,0) e posição B = (5,2), onde as abscissas e as
ordenadas são dadas em metros.
2-Movimento e Repouso
Os conceitos de movimento e repouso são conceitos
relativos, pois dependem do referencial. O que pode ser
movimento para você, poderá ser repouso para outra
pessoa.Vejamos a situação representada na figura.
Se tomarmos como referencial a árvore, vemos que o
ônibus afasta-se dela e do garoto que acena para a turma,
modificando a sua posição em relação a árvore a cada instante. No instante t1 a sua posição é de 10 m, no instante t2 é
de 50 m e no instante t3 é de 110 m. Daí concluímos que
este ônibus encontra-se em movimento para este referencial.
O mesmo não acontece para o aluno que está sentado na
última cadeira do ônibus, por exemplo, observando os seus
colegas a sua frente. Para ele todos estão em repouso, pois
as suas posições não são modificadas em relação ao próprio
ônibus (referencial ônibus). Portanto:
48
Vamos Estudar Física
Um corpo está em repouso, em relação a certo referencial, quando a sua posição não se altera em relação a este
referencial num determinado intervalo de tempo.
Um corpo está em movimento, em relação a certo
referencial, quando a sua posição se altera em relação a este
referencial num determinado intervalo de tempo.
3-Trajetória
O conjunto de todas as posições ocupadas por um
corpo em movimento em relação a um determinado referencial é denominado de trajetória. A trajetória também é um
conceito relativo, pois depende do referencial tomado. Vejamos um exemplo clássico e, para isto, vamos analisar um
aluno do ônibus escolar que está na última cadeira e resolve
fazer um experimento soltando de certa altura uma bola de
tênis a fim de verificar a sua trajetória enquanto o ônibus
anda com velocidade constante.
Do ponto de vista deste aluno e de qualquer outro que
esteja dentro do ônibus, referencial ônibus, a trajetória é
uma reta perpendicular, tal como o ônibus estivesse em repouso. Acontece que no momento que o aluno solta a bola
ela possui a velocidade do ônibus, e o acompanha no seu
movimento retilíneo uniforme. Já a pessoa que está próxima
à arvore, referencial terra, observa que a trajetória não é
49
Vamos Estudar Física
retilínea, pois a bola possui um movimento bidimensional,
ou seja, em duas direções uma na horizontal,velocidade do
ônibus, e outra na vertical, velocidade de queda, resultando
em uma trajetória parabólica.
4-Ponto Material e Corpo Extenso
Imagine agora que a turma tenha ido fazer um passeio de Recife até a cidade de Caruaru. Se analisarmos o
sistema trajetória percorrida e o próprio ônibus, podemos
considerar este ônibus como sendo um ponto material, pois
ele terá as suas dimensões desprezíveis em relação ao caminho que ele percorrerá, em torno de 110 km, de Recife a
Caruaru. Ao chegar no seu destino, ele estacionará em um
local próprio cujas dimensões são comparáveis ao seu tamanho e, portanto, neste sistema agora ele passará a ser um
corpo extenso.
5-Espaço Percorrido e Deslocamento
Certo móvel que se desloca de um ponto A para um
ponto B poderá fazê-lo percorrendo as trajetórias 1, 2 ou 3 e,
em cada caso, as distâncias percorridas (Espaço Percorrido)
serão diferentes. No entanto, o seu Deslocamento de A para
B é representado por um segmento orientado ∆S , que é a
menor distância entre os pontos de partida A e o de chegada B. O deslocamento é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido e já foi mencionado no capítulo 1.
50
Vamos Estudar Física
Observe
o
seguinte:
d ≥ ∆S , a distância percorrida (d ) será exatamente igual ao deslocamento
∆S , quando a trajetória
percorrida for uma reta
que liga o ponto de partida
A ao ponto de chegada B. E neste caso d = ∆S.
Vamos, a partir de agora, definir deslocamento ∆S
como sendo ∆S = S − S 0 , onde
∆S → Deslocamento
S → Posição final do móvel
S 0 → Posição inicial do móvel
Sendo assim, a posição de um móvel sobre uma trajetória será representada por S. Vejamos os exemplos abaixo:
♦ Exercícios/Exemplos
1-Um móvel parte de um ponto A sobre uma trajetória e vai
até a uma posição B e, em seguida, retorna para C. Observe
a figura e responda o que se pede.
51
Vamos Estudar Física
a) Qual a distância percorrida de A até B?
b) Qual o deslocamento efetuado pelo carro de A até B?
c) Qual a distância total percorrida pelo carro desde o instante t1 até o instante t3?
d) Qual o deslocamento total percorrido pelo carro desde o
instante t1 até o instante t3 na posição C?
Solução:
a) O espaço percorrido (distância percorrida) corresponde
efetivamente ao que o móvel percorreu e, no nosso exemplo
acima, foi de 100 m, pois ele se desloca da posição SA=
-20 m e vai até a posição SB= 80 m. Observe que, como se
trata de um movimento no mesmo sentido e com uma mesma direção ( retilíneo), a distância percorrida pode ser calculada através da definição de deslocamento ∆S = S − S 0
b) ∆S = S − S0 = 80 − (−20) = 80 + 20 = 100 m
c) desde o instante t1 até o instante t3, o móvel vai de A para
B e de B para C; logo, a distância percorrida é a soma dos
_____
_____
segmentos d = AB + BC = 100 m + 40 m = 140 m .
d) O deslocamento é calculado diretamente por ∆S = S − S 0
que corresponde à diferença da posição de chegada e o ponto de partida.
52
Vamos Estudar Física
∆S = 40 − (−20) = 40 + 20 = 60 km
Observe que, quando o deslocamento dá-se num só sentido,
o deslocamento é numericamente igual à distância percorrida. É o caso do item a e b deste exercício.
Em resumo temos:
Distância percorrida total do móvel é igual à soma dos
valores parciais dos deslocamentos tomados em valores
absolutos, ou seja, positivos. A representação de valores
absolutos é entre barras.
d = ∆S AB + ∆S BC = + 100 + − 40 = 100 + 40 = 140km
•
Deslocamento total é igual à soma algébrica dos
deslocamentos parciais, ou seja, temos que levar
em conta o sinal do deslocamento.
∆S AC = ∆S AB + ∆S BC = 100km − 40km = 60km
Quando o deslocamento tem o mesmo sentido da
trajetória ∆S > 0 , dizemos que o movimento é progressivo.
Caso contrário, quando ∆S < 0 dizemos que o movimento é
retrógrado ou regressivo. No nosso exemplo, temos um
movimento progressivo de A para B e outro retrógrado de
B para C.
2-Uma atleta partindo de A dá voltas em uma pista retangular como mostra a figura abaixo. Determine a distância percorrida e o seu deslocamento desde o momento da partida
nos seguintes casos:
a) A distância percorrida por ela quando se encontra em B
e posteriormente em C;
b) O seu deslocamento nessas respectivas posições;
c) A distância percorrida e o deslocamento em uma volta
completa.
53
Vamos Estudar Física
Solução:
6-Velocidade
Introduziremos agora a Cinemática procurando de
imediato conceituar Velocidade, que é um dos seus princípios básicos e que estará presente a partir deste Capítulo.
Todos nós estamos acostumados a ouvir e entender o
comportamento da grandeza física velocidade, até mesmo
muito antes de estudar Física como estamos fazendo agora.
Acontece que velocidade é uma grandeza física do dia-a-dia
e serve para comparar o quanto um carro, por exemplo, é
mais rápido que outro. Assim, se dissermos que um carro A
possui velocidade de 80 km/h e outro carro B, velocidade de
60 km/h, entendemos facilmente que o carro A é mais veloz
que B, pois a cada 1h ele percorre 80 km, enquanto B percorre 60 km.
54
Vamos Estudar Física
Quando a velocidade de um móvel se mantém constante dentro de certo intervalo de tempo, dizemos
que o movimento é uniforme e, caso ele ocorra
em uma única direção,
teremos um movimento
retilíneo
uniforme
(MRU). Há outros tipos de
movimento que podem ser
uniformes, por exemplo, a
rotação do CD dentro do aparelho de som, o giro de uma
roda gigante num parque de diversão, a rotação da terra sobre seu eixo.Todos esses movimentos são movimentos circulares uniformes. O movimento circular uniforme possui
as iniciais (MCU).
7-Velocidade Escalar Média
A velocidade escalar média de um móvel pode ser
calculada facilmente, pois ela é definida como a razão entre
distância percorrida pelo móvel e o intervalo de tempo gasto
por ele.
d
Vm =
∆t
Observe que a unidade de velocidade é a razão da
unidade de comprimento com o intervalo de tempo e, portanto, poderá ser expressa de várias maneiras. Imagine a
seguinte situação: Um carro desloca 180 km em 1h; um homem anda 1m em cada segundo; uma formiga anda 2 km
por dia; Uma abelha voa 100m a cada 8 segundos. Como
55
Vamos Estudar Física
vemos, todas essas grandezas são velocidades e que representamos assim:
Muitas vezes, queremos expressar a velocidade no SI
(m/s) e podemos fazer isto facilmente sempre que a velocidade está expressa em km/h.
1km 1000m
10 3
1
=
=
=
m/s
3
1h
3600s 3,6.10
3,6
Essa transformação nos diz sempre que se uma velocidade
estiver expressa em km/h é só dividir por 3,6 que ela passará
a ser expressa em m/s. O contrário, para passar de m/s para
km/h, é só multiplicar por 3,6.
÷ 3,6
Em resumo temos:
km / h ______
x 3,6
56
m/s
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios /Exemplos
1-(NARB) Certo passeio escolar foi promovido pelos professores de História e Geografia a regiões do agreste e sertão
do Estado de Pernambuco. Um grupo de alunos partiu no
ônibus escolar da cidade do Recife com destino a Petrolina.
Chegando lá, após 16h de diversão, trabalho e pesquisa, três
alunos, Nayane, Nayara e Pedro resolveram calcular a velocidade média do ônibus com os dados que eles anotaram
durante a viagem e iniciaram fazendo alguns questionamentos entre si.
Nayane: - É fácil determinar a velocidade escalar média,
pois temos todos os dados. A distância percorrida foi de
960km , o tempo gasto foi de 16h, então:
d 960km
Vm =
=
= 60km / h
∆t
16h
Nayara: - Acho que não é assim. Alguma coisa está errada!
Pedro: - Concordo com Nayara, pois houve momentos em
que o ônibus estava com velocidade de 100km/h. Nós vimos, pois estávamos lá na frente com o motorista.
Nayane:- Vocês estão certos! Na verdade houve até momentos em que a velocidade foi zero. Vocês não se lembram
das paradas que fizemos em Gravatá, Caruaru e Buíque?
Porém a coisa não é bem assim.
Nayara e Pedro:- Então! O que é realmente velocidade
média?
Nayane:- Velocidade escalar média é a velocidade que o
ônibus (móvel) deveria ter para fazer o percurso sem alterar
a sua velocidade, gastando exatamente o mesmo intervalo
de tempo. No nosso caso, a velocidade média do ônibus foi
57
Vamos Estudar Física
de 60km/h e com esta velocidade constante, o ônibus levaria
exatamente 16 horas para percorrer 960 km.
2-Sabe-se que a velocidade da luz é de c = 3.10 8 m / s . Qual
a distância percorrida pela luz em 1 min?
Solução:
Como a velocidade da luz é constante, então podemos através do conceito de velocidade média determinar a
distância percorrida.
∆S
⇒ ∆S = V . ∆t
∆t
∆S = 3.10 8 m / s . 60s = 180.10 8 m = 1,8.1010 m
V=
3- Um carro percorre dois trechos de uma estrada AB= 36
km e BC=72 km com velocidades médias de 20m/s e 10m/s,
respectivamente. Determine a velocidade escalar média no
percurso total e a velocidade vetorial média.
Solução:
58
Vamos Estudar Física
A velocidade escalar média é, por definição, a razão
entre o espaço percorrido e o intervalo de tempo gasto para
efetuar o referido espaço. Daí temos:
AB + BC 36 + 72
=
O intervalo de tempo total pode∆t
∆t
se obter determinando o intervalo de tempo parcial do trecho AB e do trecho BC.
V =
Cálculos dos intervalos parciais de tempo.
Antes temos que fazer uma transformação de unidade de
m/s para km/h das velocidades 20m/s e 10m/s, que no caso é
só multiplicar por 3,6.
20 m
10 m
x3,6 = 72 km / h
x3,6 = 36 km / h
s
s
Da equação
V=
∆S AB
∆s
36km
temos : ∆t AB =
=
= 0,5h
∆t
V AB
72km / h
∆S BC
72 km
=
= 2h
VBC
36 km / h
Logo
o
intervalo
de
tempo
∆t AB + ∆t BC = 0,5 h + 2 h = 2,5 h , portanto:
(36 + 72) km 108 km
V AC =
=
= 43,2 km / h
2,5h
2,5h
∆t BC =
total
será:
A velocidade vetorial é definida como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo. O deslocamento é exata-
59
Vamos Estudar Física
mente a hipotenusa, que calculada nos dar um valor aproxi→
∆S 80,5km
mado de 80,5km e, portanto v =
=
= 32, 2 km / h
∆t
2,5
4-Um trem com velocidade escalar de 72 km/h leva 1min
para atravessar um túnel de 800 m de comprimento. Qual o
comprimento do trem?
Solução:
Vamos observar a figura abaixo e fixar a nossa atenção em um ponto qualquer do trem, por exemplo, um ponto
P situado no começo da locomotiva. O trem começa a entrar
no túnel quando este ponto está no início do túnel. O trem
sai completamente, quando o vagão deixa o túnel e, neste
momento, o ponto P deslocou-se o equivalente ao tamanho
do túnel mais o seu próprio comprimento desde o momento
da sua entrada, ou seja, 1min atrás.
Usando o conceito de velocidade média e fazendo algumas
transformações temos:
72 km/h=20 m/s e 1min = 60s
8-Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea, como o próprio nome diz,
é a velocidade num certo instante em um ponto qualquer da
trajetória do móvel. O que o velocímetro de um veículo
marca é exatamente a velocidade instantânea naquele ponto.
60
Vamos Estudar Física
Sabemos que a velocidade média dentro de certo
deslocamento é a razão da medida desse deslocamento pelo
intervalo de tempo que o móvel levou para efetuar o referido
∆S
deslocamento V =
. Quanto maior for o deslocamento,
∆t
maior será o intervalo de tempo medido e, portanto, maior
será a incerteza da velocidade instantânea em um ponto do
deslocamento. Se fizermos a contagem de tempo entre um
instante e outro o mais perto possível, menor será o deslocamento efetuado pelo móvel e aí maior será a precisão da
velocidade média que, neste caso, para intervalo de tempo
pequeno (∆t→0) será a velocidade instantânea do móvel.
Observação: A nomenclatura ∆t→0 (Delta t, tendendo a
zero) significa que o instante final e inicial são muito próximos.
A fórmula matemática que traduz o conceito de velocidade
instantânea é :
Esta fórmula nos diz que a velocidade instantânea é
a razão entre o deslocamento percorrido pelo móvel e o intervalo de tempo, quando este tende a zero, ou seja, quando
os instantes finais e inicias são muito próximos (No limite
de ∆t→ 0)
Observação: Você terá a oportunidade de calcular juntamente com seus colegas a velocidade instantânea de um móvel,
no laboratório, com a orientação do seu professor.
61
Vamos Estudar Física
Exercícios Propostos 3.1
1- Conceitue o que é velocidade.
2- Conceitue o que é velocidade média
3- Referente ao diálogo do exercício/exemplo nº1 do tópico
7 Velocidade Escalar Média responda:
a) O passeio realizado foi com o intuito de aprender Física?
b) Quem são os personagens do diálogo?
c) O que fez Pedro e Nayara questionarem a Nayane, quanto
ao cálculo da velocidade média?
d) Qual seria a velocidade média do ônibus se gastasse apenas 14h de viagem?
4- Conceitue o que é velocidade instantânea.
5- Uma motocicleta percorreu 56000 m com uma velocidade
de 80 km/h. Calcule quantos minutos foram gastos para realizar o percurso?
6- Um atleta corre com velocidade de 10 km/h durante
5min. Determine a distância percorrida por ele nesse intervalo de tempo?
7- Um motorista em um automóvel, partiu de uma cidade A
com destino a uma cidade B às 11h e 15 min. Durante o
percurso ele fez duas paradas de 10 e 35 min, respectivamente para abastecer e almoçar. Qual foi a sua velocidade
média se a chegada à cidade B foi às 16 h com um percurso
de 500 km?
62
Vamos Estudar Física
8-(NARB) Em cidades grandes como
o Recife, em horários de movimento,
a velocidade média
de um carro chega a
ser de 20 km/h. Determine o intervalo
de tempo que um carro leva nesses horários para percorrer
5 km de distância?
9- Um carro percorre dois trechos de uma estrada AB = 36
km e BC =12 km com velocidades médias de 20m/s e 10
m/s, respectivamente. Determine a velocidade média no
percurso total?
10-(NARB) As lombadas eletrônicas usam o princípio da
velocidade média para determinar a velocidade com que os
veículos passam em certos trechos das rodovias. O sistema
consiste em dois sensores sob o pavimento que são acionados quando os pneus dianteiros passam sobre o 1º e 2º sensor, e que realiza a contagem de tempo com que os pneus
passaram entre um e outro. Determine a velocidade que será
exibida no painel da figura abaixo, sabendo que a distância
entre os sensores é de 5 m e que o intervalo de tempo foi de
0,5 s.
63
Vamos Estudar Física
11-(NARB) Em um percurso de 1200 m, um automóvel
desenvolveu a velocidade escalar constante de 72 km/h na
primeira metade e de 108 km/h na segunda metade, andando sempre no mesmo sentido. Determine:
a) o intervalo de tempo gasto em cada trecho;
b) a velocidade escalar média no percurso inteiro.
12- O eco é um fenômeno físico devido a reflexão do som
quando este encontra certos obstáculos em sua frente durante a sua propagação. Sabe-se que a velocidade do som no ar
é de 340 m/s e que um garoto diante de uma montanha dá
um grito e ouve o eco após 2s. A que distância ele se encontra da montanha?
13-(UFPE) Numa corrida de 400 m, o vencedor cruza a linha de chegada 50 s depois da largada. Sabendo que o último colocado fez o percurso com uma velocidade média
10% menor que o primeiro, a que distância, em metros, da
linha de chegada ele estava quando o vencedor chegou?
14-(UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo
modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade
da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda metade a 90 km/h. Qual a velocidade média durante o teste completo, em km/h?
15) (OBF 2006) Um móvel vai de um ponto A até um ponto B, distante 100km, em 2h, e do ponto B
ao ponto C distante 140km, sendo a velocidade escalar média de A à C de 48km/h. Qual o tempo gasto de B à C?
a) 1h.
d) 4h
b) 2h
e).5h
c) 3h.
64
Vamos Estudar Física
16. (OBF-2009) Ao meio dia de domingo um avião parte da
cidade A rumo à cidade B que fica ao norte de A (vide figura ), percorrendo a distância de 300 km em um tempo de
3,00 h. Permanece em B por 2,00 h, e em seguida toma o
sentido leste com destino à cidade C que fica a 400 km de B
gastando 1,50 h para fazer o percurso.
a) Calcule a velocidade escalar média (em km/h) do avião
no percurso entre as cidades A e C.
b) Calcule o módulo da velocidade vetorial média (em
km/h) entre as cidades A e C.
9- Movimento Uniforme (MU)
Todo movimento uniforme possui velocidade constante e, portanto, a velocidade média é a própria velocidade
do movimento, pois ela não varia. Raciocinando desta forma, podemos afirmar que a velocidade instantânea de um
movimento uniforme é também a própria velocidade do movimento, pois a cada instante a sua velocidade é a mesma.
A partir de agora, quando quisermos enfatizar que
certo móvel possui velocidade constante em uma só direção,
passaremos a chamá-lo de movimento retilíneo uniforme
65
Vamos Estudar Física
(MRU), cuja equação para determinar a velocidade é a
∆S
mesma que usamos até este momento, ou seja, V =
.
∆t
Outra maneira de dizermos que um movimento é
uniforme é dizer que ele percorre espaços iguais sempre em
tempos iguais.
10 - Sinal da velocidade (Movimento Progressivo
e Movimento Retrógrado)
Já falamos um pouco anteriormente e vamos agora
enfatizar o tipo de movimento que é classificado quanto ao
sentido da velocidade na trajetória.
• Progressivo: Movimento que se dá no mesmo
sentido da trajetória e, neste caso, ∆S>0 e, portanto, V>0.
• Retrógrado: Movimento que se dá no sentido
contrário à trajetória e, neste caso, ∆S<0 e, portanto, V<0.
♦ Exercícios/Exemplos
1-Um móvel, com velocidade constante, desloca-se numa
trajetória retilínea conforme figuras abaixo. Determine, em
cada, caso a velocidade e o tipo de movimento.
1° caso
66
Vamos Estudar Física
Solução: Analisando o movimento desde o instante t1=0 até
t2=2s
temos: ∆S=S-S0=10-5=+5m, daí
∆S + 5
=
v=
= +2,5m / s (MRU progressivo)
∆t
2
2° caso
Solução: Analisando o movimento desde o instante t1=0 até
t2=2s temos: ∆S=S-S0=5-10=-5m, daí
v=
∆S − 5
=
= −2,5m / s (MRU retrógrado)
∆t
2
67
Vamos Estudar Física
11- Comportamento Gráfico da Posição do Movimento Uniforme
Vamos agora analisar o comportamento gráfico de
um corpo em movimento uniforme, ou seja, vamos observar
como varia a sua posição em
uma trajetória com o passar do
tempo, construindo assim uma
tabela da posição x tempo e, em
seguida, o gráfico sxt. Iremos
ilustrar através de um exemplo
que será feito por você.
Exercícios/Exemplos
1-Na figura ao lado, temos um
tubo contendo óleo e uma esfera
imersa no óleo. A densidade da
esfera é maior que a do óleo e,
por isso, quando a esfera é liberada na posição superior ela
adquire um movimento para
baixo atingindo logo em seguida um movimento uniforme.
Vemos também uma régua em centímetro que vai identificar
as posições que ela vai ocupando com o passar do tempo.
Admita que ela foi solta a partir da posição S = 0 e que a
contagem dos tempos deu-se quando ela estava passando
pela posição S = 6cm, logo S0 = 6cm e que, a cada 4s, tirouse uma fotografia registrando as posições ocupadas por ela.
Bem, se em t0=0, S0 = 6 cm, então:
a)complete a tabela abaixo;
b)construa o gráfico de s x t;
68
Vamos Estudar Física
c)qual será a posição da bola no instante t = 30s?
d)determine o valor da velocidade da esfera e represente-a
no gráfico V x t;
e) o movimento é progressivo ou retrógrado?
Solução:
a)
T(s)
0
b) S(cm)
S(cm)
6
c)
d)
T(s)
e)
69
Vamos Estudar Física
2-O movimento de
um carro sobre uma
trajetória demarcada
pode ser representado através do gráfico ao lado. Analiseo e responda:
a)a posição do carro
nos instantes t =0s, t
=5s, t= 15s;
b)o carro está se
afastando da origem
ou se aproximando?
c)represente este movimento numa trajetória indicando o
seu sentido.
d) o movimento é progressivo ou retrógrado?
e) em que instante a sua posição é S=30m e S= 10m?
f) em que instante ele está passando pela origem?
g) qual a sua velocidade?
h) represente a velocidade graficamente.
Solução:
a)
b)
70
Vamos Estudar Física
c)
d)
f)
g)
h)
71
Vamos Estudar Física
12-Equação Horária da Posição do Movimento
Uniforme
Vamos agora chegar a uma equação que nos vai fornecer a posição de um móvel sobre uma trajetória em qualquer instante dado. Para isto, vamos supor que um corpo em
movimento uniforme, ao passar por certa posição da trajetória, passa a ser observado. Começamos a contar o tempo a
partir desta posição, donde teremos t0 =0 (instante inicial) e
S0 (posição inicial no instante da observação). Após um
certo instante, t qualquer, o móvel estará passando por uma
posição S da trajetória (posição final da observação). Como
o movimento é uniforme temos:
Essa equação é denominada Equação Horária da
Posição e o gráfico desta equação (s x t) é sempre uma reta
que corta o eixo de S na posição inicial S0 (Veja Exercícios/Exemplos 1 e 2 tópico 11). A denominação “horária” é
porque S depende do tempo, ou seja, S é função do tempo
S= f(t).
72
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios/Exemplos
1- Preencha as colunas identificando a posição inicial S0, a
velocidade V e o sentido do movimento de cada móvel representado pelas equações da primeira coluna. A unidade
está no SI.
S = s0+vt
S = 4+2t
S = 5-3t
S = -20+10t
S = 5t
S = -4t
S = –2-8t
S = 10-0,5t
s0
4m
v
2m/s
Sentido do Movimento
progressivo
2- Vamos agora determinar a equação horária da posição da
nossa esfera do exemplo 1 citado no tópico 11.
Solução:
A equação horária é dada por: S = S 0 + Vt , onde S0= 6 cm e
V= 1,5 cm/s e daí temos:
S = 6 + 1,5t
3- Fazendo uso agora da equação horária da posição para o
tubo cinemático, determinada no exercício anterior, determine as posições da esfera dentro do tubo cinemático em:
T=2s, 5s, 12s, 32s, 40s, 50s.
Solução:
73
Vamos Estudar Física
4- Em uma rodovia federal, um automóvel parte de uma
cidade localizada no km 220 e logo fica com movimento
uniforme retrógrado com velocidade de 60 km/h. Qual
será a posição deste automóvel após 2h e 30 min?
Solução:
Temos que formular a equação horária da posição deste movimento. Para isto temos:
S0 = 220km posição inicial
V = −60 km / h (o sinal negativo indica que o movimento é retrógrado)
t = 2h e 30 min = 2,5 h.
Daí temos: S=S0+Vt
S = 220-60t
⇒ S = 220-60.2,5
⇒ S
= 220 –150 =70km
5- Dois móveis A e B, num certo instante, estão passando
por um determinado ponto da trajetória indicado na figura
abaixo com velocidades, respectivamente, iguais a 60 km/h
e 80 km/h em valores absolutos. Responda:
a) Faça uma avaliação prévia analisando onde se dará mais
ou menos o encontro.
b) Qual o tempo de encontro?
c) Determine a posição do encontro resolvendo algebricamente, ou seja, fazendo uso das equações.
74
Vamos Estudar Física
d) Construa o gráfico de S x t de ambos móveis num mesmo
plano cartesiano.
e) Determine no gráfico o par ordenado do ponto de interseção dos gráficos.
f) O que este par ordenado representa fisicamente?
Solução:
Antes de qualquer coisa, temos que determinar as equações
horárias das posições de cada móvel, pois são elas que nos
fornecem as posições dos mesmos em qualquer instante dado.
Móvel A
Posição inicial S0 A = 50 km
Velocidade
VA = +60 km / h ( movimento progressivo).
Equação horária S A = S0 A + VAt → S A = 50 + 60 t
Móvel B
Posição inicial
Velocidade
Equação horária
Agora, de posse
pede.
S0 B = 120 km
V = −80km / h (movimento retrógrado)
S B = S 0 B + VB t → S B = 120 − 80t
das equações, podemos resolver o que se
a) O que podemos garantir no momento do encontro dos
dois móveis é que eles terão as mesmas posições e, então,
podemos afirmar que neste instante S A = S B , ou seja, a posição do móvel A é a mesma do móvel B. Igualando as
equações temos:
75
Vamos Estudar Física
S A = SB
50 + 60t = 120 − 80t
60t + 80t = 120 − 50
140t = 70
t=
70 1
= h = 0, 5 h
140 2
Isto significa que, após 0,5h, eles se encontrarão.
b) Podemos estimar a posição do encontro sem dificuldades,
pois o movimento é uniforme (velocidades constantes para
ambos) e a velocidade do carro B é maior que a do carro A,
logo, B aproximar-se-á mais rapidamente. Como o ponto
médio entre eles é a posição S=85m, o encontro deverá
acontecer entre as posições S=50m e S=85m.
c) Uma vez que temos o instante do encontro dos dois móveis é só substituir em qualquer das equações horárias que
teremos a posição do encontro. Faça isto.
Exercícios Propostos 3.2
1- (Fuvest-SP) Uma pessoa caminha com passadas iguais de
80 cm com velocidade constante de 2m/s.
a) Quantos metros essa pessoa caminha em 60s?
b) Quantos passos ela dá por segundo?
2- Dois carros A e B, num certo instante, estão afastados de
10 km. Eles caminham no mesmo sentido com velocidades,
respectivamente, de 100 km/h e 120 km/h e o carro B está à
76
Vamos Estudar Física
frente de A. Determine a distância entre eles após 3 h de
movimento.
3-Dois móveis A e B estão em movimento uniforme sobre
uma mesma reta, no mesmo sentido, com velocidades, respectivamente, igual a 100 km/h e 120 km/h. Num certo instante, B está 10 km à frente de A. Determine depois de
quanto tempo a distância entre eles será de 70 km.
4-(NARB) Um móvel obedece à função horária
S = 20 − 5t ( SI ) .
a) Represente o móvel na sua trajetória.
b) Qual o instante em que o móvel passa pela posição 30 m?
c) Qual o instante em que ele passa pela origem dos espaços?
d) Qual o instante em que ele passa pela posição –30 m?
e) Construa o gráfico de s x t.
5-(NARB) Dois carros, num certo instante, encontravam-se
nas posições 40 km e 80 km de uma estrada com velocidades de 60 km/h e 40 km/h, respectivamente, no mesmo sentido.
a) Represente-os numa trajetória.
b) Determine o instante e a posição de encontro.
c) Construa o gráfico s x t de ambos num mesmo plano cartesiano.
d) Originar no gráfico o par ordenado do ponto de interseção
dos gráficos.
e) O que este par ordenado representa fisicamente?
f) Qual é o gráfico que possui a inclinação com o eixo do
tempo mais acentuado e o que isto significa dizer?
77
Vamos Estudar Física
6-(NARB) Um móvel realiza um movimento cujos dados
em relação a sua posição e instantes estão apresentados na
tabela abaixo.
T(s)
S(m)
0
-50
1
-40
2
-30
3
-20
4
-10
a) Determine o tipo de movimento.
b) Determine a velocidade do movimento.
c) Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado.
d) Determine a função horária do movimento.
e) Determine em que instante a posição do móvel é a origem
dos espaços.
7-Gráficos Discretos
Seis carros participam de uma corrida em pista reta. Num
certo instante, as posições e velocidades dos mesmos são
representadas no gráfico abaixo.
Determine para esse instante:
78
Vamos Estudar Física
a) Qual é o carro que está liderando a corrida?
b) Qual é o carro que se move mais rápido?
c) Se as velocidades não se alterarem daqui para frente, qual
o carro que tem mais chance de ganhar a corrida? Este resultado depende da distância que falta até à linha de chegada?
d) Se a partir deste instante de observação estão faltando
200m em relação ao carro 3 para chegar a linha final, determine a ordem de chegada de cada carro ao passar por esta
linha.
8- Vamos supor agora uma nova situação em relação ao
gráfico anterior e que, após 2s, as velocidades e posições
dos carros são representadas no gráfico abaixo:
a) Que carros mantiveram a velocidade constante durante
este intervalo? Por quê?
b) Que carros aumentaram e diminuíram a velocidade? Por
quê?
79
Vamos Estudar Física
c) Que carros apenas aumentaram a velocidade? Por quê?
d) A partir deste gráfico e deste instante de observação, considerando que as velocidades dos carros permaneceram
constantes, desenhe o gráfico que representaria as posições e
velocidades após 3 segundos.
corpo em movimento uniforme pode ser descrito pela
função horária: s(t)=4t,onde s representa a posição do corpo
e t o tempo, ambos medidos em unidades do sistema internacional (metros e segundos). Assinale qual das alternativas
abaixo melhor representa o movimento do corpo descrito
pela equação horária anterior.
a) o corpo parte (t=0) da origem (s=0) da trajetória.
b) a velocidade média do corpo é de 4m/s.
c) em t=2s o corpo esta a 8m da origem.
d) em t=4s o corpo esta a 16m da origem.
e) todas as alternativas anteriores estão corretas.
9- Um
10- (OBF 2006) Um carro de corrida percorre uma pista
que tem o formato de um quadrado com 12km de lado. O
primeiro lado é percorrido a uma velocidade escalar média
de 120 km/h,
o segundo e o terceiro a 240km/h e o quarto a 120km/h.
Qual a velocidade média do carro
ao percorrer o perímetro do quadrado:
a) 100 km/h.
b) 150 km/h.
c) 200 km/h.
d) 160 km/h.
e) 125 km/h.
80
Vamos Estudar Física
11- (OBF 2006) Dois ciclistas, A e B, movimentam-se sobre uma mesma pista retilínea e plana,conforme está descrito pelas retas no gráfico a seguir:
Assinale a alternativa correta com relação à interpretação do
gráfico anterior.
a) Os ciclistas se deslocam em movimento uniforme.
b) Os dois ciclistas nunca se encontram durante o trajeto.
c) A velocidade do ciclista B é maior que a velocidade do
ciclista A.
d) A velocidade do ciclista A é menor que a velocidade do
ciclista B.
e) Ambos se deslocam com movimento uniformemente acelerado.
12- (OBF 2006) Dois automóveis A e B, ambos com movimento uniforme, percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura a seguir. Em t=0s, suas posições na trajetória são, respectivamente, A e B. As velocidades escalares
no mesmo sentido são, respectivamente, VA = 50m/s e VB
= 30m/s. Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro
dos dois automóveis?
81
Vamos Estudar Física
a) 200m. b) 225m c) 250m
d)300m
e) 350m
13- (OBF 2006) Um trem de carga de 240m de comprimento, que tem a velocidade constante de 20m/s, gasta 30s para
atravessar completamente um túnel. O comprimento do túnel é de:
a) 160m.
b) 200m.
c) 240m.
d) 300m.
e) 360m.
13- Velocidade Relativa
Acho que você já passou por uma experiência de estar em um veículo parado no trânsito, por exemplo, com
outros veículos a sua frente e ao seu lado. De repente, o carro que está ao seu lado dá um ré e momentaneamente você
acha que é o seu veículo que se movimentou para frente,
dando a impressão de que ele movimentou-se em relação à
terra. Acontece que a sua mente tinha como referencial o
veículo ao lado e não percebendo que foi ele que entrou em
movimento para trás, você intuitivamente acha que foi o seu
veículo que se movimentou para frente. Na verdade, tudo
isto é uma questão de referencial, ou seja, tudo isto é relativo. Você está parado em relação à terra (referencial terra),
82
Vamos Estudar Física
porém em movimento em relação ao veículo que estava ao
seu lado (referencial o veículo), pois sua posição modificouse em relação a ele.
Há certos problemas que podemos resolvê-los facilmente usando o conceito de velocidade relativa. Vamos antes mostrar algumas situações simples do dia–a–dia para
depois resolvermos alguns problemas.
Vejamos o exemplo abaixo de dois carros em uma
mesma direção e sentido com velocidades VA e VB, onde
VA>VB.
Como VA>VB , então dizemos que o carro A se aproxima
do carro B com uma velocidade relativa dada por : VAB =
VA – VB .
Se VA =100 km/h e VB = 80 km/h, temos VAB = 100 – 80 =
20 km/h. Logo, VAB = 20 km/h é a velocidade de aproximação do carro A em relação ao carro B. Tudo se passa como
se o carro B estivesse parado (referencial no carro B) e o
carro A aproximando-se dele com velocidade de VAB = 20
km/h. Vamos agora mudar a situação: o carro A possui velocidade VA = 80 km/h e VB =100 km/h, daí teremos:
VAB =VA – VB = 80 – 100 = -20 km/h. O sinal negativo significa que o carro A está afastando-se do carro B com velo-
83
Vamos Estudar Física
cidade de VA = -20 km/h, ou seja, andando para trás em relação ao carro B tomado como referencial.
Uma outra situação é quando os móveis estão na
mesma direção, porém em sentidos contrários e, neste caso,
a velocidade relativa de um em relação ao outro será dada
pela soma das velocidades em valor absoluto (positivo).
VAB = VA + VB = 100+80 =180 km/h, isto significa que tomando o carro B como referencial (parado), o carro A aproxima-se de B com velocidade relativa VAB =180 km/h. Da
mesma forma, se tomarmos como referencial o carro A,
então será B que se aproxima de A com velocidade de
VBA=180 km/h.
Vamos ver agora a resolução de alguns problemas
fazendo uso formalmente das equações horárias da posição,
precisando assim definir referenciais. E vamos resolver o
mesmo problema fazendo uso do conceito de velocidade
relativa.
♦ Exercícios /Exemplos
1- Dois carros A e B estão percorrendo uma estrada retilínea
com velocidades constantes de 30m/s e 20m/s, respectivamente, e separados por uma distância de 100m em certo
instante de observação.
a) Determine o instante de encontro.
b) Quanto o carro A tem que percorrer até alcançar o carro
B?
84
Vamos Estudar Física
Solução 1:
a)Vamos resolver, primeiramente, de uma maneira mais
formal, ou seja, construindo as equações horárias para o
carro A e B, e estabelecendo um referencial para identificar
as suas respectivas posições, como fizemos no estudo do
movimento uniforme.
Vamos admitir que o carro A esteja na origem S = 0
( origem do espaço), portanto o carro B estará na posição S
= 100 m. Daí podemos escrever as equações horárias de
cada um deles e resolver o que se pede.
SA = S0A +VAt
SB = S0B +VB t
SA = 0 +30t
SB = 100 +20t
O encontro dar-se-á no momento em que a posição do carro
A for igual a posição do carro B, ou seja, SA = SB .
SA = SB
30t=100+20t → 30t –20t = 100 → 10t = 100 →
100
t=
= 10 s , logo o instante de encontro foi em t = 10s.
10
b) Fica fácil determinar quanto o carro A andou, pois é só
colocar na equação horária de A o instante t= 10s, o que
85
Vamos Estudar Física
dará a distância percorrida por ele até o encontro, pois ele
partiu da posiçào S0 = 0 como foi definido no referencial.
S A = 30t → S A = 30(10) = 300 m
Solução 2:
Vamos agora usar o conceito de velocidade relativa.
Para isto vamos tomar o carro B como referencial ( carro
parado). Então a velocidade relativa de A em relação ao
carro B é VAB = VA – VB =30 m/s –20 m/s =10m/s ( carro
no mesmo sentido).
Diante da velocidade relativa e o espaço entre os dois
carros, determinamos o tempo de encontro.
Vrel =
∆S rel
∆S rel 100m
→ ∆t =
=
= 10s
∆t
Vrel 10m / s
b) Para determinarmos a distância percorrida por A até o
encontro, temos que fazer uso da equação horária da posição
de A.
S A = 30t → S A = 30(10) = 300 m
2- Dois trens A e B , com velocidades constantes, percorrem
trajetórias pararalelas em trilhos diferentes, com velocidades
iguais a 54km/h e 36km/h, respectivamente. O trem A
86
Vamos Estudar Física
possui 200m de comprimento e o trem B 300 m. Determine
o tempo de ultrapassagem pelo outro nos seguintes casos:
a) Quando eles estiverem no mesmo sentido de movimento.
b)Quando estiverem em movimento com sentidos
contrários.
Solução:
a) Vamos adotar o referencial no trem B, ou seja, tudo se
passa como se ele estivesse parado e a velocidade de
aproximação relativa de A em relação a B é VAB = 54 – 36
=18 km/h = 5 m/s.
Obsevando a representação esquemática abaixo vemos que
o trem A tem que percorrer todo o trem B mais o seu
próprio tamanho.
Então
Vrel
:
∆S rel
∆S rel 300 + 200 500
=
→ ∆t =
=
=
= 100s
∆t
Vrel
5
5
87
Vamos Estudar Física
b) Em sentido oposto, a velocidade relativa de um em
relação ao outro é dada pela soma.
VAB = 54 + 36 = 90 km / h = 25 m / s
∆S rel = 500 m
então : ∆t =
∆S rel 500
=
= 20 s
Vrel
25
Exercícios Propostos 3.3
1-(Fuvest-SP) Um automóvel que se desloca com uma
velocidade escalar constante de 72 km/h ultrapassa outro
que se desloca com uma velocidade de 54 km/h numa
mesma estrada reta. O primeiro encontra-se a 200 m atrás do
segundo no instante t = 0. O primeiro estará ao lado do
segundo no instante:
a) t = 10s
e) t = 50s
b) t = 20s
c) t = 30s
d) t = 40s
2-(PUC-RJ) Dois trens, A e B, num certo instante, estão
afastados de 1 km. Como viajam no mesmo sentido, com a
mesma velocidade v = 100 km/h, qual a distância entre eles
após meia hora do instante considerado?
3- Dois carros A e B, num certo instante, estão afastados de
10 km. Eles caminham no mesmo sentido com velocidades,
respectivamente, de 100 km/h e 120 km/h e o carro B está à
frente de A. Determine a distância entre eles após 3h de movimento.
88
Vamos Estudar Física
4-(OBF-2008) As posições de dois blocos fotografados a
cada 0,2 segundo são representadas na figura. Os blocos
estão em movimento para a direita.
a) Qual o intervalo de tempo decorrido a partir da primeira
imagem fotografada até o momento que a frente do bloco B
encontra com o fundo do bloco A?
b) Para um observador que se encontra no bloco B, qual o
módulo da velocidade e o sentido do movimento do bloco
A?
CAPÍTULO 4
Movimento Variado
Introdução
Os movimentos dos corpos no dia-a-dia são muito
mais variados do que propriamente uniformes, até porque,
para entrar em movimento uniforme, um corpo que estava
89
Vamos Estudar Física
em repouso, por exemplo, terá que variar a sua velocidade
de zero até alcançar a sua velocidade constante em um certo
intervalo de tempo.
Suponha que a figura acima represente a partida de
um atleta numa competição de 200 m rasos e que cada
quadro da fotografia tenha sido batido em intervalos de
tempos iguais. Observamos que, de A até B, o atleta
percorre espaços cada vez maiores em tempos iguais
(MRV). De B para C, o atleta corre espaços iguais em
tempos iguais (MRU).
1- Aceleração
No exemplo acima, no deslocamento de A até B,
notamos que o atleta percorre espaços cada vez maiores no
mesmo intervalo de tempo, constatando que a sua
velocidade está variando. Toda vez que há uma variação da
velocidade de um móvel dentro de um certo intervalo de
tempo, dizemos que ocorreu uma aceleração. Quando essa
aceleração implica num aumento da velocidade, o
movimento é dito acelerado, caso contrário, quando a
variação implica em uma diminuição da velocidade em um
certo intervalo de tempo, dizemos que houve uma
desaceleração e o movimento é dito retardado. De uma
forma ou de outra sempre que houver uma variação de
90
Vamos Estudar Física
velocidade , seja para mais ou para menos, fisicamente
significa que houve uma aceleração.
As acelerações mais conhecidas no cotidiano são as
dos carros de corrrida, dos aviões, dos atletas no momento
da partida de uma competição, com também a aceleração
da gravidade. Todo corpo próximo à superfície da terra está
sujeito a uma aceleração constante cujo valor aproximado é
de 10 m/s2 e que independe da massa do corpo, ou seja, uma
pena e uma bola de gude caem com a mesma aceleração e,
portanto, têm as mesmas variações de velocidade no mesmo
intervalo de tempo (Estamos aqui desprezando a resistência
do ar. Movimento no vácuo).
2-Aceleração Escalar Média
A aceleração é uma grandeza vetorial, ou seja,
possui módulo, direção e sentido, mas quase sempre
estamos preocupados apenas com o seu módulo e daí
chamamos simplesmente de aceleração escalar. Quando
um corpo varia sua velocidade de um ponto a outro, dentro
de um certo intervalo de tempo, o movimento pode variar
aleatoriamente, ou seja, de uma maneira não regular e,
portanto, não possuir aceleração constante. Daí podemos
determinar dentro deste intervalo de tempo a aceleração
escalar média que, matematicamente, é dada pela fórmula
∆V V − V0
a=
=
∆t
t − t0
V → representa a velocidade final
V0 → representa a velocidade inicial
t → tempo final
t 0 → tempo inicial
91
Vamos Estudar Física
A unidade de aceleração é dada pelo quociente da
unidade da velocidade pela unidade de tempo, sendo assim ,
podemos ter:
m / s m / s km / h cm / s
,
,
e assim por diante.
s
h
h
s
m
m/s s m 1 m
No sistema SI teremos:
= = x = 2
s
s
s s s
1
Dizer que os corpos que caem próximo à superfície
da terra possuem uma aceleração de 10m/s2 é dizer que a
10m / s
sua velocidade varia de
, ou seja, a velocidade varia,
s
cresce de 10m/s em cada segundo.
♦ Exercícios/Exemplos
1-(NARB) Um móvel desloca-se numa trajetória retilínea
num intervalo de tempo t = 6s, com velocidade que varia
conforme ilustação abaixo.
a) Determine a aceleração escalar média de todo percurso.
b) Determine a aceleração média entre os instantes t = 0s e t
= 1s, t =1s e t = 3s, t =3s e t= 6s.
c) As acelerações escalares médias calculadas no item
anterior determinam que tipo de movimento?
d) Podemos afirmar que entre os dois instantes finais t = 3s
e t = 6s o movimento foi apenas acelerado? Por quê ?
92
Vamos Estudar Física
Solução:
a) Aplicando a definição de aceleração escalar média no
percurso total temos:
a=
∆V 22m / s − 10m / s 12m / s
=
=
= 2m / s 2
∆t
6s − 0s
6s
b)
c)
d)
3-Aceleração Instantânea
Da mesma forma que definimos velocidade instantânea,
a aceleração instantânea de um móvel é calculada quando
tomamos variações da velocidade em intervalos de tempo
muito próximo um do outro, ou seja, quando ∆t → 0 ( ∆t
tende a zero).
a inst = lim
∆t → 0
∆V
∆t
93
Vamos Estudar Física
4-Movimento Acelerado e Movimento Retardado
No estudo da velocidade, foi definido que, quando o
móvel possui velocidade no mesmo sentido da trajetória, ela
é positiva (V>0) e o movimento é dito progressivo. Quando
o móvel possui velocidade contrária ao da trajetória ela é
negativa (V<0) e o movimento é dito retrógrado. Com isso,
às vezes, no estudo da aceleração somos levados a dizer que,
quando a aceleração é positiva a>0, o movimento é acelerado e quando a aceleração é negativa a<0 o movimento é
retardado, o que nem sempre é verdade. Vejamos um exemplo para chegarmos a uma conclusão correta.
♦ Exercícios/Exemplos
1- Um carro em movimento retilíneo apresenta quatro situações diferentes que são mostradas numa tabela que contém
velocidade X tempo. Observe a análise da primeira situação
e faça uma análise semelhante nas demais situações.
Situação 1
V(m/s) 2
6
10
14
18
22
t(s)
2
4
6
8
10
0
Representação gráfica do movimento apresentado na
situação 1
94
Vamos Estudar Física
Comentários: Como a velocidade é positiva (V>0) o movimento é progressivo, velocidade no sentido da trajetória.
Observamos também que, a cada 2s, o módulo da velocidade cresce regularmente de 4m/s, ou seja, possui uma aceleração de a = 2m/s2 (a>0) aceleração positiva. Note que para
qualquer intervalo de tempo dado, a aceleração média é a
mesma, ou seja, é constante.
a=
∆V 6m/ s − 2m/ s 4m/ s 2m/ s
=
=
=
= 2m/ s2 (aceleração mé∆t
2s − 0s
2s
s
dia entre os instantes 0s e 2s)
∆V 10m / s − 6m / s 4m / s
=
=
= 2m / s 2 (aceleração mé4s − 2s
2s
∆t
dia entre os instantes 2s e 4s)
a=
∆V 18m / s − 2m / s 16m / s
=
=
= 2m / s 2 (aceleração
∆t
8s − 0 s
8s
média entre os instantes 0s e 18s)
a=
Nos casos em que a aceleração escalar média é a
mesma para qualquer intervalo de tempo, dizemos que o
movimento é uniformemente variado. No movimento uniformemente variado a aceleração é constante em todos os
intervalos de tempo e, portanto, a velocidade varia regularmente.
Conclusão: O problema apresentado na tabela 1, trata-se de
um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, Progressivo, Acelerado. Note que V > 0 e a > 0.
95
Vamos Estudar Física
Você agora é que vai analisar as outras situações
mostradas nas tabelas 2, 3 e 4 desenhando a representação
gráfica , fazendo os comentários devidos e tirando as suas
próprias conclusões.
Situação 2
Tabela 2
V(m/s) -6
t (s)
0
-8
2
-10
4
-12
6
-14
8
-16
10
Representação gráfica
Comentários
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Conclusão
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
96
Vamos Estudar Física
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Situação 3
Tabela 3
V(m/s) 22
t (s)
0
18
2
14
4
10
6
6
8
2
10
Representação gráfica
Comentários
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Conclusão
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
97
Vamos Estudar Física
Situação 4
Tabela 4
V(m/s) -50
t (s)
0
-40
2
-30
4
-20
6
-10
8
0
10
Representação gráfica
Comentários
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Conclusão
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
98
Vamos Estudar Física
A tabela abaixo nos fornece um resumo do tipo de movimento estudado nas quatro situações. Complete as linhas
referentes às tabelas 3 e 4.
V>0
V<0
a>0
a<0
Progressivo
Retrógrado
Acelerado
Retardado
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
Tabela 4
Observando a tabela acima, concluímos que, quando a velocidade e a aceleração possuem os mesmos sinais (V>0, a >0
ou V <0 e a< 0), o movimento é acelerado. Quando possuem sinais diferentes, (V>0, a <0 ou V<0 e a >0) o movimento é retardado.
Exercícios Propostos 4.1
1- Um automóvel, parado em um semáforo, arranca logo
que este fica verde e 5s após está com velocidade de
40 km/h. Qual foi a sua aceleração média neste intervalo de
tempo?
2- Um motorista, ao ver um semáforo vermelho, começa a
frear no momento em que a sua velocidade é de 72 km/h,
parando em 10s. Determine:
a) a aceleração média durante a freada em m/s2;
b) a velocidade do carro nos cinco primeiros segundos.
99
Vamos Estudar Física
3-(UFPE) Um caminhão com velocidade de 36 km/h é freado e pára em 10s. Qual o módulo da aceleração média do
caminhão durante a freada?
4- Um automóvel parte do repouso, com aceleração constante e igual a 3m/s2. Calcular a velocidade escalar do móvel
em 10s após a partida.
5-(NARB) Um automóvel de corrida teve a sua velocidade
alterada de 80 km/h para 200 km/h em 6s. Responda:
a) Qual a sua aceleração, suposta constante, dentro deste
km / h
intervalo de tempo em
.
s
b) Dê uma interpretação física para este resultado.
d) Complete a tabela abaixo para os quatro primeiros segundos.
t(s)
0
v(km/h) 80
1
2
3
4
5-Movimento Uniformemente Variado
No movimento uniformemente variado, a aceleração
é constante e diferente de zero e, sendo assim, a aceleração
escalar média e a aceleração instantânea são iguais. Se o
movimento possuir uma única direção, teremos o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Da definição
da aceleração escalar média, podemos determinar a função
horária da velocidade do movimento uniformemente variado, pois a aceleração escala média é constante.
100
Vamos Estudar Física
∆V V − V0 V − V0
=
=
, onde t 0 = 0, pois este é o ins∆t
t − t0
t
tante da observação, início da contagem do tempo. Daí temos:
V − V0
a=
→ V − V0 = at → V = V0 + at
t
v = v0 + a.t → Equação horária da velocidade. Com
esta equação podemos determinar a velocidade em qualquer instante se conhecermos a velocidade inicial e a
aceleração do movimento.
a=
♦ Exercícios/Exemplos
1- Identifique em cada função horária da velocidade do
MUV os valores de v0 e a expresso no SI.
V = v0 + a .t
v = 20 – 3.t
v = -10 +5.t
v = 5.t
v = -t
v = -8-4.t
v0
20m/s
a
-3m/s2
2- (NARB) Certo móvel encontra-se numa posição S qualquer de uma trajetória retilínea e a velocidade é dada por: v
= 4 +2.t (m/s). Responda o que se pede:
a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
101
Vamos Estudar Física
b) Complete a tabela determinando a velocidade para cada
instante dado.
t (s)
v (m/s)
0
1
2
8
3
4
12
5
6
7
c) Complete o desenho com a representação da velocidade e
a possível posição do móvel na trajetória abaixo para os
instantes t =2s, t=3s e t=4s da tabela do item b.
d) Que conclusão podemos tirar com respeito ao espaço
percorrido por um móvel para um mesmo intervalo de tempo?
3-Certo móvel possui como equação horária da velocidade a
equação v = -10 +2.t.
a) Qual a velocidade em t= 0s, t = 2s, t = 3s, t = 5s, t =6s e t
= 7s?
b) Em que instante o móvel muda de sentido?
c) Classifique o movimento quanto ao sentido e à variação
da velocidade nos instantes do item a, observando o sinal da
velocidade e da aceleração.
102
Vamos Estudar Física
Solução:
(t= 0) , V = −10 + 2.t → V = − 10 + 2.0 = −10 + 0 = −10m / s
(t=2s), V = −10 + 2.t → V = − 10 + 2.(2) = −10 + 4 = −6m / s v
b) O móvel mudo de sentido no instante em que a sua velocidade é zero. V=0.
c)
V>0 V<0 V=0 a>0 Pro- Retró Repou Acele- Regres tróso
rado tardasivo grado Mudando
ça sentido
t =0s
-10
2
t =3s
t =5s
t =6s
t =7s 4
2
Exercícios Propostos 4.2
1- Certo móvel possui movimento uniformemente variado e
a função horária da velocidade é dada pela equação
V = 24 − 4t , onde t é medido em segundos e v em metros
por segundo.
103
Vamos Estudar Física
a) Determine a velocidade escalar inicial e a aceleração do
movimento.
b) Determine o instante em que o móvel muda de sentido.
c) Discuta se o móvel é acelerado ou retardado nos instantes
3s e 7s.
d) Represente numa trajetória o módulo e o sentido da velocidade nos instantes t= 0s, 2s, 4s e 6s.
e) Determine a aceleração do móvel em t = 10s
2- Dois móveis A e B possuem equações horárias dadas por
V A = −10 + 2t e VB = 5 − 3t . Em que instante suas velocidades coincidem?
3-Usando os dados fornecidos na tabela, determine a equação horária da velocidade, sabendo que a aceleração é constante.
V(m/s)
T(s)
20
0
35
2
50
4
65
6
80
8
6-Comportamento Gráfico da Velocidade do
MUV
No Movimento Uniforme analisamos o comportamento gráfico da posição x tempo, cuja equação é
s = s 0 + v.t . Vimos que tal equação nos fornece um gráfico
de uma reta. Da mesma forma, a equação da velocidade do
MUV, dada por v = v0 + a.t , vai nos fornecer no plano cartesiano v x t uma reta que passaremos a analisar através do
exemplo seguinte:
104
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios/Exemplos
1- Para cada equação dada abaixo, que representa o comportamento da velocidade de certo móvel, construa uma tabela
e analise o comportamento gráfico. Observe se a função é
crescente ou decrescente, e indique em qual dos intervalos
de tempo o movimento é acelerado ou retardado, progressivo ou retrógrado.
a)
Solução:
a)
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
v (m/s)
10
12
14
16
18
20
22
24
para t= 0s , temos:
para t= 1s , temos:
para t =2s, temos :
105
Vamos Estudar Física
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente, que
o movimento é progressivo para todo intervalo de tempo
(v>0) e que o movimento é acelerado para qualquer instante,
pois o módulo da velocidade está sempre crescente.
Intervalo de tempo Progressivo
X
∆ t>0
106
Retrógrado
Acelerado
X
Retardado
Vamos Estudar Física
b)
para t=0, temos:
m/s
para t= 1s, temos:
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
v (m/s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
Observando o gráfico, vemos que a função é decrescente, ou
seja, à medida que o tempo cresce a velocidade decresce
(retardado). O movimento é progressivo (v>0) no intervalo
0<t<5; em t=5 o móvel pára e muda de sentido, passa a ter
um movimento retrógrado (v<0) e, a partir daí, o módulo da
velocidade cresce com o tempo (acelerado).
Intervalo de tempo
0<t<5
t=5
t >5
Progressivo Retrógrado
Acelerado
X
Retardado
Repouso
X
X
X
X
c)
d)
107
Vamos Estudar Física
7-Equação Horária da Posição do Movimento
Uniformemente Variado
No Movimento Uniforme, vimos que a equação horária da posição é s = s 0 + v.t ,onde s 0 é a posição inicial e v
a velocidade a qual é constante em qualquer momento. No
MUV, em que a velocidade varia uniformemente, as posições ocupadas por um móvel no decorrer do tempo são da1
das pela equação s = s 0 + v0 .t + a.t 2 , que pode ser mostra2
da facilmente, mas que, por enquanto, vamos apenas compreendê-la sem nos preocuparmos neste momento com a sua
demonstração. Olhando atentamente, vemos que esta equação é do tipo y = ax 2 + bx + c , ou seja, é uma equação do 2º
grau na variável t. Você, certamente, já estudou o comportamento gráfico de uma função do 2º grau e sabe que ela é
uma parábola cuja concavidade pode ser voltada para cima
ou para baixo. Caso não tenha visto ou não se lembre, poderá pedir ao professor para falar um pouco sobre ela, mas isto
será vivenciado em um outro momento no estudo dos gráficos do MU e MUV. Ainda observando a equação
1
s = s 0 + v0 .t + a.t 2 , vemos que quando a = 0 , movimento
2
uniforme, o terceiro termo da equação se anula e temos exatamente a equação do movimento uniforme s = s 0 + v.t .
Daí temos como equações horárias da posição e da velocidade para o MUV as equações:
108
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios/Exemplos
1- Na tabela seguinte, na primeira coluna, é dada a equação
da posição do MUV. Identifique a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração ( s 0 , v 0 , a ) e, em seguida, construa a equação da velocidade correspondente a cada equação
da posição fornecida na primeira coluna . As unidades estão
no SI.
at 2
2
4
s = 10 − 2t + t 2
2
s = −5 + 10t + 2t 2
s = −t + 5t 2
s = 4t − t 2
s = 3t 2
s = s 0 + v0 t +
s0
10m
v0
-2m/s
a
4m/s2
v = v0 + a.t
v = −2 + 4t
2- Certo carro em MRUV, com aceleração de 2m/s2, encontra-se no momento da observação na posição e velocidade
mostradas na figura. Determine:
a) a equação horária da velocidade e da posição para este
carro;
b) a posição deste carro após t = 5s;
c) a velocidade neste instante;
d) a velocidade média do carro no intervalo de tempo de 5s.
109
Vamos Estudar Física
6m/s
20
Solução:
a)
b)
c)
d)
110
S(km)
Vamos Estudar Física
3- Agora que temos conhecimento da equação horária da
posição
do
movimento
uniformemente
variado
2
at
s = s 0 + v0 t +
, podemos determinar exatamente as posi2
ções ocupadas pelo móvel dos Exercícios /Exemplos nº 2
página 50, tópico 5 – MUV. Naquele momento, fizemos
uma estimativa das posições ocupadas pelo móvel e agora
podemos calculá-las de fato.
Solução:
4-(NARB) Um certo móvel possui como equação horária da
posição a equação S = 10 + 40t − 4t 2 . Através da análise
desta equação cujos termos estão no SI, responda ao que se
pede:
a) A posição e a velocidade do móvel no momento da observação do movimento (t = 0).
b) A aceleração do móvel.
c) A equação horária da velocidade para este móvel.
d) O instante em que o móvel muda de sentido.
e) A representação numa trajetória retilínea com a sua posição e velocidade no instante t=0,
t =2s, t = 4s, t = 5s, t = 6s, e t =7s.
f) O tipo de movimento durante este intervalo de tempo de
t=0 e t=7s.
111
Vamos Estudar Física
g) O gráfico de s x t e v x t. Represente o gráfico entre os
instantes t = 0 a t =10s. Use papel milimetrado.
Solução:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
8-Cálculo da Velocidade Escalar Média no MUV
A velocidade escalar média será sempre definida
∆S S 2 − S1
como V =
para qualquer tipo de movimento,
=
∆t
t 2 − t1
no entanto, no movimento uniformemente variado, ela pode
ser determinada através da média aritmética das velocidades
112
Vamos Estudar Física
entre dois instantes considerados, correspondendo a um certo deslocamento entre estes dois instantes. Veja a ilustração
abaixo.
t2
t1
S1
S2
S
∆S
Podemos demonstrar algebricamente, sem nenhuma
dificuldade, que isto é verdadeiro a partir da equação da
posição do MUV.
1
1
1
S = S0 + v0t + at2 → S − S0 = v0t + at2 → S − S0 = t(v0 + at)
2
2
2
Passando o t que está em evidência no segundo
membro da equação para o primeiro membro e somando os
termos dentro do parêntese temos:
É só lembrar que o termo dentro do parêntese
v0 + at = v é a velocidade final após um certo instante t.
Isto quer dizer que no MUV, em particular, podemos
determinar a velocidade média através da média aritmética
das velocidades entre dois instantes.
113
Vamos Estudar Física
♦ Exercícios/Exemplos
v + v0
2
que foi deduzida neste tópico, determine a velocidade média
pedida nos Exercícios/Exemplos nº 2 tópico 7.
1-Usando agora a fórmula da velocidade média V =
Solução:
2-Certo móvel em MUV possui, no instante t = 0, posição S0
=10m e velocidade escalar de 40m/s. No instante t = 10s a
sua velocidade escalar era de 70m/s. Determine neste momento a posição do móvel.
Solução:
3-Temos, na figura seguinte, o gráfico de S x t representando o movimento uniformemente
variado de um móvel. Com base
neste gráfico e usando o conceito de velocidade média, determine a velocidade inicial deste
móvel no instante da observação.
114
Vamos Estudar Física
Solução:
Observando o gráfico, vemos no instante to= 0 que S0 = 0; e
que no instante t =5s, S=25m. Sabemos que o vértice da
parábola corresponde ao instante em que o móvel está mudando de sentido e, portanto, v = 0. A velocidade média
entre esses dois instantes pode ser dada através de:
Daí :
∆s
V=
e
∆t
v +v
V= 0
2
v0 + v ∆s
v + 0 25
=
→ 0
=
2
2
5
∆t
v0 + 0
= 5 → v0 = 10m / s
2
4-Resolva a questão anterior construindo a equação horária
da posição a partir do gráfico.
Solução:
115
Vamos Estudar Física
9-Equação de Torricelli
A equação de Torricelli é independente do tempo e,
por isto, ela é muito útil na resolução de problemas em que
não se tem o tempo como uns dos dados.
V2= V02+2.a.∆S
♦
Exercícios / Exemplos
1-A Avenida Boa
Viagem é uma das
mais belas e longas
do litoral do nordeste,
contrastando
com a natureza de
um lado (o mar), e
com os edifícios do
outro. Um motorista
que trafega nesta
avenida tem que
estar atento para os
semáforos, que são muitos. Um homem, que dirige um carro
a 60 km/h, vê um semáforo que está a 500m ficar vermelho.
Qual deverá ser o valor da desaceleração mínima aplicada
no carro para que ele possa parar dentro desta distância?
116
Vamos Estudar Física
Solução:
V0 = 60km / h ≈ 16,7m / s
V =0
∆S = 500m
V 2 = V 2 0 + 2.a.∆S → 0 2 = (16.7) 2 + 2.a.500 → 0 = 278,9 + 1000a
a=
− 278,9
m / s 2 = − 0,2789m / s 2
1000
2- Um corpo em queda livre possui movimento uniformemente variado cuja aceleração é a aceleração da gravidade,
essa, em valores redondos, aproxima-se de g = 10m/s2. Se
uma pedra caísse nessas condições de uma altura de 320m
do solo, qual o valor da velocidade ao chegar ao chão?
Solução:
Exercícios Propostos 4.3
1-Certo móvel, com velocidade de 180 km/h, é freado uniformemente até parar, deslocando-se de 200m. Determine:
a) a aceleração escalar;
b) o tempo de freagem.
117
Vamos Estudar Física
2-Um certo carro passa no marco 10km de uma estrada retilínea com velocidade de 20m/s e pelo marco 15km com velocidade de 30m/s. Sua aceleração foi constante durante
todo o tempo. Determine:
a) a aceleração do movimento;
b) o tempo entre os dois marcos;
c) a velocidade média calculada através da definição e pela
fórmula do movimento uniformemente variado.
3- Dois móveis estão sobre
uma mesma trajetória executando movimentos. Os
comportamentos da velocidade X tempo de ambos são
mostrados nos gráficos ao
lado. No instante t = 0s eles
se encontravam na mesma
posição da trajetória, pois
neste momento, B estava
passando por A. Analise
atentamente os gráficos que estão construídos num mesmo
sistema de eixos ortogonais e responda o que se pede.
a) O tipo de movimento de cada móvel.
b) As equações horárias da velocidade de cada um.
c) As equações horárias da posição de cada um.
d) As velocidades de A e de B nos instantes 0s,10s,30s e
40s.
e) Determine as posições de A e de B nos instantes do item
anterior, tomando como referência a posição em que eles se
encontravam no instante t = 0. Para tal posição, adote S0 =0.
f) A posição da estrada em que A passa por B.
118
Vamos Estudar Física
g) A distância percorrida por A e B no momento em que
eles têm a mesma velocidade.
h) Determine a área sob a curva dos gráficos de A e B entre
o intervalo de tempo de 0s a 30s e compare com o resultado
do item anterior.
Capítulo 5
Queda Livre -Movimento Uniformemente
Variado Na Vertical
Introdução
O termo queda livre refere-se a corpos que caem
apenas sobre efeito da aceleração da gravidade e, portanto,
sobre efeito de seu próprio peso, que é a força de atração
que a Terra exerce sobre os corpos dentro do seu campo
gravitacional. Quando dizemos que um corpo cai em queda
livre, estamos supondo que o ar não interfere no movimento,
ou melhor, a queda dá-se no vácuo. Próximo à superfície da
terra e na ausência de ar, todo corpo cai com aceleração
constante e com valor próximo de 9,8m/s2 e independente de
sua massa, ou seja, um corpo com 5 kg, por exemplo, e uma
pena com 0,01g caem juntos desenvolvendo velocidades
idênticas, pois a aceleração a que eles estão submetidos é a
mesma (aceleração da gravidade). Experimente soltar de
uma altura de 2m uma folha de caderno amassada em forma
de bola e uma folha aberta. Quem chega primeiro ao chão?
119
Vamos Estudar Física
Faça agora com as duas folhas amassadas. Quem chega primeiro? Explique o que houve.
Hoje sabemos que o experimento é a base fundamental da ciência e que tudo que se pode medir deve ser medido
e experimentado para comprovar certo fato. Galileu Galilei
foi o pai da Física Experimental, pois introduziu o experimento onde tudo era medido para comprovar certas teorias.
Conta-se que ele fez a experiência de soltar duas esferas de
massas diferentes do alto da torre de Pisa para mostrar que
elas chegavam ao solo ao mesmo tempo. Na época foi um
impacto para todos, pois todo mundo estava enraizado aos
pensamentos de Aristóteles que acreditava em apenas no
que via sem a preocupação de fazer medições.
1-Equações de Movimento Para Queda Livre
As equações de movimento são as mesmas do
MRUV, pois queda livre é um
Movimento
Uniformemente
Variado que ocorre na direção
vertical. Portanto, as equações
são aquelas que já vimos, porém
a aceleração terá um único valor
constante de g = 9,8m/s2, mas
que muitas vezes iremos aproximar para o valor g = 10m/s2.
120
Vamos Estudar Física
Equações:
Y=Y0+V0.t+1/2gt2
Na equação da posição, geralmente usa-se a nomenclatura y e y0 ao invés de S e S0 por tratar-se de movimento
na vertical, direção do eixo Y. Desta forma, passaremos a
escrever as equações, com esta nomenclatura, porém o mais
importante, independentemente de como escrever as equações é ter em mente que o movimento dá-se na vertical.
Da mesma forma que no estudo do MRUV, na horizontal, em que o eixo da trajetória (x) teve seu sentido positivo orientado para direita, também adotaremos um sentido
no nosso estudo de queda livre. Nesse caso, a trajetória vertical (y) terá o sentido positivo orientado para cima. Teremos assim, V>0 para velocidades no sentido positivo de Y e
V<0 para velocidades no sentido contrário. A aceleração
terá sempre o sinal negativo (g<0), pois seu sentido é para
baixo na direção do centro da terra. Vejamos um exemplo
para nos esclarecer melhor.
Exercícios/Exemplos
1-(NARB) Em uma plataforma, de altura h =10m, uma bola
é lançada para cima na direção vertical com velocidade de
40m/s.
Determine:
a) as equações de movimento para este corpo;
b) o instante em que a bola atinge a altura máxima;
121
Vamos Estudar Física
c) a altura máxima;
d) o instante em que a bola está passando novamente pela
posição y0, posição de lançamento;
e) a velocidade, durante a queda, e no instante em que ela
está passando no nível da plataforma;
f) determine o instante e a velocidade quando ela atinge o
solo.
g) construa o gráfico das equações de movimento Y x t, V x
t e a x t para instantes a partir do lançamento até o instante
em que chegar ao solo fazendo uma análise detalhada do
movimento da bola durante este intervalo de tempo.
Solução:
a) Observe a figura ao lado. Nela representamos a plataforma de altura h = 10m de onde é lançada a bola com velocidade de 40m/s e no sentido de Y.
As equações de movimento são:
V = V0 + g.t →
V = 40 − 10.t
1 2
10
gt → Y = 10 + 40.t − t 2
2
2
2
2
2
2
V = V0 + 2.g∆Y → V = (40) − 2.10.∆Y
Y = Y0 + V0 t +
V 2 = 1600 − 20∆Y
Observe que o sinal da velocidade e da aceleração
está como foi dito no inicio, ou seja, V> 0 (Sentido positivo
de Y e g < 0 sentido contrário a orientação de Y)
122
Vamos Estudar Física
Y(m)
V=0
V0 =
40m/s
Y0 =10m
H=10m
b) A altura máxima será atingida quando a velocidade final
for zero V = 0, então é só colocar esta condição na equação
da velocidade para encontramos o tempo.
V = 40 − 10.t
0 = 40 − 10t → 10t = 40
40
t=
= 4s
10
c) A altura máxima corresponde ao instante em que a velocidade final é zero, ou seja, V = 0 e, portanto, t = 4s onde
temos:
Observe que esta altura é em relação ao solo, origem do referenci10
Y = 10 + 40(4) − (4) 2 al. A altura em relação à plata2
Y = 10 + 160 − 80 = 90m forma é dada por ∆Y= Y-Y0 = 9010 = 80m
123
Vamos Estudar Física
d) O instante em que a bola está passando pela posição y0
=10m (altura da plataforma) corresponde ao instante da descida. Para achá-lo é só colocar na equação da posição este
valor (10m) que corresponde à posição do instante procurado.
→
g
1
Y = Y0 +V0.t + g.t 2
2
1
10=10+ 40.t − .10.t 2 →10−10= 40.t − 5.t 2
2
2
0 = 40.t − 5t →− 5t 2 + 40.t = 0→t.(− 5.t + 40) = 0
Como solução temos: t = 0 ou (-5.t
+ 40) = 0, que resolvendo esta última nos fornece:
− 5t + 40 = 0 → − 5.t = − 40 → t =
Y(m)
V=0
Y0 =10m
V= - 40m/s
H=10m
40
= 8s
5
Observe que há dois instantes em que a bola ocupa
esta posição. Um deles é exatamente ao instante em que ela
é lana t0 = 0s e o outro corresponde ao instante da descida t
= 8s. Aproveitando, vamos afirmar agora que, em queda
livre, o tempo de subida é sempre igual ao tempo de descida
e isto pode ser verificado neste próprio exemplo, onde o
tempo para atingir a altura máxima foi t = 4s e o tempo de
descida até o ponto de lançamento foi de t = 4s, perfazendo
um tempo total desde o momento do lançamento de t = 8s
(4s para subir e 4s para descer).
124
Vamos Estudar Física
e) Este instante corresponde a t = 8s e daí temos:
V = 40 − 10.t → = 40 − 10(8) Note que o sinal da velocidade
em t=8s é negativo V<0. Isto
V = 40 − 80 = − 40m / s
nos indica que a velocidade é
contrária ao sentido escolhido
para a trajetória. Note ainda que
o módulo da velocidade é o
mesmo no momento do lançamento.
f) Bem, sabemos que no momento em que a bola atinge o
solo a sua posição é zero, ou seja, y = 0 , daí na equação
y = 10 + 40t − 5t 2 → 0 = 10 + 40t − 5t 2
y = 5t 2 − 40t − 10 = 0
Resolvendo encontramos a solução t = 8,25s, que substituindo na equação da velocidade, teremos v=-42,5m/s
g) Este você faz.
Y(m)
t (s)
125
Vamos Estudar Física
V(m/s)
t (s)
a(m/s2)
t (s)
126
Vamos Estudar Física
2-(NARB) Recife, capital do Estado de Pernambuco, é cortada pelos rios Capibaribe e Beberibe, o que levou a construção de belíssimas pontes. Hoje, elas contrastam com as
belezas naturais ao longo dos rios e deixa o Recife mais
atraente. A ponte, Princesa Izabel, que liga a rua da Aurora
ao Palácio das Princesas e ao Teatro Santa Izabel, possui
uma altura em torno de 4m a partir da sua muralha até a
superfície da água em maré baixa quando situado no ponto
médio da ponte. Duas
alunas resolvem fazer
uma experiência e deixam cair uma bola desta altura, para este experimento,
podemos
aproximar as condições
de uma queda livre.
(OBS: Nunca jogue
objetos nos rios, devemos preservá-los! O problema a cima é apenas teórico e a
foto tirada para ilustração).
Determine.
a) o tempo que a bola leva para atingir a superfície da água;
b) a velocidade com que ela atingiu a água;
c) quantos segundos se passam desde o momento do impacto da bola na água e a escuta do barulho, supondo que a velocidade do som no ar é de 340m/s?
127
Vamos Estudar Física
Solução:
3-(FSL-SP) Um corpo é lançado verticalmente para cima a
partir do solo com velocidade inicial de módulo 50m/s. O
módulo de sua velocidade média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é:
a) Zero b) 2,5m/s c) 5,0m/s d) 25m/s e) 50m/s
Solução:
Usando o conceito de velocidade escalar média visto no
tópico 7 do capítulo 3, temos:
d
Vm =
, onde d = distância percorrida, que neste caso cor∆t
responde ao percurso de ida e de volta.
2
V 2 = V0 − 2.g .d → 0 2 = 50 2 − 2.10.d → 20d = 2500 →
2500
= 125m
20
logo a distância total será dT= 2x125 = 250m e daí como o
250
tempo de ida e volta é de 10s temos: Vm =
= 25m / s
10
A velocidade média com caráter vetorial é calculada
∆S
por: Vm =
, e neste caso ∆S = 0 ,pois S = S0 o que nos
∆t
leva o valor da velocidade média Vm =0 e que corresponde a
resposta desta questão, ou seja, letra a)
d=
Obs: Quando a pergunta não for explicita no sentido da velocidade escalar média através da distância efetivamente
percorrida, calculamos a velocidade média vetorial, que nos
128
Vamos Estudar Física
casos de movimento em uma única direção é igual a velocidade escalar média.
Exercícios / Propostos 5.1
1-(ESPM-SP) Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade de 50m/s. Admite-se que a aceleração
da gravidade local seja constante e igual a 10m/s2. Despreze
as interações com o ar.
Depois de quanto tempo o projétil retorna ao ponto de partida?
a) 10s b) 20s
c)5s
d)15s
e)25s
2-(FEI-SP) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício
de 32 andares. Sabendo-se que a altura de cada andar é de
2,5m. Desprezando-se a resistência do ar, com que velocidade a pedra chegará ao solo?
a)20m/s
b) 40m/s
c) 60m/s
d) 80m/s
e) 100m/s
129
Vamos Estudar Física
3-(NARB) Nandinho e Pedro participaram de um passeio
num balão em comemoração ao dia da aviação. O balão
começou a sua subida em sentido vertical com velocidade
constate de 2m/s. Num certo instante, quando o balão estava
a uma altura de 30m, Pedro deixa cair uma bola de gude e
Nandinho começou a fazer algumas perguntas a respeito do
comportamento da queda da bola, o que gerou várias dúvidas. Após o passeio resolveram fazer os seguintes questionamentos relacionados abaixo. Resolva o problema dos
dois, determinando as soluções. Suponha que as interferências do ar sobre a bola foram mínimas a ponto de considerar
um movimento em queda livre.
a) No momento em que o Pedro deixa cair a bola, ela sobe
ou desce? Explique a sua resposta. Releia os tópicos 1,2 e 3
do Capítulo 3 para chegar a uma melhor conclusão.
130
Vamos Estudar Física
b) Escreva as equações de movimento da bola e do balão no
momento em que a bola foi solta. Adote origem do referencial no solo orientado para cima.
c) Qual a altura máxima atingida pela bola?
d) Quanto tempo ela leva para atingir o solo?
e) Com que velocidade ela chega ao solo?
f) Qual o valor da velocidade relativa do balão em relação a
bola nos instantes 0,1s 0,2s e 2s?
g) Determine o valor aproximado da velocidade máxima
relativa entre o balão e a bola.
h) Construa o gráfico das equações de movimento Y x t, V x
t e a x t para instantes a partir do momento em que a bola
foi solta até o instante em que chega ao solo. Faça uma análise detalhada do movimento da bola durante este intervalo
de tempo.
4-(Fuvest-SP) A figura representa o gráfico da posição X
tempo do movimento de um corpo lançado verticalmente
para cima com velocidade inicial v0 na superfície de um
planeta. Determine:
a) a aceleração da gravidade
na superfície do planeta;
b) a velocidade inicial.
5.(UFPE-97) Um atleta salta por cima do obstáculo indicado
na figura e seu centro de gravidade atinge a altura de 2,2m.
131
Vamos Estudar Física
Atrás do obstáculo há um colchão de ar de 40cm de altura.
Qual a velocidade, em m/s, com que o atleta atingirá a superfície do colchão?
6- (OBF 2006) Se lançarmos verticalmente uma pedra para
cima, o que acontece com a velocidade desta pedra durante
a subida e a descida:
a) Na subida a velocidade da pedra aumenta e na descida
diminui.
b) Tanto na subida como na descida as velocidades permanecem constantes.
c) Na subida a velocidade aumenta e na descida permanece
constante.
d) A velocidade diminui na subida e aumenta na descida.
e) A velocidade aumenta tanto na descida como na subida.
7- (OBF 2006) A aceleração da gravidade na superfície da
Lua é seis vezes menor do que a aceleração da gravidade na
superfície da Terra. Com relação a esta afirmativa qual das
alternativas abaixo está correta:
a) Uma pessoa pesa na Terra, seis vezes mais do que na Lua.
b) Uma pessoa pesa na Lua, seis vezes mais do que na Terra.
c) Na Lua a sua massa é seis vezes maior do que na Terra.
d) Na Lua a sua massa é seis vezes menor do que na Terra.
132
Vamos Estudar Física
e) Como a massa não varia a gravidade não mudará o peso
de uma pessoa tanto na Lua quanto na Terra.
8- (OBF 2006) Uma pessoa fez a seguinte experiência: Ela
pegou duas folhas de papel iguais e as deixou cair da mesma
altura, sendo que uma delas aberta e a outra amassada na
forma de uma bola. A folha de papel amassada chegou primeiro ao chão, por que:
a) A folha aberta tem um peso menor que a folha amassada.
b) A folha amassada tem uma massa maior do que a folha
aberta.
c) A folha aberta apresenta uma resistência ao ar maior do
que a folha amassada.
d) A folha aberta apresenta uma resistência ao ar menor do
que a folha amassada.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
9-(OBF-2009) Um experimento consiste em promover em
um local onde a aceleração gravitacional é g = 10m/s2 a colisão entre duas bolas idênticas A e B (Figura 3). No instante
t = 0 s a bola A é abandonada de uma altura H e depois de
1s e 15 m abaixo do ponto de abandono da bola A, a bola B
é solta. Determine o instante de tempo da colisão entre as
bolas a partir de t=0.
133
Vamos Estudar Física
Capítulo 1
Exercícios Propostos 1.1
1- c
2- Resposta Pessoal
3- 16h 10min
4-As Grandezas Vetoriais além do módulo e a unidade precisam da direção e sentido para ficarem bem definidas.
5-Não podemos indicar com precisão, pois apenas o módulo
da velocidade que é de 100m/s não é suficiente para indicar
como ele foi lançado.
6-Direção e sentido.
7- a) Direção vertical
Sentido para cima.
b) Direção horizontal
Sentido para direita.
c) Direção 72º com a horizontal
Sentido para cima
d) Direção horizontal
Sentido para esquerda.
e) Direção 45º com a horizontal
Sentido para cima
8-Duas: O metro (m) e o Segundo (s)
9- 91,44cm
10- a) 72km/h
b) 36km/h
c) 7,2km/h
d) 1,8km/h
134
Vamos Estudar Física
11a) 30m/s
b) 20m/s
c) 50m/s
d) 10m/s
12- e)
13- Se em 1 cm3 temos uma massa de 1,0 g então 50g deverá
ocupar um volume de 50 cm
3
Capítulo 1
Exercícios Propostos 1.2
1a) 1,28 x 1010
b) 2,6 x 107
c) 5,6 x 100
d) 2 x 10-3
e) 9 x 10-10
f) 9 x 10
g) 9 x 10
h) 7,92 x 104
i) –1,1 x10-1
j) 5 x102
l) 1,35 x 1021
OG: 1010
OG: 107
OG: 101
OG: 10-3
OG: 10-9
OG: 102
OG:102
OG:105
OG:10-1
OG:102
OG:1021
2- 3,61 x 10-47
3- 1015
4- 104
5- a
6- b
7-c
8-c
135
Vamos Estudar Física
Capítulo 1
Exercícios Propostos 1.3
1-a) 4,85 x 102
b) 2,54 x 105
c) 8,5 x 10-1
d) 9,5 x 10-4
e) 5,4 x 107
OG:102
OG:105
OG:10-1
OG:10-3
OG:107
2- a) Resposta pessoal
b) Resposta pessoal
3- a) na primeira medida os algarismos corretos são 3 e 6 o
duvidoso é o algarismo 8. Na segunda medida os algarismos
corretos são 3, 6 e 8 o duvidoso é o zero.
b) O segundo, pois pode avaliar a temperatura com uma
precisão de centésimo, enquanto a primeira com precisão de
décimo apenas.
4- Resposta pessoal. Discuta com o professor e seus colegas.
5- a) 32m2 b) 8,6g c) 52s
e) 2,8cm3 f) 0,89kg
d) 3,5m/s
6- a) Sim
b) Sim, comprimento.
c)Três e quatro respectivamente.
Na primeira medida
temos 1 e 0 como corretos e o 6 duvidoso. Na segunda
medida e temos 1, 0, e 6 corretos e o último zero duvidoso.
d) A segunda.
e) 21,2cm
136
Vamos Estudar Física
Capítulo 3
Exercícios Propostos 3.1
1- Ë a grandeza Física que mede a rapidez de um corpo e é
definida como a razão do espaço sobre o intervalo de tempo.
2- É a grandeza Física que representa a velocidade uniforme
(constante) que um móvel deveria ter para percorrer a mesma distância no mesmo intervalo de tempo daquele móvel
que fez o percurso com velocidade variável.
3- a) Não
b) Nayane , Nayara e Pedro
c) É que a velocidade média deu um valor abaixo em
relação a velocidade instantânea observada por Pedro e Nayara.
d) 68,6 km/h
4- É a grandeza Física que representa a velocidade de um
móvel num certo instante. É a velocidade num certo ponto
da trajetória.
5- 42min
6- 833,3 m
7- 105,3 km/h
8- 15min
9-57,6km/h
10- 36km/h
11- a) 30s e 20s respectivamente.
b) 86,4km/h
12- 340m
137
Vamos Estudar Física
13- 40m
14-72km/h
15- c)
16- (a) A velocidade escalar média do avião é :
VAC =
d total 700km
=
Ttotal
6,50h
108km
h
(b) O módulo do vetor que liga a cidade A à cidade C é dado
pelo teorema de Pitágoras:
→
V AC
→
d AC 500km 77km
=
=
=
Ttotal 6,50h
h
Exercícios Propostos 3.2
1- a)120m
b)2,5 passos
2- 70km
3- 3h
4- a)
138
Vamos Estudar Física
b) Não passará em instante algum, pois ele começa seu
movimento a partir da posição s0=20m com movimento retrógrado.
c) t = 4s
d) t = 10s
e)
5- a)
b) t =2h e S = 160km
c)
139
Vamos Estudar Física
d) (2;160)
e) O instante em que os carros têm a mesma posição.
f) O carro A. Significa que possui maior velocidade.
6-a) MU Progressivo.
b) V = 10m/s
c) Progressivo
d) S = −50 + 10.t
e) t = 5s
7- a) O carro 3
b) O carro 5
c) O carro 5. Sim, depende.
d) 1º lugar carro 2
2º lugar carro 5
3º lugar carro 4
4º lugar carro 6
5º lugar carro 3
6º lugar carro 1
8-a) Carro 6, pois após 2s estava no posição s =100m
b) carros 1, 2, 4 e 5, pois tiveram uma velocidade média
maior que as suas velocidades ao término de 2s.
c) Carro 3, pois ao final dos 2s a sua velocidade era maior.
9- e)
10-d)
11-a)
12- d)
13- e)
140
Vamos Estudar Física
Exercícios Propostos 3.3
1- d
2-1km
3-70km
4- a) Observando a imagem e tendo em mente que a cada
clique da máquina fotográfica aparecem um bloco A e B,
sucessivamente , nas posições indicadas, vemos que encontro dar-se na quinta posição que corresponde a quatro intervalos, logo 4 x 0,2 =0,8s.
b) De acordo com a escala fornecida e a imagem do bloco A
em movimento, concluímos que ele percorre 10 m no intervalo de 0,2 s. Portanto sua velocidade será igual a vA= 50m/s
15m
A velocidade do bloco B: vB =
= 75m / s .
0, 2s
Como suas velocidades são no mesmo sentido, um observador no bloco B observará o bloco A movendo-se para a esquerda com velocidade igual a 25 m/s. (Velocidade relativa)
Capítulo 4
Propostos Exercícios 4.1
1- 2,22m/s2
2- a) –2m/s2
b)10m/s
3- -1m/s2
4- 30m/s
5- a)60km/s
141
Vamos Estudar Física
b) O automóvel percorre 60km em cada segundo.
Exercícios Propostos 4.2
1- a) v = 24m/s e a = -4m/s2
b) t = 6s
c) Em t = 3s temos a < 0 , v > 0
(Retardado)
Em t =7s temos a < 0 e v< 0 (acelerado).
d)
e) a = -4m/s2
2- t = 3s
3- v = 20 + 7,5.t
Exercícios Propostos 4.3
1- a) 6,25m/s2
b) 8s
2- a) a = 0,05m/s2
b) 3min 20s
c) 25m/s
3- a) Móvel B (M U)
Móvel A (MUV)
b) VB = 60m/s
142
Vamos Estudar Física
VA = 15+1,5.t
c)
S B = S 0 B + 60.t
1,5 2
.t
2
Obs: As posições iniciais de A e B são as mesmas, pois em t
= 0 eles se encontravam na mesma posição.
S A = S 0 A + 15.t +
d) VB = 60m/s é constante.
t = 0s VA = 15m/s
t =10s VA = 30m/s
t =30s VA = 60m/s
t = 40s VA = 75m/s
e) t = 0
t = 10s
t = 30s
t = 40s
S A = 0 e SB = 0
SA =225m e SB =600m
SA =1125m e SB = 1800m
SA =1800m e SB = 2400m
f) dA = 1125m e dB = 1800m
g) Área sob a curva de A é 1125 e sob a curva de B é 1800.
O que podemos concluir é que a área sob a curva nos fornece a distância percorrida pelo móvel.
Capítulo 5
Exercícios Propostos 5.1
1- a
2- b
143
Vamos Estudar Física
3- a) Sobe, pois no momento em que ela é solta possuía a
velocidade do balão que era ascendente.
b) Equações de Movimento do balão.
a=0
V = 2m / s
S = 30 + 2.t
Equações de movimento da bola.
a = g = 10m / s 2
V = 2 − 10.t
S = 30 + 2.t − 5.t 2
c) h =30,2m
d) 2,7s
e)–25m/s
f) VBb= 1m/s em 0,1s
VBb = 0 em 0,2s
VBb = 20m/s em 2s
VBb = 2m/s em t =3s ( a bola está no chão).
g) VBb =27m/s
h) Balão
144
Vamos Estudar Física
Bola
145
Vamos Estudar Física
4- a) g =2m/s2
b) V0 = 6m/s
5- 6m/s
6- d)
7- a)
8- c)
9-- Considerando g=10m/s2, as equações de movimento
das bolas A e B são:
y A = H − 5t 2 , yB = ( H − 15) − 5(t − 1) 2
No instante da colisão yA = yB. Logo resolvendo encontramos que a colisão acontece no instante de tempo t=2s.
146
Vamos Estudar Física
BIBLIOGRAFIA
TIPLER, Paul: vol 1-Mecânica.
Editora LTC: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A Rio
de Janeiro –1995.
CALÇADA Caio Sérgio; SAMPAIO, José Luiz:SARAIVA
S.A,Livreiros Editores,São Paulo,2001.
ANTONIO Máximo, Beatriz Alvarenga; Física Volume
único Editora Scipione-1997.
GASPAR Alberto; Física Mecânica Vol 1 Editora Ática2000
147
Vamos Estudar Física
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Vamos Estudar Física
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Vamos Estudar Física
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