FCM 208 Física (Arquitetura) - IFSC-USP

Universidade de São Paulo
Instituto de Física de São Carlos - IFSC
FCM 208 Física (Arquitetura)
Elasticidade
Prof. Dr. José Pedro Donoso
Elasticidade
Considere uma barra sólida de comprimento L sujeita a uma força de tração F.
Define-se a deformação (strain ou deformation) como a variação relativa do
comprimento da barra:
Deformação = ∆L/L
Define-se a tensão (stress) como a força de tração aplicada ao corpo por unidade
de área:
Tensão de tração = F/A
[unidade: N/m2]
O coeficiente de elasticidade ou modulo de Young (Y) é a razão entre:
F
tensão
Y=
= A
deformação ∆L
L
Y (em N/m2): 200×109 (aço), 20-30×109 (concreto), 13×109 (madeira), 16×109 (osso)
Tensão de ruptura (em N/m2): 300-500×106 (aço), 2×106 (concreto), 180×106 (osso)
Barra maciça sujeita a forças de tração F nas duas extremidades
Gráfico tensão vs deformação
P. Tipler, G. Mosca
Física, Volume 1
Até o ponto A, a deformação é proporcional à tensão. Além do limite elástico,
correspondente ao ponto B, a barra não retorna a seu comprimento inicial uma
vez removida a tensão. No ponto C, a barra sofre ruptura
Um cabo de 1.5 m de comprimento tem área da seção reta de 2.4 mm2. O cabo
está pendurado na vertical e sofre alongamento de 0.32 mm quando sustenta
um corpo de 10 kg preso na sua ponta inferior. Calcular:
(a) a tensão
(b) a deformação
(c) o módulo de Young do material do cabo
Respostas: (a) 4.08 × 107 N/m2, (b) 2.13 × 10-4, (c) 191 × 109 N/m2
P. Tipler: Física, Volume 1 (editora LTC)
Elevador
Um cabo de aço de 2.5 cm2 de área suporta um
elevador de 1 tonelada. O limite elástico
(ultimate strength) do aço é de 300 × 106 N/m2.
Se a tensão no cabo não deve exceder 20% do
limite elástico, encontre a máxima aceleração do
elevador quando este se movimenta para acima.
Resposta: a = 5.2 m/s2 ou 0.53g
Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)
Tração e Compressão
Quando alguém pisa na tábua, ela se
encurva. A parte superior da tábua fica
submetida a compressão e a parte
inferior fica submetida a tração ou
dilatação. A combinação destas duas
forças sustenta o peso da tábua e quem
está sobre ela.
Alguns materiais, como o aço, suportam melhor a tração do que a compressão.
Por isso que ele é usado em pontes pênseis e em outras aplicações nas quais a
resistência a tração é importante. Materiais como o concreto resistem melhor à
compressão do que a tração e são empregados em edifícios e represas. As vigas
de concreto usadas em pontes freqüentemente são encurvadas para cima antes
de serem instaladas (concreto protendido) para evitar que a viga seja submetida a
tração (a viga encurvasse para baixo) quando a carga é aplicada.
J. Trefil & R.M. Hazen, Física Viva (Editora LTC, 2006)
Uma viga suportada em suas extremidades está submetida a
uma tensão de compressão e a uma tensão de dilatação.
Figura do meio: para minimizar a tensão, a viga deve ser
projetada de modo que sua seção reta seja grande nas partes
superior e inferior. Como não existe tensão ao longo da linha
central da viga, essa parte pode ter uma seção reta pequena
(diminuindo o peso). O resultado é a forma indicada na figura.
Figura direita: Um tubo oco é resistente ao encurvamento em
todas as direçòes.
Esquerda: a Torre CN em Toronto de 553 m. A seção reta em
forma de Y dá uma enorme rigidez contra a torção e contra o
encurvamento para a estrutura de 1.3×108 kg
Em uma ponte pênsil, os cabos estão sob tensão
de dilatação e as torres estão sob tensão de
compressão. As estruturas sob tensão são mais
eficientes para sustentar cargas leves ou
moderadas em grandes distâncias: a ponte
Humber (Inglaterra) sustenta o trafego de
caminhões através de um vão central de 1410 m.
Uma ponte em forma de abóbada está
submetida a uma compressão. As estruturas sob
compressão são muito eficientes para sustentar
cargas grandes em distâncias pequenas. A ponte
Sydney Harbour (Australia) de 500 m de vão,
sustenta uma rodovia e uma ferrovia com 4 linhas
Sears & Zemansky, Física 1 (Editora Pearson, SP, 2003)
Elasticidade das cordas do violino
As cordas do violino são afinadas ajustando-se
a tensão delas com as cravelhas até o valor da
freqüência desejada. As cordas são
confeccionadas em aço (módulo de Young Y =
200 GPa; tensão de ruptura (F/A) = 520 MPa).
Considerando-se, por exemplo, a corda Mí do
violino, cujo diâmetro ≈ 0.2 mm (área da seção
transversal: πr2 ∼ 3×10-8 m2), e supondo-se
uma tração aplicada de F ≈ 63 N, à
deformação tolerada pela corda pode ser
estimada através da expressão:
F
∆L
= A
L
Y
Substituindo os parâmetros na equação, obtemos (∆L/L) ∼ 1%. Isto significa que a
corda Mi vai estourar se a deformação relativa for maior que 1%.
Corda Lá (quebrada)
Ampliações: 60× e 200×
A deformação tolerada pela corda de aço é 1%. Como o comprimento da
corda do violino, desde a cravelha até o microafinador, é de ∼34 cm,
basta uma volta na cravelha para consumir esse 1% de tolerância.
Ao apertar-se um pouco mais a cravelha, a corda rompe-se.
Túnel a 60 m de profundidade
Resnick – Halliday – Krane, Física
Um túnel de 150 m de comprimento, 7.2 m de altura e 6 m de largura será
construído a 60 m de profundidade. O teto do túnel será totalmente sustentado por
colunas de aço de 1000 cm2 de área. A densidade do material do solo é 2.83 g/cm3.
(a) Calcule o peso que as colunas terão que agüentar. (b) Quantas colunas são
necessárias para ter um fator de segurança 2 contra ruptura?
Considere a carga de ruptura do aço 400 M N/m2.
Resposta: (a) 1.5 × 109 N; (b) 75
Ponte pencil
Os cabos de sustentação de uma ponte pencil estão penduradas no cabo principal
de sustentação. Se os cabos são de aço e a maior deles tiver 30 m de
comprimento, qual deverá ser seu diâmetro para que um caminhão de 20 toneladas
possa atravessar a ponte sem que a estrada rebaixe mais de 1 cm na entrada?
Resposta: 6 cm
“Fisica” Eisberg & Lerner, Capítulo 16
Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)