1 – CONJUNTOS - Gran Cursos Presencial

CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS (N)
Os números naturais surgiram da necessidade do ser humano de fiscalizar os seus bens, a
necessidade de contar. A noção de quantidade é observada na natureza.
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...}
N* = {1, 2 , 3, ...} é um subconjunto de N.
N é um conjunto ordenado, na forma crescente 0<1<2<3 .......... As operações fechadas
(propriedade: fechamento) em N são: a adição e multiplicação, a e b  N.
a+bNe
a . b  N.
as propriedades em N, são:
a) comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a
b) elemento neutro: a+0 = a e a . 1= a
c) associativa: (a+b) + c = a + (b+c) e (a.b) . c = a . (b.c)
d) distributiva: a . (b+c) = a . b + a . c
O conjunto N é limitado, algumas vezes não podemos realizar operações com a subtração e
divisão: 2 – 3  N e 2  3  N.
Múltiplos e Divisores
Divisor de um Nº natural não nulo:
É o nº natural que o divide exatamente:
2 é divisor de 6, 3 é divisor de 6 etc...
Critérios de Divisibilidade
É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural qualquer é
divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade .

Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0; 2; 4; 6 ou 8.
Os números que são divisíveis por 2 são denominados números pares.

Divisibilidade por 3 (ou por 9):
Um número é divisível por 3 (ou por 9) quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos for divisível por 3 (ou por 9).

Divisibilidade por 4:
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois algarismos da direita for divisível
por 4

Divisibilidade por 5:
Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5.
1
 Divisibilidade por 6:
Um número é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
 Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0.
Conjunto dos divisores de um nº natural não nulo
É o conjunto com todos os divisores naturais não nulos do nº determinado.
Ex: D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
Números Primos
É o nº natural não nulo, que possui somente dois divisores naturais não nulos distintos, ou seja,
o seu conjunto de divisores possui apenas dois elementos.
Ex: 2; 3; 5; 11 etc.
1 não é primo D (1) = {1}, n (D (1)) =1
se um Nº natural não nulo, não é primo, nem 1, então é composto:
4; 6; 12; etc.
Decomposição em Fatores Primos
Um número composto qualquer pode ser decomposto em fatores primos, utilizando-se, para
tanto, as divisões sucessivas através dos critérios de divisibilidade.
Ex: 84
84 2
42 2
21 3
7
7
2
1
84 = 2 . 3 .7
Determinação do nº de divisores de um nº natural não nulo:
O numero 84
84
42
21
7
1
2
2
3
7
2
2
1
84= 2 . 3 . 7 = 2 . 3 . 7
2+1=3
1+1=2
1+1=2
3 . 2 . 2 = 12
1
expoentes
84 tem 12 divisores
2
Determinação do conjunto dos divisores não nulos de um Nº natural não nulo.
Através da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos
os seus divisores.
Ex: 84
84
42
21
7
1
2
2
3
7
 Decompõe-se em fatores primos, e
84
42
21
7
1
2
2
3
7
1
(Divisores de 84)
2
4
3; 6; 12
7; 14; 28; 21; 42; 84
D (84)={1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84}
Maximo Divisor Comum - M.D.C em N*
O Maximo divisor comum entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos
divisores dos números.
Exemplo: 36 e 24
D (36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
D (24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
mdc {36;24} = 12
o mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns com os menores expoentes:
Exemplo: 36 e 24
36 = 22. 32; 24 = 23 . 3; mdc {36;24} = 22. 3 = 12
Existe também o processo de Euclides para obter-se o Maximo divisor comum entre os
números naturais (divisões sucessivas) . Exemplo : 36 e 24.
1
2
36
24
12
0
12
Resto nulo
mdc {36;24} = 12
Ou determinando simultaneamente o divisor comum:
24 ,36
12 ,18
6, 9
2,3
2
2
3
2
2 . 3 = 12
3
Números Primos entre si
Dois números são denominados primos entre si, se o único divisor comum for a unidade.
Exemplo: Os números 15 e 16 são primos entre si:
M.D.C de (256 e 255) é 1, então 255 e 256 são primos entre si.
Múltiplo de um número natural não nulo
Múltiplo de um numero natural N* é o produto dele por outro número natural não nulo. Assim, o
conjunto dos múltiplos de M(6) é: M(6) = {6; 12; 18; 24; 30;...}
Exemplo:
6 = 6 . 1 ; 12 = 6 . 2
6 . 5 = 30, etc.
Conjunto dos múltiplos de um Nº natural não nulo:
M (2) = {2, 4, 6, 8, ...}
M (3) = {3, 6, 9, 12, ...}
M (5) = {5, 10, 15, 20, ...}
M (11) = {11, 22, 33, 44, ...}
Mínimo Múltiplo Comum - M. M. C. – em N*
Obter o mínimo comum entre dois ou mais números naturais não nulos consiste em determinar, a
partir da interseção entre os conjuntos dos múltiplos, o menor elemento.
Exemplo: 12 e 18
m (12) = {12; 24; 36; 48; 60; ...}
m (18) = {18; 36; 54; 72; 90; ...}
mmc {12; 18} = mínimo {m(12)  m (18)}
mmc {12; 18} = mínimo {36; 72; ...}
mmc {12; 18} = 36
ou decompondo os números simultaneamente em fatores primos. Exemplo: 12 e 18.
12 ,18
6 9
3 9
1 3
1 1
2
2
3
3
mmc {12; 18} = 22 . 32
mmc {12; 18} = 36
4
Exercícios Propostos de MMC e MDC
1- Em uma caixa há um certo número de
laranjas. Se contarmos as laranjas de 12 em
12, de 20 em 20, ou de 25 em 25,
encontraremos sempre o mesmo número de
laranjas. Qual a menor quantidade possível de
laranjas que há na caixa?
Se o total de funcionários é composto de 225
homens e 125 mulheres, o numero de
palestras que deve ser programado é.
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 18
(E) 25
2- (TRE) Uma Repartição pública recebeu 143
microcomputadores e 104 impressoras para
distribuir a algumas de suas seções. Esses
aparelhos serão divididos em lotes, todos com
igual quantidade de aparelhos. Se cada lote
deve ter um único tipo de aparelho, o menor
número de lotes formados devera ser.
5- (TTN) Numa corrida de automóveis, o primeiro
corredor dá a volta completa na pista em 10
segundos; o segundo, em 11 segundos e o
terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão
dado cada um, até o momento em que passarão
juntos na linha de chegada?
(A) 66, 60, 55
(B) 62, 58, 54
(C) 60, 55, 50
(D) 60, 45, 40
(E) 40, 36, 32
(A) 8
(B) 11
(C) 19
(D) 20
(E) 21
3- (TRE) Uma enfermeira recebeu um lote de
medicamentos com
132 comprimidos de
analgésico e 156 comprimidos de antibiótico.
Devera distribui-los em recipientes iguais,
contendo, cada um, a maior quantidade
possível de um único tipo de medicamento.
Considerando que todos os recipientes
deverão receber a mesma quantidade de
medicamento, o número de recipientes
necessários para essa distribuição é.
6- (PM) Três policiais fazem plantão
regularmente, o primeiro a cada 6 dias, o
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 10
dias, inclusive aos sábado, domingos e
feriados. Se no dia 12/06/01 os três fizeram
plantão, a próxima coincidência de data em
seus plantões é
(A) 12/10/01
(B) 10/10/01
(C) 10/09/01
(D) 12/08/01
(E) 10/08/01
(A) 24
(B) 16
(D) 12
(D) 8
(E) 4
7- Duas tábuas devem ser cortadas em
pedaços de mesmo comprimento, sendo esse
comprimento o maior possível. Se uma tábua
tem 90 centímetros e a outra tem 126
centímetros, qual deve ser o comprimento de
cada pedaço se toda a madeira deve ser
aproveitada?
4- Todos os funcionários de um Tribunal
devem assistir a uma palestra sobre
“Qualidade de vida no trabalho”, que será
apresentada várias vezes, cada vez para um
grupo distinto. Um técnico foi incumbido de
formar os grupos, obedecendo aos seguintes
critérios:
- todos os grupos devem ter igual numero de
funcionários;
- em cada grupo, as pessoas devem ser do
mesmo sexo;
- o total de grupos deve ser o menor possível.
(A) 36 cm
(B) 12 cm
(C) 18 cm
(D) 9 cm
(E) 90 cm
8- No almoxarifado de certa empresa havia
dois tipos de canetas esferográficas: 224
com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um
5
funcionário foi incumbido de empacotar
todas essas canetas do modo que cada
pacote contenha apenas canetas com tinta
de uma mesma cor. Se todos os pacotes
devem conter igual numero de canetas, a
menor quantidade de pacotes que ele
poderá obter é
de canetas de uma mesma cor. Se 8
envelopes são utilizados para as canetas de
cor preta, qual é a quantidade x de canetas
de cor azul, sabendo-se que a razão entre o
nº de envelopes para as canetas de cor azul
e preta é 6/16 ?
(A) 24
(B) 8
(C) 344
(D) 72
(E) 3
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
(E) 16
Gabarito:
1 - 300
4-C
7-C
9- Um funcionário do T.R.F. queria guardar
192 canetas de cor preta e x quantidades de
canetas de cor azul na menor quantidade de
envelopes, contendo a mesma quantidade
6
2-C
5-A
8-C
3-A
6-B
9-D
NÚMEROS INTEIROS (Z) OU NºS INTEIROS RELATIVOS
Números inteiros são todos os números naturais acrescidos dos seus opostos ou simétricos. Z =
{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
É um conjunto ordenado na forma crescente: …., -3 < -2 < -1< 0, ... podendo ser representado
de maneira não ordenada Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3 , ...}
Subconjuntos de Z:
Z* = {±1, ± 2, ± 3, ...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N
Z - = {0, -1, -2, -3, ...}
Z*+ ={1, 2, 3, ...}
Z * = {-1, -2, -3, ...}
Observe que +2 = 2 , que –2  2 e que quando o Nº for negativo é imperativo que se use os
parênteses (-2).
Exemplo: (-2)2 = 4 e -22 = - 4
As operações fechadas em Z, são: adição, multiplicação e subtração .
A operação de divisão não é fechada em Z.
Ex: 2  3  Z.
Todo Nº natural é inteiro N  Z, mas a recíproca não é verdadeira Z  N..
Módulo (Valor Absoluto)
A todo número relativo, faz-se corresponder um número positivo ou nulo, denominado valor
absoluto ou módulo.
Usam-se duas barras para indicá-lo.
Ex.: +3 = 3; +7
= 7;
0
= 0;
-5 = 5;
-9
=9
Simétrico ou oposto.
Dois números relativos são simétricos quando têm o mesmo valor absoluto e
sinais contrários.
Ex.: 7 e –7; -1 e +1
OBS.: O oposto de zero é ele mesmo.
Representação
A cada número, associamos um ponto de uma reta, chamada reta numerada. Sobre esta reta,
marquemos um ponto 0 (zero) origem, a partir do qual medimos, à sua direita, os inteiros
positivos, e, à sua esquerda, os inteiros negativos, assim:
-
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
7
+
Números Racionais – Q
p
Chama-se racional todo numero que pode ser colocado como fração q o numerador p  Z e o
denominador q  Z *
Q = {x ; x é fração}
Quem são esses números racionais?
a) os inteiros.
2 4 6
2  
etc.
1 2 3
2
4
6
2 


etc.
1
2
3
b) os decimais exatos.
0,4 =
4
10
37
0,37 =
100
937
0,937 =
1000
c) As dízimas periódicas.
0,444 .... = 4 = 0, 4
9
0, 3737.... = 0, 37 = 37
99
0,937937.... = 0, 937 = 937
999
1,2 5 = 125 – 12 = 113
90
90
N  Z  Q, todo número natural é racional.
Q
Z
N
8
NÚMEROS IRRACIONAIS = Q’ OU I
Existem números, entretanto, que não podem ser colocados na forma fracionaria; tais como:
123... = 0,123.....
= 3,14155926.....
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
e = 2,7182818...
Esses números pertencem ao conjunto dos números irracionais, que são as dizimas não
periódicas ou números que resultem nelas.
NÚMEROS REAIS = R
R=Q  I
e
Q  I =
R
Q’ ou I
Q
z
N
Para representar conjuntos em R, devemos utilizar intervalos numéricos, já que não podemos
determinar nem enumerar quantos Nºs reais existem entre 0 e 1 (infinitos Nºs reais)
Tipos
Representação 1
Representação 2
Intervalo
fechado
Intervalo
aberto
Intervalo
fechado à
esquerda
Intervalo
fechado à
direita
{xR/a<x<b}
a,b
{xR/a<x<b}
a,b ou (a,b)
a
{xR/a<x<b}
 a,b ou  a,b)
{xR/a<x<b}
 a,b ou (a,b
ao
{x R | x > a}
Representação 2
a ,+ ou
 a, +)
- , a ou
{x R | x < a}
(- , a
a,+
ou (a,+)
{x R | x >a}
-, a ou
{x R ; x < a}
(- , a
Representação 3
a

a
__________
a 
 a
9
b
Características
Inclui limites
Exclui limites
ao
a
Intervalos no Infinito
Representação1
Representação 3
ob
ob
b
Exclui limites
à direita
Exclui limite à
esquerda
Exemplos:
Escreva os conjuntos abaixo na forma de intervalos:
a)
b)
c)
d)
{x R ; 1 < x < 5} = 1,5
{x R | 1 < x < 5} = 1,5
{x R | x > 4} = 4, + 
{x N | 1 < x < 5} = {1,2,3,4}
Potenciação
Potenciação é um produto de fatores iguais à base, sendo tomados tantos fatores quanto for o
expoente.
= 34 = 81
onde 3 é chamada base e 4 é chamado de expoente e 81 é a potência.
Para calcularmos potências no conjunto dos números inteiros devemos observar que:
POTÊNCIAS DE BASE 10
Toda potência de base 10 é igual a 1, seguido de tantos zeros quantos forem às unidades do
expoente, dessa forma, teremos que:
103 = 1.000
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
I – Produto de potências de mesma base,
Regra: Conserva-se a base, e somam-se os expoentes. am  an = am+n
(3)2 . (3)3 = (3)2+3 = (3)5 = 243
II – Divisão de potências de mesma base.
Regra: Conserva-se a base, e subtraem-se os expoentes. am : an = am-n
65 : 63 = 65-3 = 62 = 36
III - Elevando-se uma potência a um novo expoente,
Regra: Conserva-se a base, e multiplicam-se os expoentes. (am)n = am.n
[(3)2]2 = (3)2.2 = (3)4 = 81
RADICIAÇÃO.
Chamaremos de raiz enésima de um número não nulo a, ao número b, tal que: a  b  b  a
Ou seja:é a base da potencia que está sendo procurada. Essa operação chama-se radiciação.
n
10
n
Na radiciação, temos que:
O índice 2 de uma raiz, não será escrito
25 , é o mesmo que
2
25
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
I) Multiplicando ou dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo
número, a raiz não se altera. Por exemplo: No radical
12
29 x33 x59 , podemos dividir o índice e os
expoentes por 3, dessa maneira o radical ficará da seguinte forma:
4
23 x31 x53
m
II) Poderemos representar um radical por uma potência de expoente fracionário.
n
am  a n
III) Para introduzirmos fatores nos radicais, elevamos cada fator ao índice.
Vamos escrever 3 7 só como radical, então precisaremos introduzir o fator 3 no radical.
O fator 3 será introduzido no radical com expoente 2, dessa forma, teremos:
3 7  7 x32  7 x9  63
Exercícios
01. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC)
Se x = 1,25.10-2 e y = 0,75.10-3, então x + y é igual a
(A) 0,1325.10-4
(B) 1,325.10-4
(C) 23,25.10-4
(D) 132,5.10-4
(E) 1325.10-4
02. (TELEF.-2004-CESGRANRIO)
11
1
03.
Gabarito:
01. D
02. B
03. C
11) D12) B
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
É uma expressão literal que possui uma igualdade e que as variáveis (ou a variável) da
expressão possuam expoente 1.
Ex: a) x – 3 = 7
b)
2x – 4 = 0
c)
x+y=4
Para resolvemos uma equação do 1º grau, utilizamos as propriedades:
1º Propriedade Aditiva:
Se somarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade,
obtemos uma outra igualdade.
Exemplo: x + 3 = 8
x+3–3=8-3
x+0=5
x=5
2º Propriedade Multiplicativa
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma igualdade, por um mesmo número,
obtemos uma outra igualdade.
Exemplo: 3x = 21
3x . 1 = 21 . 1 x . 1=7 . 1  x =7
3
3
Exemplos:
a) 5 (2x - 4) = 7(x + 1) – 3
Resol: 10x – 20 = 7x + 7 - 3
10x – 20 + 20 =7x + 4 + 20
10x = 7x + 24
10x – 7x = 7x – 7x + 24
3x = 24
1. 3x = 1. 24  x = 8
3
3
Na prática resolvemos esta equação da seguinte maneira prática.
12
10x – 20 = 7x + 7 - 3
10x – 7x = +7 - 3 + 20
3x = 24
x=8
x 1 x  3

3
4
6
3 (x - 1) - 2 (x - 3) = 12 . 3
12
12
12
Eliminam-se os denominadores
m . m . c {4; 6} = 12
b)
3x – 3 - 2x + 6 = 36
3x – 2x = 36 - 6 + 3
x = 33
SISTEMAS LINEARES
Uma equação é linear quando os expoentes das variáveis são 1.
Quando temos pelo menos duas equações, podemos chamar de sistema.
Resolver os sistemas:
Com duas equações e duas variáveis:
 2 x  3 y  11

 4 x  5 y  11
É mais prático utilizar os métodos conhecidos do antigo curso ginasial: substituição , adição e
comparação.
Pelo método da adição: multiplicamos a equação I por 4: 8x – 12y = 44 e a equação II por 2 : 8x – 10 y = 22.
8x – 12y = 44 +
- 8x – 10y = 22
(e adicionando)
0x – 22y = 66  y = - 3, substituindo em I 2x – 3 (-3) = 11
2x = 2  x = 1
encontramos o conjunto Solução S ={(1, - 3)}.
Exercícios:
Resolva os seguintes sistemas lineares:
13
1)
 3x - 5y  -4

 4x - 5y  -2
2)
x  y  4

 2x  y  9
PROBLEMAS DO 1º GRAU
Existem problemas que, traduzidos para a linguagem matemática, resultam numa equação ou
sistema de equações do 1º grau.
Linguagem Comum
Linguagem matemática
O Dobro de um número
A Metade de um número
2x
X
2
3x
x + 1x
2
3
X - 10
O triplo de um número
A metade de um número mais a sua terça parte
Um número subtraído de dez
Para se resolver um problema do 1º grau, são necessárias 3 fases:
1ª) traduzir o problema em linguagem matemática.
2ª) resolver a equação.
3ª) verificar a solução. ( se necessário)
Exercícios:
1. Dividir 180 em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.Quais são as partes?
2. Em um estacionamento existem carros e motos, num total de 40 veículos e 100 rodas em contato com o chão.
Qual é a quantidade de carros e motos?
Exercícios Propostos:
1. Determine o conjunto solução dos sistemas em R.
a)
 3x  6y  9

 2x  4y  6
b)
 5x  10y  15

 2x  4y  5
14
2. A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse número é 187. Esse número é:
a) primo
c) divisível por 4
b) múltiplo de 3
c) múltiplo de 5
3. Fábio e Márcio pesam juntos 62 kg. Se o peso de Fábio é igual ao dobro do peso de Márcio mais 8 kg, então o
peso de Márcio mais 8kg, então o peso de Márcio é:
a) 16 kg
c) 22 kg
b) 18 kg
d) 24 kg
4. Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o menor dos três é divisível por:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
5. As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há 6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade
de Felipe. A idade atual de Carlos é:
a) 20
b) 22
c) 26
d) 28
6. Uma pessoa tem 65 notas de R$ 50,00 e R$ 20,00, ao todo R$ 2.320,00. Quantas notas há de cada espécie?
a) 31 e 34
b) 30 e 31
c) 35 e 30
d) 40 e 25
e) 28 e 27
GABARITO
1. a) S = R
b) S = 
2. B
3. B
4. A
5. D
6. A
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
MEDIDAS LINEARES
O metro (metro linear) é um padrão internacional para medidas lineares equivalente à décima
milionésima parte da distancia que vai do pólo até a linha do Equador. Essa distancia é medida
sobre um meridiano da Terra.
A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro, indicado por m.
Dependendo do comprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos e submúltiplos.
15
Unidades de comprimento
Múltiplos
Unidade
quilômetro
hectômetro
decâmentro
Unidade Fundamental
Submúltiplos
Equivalente a
3
1 km = 1000m = 10 m
2
1 hm = 100m = 10 m
1
1 dam = 10m = 10 m
Símbolo
km
hm
dam
metro
m
decímetro
centímetro
milímetro
dm
cm
mm
1m
1
1dm =
0,1m = 10- m
2
1cm = 0,01m = 10- m
3
1mm = 0,001m = 10- m
É importante saber transformar uma unidade em outra. Para tanto, convém observar que as
unidades lineares variam de 10 em 10.
MUDANÇA DE UNIDADES
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Exemplos:
1 dam = 10 m
1 dm = 0,1 m
32,4 hm = 3240 m
0,01 km = 10 m
0,25 Km = 25000 cm
45,021 dam = 45021 cm
5831 cm = 0,5831 hm
0,2 mm = 0,0000002 km
6,27 dam = 627 dm
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
O metro quadrado é um padrão internacional para medidas de superfície, e é equivalente à
medida da superfície, isto é, à área , de um quadrado de lado 1m.
2
A unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, indicado por m .
Dependendo da superfície cuja área se quer determinar, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.
Unidades de superfície
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
unidade
quilômetro quadrado
hectômetro quadrado
decâmentro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
16
Símbolo
2
km
2
hm
dam
m
2
2
2
dm
2
cm
2
mm
Equivalente a
2
1 km = 1000000m
2
2
1 hm = 10 000m
2
2
1 dam = 100m
2
1m
2
2
1dm = 0,01m
1cm = 0,0001m
1mm = 0,000 001m2
Facilmente, podemos perceber que uma unidade é 100 vezes maior do que a imediatamente
inferior.
Mudança de unidades
2
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
Exemplos:
2
2
1 dam = 100m = 10 000 dm
2
2
35,27 hm = 3527000000 cm
2
2
63,9 hm = 0,000000639 hm
2
2
5,3 cm = 0,053 dm
2
2
5138,5 m = 0,51385 hm
2
2
42 mm = 0,000042 m
17
2
2
0,003 hm = 3000 dm
2
2
40,3 km = 403000 dam
2
2
300 mm = 0,0003 m
Medidas agrárias de superfícies
As medidas agrárias são utilizadas para medir grandes extensões de terra, como fazendas, sítios, etc. São elas:
2
1 are = 1a = 100 m
2
1 hectare = 1 há = 10000 m
2
1 centiare = 1 ca = 1 m
Temos ainda:
2
1 alqueire mineiro = 48400 m
2
1 alqueire paulista = 24200 m
MEDIDAS DE VOLUME
O metro cúbico é um padrão internacional para medidas de volume, e é equivalente ao volume
de um cubo de aresta 1m.
A unidade fundamental de medida de volume é o metro cúbico, indicado por m 3.
Dependendo do volume a ser medido, podemos utilizar múltiplos os submúltiplos do m3.
Unidades de Volume
Múltiplos
Unidade Fundamental
unidade
quilômetro cúbico
hectômetro cúbico
decâmentro cúbico
Símbolo
km3
hm3
dam3
Equivalente a
1 km3 = 1000000000 m3
1 hm3 =
100 000 m3
3
1 dam =
1 000 m3
metro cúbico
m3
1m3
dm3
1dm3 =
0,001m3
Submúltiplos
cm3
1cm3 = 0,000000 1m3
3
milímetro cúbico
mm
1mm3 = 0,000000001m3
Observemos que cada unidade é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior.
decímetro cúbico
centímetro cúbico
Mudança de unidades
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Ex.:
3
3
a) 18.436 m = 0,018436 hm
3
3
3
b) 0,00047 km = 470 dam = 470.000 m .
MEDIDAS DE CAPACIDADE
Chamamos de capacidade de um recipiente ao volume de um liquido ou de um gás que esteja
contido nesse recipiente.
O litro é um padrão internacional para medidas de capacidade e corresponde a capacidade de
um cubo de aresta de 1dm.
18
Unidades de Capacidade
Múltiplos
unidade
Quilolitro
hectolitro
decalitro
Unidade Fundamental
litro
Submúltiplos
Decilitro
centilitro
mililitro
Símbolo
Equivalente a
k
1 k =
1 000 
h
1 h =
100 
da
1 d =
10 

1
d
1d  = 0,1
c
1c  = 0,0 1
m
1m  = 0, 001
Mudança de unidades
k
h
da

d
c
m
Exemplos:
1
0,3 d 
3,25 
713,5 
3
1hm
3
21,3 dam
3
0,5 km
3
52,1 cm
1000 
3
1 cm
3
5 mm
100 h 
4k
3
4 dm
3
= 1 dm
= 0,03 
= 325c
= 0,7135 k
3
= 1 000 000 m
3
= 21 300 000 dm
3
= 500 000 dam
3
= 0,000 0521 m
3
3
= 1 000 dm = 1 m
3
= 0,001 dm = 0,001 
3
= 0,000 005 dm =0,000005 
3
3
= 10 000  = 10000 dm = 10 m
3
= 4 000  = 4 000 dm
= 4  = 0,004 k 
MEDIDAS DE MASSA
O que as balanças nos fornecem é a massa que o corpo tem, na verdade o que estamos
medindo é a massa do corpo.
3
O grama é um padrão internacional para medidas de massa e equivalente à massa de 1 cm de
água destilada à temperatura de 4ºC.
19
A unidade fundamental de medidas de massa é o grama, indicado por g , e, dependendo da
massa a ser medida, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.
Unidades de Massa
unidade
Múltiplos
quilograma
hectograma
decagrama
grama
kg
hg
dag
g
1 kg = 1 000g =103 g
1 hg = 100g = 102 g
1 dag = 10g = 101 g
1g
decigrama
centigrama
miligrama
dg
cg
mg
1dg = 0,1 = 10-1 g
1cg = 0,0 1g =10-2 g
1mg =0, 001g =10-3 g
Unidade Fundamental
Submúltiplos
Símbolo
Equivalente a
Facilmente vemos que, novamente, cada unidade é 10 vezes maior do que a unidade
imediatamente inferior.
Exemplos:
1 dag = 10g
Volume – Capacidade
5,43 dag
12,73 cg
125 kg
231 mg
5 cg
0,07 kg
72,4 hg
= 5430 cg
= 0,001273 hg
= 125 000 g
= 2,31 dg
= 0,00005 kg
= 70g
= 7 240 000 mg
Medidas de Tempo
No sistema internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo é s.Além do
segundo, as unidades de tempo são o minuto, a hora, a semana, o mês, o ano e o século.
Temos:
a) 1 minuto = 60 segundos
b) 1 hora = 60 minutos (ou 1 hora = 3.600 s)
c) 1 semana = 7 dias
d) 1 mês comercial = 30 dias
e) 1 ano comercial = 360 dias (ou 1 ano = 12 meses)
f) 1 século = 100 anos
Obs: O ano civil tem 365 dias e o ano bissexto 366 dias
Exemplos:
1) Transforme em dias:
3 anos 4 meses e 18 dias
3 a 4me 18d = (3 x 360) + (4 x 30) + 18
1080 + 120 + 18
1218 dias
20
2) Transforme em meses:
1 ano 8 meses e 10 dias
Lembre-se que um dia é uma fração do mês representada por 1 mês
30
1a 8me 10d = (1 x 12) me + 8me + 10 x 1 me
30
12me + 8me + 10 me
30
36 + 24 + 1 = 63 me = 21 me
3
3
3) Transforme 789 dias em anos, meses e dias:
Primeiramente transformamos tudo em meses, dividindo 789 por 30:
789
30
= 26 meses e 9 dias
189
26 meses
09 dias
Em seguida verificamos quantos anos cabem em 26 meses:
26
12
2 meses
2 anos
Resposta: 2a 2me 9d
4) Transforme 2, 325 anos em anos, meses e dias:
2,325 a = 2a + 0,325ª
2a + 0,325 x 12me
2a + 3,9me
2a + 3me + 0,9 x 30d
2a + 3me + 27d
Resposta: 2a 3me 27d
5) Transforme em horas, minutos e segundos: 2,725h
2,725 h = 2h + 0,725h
2h + 0,725 x 60mim
2h + 43,5 mim
2h + 43mim + 0,5mim
2h + 43mim + 0,5 x 60s
2h + 43mim + 30s
Resposta: 2h 43mim 30s
Exercícios propostos
1. Para ladrilhar o piso de uma sala retangular de 7,20m por 96dm, foram comprados ladrilhos
quadrados de 20cm de lado.
a) Quantos ladrilhos foram necessários?
b) Qual foi o custo total, se o preço da centena de ladrilhos é de R$ 6,00?
2. Sabendo que a garrafa de 2 de refrigerante enche 8 copos, qual é capacidade de cada
copo?
3. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Dividindo-se todos os 0,36 km de corda de
um rolo em pedaços de 180 cm de comprimento cada um, quantas partes serão obtidas?
(A) Trezentas.
(B) Duzentas.
(C) Trinta.
21
(D) Vinte.
(E) Doze.
3
4. O volume inicial de um tanque, hermeticamente fechado, é de 2m de ar. Cada golpe de uma
3
3
bomba de vácuo extrai 100 dm de ar desse tanque. Após o 13º golpe, quantos m de ar
permaneceram no tanque?
3
5. O volume de 7m de liquido deve ser distribuído igualmente em ampolas cujo volume Maximo
é 0,25. Quantas ampolas serão usadas?
6. Uma fabrica produziu 3t (1t = 1000kg) de suco de laranja. Essa quantidade de suco deve ser
engarrafada colocando-se 750g de suco em cada garrafa. Quantas garrafas serão utilizadas?
7. (TÉC.JUDIC.-2002-CEARÁ-FCC)O tampo de uma mesa tem a forma de um quadrado, cujo
lado mede 120 cm. Se ele deve ser revestido por um material que custa R$ 18,50 o metro
quadrado, a quantia mínima a ser desembolsada para se executar esse serviço é
(A) R$ 26,64
(B) R$ 25,86
(C) R$ 24,48
(D) R$ 22,20
(E) R$ 20,16
8. O tanque de combustível de um automóvel tem forma de um paralelepípedo retângulo, com
as seguintes dimensões: 80 cm de comprimento, 40 cm de largura e 20 cm de altura. Ao sair
para uma viagem, encheu-se totalmente o tanque. Ao se chegar ao destino, verificou-se ter
gasto 2/5 do combustível que havia no tanque. Quantos litros sobraram?
9. Transforme em dias:
a) 2a 7 me
15 d
b) 1a 9 me
20 d
10. Transforme em meses:
a) 2a 7 me
15 d
b) 3a 4 me
20 d
11. (AUX.PER.CRIM.-2002-AMAPÁ-FCC) Uma das caixas de água de um prédio mede 1,5 m
de comprimento, 8 dm de largura e 120 cm de altura. O número de litros de água que ela
comporta é
(A) 129,5
(B) 144
(C) 1 295
(D) 1 440
(E) 2 880
12. (TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) O volume de uma caixa d'água é de 2,760 m 3. Se a água
nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decalitros de água devem ser
colocados nessa caixa para enchê-la completamente?
(A) 331,2
(B) 184
(C) 165,6
(D) 110,4
22
(E) 55,2
13. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Pretende-se acondicionar 1 200 litros de
fertilizante em recipientes, cada um com capacidade para 0,025 m 3. A menor quantidade de
frascos que deverão ser usados é
(A) 48
(B) 50
(C) 96
(D) 480
(E) 500
14.(SECRET.ESC.-SP-2003-FCC) A coleta seletiva de lixo de uma escola prevê conseguir 5
quilos de alumínio, por semana, provenientes de latas recicláveis. Se 3 latas vazias têm massa
aproximada de 20 gramas, a meta da escola será atingida se forem arrecadadas semanalmente
um total de latas igual a
(A) 250
(B) 300
(C) 550
(D) 600
(E) 750
15. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Em uma rodovia, uma carreta está
transportando 65 toras de madeira, cada qual com peso de 82 kg. Se a carreta vazia pesa 3,5
toneladas, então, ao parar num posto de pesagem, quantas toneladas a balança marcará?
(A) 6,43
(B) 7,87
(C) 8,83
(D) 9,27
(E) 9,63
Gabarito:
1. 1.728 ladrilhos e R$ 103,68
2. 250 m
3.B
3
4. 0,7m
5. 28.000 ampolas
6. 4.000 garrafas
7. A
8. 38,4 
9. a) 945d
63
10. a)
me
2
11.A
12.D
13.A
14.E
15.C
b) 650d
122
b)
me
3
23
RAZÕES E PROPORÇÕES
RAZÃO
Dados dois números a e b, com b  0, chamamos de razão ao quociente de a com b.
Expressa uma comparação de a com b.
a
Indicamos razão por
ou a : b, onde a é o antecedente b é o conseqüente.
b
Razões inversas
Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.
Exemplo:
2
1
2 1
e
  1
1
2
1 2
Razão entre dois números
Dados dois números a e b  0, denomina-se razão de a para b ao quociente
a
. O número a é
b
denominado antecedente e o número b, conseqüente da razão.
Exemplos:
Uma prova de Matemática é composta de 15 questões. Um aluno acertou 10 delas. Determinar:
1) A razão do número de questões que acertou para o número de questões que havia na prova.
10 2

Neste caso, a razão é:
15 3
2
Ou seja, o aluno acertou 2 em cada 3 questões, ou também podemos dizer que ele acertou
3
das questões.
2) A razão do número de questões que acertou para o número de questões que errou.
10 2
 2
Neste caso, a razão é
5 1
Razões Equivalentes
a
Dada uma razão qualquer , onde b  0, podemos escrever inúmeras razões equivalentes a
b
ela, bastando, para isso, multiplicar (ou dividir) o antecedente e o conseqüente pelo mesmo
número.
Exemplos:
a) Escrever razões equivalentes à razão
2
:
3
2 6 8 10 12 4 - 4 - 6
 


 

3 9 12 15 18 6 - 6 - 9
b) Escrever razões equivalentes a
8 16 32


 ...
3 6 12
24
A razão pode ser estabelecida entre duas grandezas.
PROPORÇÕES
Quando escrevemos a igualdade entre duas razões, temos uma proporção.
Por exemplo:
a c
 ou a : b : : c : d
b d
1 2
 é uma proporção
2 4
5 25

é uma proporção
3 15
2 6 (não é uma proporção)

3 4
mais, invertendo somente uma razão, determinamos uma
proporção (inversa)
3 6
2 4
 ou 
2 4
3 6
Temos assim, a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos
a c
Simbolicamente, se  então, b . c = a . d
b d
Proporção
4 12

5 15
Produto dos Meios
Produto dos Extremos
5 . 12 = 60
4 . 15 = 60
Outras propriedades das proporções
P1 – Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o 1° ou
para o 2°, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3° ou 4° termo.
a  b c  d
 a  c

a c
  com a,b,c e d  0
b d
a  b c  d


d
 b
a - b c - d
 a  c

a c
  com a,b,c e d  0
b d
a - b c - d


d
 b
P2 – Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a
diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo
conseqüente.
25
a  c a
b  d  b

a c
  com b, d e b  d  0
b d
a  c c


b  d d
a - c a
b - d  b

a c
  com b, d e b - d  0
b d
a - c c


b - d d
P3 – Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes,
assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo
conseqüente.
 ac


bd

a c
  com
b d
 ac


 bd
a2
b2
d e b0
c²
d²
Proporções Múltiplas
Quando temos uma igualdade de mais de duas razões, dizemos que se trata de uma proporção
múltipla.
a c e
  e observando as propriedades Fundamental e P2, podemos escrever:
b d f
ac e a c e
  
1)
b d f b d f
2)
ac-e a c e
  
b  d- f b d f
3)
a-c e a c e
  
b-d f b d f
4)
a-c -e a c e
  
b- d- f b d f
26
Exercícios propostos:
nessa ordem, estão entre si assim como 3
está para 4. Se o triplo do salário de A
somado com o dobro do salário de 8 é igual
a RS 6.800,00, qual é a diferença positiva
entre os salários dos dois?
01. Numa cidade 3/16 dos moradores são de
nacionalidade estrangeira. Se o total de
habitantes é 30.000, o número de brasileiros
na cidade é
A) R$ 200.00
B) R$ 250,00
C) R$ 300,00
D) R$ 350,00
E) R$ 400,00
A) 23.865
B) 24.375
C) 25.435
D) 25.985
E) 26.125
05. Em uma caixa havia chocolates e balas.
João abrir a caixa e comeu um terço das
balas e um terço dos chocolates que
encontrou. Pedro chegou em seguida e
comeu metade das balas que encontrou e
cinco chocolates. Em seguida o Dr. Feitosa
chegou, e havia 5 balas e um terço do
número inicial de chocolates. Podemos
concluir que a quantidade de guloseimas
(balas + chocolates) que João comeu foi:
02 - Num dado momento, no almoxarifado
de certa empresa, havia dois tipos de
impressos: A e B. Após a retirada de 80
unidades de A, observou-se que o numero
de impressos B estava para o de A na
proporção de 9 para 5. Em seguida, foram
retiradas 100 unidades de B e a proporção
passou a ser de 7 de B para cada 5 de A.
Inicialmente, o total de impressos dos dois
tipos era
A) 10
B) 18
C) 24
D) 54
E) 32
A) 780
B) 800
C) 840
D) 860
E) 920
06. Dos 16 veículos que se encontravam em
uma oficina, sabe-se que o número x, dos
que necessitavam ajustes mecânicos,
correspondia a 5/3 do n.º y, dos que
necessitavam de substituição de
componentes elétricos. Se nenhum desses
veículos necessitava dos dois tipos de
conserto, então x-y é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
03. Do total de processos arquivados por um
técnico judiciário, sabe-se que: 3/8
foram arquivados numa primeira e etapa
e1/4 numa segunda. Se os 9 processos
restantes foram arquivados numa terceira
etapa, o total de processos era
A) 18
B) 24
C) 27
D) 30
E) 34
04. Os salários de dois funcionários A e B,
Gabarito
1B
2ª
2B
5E
5A
6D
27
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
DEFINIÇÃO
Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A
e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a 1; a2; a3; ...; an)
e B = (b1; b2; b3; ...; bn), então:
K
a1
b1

a2
b2

a3
b3
 
an
bn
K é denominado fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;
Exemplo:
Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12).
3 1

6 2
4 1
K 
8 2
K
5 1

10 2
6 1
K

12 2
K
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é:
1
2
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
DEFINIÇÃO
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os
elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a 1; a2; a3;
...; an) e B = (b1; b2; b3; ...; bn), então:
K  a1  b1  a2  b2  ...  an  bn
Exemplo:
Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):
K = 1 . 20 = 20
K = 2 . 10 = 20
K = 4 . 5 = 20
K = 5 . 4 = 20
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.
28
DIVISÃO PROPORCIONAL
Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
Divida 180 em partes proporcionais a (2, 5 e 11).
Solução:
Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
Divida em 18 em partes inversamente proporcionais a (2, 3, 6).
Solução:
Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcionais a 1 e 4.
Solução:
Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a
3 e 4.
Solução:
29
Exercícios Propostos
01. (TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com capitais iguais,
sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um
ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam,
respectivamente,
(A) R$ 10 500,00 e R$ 9 500,00
(B) R$ 12 000,00 e R$ 8 000,00
(C) R$ 13 800,00 e R$ 6 200,00
(D) R$ 15 000,00 e R$ 5 000,00
(E) R$ 16 000,00 e R$ 4 000,00
02. (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos
funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço
na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram
um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi
(A) 8
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 36
03. (TÉC.JUDIC.1ª REGIÃO-FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram
incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas
idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3
anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a
diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é
(A) 48
(B) 50
(C) 52
(D) 54
(E) 56
04. (AG.PENIT.-2002-AMAPÁ-FCC) Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço
de três soldados na corporação, que devem dividir entre si um certo número de fichas
cadastrais para verificação.
Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas
respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na
corporação, o número de fichas que caberá a
(A) Daniel é 180.
(B) Manoel é 176.
(C)) Daniel é 170.
(D) Manoel é 160.
(E) Daniel é 162.
GABARITO:
01.B 02.B 03.C 04.E
30
REGRA DE TRÊS
São situações problema, que envolvem proporções, onde a incógnita a ser determinada é a quarta
proporcional.
a
b

c
 (Quarta proporcional)
x
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Problemas de regra de três simples envolvem sempre duas grandezas direta ou inversamente
proporcionais. São dados dois dos valores que uma das grandezas assume; dos correspondentes
valores assumidos pela segunda grandeza somente um é conhecido, o outro deverá ser
determinado.
Exemplos:
a) Se 20 operários completam determinado serviço em 9 dias, quantos operários farão o mesmo
serviço trabalhando 5 dias?
Solução:
Seja x o número de operários procurado. Então:
Operários
Tempo (d)
As flechas, em sentidos opostos, indicam que, se o número de operários aumentar, o número de
dias, para fazer o mesmo serviço, irá diminuir; ou seja, as grandezas são inversamente
proporcionais.
Logo,
20
x

5
9
E, portanto 5x = 180 donde x = 36
Assim o número de operários procurado é 36.
b) Joana comprou 3,2 m de tecido para fazer um vestido. Se fosse fazer 4 vestidos iguais, que
metragem de pano deveria comprar?
Solução:
Seja x o valor procurado
Metragem (m)
N° de vestidos
Aqui, as grandezas são diretamente proporcionais e, por isso, as flechas estão no mesmo sentido.
De fato, para fazer mais vestidos, Joana deverá adquirir mais tecido.
Então:
3,2
x

1
4
Assim, ela deverá comprar 12,8 m de tecido.
31
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Os problemas de regra de três composta envolvem sempre mais de duas grandezas. Das
grandezas envolvidas, conhecem-se todos os valores respectivamente correspondentes, exceto de
uma delas, onde apenas um valor é conhecido e o outro deve ser determinado. Aqui, também, as
flechas vão indicar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Isto significa que,
fixada a flecha da grandeza da qual vai determinar um valor, coloca-se flecha no mesmo sentido
nas grandezas diretamente proporcionais a ela, e, em sentido contrário, nas grandezas que são
inversamente proporcionais à fixada.
Exemplo:
a) Sabe-se que 5 máquinas produzem 60 mts de tecido em 2 horas. Pergunta-se quantos metros
de tecido serão produzidos por 10 maquinas do mesmo tipo, trabalhando 6 horas?
Solução:
Seja o número de metros procurados. Temos:
Nº de Máquinas
Quantidade de
tecido (m)
Tempo (h)
Nº de Máquinas
Quantidade de
tecido (m)
Tempo (h)
60

1º compara-se a grandeza, quantidade
de metros e tempo (h)
2º compara-se a grandeza, quantidade
de metros e número de maquinas.
1
, donde x  360. Portanto: serão produzidos 360 m.
x
6
Portanto:
b) Sabendo-se que 20 operários executam determinado serviço em 12 dias de 9 horas cada,
pergunta-se quantos operários realizarão o mesmo serviço trabalhando 15 dias de 6 horas cada?
Solução:
Seja o número de operários procurado. Temos:
360
Nº de operários Nº de dias
Nº de horas diárias
x
 24.
15
Teremos 24 operários.
c) 2 azulejistas assentam azulejos numa parede de 20 m por 3 m em 3 dias. Em quantos dias, 3
azulejistas, com o mesmo ritmo de trabalho, assentam azulejos numa parede de 30 m
por 4 m?
Nº de azulejistas
Comprimento da parede
(m)
Altura da parede
(m)
Tempo
(d)
2
3
20
30
3
4
3
x
x=4
Logo serão necessários 4 dias.
32
6) Uma turma de operários executa um trabalho,
cujo coeficiente de dificuldade é 0,1 em 10 dias.
Em quantos dias essa mesma turma faria um
outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade
fosse 0,15?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
REGRA DE TRÊS SIMPLES
1) (TÉC.JUDIC.-TRT-24ª-FCC) Uma indústria
tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas
máquinas têm, todas, a mesma eficiência e
executam certo serviço em 10 horas de
funcionamento contínuo. Se as máquinas
restantes têm 50% a mais de eficiência que as
primeiras,
funcionando
ininterruptamente,
executariam o mesmo serviço em
(A) 8 horas e 40 minutos.
(B) 8 horas e 20 minutos.
(C) 7 horas e 45 minutos.
(D) 7 horas e 30 minutos.
(E) 7 horas e 15 minutos.
a)
b)
c)
15 dias
20 dias
10 dias
d)
e)
25 dias
n. r. a.
7) A cantina da escola possuía um estoque de
hamburguer a ser vendido a 1800 alunos
durante 15 dias. Tendo havído uma greve no
metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de
"hambuguer" se tornou suficiente para mais 5
dias. O número de alunos faltosos foi de:
2)(AUX.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC)
Ao
catalogar os tipos de produtos agrícolas
existentes em estoque, um auxiliar de serviços
de campo observou que gastava, em média, 25
minutos para catalogar 15 tipos. Nessas
condições, se trabalhar ininterruptamente por 1
hora e 20 minutos, espera-se que o número de
produtos que ele consiga catalogar seja
(A) 36
(B) 38
(C) 42
(D) 45
(E) 48
a)
b)
c)
3) Um ônibus com a velocidade de 80 km/h vai
da cidade A até a cidade B em 2 h. Nas mesmas
condições e corn a velocidade de 100 km/h,
quanto tempo gastará para percorrer a mesma
distância?
necessários:
a)
b)
c)
9) Um motociclista fez o percurso de 40 km
entre duas cidades ern 35 minutos. Se a
1 h 20 min
1 h 30 min
2 h 30 min
d)
e)
1.350
900
750
d)
e)
450
n. r. a.
8) São necessários 25 dias para que sejam
asfaltados
2
3
de uma determinada estrada.
Para se asfaltar
a)
b)
c)
1 h 36 min
n. r. a.
3
5
dessa mesma estrada, são
7 dias e 12 h
15 dias
20 dias
d)
e)
velocidade fosse igual a
4) (AUX.JUD.-TRF-1ª-2001-FCC) Em uma
gráfica, uma máquina imprimiu 8.520 unidades
de certo formulário num determinado período de
tempo. Quantas unidades desse formulário
seriam impressas no mesmo período por outra
máquina, cujo rendimento corresponde a ¾ do
rendimento da primeira?
(A) 11 360
(B) 8 250
(C) 7 490
(D) 6 390
(E) 6 315
2
5
22 dias e 12 h
n. r. a.
da anterior, faria o
mesmo percurso em?
a)
b)
c)
1 h 27 min 20 s
1 h 27 min 30 s
2 h 17 min 10 s
d) 1 h 37 min
e) n. r. a.
10) Um acampamento corn 10 soldados dispõe
de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais
de 20 soldados ao acampamento, por quanto
tempo estará abastecido o acampamento?
5) Uma máquina, varredeira limpa uma área de
5.100 m2 em 3 h de trabalho. Nas mesmas
condições, em quanto tempo limpará uma área
de 11.900 m2?
a)
b)
c)
2 meses
3 meses
1 mês
d)
e)
4 meses
n. r. a.
RESPOSTAS
a)
b)
c)
6h
7h
8h
d)
e)
9h
n. r. a.
1) d
2) e
3) d
39
5) b
6) a
7) d
8) d
9) b
10) c 4) d
7) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um
certo serviço em 5 dias, trabalhando 5 horas por
dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem
8 horas por dia, executarão o mesmo serviço
em?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai,
em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa
equipe for aumenteda para 20 homens em
quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de
carvão?
a) 15 dias
d) 35 dias
b) 20 dias
e) n. r. a.
c) 30 dias
a)
b)
c)
a)
b)
c)
a)
b)
c)
4) Certo motor consome 20 litros de óleo
girando a 1.500 rpm em 5 horas. Se esse motor
funcionar a 1.800 rpm durante 3 horas, qual será
o consumo do óleo?
a) 8,4 L
d) 12,4 L
b) 9,4 L
e) n. r. a.
c) 14,4 L
a)
b)
c)
3 h 56 min
3 h 42 min
3 h 10 min
d)
e)
4,5 dias
n. r. a.
15 dias
20 dias
10 dias
d)
e)
25 dias
n. r. a.
8h
9h
10 h
d)
e)
11 h
n. r. a.
11) Oito pedreiros levantaram um muro em 10
dias, trabalhando 6 h por dia. Quantas horas por
dia devem trabalhar 4 pedreiros para
executarem o mesmo serviço em 6 dias?
a) 20 h
d) 11 h
b) 18 h
e) n. r. a.
c) 16 h
15
n. r. a.
6) Um funcionário, trabalhando 8 horas por dia,
produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o
mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6
dias, é necessário que ele aumente o seu
trabalho diário de um tempo correspondente a:
a)
b)
c)
2 dias
3 dias
4 dias
10) Doze pedreiros constroem 27 m2 de um muro
em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas devem
traba-lhar por dia 16 operários, durante 24 dias,
para construírem 36 m2 do mesmo muro?
5) Vinte operários constroem um muro em 45
dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos
operários serão necessários para construir à
terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando
8 horas por dia?
d)
e)
6 dias
n. r. a.
9) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia,
gastaram 18 dias para construir um muro de 300
m. Quanto tempo levará uma turma de 16
trabalhando 9 horas por dia para construir um
muro de 225 m?
3) Três máquinas operando 8 horas por dia
produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos
seriam produzidos por 7 máquinas que
operassem 11 horas por dia?
a) 15.000
d) 16.000
b) 15.400
e) n. r. a.
c) 15.800
5
10
12
d)
e)
8) Um carro percorre 4.320 km em 5 dias,
rodando em média 8 h/dia. Quantos dias serão
necessá-rios para percorrer 2.916 km, sabendose que a média a ser rodada é de 9 horas por
dia?
2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3
de terra em 8 h de trabalho. Para escavar 500m3
em 5 h de trabalho, de quantos operários deverá
ser acrecida a equipe?
a) 5
d) 8
b) 4
e) n. r. a.
c) 6
a)
b)
c)
3 dias
4 dias
5 dias
1) d
2) a
3) b
4) c
d) 2 h 24 min
e) n. r. a.
40
RESPOSTAS
5) d
9) a
6) d
10) c
7) c
11) a
8) b
PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM
Observe a seguinte situação:
Nas pesquisas eleitorais, 15% estão indecisos. A colocação feita significa que dentre cada 100
pessoas entrevistadas, 15 estão indecisas.
15% é a taxa de porcentagem ou percentual, 15 é a porcentagem, admitindo-se 100 como
principal.
Formas de taxa:
a)
Percentual: 15%
b)
Fração centesimal:
c)
100
Decimal ou unitária: 0,15
15
p=i.P
p = porcentagem
i = taxa
P = principal
Os problemas de porcentagem são tão-somente problemas de uma regra de três simples, onde
as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Exemplos:
a) Numa classe de 35 alunos, compareceram 28. qual a taxa da presença? E da ausência?
Solução:
Temos: 35 alunos correspondem a 100%
28 alunos correspondem a x%
Então: 35 - 100
28 -
x
x = 80%
b) Em um certo dia, 200 funcionários de uma fábrica não comparreceram ao trabalho. Sabendose que 60% estiveram presentes, quantos funcionários existem na fábrica?
Presentes: 60% - x
40% - 200
x
60%  200
40%
x = 300
300 + 200 =
então o total é:
500 funcionários.
AUMENTOS SUCESSIVOS
Imagine a seguinte situação:
Um comerciante realiza dois aumentos, um após o outro, de 20% e 10%. Qual foi o percentual
total de aumento?
100 + 20% de 100 = 120 (1º aumento) e
120 + 10% de 120 = 132 (2º aumento)
Diferença: 132 – 100 = 32
32%
41
Utilizando uma expressão apenas para o percentual de aumento:
(1+i1) . (1+i2) –1 = (1,2) x (1,1)=1,32–1 = 0,32 ou 32%
Generalizando: (1+i1) . (1+i2) . (1+i3)... – 1
ABATIMENTOS SUCESSIVOS
A situação é de abatimentos, um após o outro de 20% e 10%:
100 – 20% de 100 = 80 (1º desconto) e
80 – 10% de 80 = 72
Diferença: 100 – 72 = 28 ou seja 28%
de abatimento total.
Utilizando uma expressão para o percentual de abatimento ou desconto.
1 - (1-i1) . (1-i2) = 1 - (1 - 0,2) x (1 - 0,1) =1 – (0,8) x (0,9) = 1 – 0,72 = 0,28 ou 28%
Generalizando:
1 - (1-i1) . (1-i2) . (1-i3)...
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) (TÉCN.JUDIC.-BAHIA-2003-FCC) Comparando as quantidades de processos arquivados por
um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a
quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72
processos, qual o total arquivado nos três meses?
(A) 182
(B) 186
(C) 192
(D) 196
(E) 198
2) (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende
vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de
20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por
(A) R$ 110,00
(B) R$ 125,00
(C) R$ 130,00
(D) R$ 146,00
(E) R$ 150,00
3) (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa
reserva florestal acusou que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação
a 02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o mesmo
observado em 02/01/2004, então, relativamente a 02/01/2005, será necessário um aumento de
(A) 60%
(B) 80%
(C) 150%
(D) 160%
42
(E) 180%
4) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias
têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% casa própria e automóvel. O percentual dos que
não tem casa própria nem automóvel é de:
a) 46%
d) 40%
b) 54%
e) n. r. a.
c) 60%
5) (GUARDA CIVIL METR.-SP-2004-FCC) Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 799,00, ou
em duas prestações iguais. Sabendo que o preço total da mercadoria a prazo é 10% superior ao
preço à vista, cada prestação da compra a prazo é igual a
(A) R$ 479,40
(B) R$ 459,99
(C) R$ 439,45
(D) R$ 419,99
(E) R$ 403,45
6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10%
respectivamente determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:
a) 20,12%
d) 15%
b) 10,18%
e) n. r. a.
c) 8%
7) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. para iludir os consumidores, o
dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de
20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de:
a)
b)
c)
1.
3.
5.
7.
R$ 26,00
R$ 28,00
R$ 31,00
A
C
C
B
d)
e)
R$ 34,00
n. r. a.
RESPOSTAS
2. C
4. C
6. A
43
JUROS SIMPLES
È a porcentagem em dinheiro que recebamos ou pagamos como compensação financeira.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (c) aplicado a uma taxa (i), por um
período de tempo determinado (n).
A taxa de juro incide sobre o capital inicial e no final de cada período os juros obtidos serão
iguais ao produto do capital pela taxa do período.
CÁLCULOS DOS JUROS SIMPLES E MONTANTE
Seja em capital C aplicado a uma taxa i, por um período n de tempo, no regime de
capitalização simples os juros são formados no final de cada período.
C
J
|-------|-----|-----|--------|------|
0
1
2
3 ... n – 1
|------------------------------|
n
0
n
Juros do período n:
J= C . i . n
(p=P.i)
o juro dos n períodos será:
J= C . i . n
Para o caso do montante teremos:
M=C+ j
M=C + Cin
M=C (1 + in)
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção
com os seus respectivos valores períodos de tempo, reduzida numa mesma unidade.
Assim, sendo teremos:
i1
i
 2
n1 n2
Exemplos:
1) Qual é a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
Solução :
i1
i
i
24
 2  1
 i1  2% a.m.
n1 n2
1 12
2) Calcule a taxa a anual proporcional a 1,5% a.m.
i1
i
i
1,5
 2  1 
 i1  10 % a.m.
n1 n2
12
1
TAXAS EQUIVALENTES
44
No sistema de juros simples taxas equivalentes correspondem a taxas proporcionais.
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses
b) a taxa de 6% atr. durante 1 trimestre.
Solução:
a) J = ?
C = R$ 1.000,00
i = 2% a.m.
N = 3 meses
b) J = ?
C = R$ 1.000,00
i = 6% atr.
N = 1 trimestre
J=C .i.n
J = 1000. 0,02 . 3
J = 60,00
J=C .i.n
J = 1000. 0,06 . 1
J = 60,00
Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6%
a.tr.
EXERCÍCIOS
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000.00 colocados a taxa de 1% a.m.
durante 1ano e 2 meses.
2) Um capital de R$ 4.000.00 rendeu em 1 mês a importância de R$ 1.000.00 de juros. Calcular
a taxa.
3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200.00 para que renda R$
80,00 de juros sendo a taxa de 1% a.m.?
4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$
650,00.
5) Calcular o montante de um capital de R$1.200,00. empregado durante 2 anos e 6 meses a
taxa de 0,5% a.m..
45
Exercícios Propostos
01. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Um capital esteve aplicado à taxa de 1,5% ao mês, por um
período de 1 ano. Se ao final desse período foram obtidos juros simples num total de R$ 2 250,00, o valor do capital
era
(A) R$ 12 500,00
(B) R$14 000,00
(C) R$15 000,00
(D) R$15 750,00
(E) R$18 000,00
02. (TÉCN.JUDIC.-BAHIA-2003-FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicação um capital produza juros
simples iguais a 4/5 de seu valor, ele deve ser investido à taxa mensal de
(A) 2,6%
(B) 2,8%
(C) 3,2%
(D) 3,6%
(E) 3,8%
03. (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Aplicando-se a juro simples os 2/3 de um capital C à taxa de 15% ao ano e o
restante à taxa de 18% ao ano, obtém-se, em 1 ano e 4 meses, juro total de R$ 512,00. O capital C é
(A) R$ 2 400,00
(B) R$ 2 600,00
(C) R$ 3 200,00
(D) R$ 3 600,00
(E) R$ 4 000,00
04. (TÉC.JUD.-TRT-11ª-2005) Qual é o capital que, investido a juros simples e á taxa anual de 15%, se elevará a
R$17 760,00 ao fim de 1 ano e 4 meses ?
(A) R$14 500.00
(B) R$ 14 800,00
(C) R$15 200,00
(D) R$15 500,00
(E) R$ 15 600,00
05.(SUSEP 2001) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples durante seis meses e meio a uma taxa de
3% ao mês. Obtenha o montante ao fim do prazo.
A) R$ 2.360,00
B) R$ 2.390,00
C) R$ 2.420,00
D) R$ 2.423,66
E) R$ 2.423,92
06.(SUSEP 200) Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês.
Calcule os juros em relação ao capital inicial.
A) 9%
B)10%
C)10,5%
D)11%
E)12%
07.(TCM-RJ/2000) Uma pessoa aplicou duas quantias que somadas montam R$ 1.000,00, a juros simples; a
primeira à taxa de 3% a.m. e a segunda a 5% a.m. Em cinco meses renderam juntas juros totais de R$ 210,00. O
valor de cada uma delas é respectivamente:
A) R$ 250,00 e R$ 750,00
B) R$ 300,00 e R$ 700,00
C) R$ 350,00 e R$ 650,00
D) R$ 400,00 e R$ 600,00
E) R$ 450,00 e R$ 550,00
GABARITO:
01.A
02.C
03.A
46
04.B
5. B
6. B
7. D
JUROS COMPOSTOS
M = C . (1 + i)
t
M=C+J
t
J = c . [(1 + i) – 1 ]
EXEMPLO :
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado à juros compostos com taxa de 10% am durante :
a) Dois meses
b) Três meses
c) Quatro meses.
EXERCÍCIOS
01. (Aud. Int.) Um capital de $600,00 foi aplicado a uma taxa efetiva de 10% a.m. durante três meses. Qual o
aumento sofrido pelo capital nesse período?
A)
B)
C)
D)
E)
R$ 798,60
R$ 726,00
R$ 126,00
R$ 198,60
R$ 180,00
02. Uma loja anuncia um produto na prateleira pelo preço de $100,00. O pagamento pode ser feito com 20% de
desconto à vista ou no cheque especial sem acréscimos para trinta dias. Qual a taxa de juros mensal embutida
na cobrança feita pela loja?
A)
B)
C)
D)
E)
25%
15%
12%
30%
20%
03. (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu
montante final é:
47
A)
B)
C)
D)
30% superior ao capital inicial
130% do valor do capital inicial
aproximadamente 150% do capital inicial
aproximadamente 133% do capital inicial
GABARITO:
1-D 2-A 3-D
NOCÕES DE TAXAS NO SISTEMA COMPOSTO
TAXA NOMINAL
É aquela em que a unidade de tempo da taxa não é a mesma da capitalização.
Ex:
TAXAS EFETIVAS
É aquela em que a unidade de tempo da taxa é a mesma da capitalização.
Ex:
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital durante o mesmo período de tempo, (tempo),
produzem o mesmo montante final, mesmo que as unidades de tempo das taxas não sejam as mesmas.
1
2
3
4
(1 + ia) = ( 1 + 1as) = (1 + iq) = (1 + it) = ...
6
... = (1 + iab) = (1 + im)
12
EXERCÍCIOS
01. (TCDF) No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa
nominal de 6% a.a. com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral então é de:
A) 1,00025% a.b.
B) 1,0025% a.b.
C) 1,025% a.b.
D) 1,25% a.b.
02. (BACEN) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
A) 20%
B) 21%
48
C) 22%
D) 23%
E) 24%
03. (AFTN) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de
A) 60%
B) 66,6%
C) 68,9%
D) 72,8%
E) 84,4%
04. (AFTN) Uma empresa aplica $300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se
aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é
A) 4,6%
B) 4,4%
C) 5,0%
D) 5,2%
E) 4,8%
GABARITO: 1-B 2-B 3-D 4- E
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS P.A. E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.
Progressão Aritmética ou Seqüência Aritmética
Uma sucessão de números (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão Aritmética (P.A.), se cada um de seus
termos, a partir do 2º, for igual ao anterior somado com uma constante denominada de razão da P.A.
Exemplos:
1) (5, 8, 11, 14, ... ) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 11 – 8 = 3
49
1 1
3
 1

 , 1, , 2, ...  é uma P.A. crescente, cuja razão r = 1 – 
2
2
2
2


( – 8, – 5, – 2, 1, 4, ...) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 4 – 1 = 3
( 3, 3, 3, ... ) é uma P.A. constante, cuja razão r = 3 – 3 = 0
( 12, 7, 2, – 3, – 8, – 13, ... ) é uma P.A. decrescente, onde r = 2 – 7 = – 5
Termo Geral da P.A.
A fórmula que nos permite calcular um termo qualquer de uma P.A. é:
an = a 1 + ( n – 1 ) r
onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)
a1 = primeiro termo
n = quantidade de termos
r = razão da P.A.
OBS.: Em sala veremos como calcular sem uso de fórmulas.
Soma dos termos da P.A.
A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.A. finita é:
Sn =
 a1  an  x n
2
Por exemplo, a soma dos termos da P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23) é:
A1 = 3 ( 1º termo )
S6 =
 3  23  x 6  26 x 6  156  78
2
2
2
An = (último termo)
N=6
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA OU SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA
Uma seqüência de termos não nulos (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão Geométrica (P.G.), se o
quociente de cada um de seus termos, a partir do 2º, pelo seu antecessor, for sempre o mesmo. Este quociente é
chamado a razão da P.G. e é indicado por q
Exemplos:
12 48 192


 4  razão da P.G.
3 12 48
64 32 16  1
(128, 64, 32, 16, ...) é uma P.G., pois:
é a razão



128 64 32 2
5
5
(5, 5, – 5, 5, 5, ...) é uma P.G., pois:

  1 é a razão
5
5
(3, 12, 48, 192, ...) é uma P.G., pois:
50
1 1
1
 1 1 
 1, , , ...  é uma P.G., pois: 2  4  é a razão
1 1 2
 2 4 
2
Fórmula do termo geral
an = a 1 x q n – 1
onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)
a1 = 1º termo
q = razão da P.G.
n = quantidade de termos
Soma dos termos de uma P.G. finita
A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.G. com um número finito de termos é:
Sn

a1 x qn  1
q 1

(I)
A partir desta fórmula podemos derivar uma outra que nos dá a soma dos termos em função de a 1, an e q. Essa
fórmula é a seguinte:
Sn
an x q  a1
q 1
( II )
OBS.: Em sala veremos como calcular sem a fórmula
Soma dos termos de uma P.G. decrescente e infinita

Seja, por exemplo, a P.G.  100, 10, 1,

1
1

,
, ... 
10 100

A fórmula que nos permite achar o limite para o qual tende a soma das infinitas parcelas de uma P.G.
decrescente e ilimitada, tal como a que apresentamos acima é:
Sn =

Logo, somando os infinitos termos da P.G.  100, 10, 1,

a1
1 q
1
1

,
, ...  obtemos:
10 100





100
100
10
1000


 100x

Sn = 
1
9

9
9 
 1

10
10


51
Produto dos termos de uma P.G. finita
A fórmula que nos permite calcular o produto dos termos de uma P.G. como um número conhecido de termos,
é:
pn 
n
a1  an n   a1  an 2
EXERCÍCIOS
01. (BACEN/98) A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que
A: – 8, – 6, – 4, ...
B: 17, 14, 11, ...
a)
b)
c)
d)
e)
elas não têm termos iguais.
o 6º termo de A e de B são iguais.
o 10º termo de A e de B são iguais.
elas têm sete termos iguais.
elas têm cinco termos iguais.
02. Numa P.A. o quinto e décimo segundo termos são respectivamente, 10 e 80. O 1º termo é:
a)
b)
c)
d)
e)
10
– 30
– 10
20
30
03. A soma dos 10 primeiros termos da PA ( – 4; – 2; 0; ...) vale:
a)
b)
c)
d)
20
40
30
50
04. (TFC/95) Cinco números estão em progressão geométrica, sabendo-se que o primeiro é igual a 2 e o último a 32,
o valor do quarto número é:
a)
b)
c)
d)
e)
30
28
24
17
16
05. Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho, conseguindo despachar, no 1º dia, 210
documentos. No dia seguinte percebe que seu trabalho tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior,
repetindo este fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem que despachar 2.100 documentos, pode-se
concluir que:
a) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias.
52
b) o trabalho estará terminado em 58 dias.
c) o trabalho estará terminado em 60 dias.
d) o trabalho nunca estará terminado
GABARITO
01. B
02. B
03. D
04. E
05. D
Equações do 2º grau
Uma equação em x é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na forma:
2
ax + bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais com a ≠ 0.
Exemplos de Equações do 2º grau
a) x2 - 6x + 8 = 0
b) x2 + x - 4 = 0
2
c) -x + 2x + ½ = 0
2
d) 1 - 5x - x = 0
53
2
e) 5 + x = -3x
2
f ) -x + x = 0
x2
0
g) 
3
Resolução:
Para resolvermos, ou determinarmos o conjunto solução de uma equação do 2º grau, utilizamos
a fórmula de Bhaskara.
Equações incompletas
Usando a fórmula de Bhaskara ou nas seguintes situações:
a) Na forma ax2 + bx = 0 , fatora-se isolando x:
Exemplo:
x2 – 4x = 0
x* (x – 4) = 0
x = 0 ou x – 4 = 0
x=4
S = {0, 4}
b) Na forma ax2 + c = 0, isola-se o termo com x:
Exemplo:
x2 – 4 = 0
x2 = 4
x=± 4=±2
S = {-2, 2}
Equações completas
Usando a fórmula ou a relação entre coeficientes e raízes.
54
Exercícios:
Determine o conjunto solução das equações abaixo:
a) x2 - 5x + 6 = 0
b) x2 - 7x + 10 = 0
c) x2 - 6x + 9 = 0
55
d) x2- x - 12 = 0
e) x2+ x - 12 = 0
f) x2+ 6x + 8 = 0
g) 2x2 - 12x + 16 = 0
h) x2 - 4x = 0
i) x2 - 4 = 0
j) 6x2 - 5x + 1 = 0
56
l) 15x2 - 13x + 2 = 0
m) x2 - x + 4 = 0
Anotações:
57
48
FUNÇÕES OU APLICAÇÕES
Definição:
Uma relação de A em B é chamada de função quando associa a todo elemento de A um único
elemento em B.
É um tipo de relação caracterizada por uma dependência.
f(x) = y
Função definida por uma sentença
A função f : A  B definida por y = x + 1. A sentença y = x + 1, diz que só servem os pares ( x, y
) que se encaixem na igualdade.
Ex.: A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4, 5, 6 }
f : A  B, tal que y = x + 1
f: { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ) }
R1
R1 É uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único em B.
58
Domínio de uma função D( f )
É o próprio conjunto de partida.
Ex.: A = { -1, 1, 2 }
Imagem de uma função Im (f)
É o conjunto formado pelos elementos do conjunto de chegada que participam da relação.
Ex.: { -3, 3, 6 } em R1 (acima).
FUNÇÕES DO 1º GRAU
São da forma y = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da função.
Sempre a  0.
O gráfico cartesiano da função de 1º grau é sempre uma reta que pode ser de dois tipos:
a) a menor que zero ( negativo )
b) a maior que zero ( positivo )
função decrescente
função crescente
Valor numérico da função ou valor da função;
f : R  R definida por y = x + 2 ( ou f(x) = x + 2 )
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y=x+2
y=-4+2=-2
y=-3+2=-1
y=-2+2=0
y=-1+2=1
y=0+2=2
y=1+2=3
y=2+2=4
Gráfico
(-4, -2)
(-3, -1)
(-2, 0)
(-1, 1)
(0, 2)
(1, 3)
(2, 4)
59
Gráfico Cartesiano:
Exemplos
a) y = 3x – 2
b) y = -
1
x+1
2
Note que a reta corta o eixo dos y (eixo das ordenadas) em b .
Construa o gráfico cartesiano das funções:
a) y= 2x-4
y
x
0
b) y= x-3
y
x
0
c) y= -2x-4
y
x
0
60
FUNÇÕES DO 2º GRAU
São na forma y = ax + bx + c com a  0
O gráfico da função de 2º grau sempre será uma parábola, que pode ser de dois tipos:
2
a < 0 concavidade para baixo
a > 0 concavidade para cima
Gráfico
Exemplos:
2
2
a) y = x - 4x + 3
b) y = x - 2x + 1
2
2
c) y = -x + 3x - 5
d) y = - x + 1
Construa o gráfico cartesiano das funções:
a) y = x2 - 6x + 8
b) y = x2 - 7x + 10
c) y = -x2 + 6x – 8
Valor mínimo: a > 0
y = x2 - 6x + 8
v =(
61
-b - Δ
,
2a 4a
)
x′ + x′′ 2 + 4
=
=3
2
2
-Δ -4
yv =
=
= -1
4a
4
xv =
Valor máximo: a < 0
xv =
x′ + x′′ 2 + 4
=
=3
2
2
yv =
-Δ -4
=
= +1
4a - 4
Δ = b2 - 4ac = 36 - 32 = 4
y = - x2 + 6x – 8
62