Processos não-randômicos associados ao aquecimento do

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
Programa de Pós-Graduação em Física
Processos não-randômicos associados ao
aquecimento do disco galáctico
Carlos Augusto Pitombeira Viana
Natal-RN
Maio de 2016
Carlos Augusto Pitombeira Viana
Processos não-randômicos associados ao
aquecimento do disco galáctico
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Física da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte como requisito para obtenção
do grau de Mestre em Física.
Orientador:
Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE
Natal-RN
Maio de 2016
Dissertação apresentada sob o título Processos não-randômicos associados ao aquecimento
do disco galáctico apresentada por Carlos Augusto Pitombeira Viana e aceita pelo
Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte,
sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especicada:
Dr. Prof. Daniel Brito de Freitas
Orientador
Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Natal-RN, Maio de 2016
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Viana, Carlos Augusto Pitombeira.
Processos não-randômicos associados ao aquecimento do disco galáctico / Carlos
Augusto Pitombeira Viana. - Natal, 2016.
xi, 94 f.: il.
Orientador: Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro
de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Física.
1. Mecânica estatística – Dissertação. 2. Aquecimento do disco galáctico. 3.
Velocidade espacial – Dissertação. 3. Processos não-randômicos – Dissertação. 4.
Estatística não-extensiva – Dissertação. I. Freitas, Daniel Brito de. II. Título.
RN/UF/BSE-CCET
CDU: 531.19
A Soa, minha pequena.
Se os dias acumulassem o peso das horas em nossos ombros,
se os eventos passados todos pesassem na memória, como fardos de metal
se os sopros dos adeuses eternos não suavizassem com o tempo,
e a marca da traidora mulher não se apagasse com as carícias de uma outra qualquer,
então o universo seria uma coleção de uivos e dentes rangendo
um batalhão de Sísifos cansados e de músculos doloridos
formidáveis heróis num mundo onde o heroísmo é vazio,
o esquecimento é força da vida
mas é ali, na carne que se recompõe lentamente
que mil possibilidades de crime fecundam
o coração dolorido não esquece uma ofensa
e aguarda na espreita o momento certo de atacar
O tempo destrói tudo, LIAL.
ii
Agradecimentos
Dedico esse espaço para tecer agradecimentos aos que me ajudaram a trilhar meu
caminho nos diversos âmbitos da vida pessoal e prossional. Tenho pessoas maravilhosas
que ajudaram em minha escalada através dos vales do conhecimento e sem a ajuda delas
o pouco do que tenho não teria sido possível. Resumo aqui todo o meu agradecimento
e reconhecimento às pessoas que foram e ainda serão bastante importantes em meu
percurso. Espero que cada esforço se faça grande para vencer cada dia de batalha
que nos espera. Obrigado amigos e família, sem vocês minha jornada pelo vale das
incertezas seria bem mais árdua. E é com essas breves palavras que início minhas estimas
e agradecimentos.
Começarei com os que me alicerçam: Minha Família.
• A minha pequena Soa, a que tem o sorriso mais belo, que nem com toda a innitude
do pensamento seria capaz de conceber tamanha beleza e cujo amor que sinto não
cabe em mim e transborda além do cosmos;
• Aos meus pais, Erlange e Carlos, pelo amor incondicional, lições, conselhos e
esforços. Sempre será pouco estimar em palavras toda a consideração e amor que
sinto por vocês;
• Ao meu irmão e irmãs, Eduardo, Mairla e Iasmim, por todo amor, brigas, conversas
e bagunças. Crescer nos deixou mais longe, mas não menos importantes uns aos
outros;
• A Jujuba e Jão, meus pequenos sobrinhos, por toda beleza e afeto de seus abraços;
• Aos meus avós, Danilo e Maria, por todos os conselhos e amor distribuído em cada
encontro;
• Aos meus tios, Dendena, Leleu, Maquinhos, Geninha, por serem sempre pessoas
massa!;
• A Isabelle, minha companheira, por toda paciência, encorajamento, vida e
cumplicidade. Obrigado por me ensinar a ser uma pessoa melhor a cada dia. Cada
lição e aprendizado que traçamos juntos e que nos faz crescer em nossa comunhão.
Te amo!;
• Aos irmãos não sanguíneos: Tássio, Fernando e Will: BANDA, viagens, brodagem e
amor!!! A Dayvim, Nelinho, Dandam e Zezé por sempre serem massa que só! Pedro,
Aninho, Melissa, Jéssyca, Camilla, Andrezão e todo o beco, nossa TAZ. Ao GUETO,
iii
nosso refúgio de toda monotonia e fuga dos processos de institucionalização da
amizade. Obrigado demais Cachorrão, Mackson, Vanessa, Marcos Vínicius, Fabrício
e Babá por sempre serem companheiros e tramar contra o mundo. Analine, Paulo,
Nagilson, Ricardo, Suzana, Cidoca, Veruska e Murilo por momentos massa! Breno
e Magno pela confabulação contra dogmas. Joaquim e Lucina, pelas conversas,
tramas e baladas góticas. Paolo, Ícaro, Rosa, Cegão, Samuel, que, mesmo com a
distância, nunca deixaram que nada se fazesse abalar em nossa parceria.
• Aos amigos, todos, sinceramente, estimo todo amor a vocês.
Os agradecimentos seguem para os que no âmbito prossional ajudaram na minha
formação:
• Ao grande Professor Dr. Daniel Brito de Freitas, grande Mestre, por todo auxílio
e orientação, empreendendo bastante esforço e encorajamento a minha formação.
Tenho bastante estima e admiração por todo seu esforço em construir um mundo
mais justo;
• Aos Professores do departamento de Física da UERN que ajudaram em minha
formação, direta ou indiretamente;
• Aos Professores do DFTE da UFRN, com quem tive o prazer em me relacionar e
usufruir de seus ensinamentos;
• Aos colegas que conheci no caminho pelo aprendizado.
Ainda agradeço:
• Aos demais que estiveram junto a mim em algum momento deste percurso na
jornada por novos horizontes;
• A CAPES pela bolsa de estudos concedida.
iv
Resumo
Neste trabalho, analisamos os mecanismos que regem os processos que governam o
aquecimento do disco galáctico através da dinâmica das velocidades espaciais U , V e
W , extraídas do Catálogo Genebra-Copenhagen. Nós partimos da premissa, até então
aceita a priori, de que os processos que atuam no disco galáctico são de natureza
aleatória e responsáveis por um aquecimento puro, revelado pela componente W . Em
seguida, nós utilizamos um modelo baseado na Mecânica Estatística Não-Extensiva, a
partir do qual derivamos as funções de distribuição de probabilidade que quanticam
o afastamento da Gaussianidade dado o perl da cauda da distribuição mensurado
pelo índice entrópico q . Nossos resultados revelam que a aleatoriedade ocorre apenas
em regiões limitadas de idade, independente da velocidade espacial e faixa espectral,
contrariando assim a premissa acima destacada. Além disso, utilizando as distribuições
do tipo não-Gaussianas para descrever o comportamento das velocidades U , V e W ,
nós chegamos ao entendimento de que o aumento da dispersão da velocidade, σ , com
a idade das estrelas segue uma lei do tipo lei de potência, indicando que existe um
desencadeamento do tipo avalanche ocorrendo em diferentes escalas. Finalmente, nossos
resultados colocam um novo olhar sobre essa questão e abre um caminho para o estudo
das componentes cinemáticas Galácticas pela ótica de modelos estatísticos mais robustos,
que levam em conta os efeitos de não-gaussianidade e não-linearidade.
Palavras-chave: Aquecimento do disco galáctico; Velocidade espacial; Processos nãorandômicos; Estatística não-extensiva.
v
Abstract
In this work, we analyze the mechanisms ruling the processes that rules the heating of
the galactic disk through the dynamics of space velocities U , V and W , extracted from the
Geneva-Copenhagen catalog. We start from the premise − until then accepted in priority
− that the processes operating in the galactic disk have random nature and are responsible
for a pure heating, revealed by the W component. Then we use a model based on NonExtensive statistical mechanics where we derive the probability distribution functions
that quantify the removal of Gaussian, given the prole of the tail of the distribution
measured by entropic index q . Our results show that randomization occurs only in limited
regions, independently of age, space velocity and spectral range, thus counteracting the
above premise highlighted. Furthermore, using the distribution of the non-Gaussian to
describe the behavior of the velocities U , V and W , we have found that the increasing
dispersion rate, σ , at the age of stars follows a law of the power law type, indicating a
trigger type avalanche occurring at dierent scales. Finally, our results put a new look in
this matter and opens the way for the study of Galactic kinematics components through
the eyes of more robust statistical models that considers the eects of non-Gaussian and
non-linearity.
Keywords: Galactic disk heating; Space velocity; Non-random process; Non-extensive
statistical.
vi
Lista de Figuras
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Modelo da Via Láctea proposto por Herschel. O ponto mais escuro,
próximo ao centr,o seria a posição ocupada pelo Sol (Fonte: Herschel,
1785). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foto panorâmica da Via Láctea. Crédito: ESO/S. Brunier (Fonte:
https://www.eso.org/public/brazil/images/eso0932a/). . . . . . . . . . .
Esquema ilustrativo das componentes da Via Láctea onde estão
destacados o disco, o bojo central e o halo de aglomerados globulares.
(Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Via_Láctea) . . . . . . . . . . . . .
(a)Imagem do disco no e bojo de NGC 4762 (a partir do Digital Sky
Survey). (b) Uma imagem mais profunda da mesma galáxia, NGC 4762,
que agora mostra a extensão do disco espesso. As setas representam a
altura vertical em que o disco espesso é mais brilhante do que o disco no
(Fonte: Freeman & Bland-Hawthorn, 2002). . . . . . . . . . . . . . . . .
Vista dos planos superior (plano XY) e lateral (plano XZ) de simulações
para formação do disco Galáctico ainda na fase de formação estelar (Fonte:
Brook et al., 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taxa de formação estelar (SFR) em função do tempo com pico de formação
de estrelas em ∼ 9 Gano (Fonte: Brook et al., 2004). . . . . . . . . . . .
Parte da simulação de ondas espirais suaves responsáveis pelo aquecimento
do disco no estelar (Fonte: Sellwood & Binney, 2002). . . . . . . . . . .
Representação esquemática das bolhas próximas ao Sol. (Fonte: Welsh et
al., 1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação esquemática das bolhas Local e Loop I (Fonte:
Breistchwerdt, 2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coordenadas
galácticas
U,
que aponta para cento da Via Láctea; V, para o sentido de rotação da
Galáxia; e W, que é coordenada que se direciona ao polo norte galáctico.
(Fonte: http://www.astro.sunysb.edu/metchev/AST443/lecture15.pd)f .
Velocidades U, V e W vs. Idade para 4065 estrelas simples do CGS (Fonte:
Holmberg at al., 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama U-V separado em quatro grupos de idade. (Fonte:Holmberg at
al., 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama V-W separado em quatro grupos de idade. (Fonte:Holmberg at
al., 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histograma para a componente W da velocidade para uma subamostra de
estrelas F e G single retiradas do CGS (Fonte: Holmberg et al., 2007). . .
vii
2
3
4
7
10
11
11
13
14
16
17
18
19
20
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
4.1
4.2
4.3
Função de distribuição Normal, ou Gaussiana, para diversos valores de σ .
Comportamento da função de distribuição q -Exponencial para alguns
valores de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento da função de distribuição q -Logarítimo para alguns
valores de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função de distribuição q -Gaussiana para diversos valores de q e σ xo. .
Relação idade-dispersão de velocidade das componentes de velocidade U,
V e W e da velocidade total(tot) retirada do Geneve-Copenhagen Survey.
Linha tracejada é o ajuste da relação excluindo os três primeiros e os três
últimos intervalos. (Fonte:Holmberg et al. (2009)) . . . . . . . . . . . . .
Diagrama U-V com dados de uma subamostra formada por 4065 estrelas
do CGS, com σ(idade) < 25%, separadas em quatro grupos. . . . . . . .
Diagrama V-W com dados de uma subamostra formada por 4065 estrelas
do CGS, com σ(idade) < 25%, separadas em quatro grupos. . . . . . . .
Distribuição da velocidade W separadas por idade. Figura retirada do
Geneve-Copenhagen Survey, Holmberg et al. (2007). A linha pontilhada é
o ajuste Gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Velocidades U,V e W em função da idade para 7237 estrelas single da
amostra com dados para idade e velocidade bem denidos. Figura retirada
do Geneve-Copenhagen Survey, Holmberg et al. (2004). . . . . . . . . . .
Velocidades U,V e W em função da idade para 2852 estrelas single da
amostra com idades melhores que 25%. Figura retirada do GeneveCopenhagen Survey, Holmberg et al. (2004). . . . . . . . . . . . . . . . .
Histograma da idade das estrelas F (Giga-ano). . . . . . . . . . . . . . .
Histograma da idade das estrelas G (Giga-ano). . . . . . . . . . . . . . .
Boxplot para idade das estrelas do tipo G evidenciando qual a faixa de
idade onde encontra-se maior número de estrelas. . . . . . . . . . . . . .
Histograma da massa em função da massa solar para estrelas F singles. .
Histograma da massa em função da massa solar para estrelas G singles. .
Histograma da metalicidade em função da metalicidade solar para estrelas
F single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histograma da metalicidade em função da metalicidade solar para estrelas
G single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
36
36
39
41
42
43
44
45
46
46
47
47
48
49
49
50
Esquerda:
Histograma da distribuição de velocidade para a componente
U de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
V de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
W de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
52
53
53
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Esquerda:
Histograma da distribuição de velocidade para a componente
U das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
V das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
W das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
U das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
V das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente
W das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita:
Dados ajustados pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano
(linha azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) de
todas as estrelas F e G single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) das
estrelas do tipo F single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) das
estrelas do tipo G single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ajuste da função Kernel (círculos) com o ajuste q -Gaussiano (linha azul)
para cada faixa de idade das componentes U, V e W, via bootstrap. . . .
Dispersão da velocidade em função da idade para estrelas do tipo F. A
linha em vermelho é o ajuste q-exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispersão da velocidade em função da idade para estrelas do tipo G. A
linha em vermelho é o ajuste q-exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento do índice entrópico q-original e q-bootstrap pela idade para
as estrelas F single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento do índice entrópico q-original e q-bootstrap pela idade para
as estrelas G single. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medida de desvio de mecânismos randômicos (q − 1) de U, V e W para
estrelas do tipo F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
54
55
56
57
58
58
59
60
61
62
65
65
66
68
70
4.19 Medida de desvio de mecânismos randômicos (q − 1) de U, V e W para
estrelas do tipo G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
71
Sumário
Agradecimentos
iii
Resumo
v
Abstract
vi
1 Introdução
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
A Via Láctea . . . . . . . . . .
1.1.1 O Bojo . . . . . . . . . .
1.1.2 O Disco Galáctico . . . .
1.1.3 O Halo . . . . . . . . . .
Bolha Local . . . . . . . . . . .
Vizinhança Solar . . . . . . . .
Aquecimento do Disco Galáctico
Plano de trabalho . . . . . . . .
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2 Estatística generalizada: uma abordagem não-extensiva
2.1
2.2
Mecânica estatística de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Extensividade e Aditividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Distribuição de Probabilidade para a Estatística de Boltzmann-Gibbs
Mecânica Estatística Não-extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Função de distribuição de probabilidade q-Gaussiana . . . . . . .
3 Descrição da amostra e dados observacionais
3.1
3.2
Catálogo Geneva-Copenhagen . . .
Parâmetros astrofísicos . . . . . . .
3.2.1 Velocidades Espaciais (U, V,
3.2.2 Idade . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Massa e metalicidade . . . .
3.2.4 Denição da amostra . . . .
4 Resultados e Discussões
4.1
4.2
. . .
. . .
W)
. . .
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Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
As distribuições de velocidade espacial . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Distribuições de velocidade para estrelas F single . .
4.2.2 Distribuições de velocidade para as estrelas do tipo G
4.2.3 Razão Dados empíricos/Curva de ajuste . . . . . . .
xi
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single . . .
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1
3
5
6
11
12
15
15
20
22
25
27
29
33
37
40
40
40
40
43
47
49
51
51
52
54
56
59
4.3
Segregação da amostra por idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Relação entre σ e a idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Relação entre o indíce entrópico q e a idade . . . . . . . . . . . .
62
63
66
5 Conclusões e Perspectivas
72
Referências
75
5.1
5.2
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
73
Capítulo 1
Introdução
Desde o início, a humanidade vem buscando compreender a dinâmica daqueles objetos
luminosos que rondam o céu. Desde sempre houve a curiosidade de entender e descrever o
comportamento das estrelas. Com o passar dos séculos, o avanço cientíco e tecnológico,
permitiu uma melhor compreensão, não só das estrelas, mas também sobre a estrutura
de nossa e outras
Galáxias:
as fantásticas fábricas de estrelas.
As primeiras observações da Via Láctea, com critério cientíco, foram feitas ainda no
início do século XVII, por Galileu Galilei (1564 - 1642), ao usar o telescópio na astronomia.
Esse pensador italiano conseguiu enxergar, com distinção, que a faixa esbranquiçada vista
no céu se tratava, na verdade, de milhares de estrelas, que não eram visíveis a olho nu,
percebendo também que muitas dessas estrelas estavam reunidas em aglomerados. Suas
observações inuenciaram muitas outras investigações sobre o meio celeste nos séculos
seguintes, o que resultou no modelo conhecido hoje para a Via Láctea. Observações
posteriores revelaram que as estruturas difusas e extensas de formato discoide, que desde
a época do
Almagesto
1
de Ptolomeu eram descritas como
nebulosas,
eram constituídas
por um grande número de estrelas[1].
Em 1750, o lósofo inglês Thomas Wright (1711 - 1786), em seu livro
new hypothesis of the Universe (1750),
An original or
arma que um vasto número de estrelas formam
grupos isolados no espaço e que a faixa esbranquiçada que é vista no céu em noites escuras
seria resultado da distribuição de estrelas em forma de disco achatado - estando o Sol
inserido nesse grupo.
O modelo proposto por Wright teve forte presença nos estudos do lósofo prussiano
Immanuel Kant (1724 - 1804), que interpretou à Via Láctea como sendo um disco de
estrelas. Inuenciado por ideias da Física Newtoniana, Kant descreve a Galáxia em
1 Inuente
tratado cientíco da antiguidade, feito por Cláudio Ptolomeu, compilando toda a produção
astronômica realizada naquele período, distribuídos em treze volumes. Foi bastante aceito na época por
apresentar uma teoria consistente para o movimento do Sol, da Lua e dos planetas (Silva, 2013).
1
uma dinâmica rotacional, onde as estrelas teriam um comportamento semelhante aos
dos anéis de Saturno, girando em torno do centro da Via Láctea. Ele também propôs
que as estruturas extensas, antes chamadas de nebulosas, poderiam ser sistemas estelares
semelhantes a Via Láctea. Essa proposição foi nomeada de Hipótese dos Universos-ilhas.
Os modelos propostos tanto por Wright quanto por Kant, no entanto, não tiveram
aceitação, pois baseavam-se mais em especulações do que em deduções cientícas.
Nesse meio tempo, de Kant até os tempos atuais, muitos foram os avanços cientícos,
também, vários modelos propostos para a Via Láctea, como, por exemplo o modelo
de Willian Herschel (1738 - 1822), que foi baseado na contagem de estrelas em várias
direções no céu, formulando que a densidade de estrelas no espaço era uniforme e que
a concentração aparente de maior número de estrelas em algumas direções era devido
à extensão da Via Láctea[2]. A gura 1.1 mostra a concepção da Galáxia segundo o
modelo de Herschel. Este modelo foi aceito durante muito tempo, e somente no início do
século XX, depois das observações feitas por Hubble (1923), é que foi constatado que as
nebulosas
na verdade eram outras Galáxias e que não faziam parte da Via Láctea - o que
validava a hipótese nebular de Kant[3].
Figura 1.1: Modelo da Via Láctea proposto por Herschel. O ponto mais escuro, próximo
ao centr,o seria a posição ocupada pelo Sol (Fonte: Herschel, 1785).
A partir das observações de Hubble, há o surgimento de estudos pioneiros sobre a
natureza da Galáxia, catalogando informações sobre dimensões, composição e estrutura.
Tudo isso resulta no desenvolvimento de teorias para tentar descrever toda a dinâmica
galáctica: Lindblad mostra que a Via Láctea tem movimento próprio de rotação com
período aproximado de 200 milhões de anos[4, 5, 6, 7]; Oort propõe a existência do halo
galáctico e mede a massa da Galáxia[8, 9, 10]; Baade apresenta o conceito de populações
estelares relacionando distribuição espacial, propriedades cinemáticas e intrínsecas das
estrelas[11]. Esses são somente alguns, dentre tantos estudos importantes, a serem citados
sobre as características da Via Láctea.
Nos últimos anos, vastos estudos têm sido realizados, recolhendo uma innitude de
dados; e mesmo com essa gama de informações, ainda existem lacunas a serem preenchidas
sobre como aconteceu a formação e a evolução da Galáxia.
2
Na próxima seção, a Via Láctea será descrita em função das regiões que a compõe e
dos modelos que são utilizados para explicar o surgimento de cada uma destas partes, o
que se faz necessário para que haja o melhor entendimento de como se deu o processo de
evolução Galáctica.
1.1
A Via Láctea
A Via Láctea existe há bilhões de anos, mas o conhecimento sobre sua estrutura é
consideravelmente recente, datado em pouco mais de três séculos. Somente com o avanço
nas observações, ocorridas no início do século XX, foi que o escopo de teorias para explicar
sua origem e evolução foi se tornando mais consistente.
A gura 1.2 mostra uma foto panorâmica da Galáxia.
Figura 1.2: Foto panorâmica da Via Láctea. Crédito:
https://www.eso.org/public/brazil/images/eso0932a/).
ESO/S. Brunier (Fonte:
Os primeiros estudos classicavam a Via Láctea como sendo dividida em dois grupos
distintos, ou populações. Baad[11], levando em conta levantamentos feitos por Oort[8, 9]
e Lindblad [5], divide a Galáxia em dois grupos:
População I
e População II. A População
I é formada pelos objetos que habitam o disco galáctico, possuindo uma ampla variação de
idade e composição química quase solar. Por sua vez, a População II é onde se encontram
as estrelas aglomeradas na componente esferoidal da Galáxia, que são estrelas bastante
velhas e pobres em metais, comparadas com a composição do Sol.
Os avanços nas técnicas observacionais e nas teorias possibilitaram o enriquecimento
do conceito de populações estelares. As estrelas da população II, mesmo com deciência
em metais, apresentam traços de elementos mais pesados, que não poderiam ter sido
produzidos no interior estelar desse grupo, indicando a possibilidade de existência de uma
3
população interior, que teria enriquecido o
meio interestelar
(MI) antes do surgimento
da População II[12, 13, 14, 15, 16, 17]. Esta população ancestral passa então a ser
denominada de
População III.
Os avanços nas descobertas redeniram o conceito de população estelar, categorizando
novos tipos de populações, ou subpopulações.
Por exemplo: População I Extrema
(regiões de HII), População I Velha (o Sol), População II Intermediária (estrelas de alta
velocidade), População II do Halo (aglomerados globulares)[18].
Pesquisas recentes apontam que a Via Láctea pode ser descrita de uma forma geral
como sendo composta por três regiões básicas: o
bojo,
Galáxia, tendo forma esferoidal e grande densidade; o
localizado na parte central da
halo,
região mais externa da
Via Láctea, onde são encontrados aglomerados globulares e as estrelas mais antigas da
Galáxia; e o disco, região onde estão localizados os braços espirais, constituído-se de duas
partes chamadas de disco no e disco espesso. Estas regiões são assim classicadas de
acordo com as distribuições de: idade, cinemática e metalicidade[19].
A gura 1.3 ilustra a divisão das regiões que compõem a Via Láctea.
Nos subtópicos a seguir, apresentaremos uma melhor caracterização das regiões que
formam a Galáxia, assim como também a descrição de teorias que tentam esclarecer a
formação do bojo, dos discos no e espesso e do halo.
Figura 1.3: Esquema ilustrativo das componentes da Via Láctea onde estão
destacados o disco, o bojo central e o halo de aglomerados globulares.
(Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Via_Láctea)
4
1.1.1 O Bojo
Acredita-se que o bojo tenha sido originado no colapso inicial da protogaláxia. Eggen
et. al ([20]) sugeriram um modelo para formação do bojo depois de estudar estrelas
anãs na
vizinhança solar
e encontrar relação entre metalicidade e a excentricidade da
órbita e da velocidade perpendicular com a metalicidade. Vericou-se que estrelas com
idade elevada e baixa metalicidade possuem órbitas excêntricas e altas, enquanto que
as que teriam metalicidade maior possuíam órbitas quase circulares no plano galáctico.
O modelo proposto consiste em uma nuvem de gás primordial, que teria dado origem
à protogaláxia depois de uma colapso rápido (∼ 1
2
Mega-ano) .
Este colapso teria
dado origem à região central - aquela que possui maior densidade -, onde o índice de
formação estelar aumentaria, fazendo com que ocorresse o esgotamento de matéria para
a formação de estrelas. Os objetos criados neste período teriam baixa abundância de
elementos mais pesados, o que seriam responsáveis pela presença de estrelas velhas na
região central[21],[22]. O restante do gás circundante da região central de colapso cairia,
formando o disco da Galáxia. Isso explicaria a baixa excentricidade e a alta metalicidade
no plano galáctico. Após observações das abundâncias químicas de estrelas do disco e do
halo, este modelo passou a ser menos aceito.
Um outro modelo sugerido é a formação do bojo por
[23, 24, 25, 26].
colisão e fusão de galáxias
Seguindo esse modelo, fusões sucessíveis de Galáxias menores
provocariam aumentos na formação estelar e acréscimo de estrelas[27]. Esta hipótese é
bastante aceita, tendo em vista que observações revelarem que Galáxias espirais gigantes
possuem
Galáxias Satélites(GS)
gravitacional.
em suas vizinhanças, sendo atraídas pelo forte potencial
O engolimento das Galáxias menores provoca, então, o aparecimento
do bojo na região central. Há indícios desse canibalismo cósmico na Galáxia anã de
Sagittarius[28,
29] e na estreita relação entre a
Assim, as Galáxias tipo precoce
(early type)
Nuvem de Magalhães
e a Via Láctea[30].
teriam seus bojos formados pela matéria
acrescida, proveniente das Galáxias satélites, no decorrer do processo evolutivo, ocorrendo
a destruição do disco e aumentando a concentração da população típica do bojo. Já
Galáxias tipo tardias
(late type)
teriam baixa quantidade de vizinhas menores engolidas.
A alta dispersão da abundância química seria facilmente explicada pelo processo de
evolução do bojo por canibalismo galáctico, no entanto, análises cinemáticas voltadas
para o bojo[31], para estrelas e
Nebulosas Planetárias,
sugerem a existência de poucas
estrelas com movimento retrógrado e órbitas excêntricas para componente radial, o que
vai de encontro com a teoria de fusão entre Galáxias, apresentada anteriormente [32].
Existem, de fato, Galáxias sendo absorvidas por outras. Mas estudos sugerem que
o processo de engolimento poderia ser responsável pela formação do disco espesso e do
2 1 Mega-ano
= 106 anos ou 1 milhão de anos
5
halo galáctico e que outros processos seriam responsáveis pela formação do bojo[33].
Bojos formados por estes processos recebem a denominação de bojos
clássicos
por muitos
autores.
Um outro mecanismo de formação do bojo conhecido é o de
Evolução Secular,
que é
baseado na instabilidade da região central da barra galáctica. Combes & Sanders ([34]),
através de simulações numéricas, observaram um incremento, em um curto intervalo de
tempo (∼ 1
3
Giga-ano) ,
na espessura da barra central em regiões de disco no. O
aquecimento vertical da barra pode ser causado por ressonâncias orbitais e instabilidade,
ocorrendo dispersão de velocidade, o que por sua vez, causaria um aumentando na altura
com relação ao plano galáctico. O transporte de gás para a região mais interna da
Galáxia pode ser induzido pela barra central. O acúmulo de gás nesta região geraria uma
instabilidade, provocando um rompimento, que acarretaria no aparecimento do bojo.
Futuramente, a barra apareceria e voltaria a injetar gás, congurando assim um processo
cíclico. Desse modo, o fenômeno de aparecimento do bojo está ligado diretamente à
dinâmica do disco[35], sugerindo que a população estelar teria uma herança cinemática e
química da região interna do disco[36, 37].
Estudos teóricos conseguem reproduzir Galáxias de bojo pequeno, ou Galáxias
tardias,
enquanto que, para reproduzir os bojos proeminentes das Galáxias
early-type,
são encontrados problemas. Espera-se que, com os dados observacionais recolhidos nos
últimos anos para estrelas e nebulosas planetárias, novas análises possam produzir um
estudo mais consistente no que diz respeito à formação do bojo galáctico[38, 39].
1.1.2 O Disco Galáctico
Como pode ser observado na gura 1.3, o disco Galáctico foi denido como sendo
formado por duas regiões, o
disco no
e o
disco espesso[40],
e suas propriedades têm
sido objeto de inúmeros estudos. A escala de altura para o disco no é de ∼ 300 pc4 ,
e ∼ 900 pc para o disco espesso[41]. A gura 1.4, retirada do trabalho de Freeman &
Bland-Hawthorn [42], mostra as diferentes espessuras das componentes do disco para a
Galáxia NGC 4762; as setas evidenciam as diferentes alturas para os discos no e espesso.
Ao comparar as guras 1.4(a) e 1.4(b), o disco espesso é facilmente notado.
O disco espesso apresenta um grande número de estrelas velhas com alta dispersão
cinemática e pobres em metais. Por sua vez, o disco no é composto por estrelas ricas em
metais e mais jovens. Estas características são essenciais para que o disco seja separado
em duas componentes distintas. Estudos e levantamentos mais detalhados da cinemática e
das abundâncias químicas têm sugerido a presença de uma outra população intermediária
3 1 Giga-ano = 109 anos ou 1 bilhão de anos.
4 O termo pc é a abreviação de Parsec. 1 P arsec
= 3, 08568 × 1016 metros = 3, 26156
6
anos-luz.
Figura 1.4: (a)Imagem do disco no e bojo de NGC 4762 (a partir do Digital Sky Survey).
(b) Uma imagem mais profunda da mesma galáxia, NGC 4762, que agora mostra a
extensão do disco espesso. As setas representam a altura vertical em que o disco espesso
é mais brilhante do que o disco no (Fonte: Freeman & Bland-Hawthorn, 2002).
entre os discos, possuidora de características de ambos[43, 44, 46]. Catálogos como o
Geneva-Copenhagen Survey[47,
48, 49] mostram que a separação entre os discos não é de
fácil detecção, pois não há, na literatura, um consenso sobre os valores limites a serem
adotados nos estudos de abundância química, cinemática ou idade, que possam revelar a
diferença entre estrelas do disco no e do disco espesso, sendo adotados critérios diferentes
para cada uma dessas populações.
Reddy et al. [50] apontam que há um aumento claro da metalicidade com a idade,
além do que as populações estelares dos discos no e espesso possuem abundâncias
químicas distintas[51]. Estudos baseados na abundância química têm sido considerados
mais conáveis para identicar a qual região do disco uma estrela pode pertencer. Mas
se o interesse for estudar o caminho evolutivo do disco Galáctico e a formação dos discos
no e espesso, o estudo de abundância química é ineciente.
Estudos cinemáticos feitos por Bensby et al. [52] e Reddy et al. [46] atribuem a
probabilidade de cada estrela pertencer ao disco no ou ao disco espesso. Os estudos
partem do pressuposto de que as velocidades espaciais U,V e W, de cada população
possuem uma distribuição com perl Gaussiano com determinados valores médios e
dispersões σU , σV e σW . As equações que determinam as probabilidades são dadas por:
7
Pf ino = f1
Pesp = f2
P1
P
P2
P
Phalo = f3
(1.1)
P3
P
Onde Pfino , Pesp , Phalo correspondem à probabilidade da estrela estar localizada no
disco no, no disco espesso ou no halo. P e Pi são dados por:
P = f 1 P 1 + f 2 P 2 + f 3 P3
e
(V − Vass )2
W2
U2
−
P = k · exp − 2 −
2
2σUi
2σV2i
2σW
i
(1.2)
sendo
k=
1
(2π)2/3 σUi σVi σWi
(1.3)
onde fi são as densidades relativas para cada uma das regiões e Vass é o termo de
assimetria.
Como é observado uma sobreposição entre as distribuições Gaussianas para as
velocidades espaciais, a denição da população para o disco no ou disco espesso
é bastante sensível aos parâmetros que denem as distribuições normais para cada
população estelar.
A dispersão das velocidades σ são medidas através do tensor dispersão de
velocidade dado por[132, 147]:
σij2 ≡ (vi − v̄i )(vj − v¯j )
8
(1.4)
onde, v ≡ (U, V, W ) e v ≡ (U , V , W ).
As estrelas do disco movem-se ao redor do centro Galáctico com órbitas quase
circulares. O
Padrão Local de Repouso
(LSR) é denido como sendo centrado na posição
do Sol em relação ao centro da Galáxia, sendo a órbita solar considerada perfeitamente
circular em torno centro da Via Láctea, movendo-se paralelamente ao plano Galáctico. O
LSR é utilizado para a correção das velocidades espaciais para as estrelas na
solar.
vizinhança
A tabela 1.1, extraída do trabalho de Bensby et al. ([51, 52]), mostra a dispersão
das velocidades espaciais σU , σV e σW para o disco no, disco espesso e halo.
O disco no é formado maioritariamente por estrelas relativamente jovens, com idades
menores que 8
Giga-anos,
ricas em metais e que possuem órbitas com elevado momento
angular ao redor do bojo Galáctico. Binney & Merrield [54] demonstram uma tendência
na dispersão para estrelas do disco espesso, em comparativo com as do disco no,
utilizando análises cinemáticas. Estrelas tipicamente do disco espesso possuem baixa
velocidade orbital, com grande dispersão na velocidade[55, 56, 57, 58], elevada razão
[α/Fe], além de serem mais velhas e pobres em metais[46, 51, 53, 59, 60].
As estrelas do disco espesso devem ter se formado anteriormente às estrelas do disco
no. Características que evidenciam são o fato delas possuírem uma alta razão [α/Fe]
e idades bem mais elevadas. Estas estrelas experimentaram um ambiente de rápida
formação estelar e passaram por aquecimento dinâmico e processos seculares, como a
dispersão por pertubações no disco[61]. A formação do disco espesso é resultado de
múltiplos processos complexos, experimentados pelas estrelas durante suas vidas; no
entanto, não existe um consenso sobre a natureza desse fenômeno.
Os processos que são discutidos como sendo responsáveis pela formação do disco
espesso estão divididos em dois grupos:
origem violenta
e
evolução secular.
Exemplos
de processo de origem violenta são dados por Quinn et al. [62] e Kazantzidis et al.
[63, 64]. Estes autores armam que o disco espesso pode ter sido formado à partir do
aquecimento dinâmico do disco no, que existia anteriormente, por fusão de Galáxias
satélites. Villalobos & Helmi [65, 66], por meio de simulações, demostraram que 10 20% das estrelas do disco espesso são provenientes da fusão de Galáxias, enquanto que o
restante seria resultado do aquecimento do disco no.
Existe a hipótese de que estrelas formadas em Galáxias anãs foram capturadas em
órbitas próximas ao plano do disco galáctico dando origem ao disco espesso [67]. Este
processo seria responsável por ∼ 70% das estrelas do disco espesso [67].
Outro modelo de mecanismo de origem violenta é o de que as estrelas do disco espesso
podem ter sido formadas
in situ
por meio de fusões desordenadas de sistemas ricos em
gás, levando a formação de estrelas em momentos anteriores e durante as fusões. As
estrelas formadas no disco no migrariam para a região espessa num tempo posterior ao
9
Tabela 1.1: Dispersão da velocidade espacial (σU , σV , e σW ) no disco no, no disco
espesso e no halo estelar, utilizando a equação 1.2. f é a densidade de estrelas observadas
para cada população na vizinhança solar e Vass é o termos de assimetria para cada
componente V (Fonte: Bensby et al.,2003 e Bensby et al.,2004).
Disco Fino
Disco Espesso
Halo
f
σU σV σW
Vass
−1
- [km s ] -
0.90
0.10
0.0015
35
67
160
20
38
90
16
35
90
−15
−46
−220
das fusões[68, 69, 70, 71] . A gura 1.5, extraída do trabalho de Brook et al. [68], mostra,
através de simulações, a formação do disco gasoso e do disco de estrelas além de um bojo
ainda na fase de formação estelar. A gura 1.6, também extraída do trabalho de Brook et
al. [68], faz um traçado histórico da formação estelar, evidenciando um pico de formação
estelar em ∼ 9 Gano, passando por um decaimento até 4 ou 5 Gano, e assumindo um
perl razoavelmente estável para os últimos 5 Gano, aproximadamente.
Figura 1.5: Vista dos planos superior (plano XY) e lateral (plano XZ) de simulações
para formação do disco Galáctico ainda na fase de formação estelar (Fonte: Brook et al.,
2004).
Spitzer e Schwarzschild [72] mostraram que a
evolução secular
por aquecimento do
disco, causada por encontros de nuvens moleculares, aumenta a dispersão de velocidade
das estrelas tipo tardias (late-type).
Outro mecanismo que provoca a dispersão da
velocidade de estrelas mais velhas é causado pela interação de estruturas espirais na
vizinhança solar[73].
Estudos teóricos e simulações[74, 75, 76] sugerem que o disco espesso poderia
ter se formado por processos seculares cumulativos associados à migração radial das
estrelas[77, 78]. A simulação mostrada na gura 1.7, retirada do trabalhode Sellwood &
Binney [77], demostram uma sucessão de ondas espirais suaves que aquecem o disco no,
favorecendo o aparecimento do disco espesso.
10
Figura 1.6: Taxa de formação estelar (SFR) em função do tempo com pico de formação
de estrelas em ∼ 9 Gano (Fonte: Brook et al., 2004).
Figura 1.7: Parte da simulação de ondas espirais suaves responsáveis pelo aquecimento
do disco no estelar (Fonte: Sellwood & Binney, 2002).
1.1.3 O Halo
O halo é uma estrutura com formato quase esférico, com baixa ou nenhuma
rotação[79], composto por diversos objetos Galácticos distintos, como: estrelas, que se
distribuem num raio entre 1 - 40 kpc, a partir do centro Galático[80]; cerca de 150
aglomerados globulares[81, 82]; ∼ 20 Galáxias satélites[83]; além da presença de
(ME), que alguns estudos mostram que corresponde a cerca de 10
matéria
M espalhadas
em 100 kpc[84, 88]. Esta estrutura é responsável apenas por 1% da luz emitida pela
Via Láctea, sendo o restante do espectro emitido de responsabilidade das estruturas
internas (bojo e disco)[42, 89]. A presença de matéria escura é inferida em analogia ao
comportamento de outras Galáxias, onde estudos apontam a presença de mais massa do
escura
12
11
que é observado, sendo sua presença detectada apenas como efeitos gravitacionais[90],
onde curvas ópticas para as velocidades de rotação de Galáxias espirais permanecem
relativamente constantes para raios consideravelmente grandes, em vez de diminuir, como
é esperado caso a massa gravitacional seja atribuída apenas para às estrelas visíveis[91].
As estrelas que habitam o halo possuem órbitas altamente aleatórias e baixa rotação,
além de baixa metalicidade e de serem bastante escassas em comparação ao disco e ao
bojo.
A baixa metalicidade nesta região é um registro fóssil da formação da Galáxia. Por
ser tão antigo, o halo deve abrigar alguns dos primeiros objetos da Via Láctea, como
exemplo de algumas
anãs brancas
com idade em torno de 11 Gano[92].
Nas próximas seções a nossa abordagem será restrita às estruturas menores
pertencentes a Galáxia onde todas as estrelas utilizadas no presente trabalho estão
connadas, no caso a
1.2
Bolha Local
ea
Vizinhança Solar.
Bolha Local
Estruturas semelhantes a bolhas ou cavidades de plasma são comumente encontradas
em Galáxias. O Sol está imerso em uma dessas regiões globulares, que recebe o nome
de Cavidade Local ou
Bolha Local,[93,
é extremamente rarefeita (n
94, 95, 96, 97, 98, 99, 101, 100]. Esta região
= 0, 005 cm3 ) e possui formato irregular. Dentro da
bolha local, existem pequenas nuvens de baixa densidade nHI ≤ 0.01 cm−3 , com dimensões
entre 3 - 5 pc[93, 97, 102] e temperatura T ≈ 7000K . O Sol está no interior ou próximo
da borda de uma dessas nuvens, a qual recebe o nome de Nuvem Interestelar Local
(NIL)[103]. Existem ainda, dentro da bolha local, regiões de gás aquecido (T ≈ 106 K),
que emitem radiação no comprimento de onda do raio-X, conhecidas como Bolha Local
Quente(BLQ)[93, 97, 98, 100, 101].
A cavidade local não está sozinha no meio Galáctico. Em sua vizinhança existem
outras bolhas com características semelhantes que podem interagir. Como mostrado na
gura 1.8, algumas destas bolhas são a Eridanus Loop, Gum Nebula, Loop I, II, III
e IV[100, 104, 105, 106]. Welsh elt al. [100] mostraram uma esquematização de como
podem se congurar estas bolhas no meio interestelar local. A gura 1.8 mostra o esquema
idealizado por Welsh et al. [100].
Na direção de Scorpio-Centauri (Sco-Cen), localiza-se a região de Loop I, que é
uma cavidade ainda maior que a bolha local. Acredita-se que esta região se formou
por explosões de supernovas das estrelas de Sco-Cen junto da ação de ventos estelares
fortíssimos, que agiram sobre a matéria remanescente da formação estelar, criando, então,
a cavidade de baixa densidade[105, 107, 108].
rmHI
12
Figura 1.8: Representação esquemática das bolhas próximas ao Sol. (Fonte: Welsh et al.,
1994)
Devido a proximidade entra as bolhas local e
Loop I,
acreditava-se que deveria existir
uma interação entre elas. Análises de dados de raio-X e Hidrogênio neutro feitas por
Egger e Aschenbach ([109]) indicaram a existência dessa região de interação entre as
bolhas. Uma representação dessa interação entre as bolhas local e
Loop I,
baseada no
modelo de Breistchwerdt [101], é mostrada na gura 1.9.
Como foi denido, a Cavidade Local (CL) é uma região de baixa densidade ao redor
do Sol, enquanto que a Bolha Local Quente é congurada pelas regiões de gás aquecido
dentro da cavidade local que emitem em raio-X. Ao serem analisadas as linhas de absorção
do Sódio neutro, se tem um bom indicador da quantidade de gás neutro presente no meio
interestelar. Sfeir et al. [98], através dos estudos das linhas de absorção de NaI para 465
estrelas, revelaram a existência de uma cavidade de gás interestelar neutro em torno do
Sol. Os autores sugerem uma cavidade assimétrica, que pode estar sendo comprimida por
expansões de bolhas jovens que possuem pressão interna maior que a da bolha local. As
emissões de raio-X revelam que o volume ocupado pelo gás aquecido pode ser comparado
ao de uma esfera de 100 pc de raio[93]. Observações do ROSAT (abreviação da palavra
13
Figura 1.9: Representação esquemática das bolhas Local e Loop I (Fonte: Breistchwerdt,
2000).
Röntgensatellit,
que signica
satélite de raios-X
em tradução livre), em raio-X de baixa
energia (SRX), revelaram interferências de corpos gasosos fora da bolha local, que podem
estar associadas ao bojo ou halo Galáctico[110]. Craves et al. [111] mostram que o
meio interplanetário também é responsável pela emissão de SRX. Estes levantamentos
evidenciam que a cavidade local e a BLQ não coincidem em tamanho e volume, sendo as
dimensões da CL ∼ 200 pc, enquanto a BLQ tem tamanho entre 40 - 130 pc[112].
Diversos modelos existem para a explicação do surgimento da bolha local. Alguns
autores apontam que a formação da BL ocorreu através da explosão de uma ou mais
supernovas em uma região próxima ao Sol, gerando a cavidade e a região emissora de
raio-X de baixa energia[113, 114, 115, 116, 117, 118]. Outro modelo é o de que a BL
faz parte de uma superbolha que surgiu numa região de baixa densidade entre os braços
espirais da Galáxia[102, 119, 120, 121, 122]. Há também a suposição de que a cavidade
não teria relação com a atividade estelar, sendo apenas um local típico entre os braços
espirais[123, 124]. Lépine & Sartori [125] sugerem que choques entre os braços espirais e
o meio interestelar teriam provocado o aparecimento das bolhas.
A interação das nuvens de alta densidade, encontradas no interior da bolha local,
com o disco Galáctico, afeta a dinâmicas das estrelas, provocando difusão em suas
velocidades[72, 126, 127, 128].
Este efeito de
encontrado na
e será discutido na seção 1.4.
vizinhança solar
14
aquecimento
na velocidade estelar é
Antes, no entanto,
apresentamos a denição de vizinhança solar.
1.3
Vizinhança Solar
A Vizinhança Solar (VS) é onde podemos testar as teorias sobre a formação e evolução
do disco Galáctico[129]. As estrelas compreendidas num volume ao redor do Sol revelam
estimativas sobre a densidade de massa próxima ao plano Galáctico, onde a distribuição da
idade dessas estrelas pode fornecer um traçado histórico do processo evolutivo. Detalhes
sobre a abundância de elementos pesados em função da idade descrevem o registro fóssil
da evolução e o enriquecimento químico do disco[60, 130]. Assim como os movimentos
espaciais e órbitas Galácticas, também em função da idade, revelam a evolução dinâmica
e o grau de mistura das populações estelares de diferentes regiões do disco[42, 131].
O volume para a vizinhança Solar depende do tipo espectral, sendo a magnitude dada
em função da distância[54]. Ou seja, a determinação do limite da vizinhança para as
estrelas G poderá ser menor do que para as estrelas F, por exemplo, pois o uxo cai com
o inverso do quadrado da distância.
Em nosso trabalho serão utilizadas estrelas anãs do tipo F e G, pois são relativamente
numerosas; possuem tempo de vida extenso, podendo algumas ter tempo de vida próximo
ou igual ao tempo de formação do disco Galáctico; as atmosferas convectivas destas
estrelas reetem sua composição química inicial; e as idades podem ser estimadas por
comparação com modelos de evolução estelar.
O sistema de fotometria Strömgren uvbyβ foi utilizado para derivar os parâmetros
observacionais intrínsecos[133, 134]. Olsen [135, 136, 137, 138] utilizou a fotometria
Strömgren uvbyβ para determinar os parâmetros das estrelas F e G. Os catálogos do
Hipparcos[139] e Tycho-2[140] forneceram dados precisos para paralaxe e movimento
próprio. Os dados para velocidade radial foram retirados do
Bright Star Catalog[141],
de observações do CORAVEL[142] e por técnicas convencionais de espectroscopia.
Informações das velocidades radiais, órbitas e paralaxe são importantes para descrever o
movimento tridimensional e derivar resultados estatísticos conáveis para relação
velocidade
idade-
das estrelas F e G. (Uma melhor descrição sobre a denição da amostra será
feita no Capítulo 3).
1.4
Aquecimento do Disco Galáctico
O termo
aquecimento
foi forjado para indicar um processo de dispersão na velocidade
em grupos de estrelas com idades em comum. A distribuição das velocidades U, V e
15
W na vizinhança Solar fornece uma abordagem sobre o campo potencial Galáctico e as
relações entre cinemática, idade e metalicidade para as estrelas do disco.
Denido o
padrão local de repouso
(PLR) como sendo um ponto ctício que coincide
com o ponto onde o Sol está localizado e viaja em órbita circular em torno do centro
da Galáxia. As componentes cartesianas usuais (x, y, z), utilizadas para referenciar a
onde U é
direcionado para o centro da Galáxia, V aponta para a direção de rotação da
Galáxia e W está na direção do polo norte Galáctico, como pode ser visto na
posição do objeto celeste, foram substituídas pelas componentes (U, V, W);
gura (1.10).
Figura 1.10: Coordenadas galácticas U, que aponta para cento da Via Láctea; V, para
o sentido de rotação da Galáxia; e W, que é coordenada que se direciona ao polo norte
galáctico. (Fonte: http://www.astro.sunysb.edu/metchev/AST443/lecture15.pd)f
Estudos mostram que as populações formadas por estrelas mais velhas possuem maior
dispersão na velocidade do que populações mais jovens[144]. A dispersão da velocidade
das estrelas aumenta com a idade, provavelmente porque o disco é aquecido por interações
com mecanismos dinâmicos. Desse modo, é possível notar uma relação direta entre a idade
e dispersão de velocidade em estrelas próximas, indicando a existência de mecanismos que
causam aumento aleatório das velocidades estelares[47, 144].
Desde os trabalhos de Spitzer & Scharwzschild [72, 126], existe o interesse no estudo
da relação entre idade e dispersão de velocidade de estrelas.
Os autores sugeriram
uma relação entre o aumento da excentricidade das órbitas, inicialmente circulares, e
o aumento da difusão de velocidade estelares, que poderiam ter como causa a interação
com nuvens moleculares massivas. Outros mecanismos de interação gravitacional foram
16
propostos como inuenciadores na difusão de velocidade, por exemplo: a interação
de braços espirais no disco Galáctico[73]; ou buracos negros massivos na periferia da
Galáxia[145]. Quinn et al. [62] sugerem fusões abruptas entre a Galáxia e as Galáxias
satélites, que gerariam o aquecimento do disco; mas processos suaves de interação entre
Galáxias também aquecem as velocidades[146].
A gura 1.11 mostra o incremento na difusão da velocidade com a idade, além de
uma assimetria aparente na difusão para estrelas com idades superiores a 6 Gano nas
componentes U e V.
Figura 1.11: Velocidades U, V e W vs. Idade para 4065 estrelas simples do CGS (Fonte:
Holmberg at al., 2007)
Trabalhos mais recentes, baseados em simulações, mostraram em seus resultados que
a dispersão da velocidade em função do tempo obedece a uma lei de potência do tipo[147]:
1/p
σ1 (t) = (σ0
+ Ct)p .
(1.5)
Trabalhos como o De Simone et al. [147] sugerem braços espirais transitórios como
agentes do aquecimento do disco; Mincheve e Quillen [148] mostram que a interação entre
sistemas espirais pode produzir uma estrutura de aquecimento; ou ainda as interações
entre estruturas espirais e a barra Galáctica[149].
A gura 1.12 mostra a dispersão da velocidade no plano U-V para estrelas do CGS
separadas em quatro grupos de idade.
Muitos trabalhos mostram o incremento da dispersão da velocidade com o tempo para
17
Figura 1.12:
al., 2007)
Diagrama U-V separado em quatro grupos de idade. (Fonte:Holmberg at
estrelas anãs e subgigantes[84, 85, 86, 87]. É notável que o aquecimento dinâmico do disco
local continua em toda a vida útil das estrelas[45] e pode ser observada a existência de um
domínio na evolução das velocidades U e V; enquanto que, para W, as velocidades parecem
permanecer aleatórias[48, 49].
Isto pode signicar a existência de mecanismos, tais
como nuves moleculáres gigantes[59]; ou perturbações causadas pelos braços espirais da
Galáxia[147]; ou intereções com a barra galáctica[187], que agem aumentando a dispersão
das velocidades e das órbitas estelares no disco Galáctico[143], desde o nascimento até
sua morte, num processo gradual. A gura 1.13 mostra a dispersão da velocidade no
plano V-W para estrelas do CGS separadas em quatro grupos de idade.
As velocidades U, V e W sugerem distribuições com perl ligeiramente Gaussiano,
onde para as componentes U e V possuem uma certa assimetria que precisa ser corrigida.
Para a componente W, as distribuições obedecem a um perl da distribuição normal. A
gura 1.14 mostra o histograma para a velocidade W de uma subamostra de estrelas F e
G
single
do CGS.
A dinâmica das estrelas da Galáxia podem receber inuência de vários fenômenos.
Em especial, destacamos o aquecimento do disco como sendo de interesse no presente
trabalho. No entanto, tendo em vista que esse aquecimento é produto de interações de
estrelas com o ambiente, surge-nos a pergunta: o que provocaria esses mecanismos nãorandômicos ao longo da história das estrelas? Uma outra questão seria: se existem tais
18
Figura 1.13: Diagrama V-W separado em quatro grupos de idade. (Fonte:Holmberg at
al., 2007)
processos não-randômicos (ou não-aleatórios), tal comportamento não pode ser descrito
por uma distribuição normal? Deste modo, como poderíamos quanticar esses processos
de forma consistente? É a partir da ótica dessas questões que o Capítulo 2 apresenta
seu foco; ou seja, descreveremos o ambiente necessário para uma teoria estatística que
forneça um indicador preciso e revisite o conceito de aquecimento do disco, em particular,
o conceito de aquecimento puro, na direção z, como apontado por Holmberg et al. [48].
19
Figura 1.14: Histograma para a componente W da velocidade para uma subamostra de
estrelas F e G single retiradas do CGS (Fonte: Holmberg et al., 2007).
1.5
Plano de trabalho
Neste trabalho, temos como objetivo investigar a dinâmica do aquecimento do
disco galáctico na vizinhança solar, utilizando um viés estatístico mais elaborado para
descrever a inuência de mecanismos não-randômicos sobre a evolução nas dispersões das
velocidades espaciais em estrelas do tipo F e G
single.
Utilizando uma teoria estatística
mais elaborada, que nos forneceu a base necessária para as investigações, pudemos
vericar a atuação dos mecanismos não-aleatórios e como as distribuições de velocidade
se afastam de um distribuição normal convencional. Tal estatística se faz necessária,
tendo em vista que, ao considerarmos sistemas com interação gravitacional,por exemplo, a
Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs já se mostrou limitada para descrever processos
que envolvam interações de longo alcance.
No Capítulo 2, iremos expôr os conceitos básicos da teoria estatística não-extensiva
de Tsallis e o porquê desta ser mais usual para tratarmos problemas onde interações não
podem ser desprezadas. Também apresentaremos as distribuições que serão utilizadas
em nosso trabalho.
No Capítulo 3, abordaremos a amostra de estrelas F e G
single
utilizada no trabalho,
destacando as características e parâmetros estelares pertinentes para a pesquisa.
O Capítulo 4 é aquele no qual vamos expôr nossos resultados. Nele faremos nossos
ajustes, utilizando as funções de distribuições q-gaussiana e q-exponencial, grácos de
resíduos que medem o quão nossos ajustes se afastam das curvas teóricas, além dos
20
grácos que medem o desvio dos mecanismos randômicos, desvencilhando qualquer
comportamento da velocidade espacial (U, V, W) de um aquecimento puro.
Por último, o Capítulo 5 consiste na apresentação de nossas conclusões e perspectivas
para trabalhos futuros.
21
Capítulo 2
Estatística generalizada: uma
abordagem não-extensiva
O desenvolvimento de leis físicas que pudessem explicar o comportamento
macroscópico da matéria se deu, essencialmente, sob um ponto de vista fenomenológico
e experimental. Foi assim que toda a base da
Termodinâmica,
que é uma das teorias
mais consistentes da Física, foi fundamentada. Suas leis têm base empírica e analisam
os comportamentos térmicos de corpos macroscópicos. O desenvolvimento da formulação
da descrição dos processos e fenômenos físicos ligados à matéria veio com os primeiros
trabalhos sobre a
Teoria Cinética dos Gases,
atingindo seu apogeu com os trabalhos de
Maxwell e Boltzmann ao m do século XIX. Esses trabalhos expuseram ideias como
a
descrição microscópica de sistemas macroscópicos, a probabilidade como conceito inerente
aos processos físicos,
irreversibilidade.
e a formulação de uma equação cinética com propriedade explícita de
Em meio a tudo isso, o conceito de entropia é desenvolvido, sendo esse
um dos conceitos principais da Termodinâmica, e uma das bases da Mecânica
Estatística.
Na Termodinâmica, a função entropia é denida, considerando estados de equilíbrio,
através da equação,
∆Q
,
T
que também pode ser escrita em termos de parâmetros extensivos, como energia interna
U , volume V e número de partículas N de um dado sistema composto5 , e está baseada
em três propriedades [151]:
∆S =
• A entropia é uma função
energia.
contínua, diferenciável e monotonicamente crescente
5 Um
de
sistema composto é aquele formado por um conjunto de sistemas simples separados por paredes
ou vínculos.
22
• Considerando um sistema composto, a entropia, S , é aditiva sobre cada uma dos
seus componentes. Por exemplo, se um sistema é formado por dois uidos puros,
temos que
S(U1 , V1 , N1 , U2 , V2 , N2 ) = S1 (U1 , V1 , N1 ) + S2 (U2 , V2 , N2 ).
A aditividade da entropia signica que S(U, V, N ) é uma função homogenia de
primeiro grau das suas variáveis, ou seja, S(λU, λV, λN ) = λS(U, V, N ), para
qualquer valor de N.
• Na remoção de um vínculo interno, os parâmetros assumem valores que maximizam
a entropia. A entropia, como função dos parâmetros extensivos, constitui
uma equação fundamental de uma dado sistema e contém toda a informação
termodinâmica do mesmo.
O conceito de entropia é um dos maiores feitos da ciência e um dos pilares mais
importantes da Termodinâmica.
Foi através dele que as teorias que dão escopo à
termodinâmica de equilíbrio e de processos irreversíveis se desenvolveram, além de ser
base fundamental da Mecânica Estatística e ter inuenciado fortemente a
Teoria de
6
Informação .
A Termodinâmica trata de efeitos macroscópicos de sistemas formados por inúmeras
partículas que podem ser governadas por leis da Mecânica, que pode ser Clássica ou
Quântica. Se pensarmos em um mundo microscópico onde cada partícula é governada
por leis da Mecânica, e o número de partículas é da ordem 1023 , cada uma delas terá
sua própria equação de movimento, o que torna o estudo de sua dinâmica inviável.
Sendo assim, para sistemas formados por inúmeros outros subsistemas, faz-se necessária
a utilização de uma teoria estatística que possa descrever o comportamento macroscópico
através do comportamento microscópico.
Desta forma, a Mecânica Estatística, que
é sustentada na teoria de probabilidade, é quem faz a ligação entre os dois níveis,
macroscópico e microscópico.
Os fenômenos térmicos são manifestações macroscópicas da dinâmica microscópica.
Quando se compreende essa interação, torna-se mais fácil perceber a conexão entre a
termodinâmica e a microdinâmica. Utilizando a Mecânica Estatística, pode-se, então,
fazer interpretações mais gerais dos sistemas, sem que haja a necessidade de um
tratamento individual para cada partícula, onde o conjunto de microestados pode ser
descrito através das variáveis macroscópicas do sistema.
6 Ramo
da matemática que estuda a quanticação da informação através da aplicação de conceitos
estatísticos e foi desenvolvida inicialmente por Claud Shannon, em 1948.
23
Mecânica Estatística foi como cou conhecido o ramo da Física que se dedica ao estudo
de sistemas constituídos por inúmeros outros subsistemas, onde as informações sobre esses
cam limitadas de se conhecer. A formulação da Mecânica Estatística está sustentada
na denição de entropia feita por Boltzmann, podendo as propriedades macroscópicas do
sistema serem obtidas através das informações microscópicas[150, 151].
Temos, então, que a entropia pode ser associada à medida do grau de irreversibilidade
do processo termodinâmico, conceito que está ligado à 2a Lei da Termodinâmica. Ela
também pode ser denida como sendo a medida do grau de desordem de um sistema,
estando esta abordagem mais caracterizada pela Mecânica Estatística.
Uma outra
denição possível, ainda, é a de que a entropia é a medida do grau de desinformação que
se tem sobre um sistema qualquer, ou seja, a entropia é a medida do grau de incerteza
que existe antes que uma escolha seja feita[152]. Esta última é contextualizada dentro da
teoria da informação.
Utilizaremos a abordagem da Mecânica Estatística; esta fornece uma relação entre as
propriedades macroscópicas (entropia) e a informação microscópica. Para situações onde
são considerados sistemas que estão em equilíbrio termodinâmico, Boltzmann estabeleceu
a conexão entre os micro e macro estados através da expressão para entropia,
S = −KB ln W,
sendo esta a primeira formulação para uma visão microscópica da Termodinâmica.
Posteriormente, Gibbs trouxe contribuições fundamentais através da teoria de
ensemble.
A Mecânica Estatística de Boltzamann-Gibbs (B-G) é, sem dúvida, uma poderosa
ferramenta para descrever sistemas usuais, quando a extensividade termodinâmica é
ocorrente, em outras palavras, quando sistemas são considerados isolados. Ao considerar
sistemas onde existe a presença de força de longo alcance, por exemplo, ou quando não
pode ser desprezada qualquer interação que ocorra, havendo a violação da extensividade
da entropia, a termodinâmica de B-G torna-se usual, sendo necessária uma maneira
alternativa para descrever estes sistemas. Pensando neste contexto onde há a inviabilidade
da Mecânica Estatística Clássica, o Físico greco-brasileiro Constantino Tsallis propôs uma
generalização para a entropia de B-G.
Partindo destas considerações, descreveremos nas próximas seções quais são as
implicações favoráveis ao uso da Estatística de Tsallis em nosso trabalho.
24
2.1
Mecânica estatística de Boltzmann-Gibbs
O conceito de entropia foi introduzido por Clausius ainda no século XIX, fator
predominante para o desenvolvimento da Mecânica Estatística. James Maxwell foi o
primeiro a dar um interpretação estatística à teoria da entropia, em seu trabalho sobre
sobre as
Distribuições de Velocidades Moleculares;
assim, ele alicerçou o que viria a ser
conhecido como Mecânica Estatística. Os trabalhos posteriores de Boltzmann, sobre a
Hipótese Ergódica, a Equação de Transporte e o Teorema H
de Maxwell. Mais tarde, Josiah Gibbs e sua teoria dos
traçado do que cou conhecido como
alicerçam melhor a teoria
Ensembles
dão robustez a todo o
Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs.
Este conceito de forma simples relaciona os parâmetros macroscópicos, neste caso, a
entropia, com os estados microscópicos ou microestados. Considerando um sistema com
energia, volume e número de partículas constantes, se o espaço de fases deste sistema
macroscópico, isolado, for dado por W possíveis estados microscópicos, sua entropia é
dada por
S = −KB ln W
(2.1)
onde KB (constante de Boltzmann) é positiva e dene a unidade em que a entropia
é medida. No entanto, é desta relação que é dada a interpretação da medida do grau de
desordem de um sistema. Como descrito por Borges[165], existe apenas um local para
guardar um objeto; e de acordo com a relação dada pela equação (2.1), S(W = 1) = 0,
temos então um sistemas organizado. Ao considerar um maior número de estados
acessíveis, maior será também a desordem e a entropia.
Podemos expressar a entropia de forma mais geral através da funcional
S = −KB
W
X
pi ln pi
(2.2)
i=1,
onde pi é a probabilidade do sistema ser encontrado num estado i e W é o número
total de estados microscópios acessíveis. Em outras palavras, pi é a fração de tempo que
o sistema permanece no estado i durante a evolução no espaço de fases. Sendo assim, os
valores de pi variam de acordo com o estado i.
As condições macroscópicas, às quais o sistema está submetido, denem o modo
como estes valores se distribuem pelo espaço de fases. Quando a energia, volume e o
número de partículas são mantidos constantes, os valores de pi são independentes do
25
estado i; nesse caso, os estados são igualmente prováveis, sendo este o caso particular que
valida a equação (2.1). Este conjunto de estados é chamado de
ensemble microcanônico.
Em outras palavras, quando pi = 1/W , a equação (2.2) retorna à entropia usual de
Boltzamann-Gibbs, equação (2.1).
Um outro modo de analisar a relação entre os micro e macro estados é pelo
canônico,
ensemble
segundo o qual a energia não mais é mantida constante, sendo consideradas
pequenas varições ou utuações em torno de seu valor médio, que é mantido constante.
O efeito físico recorrente dessa interpretação pode ser dado por um efeito macroscópico
de manter a temperatura constante.
Sendo assim, o estado de fases não mais terá estados equiprováveis; logo, o sistema
terá estados com maior e menor energia, com o sistema passando mais tempo nos níveis
com valores de energia inferiores, que são os estados de maior probabilidade. Dessa forma,
os estados de maior energia são os estados pouco prováveis, onde o sistema passará um
tempo relativamente curto.
Logo, pela Mecânica Estatística de B-G, a distribuição de probabilidade no equilíbrio
térmico será dada por:
pi =
e−βEi
Z
(2.3)
Onde: Ei é a energia do estado i, e β é o parâmetro de Lagrange, dado por β = 1/kB T .
Z é a função de partição, que é um fator que garante a normalização das probabilidade
Z=
W
X
(2.4)
e−βEi
i=1
pi é o fator de Boltzmann.
O valor médio da energia é uma grandeza macroscópica denominada
que é dada por
hEi ≡ U =
W
X
energia interna,
pi Ei
(2.5)
i=1
A entropia de Boltzmann-Gibbs é côncava, o que signica que a expressão dada pela
equação (2.1) tem apenas um máximo. Esta é a propriedade que leva a satisfazer a
Segunda Lei da Termodinâmica, garantindo, assim, a estabilidade do sistema[154].
26
2.1.1 Extensividade e Aditividade
A Termodinâmica de Boltzmann-Gibbs clássica depende das propriedades de
extensividade e aditividade dos sistemas abordados[153]. A entropia de Boltzmann-Gibbs
é uma entropia extensiva, ou seja, despreza a interação de elementos que pertençam a
diferentes sistemas[150, 155]. A extensividade da entropia é obedecida em casos onde
a interação de curto alcance ou microscópica podem ser desconsideradas, e quando a
memória microscópica é de curta duração ou inexistente[156].
Por exemplo, ao ser
considerado um sistema que não troca matéria, energia ou informação com sua vizinhança,
dito
sistema isolado,
este corresponde à idealização de interação de curto alcance, onde a
interação decai bruscamente com a distância, sendo este comportamento descrito numa
função tipo exponencial. Implica dizer que este sistema se aproxima de um sistema isolado
ideal,
pois, ao separar as partículas que o compõe, as interações destas tornam-se tão
fracas que podem ser desprezadas[156]. Assim, se um subsistema
a uma entropia S (A) , e um subsistema
B,
A,
onde esta associado
associado a uma entropia S (B) , relacionam-se,
a soma das quantidades dos subsistemas é igual ao sistema total, ou, como descrito por
Salinas[151]
S (A+B) = S (A) + S (B)
(2.6)
Essa armação é verdadeira ao serem considerados sistemas não interagentes. Para N
subsistemas diferentes, a relação torna-se:
S
N
X
!
Xi
i=1,
=
N
X
S (Xi ) .
(2.7)
i=1,
Quando Xi = X , que seria quando todos os subsistemas são iguais, tem-se:
S
N
X
!
Xi
= S (N X) = N S (X) .
(2.8)
i=1,
O conceito de extensividade obedece a seguinte relação:
|S(N )|
< ∞,
N →∞
N
lim
(2.9)
onde um sistema extensivo tem um comportamento assintótico com o número de
27
subsistemas
N,
onde existe um fator de proporcionalidade entre S (N ) e
N
nito. Logo,
um sistema extensivo é assintoticamente aditivo. Para sistemas onde a interação de seus
subsistemas não são desprezíveis, a entropia de Boltzmann-Gibbs torna-se ineciente. É
o caso de sistemas com presença de força de longo alcance, por exemplo, que causam
modicações importantes na Termodinâmica [157], como, por exemplo, a possibilidade
de calor especíco negativo no
ensemble
microcanônico, pois é justamente a aditividade
que garante a concavidade da entropia. No entanto, no ensemble canônico, a existência do
calor especíco negativo não é possível. Sendo assim, as interações de longo alcance, ou
de memória de longo prazo, podem acarretar uma violação da equivalência de ensembles,
um conceito fundamental na estatística tradicional de Boltzmann-Gibbs[150, 155].
Outro problema que surge quando tratamos estatisticamente sistemas de longo alcance
é sua ergodicidade7 . Para Boltzmann (1877), em sua hipótese de equiprobabilidade dos
microestados, é necessário que o sistema seja ergódico. Considerando um espaço de fase
de
2dN
dimensões, onde
N
é o número de partículas e
d
é a dimensão do sistema, cada
ponto nesse espaço representa uma conguração (microestado) do sistema. Assim, um
sistema, inicialmente em um ponto, deve evoluir ao longo de uma superfície de energia
constante nesse espaço de fase de acordo com as leis de Hamilton. Ao invés de considerar
apenas um único sistema evoluindo ao longo de toda a superfície, imaginam-se innitos
sistemas distribuídos sobre ela. Este conjunto de sistemas é o ensemble microcanônico,
ou seja, sistemas em todos os possíveis microestados correspondentes a dadas variáveis
macroscópicas de mesma energia. Entretanto, ao serem consideradas regiões da superfície
de energia constante que são inacessíveis para o sistema a partir de uma determinada
condição inicial, não há ergodicidade, e a correspondência entre a evolução temporal
de uma sistema e uma distribuição de innitos sistemas não é mais válida[159]. Ao
considerar sistemas de curto alcance, a ergodicidade é observada, embora não haja uma
prova de sua existência. Já, para sistemas de longo alcance, há indícios de quebra de
ergodicidade[158, 159].
O formalismo de B-G pode não ser a melhor ferramenta para se trabalhar com
sistemas que incluem força de longo alcance, efeitos de memória de longa duração
e de multifractalidade, pois quando estas interações são relevantes, os parâmetros
Termodinâmicos tendem a perder seu caráter extensivo. É o caso de sistemas onde não se
verica a extensividade da entropia, em que a aproximação do equilíbrio é tão lenta que
não pode ser encontrada na prática. Esses sistemas são chamados de sistemas
7 Na
complexos.
Termodinâmica, a hipótese da ergodicidade estabelece que, em um dado período de tempo,
o tempo de permanência em dada região do espaço de fase de microestados com a mesma energia é
proporcional ao volume da região, ou seja, todos os microestados acessíveis são equiprováveis em um
longo período de tempo.
28
2.1.2 Distribuição de Probabilidade para a Estatística de
Boltzmann-Gibbs
Um procedimento baseado na
maximização da entropia
é utilizado para se obter uma
função de distribuição Normal ou Gaussiana no contexto da Mecânica Estatística Clássica
de Boltzmann-Gibbs. Ao se considerar um caso contínuo de estados possíveis x, a entropia
pode ser expressada por:
Z
S = −KB
p(x) ln p(x)dx.
Esta nova forma de entropia é conhecida como
Entropia de Shannon,
ou entropia
informacional.
Partindo da equação (2.3) para distribuições contínuas da entropia de Shannon,
podemos encontrar a distribuição de probabilidade que maximiza a entropia de
Boltzmann-Gibbs.
Na eq.(2.3) temos que, para cada x associado, temos uma
probabilidade associada p(x). Para cada distribuição p(x) pode ser associada uma medida
de incerteza ligada à informação sobre o sistema que esta distribuição representa.
Maximizar a entropia signica assumir que o sistema é o mais aleatório possível dentro
dos vínculos anunciados. Ou encontrar a função de probabilidade que maximiza a entropia
permitida pela informação disponível[167, 168, 169].
Para a entropia de Boltzmann-Gibbs, a função de probabilidade está restrita aos
vínculos. Segundo Salinas[151], temos que:
(a) Condição de normalização:
Z
p(x)dx = 1
(2.10)
(b) A variância de p(x ), que caracteriza a largura da distribuição, deve ser nita.
Considerando distribuições de média nula:
2
hx i =
Z
x2 p(x)(x)dx = σ 2
(2.11)
Utilizando a técnica de multiplicadores de Lagrange[170], sob n condições de vínculo
Si [p(x)] = 0, a maximização de S(p) equivale à maximização da Lagrangiana.
Assim,
29
L[p, λ1 , λ2 , ..., λn ] = S(p) −
n
X
(2.12)
λi Fi [p]
i=1,
onde λi , (i = 1 , ..., n) são os multiplicadores de Lagrange. Usando a equação(2.12) e os
vínculos (2.10) e (2.11), tem-se:
Z
Z
L[p, λ1 , λ2 ] = −
p(x) ln p(x)dx − λ1 [p(x)dx − 1] −
Z
−λ2 [x2 p(x)dx − σ 2 ]
(2.13)
L[p, λ1 , λ2 ] possui máximo global[171]. Considerando variações δp(x) arbitrárias em
relação à distribuição que maximiza L[p, λ1 , λ2 ]:
δL =
δL
=−
δp
Z
Z
δp(x) ln p(x)dx −
Z
δL
δL
δp = 0 −→
=0
δp
δp
δp(x)
p(x)
dx − λ1
p(x)
Z
(2.14)
Z
δp(x)dx − λ2
δp(x)[ln p(x) + 1 + λ1 + λ2 x2 ]dx = 0
x2 δp(x)dx (2.15)
(2.16)
ln p(x) + 1 + λ1 + λ2 x2 = 0
(2.17)
p(x) = exp[−1 − λ1 ] − exp[−λ2 x2 ]
(2.18)
Aplicando os vínculos (2.10) e (2.11) na eq.(2.17), obtêm-se:
1
(1 + λ1 ) = √
2πσ 2
30
(2.19)
e
λ2 =
1
2σ 2
(2.20)
Logo, os multiplicadores de Lagrange λ1 e λ2 estão associados à constante de
normalização e à variância da distribuição maximizada. Substituindo λ1 e λ2 em (2.18),
temos que:
x2
√
exp − 2
p(x) =
2σ
2πσ 2
1
(2.21)
Fornecendo uma distribuição Gaussiana, ou distribuição normal, como a distribuição
de máxima entropia do sistema. Ou seja, as propriedades macroscópicas das difusões
são regidas por uma distribuição Gaussiana. Isso já era previsto pela própria mecânica
estatística, que assume que a entropia de uma sistema tende a um máximo, assumindo a
validade do princípio variacional, e assumindo também que o vínculo da variância garante
esta distribuição, de acordo com o
O
Teorema do Limite Central
Teorema de Limite Central
é bastante conhecido na
(TLC).
Teoria das Probabilidades
e se
trata de um formalismo baseado em conceitos probabilísticos e provas matemáticas[172].
O TLC arma que, se as
funções de probabilidade
(FDP) forem contínuas, elas evoluem
para um perl Gaussiano. Isso demonstraria o motivo das distribuições Gaussianas serem
tão recorrentes na natureza, uma vez que uma grande quantidade de número/recorrência
de ações que satisfazem a TLC tem a propriedade de convergir para uma função de
probabilidade Gaussiana[173].
Na sua formulação mais simplista, o Teorema do Limite Central estabelece que, dada
uma sequência de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, seu
somatório converge, à medida que n cresce, para uma distribuição normal. Este teorema
tem grande importância, pois muitas estatísticas envolvem somas de variáveis aleatórias,
que se referem aos dados da amostra, e vários fenômenos de interesse estatístico, que
podem ser pensados como agregações de contribuintes de fatores menores.
Estas considerações fazem com que a distribuição seja amplamente empregada na
inferência e modelagem estatísticas. De forma bastante geral, o TLC pode ser descrito
como sendo:
Sejam x1 , x3 , x3 , .., xn variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas,
n
P
onde
xi = X, onde i = 1, 2, 3, .., n. Considerando hXi i = µi , onde µi é o valor médio
i=1
da distribuição, temos então que:
31
hXi2 − µi i = σi
(2.22)
onde σi > 0 é a variância da distribuição. Então a variável aleatória:
n
P
X−
µi
i=1
Zn = r n
P 2
σi
(2.23)
i=1
onde a função de distribuição de probabilidade é dada por:
1
−(Zn )2
f (Zn ) = √ exp
2
2π
(2.24)
Essas condições são responsáveis por fazerem com que muitas das distribuições
estatísticas sejam representadas por um função normal, desde o comportamento de ações
na bolsa de valores, a distribuição de altura de habitantes de uma cidade e até mesmo
alguns fenômenos físicos.
A gura (2.1) mostra o comportamento da distribuição de probabilidade Normal para
diversos valores σ .
Figura 2.1: Função de distribuição Normal, ou Gaussiana, para diversos valores de σ .
32
A Mecânica Estatística de B-G encontrou uma vasta aplicabilidade em diversos
sistemas físicos, como uídos quânticos, fenômenos físico-químicos não-lineares,
fenômenos críticos, teoria de transporte, biofísica, entre outros[155].
No entanto, mesmo a termoestatística de Boltzmann-Gibbs tendo vasta aplicabilidade,
muitas pesquisas sugerem que existem sistemas que possuem comportamento anômalo,
onde são consideradas interações de longo alcance, memória de longa duração, ou que
possuem geometria fractal ou multifractal; esses casos não podem ser descrito pela
Mecânica Estatística Clássica[174, 175]. Muitas pesquisas já sugerem este comportamento
em muitos sistemas, encontrados, por exemplo, na astrofísica estelar[185, 191, 176, 173,
177, 178, 179], na física de plasmas[175, 16], na gravitação, em fractais [160], em espectro
de raios cósmicos[181], em superfícies de crescimento, em difusão anômala[182, 161],
na estatística de terremotos[183], em formação de estruturas em cosmologia[184], entre
muitos outros. Estes sistemas não obedecem à restrição imposta pela expressão (2.1),
encontrando-se fora da extensividade da entropia, exigindo, assim, uma nova proposta que
englobe uma estatística generalizada, que considere essas as interações. Neste contexto
é que a q-estatística de Tsallis torna-se uma grande ferramenta para a descrição destes
sistemas fora de equilíbrio.
2.2
Mecânica Estatística Não-extensiva
A Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs descreve bem muitos fenômenos na
natureza, mas, ao serem considerado alguns sistemas onde existam interação de longo
alcance, regimes caóticos ou turbulentos, há a necessidade de uma reformulação no interior
da teoria de B-G.
O físico greco-brasileiro Constantino Tsallis propôs uma generalização da estatística
de B-G, levando em consideração que, em alguns casos, ocorrem interações entre os
componentes dos sistemas, e estas não podem ser desconsideradas[160, 164]. A abordagem
feita por Tsallis torna possível um tratamento não extensivo para a energia interna e a
entropia. Ou seja, a q -entropia de Tsallis é uma generalização da entropia Clássica de
B-G.
Segundo Borges[165], ao generalizar uma teoria, possivelmente será necessário romper
com alguns de seus postulados, sendo isto fator fundamental para o êxito ou fracasso da
teoria. A entropia não extensiva viola a aditividade da entropia clássica. Podemos
vericar isto da seguinte forma: ao considerarmos um sistema composto por dois
subsistemas independentes (A) e (B), sabemos, através da equação (2.6), que é um dos
postulados da Termodinâmica que arma que a entropia é aditiva sobre seus subsistemas
contínuos, ou seja, a entropia total do sistema será dada pela soma das entropias de cada
33
subsistema.
Na q -entropia de Tsallis, a formulação clássica não é obedecida, e a aditividade da
entropia não ocorre. No contexto não-extensivo, a entropia é dada por:
Sq(A+B) = Sq(A) + Sq(B) +
(1 − q) (A) (B)
Sq Sq
k
(2.25)
onde q é o índice entrópico que caracteriza a generalização e k é a contante de Boltzmann.
Quando q −→ 1 ou k −→ ∞, a extensividade da entropia é recuperada. Esta relação entre
q e a constante k pode implicar um relação não trivial entre eles. Quando a extensividade
é recuperada, através de k −→ ∞, considera-se que, para temperaturas innitas, todos
os sistemas tornam-se extensivos[165].
A medida da não-extensividade de um sistema é dada pelo termo (1 − q). Se q < 1,
(A+B)
o sistema é superaditivo, Sq
> S (A+B) ; e quando q > 1, o sistema é subaditivo,
(A+B)
Sq
< S (A+B) . Fisicamente, quando ocorre a violação da aditividade da entropia, um
dos conceitos mais básicos da Termodinâmica, que é o de sistema isolado, não mais pode
ser considerado. De forma mais clara, quando temos dois subsistemas, (A) e (B), como
na equação (2.6) , e estes são juntados para formar um sistema composto (A + B),
cada um destes contribui com sua quantidade. Já, quando consideramos o sistema
composto (A + B), dado pela equação (2.25), é como se cada subsistema contribuísse com
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
a quantidade Sq [1 + (1/2)((1 − q)/k)Sq ], para a Sq , e Sq [1 + (1/2)((1 − q)/k)Sq ],
(B)
para Sq . Isso quer dizer que, mesmo antes de estarem em contato, ou seja, antes do
sistema composto ser formado, cada um dos subsistemas (A) e (B), já sentia um ao outro,
rompendo, então, com o conceito de sistemas isolados.
A Mecânica Estatística Não-Extensiva postula que a q -entropia está relacionada com
as probabilidades pi dos microestados pela equação[160].
1−
Sq [(pi )] = k
W
P
pqi
i=1
q−1
(2.26)
Quando q −→ 1, a eq. (2.26) se reduz à entropia de Boltzmann-Gibbs, ou seja, quando q
se aproxima de 1 o formalismo clássico da Mecânica Estatística é recuperado. A expressão
para entropia de Tsallis, Sq , é uma função não negativa, para qualquer valor de q . Quando
q > 0, a entropia generalizada Sq tem concavidade com ponto de máximo, ou quando
q < 0, a entropia generalizada Sq é convexa e apresenta um ponto de mínimo. Assim
como a teoria clássica de Boltzmann-Gibbs, a entropia generalizada de Tsallis satisfaz a
segunda Lei da Termodinâmica. Segundo essa, os valores do índice entrópico q , sejam
34
eles q > 0 ou q < 0, representam valores de máximo e mínimo, respectivamente. O que
signica dizer que a entropia de um sistema isolado é um extremo , que pode ser máximo
ou mínimo[165].
Através do ensemble microcanônico, que postula que todos os estados acessíveis são
equiprováveis, ou seja pi = 1/W , da equação (2.26), obtém-se
Sq [1/W ] = k
W 1−q − 1
1−q
(2.27)
A eq. (2.27) corresponde à entropia generalizada da q -Estatística de Tsallis para o
microcanônico. Denindo a função q -logaritmo como:
lnq ≡
x1−q − 1
, x > 0,
1−q
(2.28)
a q -Entropia pode ser reescrita da seguinte forma:
Sq = k lnq W,
(2.29)
onde:
•
q
< 1, a desordem cresce mais rapidamente que o logaritmo de W;
•
q
> 1, a desordem cresce mais lentamente;
• q −→ 1, a equação da entropia generalizada recupera a forma usual da estatística
de Boltzamann-Gibbs.
A função inversa da q -logaritmo, denominada q -exponencial, é dada por:
exq ≡ [1 + (1 − q)x]1/(1−q)
(2.30)
onde é possível se vericar que:
lnq (expq x) = expq (lnq x) = x.
(2.31)
As funções q -logaritmo e q -exponencial foram denidas por Tsallis em seu trabalho de
35
1994, e são generalizações para as funções exponencial e logarítmica convencionais[160,
163, 166].
A Mecânica Estatística Não-Extensiva é, portanto, uma generalização para a
estatística de Boltzmann-Gibbs, sendo esta última um caso particular da estatística de
Tsallis. A gura (2.2) apresenta os comportamentos da q -exponencial para alguns valores
de q .
Figura 2.2: Comportamento da função de distribuição q -Exponencial para alguns valores
de q .
O valor do índice entrópico
q
pode ser considerado como uma medida da não-
extensividade do sistema, onde, para valores altos de q, tem-se os regimes onde as
interações dos microestados não podem ser desprezadas, como os encontrados em sistemas
complexos. A gura (2.3) apresenta os comportamentos da q -logarítimo para diversos
valores de q .
Figura 2.3: Comportamento da função de distribuição q -Logarítimo para alguns valores
de q .
36
2.2.1 Função de distribuição de probabilidade q-Gaussiana
Utilizando um procedimento análogo ao descrito na subseção (2.1.2) para encontrar
a distribuição Normal, vamos maximizar a entropia de Tsallis. Temos então os vínculos
modicados dados por:
Z
p(x)dx = 1
Z
xR
Z
(x − µ̄q )2 R
(2.32)
[p(x)]q
dx ≡ hxiq = µ̄q
[p(x)]q dx
(2.33)
[p(x)]q
dx ≡ h(x − µ̄q )2 iq = σq2
[p(x)]q dx
(2.34)
O primeiro vínculo é a condição de normalização da função de densidade de
probabilidade. Já os outros dois vínculos correspondem à média generalizada e à variância
de x.
A função de distribuição de probabilidade que maximiza a entropia de Tsallis é obtida,
assim como a função de distribuição Gaussiana, através dos multiplicadores de Lagrange.
Depois de grande algebrismo, obtemos que:
pq (x) = Aq [1 + (1 − q)Bq (x − µ̄q )2 ]1/(1−q)
válido para todo
q
(2.35)
< 3.
A contante de normalização Aq é obtida através da equação (2.32), e é válida para os
intervalos:
(i)
q
< 1,
5 − 3q r
Γ
1−q
2 − 2q
Aq = Bq
2−q
π
Γ
1−q
37
(2.36)
e (ii)
q
< 1,
1
r
Γ
q−1
q−1
Bq
Aq = 3−q
π
Γ
2q − 2
(2.37)
O Valor de Bq é função de variânicia σq e é dado por:
Bq = [(3 − q)σq−2 ]−1
(2.38)
Assim, a função de distribuição q-Gaussiana pode ser escrita como:
pq (x) = Aq [1 + (1 − q)]1/(1−q)
(2.39)
quando:
•
q
= 1, a função retorna a Gaussiana padrão;
•
q
> 1, há o aparecimento de caldas que seguem uma lei de Potência;
•
q
< 1, sempre que
q
< 0 a q-exp é negativa, aparece um corte e o suporte é nito.
Assim como a função de distribuição Gaussiana padrão, a q -Gaussiana de Tsallis
obedece ao teorema do limite central, havendo uma q -generalização para este teorema,
na qual uma sequência de variáveis aleatórias apresentam correlações fortes entre si,
com uma q -variância nita.
O TLC q -generalizado estabelece que a recorrência de
efeitos na natureza podem ser descritos por uma q -Gaussiana. A gura (2.4) descreve o
comportamento da função de distribuição normal generalizada para diferentes valores de
q e σ.
38
Figura 2.4: Função de distribuição q -Gaussiana para diversos valores de q e σ xo.
39
Capítulo 3
Descrição da amostra e dados
observacionais
3.1
Catálogo Geneva-Copenhagen
A amostra utilizada neste trabalho é composta por estrelas anãs single e de campo com
tipo F e G localizadas na vizinhança solar, completa em magnitude e volume de ∼ 40 pc,
retiradas do catálogo Geneva-Copnhagen Survey (GCS), que foi publicado por Nordström
et al. [47] e posteriormente revisado por Holmberg et al. [48],[49] e Casagrande et al.
[129], contendo dados de idade, metalicidade, massa, velocidade de rotação projetada
(vsini) e propriedades cinemáticas para cerca de 14000 estrelas na
vizinhança solar.
Nas próximas seções, descreveremos os parâmetros astrofísicos pertinentes ao nosso
trabalho, que são as velocidades espaciais (U, V, W), Idade, Massa e Metalicidade.
3.2
Parâmetros astrofísicos
3.2.1 Velocidades Espaciais (U, V, W)
Na Seção (1.4) do Capítulo 1 foi dinido o sistema de refrências para a velocidade
espacial, para o meio estelar, em termos de suas componentes (U, V, W), onde U aponta
para o centro da Galáxia, V se direciona no sentido da rotação da Galáxia e W para o
polo norte Galático.
As velocidades (U, V, W) presentes no GCS foram calculadas utilizando dados de
distância, movimento próprio e a média da velocidade radial8 , sendo que estes parâmetros
foram obtidos através do CORAVEL e CfA, para cada uma das estrelas.
8 Ver
o artigo Nordström
et al.
(2004).
40
Para garantir uma maior precisão nos resultados, Holmberg
et al.
[49] zeram um
levantamento para estrelas que possuíam erro na idade inferior a 25% (∼ 2600 estrelas).
Essa subamostra foi dividida em 30 intervalos, contendo 88 estrelas em cada, sendo, então,
calculada a dispersão de velocidade média para as componentes U, V e W da velocidade
espacial e da velocidade total para cada um dos intervalos. A Fig. (3.1) mostra a relação
idade-velocidade, onde pode ser percebido um aumento das dispersões das velocidade
com a idade das estrelas. A linha pontilhada representa o ajuste do tipo lei de potência,
dado pela equação de De Simone[147], que forneceu os seguintes valores para os σ de cada
uma das distribuições de velocidade σtot = 0.40, σU = 0.38, σV = 0.38 e σW = 0.54[48].
A gura (3.1) está com valores em log para ambos os eixos.
Figura 3.1: Relação idade-dispersão de velocidade das componentes de velocidade U, V e
W e da velocidade total(tot) retirada do Geneve-Copenhagen Survey. Linha tracejada é o
ajuste da relação excluindo os três primeiros e os três últimos intervalos. (Fonte:Holmberg
et al. (2009))
Uma análise detalhada, feita por Famey
et al.
[186], identicou grupos dinâmicos
distintos. As estrelas desses grupos possuem uma faixa de variação nas idades e na
composição química, sendo esse um provável indicativo de que essas estrelas não tiveram
uma origem em comum. Podemos então inferir que deve existir algum mecanismo do
disco Galáctico capaz de aproximar essas estrelas em órbitas semelhantes, como braços
espirais transientes[147] ou ressonância externa de Lindblad com a barra Galáctica [187].
Segundo Holmberg et al.[48], as guras (3.2) e (3.3) descrevem a difusão das
velocidades nos planos U-V e V-W, separados em quatro grupos de idade. Pode-se
perceber uma difusão não-aleatória na Fig. (3.2), enquanto que na Fig. (3.3), essa
41
não-aleatoriedade não está presente.
Figura 3.2: Diagrama U-V com dados de uma subamostra formada por 4065 estrelas do
CGS, com σ(idade) < 25%, separadas em quatro grupos.
Para Holmberg
et al.[48]
a distribuição de velocidade nos eixos U e V é resultado de
um aquecimento não puro, ou seja, a interferência de estruturas cinemáticas poderia
ser causadora da difusão.
Já para o eixo W, o aquecimento não teria inuência
dessas estruturas, o que resultaria num aquecimento puro, sendo, então, uma difusão
totalmente aleatória. Contudo, as distribuições das componentes U e V parecem não
apresentar uma distribuição Gaussiana, o que pode caracterizar a presente inuência
dessas estruturas[188]. Por sua vez, o movimento difusivo para componente W apresenta
um perl aparentemente Gaussiano em todas as idades[47],[48],[49]. A Figura (3.4)
tenta descrever o perl Gaussiano proposto por Holmerg et al., para quatro grupos de
idades, sendo que há um incremento considerável para o valor de σ para cada uma das
distribuições.
Devemos, então, considerar que os processos dinâmicos podem contribuir com o
aumento na dispersão da velocidade espacial, onde esses processos introduzem energia
cinética nas componentes do movimento com o passar do tempo[189]. As componentes
das velocidades espaciais U, V e W, em função da idade para as estrelas F e G da amostra,
são mostradas nas Figuras (3.5) e (3.6). Essas distribuições para as velocidades espaciais
correspondem a uma espécie de série temporal composta por diversos objetos com
42
Figura 3.3: Diagrama V-W com dados de uma subamostra formada por 4065 estrelas do
CGS, com σ(idade) < 25%, separadas em quatro grupos.
parâmetros estelares aproximadamente similares, nos quais uma evolução da difusão da
velocidade em função do tempo pode ser percebida mais claramente para as componentes
U e V. Para Seabroke & Gilmor[188], o melhor parametro físico para especicar o aumento
aleatório nas componentes (U, V, W) é
aquecimento.
3.2.2 Idade
As idades estelares individuais têm grande importância quando queremos inferir dados
conáveis para determinação de propriedades químicas e cinemáticas ao considerarmos
o viés evolutivo das estrelas. Estudos com base na atividade cromosférica têm sido
usados para estimativa de idades estelares, mas esses se mostram pouco ecientes ao
considerarmos estrelas com idades próximas à do Sol, pois nesta faixa de idade a emissão
cromosférica praticamente cessa.
Já o método de determinação de idades por isócronas se mostra uma ferramenta
melhor, mesmo apresentando discrepância para idades de estrelas mais velhas e de baixa
massa.
As idades adotadas no GCS foram obtidas por meio de isócronas estelares
por Nordström
el al.[47],
utilizando a técnica Bayesiana proposta por Jørgensen e
Lindegren[190]. Os dados foram revisados por Holmberg
43
et al.
[48],[49] e Casagrande
Figura 3.4: Distribuição da velocidade W separadas por idade. Figura retirada do
Geneve-Copenhagen Survey, Holmberg et al. (2007). A linha pontilhada é o ajuste
Gaussiano.
et al. [129], onde consideraram novas calibrações para temperatura e metalicidade. Para
Nordström
el al.[47]
e Holmberg
et
al.[48],[49], 81% das estrelas da amostra original do
GCS possuem erro abaixo de 50%.
As idades são computadas determinando a posição que as estrelas se encontram
no diagrama-HR tridimensional, utilizando os parâmetros de temperatura efetiva Tef
(log Tef ), magnitude visual (Mv ) e metalicidade ([Fe/H]). O cálculo da probabilidade
revela onde a estrela deverá estar no diagrama-HR, usando a interpolação de Padova9 . O
cálculo da probabilidade é feita através da equação:
"
#
∆Te2
∆Mv2
∆[F e/H]2
P = exp − 2 exp − 2
exp −
.
2
2σTe
2σMv
2σ[F
e/H]
(3.1)
Nessa equação, os erros são retirados do CGS. Integrando (3.1) sobre todos os pontos,
9 As
isócronas, diferentemente dos traços evolutivos tradicionais, consideram as idades como constante,
mas variando a massa. São modelos teóricos para determinar o comportamento de parâmetros da estrela
no diagrama-HR. Padova é uma homenagem à cidade italiana onde foi criado o modelo.
44
Figura 3.5: Velocidades U,V e W em função da idade para 7237 estrelas single da amostra
com dados para idade e velocidade bem denidos. Figura retirada do Geneve-Copenhagen
Survey, Holmberg et al. (2004).
obtém-se a distribuição de probabilidade global para as idades possíveis de cada estrela.
Novamente, utilizando (3.1) é possível obter a função de distribuição normalizada, ou
função-G,
integrando a função da probabilidade. O valor máximo da função normalizada
fornece o valor mais provável da idade de uma estrela.
As Figuras (3.7) e (3.8) apresentam os histogramas das idades de todas as estrelas
FeG
single
presentes na amostra. Cada um desses histogramas evidencia quais são os
intervalos de idade que apresentam maior número de estrelas, sendo entre 1,5 e 3,0
anos
Giga-
para estrelas do tipo F, e entre 2,8 e 7,0 Giga-anos para estrelas do tipo G - tipo em
que maior parte das estrelas estão concentradas. Como o histograma mostrado pela Fig.
(3.8) não deixa claro qual a faixa de idade onde encontra-se maior parte das estrelas, foi
utilizado um gráco do tipo
boxplot
para determinar esse intervalo, como pode ser visto
na gura (3.9). Nele é possível ver com clareza quais é o intervalo com maior número
de estrelas, além da média e mediana, como também os valores atípicos para a idade da
amostra.
45
Figura 3.6: Velocidades U,V e W em função da idade para 2852 estrelas single da
amostra com idades melhores que 25%. Figura retirada do Geneve-Copenhagen Survey,
Holmberg et al. (2004).
1.000
F-stars
Frequency
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
Age (Gyr)
Figura 3.7: Histograma da idade das estrelas F (Giga-ano).
46
10
250
G-stars
Frequency
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
Age(Gyr)
Figura 3.8: Histograma da idade das estrelas G (Giga-ano
).
Agegyr
10
Mean
95%
9
Median
x
Outlier
8
75%
Age (gyr)
7
6
5
50%
4
3
25%
2
1
5%
0
Figura 3.9: Boxplot para idade das estrelas do tipo G evidenciando qual a faixa de idade
onde encontra-se maior número de estrelas.
3.2.3 Massa e metalicidade
A massa estelar também pode ser inferida utilizando a análise de isócronas[47]. Os
dados para massa possuem erros individuais na ordem de 0,05 M . A metalicidade
foi estimada usando fotometria
uvbyβ
de Strömgren. A distribuição de metalicidade
para as estrelas na vizinhança solar presentes nesta amostra obedece a uma distribuição
Gaussiana com média de -0,14 e desvio padrão de 0,19 dex, como indicado nas guras
47
(3.12) e (3.13).
Holmberg
et al.[48]
analisam uma subamostra contendo 5835 estrelas
single
presentes
no GCS. Essa análise mostrou uma média de h[F e/H]i = -0,18 e desvio padrão de 0,21
dex. Podemos, então, observar que a maioria das estrelas que compõem este trabalho são
do tipo solar. Um outro fator que também é evidenciado é o de que há a presença de um
número pequeno de estrelas com metalicidade subsolar.
Recentemente, Casagrande
et al.
[129] reexaminaram a maioria dos parâmetros do
catálogo através do uxo de infravermelho. Esse método apontou diferenças nas medidas
de temperatura efetiva; logo, os novos dados resultaram em uma melhor concordância
entre a posição das estrelas e as isócronas no diagrama HR.
Um histograma para as massas de todas as estrelas F single em função da massa solar
é apresentado na Fig. (3.10). A maioria das estrelas F
single
possuem massas entre 1,0
M e 1,6 M e maior concentração na faixa de 1,1 M até 1,2 M .
900
F-stars
800
Título do eixo Y
700
600
500
400
300
200
100
0
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
M/Mο
Figura 3.10: Histograma da massa em função da massa solar para estrelas F
Na Fig.
single
singles.
(3.11) temos um histograma para as massas, M/M , de todas as G
presentes na amostra. Podemos ver que as estrelas do tipo G
single
têm massa
compreendida no intervalo de 0,8 M e 1,2 M e apresentam um pico entre 0,9 M e 1,1
M .
Observando a Fig. (3.12), vemos que a metalicidade para as estrelas F single
apresentadas na amostra estudada está entre -1,4 dex e 0,4 dex. Enquanto que, para
as estrelas G single, a metalicidade ca em torno de -0,8 dex e 0,4 dex (Fig. 3.13). As
metalicidades apresentadas para as estrelas F e G são dadas em função da metalicidade
solar.
48
Tabela1_FeH
700
G-stars
600
frequency
500
400
300
200
100
0
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
M/Mο
Figura 3.11: Histograma da massa em função da massa solar para estrelas G
1.000
singles.
F-stars
Frequency
800
600
400
200
0
−1,4
−1,2
−1
−0,8
−0,6
−0,4
−0,2
0
0,2
[Fe/H](dex)
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Figura 3.12: Histograma da metalicidade em função da metalicidade solar para estrelas
F single.
3.2.4 Denição da amostra
Nesta dissertação foram utilizados dados para as componentes da velocidade espacial
(U, V, W), idade e massa presentes no
Limitamos a idade em torno de 10
GCS
Giga-ano.
para estrelas F e G
single[47,
48, 49].
Para a massa, adotamos um intervalo
entre 0,90 M ≤ M ≤ 2,0 M . O limite superior de 10 Giga-ano para idade foi escolhido
por este compreender a idade aproximada da Galáxia. Já, para as massas (ou tipo
49
600
G-stars
500
Frequency
400
300
200
100
0
−1,4
−1,2
−1
−0,8
−0,6
−0,4
−0,2
0
0,2
[Fe/H](dex)
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Figura 3.13: Histograma da metalicidade em função da metalicidade solar para estrelas
G single.
espectral), os limites foram denidos baseando-se em análises de isócronas teóricas, com
erros individuais da ordem de 0,05 M , obtidos através da equação (3.1). A metalicidade
foi obtida por fotometria. Optamos por estes limites para evitar a contaminação da
amostra com estrelas que possuíssem incertezas consideráveis nesses parâmetros - ou seja,
as estrelas de baixa massa e as consideradas mais velhas que a galáxia foram deixadas de
fora, assim como as estrelas muito massivas. Como resultado, a amostra nal apresenta
6166 estrelas
single
(estrelas que não possuem companheiras), onde 3838 são do tipo F
(2063 têm tipo espectral entre F0 e F5, e 1175 entre F6 e F9) e 2328 do tipo G (2156
possuem tipo espectral entre G0 e G5, e 172 entre G6 e G9)[185]. Assim, toda a amostra
utilizada neste trabalho tem sua completeza em magnitude dentro de um volume com
aproximadamente 40
pc
na
vizinhança solar.
50
Capítulo 4
Resultados e Discussões
4.1
Introdução
Neste capítulo, serão apresentados os resultados, discussões e implicações físicas de
nosso trabalho.
Em virtude das investigações, a partir da perspectiva da estatística de Tsallis e da
inuência de mecanismos que atuam no disco galático originando difusões na velocidade
estelar, podemos propôr que, para todas as componentes da velocidade espacial (U, V, W),
existe a atuação de mecanismos não-randômicos; fato que diverge de estudos anteriores,
onde foram desprezados esses efeitos não aleatório na difusão para a coordenada W.
Nordströn el al. ([47]) e Holmberg et al. ([48, 49]) descreveram o comportamento
da difusão para a componente W da velocidade como sendo um aquecimento
puro,
ou randômico, onde os mecanismos que atuam no plano U-V provocando uma difusão
não-aleatória não estariam presentes.
Os autores sugerem distribuições em que as
componentes U e V da velocidade não seguem um perl puramente Gaussiano, sendo
assim, somente a componente W teria o comportamento descrito por uma curva
Gaussiana padrão. De Freitas & De Medeiros ([191]) mostraram que o melhor ajuste para
a velocidade radial de estrelas anãs F e G é dado por uma q-Gaussiana. Considerando
esse resultado, utilizamos função de densidade
Kernel
e a q-Gaussiana de Tsallis para
determinar os parâmetros pertinentes para nosso trabalho.
Utilizando análises de cunho estatístico, observa-se um comportamento que diverge
dos resultados da literatura ao considerar velocidades espaciais de estrelas F e G single na
sequência principal. Os métodos estatísticos, as análises que foram utilizadas e resultados
são apresentados nas próximas seções.
51
4.2
As distribuições de velocidade espacial
As guras (4.1), (4.2) e (4.3) são as distribuições do tipo histogramas para as
componentes U, V e W, respectivamente, para todas as estrelas F e G
foram utilizadas neste trabalho.
single
A curva em vermelho representa o ajuste
que
Kernel.
Este ajuste mede a inuência de um ponto sobre outro da distribuição, sendo que os
pontos que estão mais próximos têm maior inuência do que aqueles que estão mais
distantes, possibilitando, assim, identicar uma suavização da inuência à medida que
a distância do ponto até a origem é aumentada. Desta forma, ao plotar histogramas,
que são descontínuos, junto com o ajuste
Kernel,
este último converge mais rápido
para a verdadeira densidade do histograma, por ser mais suave [192]. A função
Kernel
que foi utilizada para a suavização da distribuição foi retirada do programa estatístico
MATLAB10 .
Figura 4.1: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente U
de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
Mesmo que as guras mostrem pers bem próximos de uma Gaussiana, pode ser
vericado uma certa assimetria aparente em cada uma das componentes da velocidade
espacial estelar, havendo, também, um desvio para a esquerda, notório em todas as
distribuições.
Na gura (4.2), no painel da direita, referente à componente V, o
10 MATLAB
(abrevição das palavras inglesas MAtrix LABoratory) é um programa interativo destinado
a cálculos numéricos e grácos cientícos.
52
Figura 4.2: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente V
de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
Figura 4.3: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente W
de todas as estrelas F e G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
deslocamento para a esquerda é bem evidente, indicando que, aparentemente, maior
parte das estrelas possuem velocidade contrária ao movimento rotacional da galáxia.
Os grácos dispostos à direita são as funções de distribuição de probabilidade (PDF)
53
normalizadas para o método
Kernel
junto do ajuste q-Gaussiano. Como as distribuições
apresentam regiões de calda, a função q-Gaussiana fornece um melhor ajuste nessas
regiões do que a Gaussiana
padrão.
A distribuição
Kernel
garante uma suavização, onde
a região de maior concentração de dados, o ajuste q-Gaussiano, é bem ajustado. Para as
regiões mais afastadas do centro da distribuição, nas regiões de calda, é perceptível que
não há um ajuste tão no para a componente V, onde o melhor ajuste revela um perl
que foge bastante de regime próximo da gaussianidade
padrão.
O ajuste da curva em azul
foi feito utilizando a distribuição q-Gaussiana de Tsallis, dada pela equação (2.32):
pq (x) = Aq [1 + (1 − q)]1/1−q .
Segregando a amostra por tipo espectral, podemos analisar com maior riqueza de
detalhes o comportamento das distribuições para as estrelas F e G.
4.2.1 Distribuições de velocidade para estrelas F single
As guras (4.4), (4.5) e (4.6) são os histogramas para as velocidades U, V e W para as
estrelas F, assim como o ajuste da função
Kernel
para cada uma das componentes, além
dos ajustes q-Gaussianos sobre os pontos das distribuições
Kernel
(painéis à direta). É
possível notar que as distribuições tendem para uma perl aparentemente Gaussiano.
Figura 4.4: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente U
das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
Pela normalização da PDF, percebe-se que a curva q-Gaussiana (linha azul) se ajusta
54
de forma suave aos pontos da distribuição
Kernel
para a componente U, contemplando
quase todos os pontos, como se vê na g. (4.4). Para a componente V, a curva sobre
a distribuição não se ajusta bem na região próxima a -100 kms−1 (região de calda mais
aparente), mas o
t q-Gaussiano
tem melhor ajuste no restante da distribuição, como
é possível notar no painel direito da gura (4.5). A Figura (4.6) é a distribuição de
velocidade para a componente W. Nela podemos notar que, mesmo a distribuição se
aproximando da
gaussianidade,
há uma clara assimetria (deslocamento para esquerda)
e a forte presença de caldas. A normalização sobre a distribuição
Kernel
mostra caldas
bem aparentes para as velocidades V e W.
Figura 4.5: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente V
das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
55
Figura 4.6: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente W
das estrelas do tipo F single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
4.2.2 Distribuições de velocidade para as estrelas do tipo G single
As guras (4.7), (4.8) e (4.9) são as distribuições para as estrelas do tipo G.
É de fundamental importância notar que, para todas estas distribuições, mesmo se
aproximando de distribuições Gaussianas, as extremidades apresentam espécies de caldas
às quais a
distribuição normal padrão
não se adéqua. É pela presença dessas regiões que
se faz necessário o uso da estatística não-extensiva, onde o melhor ajuste é feito pela
q-Gaussiana.
Essas regiões caracterizam valores para
q
que fogem dos regimes extensivos
(q > 1), inviabilizando a estatística usual de Boltzmann-Gibbs para melhor descrever o
fenômeno.
Os valores dos σ e
q
de cada distribuição, obtidos através da função q-Gaussiana de
Tsallis, estão agrupados na tabela 4.1.
Pelas distribuições mostradas nas guras de (4.1) à (4.9), podemos inferir que elas
se aproximam de distribuições Gaussianas, havendo assimetria em todas, sendo mais
evidente para a componente V. A normalização da PDF ajuda a vericar a presença
de caldas assimétricas, o que poderia exigir uma função q-Gaussiana modicada, ou qGaussiana assimétrica, como a proposta por Burlaga & Viñas[193], mas os melhores
ajustes e valores mais adequados para o índice entrópico foram dados pela q-Gaussiana
padrão proposta por Tsallis.
Aparentemente, nenhuma das guras expõe pers de
distribuições puramente Gaussianos, o que se contrapõe com alguns trabalhos anteriores,
56
Figura 4.7: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente U
das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
por exemplo, Nordström et al.[47] e Holmberg et al.[48, 49], que descrevem pers
puramente Gaussianos para componente W da velocidade para todas as estrelas F e
G.
Tabela 4.1:
Valores para os índices entrópicos (qU , qV , qw ) para cada uma das
distribuições de velocidade espacial, além das dispersões das velocidades (σU , σV , e σW )
para todas as estrelas e estrelas F e G, em separado. Os valores destas variáveis foram
obtidos pela função do ajuste q-Gaussiano dada pela equação 4.1.
qU
Todas as estrelas
Estrelas F
Estrelas G
1.023
1.108
1.07
qV
qW
1.406
1.086
1.565
1.20
1.092
1.432
σU
σV
σW
xU
xV
xW
−1
[km s ] 46.35
39.58
53.26
57
20.03
23.24
23.07
21.43
17.74
17.66
-13.27
-11.54
-9.86
-15.70
-13.66
-14.75
-6.16
-7.244
-5.23
Figura 4.8: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente V
das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
Figura 4.9: Esquerda: Histograma da distribuição de velocidade para a componente W
das estrelas do tipo G single com ajuste da função Kernel. Direita: Dados ajustados
pela função Kernel (círculos) com ajuste q-Gaussiano (linha azul).
58
4.2.3 Razão Dados empíricos/Curva de ajuste
As guras (4.10), (4.11) e (4.12) são os resultados da razão entre os dados empíricos
obtidos utilizando a distribuição Kernel e a curva de ajuste teórica dada pela q-Gaussiana.
Essas guras representam o resíduo de nossas distribuições e revelam quanto o ajuste
teórico se afasta dos dados empíricos, evidenciando em quais pontos a curva melhor se
ajustou. Quanto mais o ajuste teórico se aproxima dos dados reais, mais próxima de 1
será a razão. Essa relação ca bem clara ao observarmos a gura (4.10), onde quase toda
a distribuição ca próxima de 1, para as componentes U e W da velocidade para todas
as estrelas, na região entre -100 e 100 kms−1 , e menos evidente para a velocidade V. As
regiões nas extremidades fora desse intervalo possuem picos, evidenciando as regiões de
calda das distribuições e onde os ajustes não são tão precisos.
Figura 4.10: Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) de todas as estrelas
F e G single.
A gura (4.11) mostra os grácos para as estrelas F
single.
Para a componente U,
os valores do resíduo estão bem próximos de 1, variando entre 0.5 e 1.5 para quase
59
toda a amostra, entre -100 e 100 kms−1 , que corresponde a 3σ da distribuição. Para a
componente V, os valores das regiões de calda são bem extrapolados. Em W, observa-se
uma discrepância alta para região acima de 50 kms−1 , estando a distribuição com valores
próximos de 1 na faixa entre -50 e 50 kms−1 (região que representa 2σ da distribuição).
Figura 4.11: Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) das estrelas do tipo
F single.
Por último, temos a análise residual dos dados das estrelas G
single.
Nessas estrelas
observam-se comportamentos mais excêntricos para o resíduo. Os valores residuais estão
bem próximos de 1 em todas as componentes U, V e W da velocidade estelar, apresentando
pers que se assemelham a oscilações. Esse comportamento pode ser observado facilmente
no primeiro painel da gura (4.12), onde um regime oscilatório está bem evidente para a
componente U. Nos outros painéis, para V e W, essas oscilações também estão presentes,
todas com valores próximos de 1.
Essas oscilações são amplamente conhecidas em diversas áreas da Física, da Geológia
e da Economia, conhecidas como
oscilações log-periódicas.
Elas têm sido encontradas em
estudos de terremotos[195, 196], em probabilidade de fuga em mapas caóticos próximos
60
Figura 4.12: Curvas de resíduo obtidas a partir da razão entre os dados empíricos e o
ajuste da função q-Gaussiana para as velocidades espaciais (U, V, W) das estrelas do tipo
G single.
a ponto crítico[197], em difusões anomalas em estudos de sistemas randômicos[198, 199,
200], em processos cinemáticos e dinâmicos em aquecimentos randômicos e informação
fractal[201, 202, 203], em calor especíco associado a sistemas autossimilares[204] ou
espectro fractal[205], em
clusters
limitados ou difusões agregadas[206], em modelos de
grupo[207], mercado de ações perto de crises nanceiras[206, 208, 209, 210], entre outros.
Todos esses casos foram obtidos utilizando leis de potências básicas, livres de escalas que
regulam seus comportamentos. Em contrapartida, nos trabalhos recentes de De Moura
et al., [211], que analisam a dinâmica de convergência de mapas de z-logística, e de Wilk
& Wldorczyk [212], que se voltam à ocorrência de capacidade térmica complexa, à noção
de probabilidade complexa e ao ruído multiplicativo complexo, utiliza-se um contexto
da mecânica estatística não-extensiva. Wilk & Wldorczyk, utilizando dados do LHC,
CERN, CMS, ATLAS e ALICE, encontraram oscilações para as distribuições de Tsallis.
Nossos resultados dos resíduos para as estrelas G
single
seguem um perl semelhante aos
obtidos por Wilk & Wldorczyk [212], embora não tenhamos conseguido encontrar uma
61
implicação Física que origine essas oscilações.
4.3
Segregação da amostra por idade
Além da segregação por tipo espectral, F e G, a amostra foi dividida em intervalos
de idade de 1
Giga-ano.
As quantidades de estrelas por faixa de idade estão expostos
na tabela (4.2). Essas novas subamostras separadas por idade forneceram dados para
q
e σ através de novas distribuições de velocidade, que foram de suma importância na
compreensão da ação de mecanismos que afetam a dinâmica do Disco Galático, alterando
o comportamento da velocidade espacial (U, V, W).
Para cada umas dessas subamostras separadas por idade, novos valores para
foram abtidos. A técnica
bootstrap
q
e σ
foi utilizada para que houvesse melhor tratamento
para os resultados. A gura (4.13) fornece o ajuste via
bootstrap
segregado por idade
para todas as estrelas F e G.
Figura 4.13: Ajuste da função Kernel (círculos) com o ajuste q -Gaussiano (linha azul)
para cada faixa de idade das componentes U, V e W, via bootstrap.
O método
bootstrap
consiste em uma técnica de reamostragem bastante utilizada em
diversas situações estatísticas. Nele, um conjunto de novas amostras é obtido através
da amostra original[213]. Empregamos esse método para que houvesse conabilidade em
62
Tabela 4.2: Quantidade de estrelas F e G
Idade
(Giga-ano)
single
por faixa de idade.
Número de estrelas
F
single
0−1
1−2
2−3
3−4
4−5
5−6
6−7
7−8
8−9
9 − 10
G
single
103
970
1592
622
226
162
80
52
20
09
165
120
354
333
245
241
254
245
208
105
nossos dados e para que qualquer análise tendenciosa fosse eliminada de nossos resultados.
Logo, a reamostragem via
bootstrap
nos oferece resultados conáveis a respeito dos pers
de nossas distribuições, eliminando qualquer viés provocado pelo baixo número de estrelas
em algumas faixas de idade, por exemplo, as estrelas F com idade entre 9 e 10
anos
Giga-
que possue apenas 09 estrelas, como pode ser vericado na tabela (4.2). Para
eliminar qualquer comportamento provocado pela baixa quantidade de dados, o bootstrap
gerou 1000 valores para cada uma das faixas de idade, sendo que estas novas amostras
possuem pers estatísticos semelhantes aos das amostras originais. Assim, esse método
de reamostragem fornece estimativas mais conáveis sobre o uso da estatística de Tsallis
para a análise do comportamento das estrelas na vizinhança solar e, inferindo, assim,
resultados mais claros de como o aquecimento do disco galáctico pode ocorrer.
É visível na tabela (4.2) que a distribuição das estrelas G em cada faixa de idade é
mais uniforme, tendo em cada idade um número considerável de dados.
4.3.1 Relação entre σ e a idade
Nordströn el al. [47] e Holmberg et al. [48, 49] discutem a difusão das componentes
(U, V, W) da velocidade através da dispersão de σ com a idade. Utiliza-se, para tanto,
um ajuste de lei de potências dada pela equação (1.5)[147]:
1/p
σ1 (t) = (σ0
+ Ct)p .
Esse ajuste forneceu os expoentes que estão colocados na tabela (4.3). Segundo os
autores, os valores dos σ para U, V, W e total representam a evolução das velocidades
63
ao longo da idade, sendo caracterizados pelo aumento suave nas proporções entre σV /σU
e um maior aumento da proporção σW /σU . A gura (3.4) do capítulo anterior ilustra a
dispersão dos σU , σV , σW e σtotal com a idade. O σtotal é calculado por:
σtotal
q
2
= σU2 + σV2 + σW
(4.1)
Igualando a equação (4.1) com a equação (2.31), que é a exponencial de Tsallis,
podemos encontrar o expoente p em função de q , dado por:
1/p
(σ0
+ Ct)p σ(t)] = σ0 [1 + (q − 1)(t/τ )](1/q−1)
p=
1
.
q−1
(4.2)
e
τ = (q − 1)
σ0 1/p
.
C
(4.3)
onde τ representa um tempo característico.
O gráco presente na gura (3.4) mostra inclinações suaves para a distribuição de σU
e σV , enquanto para σW há uma inclinação mais acentuada.
Nas guras (4.14) e (4.15) estão os valores dos σ encontrados para nossas distribuições
em função da idade e as curvas dadas por uma q-exponencial. É bem claro que, para as
estrelas anãs do tipo F, o ajuste utilizando a exponencial de Tsallis se adéqua bem ao
comportamento da distribuição, sendo que, para σU e σV , ocorre um crescimento bem
suave. Já para σW , observa-se um aumento suave até ∼ 7
Giga-anos,
e, após essa idade,
tem-se um aumento mais abrupto. Os valores de σW que estão mostrados na gura(4.14)
estão em concordância com os valores encontrados na literatura. Outra consideração é
de que nossos sigmas são dados em função do índice entrópico q .
Para as estrelas do tipo G, como pode ser observado na gura (4.15), o ajuste da
curva tem um perl bem suave para todas as idades para todos os σ , onde é vericado
que para σW o comportamento se assemelha ao de uma reta.
64
1 0 0
s t e l l a r v e l o c i t y d i s p e r s i o n ( σ) ( k m / s )
σt o
ta l
σU
8 0
6 0
σW = 0 . 3 9 σt o
ta l
4 0
2 0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
A g e (G y r)
Figura 4.14: Dispersão da velocidade em função da idade para estrelas do tipo F. A linha
em vermelho é o ajuste q-exponencial.
s t e l l a r v e l o c i t y d i s p e r s i o n ( σ) (k m / s )
1 0 0
σt o
8 0
6 0
ta l
σU
4 0
σW = 0 . 3 6 s
2 0
to ta l
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
A g e (G y r)
Figura 4.15: Dispersão da velocidade em função da idade para estrelas do tipo G. A linha
em vermelho é o ajuste q-exponencial.
65
4.3.2 Relação entre o indíce entrópico q e a idade
As guras (4.16) e (4.17) são referentes aos valores dos índices entrópicos para cada
faixa de idade, onde a linha preta representa o valor mediano de
e a faixa em cinza
q
representa os valores de máximo e mínimo, considerando o nível de conança de 95%,
obtido através do
bootstrap.
os valores obtidos pelo
Os painéis à esquerda são os valores originais de q, enquanto
bootstrap
estão nos painéis da direita. Nas guras (4.16) e (4.17)
estão os valores para as estrelas F e G, em separado, respectivamente.
3.2
2.8
2.6
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
U (F stars)
3.0
2.8
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
3.2
U (F stars)
3.0
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0
2
4
6
8
0.6
10
0
2
4
Age
2.0
1.7
1.7
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
1.8
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.6
0
2
4
6
8
0.5
10
0
2
4
Age (Gyr)
1.6
6
8
10
Age (Gyr)
1.6
W (Fstars)
1.5
W (F stars)
1.5
1.4
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
10
V (F stars)
1.9
1.8
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
8
2.0
V (F stars)
1.9
0.5
6
Age (gyr)
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0
2
4
6
8
0.6
10
0
2
Age (Gyr)
4
6
8
10
Age (Gyr)
Figura 4.16: Comportamento do índice entrópico q-original e
as estrelas F single.
66
q-bootstrap
pela idade para
Tabela 4.3: Valores para os índices entrópicos q-original e q-bootstrap para as estrelas do
tipo F da amostra, separadas por faixa de idade e componentes U, V e W.
Idade
Estrelas tipo F
(Giga-ano)
qU
qV
qW
qU bs
qV bs
qW bs
0−1
1−2
2−3
3−4
4−5
5−6
6−7
7−8
8−9
9 − 10
1.068
0.859
1.001
1.095
1.434
0.941
0.705
0.980
2.461
-
1.199
1.406
0.976
0.829
1.012
1.111
1.158
1.731
0.941
-
0.865
0.925
0.939
1.037
1.193
1.391
0.927
0.725
1.310
-
0.693
1.022
1.123
1.270
0.993
1.020
1.244
1.691
0.780
-
1.326
1.070
1.079
1.124
1.198
1.183
1.599
1.473
0.734
-
1.034
1.097
1.168
1.064
1.305
0.881
0.751
0.884
0.946
-
A tabela (4.3) contém os valores para os q-originais e
Na faixa de idade entre 9 e 10
Giga-anos,
os valores para
q
q-bootstrap
para as estrelas F.
não foram computados, posto
que não obedeçam às condições iniciais aplicadas pelo programa
bootstrap,
que impõe ser
necessário um número mínimo de 20 dados para que possa ocorrer a reamostragem. Como
este intervalo apresenta apenas nove dados, esses foram desprezados pelo programa.
Podemos observar que o comportamento do índice entrópico é bem semelhante tanto
para a dispersão de q original quanto para a amostra bootstrap. Sendo que, para faixas de
idade com número reduzido de dados, o valor proveniente da reamostragem tende a uma
redução de
bias
que possam interferir na distribuição, como mostrado na tabela (4.2).
Na tabela (4.4) estão os valores de
bootstrap
q
para a amostra original e para a reamostragem
das estrelas G. Mesmo as estrelas F estando em maior número, os dados para
cada faixa de idade para as estrelas G é bem mais homogêneo, vericando que há um
número considerável para cada faixa de idade.
Na gura (4.17) estão as distribuições do índice entrópico das estrelas G pela idade
onde pode ser vericada uma redução na dispersão dos valores.
O índice entrópico
q
mede o quão a distribuição se afasta da gaussianidade padrão.
Temos que, para todas as estrelas F e G, nenhuma das componentes tende a uma
curva Gaussiana usual. Os
q
encontrados e sua evolução no tempo não apresentam um
comportamento crescente ou decrescente, mas aparentemente oscilatório, podendo estar
associado a transições de fase com o passar do tempo, mais evidente nas esrelas G.
67
1.4
U (G stars)
1.3
1.3
1.2
1.2
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
1.4
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
U (G stars)
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0
2
4
6
8
0.6
10
0
2
4
Age ( Gyr)
2.3
2.0
1.9
1.9
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
2.1
2.0
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.8
0
2
4
6
8
0.7
10
0
2
4
Age (Gyr)
6
8
1.9
W (G stars)
1.8
10
Age (Gyr)
1.9
W(G stars)
1.8
1.7
1.7
Entropic index (q bootstrap)
Entropic index (q no bootstrap)
10
V (G stars)
2.2
2.1
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
8
2.3
V (G stars)
2.2
0.7
6
Age (Gyr
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0
2
4
6
8
0.9
10
0
2
Age (Gyr)
4
6
8
10
Age (Gyr)
Figura 4.17: Comportamento do índice entrópico q-original e
as estrelas G single.
q-bootstrap
pela idade para
Pensando nos processos de aquecimento do disco galáctico, a suposição de que esse
aquecimento tem uma natureza não-aleatória no plano U-V, e tendo em vista que
estudos apontam a interferência de mecanismos que atuam modicando sua cinemática,
queremos acrescentar que, para a componente W da velocidade espacial, pode existir
a presença de mecanismos que produzam um aquecimento não-puro. Na literatura, a
dispersão da velocidade em W é considerada como sendo proveniente da aleatoriedade,
onde não há a presença de estruturas que possam interferir na sua difusão; em outras
palavras, a aleatoriedade domina todo o processo de difusão em W. Em nosso trabalho,
68
Tabela 4.4: Valores para os índices entrópicos q-original e q-bootstrap para as estrelas do
tipo G da amostra, separadas por faixa de idade e componentes U, V e W.
Idade
Estrelas tipo G
(Giga-ano)
qU
qV
qW
qU bs
qV bs
qW bs
0−1
1−2
2−3
3−4
4−5
5−6
6−7
7−8
8−9
9 − 10
0.885
0.883
1,189
1.165
0.721
0.966
0.979
1.214
0.938
1.094
1.079
2.042
1.343
1.506
1.169
1.654
1.005
1.617
1.178
1.157
1,330
1.341
1.121
1.415
1.275
1.716
1.360
1.127
1.260
1.380
1.232
0.992
0.992
0.843
1.096
1.003
1.008
1.061
0.941
1.068
1.395
1.771
1.565
1.702
1.460
1.494
1.824
1.875
1.400
1.464
1.264
1.267
1.682
1.401
1.287
1.456
1.495
1.400
1.116
1.455
é vericado que há uma certa discordância com as pesquisas que sugerem essa tendência
de aquecimento puro.
Utilizando um processo que foi chamado de desvio de mecanismos randômicos (DMR),
que seria, na verdade, uma medida da inuência cinemática aleatória no processo de
aquecimento do disco galáctico como função do índice entrópico q pela idade, nós usamos
como padrão de referência para designar esse desvio o termo (q − 1). Isso signica
que, para as componentes W, essa diferença deveria ser próxima de 0 (zero) para cada
intervalo de idade, como armam Nordström et al. [47] e Holmberg et al. [48, 49]. As
guras (4.18) e (4.19) apresentam as distribuições de (q − 1) pela idade para as estrelas
F e G. Essas distribuições sugerem o quanto as velocidades (U, V, W) são inuenciadas
por mecanismos de difusão não-aleatórios, onde valores de
q
próximos de 1 representam
o quão randômica é a distribuição. Ou seja, para movimentos regidos pela aleatoriedade,
temos comportamento de (q − 1) bem próximos de zero.
Na gura (4.18) observa-se que os valores para as componentes U, V e W estão bem
próximos de 0 até a idade de ∼ 3
Giga-ano,
havendo, então, um afastamento dos valores
para idades superiores.
Na gura (4.19) também está bem explícito como o comportamento das componentes
estão bem longe de um equilíbrio próximo de zero. Para as estrelas G, há um forte indício
que sugere que a aleatoriedade não governa nenhuma das componentes da velocidade
espacial em qualquer faixa de idade, sendo o processo de difusão totalmente nãorandômico para toda a vida do disco Galáctico.
Esse fato evidencia o quanto as distribuições da componente W da velocidade estelar
se afastam do equilíbrio gaussiano.
Logo, pode ser observado que, para todas as
componentes da velocidade espacial, existe um desvio, que sugere movimentos não69
Figura 4.18: Medida de desvio de mecânismos randômicos (q − 1) de U, V e W para
estrelas do tipo F.
aleatórios, o que contrasta com os resultados de Nordströn et al.[47] e Holmberg et
al.[48, 49], por exemplo.
Esses autores armam que o movimento W é puramente
aleatório, o que seria explicado pelo perl gaussiano da distribuição; no entanto, pode ser
observado que a velocidade W segue uma dispersão característica, encontrada tanto na
componente U quanto na V, o que foge de uma curva Gaussiana padrão.
Sabe-se que muitos são os mecanismos que atuam no plano U-V modicando a
velocidade e causando sua dispersão, mas pouco se sabe sobre como o incremento
da dispersão da velocidade na componente W acontece.
Não podemos deixar de
fora da discussão a existência de mecanismos não-aleatórios que atuam modicando o
comportamento de W. É visível, ao analisar as guras (4.18) e (4.19), que a difusão
na componente W da velocidade não pode ser atribuída somente aos processos nãorandômicos, ou à aleatoriedade, sendo que os efeitos de aquecimento puro estão
presentes apenas numa estreita faixa de idade.
É nesse cenário que colocamos que
os comportamento experimentados por todas as componentes da velocidade espacial
70
Figura 4.19: Medida de desvio de mecânismos randômicos (q − 1) de U, V e W para
estrelas do tipo G.
obedecem a uma difusão anômala à medida que a idade aumenta, não havendo para
nenhuma dessas componentes processos de aquecimento aleatório.
71
Capítulo 5
Conclusões e Perspectivas
5.1
Conclusões
A função de distribuição q -Gaussiana baseada no formalismo estatístico desenvolvido
por Tsallis tem se mostrado bastante eciente em descrever inúmeros fenômenos
recorrentes na natureza onde há um alto grau de interação e complexidade. O teorema
do limite central q -generalizado dá o suporte necessário para a interpretação de o porquê
desses fenômenos serem descritos por distribuições q -Gaussianas, ampliando o aparato
teórico que justique o uso das generalizações das FDP.
O índice entrópico q é o termo que controla o comportamento das distribuições q Gaussianas e q -dispersões, σq , onde q = 1 representa distribuições onde despreza-se
qualquer interação, havendo um regime totalmente extensivo; ou seja, para q = 1, temos
distribuições totalmente aleatórias.
O intuito de nosso trabalho foi investigar o quão a aleatoriedade pode governar a
dispersão de velocidade das componentes (U, V, W), em especial para W. Para isso
utilizamos uma amostra com pouco mais de 6166 estrelas divididas entre F e G
single
que ocupam posições na vizinhança solar.
Primeiramente, em nossas análises, pudemos observar que há o incremento das
dispersões das velocidades com a idade. É notável que ocorre um crescimento suave para
as componentes U e V, das estrelas F, em todas as faixas de idade. A componente W
apresenta um comportamento suave até uma idade aproximada de 7
Giga-anos,
havendo
um crescimento mais acentuado após essa idade. Para as estrelas G, o aumento da
dispersão nas componentes da velocidades (U, V, W) acontece de forma suave em todas
as idades. Estes resultados estão de acordo com os encontrados na literatura, onde os
valores para a razão σW /σT foram de 0,39, para as estrelas F, e 0,36, para as estrelas G
− sendo estes valores inferiores aos encontrados por alguns autores.
A técnica boostrap foi utilizada para que não ocorresse algum resultado inuenciado
72
por qualquer tendência provocada por baixo número de dados em qualquer faixa de idade.
Observamos que, mesmo depois da técnica de reamostragem, o comportamento de q com a
idade enfrenta regimes de subextensividade (q < 1) e superextensividade (q > 1) ao longo
de toda a história evolutiva das estrelas F e G, não podendo ser encontrado um regime de
crescimento ou decaimento suave com a idade, mas sim algo que se assemelha a transições
entre esses dois comportamentos para o índice entrópico sem saturação, caracterizando o
quanto o sistema se encontra fora da extensividade.
As investigações dos resíduos revelaram oscilações log-periódicas,
apresentando q imaginários.
algumas
Este fato era previsto pela Mecânica Estatística não-
extensiva, sendo esses efeitos já observados em alguns outros estudos.
Ainda não
encontramos qualquer interpretação física que justique o aparecimentos destas oscilações
em nossas análises.
Por último, temos que, pela medida dos desvios randômicos (q−1), durante quase toda
a vida das estrelas há a presença de mecanismos que afetam as dispersões das velocidades
(U, V, W), discordando de resultados na literatura que apontam um aquecimento
totalmente puro, ou aleatório, para a componente W da velocidade. É notável que, para
estrelas do tipo F, somente uma região próxima de 3 Giga-anos parece ser dominada pela
aleatoriedade para as três componentes. Este resultado tem bastante importância, pois
revela que a componente W não aquece de forma aleatória, como previsto por trabalhos
anteriores que atribuíam a esta componente uma evolução totalmente governada pelo
aleatoriedade. Não podemos inferir quais mecanismos atuam sobre a componente W,
mas podemos armar que, pelo grau de interação que existe entre as componentes da
velocidade espacial, não podemos desconsiderar qualquer inuência que algum mecanismo
que atue modicando as velocidades U e V possa ter sobre W. O grau de mistura do
sistema revela o quão as componentes estão correlacionadas.
5.2
Perspectivas
Trabalhos futuros podem tratar com maior profundidade alguns pontos relevantes que
foram levantados. Desta forma, temos como perspectivas:
• Ampliar o número de estrelas da amostra, utilizando outros catálogos, para vericar
se o comportamento não-aleatório para todas as componentes se mantém;
• Utilizar estrelas com outros tipos espectrais e tentar observar se há comportamento
similar aos que foram encontrados neste trabalho;
• Investigar as possíveis causas da dispersão na componente W, e quais mecanismos
são responsáveis pelo aquecimento nesta componente;
73
• Buscar interpretações possíveis para os valores imaginários de q e quais são as
implicações físicas destes resultados;
• Realizar estudos do comportamento das estrelas F e G utilizando distribuições à
partir da energia cinética;
• Realizar um amplo estudo em estrelas do tipo O e B, por considerar que estas
estrelas ainda não enfrentaram mudanças evolutivas rotacionais importantes, o
que por sua vez, estão na sua maioria localizadas nos ambientes em que foram
recentemente formadas e, por consequência, são bons marcadores de estruturas
jovens.
74
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