Razões

Propaganda
Frações e Números Decimais
Definição de fração
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os
números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma
linha horizontal ou traço de fração.
NUMERADOR
DENOMINADOR
onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito
sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este
número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
1
4
Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou
mesmo como 1/4, considerada mais comum.
1/4
1/4
1/4
1/4
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura
anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.
A fração como uma classe de equivalência
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração
dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos
tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será
denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o
conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:
C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo
é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
1/10, 3/100, 23/100, 1/1000
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem
uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
1
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
= 1,27
100
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a
fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100+27 100 27
=
=
+
= 1+0,27 = 1,27
100
100
100 100
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui
observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o
denominador da fração.
Dízima periódica
Uma dízima periódica é um número real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual
usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o
período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita, usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
0,3333333... = 0,3
1,6666666... = 1,6
12,121212... = 12,12
0,9999999... = 0,9
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns
exemplos são:
1) 0,333333... = 0,(3) = 0,3
2) 3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o
período. Por exemplo:
1) 0,83333333... = 0,83
2) 0,72535353... = 0,7253
Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:
1) 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
2) 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
Operações Com Números Decimais
Adição
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.
2
Exemplos:
1,28 + 2,6 + 0,038
35,4 + 0,75 + 47
6,14 + 1,8 + 0,007
Subtração
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada
com as demais.
Exemplos:
3,97 - 2,013
17,2 - 5,146
9 - 0,987
Multiplicação
Método prático
Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula
no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos
números de casas decimais dos fatores.
Exemplos:
3,49 · 2,5
1,842 · 0,013
Observação:
1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático
da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas
decimais do fator decimal. Exemplo:
5 · 0,423 = 2,115
2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a
direita uma, duas, três, ..., casas decimais.
3
Exemplos:
Divisão
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Suprimimos as vírgulas;
3º) Efetuamos a divisão.
Exemplos:
1,4 : 0,05
1,40 :
Igualamos as casa decimais:
Suprimindo as vírgulas:
140 :
0,05
5
Efetuado a divisão
Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.
6 : 0,015
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas
6,000
6.000
:
:
0,015
15
Efetuando a divisão
Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.
Efetuando a divisão
4,096 : 1,6
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas
4,096 : 1,600
4.096 : 1.600
Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades.
Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos
décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896
unidades corresponde a 8.960 décimos.
4
Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma
vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.
O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.
Equações do primeiro grau em 1 variável
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a
balança:
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com
"pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a
equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil
e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.
Podemos ver que toda equação tem:




Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou
incógnitas;
Um sinal de igualdade, denotado por =.
Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da
esquerda;
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
5
A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o
prefixo equa que provém do Latim e significa igual.
2x+2
=
14
1o. membro
sinal de igualdade
2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação. Para
resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14
Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12
x=6
Dividimos por 2 os dois membros
Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da
equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os
membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos
permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplo:
Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de
cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Tomaremos a área de cada
dormitório com letra x.
Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B,
denotada por:
A
Dizemos que A está para B.
B
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 pois:
12
=4
3
e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
3
= 0,5
6
6
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema
de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A
litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco
concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem
unidade):
A
ou A : B
B
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
Líquido Situação1 Situação2
Suco puro
3
6
Água
8
16
Suco pronto
11
22
Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11
litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24
litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele
acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos,
o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
10 : 20 = 1 : 2 = 0,5
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
A
C
=
B
D
A proporção acima será lida da seguinte forma: (A está para B assim como C está para D).
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção, os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são
os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
meios
A
C
=
B
ou
A : B = C : D
A.D=B.C
D
extremos
7
Exemplo 1: Verifique se a fração 3/4 está em proporção com 6/8.
Exemplo 2: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
Porcentagem
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas
relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer
por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da
palavra cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por
80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um
número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com
número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.
2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e
venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser
expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
4X = 300
4X/100 = 3
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
8
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados
da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser
representado por:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se
paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço
que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
92.X / 100 = 690
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.
Regra de Três Simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores
dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo
na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, é possível captar energia solar para
produzir 0,4 Kwh de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
1,2
1,5
Energia (KWh)
0,4
x
9
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que:
Aumentando a área de absorção,
a energia solar
aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo)
na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias.
Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo
trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia
8
5
Prazo para término (dias)
20
x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
10
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
2) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3
pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se
flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Potenciação
Potencia é um produto de fatores iguais. Observe o exemplo abaixo e os termos da potenciação:
Expoente
Base
35 = 243
Potência
35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
5 fatores iguais a base
O expoente indica quantas vezes devemos repetir a base, como fatores iguais.
Casos particulares:
1) Qualquer número real elevado ao expoente um é igual à própria base.
Exemplos:
a) 21 = 2
b) 31 = 3
c) (0,4)1 = 0,4
2) Qualquer número real não nulo elevado a zero é igual a um.
Exemplos:
a) 20 = 1
b) 30 = 1
c) (0,4)0 = 1
11
3) Potência de base zero e expoente não nulo é igual a zero.
Exemplos:
a) 01 = 0
b) 02 = 0
c) 03 = 0
4) Potência de base um é sempre igual a 1.
Exemplos:
a) 15 = 1
b) 126 = 1
c) 167 = 1
5) Potência de base 10 é igual ao algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as
unidades do expoente.
Exemplos:
a) 100 = 1
b) 101 = 10
c) 102 = 100
d) 103 = 1000
e) 104 = 10000
Propriedades
1ª) Multiplicação de potências de mesma base
an . am = an + m
No produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Exemplos:
a) 105 . 108 = 105 + 8 = 1013
b) (½)5 . (½)2 . (½)3 = (½)5 + 2 + 3 = (½)10
2ª) Divisão de potências de mesma base
an : am = an - m
No quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Exemplos:
a) 59 : 56 = 59 – 6 = 53
b) (¾)8 : (¾)3 = (¾)8 – 3 = (¾)5
3ª) Potência de uma Potência
(am)n = am . n
Numa Potência de uma Potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Exemplos:
a) (104)3 = 104 . 3 = 1012
b) [(¼)2]5 = (¼)2 . 5 = (¼)10
4ª) Propriedade distributiva da potenciação em relação a multiplicação e a divisão
(a . b)n = an . bn
a
n
an
=
b
bn
Podemos escrever a potência de um produto como um produto de potências onde cada fator
é elevado ao expoente dado.
A potência de um quociente também pode ser escrito como uma divisão de potências onde
cada termo é elevado ao expoente dado.
Exemplos:
a) (3 . 7)10 = 310 . 710
b) (2 / 3)5 = 25 / 35
12
Notação Científica
O ato de medir faz parte de nosso dia-a-dia. Por comparação com um padrão convenientemente
estabelecido, nós medimos, por exemplo, quanto um objeto é comprido, quente, veloz etc.
Grandeza e tudo aquilo que podemos comparar com um padrão, efetuando uma medida.
Ao efetuar a medida de uma determinada grandeza, podemos obter um número que eventualmente
seja extremamente grande ou extremamente pequeno. Como exemplos, citamos a distancia da Terra
a Lua, 384.000.000 km, e o diâmetro de um átomo de hidrogênio, da ordem de 0,0000000001 m.
Para manipular tais números, utilizamos a notação científica, fazendo uso das potências de 10.
Regra prática
1º caso: Números maiores do que 1
Deslocamos a virgula para a esquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero. O numero de
casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de 10.
Exemplos:
a) 2.000.000 =
b) 547.800.000 =
2º caso: Números menores do que 1
Deslocamos a virgula para a direita, ate o primeiro algarismo diferente de zero. O número de
casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10.
Exemplos:
a) 0,0034 =
b) 0,0000000000517 =
Importante

A notação cientifica exige que o número real que multiplica a potência de 10 esteja
compreendido entre 1 e 10.

Assim, o numero 25 x 104 deve ser escrito corretamente como 2,5 x 105. O mesmo acontece
com o numero 84 x 10-3, que deve ser escrito como 8,4 x 10-2.
Radiciação
Sendo a e b números reais e n um número natural maior que 1, temos por definição que:
n
___
√a = b
bn = a
Onde: n é o índice do radical
a é o radicando
b é a raiz
13
Observação:
Quando o índice é igual a 2, usualmente não se escreve.
__
2 __
Então, √ 9 = √ 9
Para calcular a raiz de um número real devemos considerar dois casos:
1º) Índice par
Se n é par, todo número real positivo tem duas raízes.
Veja:
(- 7)2 = 49

___
√ 49 = ± 7
(+ 7)2 = 49
Não existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.
2º) Índice ímpar
Se n é ímpar, cada número real tem apenas uma raiz.
Exemplos
3
__
a) √ 8 = 2 porque 23 = 8
5 ___
b) √ -32 = -2 porque (-2)5 = -32
3 ___
c) √ -27 = -3 porque (-3)3 = -27
7 __
d) √ 1 = 1 porque 17 = 1
Determinando a raiz exata
Nem todo número real tem raiz exata. Para verificar se um número possui raiz exata e calculá-la,
devemos proceder da seguinte forma:
Decompomos o radicando em um produto de fatores primos, verificamos se os expoentes desses
fatores são múltiplos do índice n e em seguida dividimos os expoentes pelo índice, extraindo os
fatores do radical.
Exemplos:
Determine o valor de:
____
a) √400
400
200
100
50
25
5
1
2
2
2
2
5
5
____
400 = 24 . 52
_____
√400 = √24 . 52 = 22 . 5 = 4 . 5 = 20
14
3 ____
b) √3375
3375
1125
375
125
25
5
1
3
3
3
5
5
5
____
3 _____
√3375 = √33 . 53 = 3 . 5 = 15
3
3375 = 33 . 53
5 ____
c) √1024
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
____
5 ___
√1024 = √210 = 22 = 4
5
10
1024 = 2
Observação:
Quando o expoente dos fatores, em que o número foi decomposto, não for divisível pelo índice do
radical, podemos concluir que a raiz não é exata, podendo ser apresentada na forma simplificada,
retirando-se fatores do radical.
Exemplos:
___
a) √500
500
250
125
25
5
1
2
2
5
5
5
500 = 22 . 52 . 5
___
_______
__
__
√500 = √22 . 52 . 5 = 2 . 5 √ 5 = 10√ 5
3 _____
b) √13500
13500
6750
3375
1125
375
125
25
5
1
2
2
3
3
3
5
5
5
_____
3 ________
3 __
3 __
√13500 = √22 . 33 . 53 = 3 . 5√22 = 15√ 4
3
13500 = 22 . 33 . 53
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