Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 1 Instituto
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Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Instituto de Física - UFRJ Curso de Física Médica Conceitos de Mecânica Quântica Professor Antônio Carlos F. dos Santos ([email protected]) Bibliografia: Griffits D. J. ,Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall (1995). Programa: Parte 1 (tópicos para a P1- aula 1 até aula 10) [1] -A função de onda (capítulo 1); [2]- A Equação de Schrodinger (capitulo 2); Parte 2 (tópicos para a P2- aula 11 até aula 20) [3]- Formalismo (capítulo 3); Parte 3 (tópicos para a P3- aula 21 até aula 28 ) [4]-Mecânica Quântica em três dimensões (capítulo 4); [5]- Partículas idênticas (capítulo 5); Avaliação: 3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (Li), onde Li é a média entre as 75% maiores notas daquele período correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada prova será atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni = 0,7*Pi + 0,3*Li Cálculo da Média (M) e grau final (G) Presente às provas parciais: M = (N1 + N2 + N3)/3 Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então G = (M + E)/2 ; Ausente em uma das provas Fará o exame final obrigatóriamente. M será calculado como anteriormente, com E substituindo a nota da prova não realizada. Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então realizará a segunda chamada e G = (M + S)/2 ; Dicas para um bom aproveitamento desta disciplina: Assiduidade, pontualidade e disciplina para trabalhar nos exercícios propostos! 1 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 1 – Equação de Schrödinger , Interpretação Estatística, probabilidade, normalização Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere a seguinte distribuição proveniente de uma série de medidas da posição de uma partícula: Posição x (nm) Número de medidas 1 1 2 0 3 6 4 5 5 7 6 4 7 1 8 0 9 1 a) Calcule <x> b) Calcule <x2> c) Calcule <x>2 d) Calcule a variância σ2 e o desvio padrão: 2- Verdadeiro ou falso? a- A densidade de probabilidade não pode nunca ser negativa b- A função de estado ψ não pode nunca ser negativa c- Se z = z* (complexo conjugado), então z deve ser um número real. d- A função de onda ψ deve ser uma função real +∞ e- ∫ Ψdx = 1 −∞ 2 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 3- Considere uma partícula cuja função de onda normalizada é : 2α α xe −αx ψ ( x ) = 0 x>0 x<0 a- Esboce ψ(x). Para qual valor de x, P(x) = |ψ(x)|2 é máximo ? b- Calcule <x> c- Qual a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre x = 0 e x =1/α ? 3 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 2 – Momentum, principio da incerteza Nome:_______________________________________________________________________ 1– calcule <x>, <x2>, e ∆x, assim como <p>, <p2>, e ∆p para o sistema descrito pela função de 2 onda normalizada ψ ( x ) = Ae − x . Calcule também ∆x∆p. 4 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 3 – estados estacionários Nome:______________________________________________________________________ 1- Estado estacionário significa: a- A função de onda não depende do tempo; b- A densidade de probabilidade não depende do tempo; c- A partícula está em repouso; 2- O quê podemos dizer sobre o valor esperado da posição de uma partícula em um estado estacionário? a- <x> = 0 b- <x> não depende do tempo; c- ∆x = 0; 3- O quê podemos dizer a respeito de <p> para um estado estacionário? b- <p> = 0; b- <p> não depende do tempo; c-∆p = 0; 4- O quê podemos dizer a respeito da energia de um estado estacionário? a- ∆E = 0; b- <E> = 0; c- Não é bem definida; 5- Se duas funções de onda diferem por uma fase, ou seja, ψ1 = eiϕ ψ2, então: a- Ambas representam o mesmo estado; b- |ψ1|2 =ei2ϕ|ψ2|2; c- |ψ1|2 =-|ψ2|2; 6- Seja {ψi }, com i = 1, 2,..N o conjunto de soluções linearmente independentes da equação de Schroendinger para um sistema ( cada ψi representa um estado estacionáio) e {Ei} as respectivas energias de cada um destes estados estacionários. a- Escreva a solução geral da equação de Schroendiger para este sistema; b- Em um determinado instante, mede-se a energia do sistema e encontramos E3. Qual será a função de onda para o sistema logo após a medida? 5 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 4 – o poço de potencial infinito Nome:______________________________________________________________________ 1- Verdadeiro (V) ou falso (F) ? a- O estado fundamental de uma partícula em uma caixa possui número quântico n = 0. b- As funções de onda de estado estacionário de uma partícula confinada em uma caixa são descontínuas em certos pontos c- A primeira derivada dos estados estacionários de uma partícula em uma caixa é descontinua em certos pontos. d- A densidade de probabilidade para uma partícula em uma caixa é máxima no centro da caixa. e- Para o estado estacionário n=2 de uma partícula confinada em uma caixa, a probabilidade de encontrar a partícula no quarto à esquerda é igual a probabilidade de encontrar a partícula no quarto à direita. f- Para n=1, o estado estacionário de uma partícula em um caixa a probabilidade de encontrar a partícula no terço à esquerda é igual a probabilidade de encontrá-la no terço do meio da caixa. 2- (GRE) Os autoestados do Hamiltoniano de uma partícula de massa m em uma caixa de comprimento L são funções de onda φn (x) = [2/L]1/2sen(nπx/L) e energias En = (nπħ)2/2mL2, onde n = 1,2,3,...No instante t =0, a função da partícula era descrita por ψ=1/(14)1/2[φ1 +2φ2+3φ3]. Quais das seguintes opções é um resultado possível para uma medida da energia ? a- 2E1 b- 5E1 c-7E1 d-9E1 e-14E1 6 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 5 – O oscilador Harmônico I Nome:______________________________________________________________________ 1 –(ENADE 2008)- Do ponto de vista da Física Moderna, a respeito do espectro de energias do oscilador harmônico, são feitas as seguintes afirmações: I- O espectro de energia é contínuo; II- O espectro de energia é discreto: III- Em acordo com o principio da Correspondência de Bohr, para grandes números quânticos a separação de energias entre dois níveis consecutivos torna-se desprezível quando comparada com estas energias. Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmação(coes) a- I b- II c-III d-I e II e-II e III 2 - Escreva os operadores x e p em termos dos operadores de criação a+ e destruição a- 3- As autofunções do oscilador harmônico podem ser escritas como ψ n = An ( a + ) e n − mωx 2 2h . Obtenha ψo e ψ1 4- O estado fundamental do oscilador harmônico é dado por ϕ (x)= Ao exp(-mωx2/2ħ). +∞ Encontre Ao. Dica ∫ exp( − x 2 )dx = π −∞ 7 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 6 - O oscilador Harmônico II Nome:______________________________________________________________________ 1 – A equação diferencial de Hermite surge em vários problemas de física: y” -2xy’ +2ny = 0 com n= 0,1,2,3,.. e admite soluções na forma de polinômios, chamados de polinômios de Hermite, dados pela fórmula e Rodrigues H n ( x ) = ( −1) n e x 2 d n − x2 (e ). dx n Obtenha os primeiros polinômios: Ho (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x2 -2 , H3 (x) = 8x3 -12x. 2 2 - A função geratriz dos polinômios de Hermite é e 2 tx −t = ∞ H n ( x )t n . Expandindo o lado ∑ n! n =0 esquerdo da função geratriz e comparando a duas séries, obtenha Hn (x) (n=0,1,2, e 3). 8 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 3 - Derivando a função geratriz, prove que Hn’(x) = 2nHn-1 (x) 4 – Os polinômios de Hermite são mutualmente ortogonais em relaçõ a função peso exp(-x2), +∞ ou seja, ∫e −∞ − x2 0 ↔ (m ≠ n ) H m ( x ) H n ( x )dx = n .Utilize esta relação para mostrar 2 n! π ↔( m = n ) +∞ que ∫e −∞ +∞ −x2 H 2 ( x ) H 3 ( x )dx = 0 e ∫e − x2 | H m ( x ) |2 dx = 8 π . −∞ 9 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos +∞ 5 – Calcule 2 −x ∫ x e H n ( x )dx 2 −∞ ∞ 6 - Se 1 f ( x ) = ∑ Ak H K ( x ) , mostre que Ak = k 2 k! π k =0 +∞ ∫e −x2 f ( x ) H k ( x )dx (dica: −∞ multiplique ambos os lados por exp(-x2) Hn(x) e integre. 10 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 7 – Desenvolva x3 em série de polinômios de Hermite. 11 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 7 – A partícula livre Nome:______________________________________________________________________ 1- Para ondas em águas rasas, a relação entre a freqüência e o comprimento de onda é 2πT dado por ν = 3 ρλ 1/ 2 , onde T é a tensão superficial e ρ a densidade. Qual é a velocidade de grupo das ondas, e a sua relação com a velocidade de fase, definida como vfase=λν ? Para ondas de gravidade (águas profundas), a relação é dada por 1/ 2 g ν = 2πλ . Qual é a velocidade de grupo ? e a de fase ? +∞ 2- Considere um pacote de onda definido por f ( x ) = ∫ g ( k )e ikx dk , com g(k) dado por −∞ 0 g (k ) = N 0 k < −K / 2 − K /2< k < K /2 . K /2 < k a- Encontre a forma de f(x) 12 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos b- Encontre o valor de N para o qual f(x) é normalizada +∞ c- Como isto está relacionada com a escolha de N para que ∫ g (k ) −∞ 2 dk = 1 2π d- Mostre que uma definição razoável para ∆x para sua resposta do item a) resulta ∆x∆k>1 3-GRE 13 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 8 – o potencial delta Nome:______________________________________________________________________ 1- Calcule as seguintes integrais: +1 a- ∫ (x 3 − 3x 2 + 2 x − 1)δ ( x + 2)dx = −3 +∞ b- ∫ [cos(3x ) + 2]δ ( x − π )dx = 0 +1 c- ∫e [ x +3] δ ( x − 2)dx = −1 2- Considere o potencial delta duplo: V(x)= α[δ(x+a)+δ(x-a)], onde a e α são constantes positivas. a- Esboce este potencial b- Quantos estados ligados possui? Encontre as energias permitidas para α= ħ2/ma e α= ħ2/4ma, e esboce as autofunções. 14 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 9 – o poço de potencial finito Nome:______________________________________________________________________ 1- Normalize a função de onda: ψ(x) = Fe-kx (para x>a); ψ(x) = Dcos(lx) (para 0< x<a); ψ(x)= ψ(x) (para x<0) para determinar as constantes D e F. 2- A energia da maioria das estrelas resulta da fusão do núcleo de hidrogênio com o núcleo do hélio. O interior do sol (uma estrela típica) está a 15×106 K. A esta temperatura, praticamente nenhum núcleo tem energia suficiente para atravessar a repulsão eletrostática entre os núcleos e se aproximar o suficiente para que a fusão ocorra. No entanto, quando Eddington propôs em 1920 que a fusão nuclear é a fonte de energia estelar, foi rejeitada. Explique por quê a fusão ocorre em estrelas, a despeito da dificuldade aparência citada acima. 15 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 10 – matriz de espalhamento Nome:______________________________________________________________________ 1- Construa a matriz S para o potencial delta V(x)=αδ(x). 16 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 11 – álgebra linear I Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere os vetores |α > = ( 2, i, -1, 0) e |β > = ( i, - i , 1, 2). a- Calcule || |α > || e || |β > || b- Normalize |α > e |β > c- Calcule <α |β > e <β |α > d- Calcule o ângulo entre |α > e |β > 17 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 12 – álgebra linear II Nome:______________________________________________________________________ 1 0 1 1 i 0 e α = 0 , calcule A|α> 0 0 −i −1 1- Seja Aˆ = 0 2- Calcule At (transposta) , A-1 (inversa), A* hermitiano). A é hermitiana? (complexo conjugado), A† (conjugado 1 0 −1 ˆ 3- Seja B = 0 0 0 , calcule [A,B] 1 0 −i 4- Considere: 18 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 13 – álgebra linear III Nome:______________________________________________________________________ 1 0 0 1- Calcule os autovalores e auto-vetores normalizados do operador A = 0 0 − 1 .A 0 1 0 é Hermitiano? Calcule o Tr(A) e det(A). 2- Os autovalores de um operador Hermitiano são sempre a- Reais; b- Imaginários; c- Degenerados; d- Lineares; e- Positivos; 3- Realize as transformações Hermitianas de: a- ⟨ψA φ⟩ b- ⟨ψ(2i φ⟩) c- A= 2i − i 1 0 i d- ψ = − 2i 1 19 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 14 – espaços de funções Nome:______________________________________________________________________ 1- Quais das seguintes funções são autofunções dos operadores a) d/dx e b) d2/dx2 ? i- exp(ax2) ii- x iii- x2 iv- ax+b v- sen(x) 2- Ortonormalize as potências de x P(x)= ao + a1x + a2x2 +... no intervalo -1≤x≤1 para obter os quatro primeiros polinômios de Legendre Dica: Processo de ortogonalização de i) normalize o primeiro vetor (função) ( |1’⟩=|1⟩/||1||); ii)Encontre a projeção do segundo ao longo do primeiro e subtraia(|2⟩ - ⟨1’|2⟩|1’⟩); iii) normalize o segundo; iv) subtraia do terceiro as suas componentes na direção do primeiro e do segundo (|3⟩ - ⟨1’|3⟩|1’⟩-⟨2’|3⟩|2’⟩ ;v)normalize o terceiro e assim por diante 20 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 15 – Interpretação estatística generalizada Nome:______________________________________________________________________ 1- Um operador A possui autofunções f1, f2, ..fn, com os correspondentes autovalores a1, a2, .., an. O estado do sistema é descrito pela função normalizada |ψ ⟩= (1/2)|f1 ⟩– (3/8)1/2 |f2 ⟩+ (3i/8)1/2 |f3⟩ a- Quais os possíveis resultados para a medida de A e suas respectivas probabilidades? b- Qual o valor esperado de A? c- Se ao medirmos A encontramos a2, qual é o estado do sistema logo após a medida? 2- Um determinado observável é descrito como Aˆ = a- 1 2 2 2 . Quais os possíveis resultados para a medida de A? b- O estado do sistema em t = 0 era |ψ⟩ = (25)1/2 [3 |1⟩+4|2⟩], onde |1⟩ e |2⟩ são os autovetores de A correspondentes aos autovalores menor e maior, respectivamente. Escreva o estado para t>0 21 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos c- Qual a probabilidade de medir cada um dos autovalores de A? d- Escreva o operador que projeta na direção do autovetor correspondente ao menor autovalor de A. 22 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 16 – O principio da incerteza Nome:______________________________________________________________________ 1 – Mostre que [A,BC] = B[A,C]+[A,B]C 2 – Mostre que [AB,C] = A[B,C]+[A,C]B ) 3 – O Hamiltoniano de um sistema é dado por H = ) é expresso como : A = 1 1 1 1 1 0 0 2 .Nesta mesma base, um operador A . O sistema encontra-se no estado ψ (t ) = 1 e it . Calcule 2 e 2it d<A>/dt. ) 4 – Um operador é dado por: B = 1 0 1 t . Calcule ∂ <B>/dt para um sistema onde 1 e it ψ (t ) = 2 e 2it 3 – Mostre por indução que [xn, px ] =iħnxn-1 e que [x, pxn] = iħnpxn-1 23 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 17 – Equação de Schrodinger em coordenadas esféricas Nome:______________________________________________________________________ 1- Encontre Po(x), P1 (x) e P2 (x) usando a fórmula de Rodrigues: 1 dl Pl ( x ) = l l 2 l! dx 2 ( x − 1) l 2- Expresse cada um dos polinômios a seguir como combinações lineares de plinôminos de Legendre (dica: comece com a maior potência de x): a- 5-2x b- 3x2 + x -1 c- x4 3- Calcule os seguintes valores para a função de Legendre associada: a- P11 (cosθ) b- P14 (cosθ) 4- Dado um vetor de módulo r e coordenadas x, y, z em coordenadas cartesianas. Mostre que Y10 = (3/4π)1/2 (z/r), Y1±1 = (3/8π)1/2 (x±iy)/r 5- Inverta as equações do exercícios anterior para obter x,y e z em termos de Y1m. 24 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 18 – A equação radial Nome:______________________________________________________________________ 1- A partir da relação de recurrência (d/dx) jn = njn(x)/x – jn+1(x) obtenha j1(x) a partir de jo(x) = (senx)/x 2- Utilize a relação de recurrência para a função de Bessel esférica jn-1(x) + jn+1(x) = (2n+1)jn(x)/x para calcule j2(x), a partir de jo(x) = (senx)/x e j1(x) = (senx)/x2 – (cosx)/x2 3- Esboce Veff = V (r) + (ħ2/2m)l(l+1)/r2 em função de r para l =0,1 onde V(r) é o poço de potencial quadrado V ( r ) = - Vo para r < ao e V (r ) = 0 para r> ao, onde ao é o raio de Bohr . Para facilitar as contas, utilize unidades atômicas: ħ =1, m = 1 (massa do elétron) e ao = 1. Considere também Vo = 1 25 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 19 – o átomo de hidrogênio Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere o átomo de hidrogênio cuja função de onda em t = 0 é a superposição das autofunções do Hamiltoniano: ψ (r,θ,ϕ, t =0) = (14)-1/2[2ψ100 (r) -3ψ200 (r ) + ψ322 (r)] a- Escreva ψ (r,θ,ϕ,, t ) b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado fundamental? 2- Calcule <r> para no estado fundamental 26 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 20 – o espectro do hidrogênio Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogenóide, sendo este constituído de um núcleo (q= +Ze) e um elétron (q’=-e). Suponha que o núcleo permanece em repouso enquanto o elétron (de massa m) orbita circularmente à sua volta. a- Partindo da quantização do módulo do momentum angular, L= nħ, com n = 1,2,3,..., determine o módulo da velocidade do elétron nas possíveis órbitas, em função de seu raior r. b- Considerando que a força Coulombiana mantém o elétron preso a uma órbita em torno do próton, determine os raios das possíveis órbitas. c- Considerando o movimento do elétron como não relativístico, determine sua energia cinética numa órbita caracterizada pelo número quântico n. d- Determine a energia potencial do elétron em uma órbita caracterizada pelo número quântico n, supondo que ela seja puramente eletrostática e tomando como zero o seu valor no infinito. e- Determine o valor dos níveis de energia em função de n. 27 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 21 – Momentum Angular Nome:______________________________________________________________________ 1- As relações [Li, Lj] = iħLk εijk implicam que: a- É possível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular; b- É impossível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular; c- Que Lx , Ly e Lz são compatíveis; d- Existem uma base de autovetores comuns a Lx, Ly e Lz; 2- Considere uma partícula em um potencial central V(r) . Classimente, o momentum angular se conserva. Podemos afirmar então que: a- [H,L2] =[H,Lx] = [H,Ly]= [H, Lz] =0 b- [H,Lx] ≠ 0 c- [H,L] ≠ 0 3- Definindo L± = Lx ± iLy e lembrando que Lx e Ly são observáveis, então: a- L± são observáveis b- L± são hermitianos c- L± não são observáveis 4- Mostre que L+L- = Lx2 + Ly2 + ħLz e que L-L+ = Lx2 + Ly2 - ħLz 28 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 5- Mostre também que L+L- = L2 –Lz2 +ħLz e L-L+ = L2 – Lz2 - ħLz 6- E ainda que L2 = ½ (L+L- +L-L+) + Lz2 29 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 22 – Autofunções de L2 e Lz Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere os seguintes operadores no espaço de Hilbert: 0 1 0 0 −i 0 1 0 0 1 1 Lx = 1 0 1 ; Ly = i 0 − i ; Lz = 0 0 0 2 2 0 1 0 0 i 0 0 0 −1 a- Quais são os possíveis resultados se Lz é medido? b- Suponha que seja medido Lz = 1. Neste estado, calcule <Lx>, <Lx2> e ∆Lx ? c- Encontre os autovetores normalizados de Lx e autovalores na base de Lz. d- Se a partícula tem Lz =-1, e Lx é medido, quais os possíveis resultados e suas respectivas probabilidades? 30 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 1 2 1 e- Considere o estado ψ = na base se Lz. Se Lz2 é medido e encontra-se +1, 2 1 2 qual o estado após a medida? Qual a probabilidade de encontrar Lz2= +1 ? e logo após a medida? Se Lz é medido quais os possíveis resultados e respectivas probabilidades? 31 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 23 – SPIN Nome:______________________________________________________________________ 32 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 33 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 24 – elétron em um campo magnético Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere um elétron em repouso na presença de um campo magnético B = Bo k cujo Hamiltoniano é dado por H = − χ ( 0) = 1 2 γBo h 1 0 . Em t=0 o estado do sistema era 2 0 − 1 1 − 1 a- Escreva |χ(t)⟩ b- Se a componente x do spin fosse medida no tempo t, qual é a probabilidade de encontrar +ħ/2 ? c- O mesmo para a componente y d- O mesmo para a componente z 34 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 25 – adição de momenta angular Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere dois elétrons com momenta angular l1 = 1 e l2 = 3. a- Quais os possíveis valores para o spin total? b- Quais os possíveis valores para o momentum angular orbital total? c- Quais os possíveis valores para o momentum angular total J? 35 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 26 – coeficiente de Clebsh-Gordan Nome:______________________________________________________________________ 1 – Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em repouso em uma configuração que o spin total é 3, e sua componente z é 1 (ou seja, o autovalor de Sz é ħ). Se você medisse a componente z do momentum angular da partícula de spin 2, quais os valores que você poderia obter e com quais probabilidades? 36 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 27 – partículas idênticas Nome:______________________________________________________________________ 1– Quais as funções a seguir são simétricas (S), anti-simétricas (A) ou não tem simetria (N) ? abcdef- f(1)g(2)α(1)α(2) f(1) f(2)[α(1)β(2)- β(1)α(2)] f(1) f(2) f(3) β(1) β(2) β(3) exp[-a(r1 –r2)] [f(1)g(2)-g(1)f(2)][α(1)β(2)-α(2)β(1)] r122 exp[-a(r1 + r2) 2- Moste que os operadores simetrizador S = ½ (1+P12) e anti-simetrizador A = ½ (1-P12) são projetores, i. e., S2 = S e A2 = A 3- Mostre também que S e A são suplementares, i.e., S + A = 1 4- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) a- Bósons possuem spin semi-inteiro; b- Todos os férmions possuem o mesmo spin; c- Elétrons são distinguíveis; d- Férmions possuem funções de onda anti-simétricas; e- Duas partículas são idênticas se todas as suas propriedades intrínsecas (massa, carga, spin, etc..) são exatamente iguais. Nenhum experimento pode distingui-las; f- Prótons e elétrons são férmions; g- Prótons e elétrons são idênticos; h- Os autovalores do operador de troca são ± 1; i- O operador de troca é hermitiano; j- O operador de troca comuta com o Hamiltoniano; 37 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos Avaliação de aprendizagem - Aula 28 – sistemas com um número arbitrário de partículas Nome:______________________________________________________________________ 1- Considere um sistema de três elétrons com funções de onda α, β e χ. Escreva a função de onda para este sistema. 2- Considere três partículas distinguíveis: a primeira encontra-se no estado ψ1, a segunda no estado ψ2 e a terceira no estado ψ3. Escreva a função de onda total para este sistema 3- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) a- Quando um sistema inclui várias partículas idênticas, somente alguns “kets” de seu estado podem descrever seus estados físicos; b- Quando um sistema inclui várias partículas distinguiveis, somente alguns “kets” de seu estado podem descrever seus estados físicos; c- Quando um sistema inclui vários férmions, somente alguns “kets” de seu estado podem descrever seus estados físicos; d- 3 e- 4 f- O Boro (Z = 5, A = 11) é um férmion; He é um bóson; He é um férmion; g- O Boro (Z=5, A= 10) é um bóson; 38 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 1 2 7- Dado o vetor ψ = 1 , calcule com os operadores do oscilador harmônico 0 ... um Hun = (n + 1 2 )hωδ mn , u m A+ u n = (n + 1)δ m,n +1 , um Au n = nδ m,n −1 , as quantidades: a) ⟨H⟩; b) ⟨x2⟩; c)⟨x⟩; d) ⟨p2⟩; e) ⟨p⟩; f) utilize os itens anteriores para calcular ∆x∆p. (nota: as expressões para p e x em termos de A e A+ podem ser obtidas de mω mω p p + x + i x − i e ) A = A = 2 h 2 h 2 m ω h 2 m ω h 11- Qual é o fluxo associado com a função , onde u(x) é uma função real ? 12- Uma função de onda é representada por ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx . Calcule o fluxo. 39 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 40 Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 41
