Investigaç˜ao Operacional Jogos Ol´ımpicos de Ver˜ao

Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Investigação Operacional
2011.10.19
1o Mini-teste
Prova com consulta
Duração: 1h30min
Jogos Olı́mpicos de Verão - Londres 2012
Os Jogos Olı́mpicos de verão de 2012, oficialmente conhecidos como Jogos da XXX Olimpı́ada, terão
lugar na cidade de Londres, entre 27 de julho e 12 de agosto de 2012, seguidos pelos Jogos Paraolı́mpicos de
verão de 2012, que se realizarão entre 29 de agosto e 9 de setembro. Londres será, assim, a primeira cidade a
sediar oficialmente os Jogos Olı́mpicos da “Era Moderna” por três vezes - as anteriores foram em 1908 e 1948.
O programa para os Jogos Olı́mpicos contempla 26 modalidades num total de 39 disciplinas, com a
participação esperada de cerca de 10.500 atletas. Os Jogos Paraolı́mpicos abrangem 20 modalidades e 21
disciplinas, com 5.000 atletas. A organização espera uma afluência de 9 milhões de espectadores durante
todo o evento. Um dos fatores principais para a escolha de Londres como cidade acolhedora dos Jogos, foi
a sua eficiente infraestrutura de transportes públicos, imprescindı́vel para a mobilidade de atletas e público
num evento com esta dimensão. A organização estabeleceu como meta que, pelo menos 80% dos atletas se
deverão conseguir deslocar em menos de 20 minutos para os locais de competição. A rede de metropolitano
está a ser alvo de uma requalificação e expansão e um novo comboio de alta-velocidade irá entrar em funcionamento. O Parque Olı́mpico será servido por 10 linhas ferroviárias, com uma capacidade total para servir
240.000 passageiros por hora. Existem também planos para reduzir os nı́veis de tráfego na cidade durante
a realização dos Jogos.
adaptado de http://www.london2012.com/, consultado em 20.09.2011
1
1.
(60%) A Thomas Cook é a agência oficial para a venda de pacotes de estadias curtas para os Jogos
Olı́mpicos e Paraolı́mpicos de Londres 2012. Um pacote de estadia curta consiste no alojamento
em regime de “bed and breakfast”, em Londres ou seus arredores, e em bilhetes garantidos para as
modalidades selecionadas. Sob este contrato de agência oficial a Thomas Cook tem direito à compra
antecipada de bilhetes, que vai então posteriormente oferecer nos seus pacotes de estadias curtas. A
publicidade da Thomas Cook para esta oferta afirma: “Book Olympic tickets for a range of different
London 2012 events with the peace of mind of a booked hotel close by too”.
As modalidades que a Thomas Cook comercializa, com preços de venda (por pessoa) abaixo das £400,
são: Voleibol, Luta Livre, Pentatlo Moderno, Meias-Finais de Andebol e Atletismo. Os preços de
venda dependem, obviamente, do número de dias e do número de eventos que estão envolvidos em
cada pacote. A cada um desses pacotes está também associado um custo para a Thomas Cook, relativo
à aquisição dos bilhetes à organização dos jogos e ao alojamento. Quer o preço de venda quer o custo
estão representados na Tabela 1.
Para cada um destes pacotes, existe uma procura estimada, que é o número máximo de pacotes que
se admite ser possı́vel vender: até este número, se forem colocados à venda, vendem-se de certeza. No
entanto, da experiência de eventos anteriores, a Thomas Cook sabe que se investir numa campanha
de marketing para cada um dos pacotes, dirigida a segmentos de mercado muito especı́ficos, consegue
aumentar ainda a procura de pacotes. Contudo, a Thomas Cook tem disponı́veis apenas £800 000
para a compra dos pacotes (que têm que ser pagos antecipadamente aos promotores dos jogos e hotéis)
e para as eventuais campanhas de marketing. Os dados sobre a procura estão também representados
na Tabela 1.
Adicionalmente, por questões de estratégia empresarial relativamente à diversificação de produtos,
nenhum dos pacotes poderá representar mais do que 40% do número total de pacotes a adquirir.
A Thomas Cook pretende saber quantos pacotes comprar de cada modalidade e quanto investir em
marketing, também para cada modalidade, de forma a que o seu lucro seja máximo.
Tabela 1: Dados relativos a cada um dos pacotes de estadias curtas comercializado pela Thomas Cook.
Pacote
Voleibol
Luta Livre
Pentatlo Moderno
Meias-Finais de Andebol
Atletismo
(a)
Preço
de venda
£99
£129
£219
£259
£399
Custo
Procura
estimada
6000
5000
4500
5000
5500
£90
£100
£185
£160
£300
Aumento da procura por libra (£)
investida em marketing
1
6
2
3
5
i) Decisões
(1) Descreva por palavras as variáveis de decisão para este problema. (2) Quantas são
as variáveis de decisão de cada tipo? (3) Represente matematicamente as variáveis de
decisão para este problema.
ii) Restrições
(1) Descreva por palavras os diferentes tipos de restrições para este problema. (2) Quantas
são as restrições de cada tipo? (3) Represente matematicamente as restrições para este
problema na forma linear.
iii) Objetivo
(1) Descreva por palavras a função objetivo para este problema. (2) Represente matematicamente essa função objetivo na forma linear.
(b) Após alguma discussão interna, venceu a ideia de que a Thomas Cook não deve apresentar-se no
mercado com mais do que 3 pacotes de estadias curtas. Adicionalmente, a Thomas Cook nunca
porá à venda o pacote das “Meias Finais de Andebol” se não puser também à venda o pacote
do “Voleibol”. Altere a formulação que apresentou na alı́nea anterior de forma a incluir estas
condições adicionais.
2
2.
(40%)
O triatlo é um desporto olı́mpico desde o ano de 2000 que combina as modalidades de natação, bicicleta
e corrida. A origem do triatlo é desconhecida contudo algumas pessoas acreditam que teve origem
em França entre as duas guerras mundiais, outras defendem que foi inventado nos Estados Unidos no
final da década de 70. Independentemente da sua origem, o triatlo é hoje em dia um desporto em
crescente expansão por todo mundo. Nos jogos olı́mpicos de Londres 2012, o triatlo vai ser disputado
no conhecido Hyde Park onde são esperados milhares de apoiantes fervorosos.
O campeão olı́mpico de triatlo, Jan Frodeno, está em risco de perder o seu maior patrocinador se não
conseguir bater o record de 110 minutos nos jogos olı́mpicos de Londres. Para averiguar a condição
fı́sica de Jan e consequentemente ponderar a continuação do financiamento, o patrocinador pretende
que Jan efetue um dos dois seguintes treinos (com apenas duas provas):
• Treino 1 – A primeira prova a correr e a segunda prova a nadar ou a andar de bicicleta.
• Treino 2 – A primeira prova a nadar e a segunda prova a correr ou a andar de bicicleta.
No caso de Jan terminar a primeira prova de corrida antes de 30 minutos, é garantido que Jan bate
o record olı́mpico pois a segunda prova pode ser feita a andar de bicicleta. Caso contrário, Jan terá
que fazer a segunda prova a nadar, e existe uma probabilidade de 20% de não bater o record. Alternativamente, se Jan optar por nadar na primeira prova do treino e terminar antes de 30 minutos, é
garantido que também bate o record pois faz a segunda prova a andar de bicicleta. Caso contrário,
Jan terá que fazer a segunda prova a correr e existe uma probabilidade de 15% de não bater o record.
Com base nos desempenhos anteriores, o treinador de Jan sabe que a probabilidade de Jan concluir
as primeiras provas de cada treino antes de 30 minutos é de 90%.
O valor atual do patrocı́nio, e500 000, pode então vir a ser alterado de acordo com a prestação de
Jan no treino. O patrocinador está disposto a aumentar o patrocı́nio em 30% se Jan bater o record
olı́mpico a nadar e depois a correr e em 20% se o bater a correr e depois a nadar. Caso Jan bata o
record terminando o treino de bicicleta o patrocı́nio tem um aumento de e20 000, caso tenha iniciado
a prova a nadar, e de e30 000, caso tenha iniciado a prova a correr. Se Jan não bater o record olı́mpico
durante o treino, o patrocı́nio é-lhe retirado.
(a) Desenhe a árvore de decisão que representa o problema descrito, apresentando todas as ações
alternativas, os estados da natureza e respetivas probabilidades, bem como os valores dos patrocı́nios para cada caso.
(b) Indique qual a decisão que Jan deve tomar com base no critério da Maximização do Valor Esperado.
(c) As probabilidades acima dadas foram calculadas pelo treinador de Jan. No entanto, Jan não está
muito seguro da probabilidade de 20% de não bater o record caso opte por correr na primeira
prova do treino e termine depois de 30 minutos. Entre que valores pode variar essa probabilidade
para que a decisão indicada na alı́nea anterior continue a ser a que maximiza o valor esperado.
3
Resolução
1.
(a)
i) Decisões
• Número de pacotes a adquirir de cada uma das modalidades e quanto investir em marketing para promover cada um dos pacotes.
• Número de variáveis de decisão: 5 relativas ao número de pacotes a comprar e 5 relativas
oa investimento em marketing, num total de 10.
• Representação matemática:
xi = número de pacotes da modalidade i a adquirir.
yi = libras (£) a investir no marketing do pacote da modalidade i.
ii) Restrições
• Restrições para o problema:
Tipo 1 : Não adquirir mais pacotes do que os que é possı́vel vender.
Tipo 2 : Não ultrapassar o orçamento disponı́vel para comprar os pacotes e investir em marketing.
Tipo 3 : Nenhum pacote ultrapassar os 40% do total de pacotes.
• Número de restrições de cada tipo:
Tipo 1 : 5 restrições, uma por cada modalidade.
Tipo 2 : 1 restrição.
Tipo 3 : 5 restrições, uma por cada modalidade.
• Representação matemática:
Tipo 1 : Não adquirir mais pacotes do que os que é possı́vel vender.
xV
≤ 6000 + yV
xL ≤ 5000 + 6yL
xP
≤ 4500 + 2yP
xM
≤ 5000 + 3yM
xA ≤ 5500 + 5yA
Tipo 2 : Não ultrapassar o orçamento disponı́vel para comprar os pacotes e investir em marketing.
90xV + 100xL + 185xP + 160xM + 300xA + yV + yL + yP + yM + yA ≤ 800000
Tipo 3 : Nenhum pacote ultrapassar os 40% do total de pacotes.
xV
≤ 0, 4 × (xV + xL + xP + xM + xA )
xL ≤ 0, 4 × (xV + xL + xP + xM + xA )
xP
≤ 0, 4 × (xV + xL + xP + xM + xA )
xM
≤ 0, 4 × (xV + xL + xP + xM + xA )
xA ≤ 0, 4 × (xV + xL + xP + xM + xA )
iii) Objetivo
• Maximizar o lucro total da Thomas Cook.
4
• Representação matemática:
max Lucro = (99 − 90)xV + (129 − 100)xL + (219 − 185)xP
+(259 − 160)xM + (399 − 300)xA
−yV − yL − yP − yM − yA
(b) A modelização desta condição adicional obriga a incorporação no modelo de variáveis binárias
adicionais, que vão dizer se um dado pacote é comprado ou não:
δi =
1, se são adquiridos pacotes da modalidade i.
0, se não são adquiridos pacotes da modalidade i.
Com estas variáveis é possı́vel escrever que não se podem comprar mais do que 3 pacotes de
estadias curtas:
δV + δL + δP + δM + δA ≤ 3
No entanto, é preciso agora garantir que não se compra, nem se investe em marketing, pacotes
que se decidiu não comprar, isto é, cuja variável binária vale zero. Para isso precisaremos de nos
socorrer de uma constante de valor muito elevado (M → ∞):
≤ δV × M
xV
xL ≤ δ L × M
xP
≤ δP × M
xM
≤ δM × M
xA ≤ δ A × M
≤ δV × M
yV
yL ≤ δ L × M
yP
≤ δP × M
yM
≤ δM × M
yA ≤ δA × M
Finalmente, colocar à venda o pacote das “Meias Finais de Andebol” implica colocar também à
venda o pacote do “Voleibol”:
δV
5
≥ δM
2.
(a) Uma possı́vel árvore de decisão para o problema descrito é a representada na figura seguinte:
530
antes 30 min
0.9
525
bate record
0.1
Correr
após 30 min
480
600
0.8
0.2
não bate
0
525
520
Nadar
antes 30 min
0.9
523.25
bate record
0.1
após 30 min
650
0.85
552.5
0.15
não bate
0
(b) Jan deve optar por efetuar o Treino 1. O valor máximo do patrocinio que Jan pode obter é de
525.000 euros.
(c) Para que a decisão tomada na alı́nea b) se mantenha, a probabilidade pedida (Y) pode variar entre
0% e 22,9%: 600 × X × 0, 1 + 0, 9 × 530 > 523, 25 ⇐⇒ X > 0, 771, logo Y < (1 − 0, 771) × 100 <
22, 9%.
6