Dinâmica Não-Linear e Caos - Unifal-MG

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal de Alfenas. Unifal-MG
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Dinâmica Não-Linear e Caos:
O circuito de Chua
Luis Renato Valerio
Orientador: Prof. Dr. Hugo Bonette de Carvalho.
Alfenas/MG
2014
LUIS RENATO VALERIO
Dinâmica Não-Linear e Caos:
O circuito de Chua
Trabalho de Conclusão de
Curso Apresentado como
parte dos requisitos para a
conclusão do curso de
Licenciatura em Física da
Universidade Federal de
Alfenas.
Orientador: Hugo Bonette
de Carvalho.
Alfenas/MG
2014
“A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda
pensou sobre aquilo que todo mundo vê.” (Arthur Schopenhauer)
i
_______________________________________________________________________
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos os professores que tive na graduação. Cada um colaborou com uma
parte fundamental na minha formação e no desenvolvimento deste Trabalho de
Conclusão de Curso. Sempre levarei comigo os seus ensinamentos. Tenho todo o
respeito e carinho por cada um assim como tenho por meus melhores amigos. Faço
um agradecimento especial ao meu orientador, que foi meu professor em inúmeras
disciplinas e, além de tudo, meu amigo durante a graduação. Ele sempre acreditou na
conclusão deste trabalho e orientou com seriedade minhas atividades. Enfim, sempre
serei grato a todos!
ii
_______________________________________________________________________
RESUMO
O sistema caótico de Chua consiste em um circuito elétrico composto por uma rede
de elementos lineares passivos conectados a um componente não linear ativo
conhecido como diodo de Chua. Apesar de sua aparente simplicidade, este sistema
não linear apresenta um vasto conjunto de possibilidades para o seu comportamento
dinâmico, abrangendo pontos de equilíbrio, bifurcações, oscilações periódicas e
atratores estranhos. A partir de um re-escalonamento das variáveis do sistema de
Chua, é possível obter uma forma simplificada de suas equações com um número
reduzido de parâmetros sem que a dinâmica do sistema seja alterada. A proposta
deste trabalho consiste no estudo teórico do comportamento dinâmico do sistema
caótico de Chua considerando o sistema simplificado.
iii
_______________________________________________________________________
ABSTRACT
The Chua’s chaotic system consist in an electrical circuit composed by a network of
passive linear elements connected to a nonlinear active component known as Chua’s
diode. Despite its apparent simplicity, this nonlinear system presents an extensive set
of possibilities for your dynamic behavior, including equilibrium points, bifurcations,
periodic oscillation and strange attractors. From a re-scaling of Chua’s system
variables, it is possible to obtain a simplified form of its equations and with a reduced
number of parameters without changes in the dynamic's system. The proposal of this
work consists in the theoretical study of the dynamic behavior of the Chua’s chaotic
system considering the simplified system.
iv
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Oscilações do sistema de Lorenz para dois valores muito próximos do valor inicial: x(0) = 5
(linha vermelha contínua) e x(0) = 5.005 (linha azul tracejada). Parâmetros: a = 10, b = 8/3, r = 28,
y(0) = 5, e z(0) = 5. ....................................................................................................................................... 5
Figura 2: O atrator de Lorenz. Solução caótica do sistema de Lorenz, projetada no plano xz. Os
parâmetros são os mesmos da Fig. 1, com x(0) = 5. .................................................................................... 6
Figura 3: Circuito de Chua. RN corresponde ao diodo de Chua. ................................................................... 7
Figura 4: Curva IV características do diodo do circuito de Chua................................................................ 7
Figura 5: Circuito de Chua. Com as definições dos sentidos das correntes e respectivas quedas de
voltagens. ................................................................................................................................................... 12
Figura 6: Imagem da lista de comandos utilizados para realização dos cálculos realizados. ..................... 15
Figura 7: Oscilações da variável x do circuito de Chua para condições iniciais próximas: x(0) = 0,7000
(linha vermelha) e x(0) = 0.7001 (linha azul tracejada). Parâmetros:  = 14,8,  = 28, y(0) = 0, e z(0) = 0.
.................................................................................................................................................................... 16
Figura 8: A, C, E, G e I: Oscilações da variável x do circuito de Chua em função de : para diferentes ,
 = 28, x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0. B, D, F, H e J: Espaços de fase xy correspondentes. ....................... 17
Figura 9: Diagrama de Bifurcações para o sistema do circuito de Chua. Periodicidade em x(t) para  = 28,
x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0...................................................................................................................... 19
Figura 10: Seções de Poincaré através da intersecção dos diagramas de fase xy com o plano z = 0 para
(A)  = 12 em condição de periodicidade dois e (b)  = 14,6 em condição caótica. Aqui  = 28,
x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0...................................................................................................................... 20
Figura 11: Transformadas de Fourier obtidas para as oscilações da variável dinâmica x pra (A)  = 12 na
condição de periodicidade dois e (b)  = 14,6 em condição caótica. Aqui  = 28, x(0) = 0,7, y(0) = 0 e
z(0) = 0. ...................................................................................................................................................... 21
v
_______________________________________________________________________
SUMÁRIO
1
2
3
4
5
6
INTRODUÇÃO........................................................................................................................................ 1
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................................................... 3
2.1
A Teoria do Caos ......................................................................................................................... 3
2.2
A Origem [7] ................................................................................................................................ 4
2.3
O Sistema Caótico de Chua ......................................................................................................... 7
OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 9
JUSTIFICATIVA..................................................................................................................................... 10
METODOLOGIA: .................................................................................................................................. 11
DESENVOLVIMENTO ........................................................................................................................... 12
6.1
Equacionamento do Circuito de Chua ...................................................................................... 12
6.2
7
8
Investigação Teórica do Caos .................................................................................................... 14
6.2.1
Forma de Ondas no Domínio do Tempo, Espaço de Fases ................................................... 15
6.2.2
Diagramas de Bifurcação ...................................................................................................... 18
6.2.3
Seção de Poincaré................................................................................................................. 19
6.2.4
Espectros de frequência ....................................................................................................... 20
CONCLUSÕES ...................................................................................................................................... 22
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................................... 23
vi
_______________________________________________________________________
1
INTRODUÇÃO
Ao longo do desenvolvimento da ciência, o estudo de sistemas dinâmicos
sempre foi uma área que muito atraiu o interesse da humanidade. Desde quando Isaac
Newton introduziu a idéia de modelar matematicamente sistemas naturais, através do
desenvolvimento das equações diferenciais, de modo que seja possível fazer previsões
sobre o comportamento dos mesmos, o tema tem sido continuamente desenvolvido.
Embora numerosos sistemas naturais e artificiais sejam completamente
descritos por leis determinísticas e equações diferenciais não lineares sem
componentes estocásticos, muitos apresentam um comportamento dinâmico caótico,
caracterizado pela imprevisibilidade e extrema sensibilidade às condições iniciais e aos
parâmetros do sistema. Este fato tornou-se uma das maiores descobertas da
humanidade, e o interesse por sistemas com tal comportamento, caótico, cresceu de
modo vertiginoso, principalmente pelo desenvolvimento de métodos numéricos que
passaram a ser implementáveis em computadores com capacidades de processamento
cada vez mais elevadas.
O comportamento caótico foi constatado primeiramente pelo matemático
francês do século XIX Henri Poincaré, em seu estudo clássico do chamado problema de
três corpos [1]. Nesse problema, Poincaré estudava o comportamento dinâmico de
três corpos sujeitos a ação de força gravitacional em um plano, segundo a lei universal
de Newton do inverso da distância ao quadrado. Esse comportamento estranho foi
novamente observado por Edward Lorenz, na década de 1960 ao estudar problemas
de convecção atmosférica em um modelo simplificado. Nesse modelo, aparentemente
soluções que partiam das mesmas condições iniciais, ao serem simuladas, levavam a
resultados divergentes, o que seria uma contradição ao fato do sistema ser, a
princípio, determinístico. No entanto, acabou-se por verificar que se tratava de um
problema associado à imprecisão na determinação das condições iniciais. Desse fato, o
que decorria era que dado duas condições iniciais suficientemente próximas, os
resultados obtidos em função do tempo para as variáveis dinâmicas eram divergentes,
caracterizando o fenômeno hoje conhecido como sensibilidade a condições iniciais.
1
De maneira geral, sistemas caóticos são constantemente observados na
natureza, em problemas que envolvem desde dinâmica populacional, a situações de
arritmia cardíaca e modelos de turbulência. Matemáticos, físicos, engenheiros e mais
recentemente, especialistas em ciências sociais e da informação, têm estudado
extensivamente estes sistemas, uma vez que os mesmos apresentam várias
propriedades interessantes, tais como controlabilidade e auto-sincronização, que
possuem um grande impacto em aplicações comerciais e industriais em áreas como
Engenharia, Controle de Processos, Comunicação, Processamento de Informações,
Eletrônica, Robótica, Computação, Química, Medicina e Biologia, Epidemiologia,
Gerenciamento e Finanças, etc [2, 3 e 4]. Entretanto, a maior parte destes estudos tem
caráter predominantemente teórico, uma vez que a implementação experimental de
um sistema caótico pode apresentar várias dificuldades, tais como limitações de
espaço, exatidão, custo e disponibilidade de componentes específicos [5].
A proposta deste trabalho final de curso consiste no desenvolvimento de um
estudo teórico do sistema caótico de Chua. Através da identificação de atratores
periódicos e caóticos gerados com a variação de parâmetros, o comportamento
dinâmico do sistema canônico de Chua será analisado com destaque para o estudo de
pontos de equilíbrio e bifurcações.
2
_______________________________________________________________________
2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1
A Teoria do Caos
O objetivo da ciência clássica é encontrar leis deterministas e imutáveis que
governam a realidade. Com o uso destas leis, é possível prever a evolução futura de
qualquer sistema real, bastando extrapolar as funções matemáticas representativas
das mesmas a partir de valores iniciais dados. Temos, então, os sistemas dinâmicos
determinísticos, que possuem como característica principal essa previsibilidade de
comportamento. Para se obter um resultado desejado, seria suficiente manipular
adequadamente o ponto de partida e, depois, aguardar que o mecanismo
determinístico da realidade conduzisse o sistema, automaticamente, para o estado
almejado.
Dentro deste raciocínio clássico, supõe-se que pequenas diferenças na
disposição dos componentes do sistema no início de sua trajetória teriam impacto
negligenciável sobre o resultado final, podendo ser descartadas como simples ruído na
operação do mesmo. O mesmo tratamento é dado ao impacto de fatores externos que
provoquem pequenos desvios ao longo de sua trajetória temporal. Estas considerações
justificaram todo o esforço passado em aproximar o comportamento da realidade por
relações lineares. Estas, por um lado, facilitam o tratamento matemático e, por outro
lado, se comportam de maneira inteiramente previsível, aliando, assim, a
acessibilidade de cálculo ao ideal do classicismo determinístico.
Entretanto, muitos sistemas dinâmicos são regidos por leis não-lineares. Com
efeito, não-linearidades podem tornar a evolução temporal destes sistemas nada
trivial. Em tais casos, uma pequena perturbação nas condições iniciais pode resultar
numa grande diferença em tempos posteriores. Trajetórias inicialmente muito
próximas divergem exponencialmente. Esta é a denominada "sensibilidade às
condições iniciais" ou, mais popularmente, "efeito borboleta'', que caracteriza o
comportamento caótico de alguns sistemas não-lineares tornando-os imprevisíveis.
Historiando a evolução da teoria do caos, Ruelle, um de seus fundadores, diz que "O
que hoje chamamos de Caos é a evolução temporal com dependência às sensíveis
3
condições iniciais" [6]. Portanto, o objeto da modelagem na teoria do caos são os
sistemas dinâmicos não-lineares, sensíveis às condições iniciais.
A teoria do caos começou a ganhar grande notoriedade a partir da década de
80, quando começaram a surgir inúmeros estudos a respeito. Este desenvolvimento
recente iniciou-se com os estudos pioneiros de Edward Lorenz, mas a existência de
sistemas dinâmicos, intrinsecamente determinísticos, com comportamento caótico,
isto é, em que a transição do sistema de um estado para outro só pode ser descrita em
termos probabilísticos, tal como acontece com processos verdadeiramente
randômicos, já havia sido assinalada por Henri Poincaré, no início deste século.
Poincaré, entretanto, deixou o assunto de lado, considerando-o apenas uma
curiosidade matemática.
O que motivou o grande interesse por tais sistemas, a partir dos anos 80, foi a
descoberta de que, ao invés de se constituir numa raridade matemática, a maioria dos
sistemas dinâmicos apresenta a propriedade acima descrita e, mais ainda, que este
tipo de comportamento é comum à maioria dos fenômenos naturais e sociais e não
apenas uma propriedade de leis matemáticas abstratas. Além disto, mesmo modelos
matemáticos, representativos de sistemas físicos ou sócio-econômicos, muito simples
podem apresentar, sob determinadas circunstâncias, comportamentos totalmente
aleatórios, mostrando-se hipersensíveis a variações nas condições iniciais. Tais
descobertas estão determinando o estabelecimento de um novo paradigma para todas
as ciências, naturais ou sociais, constituindo-se numa verdadeira revolução no
pensamento científico.
2.2
A Origem [7]
A constatação da existência de sistemas determinísticos que apresentam um
comportamento dinâmico irregular foi realizada pela primeira vez pelo matemático
francês do século XIX Henri Poincaré, em seu estudo clássico do chamado problema de
três corpos. Nesse problema, Poincaré estudava o comportamento dinâmico de três
corpos sujeitos a ação de força gravitacional em um plano, segundo a lei universal de
Newton do inverso da distância ao quadrado.
Entretanto, a teoria do caos, assim batizada, começou formalmente no ano de
1955, quando um cientista do departamento de meteorologia do Boston Tech,
4
atualmente conhecido como M.I.T. (Instituto de Tecnologia de Massachusetts),
chamado Edward Norton Lorenz, herdou a direção de um projeto de pesquisa cujo
estudo se concentrava na previsão estatística do tempo. Em 1961, ele trabalhava num
computador de baixa capacidade de processamento nas salas do MIT. Combinou no
precário Royal McBee 12 diferentes equações relativas à meteorologia – velocidade do
vento, pressão barométrica etc. Atualmente, o sistema de Lorenz é normalmente
expresso como um sistema de três equações diferenciais não lineares acopladas:
x  a( y  x)
(1)
y  rx  y  xz
(2)
z  xy  bz
(3)
Lorenz fez seus cálculos e foi tomar um café enquanto o computador imprimia
os resultados. Com isso ele julgou ter obtido uma previsão do tempo suficientemente
confiável. Revendo os números, descobriu que o computador havia reduzido (por
limitação de memória) o número 0,506127 para 0,506. Era aparentemente uma
variação sem nenhuma importância. Mas Lorenz tomou a decisão que mudaria sua
vida (e as nossas). Insistiu em refazer os cálculos com todos os seis dígitos da fração. E
o computador devolveu uma previsão de tempo completamente diferente da original,
figura 1.
Figura 1: Oscilações do sistema de Lorenz para dois valores muito próximos do valor inicial: x(0) = 5
(linha vermelha contínua) e x(0) = 5.005 (linha azul tracejada). Parâmetros: a = 10, b = 8/3, r = 28,
y(0) = 5, e z(0) = 5.
5
Dois anos depois do incidente, Edward Lorenz desenvolveu a tese básica de que
“situações iniciais ligeiramente diferentes podem se desenvolver em situações
consideravelmente diferentes”. E passaria, com o tempo, a ser conhecido
mundialmente como o “criador da teoria do caos” – que estuda justamente os
sistemas complexos em que pequenas perturbações podem trazer resultados
aparentemente caóticos. Ninguém prestou atenção em 1963 na tese de Edward
Lorenz. Ela “hibernou” por nove longos anos até que ele resolveu reapresentá-la no
139o Encontro da Associação Americana para o Progresso da Ciência. O título de sua
apresentação: “Predicabilidade: o bater de asas de uma borboleta no Brasil provoca
um tornado no Texas?”. A teoria de Lorenz se tornou um clássico acadêmico, inspirou
um filme e virou uma citação pop. Em 1983, o matemático da meteorologia ganhou da
Real Academia Sueca de Ciências um prêmio Crafoord – que homenageia campos de
pesquisa não incluídos pelo Prêmio Nobel. Ganhou também o Kyoto de 1991 por
“trazer uma das mais dramáticas mudanças na visão da humanidade sobre a natureza
desde Isaac Newton”.
Figura 2: O atrator de Lorenz. Solução caótica do sistema de Lorenz, projetada no plano xz. Os
parâmetros são os mesmos da Fig. 1, com x(0) = 5.
A figura 2 ilustra o famoso “Atrator de Lorenz”, solução das equações (1), (2) e
(3). Atrator é uma região (subconjunto) do espaço de fase de sistemas dissipativos
para a qual tendem as trajetórias que partem de determinada região. É como um
campo de força que exerce certa atração numa determinada região do espaço. Os
atratores representam o processo de auto-organização dos sistemas. Num sistema
6
linear, obtemos tipicamente trajetórias que convergem para um ponto fixo estável ou
para um ciclo limite correspondendo a uma variação periódica. Lorenz descobriu que,
para certos valores dos parâmetros “a”, “r” e “b”, as trajetórias deste sistema nunca
acabam num ponto fixo nem num ciclo limite estável e, contudo, nunca divergem para
o infinito. Algo muito fora do que anteriormente se considerava usual.
2.3
O Sistema Caótico de Chua
Em 1983, um sistema caótico foi proposto por Leon O. Chua baseado em um
circuito eletrônico simples e robusto [8]. Esse circuito, mostrado na figura 3, é
composto por uma rede de elementos lineares passivos conectados a um componente
não-linear ativo com uma não linearidade simples, conhecido como diodo de Chua
(RN)[9].
Figura 3: Circuito de Chua. RN corresponde ao diodo de Chua.
A figura 4 mostra uma variação da curva característica do diodo de Chua. A
curva apresenta três regiões lineares: duas externas e com o mesmo coeficiente
angular m1 e uma central, que passa pela origem, com inclinação mais acentuada m0. É
possível notar que as inclinações têm dimensão de admitância (). Logo 1/m1, tem
dimensão de resistência (), porém com sinal negativo. Devido esta característica, o
circuito, ao invés de dissipar, fornece energia ao sistema [10].
Figura 4: Curva IV características do diodo do circuito de Chua.
7
O sistema de equações diferenciais que descrevem o funcionamento do circuito
proposto por Chua é obtido através da análise de suas tensões e correntes. Para o
melhor entendimento do circuito é necessário estudá-lo em duas partes. Numa das
partes, considera-se o indutor L e o capacitor C2 e na outra temos a resistência
negativa RN (diodo de Chua) e o capacitor C1. Considerando a primeira parte (C2 + L)
isolada do restante do circuito e o capacitor C2 carregado, as cargas elétricas
armazenadas em C2 circulam pelo indutor L. Essa corrente gera uma diferença de
potencial entre os terminais do indutor que passa a se opor a esta corrente inicial até
anulá-la. Assim a corrente inverte seu sentido passando a carregar novamente o
capacitor C2. Esse processo torna-se, então, periódico gerando um sinal oscilatório.
Na segunda parte do circuito, considerada também isolada do restante,
supondo C1 com pequena carga, de modo que a voltagem sobre ele, V1, seja
levemente positiva, o que acarreta na resistência negativa (diodo de Chua) uma tensão
positiva, implicando uma resposta com uma corrente iRN negativa. Assim, essa corrente
alimentará o capacitor C1 que aumentará sua tensão. Recomeçando o ciclo, uma
tensão maior em C1 acarreta uma corrente iRN negativa também maior do que a
primeira. Caso não haja um elemento que dissipe essa energia, que naturalmente se
acumula, o sistema tende à saturação. O papel do resistor R é de justamente
proporcionar um acoplamento entre as duas partes descritas do circuito.
Assim a oscilação do primeiro circuito será dissipada pelo resistor e alimentada
pelo segundo. O comportamento caótico ocorre justamente porque o funcionamento
periódico não mais depende somente do capacitor C2 e do indutor L, mas sim de um
equilíbrio entre os dois circuitos e o resistor R [10]. Sendo este equilíbrio instável
temos o caos proposto por Chua.
8
_______________________________________________________________________
3
OBJETIVOS
Neste trabalho de conclusão de curso (TCC) apresentamos os resultados do
estudo de um sistema caótico, o circuito de Chua. Especificamente, o intuito é
explicitar as características principais do sistema associadas a seu comportamento
caótico. Utilizando de uma perspectiva didática, ilustraremos as diferentes técnicas de
caracterização e identificação da dinâmica do sistema. Realizaremos um mapeamento
teórico da relação entre os parâmetros do circuito e sua dinâmica temporal.
Acreditamos que os resultados deste mapeamento poderão auxiliar futuros trabalhos
a respeito de sistemas dinâmicos em geral,tendo em mente que neste trabalho
realizou-se análise experimental de técnicas de controle e sincronização desses
sistemas.
9
_______________________________________________________________________
4
JUSTIFICATIVA
Conforme explicitado anteriormente, o estudo da dinâmica de sistemas não-
lineares com comportamento caótico é de grande relevância, tanto do ponto de vista
teórico quanto experimental, dado a enorme variedade de áreas em que estes
sistemas aparecem. Em termos gerais durante o desenvolvimento deste trabalho,
procurou-se explicitar as principais características para se identificar um sistema
caótico e suas condições.
10
_______________________________________________________________________
5
METODOLOGIA:
Realizamos uma pesquisa bibliográfica a respeito de sistemas caóticos e suas
propriedades. O sistema caótico de Chua foi o alvo principal destes estudos. A partir do
circuito de Chua, formado basicamente por um resistor, um indutor, dois capacitores e
uma resistência negativa, obteremos as equações que descrevem seu comportamento
no tempo. Para obter tais equações para o sistema proposto por Chua é preciso
considerar o comportamento dos componentes eletrônicos e da curva característica
do diodo de Chua. Tendo em mãos estas equações, realizamos simulações
computacionais utilizando o software MAXIMA, neste ambiente estudaremos as
propriedades dinâmicas desse sistema caótico em questão.
11
_______________________________________________________________________
6
DESENVOLVIMENTO
6.1
Equacionamento do Circuito de Chua
Primeiramente efetuou-se o equacionamento do circuito de Chua. Partimos das
equações e definições básicas. A corrente elétrica é definida como a carga que
atravessa uma determinada seção reta de um circuito por unidade de tempo. Assim
i
dQ
dt
(4)
Já a diferença de potencial nos terminais de um indutor é diretamente proporcional a
taxa de variação da corrente sobre este. Sendo que a constante de proporcionalidade
é denominada de indutância (L). O que nos leva a
VL   L
diL
dt
(5)
E por fim, a corrente em um capacitor é dada por
iC 
d  CVC 
dV
C C
dt
dt
(6)
A partir destas definições equacionamos o circuito de Chua com as orientações das
correntes e as respectivas voltagens convencionadas de acordo com a figura 5.
Figura 5: Circuito de Chua. Com as definições dos sentidos das
correntes e respectivas quedas de voltagens.
As duas primeiras equações do circuito são obtidas através da lei de conservação de
carga aplicada nos nós. Assim no nó A temos
0  iC2  iR  iL  C2
dV2
 iR  iL
dt
(7)
12
Por sua vez no nó B obtemos
0  iC1  iRN  iR  C1
dV1
 iRN  iR
dt
(8)
A terceira equação do sistema é obtida somando-se as quedas de voltagens na malha
onde se encontra o indutor L e o capacitor C2.
 L   C2  L
diL
 V2  0
dt
(9)
Explicitando as derivadas nas equações (7), (8) e (9) reescrevemos nosso conjunto de
equações como
dVC2
dt
dVC1
dt


V1  V2   iL
C2 R
(10)
C2
 V1  V2  iRN

C1R
C1
(11)
diL V2

dt
L
(12)
Onde iRN (VC1 ) é função das características elétricas do diodo de Chua. Embora este
componente possa ser representado por uma função escalar de uma variável, de uma
maneira geral é mais fácil dividir esta função em três partes representadas por três
segmentos lineares, como ilustrado na figura 4. Deste modo iRN (VC1 ) fica dado por
iRN  m0V1 
1
 m1  m 0   V1  BP  V1  BP
2

(13)
Este conjunto de equações diferenciais pode ainda ser simplificado a partir da
escolha conveniente de variáveis paramétricas, que permitem a redução do número
de parâmetros envolvidos no problema sem mudar a dinâmica do sistema [11].
Definindo as variáveis tais como
x
V1
V
Ri
t
, y 2 , z L,  
BP
BP
BP
RC2
(14)
As equações (10), (11), (12) e (13) podem ser reescritas como
dx
   x  y  i Rn (x)
d
(15)
13
dy
 x yz
d
(16)
dz
  y
d
(17)
1
 a1  a0   x  1  x  1 
2
(18)
iRN  x   a0 x 
Onde

C2
R2C2
, 
, a0  Rm0 , a1  Rm1
C1
L
(19)
As equações (15), (16), (17) e (18) corresponde ao sistema final de equações, a
partir do qual realizaremos o estudo da dinâmica do circuito de Chua.
6.2
Investigação Teórica do Caos
Para a solução do sistema empregamos o software livre MÁXIMA (versão
5.23.2). O MAXIMA é um sistema de manipulação de expressões simbólicas e
numéricas, incluindo diferenciação, integração, séries de Taylor, transformadas de
Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinômios,
listas, vetores, matrizes e tensores. MAXIMA provê resultados numéricos de alta
precisão através do uso de frações exatas, inteiros de precisão arbitrária e números de
ponto flutuante de precisão flutuante. O MAXIMA realiza gráficos de funções e dados
em duas e três dimensões. A figura 6 apresenta a lista de comandos básicos utilizados
para realização dos cálculos que apresentaremos.
Realizamos um mapeamento exaustivo das características dinâmicas do
sistema descrito pelas equações (15), (16), (17) e (18) e decidimos, a título de
ilustração, apresentar os resultados obtidos para os valores dos parâmetros tais como
 = 28, a0 = 0,714, a1 = 1,143.
Com o propósito de estudar sistemas caóticos, é freqüente que, modelos
analíticos precisos desses sistemas não tenham extrema importância, desde que a
obtenção exata de suas trajetórias também esteja em segundo plano [12]. O mais
importante é conseguir um modelo simples que incorpore características específicas
como atratores estranhos e bifurcações. Dentre as diferentes formas de se caracterizar
os sistemas caóticos, optamos por realizar as análises através dos seguintes aspectos:
14
1.
2.
3.
4.
5.
Formas de ondas no domínio do tempo;
Espaço de fase;
Diagramas de bifurcação;
Seções de Poincaré e
Espectros de frequência.
Figura 6: Imagem da lista de comandos utilizados para realização dos cálculos realizados.
6.2.1 Forma de Ondas no Domínio do Tempo, Espaço de Fases
No domínio do tempo a dinâmica das variáveis de um sistema caótico é
caracterizada por um comportamento aparentemente aleatório. Do ponto de vista
técnico a visualização de forma de ondas no domínio do tempo com osciloscópios é
trivial. Entretanto, para sistemas caóticos essas ondas parecem não seguir um padrão,
e o sinal visualizado se assemelha a um simples “ruído”. Deste fato, observamos em
sistemas caóticos uma sensibilidade muito grande às condições iniciais, de forma que,
pequenas diferenças associadas a estas condições conduzem a grandes divergências,
como foi apresentado para o caso das equações de Lorenz (figura 1). A figura 7
apresenta, de maneira ilustrativa, o comportamento dinâmico da variável x em duas
condições iniciais ligeiramente diferentes. Observamos para as duas condições o
comportamento oscilatório caótico descrito anteriormente. Observamos ainda que
inicialmente o comportamento para as duas condições iniciais é muito similar, porém,
15
à medida que o tempo passa a variável x passa a descrever dinâmicas crescentemente
divergentes, evidenciando a sensibilidade às condições iniciais.
Figura 7: Oscilações da variável x do circuito de Chua para condições iniciais próximas: x(0) = 0,7000
(linha vermelha contínua) e x(0) = 0.7001 (linha azul tracejada). Parâmetros:  = 14,8,  = 28, y(0) = 0, e
z(0) = 0.
De maneira complementar, a visualização do espaço de fases é uma importante
ferramenta, pois nela o comportamento caótico fica evidente. O espaço de fases é
definido como um sistema de coordenadas associado às variáveis independentes que
descrevem a dinâmica de um sistema, sendo a representação da dinâmica de uma
função no espaço de fases chamada atrator. Um sistema estacionário é representado
por um ponto fixo no espaço de fases; enquanto um sistema periódico apresenta uma
órbita fechada (ciclo limite). Um sistema caótico é caracterizado por um atrator
estranho, cujas órbitas nunca repetem o mesmo caminho, embora estejam confinadas
(atraídas) a uma região limitada do espaço de fases. As trajetórias em um atrator
estranho dependem sensivelmente das condições iniciais e, com efeito, os pontos
arbitrariamente próximos estarão exponencialmente separados depois de certo
tempo.
Na figura 8 apresentamos a dinâmica da variável x em função do tempo (coluna
da esquerda) e o diagrama do espaço de fases associado às variáveis x e y (coluna da
direita) para  = 28 e diferentes . Para  = 9,4 (Fig. 8-A e 8-B) observamos tanto na
evolução temporal quanto diagrama de fases que o sistema converge para um regime
estacionário. Aumentando-se o valor do parâmetro  para 12 o sistema começa a
oscilar entre dois
16
Figura 8: A, C, E, G e I: Oscilações da variável x do circuito de Chua em função de : para diferentes ,
 = 28, x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0. B, D, F, H e J: Espaços de fase xy correspondentes.
17
valores distintos (Fig. 8-C e 8-D), diz-se que o sistema tem uma periodicidade “dois”. Já
para  = 13,4 a dinâmica do sistema evolui para uma oscilação caracterizada por
quatro valores máximos, o que se denomina de periodicidade “quatro” (Fig. 8-E e 8-F).
Para  = 13,6 a dinâmica do sistema novamente evolui, agora para uma condição de
periodicidade “oito” (Fig. 8-G e 8-H). Já para  = 14,6 entramos em uma dinâmica
caótica em que observamos uma oscilação livre do parâmetro x do sistema em função
do tempo, enquanto que o diagrama de fases apresenta um formato típico de um
“atrator” (Fig. 8-I e 8-J). O sistema oscila livremente, os parâmetros variam
caoticamente, porém dentro de um limite máximo definido pelas bordas do atrator.
Se aumentarmos o valor do parâmetro  ainda mais, o sistema passa
novamente para uma condição de oscilação periódica. E, sequentemente, com um
pequeno acréscimo no valor de , e a seguir volta novamente ao estado caótico. Este
comportamento cíclico se repete indefinidamente em intervalos cada vez menores,
evidenciando o caráter fractal da dinâmica caótica. Como veremos a seguir, este
comportamento
associado
às
mudanças
de
periodicidade
é
representado
esquematicamente em um diagrama comumente denominado de “diagrama de
bifurcações”.
6.2.2 Diagramas de Bifurcação
Uma descrição global do sistema envolve o conhecimento de todos os
comportamentos possíveis para os vários valores de um determinado parâmetro, essa
descrição resume-se recorrendo a um diagrama de bifurcação.
Um
diagrama
de
bifurcação é a representação gráfica do comportamento qualitativo das oscilações de
uma variável em função de um determinado parâmetro. Em um diagrama de
bifurcação o eixo horizontal corresponde aos valores de parâmetro em questão () e o
eixo vertical aos valores de variável dinâmica (x). Para cada valor de , escolhe-se ao
acaso uma condição inicial e gera-se a dinâmica temporal correspondente da variável
x. Analisamos o comportamento a partir do ponto do qual observamos que o sistema
tenha atingido uma condição de estabilidade. Chama-se a isto eliminar o transiente.
Em seguida começamos a marcar no gráfico, para esse valor de , os valores
de x assumidos ao longo de um número grande de períodos. A figura 9 apresenta os
resultados obtidos para a variável dinâmica x em função do parâmetro . Observamos
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aqui que para  abaixo de aproximadamente 10 a variável x converge para um valor
estacionário, para  entre 10 e 13 a variável x oscila com periodicidade dois, entre 13 e
13,5 a variável passa a um regime de oscilação com período quatro e já para  entre
aproximadamente 13,5 e 13,7 apresenta periodicidade oito.
Figura 9: Diagrama de Bifurcações para o sistema do circuito de Chua.
Periodicidade em x(t) para  = 28, x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0.
6.2.3 Seção de Poincaré
A seção de Poincaré é uma maneira de reduzir o estudo de um fluxo num
espaço de fases com n dimensões a uma aplicação num espaço de fases com n1
dimensões. Assim em uma seção de Poincaré elimina-se uma dimensão do sistema
permitindo que se transforme um sistema contínuo no tempo em um mapeamento
discreto. Uma maneira de se definir a seção de Poincaré é observar uma dada órbita
apenas em pontos discretos, “estroboscopicamente” tomados em uma superfície.
Conforme esses pontos estiverem distribuídos na seção de Poincaré é possível
identificar que comportamento o sistema apresenta. Para um sistema com
comportamento estacionário verifica-se apenas um ponto na seção de Poincaré. Em
um sistema periódico nota-se um número finito de pontos nesta seção de acordo com
a periodicidade da dinâmica do sistema. Já em sistemas caóticos obtém-se um número
grande de pontos, espalhados de uma maneira irregular no plano. Na figura 10
apresentamos a intersecção do diagrama de fases xy com o plano z = 0 para  = 12
(Fig. 10-A) e  = 14,6 (Fig. 10-B). Como foi apresentado anteriormente, para  = 12 o
sistema oscila com periodicidade dois, já com  = 14,6 o sistema encontra-se em uma
condição caótica. Percebe-se que para  = 12 a o diagrama de fase corta o plano z = 0
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em apenas dois pontos, ou seja, em seus valores máximos e mínimos para x e y. Já na
condição caótica,  = 14,6, a curva corta o plano em pontos distintos sem repetição
alguma. Segue na figura 10 as Seções de Poincaré obtidas:
Figura 10: Seções de Poincaré através da intersecção dos diagramas de fase xy com o plano z = 0 para
(A)  = 12 em condição de periodicidade dois e (b)  = 14,6 em condição caótica. Aqui  = 28,
x(0) = 0,7, y(0) = 0 e z(0) = 0.
6.2.4 Espectros de frequência
Os espectros de frequência também são utilizados para distinguir sinais
caóticos de sinais periódicos. Aqui utilizamos o algoritmo chamado FFT (Fast Fourier
Transform) para obter o espectro em frequências que compõem o sinal adquirido, a
partir do qual ficam evidentes as diferenças entre um sinal periódico de um sinal
caótico. A figura 11 mostra as transformadas de Fourier obtidas para as oscilações da
variável dinâmica x(t) para  = 12 (Fig. 7-C) e  = 14,6 (Fig. 7-I). Para a condição de
periodicidade dois ( = 12) nota-se, claramente, que existem uma frequência principal
de oscilação em aproximadamente 0,68 Hz (Fig. 11-A), já para a condição caótica
( = 14,6) observamos que não existem frequências bem definidas para a oscilação da
variável x (Fig. 11-B); estas abrangem muitos valores do espectro o que caracteriza o
comportamento caótico.
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Figura 11: Transformadas de Fourier obtidas para as oscilações da variável dinâmica x pra (A)  = 12 na
condição de periodicidade dois e (b)  = 14,6 em condição caótica. Aqui  = 28, x(0) = 0,7, y(0) = 0 e
z(0) = 0.
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7
CONCLUSÕES
Neste trabalho de conclusão de curso apresentamos e modelamos
matematicamente o circuito de Chua. Demonstramos que dado as condições
apropriadas o sistema apresenta um comportamento dinâmico caótico. Avaliamos este
comportamento sob diferentes perspectivas. Todos os métodos propostos para o
mapeamento e a caracterização do caos foram aplicados ao circuito de Chua. Em geral,
estes métodos obtiveram excelentes resultados para o trabalho proposto,
caracterizando a dinâmica caótica integralmente.
Como perspectiva futura deste trabalho pretendemos implementar fisicamente
o circuito de Chua através da técnica de analogia eletrônica e estudar as diferentes
características do sistema sob a óptica do trabalho teórico aqui desenvolvido. Pela
analogia eletrônica, o sistema caótico de Chua será convertido em um circuito
eletrônico análogo visando o desenvolvimento de atividades práticas, no sentido de
realizar um mapeamento experimental de seu comportamento dinâmico. Este pode
contribuir para que novos projetos com características não-lineares possam ser
realizados nos laboratórios, demonstrando a eficiência da analogia eletrônica aliada
aos métodos de caracterização utilizados.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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(Doutorado em Ciências) - Instituto de Física, Universidade de São Paulo, 2004.
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Chen; T. Ueta; Chaos in Circuits and Systems. New York: World Scientific, 2002. Cap.
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