Módulo 6 - peb.ufrj

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL 420
Módulo 6
Heaviside
Dirac
Newton
Conteúdo
6 – Circuitos de primeira ordem...........................................................................................................1
6.1 – Equação diferencial ordinária de primeira ordem...................................................................1
6.1.1 – Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes....................................................1
6.1.2 – Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante........................................1
6.1.3 – Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante..................................2
6.2 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero..............................3
6.2.1 – O circuito RC (resistor-capacitor)...................................................................................3
6.2.2 – O circuito RL (resistor-indutor)......................................................................................5
6.3 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero.................................6
6.4 – Linearidade da resposta ao estado zero.................................................................................10
6.5 – Invariância com o tempo.......................................................................................................11
6.6 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa.......................................11
6.7 – Resposta ao Impulso.............................................................................................................14
6.8 – Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples......................................................16
6.9 – Circuitos variáveis com o tempo e não lineares....................................................................19
6.10 – Exercícios............................................................................................................................23
6.11 – Soluções..............................................................................................................................28
6 Circuitos de primeira ordem
6.1 Equação diferencial ordinária de primeira ordem
6.1.1 Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes
{
dv v
 =0
dt 
v 0=v 0
∫
dv
−1
=∫ ⋅dt
v

ln v=
−t
D

−t
v=v 0⋅e 
Está é a chamada resposta natural da equação diferencial.
6.1.2 Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante
{
dv v
 =k
dt 
v 0=v 0
dv k⋅−v
=
dt

dv
−1
∫ v−k⋅ =  ⋅∫ dtD
ln v−k⋅=
−t
D

v=v ∞−[v ∞−v 0]⋅e
−t

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Para este caso particular a resposta completa (v) é formada pela resposta natural
somada a uma resposta forçada que tem o mesmo formato da entrada.
6.1.3 Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante
{
dv t v t

= y t
dt

v 0=v 0
t

Multiplicando ambos os lados da equação por e


t

t
t
dv v 
 ⋅e = y⋅e 
dt 
como

t
dv v  d  v⋅e  
 ⋅e =
dt 
dt
então
t

t
d v⋅e 
= y⋅e 
dt
t

t

v⋅e =∫ y⋅e ⋅dtD
−t

t

v=e ⋅∫ y⋅e ⋅dtD⋅e
−t

Para o caso geral a resposta completa da equação diferencial é a soma da resposta
natural com uma resposta forçada que apresenta componentes com o mesmo formato da
entrada.
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6.2 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero
6.2.1 O circuito RC (resistor-capacitor)
O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão
constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha.
Para t> 0 ,
i C t i R t=0
dv v
C⋅ C + R =0 e v C 0=v 0
dt R
Como
v C =v R=v
{
{
dv v
C⋅  =0
dt R
v 0=v 0
dv
1
=−
⋅v
dt
R⋅C
v (0)=v 0
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com
coeficientes constantes cuja solução geral é
−t
v t =k⋅e  ⋅u t
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τ=R⋅C e k =v 0=v 0
−1
⋅t
dv −v
i C t=C⋅ = 0⋅e R⋅C ⋅u t
dt
R
Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta
solução que depende das características do circuito (  só depende da topologia) e das
condições iniciais do circuito (k depende das condições iniciais).
A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na
figura abaixo. Nesta figura v 0=1 e R⋅C =1 . Observa-se para t = R⋅C , 2⋅R⋅C , 3⋅R⋅C ... a
exponencial se reduz a e−1 , e−2 , e−3 … e por esta razão a contante RC é chamada de
constante de tempo do circuito (). A reta que tangencia a exponencial em t=0 intercepta o
eixo x no tempo R⋅C . Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1⋅ ,
14% em 2⋅ , 5% em 3⋅ , 2% em 4⋅τ e 0,7% em 5⋅ .
A constante de tempo tem unidade de segundos e corresponde ao inverso da frequência
natural do circuito ( ω ). Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor
equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC.
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6.2.2 O circuito RL (resistor-indutor)
O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente
constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha.
Para t> 0
v L v R=0
L⋅
{
di L
R⋅i L =0 e i L 0=I 0
dt
di
R
=− ⋅i
dt
L
i L (0)=I 0
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros
constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é
i L t =I 0⋅e
−R
⋅t
L
⋅u t
Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia
do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como
=
L
R
que também apresenta unidade de tempo (segundos).
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6.3 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero
Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0
Para t> 0
i C i R =i S
dv v
C⋅  =i S t e v 0=0
dt R
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com
excitação) e condição inicial nula (estado zero).
A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo
circuito:
para t=0 +
dv i S
= (condição imposta pela topologia do circuito – toda a corrente passa pelo C)
dt C
para t=∞
v=R⋅i S t (condição imposta pela fonte – capacitor carregado)
A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma
de duas parcelas, uma com o formato da solução homogênea e outra chamada de solução
particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim v completa =v hv p . A solução
homogênea depende das condições iniciais do problema e da sua topologia e a solução
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particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta
forçada pois é imposta pela excitação.
Para o exemplo em questão
v t =K 1⋅e
−1
⋅t
R⋅C
R⋅i S t  , para t≥0 .
sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema
v 0=K 1R⋅i S t=0
K 1=−R⋅i S t ,
logo

v t =R⋅i t ⋅1 – e
−1
⋅t
R⋅C
S
Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse
uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante.
Exemplo: Se i S t =A1⋅cos ⋅t1 então v p t= A2⋅cos⋅t 2
dv v
C⋅  =A1⋅cos ⋅t1 
dt R
v t =K 1⋅e
−1
⋅t
R⋅C
 A2⋅cos ⋅t 2  , para t≥0
v 0= K 1 A2⋅cos 2 =0
K 1=−A2⋅cos 2 
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
C⋅dv p v p
 =A1⋅cos ⋅t 1 
dt
R
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como v p t= A2⋅cos ⋅t 2 
então
−C⋅A2⋅⋅sen ⋅t2 
A2 =
A2
⋅cos⋅t 2= A1⋅cos ⋅t 1 onde
R
A1
 
2
2
1
  ⋅C 
R
 2=1−arctan⋅R⋅C 
0
A figura abaixo foi produzida com R=1  , C=1F , A1=0 e 1=−90 . A resposta
completa é a soma da exponencial com o cosseno defasado. A influência da exponencial
desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso é chamada de resposta transitória ao
passo que a resposta sem exponencial decrescente é chamada de resposta em regime
permanente. Este transitório pode ser nulo se v 0= A2⋅cos  2 , isto ocorre porque neste
caso a corrente e a tensão já estão com a mesma defasagem e amplitude de regime permanente
então não é necessário nenhum período transitório para ajustar estes dois parâmetros.
O mesmo exemplo poderia ser resolvido da seguinte maneira:
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i S t =A1⋅cos ⋅t1 =A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t 
v p t= A2⋅cos ⋅t2 =A ' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t 
dv v
C⋅  =A ' 1⋅cos ⋅tA ' ' 1⋅sen ⋅t
dt R
−1
⋅t
v t =K 1⋅e R⋅C  A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0
v 0= K 1 A' 2⋅cos 0=K 1 A' 2=0
K 1=−A' 2
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
dv
v
C⋅ p  p =A ' 1⋅cos ⋅tA ' ' 1⋅sen ⋅t
dt
R
como v p t= A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t  A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t]
...
=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t 
R
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2
A' ' 2
= A' ' 1
R
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2
A '2
=A ' 1
R
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6.4 Linearidade da resposta ao estado zero
É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma
função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de
onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para
representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as
seguintes condições.
Z t0 i 1i 2 =Z t0 i 1 Z t0 i 2 
Z t0 k⋅i 1=k⋅Z t0 i 1 
Para uma determinada rede, v 1 é a resposta a excitação com uma fonte i 1 t  tal que
dv 1 v 1
C⋅  =i 1 t  com v 1 0=0
dt R
e v 2 é a resposta para uma excitação i 2 t  de tal forma que
dv v
C⋅ 2  2 =i 2 t com v 2  0=0 .
dt R
A soma das duas equações resulta em
dv 1
dv 2 v 1 v 2
C⋅ C⋅   =i 1 t i 2 t 
dt
dt R R
ou seja
d v 1v 2  1
C⋅
 ⋅v 1v 2 =i 1 t i 2 t com v 1 0v 2 0=0
dt
R
o que satisfaz a primeira condição para linearidade.
Caso a fonte i 1 t  seja multiplicada por um determinado valor k então
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d k⋅v 1  k⋅v 1
C⋅

=k⋅i 1 t  com k⋅v1  0=0
dt
R
Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado
zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo.
6.5 Invariância com o tempo
Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i 1 e cuja resposta ao estado
zero seja v 1 tal que
dv 1 v1
 =i .
dt  1
Agora, supondo que a excitação mude para i 1 t−T1 , então a resposta ao problema é
v 1 t−T1 tal que
dv 1 t−T1 v 1 t−T1

=i 1 t−T1
dt

cuja solução é idêntica à da equação
dy y
 =x onde
dt 
y=v 1 t−T1 e x=i 1 t−T1 com v 1 0−T1=0 .
Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1
segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos.
6.6 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa
Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a
resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a
resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação
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zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas
equações são
dv v
C⋅ I  I =0 (equação para o circuito RC com excitação zero)
dt R
dv
v
C⋅ O  O =i S t  (equação para o circuito RC com estado zero)
dt
R
onde v I e v O são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente.
Somando as equações temos
dv v
dv
v
C⋅ I  I C⋅ O  O =i S t
dt R
dt
R
que pode ser reescrita como
d v I v O  v I v O 
C⋅

=i S t  .
dt
R
Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema
completo.
v C t =v I tv O t , para t≥0 .
v C t =v O⋅e
−1
⋅t
R⋅C

R⋅i S⋅ 1 – e
−1
⋅t
R⋅C
.
Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da
resposta em regime permanente.
v C t=v transitoria t v permanente t 
−1
⋅t
v C t =v O – R⋅i S ⋅e R⋅C R⋅i S t , para t≥0 .
Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato
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sol t=sol ∞−[sol ∞−sol 0]⋅e
−t

onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e  é a constante de
tempo do circuito, seja ele RC ou RL.
Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave
S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=R1⋅C .
para t≤0
v C =0
para 0≤t≤R1⋅C
v C 0=0
v C ∞=R1⋅I

v C =R1⋅I⋅ 1 – e
−t
R1⋅C

para t=R1⋅C=T1
 
v C T1=R1⋅I1⋅ 1−

v C ∞= I⋅

2 =C⋅
R1⋅R2
R1 R2
R1⋅R2
R1 R2
1
e


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v C t=v C T1⋅e
−t −T1
2

vC ∞⋅ 1 – e
v C t =v C ∞−[v C ∞−v C T1]⋅e
−t – T1 
2
−t −T1
2
=v excitação zerov estado
zero
=v  permanente v transitória
6.7 Resposta ao Impulso
A resposta ao estado zero de um circuito invariante excitado por um impulso unitário
em t=0 é chamada de resposta ao impulso e simbolizada por h. Por conveniência usaremos
h(t)=0 para t<0.
Neste exemplo a resposta ao impulso pode ser calculada facilmente considerando o
capacitor como um curto circuito para t=0 e, a partir dai, calculando a resposta a excitação
zero.
Assim, para t=0
1
1
v= ⋅∫ t ⋅dt=
C
C
Para t>0 este problema apresenta a mesma solução do problema de excitação zero.
−t

v t =k⋅e ⋅u t 
onde =R⋅C e k =v0 =
1
.
C
A resposta ao impulso de um circuito linear e invariante caracteriza este circuito. Mais
adiante na matéria ficará provado que é possível obter a resposta ao estado zero de qualquer
rede linear e invariante e para qualquer excitação se conhecermos a sua resposta ao impulso.
Isto é intuitivamente correto, pois qualquer sinal pode ser obtido por um conjunto de infinitos
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impulsos de amplitudes apropriadas e deslocados no tempo (propriedades de linearidade e
invariância com o tempo). Também é intuitivo pensar que a função impulso apresenta todas as
frequências com igual amplitude o que permite calcular a resposta da rede para todas as
frequências simultaneamente. Como todos os sinais podem ser obtidos por uma soma de
senoides de diferentes frequências com diferentes amplitudes e fases (Transformada de
Fourier) então, conhecendo a resposta ao impulso podemos determinar a resposta do sistema a
qualquer excitação.
A resposta ao impulso poderia ser obtida de outras formas. Em redes lineares é
possível derivar a resposta ao degrau. No problema acima a resposta ao degrau significa a
resposta do problema quando i(t)=u(t). Então
dv v
C⋅  =u t ,
dt R
v 0=0 e
v ∞=R⋅i=R⋅ut 
 para t>0.
v t =u t⋅R  1−e
−1
⋅t
R⋅C
Como
h t=
dv t 
dt
então
 C1 ⋅u t⋅e
h t=t ⋅R⋅ 1−e
−1
⋅t
R⋅C
−1
⋅t
R⋅C
a primeira parcela é zero pois para t¹0, d(t)=0 e para t=0, 1−e
−1
⋅t
R⋅C
=0 .
1
−
⋅t
1
h  t = ⋅u  t ⋅e RC para todo t>0.
C
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Mostre que a mesma resposta poderia ser obtida calculando a resposta à função pulso
(soma de dois degraus) com  0 .
6.8 Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples
Para os circuitos abaixo, considerar as correntes e tensões de fonte unitárias.
dv v
C⋅  =i
dt R

tem resposta ao degrau: v C t =R⋅ 1−e
−1
⋅t
R⋅C
⋅u t
−1
⋅t
1
e resposta ao impulso: v C t = ⋅e R⋅C ⋅u t
C
di
L⋅ R⋅i=v t 
dt

R
− ⋅t
L
tem resposta ao degrau: i L t = 1 ⋅ 1−e
R
⋅u t
R
1 − ⋅t
e resposta ao impulso: i L t = ⋅e L ⋅u t
L
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1 d 
 =it 
R dt L
R
− ⋅t
L
tem resposta ao degrau: v L t =R⋅e
⋅u t 
2
R
e resposta ao impulso: v t =R⋅t − R ⋅e− L⋅t⋅ut 
L
L
dq q
R⋅  =v t
dt C
−1
⋅t
1
tem resposta ao degrau: i C t = ⋅e R⋅C ⋅u t 
R
−1
⋅t
1
1
e resposta ao impulso: i C t = ⋅ t− 2 ⋅e R⋅C ⋅u t
R
R ⋅C
L⋅
di t 
R⋅i t=v t
dt
tem resposta ao degrau: v t =L⋅ tR⋅u t
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e resposta ao impulso: v t =L⋅ ' t R⋅t 
dv t  v t 
C⋅

=i t
dt
R
1
tem resposta ao degrau: it =C⋅t  ⋅u t 
R
1
e resposta ao impulso: i t =C⋅ ' t  ⋅t 
R
t
1
R⋅i t ⋅∫ i t ' ⋅dt ' =v t 
C 0
1
tem resposta ao degrau: v t =R⋅u t  ⋅r t 
C
1
e resposta ao impulso: v t =R⋅t  ⋅ut 
C
t
1
1
⋅v t ⋅∫ v t ' ⋅dt ' =i t
R
L 0
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1
1
tem resposta ao degrau: it = ⋅u t  ⋅r t 
R
L
1
1
e resposta ao impulso: i t = ⋅t  ⋅u t 
R
L
6.9 Circuitos variáveis com o tempo e não lineares
Nesta secção são apresentados exemplos de problemas não lineares e ou variantes com
o tempo. Estes problemas têm, em geral, solução difícil e não existe um método de análise,
exceto integração numérica das equações diferenciais. As técnicas utilizadas para solução de
problemas lineares e invariantes não podem ser aplicadas a classe de problemas que serão
estudados nesta seção, sendo assim não se aplicam os seguintes conceitos:
1) A resposta a excitação zero é uma função linear do estado inicial;
2) A resposta ao estado zero é uma função linear da excitação;
3) A translação temporal da excitação implica na translação da resposta ao estado zero;
4) A resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau;
5) A resposta completa é a soma da resposta à excitação zero com a resposta ao estado
zero.
Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=1V
e C=1F determinar a resposta a excitação zero para os seguintes casos:
a) Resistor linear e invariante de 1W;
v t =u t⋅e−t
b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5⋅cos t ] ;
dv
[10,5⋅cos t]⋅v=0 , para t ³ 0
dt
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19
v 0=1
dv
=−[10,5⋅cos t]⋅dt
v
t
t
∫ dvv =∫ −[10,5⋅cos t ]⋅dt
0
0
ln [v t]=−[t0,5⋅sen t]
v t =u t⋅e−t −0,5⋅sen t 
c) Um resistor não linear invariante tendo a característica iR=vR2;
dv 2
v =0 , para t ³ 0
dt
v 0=1
v t 
t
∫
d v
=∫ −dt '
v 2 0

1
−1 =−t
v t
v 0 
−

1
v t =u t ⋅
t 1
Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=0V
e C=1F determinar a resposta ao degrau unitário de corrente.
a) Resistor linear e invariante de 1W;
v t =u t⋅ 1−e −t 
b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5⋅cos t ] ;
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20
dv
[10,5⋅cos t]⋅v=u t , para t ³ 0
dt
v 0=0
Não é possível integrar a resposta ao impulso, calculada no exemplo anterior, para
obter a resposta ao degrau, pois o resistor é variável com o tempo. A resposta a este problema
conterá uma parcela constante (forçada pela fonte) e outra variável (forçada pelo resistor).
Como o resistor é variável com o tempo também não é possível realizar operações de
deslocamento temporal, ou seja, se o estímulo for deslocado no tempo a resposta não será a
anterior deslocada no tempo.
t
−t0,5⋅sen  t
v t =v 0⋅e
⋅∫ e
−t 0,5⋅sen t 
e
t −0,5⋅sen t 
⋅dt
0
c) Um resistor não linear invariante tendo a característica iR=vR2;
dv
2
v =u t  , para t ³ 0
dt
v 0=0
v t 
∫
v 0
t
d v
=∫ dt '
1− v 2 0
v t =u t ⋅tanh t
observe que se a entrada fosse k×u(t) a resposta não seria multiplicada por k e sim
v t = k⋅u t⋅tanh   k⋅t
Exemplo: Para o próximo circuito determine as formas de onda sobre o capacitor. A
fonte de tensão é pulsada com período 2T, amplitude V0 e ciclo de trabalho de 50%.
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21
Solução:
Aproximar o diodo por dois circuitos formados por um resistor em série com um diodo
ideal. Cada circuito representa a resistência linearizada do diodo para as situações de
polarização direta e reversa.
Analisar as constantes de tempo: Se as constantes de tempo forem muito menores do
que  as formas de onda de tensão no capacitor terão um comportamento exponencial e
estabilizarão no valor máximo (V0) ou 0. Já a tensão sobre o diodo serão exponenciais com
amplitude de  V0 decaindo para zero.
Se as constantes de tempo de carga e descarga do capacitor forem da mesma ordem de
grandeza de  então as formas de onda não chegarão aos seus valores limites. Neste caso é de
se esperar que a tensão sobre o capacitor passe por um período transitório e estabilize entre
dois valores de tensão V1 e V2.
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22
Considerando que t=0 no início do primeiro ciclo de carga do capacitor em regime
permanente, então a carga do capacitor pode ser escrita como
v t=V V −V ⋅1−e 
−
1
1
0
t
1
1
e a descarga como
v 2 t =V 2⋅e
−t −T
2
.
Ao final de um período de carga v 1 T =V 2 , logo

−
v 1 T =V 2=V 1V 0−V 1 ⋅ 1−e
T
1
.
O final de um período de descarga v 2  2⋅T =V 1 , logo
−
v 2  2⋅T =V 1=V 2⋅e
T
2
.
Isolando V1 e V2 no sistema de equações que determina v 1 T  e v 2  2⋅T  temos
V 2=

V 0⋅ 1−e
−T
1
−T
1
1−e ⋅e
V 1=

V 0⋅ 1−e
−T
1
−T
1

−T
2
⋅e
1−e ⋅e
−T
2
−T
2
6.10 Exercícios
Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a
simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das
simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em
infinito.
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23
1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a
seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e
uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. Calcule a tensão sobre o capacitor (
v C ) e o resistor ( v R ). Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a v C o
circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas.
Qual seria a razão para estes nomes?
2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e
V =30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u tV . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há
alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória
seja nula.
3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2
fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1
fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido
correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo
4t∞ .
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24
4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo
anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor.
a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente.
b) Considere I 1 t  uma fonte constante e independente.
c) Considere V 1 t  uma fonte constante e independente
d) I 1 t  é um degrau unitário de corrente.
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25
e) I 1 t  é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante
de 4mA.
f) V 1 t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s.
g) V 1 t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R1⋅C 1 segundos.
h) V 1 t  é uma fonte constante e independente.
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26
5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o
laser é necessário 60mA∣I∣180mA para 0t200  s . A chave S1 troca de posição em
t=0. Determine valores apropriados de R6 e R8 . O circuito estava em regime permanente
para t<0.
6) Para o circuito abaixo:
a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável.
b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms.
c) Encontre a equação de i(t) quando V 1 t =10⋅e−100⋅t⋅u t V .
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27
6.11 Soluções
1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a
seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e
uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é
de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor v C  e o resistor v R . Quando a fonte V é
considerada entrada e a saída corresponde a v C o circuito é chamado de passa baixas e
quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes?
Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o
problema
dv
v v
−  C C⋅ C
R R
dt
dv C
vC
v

=
dt R⋅C R⋅C
onde R⋅C =constante de tempo==0,1 ms
1
− ⋅t

v C =k 1⋅e
k 2
Para os 0,1ms onde v=10V
v C ∞=10V
1
− ⋅t

v C t=[ vC 0−10]⋅e
10
a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo)
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28
Para os 0,1ms onde v=0V
v C ∞=0V
1
− ⋅t

v C t=10⋅e
a tensão chega a 0V em 1,5ms.
Do segundo pulso em diante
1
− ⋅t

v C t=−10⋅e
1
− ⋅t

v C t=10⋅e
10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V)
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda
quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças
rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as
baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas
frequências).
v R t =v−vC t
1
− ⋅t

v R t =10⋅e
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V)
1
− ⋅t

v R t =10−10⋅e
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda
quadrada mas “zera” as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa
altas (passa altas frequências).
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29
V(V1,C1) – tensão sobre o resistor
2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e
V =30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u tV . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há
alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória
seja nula.
dv v [ A' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t ]
C⋅  =
dt R
R
onde =2⋅⋅1000 , A ' 1=30 e A ' ' 1=0
−1
⋅t
v t =K 1⋅e R⋅C  A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0
v 0= K 1 A' 2⋅cos 0=K 1 A' 2=1
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30
se v 0= A' 2 então K 1=0 e não há transitório
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
dv
v [ A ' 1⋅cos ⋅t ]
C⋅ p  p =
dt
R
R
como v p t= A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t  A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t] [ A' 1⋅cos ⋅t ]
...
=
R
R
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2
A' ' 2
=0
R
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2
A '2
=30
R
3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2
fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1
fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido
correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo
4t∞ .
a) Transformando o Norton (I=10A e R=2) em Thévenin
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31
di L R
R
 ⋅i = ⋅I
dt L L L S
di L 1
1
 ⋅i = ⋅10=2,5
dt 4 L 4
i L  0=0A , i L ∞=10A
i L t =10 – 10⋅e
−t
4
para t>0
−1
i L  4=10 – 10⋅e =6,32 A
1
1
w L  4= ⋅L⋅i 2L 4= ⋅8⋅6,322=159,8 J
2
2
b)
L 8
i L  4=6,32 A e i L ∞=0 e = = =2
R 4
i L t =6,32⋅e
−t −4
2
para t>4
c)
∞
w R =∫ R⋅I 2 t dt
0
∞
w R =4⋅∫ 6,32 ⋅e
2
−2⋅ t−4 
2
∞
⋅dt=4⋅6,322⋅−1⋅e−t −4∣4 =159,8 J
4
4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo
anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor.
a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.
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32
−I S1 i R1i C =0 e i R1=I S1−i C
1
−R1⋅i R1 ⋅∫ i C t ⋅dtR1⋅i C =0 – considerando v C  0=0
C
derivando esta equação
diC 1
diC
R1⋅  ⋅i C R 1⋅ =0
dt C
dt
di C
1

⋅i =0
dt C⋅ R1R1 C
i C t =k⋅e
i C  0+ =
−t
C⋅ R1 R1
R1⋅I S1
=k
R1R1
−t
it =
R1⋅I S1 C⋅ R  R 
para t>0
⋅e
R 1 R 1
1
1
b) Considere I 1 t  uma fonte constante e independente.
i L1 0- =i L1 0+ =
I1
⋅G
G1 G2 2
i L1 ∞=I1
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33
Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema
I1⋅R1=L⋅
=
di L1
R1⋅I1
dt
L1
R1
1
− ⋅t

i L1 t =k 1⋅e
k 2 , para t>0.
i L1 ∞=k 2= I1 , i L1 0=k 1k 2=
k 2= I1 , k 1=−
I1
⋅G
G−1G2 2
I1⋅G1
G 1G 2
di t
v L1 t =L⋅ L1 , para t>0.
dt
c) Considere V 1 t  uma fonte constante e independente
V TH =−
40
20
V , RTH =R N =  , I N =−2A
9
9
+
v C1 0 =V TH , v C1 ∞=
V TH
⋅R =3,48V
RTH R2 2
Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C1, R2, RN e IN
em paralelo. Este circuito já foi calculado.
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34
R EQ=
R2⋅RN
R2 R N
I N =C⋅
dvC1 v C1

dt
R EQ
=REQ⋅C 1
1
− ⋅t

v C1 t=k 1⋅e
k 2 , para t>0.
v C1 ∞=k 2=3,48
v C1 0=k 1k 2=−4,44
k 1=−7,92
d) I 1 t  é um degrau unitário de corrente.
Observe que neste circuito R1 esta em paralelo com L1. Este conjunto está em série
com o paralelo de C2 com R2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo
independentes: a) I1, R1 e L1 ; b) I1, R2 e C2.
−
i L1 t =k 1⋅e
R1
⋅t
L1
−
v C2 t=k 3⋅e
k 2
1
⋅t
R2⋅C 2
k 4
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35
e) I 1 t  é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante
de 4mA.
Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor
R EQ=RTH =12k //  20k16k =9k 
i EQ=[10⋅u t – 4]mA
V C1 0– =−
4 mA⋅[20k 12k // 16k]
⋅12k =−16V
20k12k
i C  0+ =6mA
16V
=7,77 mA
9k 
i C ∞=0
dv C
v
i
 C = EQ
dt REQ⋅C C
+
i C t =i C 0 ⋅e
−t
C⋅R EQ
⋅u t mA
f) V 1 t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s.
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36
v R2=V1 logo i R2=
V1
(a mesma corrente que flui pelo paralelo de C1 com R1)
R2
v C1 =v R1=Vo
Para 0<t<0,5
+
v C1 0 =0V , v C1 ∞=−
V1
⋅R
R2 1
=R1⋅C 1
1
− ⋅t

v C1 t=k 1⋅e
k 2
v C1 ∞=k 2=−5
v C1 0=k 1k 2=0
k 1=5
Para t>0,5
−
v C1 0,5=5⋅e
1
⋅0,5
0,1
−5≈−4,9V , v C1 ∞=0V
1
− ⋅ t−0,5 

v C1 t=k 3⋅e
k 4
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37
k 4 =0
v C1 0,5=k 3 =−4,9
g) V 1 t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R⋅C segundos.
Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton
dv
v
V1
=C⋅ C1  C1
R1
dt
R1
Para 0t6⋅R1⋅C 1
v C1 0+ =0V , v C1 ∞=V1
=R1⋅C 1
1
− ⋅t

v C1 t=k 1⋅e
k 2
1
− ⋅t

v C1 t=−V1⋅e
V1
Para t6⋅R1⋅C 1
−
v C1 6⋅R1⋅C 1=−V1⋅e
1
⋅ 6⋅R1⋅C 1 
R1⋅C 1
V1≈V1 , v C1 ∞=0V
1
− ⋅ t−6⋅R1⋅C 1

v C1 t=V1⋅e
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38
h) V 1 t  é uma fonte constante e independente.
Solução:
i L  0– =
V1
V1
, i L ∞=
, i L  0+ =i L 0- 
R1
R1
v C 0– =V 1 , v C  0+ =V 1 , v C ∞=0V
dv
v
C⋅ C  C =0
dt
R
v C t =6⋅e
−t
R⋅C
V para t>0.
5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o
laser é necessário 60mA∣I∣180mA para 0t200  s . A chave S1 troca de posição em
t=0. Determine valores apropriados de R6 e R8 . O circuito estava em regime permanente
para t<0.
Com a chave na posição atual, o equivalente Thèvenin de V2, R7 e R6 é
V TH =
v 2⋅R6
R6R 7
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39
RTH =
R7⋅R6
R7R6
i MAX =
v2
=180mA
RTH R9
R6
=0,18
804⋅R6
R6=51,4 
−t

−
I t=I 0⋅e =0,18⋅e
R EQ
⋅t
L3
onde
R EQ=R 9R8
R8 deve ser escolhido tal que I(200s)=60mA
6) Para o circuito abaixo:
a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável.
b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms.
c) Encontre a equação de i(t) quando V 1 t =10⋅e−100⋅t⋅u t V .
Retirando o capacitor e inserindo em seu lugar uma fonte de corrente independente de
valor IT para cima (para calcular um equivalente Norton do resto do circuito)
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40
 
v T −v 1
v –v
v
B⋅ 1 T  T =i T
R1
R1
R2

v T⋅
 

1
B 1
B 1
– 
v 1⋅
–
=i T
R1 R1 R2
R1 R1
como
iT =
V TH
−IN
RTH
então
1
1 3–B
= =
RTH R N 10k
RTH =
10k
3−B
a) RTH ≤3
−3
−6
= RTH⋅C 1 =20⋅10 =RTH⋅2⋅10
RTH =
20⋅10−3
=10k 
−6
2⋅10
RTH =
10k
=10k
3−B
b) B=2
Com o capacitor no circuito
−i2⋅i
v C1
dv C1
C 1⋅
=0
R2
dt
v C1 =v 1 – i⋅R1
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro!
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−i2⋅i
v 1−R 1⋅i
d v 1 – R1⋅i
C 1⋅
=0
R2
dt
v1
di i 1 dv 1
 = ⋅ 
dt  R1 dt R1⋅R 2⋅C 1
i0=
v 1 0 
=1mA
R1
it =k 1⋅e−50⋅t k 2⋅e−100⋅t
Em regime permanente
v 1=10⋅e−100⋅t , i=k 2⋅e−100⋅t
dv 1
di
−100⋅t
=−100⋅k 2⋅e
=−1000⋅e−100⋅t ,
dt
dt
−100⋅k 2
k 2 −1000 10
=


10k
100
k 2=0
Para t=0
−1 mA=k 1⋅e −50⋅tk 2⋅e−100⋅t
k 1=−1
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