física (eletromagnetismo) campos magnéticos

FÍSICA (Eletromagnetismo)
Campos Magnéticos
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza
FÍSICA (ELETROMAGNETISMO)
CAMPOS MAGNÉTICOS
1 O MAGNETISMO
Na Grécia antiga já eram conhecidas as propriedades de um minério de ferro encontrado na região da
Magnésia, a magnetita (Fe3O4): um pedaço de magnetita é um ímã permanente, que atrai pequenos
fragmentos de ferro.
Em 1100 A.C., os chineses já haviam descoberto que uma agulha de magnetita capaz de se orientar
livremente num plano horizontal alinha-se aproximadamente na direção norte-sul, e usavam este aparelho, a
bússola, na navegação.
Em 1600, William Gilbert publicou um importante tratado sobre o magnetismo, onde observa, pela primeira
vez, que a própria Terra atua como um grande ímã. Um ímã permanente (em particular, a agulha magnética
de uma bússola) tem um polo norte (N) e um polo sul (S), e é fácil verificar, com dois ímãs, que seus polos de
mesmo nome (N e N ou S e S) se repelem, e que seus polos de nomes contrários (N e S) se atraem.
Em 1822, durante uma aula experimental, o professor de física dinamarquês Hans Christian Oersted
descobriu que uma corrente elétrica passando por um fio deslocava a agulha de uma bússola que estava por
perto. Essa foi uma das mais importantes descobertas da eletricidade, possibilitando, a seguir, a construção
de motores e geradores que fazem parte essencial da vida moderna.
Poderíamos pensar em descrever o magnetismo produzido por ímãs permanentes de forma análoga à
eletrostática, introduzindo cargas magnéticas N e S (em analogia com cargas elétricas + e -). Porém, a
experiência mostra que não é possível isolar os polos N e S de um ímã. Se o partirmos em dois, cada um
deles continuará tendo polos N e S.
Recentemente, fez-se um grande esforço experimental para verificar se existem partículas com “carga
magnética”, que seriam polos N ou S isolados (monopolos magnéticos). Nenhum jamais foi detectado. É,
portanto um fato experimental básico no estudo do magnetismo que não existem cargas magnéticas (polos
magnéticos isolados).
Podemos pensar numa barra ou agulha imantada como análoga a um dipolo magnético em lugar de elétrico.
A barra magnética seria análoga a um dielétrico polarizado, e os polos norte e sul que aparecem em suas
faces seriam análogos às cargas de polarização ligadas sobre as extremidades de uma barra dielétrica
polarizada (note que, também neste caso, se partíssemos uma barra em duas, cargas superficiais de
polarização apareceriam nas novas faces).
Sabemos que a posição de equilíbrio de um dipolo num campo elétrico uniforme corresponde ao dipolo
alinhado com o campo. Por analogia, podemos mapear a direção e o sentido de um campo magnético num
dado ponto como a direção de equilíbrio e o sentido S → N de uma pequena bússola colocada neste ponto.
Quando salpicamos limalha de ferro sobre um ímã, cada pequeno fragmento de ferro se magnetiza por
indução e funciona como uma minúscula agulha imantada (bússola), indicando a direção do campo, de modo
que materializamos assim as linhas de força magnéticas.
©Moyses Nussenzveig, Física Básica, Vol. 3
2 O CAMPO MAGNÉTICO
Assim como uma barra de plástico carregada produz um campo elétrico E em todos os pontos do espaço ao
seu redor, um imã produz um campo magnético B em todos os pontos ao seu redor.
Uma bobina é um tipo familiar de ímã produzido a partir do enrolamento de um fio ao redor de um núcleo de
ferro. Uma corrente é enviada através da bobina, e determina a intensidade do campo magnético. Tais
cargas são chamadas de fato, de monopolos magnéticos, porém sua existência nunca foi confirmada.
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Comparativamente ao estudo das cargas elétricas, espera se que uma carga magnética crie um campo
magnético ao seu redor capaz de afetar outras cargas magnéticas. Porém, como são criados os campos
magnéticos?
1) Partículas carregadas eletricamente em movimento → corrente em um fio criam campos magnéticos.
2) Partículas elementares tais como o elétron possuem um campo magnético intrínseco ao seu redor.
Quando uma partícula carregada se move através de um campo magnético, uma força devida ao campo
pode atuar sobre a partícula.
3 DEFINIÇÃO DE B
Determinamos o campo elétrico E em um ponto colocando uma partícula teste de carga q em repouso neste
ponto e medimos a força elétrica que atua sobre a partícula. Assim, definimos E = F / q.
Se houvesse um monopolo magnético poderíamos definir B da mesma maneira. Como não temos, vamos
defini-lo de outra forma, em termos da força magnética exercida sobre uma partícula teste eletricamente
carregada de carga q em movimento com uma velocidade v.
Suponha que uma partícula carregada q seja disparada em várias direções num ponto no qual B deve ser
definido. A força F é proporcional à q, a v, e é perpendicular ao campo magnético B e à velocidade v. F é
proporcional a sin θ.
• é nula se a carga é zero ou se a partícula estiver estacionária, ou ainda, se v e B forem paralelos (φ = 0 °)
ou antiparalelos (φ = 180° );
• atingirá um máximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro.
Podemos resumir esses resultados na equação vetorial
⃗⃗
𝐹⃗𝐵 = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵
𝐹𝐵 = |𝑞|. 𝑣. 𝐵. sin ∅
Sabemos que o produto vetorial v x B é um vetor perpendicular aos dois vetores, v e B, que pode ser obtido
através da regra da mão direita. Logo, além da magnitude da força, é possível conhecer a direção e o sentido
da força, usando corretamente a regra da mão-direita.
A direção do vetor c obtido através do produto vetorial é sempre perpendicular ao plano formado pelos
vetores a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Nesta regra devem-se apontar os dedos da
mão direita na direção de a e curvar na direção do vetor b pelo menor ângulo possível entre eles.
Mantendo o polegar estendido; o polegar apontará no sentido do produto vetorial a × b.
A regra da mão direita diz que o dedo polegar da mão direita aponta na direção v x B quando os outros
dedos giram v fazendo-o coincidir com B.
FB nunca possui uma componente paralela a v, por isso nunca consegue alterar a velocidade escalar da
partícula, mas pode alterar a direção de v, podendo com isto, acelerar a partícula. Unidades no SI:
1 tesla = 1 T = 1 newton / (Coulomb/(metro/segundo)) = 1 N/(A.m)
Uma unidade mais antiga ainda em uso: 1 tesla = 104 Gauss
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TESTE.1
Respostas:
+z, -x, 0
Linhas de campo magnético
Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo. (1) A direção da tangente a uma linha de
campo magnético em qualquer ponto fornece a direção de B nesse ponto; (2) o espaçamento entre as linhas
representa a intensidade do campo.
Polos magnéticos iguais se repelem, e contrários se atraem.
As linhas de campo entram por uma extremidade do imã (polo sul) e saem pela outra extremidade (polo
norte).
4 O MAGNETISMO DA TERRA
A Terra pode ser considerada um imã gigantesco. O magnetismo terrestre é atribuído a enormes correntes
elétricas que circulam no núcleo do planeta, constituído de ferro e níquel no estado líquido, devido às altas
temperaturas. Podemos detectar o campo magnético da Terra com uma bússola, que é uma barra fina
imantada apoiada sobre um pivô com atrito reduzido. Por convenção, chamamos de polo norte da agulha de
uma bússola, aquele que aponta para o polo norte geográfico. Entretanto, como sabemos, polos de mesmo
nome se repelem e de nomes contrários se atraem. Então podemos concluir que:
1) se a agulha aponta para o polo norte geográfico, então nessa região existe um polo sul magnético;
2) se a agulha aponta para o polo sul geográfico, então nessa região existe um polo norte magnético.
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5 PARTÍCULA CARREGADA DESCREVENDO CÍRCULO
Uma partícula carregada com massa m e carga q se movendo com velocidade v perpendicular a um campo
magnético uniforme B desenvolve uma trajetória circular. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento
circular tem-se,
𝐹=𝑚
Podemos determinar o raio do círculo:
𝑣2
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑟
𝑟=
𝑣2
𝑟
𝑚𝑣
𝑞𝐵
Uma aplicação importante: o espectrômetro de massa
A frequência de revolução f, a frequência angular e o período T são dados por
𝑓=
1
𝜔
𝑞. 𝐵
=
=
𝑇 2𝜋 2𝜋. 𝑚
A figura a seguir mostra um feixe de elétrons projetado para dentro de uma câmara por uma pistola de
elétrons G. Os elétrons entram no plano da tela com velocidade escalar v e depois se deslocam em uma
região de campo magnético B, dirigido para for a deste plano. Uma força magnética deflete continuamente os
elétrons, fazendo-os seguir uma trajetória circular.
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A trajetória dos elétrons é o círculo reluzente, e é visível porque os átomos de gás na câmara emitem luz
quando alguns dos elétrons circulando colidem com eles.
6 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO CONDUZINDO CORRENTE
Um campo magnético exerce uma força lateral sobre elétrons que se movem em um fio. Esta força deve ser
transmitida ao próprio fio, pois os elétrons de condução não conseguem escapar para fora do fio. Esta força é
𝐹𝐵 = |𝑞|. 𝑣. 𝐵. sin ∅
Supondo que existam N elétrons no segmento L do fio (seção reta A), tem-se que a densidade eletrônica
será
𝑛 = 𝑁⁄𝐿. 𝐴
Sabemos que J = nev, logo,
𝐽=
𝑖
𝑖𝐿
⇒𝑣=
𝐴
𝑁𝑒
A partir desses resultados, a força sobre um elétron resulta
𝐹=
𝑖𝐿𝐵
𝑁
e a força sobre o segmento de fio é dada por
𝐹𝑓𝑖𝑜 = 𝑁. 𝐹𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝑖𝐿𝐵
A expressão geral é dada por
⃗⃗
𝐹⃗ = 𝑖𝐿⃗⃗ × 𝐵
L é um vetor comprimento que possui intensidade L e aponta no sentido da corrente.
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Um fio flexível passa entre as faces dos polos de um ímã. Sem corrente no fio, o fio permanece reto. Por
outro lado, com uma corrente para cima, o fio é defletido para a direita. Com uma corrente para baixo, a
deflexão é para a esquerda.
Uma vista superior detalhada de uma seção do fio da figura ao lado. O sentido da corrente é para cima, o
que significa que os elétrons são arrastados para baixo. Um campo magnético que emerge do plano da
página faz com que os elétrons e o fio sejam defletidos para a direita.
7 MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS EM CAMPOS MAGNÉTICOS
Trajetórias Helicoidais - Suponha que uma partícula carregada entre num campo magnético uniforme com
uma velocidade que não é perpendicular a B. A Fig. (a) mostra o vetor velocidade de uma partícula
decomposta em duas componentes, uma paralela à B e outra perpendicular à B. A componente paralela
determina o passo p da hélice. A componente perpendicular determina o raio da hélice, Fig. (b).
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A Fig. (c) mostra uma partícula carregada movendo-se em espiral em um campo magnético não uniforme. As
linhas de campo com menor espaçamento nos lados direito e esquerdo indicam que o campo magnético é
mais intenso nessas regiões. A partícula pode ficar confinada, movendo-se em espiral de um lado para outro
entre as regiões de campo forte, em ambas as extremidades.
Garrafa magnética - quando uma partícula carregada se move entre os extremos do campo magnético
mostrado na figura (c), que é intenso nas extremidades e fraco na região central, a partícula fica confinada e
se move para frente e para trás, espiralando em torno das linhas de campo. Fenômeno semelhante é o da
oscilação de íons entre o polo norte e polo sul da Terra, nos cinturões de Van Allen Elétrons e prótons estão
desta maneira aprisionados pelo campo magnético terrestre; as partículas aprisionadas formam os cinturões
de Van Allen, que se deslocam em laços bem acima da atmosfera terrestre entre os pólos geomagnéticos da
norte e sul da Terra. Quando uma grande erupção solar lança prótons e elétrons adicionais de alta energia
para dentro dos cinturões, um campo elétrico é produzido na região onde os elétrons normalmente se
refletem. Este campo elimina a reflexão e em vez disso empurra os elétrons para baixo, para dentro da
atmosfera, onde eles colidem com átomos e moléculas de ar, fazendo com que esse ar emita luz.
8 TORQUE SOBRE UMA ESPIRA DE CORRENTE
As forças que um campo magnético exerce sobre um fio que transporta corrente pode agora ser estendida
para o estudo de uma única espira transportando corrente imersa num campo magnético. A figura a seguir
mostra um motor elétrico simples, formado por uma única espira transportando corrente imersa em um
campo magnético B. As duas forças F e -F produzem um torque sobre a espira, tendendo a girá-la em torno
do seu eixo central.
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Considere agora a espira retangular ao lado de lados a e b, transportando uma corrente i que atravessa um
campo magnético B. Suponha que a espira seja colocada de modo que seus lados mais compridos, 1 e 3,
estejam perpendiculares à direção do campo, mas os seus lados mais curtos não estejam. Fios de ligação
que permitam a corrente entrar e sair são necessários, mas por simplicidade não são mostrados. Para
definirmos a orientação da espira no campo magnético, usamos o vetor normal n, que é perpendicular ao
plano da espira.
Aponte ou curve seus dedos (apenas os quatro dedos, e não o polegar) da sua mão direita no sentido da
corrente em qualquer ponto da espira. Seu dedo polegar estendido aponta na direção e no sentido do vetor
normal.
Na figura a seguir o vetor normal da espira é mostrado fazendo um ângulo θ com a direção do campo
magnético. Queremos determinar a força resultante e o torque resultante que atuam sobre a espira nesta
orientação.
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A força resultante sobre a espira é a soma vetorial das forças que agem sobre os seus quatro lados.
Para o lado 2, o vetor L aponta na direção da corrente e possui intensidade b. O ângulo entre L e B para o
lado 2 é igual a 90º - θ.
𝐹2 = 𝑖𝑏𝐵 sin(900 − 𝜃) = 𝑖𝑏𝐵 cos 𝜃
F4 possui a mesma intensidade de F2, mas em sentido contrário. Assim F2 e F4 se cancelam. Sua força
resultante é nula, e como a sua linha de ação comum passa pelo centro da espira, seu torque também é
nulo. Nos lados 1 e 3 a situação é diferente. L é perpendicular à B, então as forças F1 e F3 possuem a
mesma intensidade iaB. Como estas duas forças possuem mesma direção, mas sentidos opostos, elas não
tendem a mover a espira nem para cima nem para baixo, pois estas forças não compartilham a mesma linha
de ação, logo elas produzem um torque resultante. O torque tende a girar a espira de modo a alinhar o seu
vetor normal n com a direção do campo magnético B. Esse torque possui um braço de alavanca igual (b/2)
sin θ, em torno do eixo central da espira. A intensidade do torque devido à F1 e F2 é
𝑏
𝑏
𝜏′ = (𝑖𝑎𝐵 sin 𝜃) + (𝑖𝑎𝐵 sin 𝜃) = 𝑖𝑎𝑏𝐵 sin 𝜃
2
2
Suponha que seja substituída agora a única espira de corrente por uma bobina de N espiras - bobina plana.
O torque total sobre a bobina é
𝜏 = 𝑁. 𝜏 ′ = 𝑁𝑖𝑎𝑏𝐵. sin 𝜃
A = ab é a área delimitada pela bobina.
Uma bobina plana transportando corrente colocada em um campo magnético tenderá a girar de modo que n
tenha a mesma direção do campo. Em um motor a corrente é invertida quando n começa a se alinhar com o
campo, de modo que um torque continue a girar a bobina.
Essa inversão automática da corrente é feita através de um comutador que conecta eletricamente a bobina
girante com os contatos estacionários nos fios que fornecem a corrente a partir de alguma fonte.
Momento de Dipolo Magnético
Uma bobina que transporta corrente pode ser descrita pelo vetor momento de dipolo magnético μ. A
direção de μ é a mesma do vetor normal ao plano da bobina:
𝜇 = 𝑁𝑖𝐴
𝜏 = 𝜇𝐵 sin 𝜃
⃗⃗
𝜏⃗ = 𝜇⃗ × 𝐵
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EXERCÍCIOS
⃗⃗ , que pares são sempre ortogonais entre si? Que pares
1. Dos três vetores na equação 𝐹⃗𝐵 = 𝑞. 𝑣⃗ × 𝐵
podem formar um ângulo entre si?
2. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge
um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de
elétrons for desviado para a sua direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético
existente na sala?
3. Um elétron tem velocidade 𝑣⃗ = 40𝑖̂ + 35𝑗̂ 𝑘𝑚⁄𝑠 , num campo magnético uniforme. Sabendo-se que
Bx = 0, calcule o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força 𝐹⃗ = −4,2𝑖̂ + 4,8𝑗̂𝑁.
4. Um elétron tem uma velocidade inicial de 12,0𝑗̂ + 15,0𝑘̂ 𝑘𝑚⁄𝑠 e uma aceleração constante de
(2,00 × 1012 𝑚⁄𝑠 2 )𝑖̂ no interior de uma região onde existem um campo elétrico e um campo
⃗⃗ = 400𝑖̂𝜇𝑇.
magnético uniformes. Determinar o campo elétrico 𝐸⃗⃗ , sabendo-se que 𝐵
5. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,2 x 106 m/s num campo magnético de intensidade
83 mT. (a) Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maior e o menor módulo da força que
o elétron pode sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a aceleração é 4,9 x 1014 m/s2. Qual
é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?
6. Um próton que se m ove num ângulo de 230 em relação a um campo magnético de intensidade 2,6
mT experimenta uma força magnética de 6,5 x 10-17 N. Calcular: (a) a velocidade escalar e (b) a
energia cinética em elétron-volt.
7. Um condutor horizontal numa linha de força transporta uma corrente de 5000 A do sul para o norte.
O campo magnético da Terra (60 μT) está direcionado para o norte e inclinado para baixo de um
ângulo de 700 com a linha horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética
devida ao campo da Terra sobre 100 m do condutor.
8. Um fio de 1,80 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um ângulo de 35 0 com um
campo magnético uniforme B = 1,5 T. Calcular a força magnética sobre o fio.
RESPOSTAS
1) Esta questão é apenas uma revisão de álgebra vetorial: o vetor que resulta de um produto vetorial de dois
⃗⃗
outros vetores deve sempre ser ortogonal aos vetores dos quais “descende”. Portanto os vetores 𝑣⃗ e 𝐵
⃗⃗
podem fazer um angulo arbitrário entre si. Mas 𝐹⃗𝐵 será necessariamente perpendicular tanto a 𝑣⃗ quanto a 𝐵
⃗⃗ vemos que a força magnética aponta para a
2) Vertical para baixo. Pois fazendo o produto vetorial 𝑣⃗ × 𝐵
esquerda, fornecendo a direção para onde partículas carregadas positivamente são desviadas. Elétrons
desviam-se para a direita.
3) B = 0,75 T k
4) E = (-11,4 i – 6,00 j + 4,80 k) N/C
5) (a) Fmax = 9,56 x 10-14 N, Fmin = 0; (b) θ = 0,2670
6) (a) v = 4 x 105 m/s; (b) K = 1,34 x 10-16 J = 835 eV
7) F = 28,2 N (oeste)
8) F = 20.133 N