Apostila - Universidade Federal de Pelotas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Física - 090095
Fernando Simões Jr.
Sumário
Capítulo 1.
1.1.
Introdução
5
Revisão de matemática
Capítulo 2.
5
Fundamentos da Mecânica
9
2.1.
Medindo Grandezas
2.2.
Notação Cientíca
10
2.3.
Mudança de unidades
10
2.4.
Força
11
2.5.
Torque
18
2.6.
Energia
20
2.7.
Trabalho
21
Capítulo 3.
9
Fluidos
27
3.1.
1-O que é um uido?
27
3.2.
2-Fluidos em Repouso
28
3.3.
3-O Princípio de Pascal
29
3.4.
4-O Princípio de Arquimedes
30
3.5.
5-Fluidos Ideais em Movimento
32
3.6.
6-A equação da Continuidade
33
3.7.
7-A equação da Bernoulli
33
Capítulo 4.
Termodinâmica
35
4.1.
1-Temperatura
35
4.2.
2-Lei Zero da Termodinâmica
35
4.3.
3-Calor
36
4.4.
4-Primeira Lei da Termodinâmica
38
4.5.
5-Lei dos Gases Ideais
39
4.6.
6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica
41
4.7.
7-Radiação Térmica
43
4.8.
8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas
44
Índice Remissivo
51
3
CAPíTULO 1
Introdução
1.1. Revisão de matemática
A Matemática representa uma poderosa ferramenta para auxiliar os físicos na solução dos fênomenos da
natureza. De fato é muito surpreendente que as leis que regem a natureza possa ser descritas através de leis
matemática. Podemos dizer que a Física é a ciência que mais se utiliza dos conceitos matemáticos, muito embora
a Física não seja apenas teórica, todavia se faz necessário dominar dominar bem as ferramentas matemáticas
para se aprofundar em ideias físicas mais complexas.
O formalismo matemático é o primeiro passo para quem está começando a estudar as disciplinas de Física.
Nesta seção vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos que são indispensáveis para a
compreensão do conteúdo desta apostila.
Se alguns dos conceitos apresentados aqui não forem muito bem
conhecidos é recomendável que você aprofunde seus estudos em matemática básica do ensino médio.
1.1.1. Triângulos.
Consideremos algumas propriedades básica dos triângulos.
Seja um triângulo de altura
h
e base
a
conforme a Fi-
gura 1.1.1.
A área do triângulo será dada por:
A = 21 ah
Figura 1.1.1. Triângulo qualquer.
Para o triângulo retângulo da Figura 1.1.2, o teorema
de Pitágoras nos diz que:
c2 = a2 + b2
Figura 1.1.2. Triângulo retângulo.
5
6
1. INTRODUÇÃO
A, B , C
Consideremos um triângulo qualquer, onde
e
D são ângulos, e a, b e c são os lados do triângulo como
representado na Figura 1.1.3.
A + B + C = 1800
Soma dos ângulos internos.
D =A+C
Ângulo externo
Lei dos senos.
Lei dos cossenos.
ou
sin A
sin B
a =
b
2
2
D = 180 − B
=
sin C
c
c = a + b2 − 2ab cos C
Figura 1.1.3. Triângulo qualquer.
1.1.2. Funções trigonométricas básicas.
Seja um triângulo retângulo representado na Figura 1.1.4. A
partir dele, podemos obter as funções trigonométricas básicas:
sin(θ) =
C.OP.
;
Hip.
csc(θ) =
Hip.
;
C.OP.
cos(θ) =
C.Adj.
;
Hip.
sec(θ) =
Hip.
;
C.Adj.
tan(θ) =
C.OP.
;
C.Adj.
coth(θ) =
C.Adj.
;
C.OP.
Figura 1.1.4. Triângulo retângulo.
onde,
sin(θ), cos(θ)
e
tan(θ)
são as funções trigonométricas básicas do ângulo
ao ângulo no triângulo retângulo,
C.Adj.
é o cateto adjacente ao ângulo
θ
e
Hip.
θ, C.OP.
é o cateto oposto
é a hipotenusa no triângulo
retângulo.
1.1.3. Identidades trigonométricas:
Muitas vezes podemos obter relações entre as funções trigono-
métricas básicas e outras relações trigonométricas.
Este procedimento é realizado utilizando-se identidades
trigonométricas. A seguir será apresentado algumas das identidades trigonométricas mais comuns.
sin2 (θ) + cos2 (θ)
=
1
sin(900 − θ) = cos(θ)
tan(θ) =
1.1.4. Albegra básica:
Sejam
n, a, b
e
c
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
cos(900 − θ) = sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
números reais, e
Se,
nx + ny
=
n(x + y)
2
(x + y)
=
x2 + 2xy + y 2
(x − y)2
=
x2 − 2xy + y 2 .
x
e
y
duas variáveis independentes, temos:
ax2 + bx + c = 0,
então
1.1. REVISÃO DE MATEMÁTICA
−b ±
x=
Sejam,
peq
7
√
b2 − 4ac
.
2a
dois números inteiros, as operações de
números com expoentes serão dadas por
(xp )q
p
q
x .x
0
=
x
= xp.q
pq
x = 1 se x 6= 0
√
1
n
x = x /n
xp
= xp−q
xq
1
x−p =
xp
(x.y)p
√
p
xq
r
x
p
y
= xp .y p
= x /p
√
p
x
= √
p y
q
CAPíTULO 2
Fundamentos da Mecânica
2.1. Medindo Grandezas
Hoje, para que uma área do conhecimento humano seja considerada ciência é necessário que esta utilize o
método ciêntíco. Este método nos diz que é fundamental realizar, de forma criteriosa, experimentos para que
se possa averiguar ou formular teorias cientícas aceitáveis. A ideia por detras de um procedimento experimental consiste basicamente na comparação entre as quantidades que desejamos determinar com um padrão pré
estabelecido e muito bem aceito pela comunidade cientíca.
Na época dos grandes impérios, os padrões de medidas eram fundamentalmente determinados em função
das dimensões humanas do seus reis, por exemplo, um pé era a medida do pé de um rei, uma polega era o
comprimento do dedo polegar de um outro rei. Estes padrões, além de não serem nada precisos, eram trocados
cada vez que o rei era substituído e variavam de uma região para outra.
Em função de uma falta de padrão para as medidas, em 1971 na 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas
foram selecionados sete grandezas, chamadas de
grandezas fundamentais os quais foram atribuídos padrões
padrões fundamentais. Atualmente, os padrões funda-
a essas grandezas. Esses padrões são chamados de
mentais são constituídos de sete quantidades físicas chamadas de grandezas fundamentais, e constituem a base
do Sistema Internacional de Unidades SI.
As outras grandezas da física são chamadas de
grandezas derivadas
e suas unidades são determinadas
por estas sete medidas fundamentaisde. As tabelas 1 e 2 apresentam as sete grandezas fundamentais e algumas
das grandezas derivadas, respectivamente, que utilizaremos neste curso de física.
Grandeza
Nome da Unidade
Símbolo da Unidade
Comprimento
metro
Massa
quilograma
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tempo
segundo
Corrente elétrica
ampère
Temperatura
kelvin
Quantidade de matéria
mol
Intensidade luminosa
candela
Tabela 1. Unidades das grandezas fundamentais do SI.
Grandeza
Nome da unidade
Símbolo da Unidade
Área
metro quadrado
m2
m3
kg/m3
m/s
m/s2
N (kg m/s2 )
J (N.m)
Volume
metro cúbico
Massa especíca
quilograma por metro cúbico
Velocidade
metro por segundo
Aceleração
metro por segundo ao quadrado
Força
newton
Trabalho, energia, quantidade de calor
joule
Tabela 2. Algumas unidades secundárias do SI.
9
10
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
2.2. Notação Cientíca
Em física, frequentemente encontramos grandezas muito grandes ou muito pequenas comparadas com a
escala usual humana.
Uma forma de escrever estes números é utilizar a
utilização de potências de base
10,
notação cientíca
que emprega a
por exemplo
=
3, 8 × 109 m
0, 00000026s =
2, 6 × 10−7 s
3.800.000.000m
No computador ou calculadora, é comum que os números sejam representados pela notação cientíca da
seguintes formas:
3.8E9
ou
2.6E − 7
Quando utilizamos números muito grandes ou muito pequenos, é conveniente utilizarmos prexos para
representar uma certa potência de
10.
2.3. Mudança de unidades
Em problemas de física, muitas vezes precisamos manipular as quantidades envolvidas para que todas elas
tenham unidades apropriadas. Para isso, necessitamos mudar as unidades nos quais uma grandeza física está
escrita. Isso pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Neste método multiplicamos
a grandeza original por um fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual à unidade).
Por exemplo,
1mim
e
60s
1m = 100cm
então
1m
e
100cm
correspondem a distâncias iguais.
Também sabemos que
correspondem a intervalos de tempos iguais, assim podemos utilizar estas correspondências para
criar fatores de conversão.
1min = 60s
→
1min
= 1,
60s
ou
60s
= 1.
1min
Assim, as razões acima podem ser utilizadas como fatores de conversão.
Note que isso
com sua unidade.
não é o mesmo que escrever 601 = 1 ou 601 = 1, cada número deve ser tratado juntamente
Exemplo 1. É comum aprendermos no ensino médio que para converter de km/h para m/s devemos dividir
o valor em km/h por
3, 6.
Entretanto, de onde vem esta regra? Vamos considera que um objeto tem velocidade
de 10 km/h e desejamos expressar esta velocidade em m/s.
SOLUÇÃO: Utilizando a regra de conversão em cadeia, e sabendo que 1km = 1000m e que 1h = 3600s
podemos construir os fatores de conversão.
1000m
=1
1km
1h
=1
3600s
Como nosso objetivo é converter de km/h para m/s desejamos remover a unidade km do numerador e a
unidade h do denominador da quantidade 10km/h. Para isso vamos multiplicar a quantidade original pelos
fatores de conversão.
10
km
km 1000m 1h
1000m
1m
m
= 10
= 10
= 10
= 2, 78 .
h
h km 3600s
3600s
3, 6s
s
Exemplo 2. Converta a aceleração da gravidade de
9, 8m/s2
para cm/h2 .
SOLUÇÃO: Sabemos que a relação entre cm e m é dada por: 1m = 100cm e a relação entre horas e
segundos é 1h = 3600s. Entretanto, podemos observar que na aceleração da gravidade a unidade de tempo está
elevada ao quadrado. Para convertermos as unidade também devemos proceder as mesmas potências nas quais
2.4. FORÇA
11
as unidades são apresentadas, assim, devemos elevar ao quadrado o fator de conversão das unidades de tempo,
para que as duas quantidades tenham o mesmo expoente.
9, 8
9, 8
m
s2
m
s2
=
9, 8
=
9, 8
=
m 100cm
s2 1m
3600s
1h
2
m 100cm 1, 3 × 107 s2
s2 1m
1h2
cm
1, 27 × 1010 2
h
2.4. Força
Conceito de Força
Todo leitor que busca uma primeira leitura em um livro de física básica, depara-se inicialmente com o estudo
do movimento de corpos.
As causas de tais movimentos são estudadas posteriormente com a ideia de força.
Através de uma abordagem diferente, porém mais lógica, estudaremos nesse capítulo o conceito de força, as leis
de Newton e suas consequências práticas. Para isso, deixaremos de lado o estudo da cinemática.
2.4.1. Mecânica Newtoniana.
Em termos coloquiais força é um empurrão ou um puxão sobre um objeto,
ou de uma forma mais renada, uma pertubação de uma agente externo sobre um objeto. Essa pertubação
pode se manifestar por um contato entre o agente e o corpo ou simplesmente através de interações de longa
distância. Na realidade todas as forças da natureza são de longa distância. Foi apenas no século XX que os físicos
conseguiram mostrar que todas as forças da natureza são derivadas apenas por 4 FORÇAS FUNDAMENTAIS,
conhecidas por: Força Gravitacional, Força Eletromagnética, Força Fraca e a Força Forte. Por exemplo, a força
que não deixa um copo afundar sobre uma mesa rigída pode ser compreendida como a resultantes de todas as
forças eletrostáticas existentes entre o copo e a mesa. Por outro lado, para se estudar a dinâmica deste copo
rolando sobre a mesa não será necessário computar todas as interações microscópicas existentes entre o copo e
a mesa. Para isso, levaremos em conta, apenas FORÇAS EFETIVAS, que nada mais são do que um tipo de
FORÇA RESULTANTE que atua sobre os corpos (mesa e copo).
Na descrição mecânica do movimento diremos que o efeito de uma força, que age sobre um corpo, é a
mudança da velocidade deste corpo, produzindo assim, uma aceleração sobre o mesmo. A relação que existe
entre a força e a aceleração foi descoberta por Isaac Newton (1642-1727). Newton trabalhou muitos anos para
poder compreender as leis clássica que regem o movimento dos corpos. Em nosso estudo vamos nos concentrar
nas três leis básicas do movimento da Mecânica Newtoniana.
A Mecânica Newtoniana não pode ser aplicada à todas situações físicas que se fazem presentes em nosso
cotidiano, por hora, iremos desprezar qualquer incoveniente e enunciar as três leis básicas do movimento.
2.4.2. Primeira lei de Newton.
Antes de Newton formular sua teoria da mecânica, acreditava-se erro-
neamente (Física Aristotélica) que:
•
Era necessário uma certa inuência força para manter um corpo em movimento com velocidade
constante;
•
Um corpo estava em seu estado natural apenas quando estava em repouso.
Para romper com estas duas ideias, Newton propôs um experimento mental, que consistia em considerar o
lançamento de um disco sobre uma superfície. Quando lançamos um disco sobre uma superfície áspera, o disco
move-se por uma pequena distância e para logo em seguida. Se polirmos um pouco a superfície o disco poderá
alcançar uma distância maior, se for lançado com a mesma velocidade do caso anterior. Agora, se lançarmos o
mesmo disco sobre uma superfície de gelo, ele alcançará uma distância muito maior que as duas anteriores.
12
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
A partir das considerações acima, podemos concluir que um corpo manterá seu estado de movimento com
velocidade constante se nenhuma força (de qualquer origem) agir sobre ele. Isso nos leva à primeira das três
leis de Newton.
Ideia da Primeira lei de Newton (Lei da Inécia):
Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua
velocidade (vetorial) não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.
Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso ele permanecerá em repouso.
Se o corpo estiver em
movimento, continuará com a mesma velocidade (mesmo módulo e orientação). Por exemplo: Num movimento
circular, sem aceleração, o módulo da velocidade é contantes, contudo sua direção varia no tempo, o que signica
que existe uma aceleração atuando sobre o corpo (aceleração centrípeda).
2.4.3. Força.
A força é uma grandeza vetorial que segue as regras vetoriais, isso signica que quando duas
ou mais forças atuam sobre um corpo podemos calcular a força total ou força resultante somando
vetorialmente
as forças.
Podemos substituir todas as forças aplicadas num corpo por uma única força. Essa força nós chamaremos
de força resultante, que nada mais é do que a soma vetorial de todas as forças aplicadas no corpo. Este fato é
chamado de princípio de superposição das forças.
~ , e as
As forças são sempre representadas por uma pequena seta sobre a letra que representa a força ,F
1
forças resultantes são representadas por
F~res
ou
F~r .
Quando as forças atuam somente em uma direção podemos dispensar a seta sobre o símbolo da força e
utilizar apenas sinais para indicar o sentido da força ao longo de um eixo. Convencionalmente consideramos o
sentido positivo (+) na direção positiva do eixo de coordenadas e sentido negativo (-) na direção negativa do
eixo de coordenadas.
Rigorosamente o enunciado da primeira lei de Newton é baseado na ideia de força resultante.
Primeira lei de Newton:
~res
Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo (F
= 0)
seu vetor
velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração. Em outras palavras, o corpo não
pode produzir força sobre ele mesmo.
No Sistema Internacional de unidade a força tem unidade de
1N = 1kg.1
N
(newton)
m
.
s2
2.4.4. Segunda lei de Newton (forma simplicada).
A força resultante que age sobre um corpo é
igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.
Em termos matemáticos temos:
F~res = m.~a
onde
m
é a massa do objeto e
~a
é o vetor aceleração que o objeto está sujeito. Devemos lembrar que
F~res
é a
força resultante que atua somente sobre o objeto que está sendo analisado. Apenas as forças que atuam neste
objeto é que devem ser consideradas.
A segunda lei de Newton também pode ser escrita na forma de suas componentes,
Fres,x = max ;
Fres,y = may ;
Fres,z = maz .
Podemos escrever uma força bidimensional na forma de suas componentes utilizando as seguintes regras de
decomposição de vetores.
1
Em alguns livros também podemos encontrar a força representada por letras em negrito
F
.
2.4. FORÇA
Vamos considerar uma força
xy
x
F~
13
bidimensional na plano
como representado na gura 2.4.1. As componentes
e
y
eixos
da força são as projeções sombras da força nos
x e y.
Para obtermos as componentes
F~x
e
F~y
da
força utilizando as relações matemáticas abaixo:
onde
θ
F~x
= F~ cos(θ)
F~y
= F~ sin(θ)
é o ângulo entre a força e o eixo
x.
Figura 2.4.1. Decomposição de forças.
Exemplo 3. A gura 2.4.2 mostra duas forças horizontais atuando em um bloco apoiado em um piso sem
atrito. Se uma terceira força horizontal
F~3
também age sore o bloco, determine o módulo e a orientação de
~
o bloco está a) em repouso, b) se movendo para a esquerda com velocidade constante de 5m/s. Res. (a,b)F
F~3
se
= 2N
para a esquerda.
Figura 2.4.2. Exemplo.
Exemplo 4. Nas guras 2.4.3 a,b e c, uma ou duas forças agem sobre um disco metálico que se move sobre
o gelo sem atrito ao longo do eixo
forças
F1 e F2
com o eixo
x
x
atuam ao longo do eixo
e tem módulo
F3 = 1N .
em um movimento unidimensional. A massa do disco é
x
e têm módulos
F1 = 4N
e
F2 = 2N.
A força
Qual é a aceleração do disco em cada caso?
F~3 fás
m = 0, 2kg .
um ângulo
As
θ = 300
14
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.4.3. Exemplo.
SOLUÇÃO: Em cada situação podemos relacionar a aceleração ~a à força resultante F~res que age sobre o
disco através da segunda lei de Newton. Como o movimento ocorre somente na direção x podemos simplicar
a situação escrevendo a segunda lei de Newton apenas para as componentes na direção x.
Para o caso a):
F1
= ma
4N
=
0, 2kg.a
4N
=
0, 2kg
m
= 20 2
s
a
a
Para o caso b)
F1 − F2
=
ma
F1 − F2
a =
m
(4 − 2)N
a =
0, 2kg
m
a = 10 2
s
Para o caso c)
F3x − F2 = max
Sabemos que F3x = F3 cos(θ)
F3 cos(θ) − F2
=
a =
a
=
a
=
ma
F3 cos(θ) − F2
m
(1. cos(30) − 2)N
0, 2kg
m
−5, 7 2
s
Signica que a força imprime uma aceleração de 5, 7m/s2 na direção negativa do eixo x.
2.4.5. Força Gravitacional.
A força gravitacional
F~g
é um tipo especial de força que está relacionada
com a atração que um corpo exerce em outro. Por enquanto vamos considerar que um destes corpos é a Terra.
2.4. FORÇA
Assim, quando falamos da força gravitacional
F~g
15
que age sobre um corpo estamos nos referindo à força que o
atrai na direção do centro da Terra, ou seja, verticalmente para baixo.
Se considerarmos como referência um eixo vertical com sentido positivo para cima, (eixo
de Newton pode ser escrita na forma
F~res,y = m.a~y
y)
a segunda lei
que em nossa situação, se torna
−F~g = m.(−~g )
onde
F~g
é a força gravitacional,
m
a massa do corpo e
~g
a aceleração da gravidade que no casa da Terra vale
aproximadamente 9, 8m/s2 .
A equação acima pode ser reescrita como
Fg = mg.
Em palavras, o módulo da força gravitacional é igual ao produto
?
mg.
Esta força atua SEMPRE mesmo que o corpo não esteja em queda livre. Para que a força gravitacional
desapareça a Terra deveria desaparecer.
2.4.6. Peso.
O peso
P
de um corpo é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia livremente
em direção ao solo. Assim, por exemplo, para manter uma bola parada em repouso em sua mão você deve aplicar
uma força para cima para equilibrar a força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola.
O peso de um corpo é igual ao módulo
Fg da
força gravitacional que age sobre o corpo
P = mg.
Atenção:
O peso de um corpo não é a sua massa.
massa através da equação
P = mg .
Peso é o módulo de uma força e está relacionado à
Se você mover o corpo para um local onde
g
é diferente a massa do corpo
permanecerá a mesma, mas o seu peso mudará.
2.4.7. Força Normal.
Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície a superfície (ainda que
aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpo com uma força normal
F~N
que é perpendicular à superfície.
fícA origem dessa força é de natureza eletromagnética e está relacionada com a impossibilidade de os elétrons
e prótons se aproximarem indenidamente uns com relação aos outros.
O nome força normal vem do termo matemático normal, que signica perpendicular.
Exemplo 5. A gura 2.4.4 mostra uma caixa sobre uma mesa que pode ser acelerada para cima ou para
baixo. Obtenha a expressão para a força normal que atua sobre a caixa.
Figura 2.4.4. Exemplo.
16
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
SOLUÇÃO: A partir da segunda lei de Newton, podemos escrever a força resultante que atua sobre a caixa.
FN − Fg
= m.ay
FN − mg
= may
FN
= m(g + ay )
Se o bloco está em repouso ou movimento retilíneo uniforme v = constante, ay = 0, portanto
FN = mg
A situação acima é um caso particular onde FN = Fg , isso só ocorre para um sistema horizontal e onde
ay = 0. Para todos os outros casos FN 6= Fg .
Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para cima
FN = m(g + ay ).
Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para baixo
FN = m(g − ay ).
2.4.8. Atrito.
Quando empurramos ou tentamos empurrar um corpo sobre uma superfície, a interação
dos átomos do corpo com os átomos da superfície faz com que haja resistência ao movimento. A resistência é
considerada uma força única
f~ que
recebe o nome de força de atrito. Essa força é paralela à superfície e aponta
sempre no sentido oposto ao movimento ou a tendência de movimento.
Exitem duas formas de atrito, o atrito estático (sem movimento) e o atrito cinético (com movimento).
A experiência mostra que a força de atrito possui três propriedades:
(1) Se um corpo recebe uma força
F~
F~
e não se move, a força de atrito estático
paralela à superfície se equilibram.
componente de
(2) O módulo de
F~
f~s
Elas tem o mesmo módulo e
f~s
f~s
e a componente de
tem sentido oposto ao da
.
possui um valor máximo
f~s,max
que é dado por
fs,max = µs FN
onde
µs é o coeciente de atrito estático e FN
o corpo. Se o módulo de
F
é o módulo da força normal que a superfície exerce sobre
paralela à superfície excede
fs,max
o corpo entra em movimento.
(3) Se o corpo começa a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de atrito diminui rapidamente
( de forma descontínua) para um valor
fk dado
por
fk = µk FN
onde
µk é
o coeciente de atrito cinético. daí em diante, durante o movimento, uma força de atrito
cinético com módulo dado pela equação acima se opõe ao movimento.
Os coeciente
µs
e
µk são
obtidos experimentalmente e dependem das propriedades físicas das superfícies envol-
vidas.
2.4.9. Tração.
Quando uma corda ou um o é presa a uma corpo e esticada aplica ao corpo uma força
T~
orientada ao longo da corda. Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada. A
tensão na corda é o módulo
T
da força exercida sobre o corpo.
2.4. FORÇA
17
Figura 2.4.5. Exemplos da força de Tração.
2.4.10. Terceira lei de Newton.
A terceira lei de Newton descreve uma importante propriedade das
forças: as forças sempre ocorrem aos pares. Dizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam
um ou outro, ou seja, quando cada um exerce um força sobre o outro. Suponha, por exemplo, que você apoie
um livro (B) em uma caixa (C) como na gura 2.4.6. Nesse caso o livro e a caixa interagem. A caixa exerce
uma força horizontal
F~BC
sobre o livro e o livro exerce uma força horizontal
F~CB
sobre a caixa.
Figura 2.4.6. Exemplo da terceira lei de Newton.
A partir do exemplo podemos enunciar a terceira lei de Newton.
⇒Quando
dois corpos interagem, as forças que cada
corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos opostos.
No casa de livro e da caixa, podemos escrever essa lei
com a relação escalar, com módulos iguais
FCB = FBC
ou com uma relação vetorial com módulos iguais e sentidos opostos
F~CB = −F~BC .
Podemos chamar as forças entre dois corpos que interagem de par de forças da terceira lei.
No exemplo, o livro e a caixa estão em repouso, mas
a terceira lei de Newton seria válida se estivessem em
movimento uniforme ou mesmo acelerado.
18
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.4.7. Par de forças da ter-
ceira lei de Newton.
Vamos nos concentrar nas forças que agem sobre a abóbora (Fig 2.4.7b). A força
que a mesa exerce sobre a abóbora e a força
F~AT
F~AM
é a força normal
é a força gravitacional que a Terra exerce sobre a abóbora.
Elas forma um par de forças da terceira lei? Não, pois são forças que atuam sobre um mesmo corpo a abóbora,
e não sobre dois corpos que interagem.
Para encontrar um par da terceira lei precisamos nos concentrar não na abóbora, mas na interação entre
a abóbora e outro corpo.
gravitacional
F~AT
Na interação abóbora-Terra (Fig 2.4.7c), a Terra atrai a abóbora com uma força
e a abóbora atrai a Terra com uma força gravitacional
F~T A .
Essas forças formam um par de
forças da terceira lei? Sim, porque as forças atuam sobre dois corpos que interagem e a força a que um está
submetido é causada pelo outro corpo. Assim, de acordo com a terceira lei de Newton, a interação abóbora-Terra
será
F~AT = −F~T A .
Na interação abóbora-mesa a força da mesa sobre a bola é
F~M A
F~AM
e a força da abóbora sobre a mesa é
(Fig 2.4.7d). Essa forças também formam um par de forças da terceira lei e portante, para a interação
abóbora-mesa
F~AM = −F~M A .
2.5. Torque
Você já se perguntou como fazemos para abrir uma porta, soltar os parafusos apertados da roda de um
carro? Que conceito físico está por trás destas duas tarefas simples?
2.5. TORQUE
19
Uma maçaneta ca o mais longe possível do eixo das
dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta
pesada você certamente deve aplicar uma força; apenas
isso, contudo, não é suciente. O lugar onde você aplica
e a direção em que empurra a porta também são parâmetros importantes. Se você aplica a força mais perto
do eixo das dobradiças que a maçaneta, ou com um
ângulo diferente de
900 em
relação ao plano da porta,
precisa usar uma força maior para abrir a porta do que
se aplicar a força à maçaneta, perpendicularmente ao
plano da porta.
A Figura 2.5.1a mostra uma seção reta de um corpo
que está livre para girar em torno de um eixo passando
por
O
Uma força
F~
é
cuja posição em relação a
O
é
e perpendicular à seção reta.
aplicada no ponto
P,
denida por um vetor posição
vetores
F~
e
~r
é
~r.
O ângulo entre os
φ.
Para determinar o modo com
F~
provoca uma rotação
do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar
a força em duas componentes (Fig 2.5.1b).
Figura
2.5.1. Corpo
rígido
para girar em torno do ponto
Uma destas componentes, a
componente radial Fr ,
tem a direção de
~r.
livre
O.
Esta componente não provoca
O. (Se você puxar um porta paralelamente ao plano
F~ , a componente tangencial Ft , é perpendicular a ~r e
rotações, já que agem ao longo de uma reta que passa por
da porta, a porta não vai girar). A outra componente de
tem módulo
Ft = F sin(φ).
Esta componente
provoca
rotações. (Se você puxar uma porta perpendicularmente
ao plano da porta, a porta vai girar.)
A capacidade de
F~
de fazer o corpo girar não depende somente do módulo da componente tangencial
mas também da distância entre o ponto de aplicação de
denimos uma grandeza chamada de
F~
e o ponto
O.
Ft ,
Para levar em conta esses dois fatores
torque (τ ) como o produto dos dois fatores:
τ = rF sin(φ).
O torque, cujo nome vem de uma palavra em latim que signica torcer pode ser descrito coloquialmente
como a ação de girar ou torcer de uma força
F~ .
Quando aplicamos uma força a um objeto com uma chave de
fenda ou uma chave de boca com o objetivo de fazer o objeto gerar, estamos aplicando um torque. A unidade
de torque no SI é o newton-metro (N
· m).
No momento, porém, como estamos considerando rotações em torno que um único eixo, não precisamos
usar notação vetorial. em vez disso, atribuímos ao torque um valor positivo ou negativo, dependendo do sentido
da rotação que ele imprimiria a um corpo a partir do repouso. Se o corpo gira no sentido anti-horário, o torque
é positivo. Se o torque faria o objeto girar no sentido horário, ele é negativo. Os torque obedecem o princípio da
superposição das forças, quando vários torques atuam sobre um corpo, o
é a soma dos torques individuais.
torque total ou torque resultante
20
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
2.6. Energia
A física Newtoniana nos ajuda a analisar uma série de movimentos. Entretanto, dependendo do tipo de
movimento, este tipo de tratamento pode ser muito complicado.
Por exemplo, descrever o movimento de uma caixa deslizando uma montanha de gelo é uma tarefa muito
complicada se utilizarmos a mecânica Newtoniana.
Por causa deste tipo de problema os cientistas começaram a desenvolver uma forma mais eciente de analisar
determinados problemas de física. Esta forma envolve o conceito de energia do corpo ou de vários corpos.
O que é energia?
Responder esta pergunta pode ser um tanto complicado.
Tecnicamente, energia é uma quantidade que determina a capacidade de um corpo realizar trabalho. Em
outras palavras, energia é um número que nos traduz o quanto um corpo pode transmitir ou realizar trabalho
aos demais corpos vizinhos a este.
Este diversas formas de energia classicadas pelos físicos.
Para objetos
em movimento, descobriu-se que há uma certa energia que está relacionada com o movimento, esta energia é
chamada de energia cinética (K ). Quando o objeto está em repouso sua energia cinética é nula. Quanto mais
rápida é a velocidade do objeto maior será sua energia cinética.
Para um objeto de massa
m
e velocidade escalar
cinética será
K=
vc
onde
c
é a velocidade da luz no vácuo, a energia
1
mv 2 .
2
No SI a unidade de energia cinética e qualquer outra forma de energia é joules (J ).
Exemplo 6. Um pato de
3kg
voando a uma velocidade de
2m/s
1J = 1kg.1
m2
s2
.
terá uma energia cinética de?
SOLUÇÃO:
K
=
K
=
m 2
1
1
mv 2 = 3kg. 2
2
2
s
6J
Exemplo 7. Duas locomotivas inicialmente em repouso separadas por uma distância de
radas uma contra a outra em rota de colisão. Cada locomotiva pesa
constante de
0, 26m/s2 .
6
1, 2 × 10 N
6, 4km
são acele-
e é acelerada com aceleração
Qual a energia cinética das duas locomotivas no instante anterior da colisão?
SOLUÇÃO: Para obtermos a energia cinética no instante da colisão, precisamos saber a velocidade de cada
locomotiva neste instante. Como as locomotivas são aceleradas com aceleração constante, podemos utilizar a
equação v 2 = v02 + 2a∆x.
Se as locomotivas partem do repouso, v0 = 0m/s, como as locomotivas são aceleradas à mesma taxa, o ponto
1
da colisão será na metade da distância que separa as duas, assim, ∆x = 6, 4km = 3, 2km = 3, 2 × 103 m.
2
Observe que escrevemos a distância em metros, isso é necessário porque utilizaremos a aceleração com unidades
de m/s2 . Resolvendo a equação para a velocidade temos,
v 2 = 0 + 2.(0, 26
m
s2
m
).(3, 2 × 103 m) = 40, 8 .
s
m
Cada locomotiva terá uma velocidade de 40, 8
s
Agora devemos encontrar a massa de cada locomotiva, podemos obter a massa através do peso de cada uma
P = mg .
P
=
m
=
m
=
mg
P
g
1, 2 × 106 N
= 1, 22 × 105 kg.
9, 8m/s2
2.7. TRABALHO
21
Como já possuímos a massa e a velocidade de cada locomotiva, podemos obter a energia cinética das duas
locomotivas.
1
Lembrando que a energia cinética de cada locomotiva é dada por K = mv 2 , a energia das duas locomotivas
2
será
1
K = 2 mv 2 = 1, 22 × 105 kg.40, 8m/s = 2, 0 × 108 J.
2
2.7. Trabalho
Se acelerarmos um objeto para aumentar sua velocidade através da aplicação de uma força, aumentaremos
sua energia cinética
K.
De forma similar, se aplicarmos uma força em um objeto para diminuir sua velocidade,
estaremos diminuindo sua energia cinética.
A transferência da energia para ou a partir de um objeto mediante a aplicação de uma força é chamada de
trabalho feito em um objeto por uma força, o trabalho tem o símbolo (W ).
Formalmente denimos:
O trabalho
W
é a energia transferida para ou a partir de um objeto pela
medida de uma força atuando em um objeto. Energia transferida para o objeto é chamado de trabalho positivo
e trabalho negativo é a energia transferida a partir do objeto.
Trabalho tem a mesma unidade de energia e é uma quantidade escalar. No SI, trabalho tem unidades de
J
(joule).
2.7.1. Expressão para o trabalho.
Figura 2.7.1. Uma força
~
d.
F~
Consideremos a Figura 2.7.1 abaixo,
atua em uma bola e faz com que a bola realize um deslocamento
Variando sua energia cinética de
A partir da segunda lei de Newton,
Ki
F~ = m~a
para
Kf .
temos a relação entre a força e a aceleração que o objeto está
submetido.
Como o deslocamento é na horizontal devemos obter a componente da força e da aceleração na direção do
deslocamento.
Na direção
x
temos:
(2.7.1)
onde
m
Fx
=
ax
=
max
Fx
m
é a massa do objeto.
Como o objeto realiza um determinado deslocamento
d~a
força muda sua velocidade de
força é constante, a aceleração será constante.
Assim, podemos utilizar a equação abaixo
(2.7.2)
v 2 = v02 + 2ax d,
~v0
para
~v .
Como a
22
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
para obtermos a velocidade na direção
x
utilizaremos as equações 2.7.1 e 2.7.2, assim,
v2
v 2 − v02
=
1 2 1 2
mv − mv0
|2
{z 2 }
∆K
(2.7.3)
Fx
= v02 + 2
2
Fx
m
m
d
d
= Fx d
= Fx d
na equação 2.7.3 o lado esquerdo é a variação da energia cinética e o lado direito é o trabalho da força
equação é chamada de
F.
Esta
teorema Trabalho e Variação da Energia Cinética.
Podemos dizer que o trabalho realizado pela força para deslocar o objeto em uma distância
d
é igual a
variação da energia cinética do objeto, daí temos que
W = Fx d.
Observação:
Para calcular o trabalho de uma força realizado em um objeto durante um deslocamento,
consideramos somente a componente da força na direção do deslocamento.
Para a componentes da força
perpendicular ao deslocamento o trabalho é zero.
Retornando par a Figura 2.7.1, temos que a componente da força na direção do deslocamento será
Fx = F cos(φ),
onde
então teremos
W = F d cos(φ)
(2.7.4)
ou na notação vetorial
Restrições:
Fx ,
~
W = F~ · d.
Na expressão 2.7.4a força deve ser constante e a partícula dever ser considerada um ponto
material (suas dimensões não devem ser levadas em conta).
Quando duas ou mais forças atuam em um objeto o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por
cada força individualmente.
Quando a força que atua no objeto é a força gravitacional isto é, o peso, o trabalho será:
Wp = mgd cos(φ).
Para um objeto lançado para cima na vertical com velocidade
v0
sem a ação de nenhuma outra força exceto
a gravidade teremos

Subida, φ = 1800 ; W = mgd cos(1800 ) = −mgd
p
.
Descida, φ = 00 ;
Wp = mgd cos(0) = mgd
~1 e o ladrão
Exemplo 8. Dois ladrões roubam um cofre, o ladrão 1 (Spy001) aplica uma força constantesF
2 (Spy002) aplica uma força
F~2
em um cofre de massa
direcionada para baixo fazendo um ângulo
cima formando um ângulo de
θ2 = 400
θ1 = 30
0
m = 225kg
e têm módulo
o mesmo deslocamento?
d~?
F1 = 12N .
com a horizontal e têm módulo
a caixa deslize sobre um piso sem atrito uma distância
durante o deslocamento
como representado na Figura . A força
d~ = 8, 5m.
A força
F2 = 10N .
F~2
F~1
é
é direcionada para
As forças fazem com que
a) Qual é o trabalho realizado por
F~1 e F~2
b) Qual o trabalho total realizado sobre a caixa? c) Qual o trabalho do peso durante
2.7. TRABALHO
23
Figura 2.7.2. Duas forças aplicadas a uma caixa de massa
m.
SOLUÇÃO:
a) O trabalho das forças será obtidos utilizando a expressão do trabalho: W = F.d. cos(θ).
W1
=
F1 d cos(θ1 ) = 12N.8, 5m. cos(300 ) = 88, 33J
W2
=
F2 d cos(θ2 ) = 10N.8, 5m. cos(400 ) = 65, 11J
b) O trabalho total será a soma dos trabalhos das forças.
WT = W1 + W2 = 88, 33J + 65, 11J = 153, 4J
c) Como o ângulo entre a força e o deslocamento é 900 temos cos(90) = 0, portanto WP = mg cos(90) = 0J .
2.7.2. Força Elástica. Vamos discutir o trabalho realizado sobre uma partícula por um tipo particular
força elástica exercida por uma mola. Muitas forças na natureza têm a mesma forma
de força variável, a
matemática que a força elástica exercida por uma mola. Assim, examinando esta força em particular, podemos
compreender muitas outras.
A gura 2.7.3a mostra uma mola nos
estado relaxado,
ou seja, nem comprimida nem alongada.
Uma
das extremidades está xa, e um objeto que se comporta como uma partícula, um bloco, por exemplo, está
preso na outra extremidade. Se alongarmos a mola puxando o bloco para a direita, a mola puxa o bloco para a
esquerda (Como a força elástica tende a restaurar o estado relaxado da mola, ela também é chamada de
restauradora ).
força
Se comprimirmos a mola empurrando o bloco para a esquerda, a mola empurra o bloco para a
direita para tentar restaurar o estado relaxado da mola.
24
2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.7.3. Sistema massa mola.
F~s de
Como uma boa aproximação para muitas molas, a força
um mola é proporcional ao deslocamento
d~
força elástica
é
da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado. A
dada por
F~s = −k d~
que também é conhecida como
lei de Hooke,
em homenagem a Robert Hooke.
o Sinal negativo da força
elástica indica que o sentido da força é sempre contrário ao deslocamento sofrido pela extremidade livre da
mola. A constante
valor de
k,
unidade de
k
é chamada de
constante elástica, e é uma medida da rigidez da mola.
Quanto maior o
mais rígida é a mola, ou seja, maior é a força exercida pela mola para um dado deslocamento. A
k
no SI é o newton por metro.
Note que o comprimento da mola não é escrito explicitamente na força elástica, esta característica, assim
como as propriedades do material e formato da mola estão embutidos na constante elástica
2.7.3. Trabalho realizado por uma mola.
k.
Como a força elástica de uma mola não é constante, não
podemos utilizar a equação do trabalho, eq. 2.7.4, para calcular o trabalho da força da mola porque a equação
2.7.4 assume que a força seja constante.
Para uma força variável, o trabalho é dado por
ˆ
x2
F (x)dx
x1
se
x1
é o ponto de equilíbrio, temos
1
Ws = − kx2
2
que é a expressão para o trabalho realizado por um mola em uma dimensão.
2.7.4. Potência.
Muitas vezes não tem utilidade prática sabermos apenas o trabalho realizado por um
força, mas também queremos saber quanto tempo é gasto por uma força para realizar um determinado trabalho.
Potência
é a taxa temporal com que o trabalho é realizado
Pmédia =
W
.
∆t
A potência é uma quantidade escalar e tem unidades de
A potência instantânea
P
é dada por
P =
dW
dt
W →watt =
joules
.
segundo
2.7. TRABALHO
25
que para uma força constante pode ser escrita por
P = F cos(θ)
dx
lembrando que
dt
=v
velocidade, temos
P = F.v. cos(θ).
Exemplo 9. A gura mostra duas forças constantes
A força
F1
dx
dt
é horizontal com magnitude de
2N .
A força
F1 e F2
F2
atuando em um bloco que deslisa sem atrito.
é aplicada com um ângulo de
600
em relação ao solo
e tem magnitude de 4N . A velocidade da caixa em um determinado instante é de 3m/s. a) Qual a potência de
cada força atuando na caixa? b) Qual a potência total?
Figura 2.7.4. Figura do exemplo.
SOLUÇÃO:
a)
P1 = F1 .v. cos(θ) = 2N.3m/s cos(1800 ) = −6W
P2 = F2 .v. cos(θ) = 4N.3m/s cos(600 ) = 6W
b)
Ptotal = P1 + P2 = −6W + 6W = 0W
como a potência total é nula, nenhum trabalho é realizado sobre a caixa, portanto ∆k = 0, assim, v = constante.
CAPíTULO 3
Fluidos
3.1. 1-O que é um uido?
Um
uido,
ao contrário de um sólido, é uma substância que pode escoar. Os uidos assumem a forma do
recipiente em que são colocados. Eles se comportam dessa forma porque um uido não pode resistir a uma força
paralela à sua superfície. Um uido pode, porém, exercer uma força na direção perpendicular à superfície.
3.1.1. 1.1-Massa Especíca e Pressão.
Quando estudamos uidos estamos mais interessados em subs-
tancias sem um forma denida e em propriedades que podem variar de um ponto a outro da substância. Nesse
caso, é mais útil falar em
massa especíca
3.1.2. Massa Especíca.
e
pressão
do que em massa e força
Para determinar a massa especíca
espaço, isolamos um pequeno elemento de volume
contido nesse elemento de volume. A
ΔV
massa especíca
ρ=
(3.1.1)
ρ
de um uido em um certo ponto do
em torno do ponto e medimos a massa
Δm
do uido
é dada por
∆m
.
∆V
A massa especíca é uma grandeza; sua unidade no SI (Sistema Internacional) é o quilograna por metro
cúbico.
3.1.3. Pressão.
exerce uma força
pressão
(3.1.2)
p
ΔF
Considere um dispositivo capaz de medir pressão dentro de um uido (gura 1). O uido
(peso do uido) sobre a área móvel
do uido sobre a superfície
ΔA
ΔA
do dispositivo.
do dispositivo da seguinte maneira
p=
∆F
.
∆A
27
Desta forma iremos denir a
28
3. FLUIDOS
Teoricamente, a pressão em qualquer ponto no uido é o limite dessa razão quando a área
móvel desse dispositivo tende a zero.
ΔA da superfície
Entretanto, se a força é uniforme em uma superfície plana de área
A
podemos escrever a última equação na forma
p=
(3.1.3)
onde
F
F
,
A
é a força exercida sobre o êmbolo. A unidade de pressão no SI é o newton por metro quadrado, que
recebe o nome especíco de
Pascal (P a ).
A relação entre o pascal e outras unidades de pressão muito usadas
na prática (mas que não pertence ao SI) é a seguinte:
1atm = 1, 01x105 Pa = 760torr.
(3.1.4)
A atmosfera (atm) é, como o nome indica, a pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar. O
torr
(torricielli) é conhecido também como
milímetro de mercúrio (mmHg).
3.2. 2-Fluidos em Repouso
Como todo mergulhador sabe, a pressão dentro da água vai aumentando com a profundidade, ao passo que
um alpinista nos diz que a pressão vai diminuindo a medida que ele vai escalando uma montanha. É possível
deduzir, porém não faremos isso aqui, que a pressão dentro de um tanque contendo um uido de densidade
medida à uma profundidade
por
h
ρ
da superfície que está em contato com o ar (gura 2) é dada matematicamente
3.3. 3-O PRINCÍPIO DE PASCAL
p = p0 + ρgh,
(3.2.1)
onde
29
g
é o valor da gravidade local e
p0
é o valor da pressão atmosférica. Um fato importante que devemos
a pressão em um ponto de um uido estático depende da profundidade desse ponto, mas não da
dimensão horizontal do uido ou do recipiente.
saber é que
Na gura 2 a pressão
p
é chamada de pressão total, ou pressão absoluta, pois ela é justamente a soma da
pressão atmosférica e da pressão devido a coluna de líquido de altura
também de
h.
Esta por sua vez pode ser chamada
pressão manométrica, ou seja, a pressão manométrica é a diferença entre a pressão total e a pressão
atmosférica
p − p0 = ρgh
(3.2.2)
3.3. 3-O Princípio de Pascal
Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra
extremidade estamos ponto em prática o
princípio de Pascal.
Este princípio também é usado na manobra de
Heimlich, na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta, liberando um pedaço de
comida que a pessoa ingeriu. O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal
(em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI).
Uma variação da pressão aplicada a um uido incompressível contido em um recipiente é transmitida
integralmente a todas as paredes do uido e às paredes do recipiente.
3.3.1. 3.1-O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico.
de Pascal e o macaco hidráulico.
Suponha que uma força externa de módulo
baixo ao êmbolo da esquerda (ou de entrada), cuja área é
baixo para cima, de módulo
Fs ,
Ae .
(não mostrada na gura). A força
Fe
lado direito produzem uma variação
Fs
Fe
Fs
=
,
Ae
As
e portanto
(3.3.2)
Fs
Fs =
As .
Para manter o sistema em
para baixo exercida pela carga no
da pressão do líquido que é dada por
∆p =
seja aplicada de cima para
no êmbolo de saída, exercida por uma carga externa
aplicada no lado esquerdo, e a força
∆p
Fe
Um líquido incompressível produz uma força de
no êmbolo da direita (ou da saída), cuja área é
equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo
(3.3.1)
A gura 3 mostra a relação entre o princípio
Fe
As ,
Ae
30
3. FLUIDOS
repare aqui que
quantidade
∆m
Fs > Fe ,
pois
As > Ae .
Sabendo ainda que ao aplicar um força de módulo
de uido contidade em um volume
recipiente. O mesmo volume de líquido
∆V
∆V
Fe ,
uma
é transferida do lado esquerdo para o lado direito do
do lado esquerdo é igual ao volume transferido ao lado direito, ou
seja
∆V = Ae de = As ds ,
(3.3.3)
onde
de
e
ds
são os delocamentos sofridos pelos êmbolos da esquerda e da direita respectivamente.
Ou
ainda, podemos escrever
ds =
(3.3.4)
repare agora que
ds < de ,
pois
As > A e .
de
Ae ,
As
Desta expressão podemos inferir que a vatagem do macaco
hidráulico é: com um macaco hidráulico uma certa força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser
transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.
3.4. 4-O Princípio de Arquimedes
A gura 4 mostra um estudante em uma piscina, manuseando um saco de plástico muito no (de massa
desprezível) cheio de água. Ela observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático, ou seja, não
tendem a subir nem a descer. A força gravitacional para baixo
Fg
que a água contida no saco está submetida
deve ser equilibrada por uma força resultante para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco.
Esta força resultante para cima é uma força
FE ,
que recebe o nome de
força de empuxo.
Ela existe porque
a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é
3.4. 4-O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
31
maior que na parte superior, o que equivale a dizer que as forças a que o saco está submetido devido à pressão
são maiores em módulo na parte inferior do saco do que na parte inferior do saco.
Como o saco está em equilíbrio estático, o módulo de
FE
é igual ao módulo da força gravitacional
Fg
que
age sobre o saco com água.
Na gura 5-b.
trocamos o saco de água por uma pedra que ocupa um volume exatamente igual ao do
espaço vazio da gura 5-a.
Dizemos que a pedra desloca água, ou seja, ocupa o espaço que de outra forma
seria ocupado pela água. Como a forma da cavidade não foi alterada, as forças na superfície da cavidade são
as mesmas que quando o saco com àgua estava no lugar. Assim, o mesmo empuxo para cima que agia sobre o
saco com água agora age sobre a pedra, ou seja, o módulo
FE
do empuxo é igual ao peso da àgua deslocado
pela pedra.
Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A força gravitacional
Fg
para baixo
que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama do corpo livre
na gura 5-b. Assim, a pedra acelera para baixo, descendo até o fundo da piscina.
32
3. FLUIDOS
Vamos agora preencher a cavidade da gura 5-a com um pedaço de madeira como mostrado na gura 5-c.
Mais uma vez, nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade, de modo que o
módulo
FE
do empuxo é igual ao peso da água deslocada. Como a pedra, o pedaço de madeira não está em
equilíbrio estático. Neste caso, porém, o módulo
Fg
da força gravitacional é menor que o módulo
FE
do empuxo,
de modo que a madeira acelera para cima, subindo até a superfície.
Nossos resultados para o saco, a pedra e a madeira se aplicam a qualquer uido, e podem ser resumido no
princípio de Arquimedes:
Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um uido uma força de empuxo FE exercida pelo
uido age sobre o corpo. A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso do uido deslocado pelo
corpo.
Escrevendo em linguagem matematica temos que
FE = mf g,
(3.4.1)
ondemf é a massa do uido deslocado.
3.4.1. 4.1-Flutuação.
Quando um corpo utua em um uido, o módulo
sobre o corpo é igual ao módulo
Fg
FE
da força de empuxo que age
da força gravitacional a que o corpo está submetido, ou seja
FE = mf g = Fg
(3.4.2)
em outras palavras, um corpo que utua desloca um peso de uido igual ao seu próprio peso.
3.4.2. 4.2-Peso Aparente em um Fluido.
Se colocarmos uma pedra sobre uma balança calibrada para
medir pesos, a leitura da balança é o peso da pedra. Se, porém, repetimos a experiência debaixo da àgua a
força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança. Esta leitura passa a ser, portanto,
um peso aparente. O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo através da
equação
pesoaparente = pesoreal − FE .
(3.4.3)
3.5. 5-Fluidos Ideais em Movimento
O movimento de uidos reais é muito complicado, e ainda não está perfeitamente compreendido. Por essa
razão, vamos discutir apenas o movimento de um uido ideal, que é muito mais fácil de analisar matematicamente. Nosso uido ideal satisfaz quatro requisitos, que estão relacionados ao seu escoamento.
Escoamento laminar:
1-
No escoamneto laminar, a velocidade de uido em um ponto xo qualquer não varia
com o tempo, nem em módulo nem em orientação.
Escoamento incompressível :
2-
Esta hipótese nos garante que sua massa especíca tem um valor uniforme e
constante.
Escoamento não-viscoso :
3-
Em termos coloquiais a viscosidade de um uido é uma medida da resistência
que o uido oferece ao escoamento.
Assim, por exemplo, o mel resiste mais ao escoamento que a àgua e,
portanto, é mais viscoso do que a àgua.
Escoamento irrotacional :
4-
Para entender o que signica essa propriedade, suponha que um pequeno grão
de poeira se move com o uido. Se o escoamento é irrotacional, este grão de areia não gira em torno de um eixo
que passa pelo seu centro de massa, embora este possa girar em torno de um outro eixo qualquer.
3.7. 7-A EQUAÇÃO DA BERNOULLI
33
3.6. 6-A equação da Continuidade
Você provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da àgua que sai de uma mangueira
de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar. Esta é uma demostração prática do fato
de que a velocidade
v
da àgua depende da àrea da seção reta
A
através da qual a àgua escoa.
Devido a conservação de massa (não iremos demostrar aqui) obtemos a equação da continuidade
A1 v 1 = A2 v 2 ,
(3.6.1)
onde
A1 , A2
e
v1 , v2
Denominamos ainda a
são as áreas e velocidades do uido nas regiões
vazão
1
e
2
respectivamente (ver gura 6).
como o produto da área pela velocidade, ou seja
R = Av.
(3.6.2)
3.7. 7-A equação da Bernoulli
A equação de Bernoulli é aplicada quando se estuda uidos ideais que estão se movimentando devido a
diferenças de pressões e de alturas.
densidade
ρ
Para ilustrar isso, imagine um tubo (gura 7) onde um uido ideal de
esteja submetido à uma pressão
locomove-se de uma altura
y1
à uma altura
p1 ,
y2 ,
de modo que sua velocidade nessa região seja
de forma que sua velocidade muda de
momento em que o uido atingir a região de altura
calculado pela seguinte equação, conhecida por
(3.7.1)
y2 ,
equação de Bernoulli,
p1 + ρgy1 + ρ
v1
para
este estará sujeito à uma nova pressão
ou seja,
v12
v2
= p2 + ρgy2 + ρ 2
2
2
v1 ,
se o uido
v2 ,
então , no
p2 ,
que pode ser
34
3. FLUIDOS
CAPíTULO 4
Termodinâmica
4.1. 1-Temperatura
A sensação de quente ou frio é um mecanismo biológico que nos faz entrar em alerta para mantermos
nosso organismo em condições satisfatórias de funcionamento.
Tais adjetivos, entretanto, carecem de uma
boa denição quando pensamos em processos físicos, químicos ou biológicos que necessitam de uma análise
quantitativa de caráter não subjetivo.
Em Física, denimos por
Temperatura,
a quantidade que determina com quente (ou frio), encontra-se
um corpo encerrado numa região do espaço.
Mas em princípio podemos pensar: O que é quente para uma
determinada pessoa, não necessariamente é para uma outra pessoa.
Por isso, é necessário estabelecer uma
convenção, de caráter universal, que sirva de medida (como uma régua) para rotularmos, com números, os
possíveis valores de temperatura que um corpo pode assumir.
graus Celsius ( °C)
Desde pequenos, somos acostumados com a palavra
para se referir a condição do clima.
O que geralmente não sabemos, é que foi estabelecido (por convenção) que o gelo se transforma em água a 0°C
e a água se transforma em vapor a
100°C. E ainda,
que em Física, não costumanos utilizar a escala Celsius para
trabalhar com temperatura.
4.1.1. 1.1-As escalas Kelvin e Fahrenheit.
Em física se usa a escala Kelvin para se trabalhar com
temperaturas. Para determinar o valor da temperatura em unidades de Kelvin é necessário realizar uma simples
tranformação, dada por
TK = TC + 273, 15
(4.1.1)
Entretanto nos E.U.A costuma-se usar outra escala de temperatura, conhecida como Fahrenheit.
escala a temperatura de fusão do gelo é xado em
32
graus Fahrenheit.
Nesta
A regra de transformação de graus
Celsius para graus Fahrenheit é dada por
TF =
(4.1.2)
9
TC + 32
5
EXEMPLO: Tranformação de escala termométrica
1-Num dia de muito frio em Pelotas, os termometros idicavam 3C. Transforme essa temperatura para Kelvin
Resposta: Basta utilizarmos a equação
TK = TC + 273, 15.
Ou seja
TK = 3 + 273, 15 = 276, 15K .
4.2. 2-Lei Zero da Termodinâmica
Entendemos por Lei zero da Termodinâmica a lei que assegura que se um corpo
contato na mesma temperatura, digamos
com um terceiro corpo
temperatura
T
B
T
(ver gura 1-a), e o mesmo corpo
na mesma temperatura
(ver gura 1-c), mesmo que ambos
T
C
(ver gura 1-b), então o corpo
(A
e
B)
A
e um corpo
C
estão em
também é posto em contato
A
e
B
estarão na mesma
não estejam em contato. Está lei parece um tanto
óbvia, mas só foi formulada em meados do século XX. Como já se sabia da existência da primeira Lei, os físicos
resolveram chamar de lei zero.
35
36
4. TERMODINÂMICA
Formalmente, a lei zero garante que se medirmos a temperatura de um corpo
de um corpo
B,
A e esta for igual a temperatura
então ambos os corpos estão em equilíbrio térmico.
4.3. 3-Calor
Em mecânica clássica vimos que a ideia de trabalho determina a capacidade de um corpo MULTIPLICAR
força. E que energia mecânica exprime a ideia da capacitade de um corpo em produzir trabalho. Entretanto,
existe uma outra forma de energia, que chamaremos de energia térmica, que corresponde a soma de todas as
energias cinéticas e todas as energias de interação eletrostrática das moléculas e dos átomos que constituem um
corpo.
Assim, por dizer, Calor é a quantidade de energia térmica que ui de um corpo para um outro corpo.
Todavia, é necessário que ambos os corpos estejam em temperatura diferentes.
4.3.1. 3.1-Transferência de Calor.
três processos distintos, denotados por:
A transferência de calor entre corpos físicos são caracterizados por
Condução, Convecção e Radiação.
Condução: No
processo de condução o calor é transmitido pelo contato entre os corpos. Ou seja, é necessário
que um corpo
¨mais
Convecção: No
quente¨ seja colocado em contato com um corpo
¨menos
quente¨.
processo de convecção o calor, como por exemplo de uma vela, é transferido para o ar (uido)
que o aquece e consequentemente se expande. Uma vez expandido, este se torna menos denso que o ar em sua
vizinhança que encontra-se mais frio. Devido a força de empuxo, o ar mais quente tende a subir e o ar mais frio
tende a descer. Ou seja, chamamos por convecção este processo de trasnferência de calor.
4.3.2. 3.2-Mudança de Fase.
Entenderemos aqui por mudancca de fase, os processos termodinâmicos
responsáveis pela alteração dos estados sólido, líquido e gasoso, dentre os quais a matéria pode assumir.
Antes mesmo de estudarmos os processos físicos envolvidos numa transição, é necessário compreender como
um corpo sofre variação de temperatura a medida que este recebe uma determinada quantidade de calor.
4.3.2.1.
calor
Q
3.2.1-Capacidade Térmica, Calor Especíco e Latente.
Quando transferimos uma quantidade de
para um determinado corpo, este sofrerá uma variação de temperatura
∆T .
Esta variação é regulada
pela sua capacidade de absorve (ou perder) calor, que matematicamente designaremos pela letra
(4.3.1)
C,
ou seja,
Q = C∆T,
Entretanto, é mais usual dermos a capacidade térmica de um objeto por unidade de massa, pois é mais comum
estudarmos a tranferência de calor entre objetos de massas diferentes. Deste modo, denotaremos por
(4.3.2)
C = mc,
4.3. 3-CALOR
onde
m
e a massa e
c
37
e o calor especico do corpo. Na tabela 1 apresentamos os valores do calor especico de
alguns materiais.
Substância
cal
g.K
J
kg.K
Chumbo
0,0305
128
Tungstênio
0,0321
134
Prata
0,0564
236
Cobre
0,0923
386
Alumínio
0,215
900
Latão
0,092
380
Granito
0,19
790
Gelo(-10°C)
0,530
2220
Mercúrio
0,033
140
Etanol
0,58
2430
Água do Mar
0,93
3900
Água doce
1
4180
Vidro
0,20
840
As unidades de calor podem ser expressas em
cal, Joule
ou ainda, menos usual,
Btu
(usados nas especi-
cações de ar condicionados). Estas estão relacionadas da seguinte forma
1cal = 3, 968.10−3 Btu = 4, 1868J.
(4.3.3)
EXEMPLO: Aquecimento da água
1-Qual é a quantidade de calor necessária para aquecer
para
720 g
de água que encontra-se á temperatura de
0C
15C ?
Resposta:
Utilizando a expressão
Q = mc∆T
e sabendo-se que
cágua = 4190J/kg
temos que
Q =
(0, 720kg)(4190J/kg.K)(15C − 0C) = 45, 15kJ .
A situação física onde aplicamos a expressão (4.3.1), é válida apenas quando o corpo não está sofrendo uma
mudança de fase. Quando a mudança de estado ( por exemplo: gelo para água em
0
Celsius), o corpo reage
de uma outra forma, pois o que se verica experimentalmente é que para o gelo se transformar totalmente em
água, é necessário transferirmos uma quantidade de calor adicional ao corpo, sendo que a temperatura deste se
mantén constante durante essa transferência, ou seja, durante o processo que transforma todo o gelo em água.
Essa quantidade adicional de calor depende da massa e do material, que matematicamente é escrita como
Q = mL,
(4.3.4)
onde
vale
L
e chamado de calor latente do corpo. O calor latente no processo de transformação do gelo em agua
Lfusão = 333kJ/kg = 79, 5cal/g ,
vapor vale
enquanto que o calor latente no processo de transformacao da água em
Lebulição = 2256kJ/kg = 539cal/g .
Na tabela 2 mostramos alguns valores do calor latente de fusão
e de ebulição de alguns materiais. E na gura abaixo mostramos um gráco da temperatura como função da
quantidade de calor num processo que envolve a transformação do gelo em vapor
38
4. TERMODINÂMICA
Substância
Ponto de
Fusão
(K)
Calor de
Ponto de
Calor de
Fusão
Ebulição
Ebulição
LF (kJ/kg)
(K)
LV (kJ/kg)
Hidrogênio
14
58
20,3
455
Oxigênio
54,8
13,9
90,2
213
Mercúrio
234
11,4
630
296
Água
273
333
373
2256
Chumbo
601
23,2
2017
858
Prata
1235
105
2323
2336
Cobre
1356
207
2868
4730
EXEMPLO: Fusão do gelo
1-Qual é a quantidade de calor necessária para fundir
Resposta: Usando a expressão
720 g
de gelo?
Q = mL e uma vez que Lfusão = 333kJ/kg temos que Q = (0, 720kg)(333kJ/kg) =
239, 8kJ.
4.4. 4-Primeira Lei da Termodinâmica
Quando um sistema muda de um estado inicial para um estado nal, tanto o trabalho
calor
Q
W
realizado como o
transferido dependem da natureza do processo. Os experimentos, porém, revelam algo surpreendente.
A grandeza
Q−W
é a mesma para todos os processos. Ela depende apenas dos estados inicial e nal, e não
depende de maneira alguma da forma como o sistema passou de um para o outro estado.
sugere que a grandeza
Q−W
Esta propriedade
representa a variacao de uma propriedade intrinseca do sistema. Chamamos esta
propriedade de energia internam
(Eint ).
A primeira lei da Termodinâmica arma que
∆Eint = Q − W.
(4.4.1)
Importante salientar (POR CONVENÇÃO) que se o sistemas realiza trabalho então
meio realiza trabalho sobre o sistema, então
W > 0,
entretanto, se o
W < 0.
4.4.1. 4.1-Alguns casos particulares da primeira lei da termodinâmica.
1-Processos adiabáticos:
São processos onde não existem trocas de calor do sistema como o meio externo. Desta forma
Q = 0,
o que
implica
∆Eint = −W
(4.4.2)
2-Processos a volume constante: Se o volume de um sistema (como um gás) é mantido constante, o sistema não
pode realizar trabalho. Deste modo
W = 0,
ou seja
4.5. 5-LEI DOS GASES IDEAIS
39
∆Eint = Q
(4.4.3)
3-Processos cíclicos:Existem processos nos quais, após certas trocas de calor e de trabalho, o sistema volta ao
estado inicial. Neste caso, nenhuma propriedade intrínseca do sistema (incluindo a energia interna) pode variar.
Fazendo
∆Eint = 0,
temos
Q=W
(4.4.4)
4-Expansão livre: Sao processos adiabáticos nos quais nenhum trabalho é realizado. Assim
Q = W = 0,
ou
seja,
∆Eint = 0
(4.4.5)
EXEMPLO:Energia livre num processo adiabático
1-Num processo adiabático o sistema sofre variação em seu volume de
10m3
para
30m3
mantendo a pressão
constante em duas atmosferas. Determine a variação de energia interna desse sistema
Resposta: Como o processo é adiabático, então
mantida constante e o volume variou de
20m3 ,
então
Q=0
e sendo assim,
∆Eint = −W .
Como a pressão foi
∆Eint = (2.105 Pa )(20m3 ) = 40kJ .
4.5. 5-Lei dos Gases Ideais
Antes de iniciarmos o estudo sobre o conceito de gás ideal em física, iremos primeiro expor o conceito de
número de Avogadro, que constitui uma das sete unidades fundamentais do sistema internacional.
4.5.1. 5.1-Número de Avogadro.
O número de Avogadro é a quantidade de átomos numa amostra que
contém um mol em 12 g de Carbono 12. O cientista italiano Amadeo Avogadro mediu esta quantidade conhecida
na literatura por
NA = 6, 02.1023 atomos/mol
(4.5.1)
O número de mols
moléculas
N
n
contidos em uma amostra de qualquer substância é igual á razão entre o número de
da amostra e o número de moléculas
NA
n=
(4.5.2)
em 1 mol
N
NA
EXEMPLO: Número de moléculas
1-Numa amostra de gás existem
n=2
mols. Calcule o número de moléculas existentes nessa quantidade
de gás
Resposta: Para realizar este cálculo devemos usar a expressão
12.1023
N = nNA ,
ou seja,
N = (2)(6, 02.1023 ) ≈
átomos.
4.5.2. 5.2-Gases ideais.
Em física chamamos de gás ideal, todo gás que encontra-se em uma temperatura
elevada, ou quando sua densidade é baixa o suciente para que as interações entre suas partes sejam desprezíveis.
Na prática, estas hipótese nos garante descrever o mais simples dos gases da natureza. Todavia, a idealização de
tal sistema, torna-se útil quando pretedemos determinar características gerais que diz respeito à grande maioria
dos gases da natureza.
Para descrever completamente um gás ideal é necessário conhecermos a pressão que este exerce sobre as
paredes do recipiente, o volume total deste recipiente, a temperatura de equilíbrio do gás com o recipiente e o
40
4. TERMODINÂMICA
número de mols desse gás encerrado no volume. Estas variáveis, por sua vez, estão relacionadas pela equação
de estado, conhecida na literatura, como a equação dos gases ideais
pV = nRT
(4.5.3)
onde
R
é a constante dos gases ideais. Esta possui o mesmo valor para todos os gases
R = 8, 31J/mol.K
(4.5.4)
EXEMPLO: Pressão de um gás ideal
1-Determine a pressão em atmosferas de
n = 2mols
de
CO2
à
27
graus Celsius encerrados num volume de
2L.
Resposta: Para realizar este cálculo, basta utilizarmos a equação dos gases ideais, ou seja,
Substituindo os valores
P =
nRT
V
=
(2)(0,0831)(300)
2
P V = nRT .
= 0, 02493 atm.
4.5.3. 5.3-Trabalho realizado por um gás ideal.
4.5.3.1.
5.3.1-Temperatura Constante.
Toda vez que o sistema sofre variação em seu volume, uma quanti-
dade de trabalho è produzido pelo sistema (ou sobre o sistema). Se o volume nal é maior que o volume inicial,
então o sistema realiza trabalho
W > 0,
caso o volume nal seja menor que o volume inicial, então o sistema
recebe energia na forma de trabalho do meio externo
W < 0.
Em qualquer caso, a expressão para o trabalho
em um gás ideal mantido a temperatura constante é
W = nRT ln
(4.5.5)
Vf
Vi
Exemplo:Trabalho numa expansão Isotérmica
1-Um mol de oxigênio se expande à uma temperatura constante
e volume nal
Vf
é de
19L.
4.5.3.2.
O volume inicial
Vi
é de
12L,
Qual é o trabalho realizado pelo gás durante o processo?
Resposta: Devemos utilizar a expressão
V
W = nRT ln Vfi ,
ou seja
W = (1mol)(8, 31J/mol.K)(310K) ln
(4.5.6)
T = 310K .
5.3.2-Volume Constante.
19L
= 1180J
12L
Quando não existe variação de volume, o trabalho produzido ou realizado
sobre o sistema é nulo, ou seja
W =0
(4.5.7)
4.5.3.3.
5.3.4-Pressão Constante.
Num processo onde a pressão é mantida constante, o trabalho realizado
pelo sistema ou sobre o sistema é dado por
W = p(Vf − Vi ) = ∆V
(4.5.8)
EXEMPLO: Trabalho a pressão constante
Calcule o trabalho realizado por uma gás a pressão constante de
chega ao volume nal de
que sai do volume inicial de
1L
e
2L
Resposta: Para calcular o trabalho basta utilizarmos a expressão
(105 Pa )(10−3 m3 ) = 100J
1 atm
W = p∆V ,
ou seja,
W = (1atm)(1L) =
4.6. 6-MÁQUINAS TÉRMICAS E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA
41
4.6. 6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica
A maioria das máquinas e aparelhos funcionam através da uitilizacao da energia química dos combustíveis
ou da energia elétrica. A torradeira, o forno elétrico e os demais aparelhos elétricos, que são construídos para
aquecer, usam um resistor que atinge alta temperatura e troca calor com o meio. Dependendo da temperatura
atingida pelo resistor, este passa a emitir luz, como nas lâmpadas incandescentes.
Nos aparelhos que utilizam combustível, tais como forno a lenha, fogão a gás ou fogareiro a alcool, os gases
obtidos com a reação química estão a alta temperatura e trocam calor com o ambiente. Nesse processo aparece
como produto secundarioa luz da chama.
Em todos os aparelhos que fazem uso de energia elétrica e química, aparece o aquecimento, seja como efeito
desejado, seja como subproduto inevitável. Podemos armar, num caso e noutro, que o aumento da energia
térmica é parte dos processos de transformação de energia.
Denominamos por
máquina térmica, aquela que transforma a energia interna de um combustível em energia
mecânica. Nesses casos, a energia do combustível é convertida em energia térmica de um gás através do processo
de combustão. Este, ao se expandir, realiza trabalho e consequentemente tem sua temperatura diminuida.
Os motores de automóveis, ônibus, caminhões, turbinas a vapor e geladeiras são exemplos de máquinas
térmicas. Em todas essas máquinas, identicamos elementos comuns tais como substância de operação, fonte
quente e fonte fria. No motor a combustão e na turbina à vapor, a troca de calor ocorre da fonte quente para a
fonte fria de forma espontânea. Além disso, conforme já discutimos anteriormente, a transformação de energia
térmica em trabalho, que é a base para a opreração das máquinas e motores térmicos, nunca se dá totalmente,
isto é, há uma limitação para o rendimento desses motores.
Por outro lado, é possivel transformar espontaneamente toda energia mecânica em energia térmica, isto é,
um movimento ordenado de um objeto pode ser transformado em movimento térmico desordenado das moléculas
que o compõem, mas o contrário não ocorre. Tanto a transformação da energia mecânica em energia térmica
(interna) como a troca de calor entre sistemas mais quentes para sistemas mais frios são exemplos típicos de
processos denominados irreversíveis, ou seja, há um sentido determinado nos processos naturais, não previsto
na primeira da termodinâmica. O sentido inverso, para tais transformações, não ocorre espontaneamente.
Essa lei da irreversibilidade é tão universal quanto as leis da conservação da energia, momento linear e
momento ângular, e por isso é chamada de
segunda lei da termodinâmica.
Nesse sentido, podemos armar que, junto com os princípios de conservação da mecânica, os princípios
da termodinâmica ampliam nossa capacidade de compreensão dos processos físicos.
Há vários enunciados
possíveis para a SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA, que procuram ressaltar aspectos diferentes, todavia
nos limitaremos ao seu enunciado mais didático ao noso texto, ou seja:
"É impossivel realizar espontaneamente a troca de calor de um sistema mais frio para outro mais quente".
4.6.1. 6.1-Máquinas de Carnot.
Para compreendermos uma máquina de Carnot é necessário entender-
mos o que é uma máquina térmica ideal.
Máquina térmica ideal :
São máquinas onde todos os processos são reversíveis e as tranferências de energia
são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência. Uma máquina de Carnot é um
tipo especial de máquina térmica ideal. De todas as máquinas térmicas, a máquina de Carnot é a que utiliza o
calor com a maior eciência para realizar trabalho útil.
A gura abaixo, mostra de forma esquemática, o funcionamento de uma máquina de Carnot. Durante cada
ciclo da máquina, a substância de trabalho absorve uma quantidade
uma temperatura constante
TH
e fornece uma quantidade
temperatura constante mais baixa
TL .
|QL |
|QH |
de calor de uma fonte de calor a
de calor a uma segunda fonte de calor a uma
O gráco abaixo mostra um diagrama p-V do ciclo de Carnot, ou seja,
o ciclo a que é submetida a substância de trabalho na máquina de Carnot. Como indicam as setas o ciclo é
percorrido no sentido horário.
42
4. TERMODINÂMICA
Na máquina térmica representada pela gura acima supomos que as transferência de calor para a substância
de trabalho ou para a fonte de calor ocorrem apenas durante os processos isotérmicos
(pressão contra em função do volume).
correspondente às temperaturas
TH
e
Assim, os processos
TL
bc
e
da
ab
e
cd
do gráco abaixo
nessa gráco, que ligam as isotérmas
devem ser processos adiabáticos (reversíveis), ou seja, devem ser
processos nos quais nenhuma energia é transferida em forma de calor.
Durante os processos consecutivos
ab
e
bc
do mesmo gráco, a substância de trabalho está se expandindo,
realizando assim trabalho positivo. Este trabalho é representado pela área sob a curva
consecutivos
abc.
Durante os processos
cd e da a substância de trabalho está sendo comprimida, o que signica que está realizando trabalho
negativo sobre o ambiente ou, que o ambiente está realizando trabalho sobre a substância.
representado pela área sob a curva
cda.
O trabalho líquido por ciclo, que é representado por
W
é a diferênca entre as duas áreas, e é uma grandeza positiva, igual á área limitada pelo ciclo
4.6.1.1.
6.1.1-Eciência de uma máquina de Carnot.
Este trabalho é
no gráco acima
abcda.
No uso prático de qualquer máquina térmica existe
interesse em transformar em trabalho a maior parte possível da energia disponível
QH .
O exito nessa transfor-
mação é medido através da chamada eciência térmica (ε), denida como o trabalho que a máquina realiza por
ciclo (¨energia utilizada¨) dividido pela energia que recebe em forma de calor por ciclo (¨energia adiquirida¨),
que matematicamente podemos escrever
4.7. 7-RADIAÇÃO TÉRMICA
energia utilizada
ε=
(4.6.1)
energia adquirida
=
que corresponde a eciência de qualquer máquina térmica.
substituir
W
pelo seu valor
W = |Q0 | − |QF |,
ε=
(4.6.2)
43
|W |
,
|QH |
No caso de uma máquina de Carnot podemos
o que implica
|QH | − |QL |
|QL |
=1−
.
|QH |
|QH |
Essa última expressão ainda pode ser reescrita (não provaremos esse fato) da seguinte forma
ε=1−
(4.6.3)
onde
TL
e
TH
TL
,
TH
são as temperaturas (em Kelvin) do reservatório frio e quente respectivamente. É importante
assinalarmos que, como sempre
TL < TH ,
a eciência da máquina de Carnot será sempre menor que
100%
.
Exemplo: Eciência de uma máquina de Carnot
1-Calcule o rendimento de uma máquina de Carnot que opera entre as temperatura
Resposta: Para calcular o rendimento devemos utilizar a expressão
4.6.2. 6.2-Refrigeradores.
ε = 1−
TL
TH
200K
e
800K
= 1 − 200/800 = 3/4 = 75%
Um refrigerador é um dispositivo que utiliza trabalho para transferir energia
de uma fonte fria para uma fonte quente enquanto o dispositivo repete uma série de processos termodinâmicos.
Em um refrigerador domésticos, por exemplo, o trabalho é realizado por um compressor elétrico para transferir
energia do compartimento onde são guardados os alimentos ( a fonte fria) para o ambiente ( a fonte quente).
Chamaremos de refrigerador ideal o refrigerador de Carnot. Num refrigerador ideal, todos os processos são
reversiveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas por efeitos como o atrito e a turbulência.
A eciencia de um refrigerador qualquer pode ser denida matematicamente através de
K=
(4.6.4)
onde
K
é o coeciente de desempenho.
termodinâmica nos dá
energia utilizada
energia adquirida
|QL |
,
|W |
No caso especíco de um refrigerador de Carnot, a primeira lei da
W = |QH | − |QL |,
ou seja
KC =
(4.6.5)
=
|QL |
,
|QH | − |QL |
ou ainda (não provaremos)
KC =
(4.6.6)
TF
T0 − TF
Exemplo: Coeciente de desempenho
1-Calcule o coeciente de desempenho de um refrigerador de Carnot que opera entre as temperatura de
200K
e
800K
Resposta: Para resolver este problema, basta utilizarmos a expressão
KC =
TL
TH −TL , ou seja
KC =
200
800−200
=
1/3 =≈ 33, 33%.
4.7. 7-Radiação Térmica
Um sistema e o ambiente também podem trocar energia através de ondas eletromagnéticas (a luz visível é
um tipo de onda eletromagnética). As ondas eletromagnéticas que transmitem calor são muitas vezes chamadas
de radiação térmica para distingui-las dos sinais eletromagnéticos ( como por exemplo, as ondas de radio,TV)
44
4. TERMODINÂMICA
e da radiação nuclear (ondas e partículas emitidas por núcleos atomicos). Quando você se aproxima de uma
fogueira é aquecido pela radiação térmica proveniente do fogo, ou seja, sua energia térmica aumenta ao mesmo
tempo em que a energia térmica do fogo é transferida à você. Não é necessário a existência de um meio material
para que o calor seja transferido por radiação. O calor do Sol, chega até a Terra viajando através do vácuo.
A taxa
Prad
com à qual um objeto emite energia através da radiação eletromagnética depende da área
da superfície do objeto e da temperatura
A
(em Kelvin) dessa área, e é dada por
Prad = σεAT 4
(4.7.1)
onde
T
σ = 5, 6704x10−8 W/m2 K 4
é uma constante física conhecida como constante de Stefan-Bolzmann, em
homenagem a Josef Stefan que a descobriu experimentalmente e a Ludwing Boltzmann que a descobriu teoricamente. O símbolo
ε representa a emissividade da superfície do objeto, que tem um valor entre 0 e 1 dependendo
da composição da superfície.
A taxa
Pabs
com a qual o objeto absorve energia através da radiação térmica do ambiente, que supomos
estar a uma temperatura uniforme
Tamb
(em Kelvin) é dada por
4
Pabs = σεATamb
,
(4.7.2)
É importante mecionar que a emissividade
ε
é a mesma (para o mesmo corpo) que no caso da emissividade
quando o corpo radia energia. Deste modo, a taxa líquida de energia radiada e absorvida por um corpo é
4
Pliq = Pabs − Prad = σεA(Tamb
− T 4 ).
(4.7.3)
Exemplo: Determinação da Potência líquida
Calcule a potência líquida de radiação de uma chapa metálica de emissividade
2
1/5, 6704m
que encontra-se numa temperatura
T = 100K
ε = 0, 5
e área
A =
e o ambiente encontra-se numa temperatura de
Tamb = 300K .
Resposta:
Para efetuar esse cálculo devemos usar a expressão
4
Pliq = Pabs − Prad = σεA(Tamb
− T 4 ).
Substituindo os valores temos
(4.7.4)
Pliq =
(5, 6704.10−8 W )
1
(0, 5)
m2 ((300)4 − (100)4 )T 4 = 4W
2
4
m .K
5, 6704
4.8. 8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas
4.8.1. 8.1-Processos térmicos nos ciclos do ar e da água.
A quantidade de energia irradiada pela
Terra é praticamente igual a energia proveniente do Sol que atinge a Terra.
Essa igualdade entre a energia
incidente e a energia irradiada só se aplica para o globo como um todo, e não para qualquer área isoladamente.
Na região equatorial ocorre mais absorção do que irradiação. Entretanto, a faixa equatorial não se torna cada
vez mais quente, nem os polos cada vez mais frios. Essas trocas de calor das regiões mais quentes com as mais
frias são efetuadas principalmente pelo movimento da atmosfera ( os ventos).
Para que possamos compreender melhor os movimentos provocados pela energia solar, devemos começar
por interpretar qualitativamente, através da Física Térmica, alguns ciclos naturais.
4.8.1.1.
8.1.1-O ciclo do ar.
Alguns estudos indicam que, de toda a energia solar incidente, cerca de
é reetido diretamente pelas camadas superiores da atmosfera e pelas nuvens.
Os
70%
30
restante produzem
aquecimento na superfície terrestre, no vapor d'agua e na poeira existente nas camadas inferiores da atmosfera,
e também nas gotículas de água contidas nas nuvens.
4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS
45
A quantidade de calor absorvida pela superfície terrestre corresponde a um aquecimento não uniforme. A
formação do vento se deve justamente a esse aquecimento desigual. A massa de ar que está mais quente do que
as massas vizinhas se expande, produzindo uma região de baixa pressão. As massas de ar vizinhas, mais frias e
de maior pressão, movimentam-se horizontalmente, produzindo os ventos (ver gura abaixo).
Sendo a Terra esférica, os raios solares so atinjem perpendicularmente as regiões próximas ao equador, onde
a incidência da energia solar se concentra.
A face da Terra voltada para o Sol (ver gura abaixo) está absorvendo e emitindo radiação, enquanto a
outra só está emitindo. Com a rotação, estas
¨faces¨
se alternam com periocidade diária.
A inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano de trajetória por ela descrita é também outro
condicionante do aquecimento desigual e da origem as estações do ano. Enquanto em um hemisferio é verão e
os dias são mais longos, no outro hemisfério e inverno e as noites são mais longas que os dias (ver gura abaixo).
46
4. TERMODINÂMICA
Pelo fato de haver regularidade no aquecimento desigual, os movimentos de ar se repetem regularmente,
constituindo ciclos de ar diários ou anuais.
São exemplos de ciclos atmosféricos diários, as brisas marítimas, que sopram do mar para a práia durante
o dia e no sentido inverso durante a noite. Isso porque durante o dia a areia e a terra atingem temperaturas
muito mais altas que o mar, ocorrendo o inverso durante a noite.
A areia e a terra, além de possuírem baixo calor especíco, são também maus condutores, de forma que
apenas uma na camada supercial é aquecida. A água, além de possuir calor especíco alto, é quase totalmente
transparente a radiação luminosa, o que possibilita o aquecimento das camadas mais profundas, fazendo a
temperatura sobre o mar sofrer pequenas alterações entre o dia e a noite.
Os ventos que sopram dos polos Norte e Sul da Terra em direção ao equador são também ciclos diários. Já
as estações estão associadas à ciclos atmosféricos anuais.
4.8.1.2.
8.1.2-O ciclo da água.
Cerca de
70%
da superfície terrestre é coberta pela água. A maior parte
dessa água está no mar, nos rios, nos lagos e geleiras. Ela também está presente no subsolo e no ar, sob a forma
de vapor d´agua e nuvens. A gura abaixo ilustra essa distribuição.
A água no subsolo pode aorar à superfície nas nascentes de lagos e rios e descer em direção ao mar, sob o
efeito da gravidade.
A radiação solar produz a evaporação de grande quantidade da água, que no estado de vapor, é menos
denso que o ar e por isso sobe. Ao se afastar do solo, o vapor d´agua se condensa, constituindo gotas muito
pequenas. Individualmente, essas minúsculas gotículas não visíveis, se agrupam, e quando sua concentração é
sucientemente grande são percebidas como nuvens, neblinas e nevoas úmidas, deslocadas para outras regiões.
A água volta ao solo quando há condições para precipitação, podendo então ser absorvida pelo terreno e
pelas plantas ou ser incorporada diretamente pelos rios, lagos e mares. Parte da água irá evaporar de novo,
retornando a atmosfera, constituindo assim o ciclo da água.
O ciclo da água sofre interferência do ciclo do ar. Os ventos facilitam a evaporação da água, diminuindo a
pressão de vapor sobre o líquido, transportanto às nuvens de um lugar para outro e inuenciando na periodicidade
e quantidade das chuvas que caem em cada região.
4.8.2. 8.2-Processos térmicos e outros fenômenos naturais.
O orvalho, o nevoeiro, a geada, a neve
e o granizo são processos que fazem parte do ciclo da água, mas que só ocorrem sob determinadas condições na
atmosfera.
O ar, o solo e as folhas são aquecidos durante o dia pela radiação solar, e são resfriados durante a noite.
Por possuírem constituição diversa, esses materiais se aquecem ou se esfriam diferentemente. Isso possibilita
ao solo e as folhas aquecerem-se mais que o ar durante o dia e, da mesma forma, resfriarem-se mais que o ar
durante a noite.
Esses fatores propiciam a formação do orvalho, ou seja, o vapor d´agua contido no ar entra em contato com
superfícies que estejam a temperaturas mais baixas - abaixo do ponto de orvalho - e se condensa. Esse processo
é análogo a condensacão do vapor d´agua em torno de copos ou garrafas geladas.
4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS
47
Geralmente, em noites de vento não há formacão de orvalho, pois o vento favorece a troca de calor com o
meio, impedindo o ponto de orvalho no solo.
O nevoeiro, também chamado de névoa, é constítuido de gotículas microscópicas de água presentes na
atmosfera, próximo á superfície terrestre. Sua formação depende da temperatura, da umidade do ar (pressão
do vapor) e da quantidade de partículas existentes no ar.
Se a temperatura do próprio ar úmido for diminuída, de forma a torná-lo saturado, pode ocorrer a condensacão (ou a sublimação) na atmosfera, que produz nevoeiro (ou a neve). Esse resfriamento pode ocorrer por
irradiação ou pode ocorrer preceptação na forma de garoa ou chuvísco. Quando a temperatura é muito baixa,
pode ocorrer a sublimação e a precipitação de minúsculos cristais de gelo, o que constitui a neve. Não é por
outra razão que os boletins associam a aproximação de
¨frentes
frias¨ com a perspectiva de chuva.
Já o granizo (chuva de pedra), se forma em nuvens em grandes altitudes. As gotas d´agua de algumas nuvens
muito altas são tão frias que suas temperaturas chegam a ser bem inferiores à temperatura de congelamento.
Assim, na interação dessas gotas com partículas como poeira ou fumaça, elas congelam e precipitam na forma
de
¨pedras
de gelo¨.
Em situação normal, a medida que se sobe na atmosfera, a temperatura e a pressão do ar diminuem; ha
portanto uxo de ar para cima, que dispersa a fumaçaa industrial e urbana. A inversão térmica impede essa
dispersão, permitindo o acumulo da poluição continuamente produzida.
Este processo atmosférico que agrava os efeitos da poluição urbana acontece quando a temperatura das
camadas de ar mais altas se torna maior do que a de camadas inferiores. Essa inversão ocorre principalmente
em noite secas que a camada logo acima. Esses resfriamentos vai se ampliando para cima e, ao nal da noite,
constitui uma massa de ar frio de algumas dezenas de metros de altura. A temperatura dessa massa de ar é bem
inferior a das camadas superiores, inibindo a circulação de ar vertical que ocorreria se não houvesse inversão
(ver gura abaixo).
Um exemplo interessante do fenômeno da inversão, são as famosas
Smog de Los Angeles .
As Smog de Los
Angeles são um tipo de ar aprisionado que tem origem no ar frio e de baixa altitude vindo do oceano, sobre o
qual uma camada de ar quente se move por cima das montanhas, vinda do deserto de Mojave. As montanhas
ajudam a manter o ar aprisionado (Figura abaixo). As montanhas nas cercanias de Denver desempenham um
papel semelhante ao aprisionar smog abaixo de uma inversao de temperatura.
48
4. TERMODINÂMICA
Quando há umidade no ar, tal processo não ocorre porque o vapor d´agua absorve a radiação emitida pelo
solo e também impede seu resfriamento, uma vez que ao trocar calor, pode haver formção de orvalho.
Os vulcões, geiseres e terremotos também são fenômenos naturais associados a elevação da temperatura
com profundidade so subsolo.
Pessoas que trabalham em minas de carvão sabem que a temperatura da Terra aumenta constantemente
com a profundidade. Medidas efetuadas em poço profundos indicam que a cada quilômetro de profundidade a
variação da temperatura é da ordem de 30 graus.
A água existente a grande profundidade encontra-se a alta temperaturas e pressão. Quando existem condições de escoamento (como falhas no terreno), essa água jorra para a supercie em forma de jatos de vapor e
água a alta temperaturas. Estes jatos sao denominados geiseres (ver gura abaixo).
A temperatura da Terra a uma profundidade de
50km
é superior a de fusão das rochas.
Entretanto,
nessa profundidade elas (as rochas) não se encontram no estado líquido, mas pastoso, devido a pressão de
aproximadamente
15atm
a que estão submetidas.
Se houver alguma região da crosta mais frágil, ou se houver alguma fresta, essa massa pastosa a alta
temperatura e pressão, inicia sua subida em direção a superfície. A medida que a pressão diminui, a pasta vai
se tornando mais uída, ate que ao aorar a superfície já se encontra totalmente líquida, jorrando em forma de
lava e constituindo assim um vulcao (ver gura abaixo)
4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS
49
A erupção dos vulcões pode ser sucedida por terremotos. Após a erupção há um vazio devido ao lancamento
de lava.
Esse
¨vazio¨
pode vir a ser preenchido por massa rochosas localizadas próxima a ele, o que causa
geralmente deformações da crosta terrestre.
4.8.3. 8.3-A meteorologia e a primeira Lei da termodinâmica.
teorologistas para analisar o clima.
A termodinâmica é útil aos me-
Eles costumam experssar a primeira lei da termodinâmica da seguinte
maneira:
A Temperatura do ar aumenta quando o calor é adicionado ou quando a pressão aumenta.
A temperatura do ar pode ser alterada adicionando-se ou retirando-se calor, ou mudando a pressão do ar
(o que envolve a realização de trabalho), ou através de ambos. O calor é adicionado por radiação solar, por
radiação terrestre de ondas longas, por condensação de vapor ou contato com o solo aquecido. Tudo isso resulta
em um aumento da temperatura. A atmosfera pode perder calor por radiação para o espaco, pela evaporação da
chuva que cai através do ar seco, ou por contato com superfícies frias. O resultado é uma queda da temperatura
do ar.
Exitem alguns processos atmosféricos em que a quantidade de calor adicionado ou retirado é muito pequena,
mas suciente para que o processo seja aproximadamente adiabático.
Então obtemos a forma adiabática da
primeira lei:
A temperatura do ar se eleva (ou cai) quando a pressao cresce (ou diminui).
Processos adiabáticos na atmosfera são característicos de grandes porções de ar, com dimensões que vão
desde algumas dezenas de metros até vários quilômetros. Essas porções são sucientemente grandes para que o
ar fora não se misture apreciavelmente com o ar de dentro, durante os minutos ou horas que elas duram. Elas
se comportam como se estivessem dentro de um gigantesco saco de pano no. Quando uma dessas porções de
ar sobe pela encosta de uma montanha, sua pressão diminui, o que permite que ela se expanda e se resfrie. A
pressão reduzida resulta em temperatura reduzida.
dessas de ar seco diminui cerca de
10°C
As medidas mostram que a temperatura de uma porção
para o decréscimo de pressão correspondente a uma elevação de 1
quilômetro em altitude.
O ar que ui sobre altas montanhas, ou que se eleva em tempestades com trovões ou ciclones pode subir
até vários quilômetros. Assim, se uma grande porção de ar seco a uma temperatura confortável de
nível do solo, for elevada para 6 quilometros, a temperatura pode chegar à
a uma temperatura típica de
temperatura seria
40°C .
−20°C
−35°C .
25°C ,
ao
Por outro lado, se o ar
e a uma altitude de 6 quilometros descesse para o nível do solo, sua
Um exemplo claro desse tipo de aquecimento é o do chinuque - um vento que sopra
das Montanhas Rochosas para as Grandes Planícies norte-americanas.
O ar frio descendo nas encostas das
montanhas e comprimido e aquecido apreciavelmente (ver gura abaixo). O efeito da compressão ou expansão
dos gases é muito impressionante.
50
4. TERMODINÂMICA
Porções adiabáticas de uidos não estão restritas a atmosfera, e as variações que ocorrem nelas não são
necessariamente rápidas.
circular.
Certas correntes oceanicas profundas, por exemplo, levam milhares de anos para
As massas de água envolvidas são tão gigantescas e as condutividades tão baixas que nenhuma
quantidade apreciável de calor é transferida para dentro ou para fora delas nesses longos períodos de tempo.
Elas são aquecidas e resfriadas adiabaticamente por variações de pressão. Variações em correntes de convecção
oceanicas adiabáticas, como evidenciado pelo recorrente El Nino, que tem grande inuência sobre o clima da
Terra. A convecção oceanica é inuenciada pela temperatura do fundo oceanico, que por sua vez é derretido
abaixo da crosta terrestre (Figura abaixo).
Índice Remissivo
área do triângulo, 5
Atrito, 16
componentes da força, 12
conversão em cadeia, 10
cosseno, 6
Energia, 20
energia cinética ( K), 20
Eq. 2º grau, 6
expoentes, 7
Força, 11
Força Elástica, 23
Força Gravitacional, 14
Força Normal, 15
Funções trigonométricas, 6
grandezas derivadas, 9
grandezas fundamentais, 9
Identidades trigonométricas, 6
lei de Hooke, 24
Lei dos cossenos., 6
Lei dos senos., 6
Mecânica Newtoniana, 11
Peso, 15
Potência, 24
Primeira lei de Newton, 11
princípio de superposição, 12
Segunda lei de Newton, 12
seno, 6
tangente, 6
Teorema de Pitágoras, 5
Terceira lei de Newton, 17
Torque, 18
Tração, 16
Trabalho, 21
Trabalho realizado por uma mola, 24
51