Cap 12 - Unesp

ELETROMAGNETISMO I
12
105
SOLENÓIDE E INDUTÂNCIA
12.1 - O SOLENÓIDE
Campos magnéticos produzidos por simples condutores ou por uma única espira são bastante fracos
para efeitos práticos. Assim, uma forma de se conseguir campos magnéticos com intensidades maiores
é através de um solenóide. Um solenóide é um enrolamento helicoidal, conforme é mostrado na figura
12.1 abaixo.
Consideremos que o enrolamento ilustrado possua N voltas igualmente distribuídas ao longo do
comprimento L do solenóide. A corrente que flui pelo enrolamento é I A. Se o espaçamento dado entre
espiras for muito pequeno em relação ao raio de cada espira, podemos substituir o enrolamento por
uma lâmina de corrente superficial de densidade laminar K onde:
K =N
I
( A / m)
L
(12.1)
L
N
I
B
Figura 12.1 - Um solenóide com N espiras enroladas.
Para encontrarmos a densidade de fluxo magnético B no centro do solenóide, consideremos uma seção
da lâmina com espessura elementar dx, como se fosse uma única espira, cuja corrente é:
I e = Kdx = N
I
dx (A )
L
(12.2)
O exemplo 9.2 mostrou como se calcular o campo magnético gerado por um anel circular de corrente ao
longo do seu eixo. Tomando a relação constitutiva B =- µ H, a densidade de fluxo devido a cada anel de
corrente de raio R em uma posição genérica x ao longo do eixo deste anel é dada por:
B=
µ Ie R 2
2 R 2 +x 2
3
( Wb / m 2 )
(12.3)
Ou, para o elemento de espessura dx considerando (12.2), a densidade elementar de fluxo em cada
espira percorrida pela mesma corrente I é:
dB =
µNIR 2
2L R 2 + x 2
3
dx ( Wb / m 2 )
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(12.4)
ELETROMAGNETISMO I
106
Desta forma, a densidade total B no centro do solenóide é obtida pela integração ao longo da lâmina de
corrente, considerando seus extremos em relação a este centro. Logo:
B=
µNIR 2
2L
L/2
dx
∫
2
R +x
−L / 2
2
3
( Wb / m 2 )
(12.5)
Realizando a integração obtemos:
µNI
B=
4R +L
2
2
( Wb / m 2 )
(12.6)
Se o comprimento do solenóide for muito maior do que o seu raio, a expressão (12.6) se reduz a:
B=
µNI
= µK ( Wb / m 2 )
L
(12.7)
onde K é a densidade laminar de corrente em A.m-1.
As equações (12.6) e (12.7) fornecem o valor da indução magnética no centro do solenóide. Mudando
os limites de integração para 0 e L, teremos a indução magnética nos extremos do solenóide. Assim,
B=
µNI
2
2
2 R +L
≅
µNI µK
( Wb / m 2 )
=
2L
2
(12.8)
que é a metade do valor no centro da bobina.
Exemplo 12.1
Um solenóide uniforme possui 400 mm de comprimento, 100 mm de diâmetro, 100 espiras e uma
corrente de 3 A. Encontre a indução magnética B no eixo do solenóide: a) - no seu centro, b) - em uma
extremidade e c) - a meio caminho entre o centro e a extremidade.
Solução
a) – no centro
B=
B=
B=
µ 0 NI
4R 2 + L2
−7
4π × 10 × 100 × 3
4 × 0,052 + 0,4 2
µNI
2 R 2 + L2
(T )
(T )
B=
4π × 10 −7 × 3
2 0,052 + 0,4 2
= 0,468 (mT)
= 0,915 (mT)
b) – em uma das extremidades
c) - entre o centro e uma das extremidades.
Faça-o como exercício, considerando como
origem da integração um ponto a 1/4 e 3/4 de
cada extremidade respectivamente.
Vamos agora encontrar o torque que impõe um conjugado e tende a girar o solenóide, se este for
imerso em um campo magnético B. É fácil ver que o torque será máximo quando o eixo do solenóide se
encontrar na direção perpendicular à do campo magnético externo, conforme é mostrado na figura 12.2,
onde o eixo de rotação estará no centro do solenóide. Supondo que este seja de seção quadrada de
lado d, a componente da força tangencial de torque Ft num único segmento d de espira sob interação
magnética é:
Ft = BId. cos β ( N)
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(12.9)
ELETROMAGNETISMO I
Ft
r
L/2
F
r
L /2
107
β
B
d
Fig. 11.2 - Torque no solenóide
Mas:
cos β =
d
2r
(12.10)
Se considerarmos as duas espiras extremas, conforme a figura acima, teremos um torque produzido por
quatro forças de mesma intensidade Ft. definida em (12.9) Portanto:
T = 4Ft .r = 2IBd 2 = 2IAB ( N.m)
(12.11)
onde A = d2 é a área da seção reta do solenóide. Observe que este torque é independente da distância
das espiras ao centro do solenóide. Estendendo o raciocínio, o torque total estará distribuído entre as
duas metades ao longo do comprimento do solenóide de modo que:
Tm =
N
2IAB = NIAB = m ′.B ( N.m)
2
(12.12)
onde m' = NIA é o momento magnético do solenóide.
12.2 - INDUTORES E INDUTÂNCIA
Um indutor é um dispositivo capaz de armazenar energia no campo magnético. Ele deve ser visto como
uma contraparte no magnetismo ao capacitor, que armazena energia no campo elétrico. Exemplos
típicos de indutores são formados por espiras simples, enroladas em solenóides, em toróides, etc.
As linhas de fluxo magnético produzidas pela corrente que percorre o enrolamento de um solenóide
formam caminhos fechados, uma característica de um campo solenoidal. Cada linha de fluxo que passa
por todo o solenóide concatena a corrente I um número N de vezes. Se todas as linhas de campo se
concatenam com todas as espiras, o fluxo magnético concatenado resultante Λ (lambda maiúsculo) é
igual a:
Λ = Nψ m ( Wb.esp)
(12.13)
Por definição, a indutância L é a razão entre o fluxo concatenado total e a correspondente corrente I.
Assim,
L=
Nψ m Λ
= (H)
I
I
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(12.14)
ELETROMAGNETISMO I
108
A definição acima é satisfatória para meios com permeabilidade magnética constante, como no ar.
Como será visto mais tarde, a permeabilidade de materiais ferromagnéticos não é constante e nestes
casos a indutância é definida como sendo a razão entre a mudança infinitesimal no fluxo concatenado,
pela mudança infinitesimal na corrente. Daí:
L=
dΛ
(H)
dI
(12.15)
A indutância tem dimensão de fluxo por corrente, e a sua unidade no Sistema Internacional de Unidades
é o henry (H).
Assim como a resistência e a capacitância, a indutância depende apenas da geometria e do meio onde
o indutor se encontra, referenciado por sua permeabilidade magnética µ.
É importante ressaltar aqui que a capacidade de armazenar energia no campo magnético estende-se
até a um simples condutor retilíneo conduzindo corrente, como veremos adiante.
12.2.1 - Indutores de Geometria Simples
A indutância de diversos tipos de indutores pode ser calculada a partir de sua geometria. Como
exemplos, as indutâncias de um solenóide longo, um toróide, um cabo coaxial e uma linha formada por
dois condutores paralelos serão aqui calculadas.
12.2.1.1 - Indutância de um Solenóide
Na seção 12.1 deduzimos uma expressão para o campo magnético no centro de um solenóide. Como
visto, a indução era menor nos extremos do solenóide, o que é devido à dispersão do fluxo magnético.
Se o solenóide for suficientemente longo, podemos considerar que o valor da indução magnética é
constante em todo o interior do solenóide, e igual ao valor calculado em seu centro.
A expressão para a indução magnética no centro de um solenóide muito longo é:
B=
µNI
( Wb / m 2 )
d
(12.16)
Utilizamos a letra d ao invés da letra L, para representar o comprimento d no solenóide, para evitar
ambigüidades com relação à simbologia de indutância (L).
O fluxo concatenado pelo solenóide será então:
Λ=
µN 2 IA
( Wb)
d
(12.17)
µN 2 A
(H)
d
(12.18)
A indutância será então por (12.14):
L=
onde:
L
I
µ
A
d
N
(H)
(A)
(H.m-1)
(m2)
(m)
Indutância do solenóide
Corrente no solenóide
Permeabilidade magnética do meio
Seção reta do solenóide
Comprimento do solenóide
Número de espiras do solenóide
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ELETROMAGNETISMO I
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Exemplo 12.2
Calcule a indutância de um solenóide de 2000 espiras, enrolado uniformemente sobre um tubo de
papelão de 500 mm de comprimento e 40 mm de diâmetro. O meio é o ar. Resolva-o como exercício.
12.2.1.2 - Indutância de um toróide
Se um solenóide longo é curvado em forma de círculo e é fechado sobre si mesmo, um toróide é obtido.
Quando esse toróide possui um enrolamento uniforme, o campo magnético é praticamente todo
confinado em seu interior, e B é substancialmente zero fora dele. Se a relação R/r for muito grande
(figura 12.3), podemos utilizar a expressão para o campo magnético em um solenóide para determinar o
fluxo total concatenado Λ . Assim,
Λ = NBA ( Wb)
Λ=N
(12.19)
µNI
µN 2 Iπr 2
A=
( Wb)
d
2πR
Λ=
µN 2 r 2 I
( Wb)
2R
(12.20)
(12.21)
R
r
B
i
i
Figura 12.3 – Um enrolamento toroidal.
A indutância do toróide será:
L=
µN 2 r 2
(H)
2R
(12.22)
12.2.1.3 - Indutância de um cabo coaxial
Considere agora uma linha de transmissão co-axial, muito utilizada em sistemas de telecomunicações,
conforme pode ser mostrado na figura 12.4. A corrente no condutor interno é I, e o retorno dela se dá
pelo condutor externo. Consideraremos então que o fluxo magnético esteja confinado à região entre os
condutores (Bext = 0). Portanto:
B=
µI
2πr
O fluxo total concatenado para um comprimento c da linha de transmissão é:
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(12.23)
ELETROMAGNETISMO I
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cµI b dr cµI b
ln ( Wb)
=
2π a
2π ∫a r
b
Λ = c ∫ Bdr =
a
(12.24)
A indutância para o comprimento c desse cabo fica:
L=
Λ µc b
ln (H )
=
I 2π a
(12.25)
c
b
-I
b
-I
B
a
I
I
c
a
B
Figura 12.4 Cabo co-axial.
11.2.1.4 - Indutância de um cabo bi-filar
Outro tipo de linha de transmissão utilizada é o cabo bi-filar, formado por dois fios paralelos (figura
12.5).O raio de cada um é a, e a distância entre seus centros é D. Sabemos que para qualquer um dos
cabos, a uma distância radial r dele, a indução magnética B é dada por:
B=
µI
( Wb / m 2 )
2πr
(12.26)
O fluxo concatenado para um comprimento c deste cabo será igual à 2 vezes a integral expressa em
(12.24). Portanto, a indutância para um comprimento c desse cabo é:
L=
Λ µc D
=
ln (H )
I
π
a
(12.27)
raio do
condutor = a
-I
I
B
D
Fig. 12.5 Cabo bi-filar
12.2.2 - Energia armazenada em um Indutor
Como já mencionado, um indutor armazena energia no campo magnético, analogamente ao capacitor,
que armazena energia em um campo elétrico. A armazenagem da energia se dá com a variação do
campo magnético. Quando a corrente elétrica é alternada, existe uma permanente troca de energia
entre o indutor e a fonte a medida que o tempo passa. Quando a corrente elétrica é contínua, a energia
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é armazenada durante o período transitório que ocorre até que o seu valor em regime permanente se
estabeleça. Uma vez retirada a corrente, a energia armazenada no campo magnético flui do indutor
para a fonte externa, durante o transitório que ocorre até a corrente atingir o valor nulo.
A potência instantânea entregue pela fonte de alimentação ao indutor é dada por:
p = V.i ( V.A )
(12.28)
onde :
V
(V)
Tensão sobre o indutor, igual a L. di dt .
i
p
(A)
(W)
Valor instantâneo da corrente
Potência instantânea no indutor
A energia entregue pela fonte ao indutor, Wm, é dada por:
I
Wm = ∫ pdt = ∫ Li
0
di
1
dt = LI 2 (J )
dt
2
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(12.29)
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EXERCÍCIOS
1) Calcule a indutância por unidade de comprimento de um cabo coaxial cujo condutor interno
possui raio a = 3 mm envolvido por outro de raio interno b = 9 mm. Para efeitos magnéticos
suponha µr = 1.
2) Um solenóide uniforme de 120 mm de diâmetro, 600 mm de comprimento e 300 espiras é
percorrido por uma corrente de 5 A. Uma bobina de 400 mm de diâmetro e 10 espiras é
colocada com o seu eixo coincidindo com o eixo do solenóide. Qual deve ser a corrente na
bobina de modo a anular o campo magnético em seu centro se esta estiver (a) no centro do
solenóide, (b) na extremidade do solenóide e (c) a meio caminho entre o centro e a
extremidade do solenóide?
3) Determine a indutância de um solenóide montado em um núcleo de ar, ao longo de um
comprimento de 1,5 m formando 2500 espiras circulares de espaçamento uniforme e raio de
2 cm.
4) Calcule a indutância por unidade de comprimento de dois condutores aéreos e paralelos com
raio de 2,5 cm separados por uma distância de 7,5 m.
5) Um condutor circular com 6 cm de raio encontra-se a 8 m de altura do solo. Determine a
indutância em cada metro de comprimento.
6) Encontre a indutância de um toróide com núcleo de ar apresentando uma secção reta circular
de raio 4 mm, 2500 espiras e raio médio 20 mm.
7) Dado um toróide com núcleo de ar formado por 700 espiras, com raio interno de 1 cm, raio
externo de 2 cm e altura 1,5 cm, determine a sua indutância empregando (a) a expressão
correta em função da sua geometria; (b) a expressão para um toróide genérico que supõe o
campo H uniforme num raio médio.
8) Um certo toróide com núcleo de permeabilidade magnética igual à do ar com secção reta
retangular apresenta um raio interno ri = 80 cm, raio externo re = 82 cm, altura h = 1,5 cm e
encontra-se envolvido por 700 espiras. Calcule a sua indutância usando as duas fórmulas do
problema anterior e compare os resultados.
9) Um toróide com seção transversal quadrada é limitado pelas superfícies r = 10 cm e r = 12
cm, z = – 1,0 cm e z = 1,0 cm. Obviamente, o raio médio do toróide é 11 cm e este é enrolado
com uma única camada de 700 espiras e excitado com uma corrente de 2,5 A na direção â z
r
em r = 10 cm. (a) Encontre a indutância do toróide e o campo magnético H no seu centro. (b)
Como mudará esta resposta se a seção transversal do toróide for reduzida à metade,
mantendo-se os mesmos raios interno e externo? (c) Com esta área reduzida, qual é a
densidade laminar de corrente fluindo na superfície do cilindro interno necessária para
produzir o mesmo resultado do item (a)?
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