Primeira Parte Prof. Walter

MAT-206 Parte I
Walter T. Huaraca Vargas
15 de Março de 2017
Ângulo trigonométrico
Definição
Um ângulo θ é definido pela rotação de um raio ao redor da origem
(vértice) desde uma posição inicial (lado inicial) até uma posição terminal
(lado final). A medida do ângulo θ é a quantidade de rotação que realiza o
raio desde o lado inicial até o lado final entorno do vértice. Esta medida
será positiva se a rotação é realizada no sentido anti-horario e será negativa
no caso contrario.
Observação
O ângulo gerado ao rotar um raio em sentido antihorario até que coincida
por primeira vez com a sua posição inicial é chamado de ângulo de uma
revolução.
Sistemas de medição angular
Sistema Sexagesimal: O angulo de uma volta dividivo em 360 partes
chamadas de grau sexafesimal, cada grau se divide em 60 partes iguais
chamadas minuto sexagesimal, a sua vez cada minuto se divide em 60
partes iguais chamadas de segundo sexagesimal.
notação
equivalencias
1
2
o
o
Grau sexagesimal
1
1 “ 60 “ 3600
1
1
2
minuto sexagesimal
1
1 “ 60
2
segundo sexagesimal
1
Sistemas radial ou circular
Unidade angular é o radian definido como a medida do ângulo central em
qualquer circunferencia definido por um arco de longitude igual a r .Neste
sistema o ângulo de uma revolução mide 2π radianes.
Observação
Se S e R são os número que representam a medida de um ângulo nos
S
R
sistemas sexagesimal e radial, respetivamente, então 360
“ 2π
de onde:
S
R
“
180
π
Angulos coterminais
Definição
Dos ângulo são chamados de ângulos coterminais se tem o mesmo v?rtice,
o mesmo lado inicial e o mesmo lado final. Obserque se se α e beta são
coterminais se, e somente se, existe k P Z tal que α ´ β “ kp360o q ou
α ´ β “ kp2πradq.
Comprimento de arco e área do setor
circular
Lembremos que L “ θr e A “ 21 rL “ 12 θr 2
Relações trigonométricas no triângulo
retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são 6 e são denomidas
Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.
Geometricamente temos:
Observação
1
2
Ctg α “
1
Tg α ,
Secα “
1
Cosα ,
Cscα “
1
Senα .
0 ă Senα ă 1, 0 ă Cosα ă 1, Secα ą 1, Cscα ą 1, observe que α é
agudo.
3
A razão Coseno é a co-razão da razão Seno e viceversa.
4
A razão Cotangente é a co-razão da razão Tangente e viceversa.
5
A razão Cosecante é a co-razão da razão Secante e viceversa.
6
RT α “ CoRT pcomplemento de αq “ CoRT p90o ´αq “ CoRT p π2 ´αq
7
basta conhecer uma razão para conhecer as outras.
Proposição
1
2
Considere o triângulo ABC reto em B, então Ctg A2 “ CscA ` CtgA e
Tg A2 “ CscA ´ CtgA.
A àrea de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto de dois do
seus lados multiplicado pelo Seno do ângulo formado por eles.
O círculo trigonométrico
Lembre que podemos associar a todo número real um único ponto sobre
uma reta orientada, consideremos duas retas orientadas perpendiculares
entre elas, o plano determinado pelas retas é chamado de Plano Cartesiano
o Plano coordenado.
1
Origem de coordenadas O
2
Eixo das abscisas ou eixo X .
3
Eixo das ordenadas ou eixo Y .
4
5
4 regiões chamados de quadrantes
a
r “ x 2 ` y 2 é chamado de raio vetor
Definição
1
2
Um ângulo esta em posição normal, se o lado inicial pertence ao
semieixo positivo das abscisas, o vêrtice é o origem do sistema de
coordenadas e o lado final encontrase no plano coordenado.
Um ângulo em posição normal é chamado de ângulo quadrantal se seu
lado final encontrase sobre um dos eixos coordenados.
Observação
Se θ é um ângulo positivo de menor que uma revolução, então:
1
θ P IQ então 0 ă θ ă 90o
2
θ P IIQ então q90o ă θ ă 180o
3
θ P IIIQ então 180o ă θ ă 270o
4
θ P IVQ então 270o ă θ ă 360o
Observação
Se θ é um ângulo quadrantal, então são:
1
2kπ com k P Z
2
p2k ` 1qπ com k P Z
3
4
p4k`1q
π
2
p4k`3q
π
2
com k P Z
com k P Z
Razões trigonometricas
Definição
Seja α um ângulo em posição normal se Ppx; y q é um ponto pertencente
ao lado final, as razoes trigonométricas de α são:
Senα “
Ordenada
raio
Cosα “
abscisa
raio
“
“
y
r
y
r
Tg α “
Ordenada
abscisa
“
y
x
Ctg α “
abscisa
ordenada
“
x
y
Secα “
Cscα “
raio
abscisa
raio
ordenada
“
“
r
x
r
y
Observação
1
Observe o sinal das RT nos diferentes quadrantes. (Geometricamente)
2
A RT de ângulos coterminais são iguais.
3
É fácil provar que:
Senp´αq “ ´Senpαq
cosp´αq “ cospαq
Tg p´αq “ ´Tg pαq
Ctg p´αq “ ´Ctg pαq Secp´αq “ Secpαq Cscp´αq “ ´Cscpαq
Circunferencia trigonométrica
S “ tpx; y q P R2 ; x 2 ` y 2 “ 1u
Op0; 0q origem
A p´1; 0q origem de suplementos
1
Ap1; 0q origem de arcos
1
B p0; ´1q
Bp0; 1q origem
Ppx; y q extre
Se α for o ângulo definido pelo arco AP, então as razões trigonométricas
são:
Linhas trigonométricas Com direção
Linha Seno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco ao
1
diámetro A A
Linha Coseno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco
1
ao diámetro B B
Linhas trigonométricas
Linha Tangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem de
arcos A. (Eixo de tangentes)
2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco até
intersetar o eixo de tangentes.
3 A linha tangente é o segmento comprendido entre a
origem de arcos e o ponto de interseção com a linha
tangente.
Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem
de complementos B. (Eixo de cotangentes)
2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco até
intersetar o eixo de cotangentes.
3 A linha cotangente é o segmento comprendido entre a
origem de complementos e o ponto de interseção com a
linha cotagente.
Linhas trigonométricas
Linha Secante
2
Traçar uma tangente geometrica pelo extremo do
arco até intersetar o eixo X .
A linha Secante é o segmento comprendido entre a
origem de coordenadas e o ponto de interseção.
1
Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremo
do arco até intersetar o eixo Y .
2 A linha Cosecante é o segmento comprendido entre a
origem de coordenadas e o ponto de interseção.
Linhas auxiliares
Linha Verso É o segmento comprendido entre o pe da linha do Seno e a
origem de arcos A e Versα “ 2 ´ Cosα.
Linha Coverso É o segmento comprendido entre o pe da linha do
Coseno e a origem de complementos B e Cov α “ 1 ´ senα
Linha Ex-Secante É o segmento comprendido entre a origem de arcos
e o extremo da linha secante e ExSecα “ Secα ´ 1
Funções trigonométricas
Observação
1
2
Intervalos abertos, fechados, semi-aberto, semi-fechado, infinitos.
O valor absoluto de um número real x, é:
"
x se x ě 0
|x| “
´x se x ă 0
Usaremos
?
a2 “ |a|
3
Funções
4
Dominio, Imagem e Gráfico de uma função.
5
Continuidade a assintotas verticais e horizontais.
6
Funções Injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
7
Funções pares e impares e periódicas.
Função Seno
y “ f pxq “ Senx
1
Domínio: R
2
Imagem: r´1; 1s
3
Gráfico:
4
Periódo: 2π
5
Continuidade: Em todo seu dominio
6
Valor(es) Máximo: 1 em x “
7
Valor(es) mínimo: -1 em x “ ´ π2 ` 2kπ com k P Z
8
Paridade: Impar
9
π
2
` 2kπ com k P Z
Monotocidade: Crescente em r´ π2 ` 2kπ; π2 ` 2kπs com k P Z e
Decrescente em r π2 ` 2kπ; 3π
2 ` 2kπs com k P Z
Função Cosseno
y “ f pxq “ Cosx
1
Domínio: R
2
Imagem: r´1; 1s
3
Gráfico:
4
Periódo: 2π
5
Continuidade: Em todo seu dominio
6
Valor(es) Máximo: 1 em x “ 2kπ com k P Z
7
Valor(es) mínimo: -1 em x “ p2k ` 1qπ com k P Z
8
Paridade: Par
9
Monotocidade: Crescente em r´π ` 2kπ; 2kπs com k P Z e
Decrescente em r2kπ; 2kπ ` πs com k P Z
Função Tangente
y “ f pxq “ Tgx
1
Domínio: Rztp2k ` 1q π2 u, k P Z
2
Imagem: R
3
Gráfico:
4
Periódo: π
5
Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1q π2 com k P Z
6
Valor(es) Máximo: Nao tem
7
Valor(es) mínimo: Não tem
8
Paridade: impar
9
Monotocidade: Crescente en p´ π2 ` kπ; π2 ` kπq, k P Z
10
Assintotas verticais: x “ p2k ` 1q π2
Função Cotangente
y “ f pxq “ Ctgx
1
Domínio: Rztkπu, k P Z
2
Imagem: R
3
Gráfico:
4
Periódo: π
5
Continuidade: Discontínua em x “ kπ com k P Z
6
Valor(es) Máximo: Nao tem
7
Valor(es) mínimo: Não tem
8
Paridade: impar
9
Monotocidade: Decrescente en pkπ; kπ ` πq, k P Z
10
Assintotas verticais: x “ kπ
Função Secante
y “ f pxq “ Secx
1
Domínio: Rztp2k ` 1q π2 u, k P Z.
2
Imagem: Rzp´1; 1q
3
Gráfico:
4
Periódo: 2π
5
Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1q π2 , k P Z.
6
Valor(es) Máximo: Nao
7
Valor(es) mínimo: Não
8
Paridade: Par
9
Monotocidade: Crescente em r2kπ; 2kπ ` π2 q ou p2kπ ` π2 ; 2kπ ` πs,
k P Z.
Função Cosecante
y “ f pxq “ Cscx
1
Domínio: Rztkπu, k P Z.
2
Imagem: Rzp´1; 1q
3
Gráfico:
4
Periódo: 2π
5
Continuidade: Discontínua em x “ kπ, k P Z.
6
Valor(es) Máximo: Nao
7
Valor(es) mínimo: Não
8
Paridade: impar
9
Monotocidade: Crescente em r π2 ` 2kπ; 2kπ ` πq ou
π
p2kπ ` π; 2kπ ` 3π
2 s, k P Z. Decrescente em r2kπ ´ 2 ; 2kπq ou
p2kπ; 2kπ ` π2 s, k P Z.
Observação
Se f é uma função (trogonométrica).
1
y “ kf pxq
2
y “ f pcxq
3
y “ f pxq ` K
4
y “ f px ` cq
Identidades trigonométricas Recíprocas
Proposição
1
SenxCscx “ 1 se x ‰ kπ, k P Z
2
CosxSecx “ 1 se x ‰ p2k ` 1q π2 , k P Z
3
TgxCtgx “ 1 se x ‰
kπ
2 ,
kPZ
Identidades trigonométricas Quociente
Proposição
1
2
Senx
Cosx
Cosx
Senx
“ Tgx, x ‰ p2k ` 1q π2 k P Z
“ Ctgx, x ‰ kπ k P Z
Identidades trigonométricas Pitagóricas
Proposição
1
Sen2 x ` Cos 2 x “ 1 para todo x P R.
2
1 ` Tg 2 x “ Sec 2 x se x ‰ p2k ` 1q π2 , k P Z
3
1 ` Ctg 2 x “ Csc 2 x se x ‰ kπ, k P Z
Identidades trigonométricas Auxiliares
Proposição
1
Sen4 x ` Cos 4 x “ 1 ´ 2Sen2 xCos 2 x para todo x P R.
2
Sen6 x ` Cos 6 x “ 1 ´ 3Sen2 xCos 2 x para todo x P R.
3
Sec 2 x ` Csc 2 x “ Sec 2 xCsc 2 x para todo x P R.
4
Tgx ` Ctgx “ SecxCscx para todo x P R.
5
Sp1Senx ` Cosxq2 “ 2p1 ` Senxqp1 ` Cosxq para todo x P R.
Redução ao primeiro quadrante
RT p180o ˘ αq “ ˘RT pαq RT pπ ˘ αq “ ˘RT pαq
RT p360o ˘ αq “ ˘RT pαq RT p2π ˘ αq “ ˘RT pαq
Observação
De pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,
dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.
Redução ao primeiro quadrante
RT p90o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT p π2 ˘ αq “ ˘C 0 ´ RT pαq
RT p270o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT p 3π
2 ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq
Observação
De pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,
dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.
Redução ao primeiro quadrante
Definição
Da do um ângulo α, o ângulo referencial de α, αr é o ângulo agudo que
forma o lado final do ângulo α com o eixo das abscisas.
Observação
Para reducir ao primeiro quadrante, procedemos assim:
1
Ubicamos o quadrante do ângulo
2
Achamos o ângulo de referenncia associado
3
Determinamos o sinal da RT dada para o quadrante achado em 1.
4
Colocamos a mesma RT, agora aplicada ao ângulo de referencia e com
o sinal determinado em 3.
As leis do Seno e do Coseno
Proposição
1
Senpα ˘ θq “ SenαCosθ ˘ CosαSenθ
2
Cospα ˘ θq “ CosαCosθ ¯ SenαSenθ
3
Tg pα ˘ θq “
Tg α˘Tg θ
1¯Tg αTg θ
Teorema
Se ABC é um triângulo de lados a, b e c, então
a2 “ b 2 ` c 2 ` 2bcCosA
Teorema
Se ABC é um triângulo de lados a, b e c, então
a
b
c
“
“
SenA
SenB
SenC
funções trigonométricas inversas
Observação
Existencia de função (relação) inversa e relação do g?afico da função e o
gráfico da sua inversa
1
y “ f pxq “ Senx, Dompf q “ r´ π2 ; π2 s e Impf q “ r´1; 1s
2
y “ f pxq “ Cosx, Dompf q “ r0; πs e Impf q “ r´1; 1s
3
y “ f pxq “ Tgx, Dompf q “ p´ π2 ; π2 q e Impf q “ p´8; 8q
4
y “ f pxq “ Ctgx, Dompf q “ p0; πq e Impf q “ p´8; 8q
5
6
y “ f pxq “ Secx, Dompf q “ r0; π2 q Y p π2 ; πs e
Impf q “ p´8; ´1s Y r1; 8q
y “ f pxq “ Cscx, Dompf q “ r´ π2 ; 0q Y p0; π2 s e
Impf q “ p´8; ´1s Y r1; 8q
Equações e Inequações trigonométricas
Definição
Uma equação trigonométrica elementar é da forma:
FT pkpx ` θqq “ r
Onde k; θ, r P R
Definição
Uma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertence
a r0; T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução será
tx0 ` kT ; k P Zu
Definição
Uma equação trigonométrica não elementar se para sua resolução requer
conceitos algebricos e trigonométricos. (Fatoração, diferença de quadrados,
angulos duplos etc.)
Definição
Uma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertence
a r0; T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução será
tx0 ` kT ; k P Zu
Inequações trigonométricas
Não existe um procedimento padrão para a solução de inequações
trigonométricas, porem devemos ter em conta:
1
2
3
Para que exista solução devemos ter interseção entre os dominios das
funções que intervem. Se não tiver interseção então o conjunto
solução é vazio.
Pode acontecer que exista interserção entre os dominios porem não
exista solução.
Considere duas funções f pxq e g pxq contínuas, então
geometricamente:
§
§
§
Exite pontos de interseção, nestes pontos f pxq “ g pxq.
Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por cima do gráfico de
g pxq, nestes pontos g pxq ă f pxq.
Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por baixo do gráfico de
g pxq, nestes pontos g pxq ą f pxq.