Experiêcias - Departamento de Física UFJF

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Índice
Eletrostática
O Campo Eletromagnético
O Voltímetro
O Amperímetro
A Lei de Ohm
Força Eletromotriz e Fontes
Teste de Qualidade de uma Pilha
Circuito RC: Processo de Carga e Descarga de Capacitores
O Campo Magnético
Lei de Indução
07
10
16
22
27
29
35
39
47
49
3
Plano de Curso do Laboratório de Física III
Objetivos do curso:
1) Despertar o interesse para os fenômenos eletromagnéticos.
2) Introduzir os alunos nas leis básicas do eletromagnetismo através de experimentos.
3) Habilitar os alunos para efetuar medidas elétricas.
4) Desenvolver a capacidade de analisar e interpretar resultados experimentais e compará-los
com modelos teóricos de forma quantitativa.
5) Desenvolver a capacidade de documentação de experimentos.
6) Desenvolver a capacidade de redação de relato de experimentos.
7) Desenvolver a capacidade de uso consciente de critérios para decisões.
Unidades programáticas: Na primeira semana de aulas será dada as orientações sobre o
funcionamento do curso.
I Experiências qualitativas de eletrostática
experiênca
Descrição
1
Atração de objetos neutros, eletroscópio
2
Linhas de força
II Medidas elétricas quantitiativas
experiênca
Descrição
3
O Voltímetro
4
O Amperímetro
5
A lei de Ohm
6
Força Eletromotriz e Fontes
7
Carga de uma Pilha
8
Circuito RC
9
Campo Magnético
10
Lei de Indução
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O Osciloscópio (opcional)
Avaliação:
1) A nota será composta da seguinte forma:
CD-Caderno de Laboratório
05%
MR-Média de relatórios em grupo de no máximo 4 alunos
25%
30%
PP-Prova prática (individual) com elaboração de um pequeno relatório
PE-Prova escrita* (todas as turma)
40%
a
* será marcada para uma 4 feira às 12 hs no final das experiências para todas as turmas.
OBS. Os alunos dos cursos diurno farão a prova escrita às 12 hs.
4
A nota final será
NF = CD + MR + PP + PE
Se
NF ≥ 60 aprovado
NF < 60 reprovado
2) Não haverá prova opcional.
3) Na prova escrita é permitido o uso de calculadoras e material de desenho.
O Caderno de laboratório:
A documentação de uma experiência é parte essencial da atividade de um físico experimental. Os
físicos experimentais costumam usar para esta finalidade um caderno no qual eles anotam idéias
sobre novas experiências, desenhos, dados de medidas, nomes de arquivos do computador de
laboratório, número de telefones de contato para emergências etc. O caderno de laboratório serve
como instrumento de memória, instrumento de comunicação entre membros de uma equipe de
trabalho e como documento que pode eventualmente até ser usado como prova numa disputa
jurídica sobre prioridade de autoria intelectual. É estritamente proibido apagar anotações no
caderno de laboratório! As anotações devem ser feitas com tinta. Anotações erradas devem ser
riscadas mas não apagadas. É estritamente proibido passar anotações de um papel solto a limpo!
Não importa a beleza do caderno ou da letra de mão nem os erros ortográficos, mas importa que
toda informação essencial esteja registrada e, de preferência, de tal forma que seja fácil encontrá-la
rapidamente. Não é fácil fazer um bom caderno de laboratório, mesmo físicos muito experientes às
vezes deixam escapar uma informação importante. Engenheiros que desenvolvem tecnologias
novas usam técnicas de documentação parecidas e o exercício de fazer um caderno de laboratório
será útil também para alunos que não pretendem ser físicos experimentais.
Neste curso de Laboratório cada grupo usa um caderno brochurado para a documentação das
experiências. Falta do caderno leva à perda de pontos na avaliação! Para poder atribuir notas para
os alunos, mesmo em casos de alterações dos grupos é importante que os nomes dos integrantes
dos grupos estejam escritos nas anotações de cada semana. Fora disso valem as mesmas regras do
caderno de laboratório profissional: é proibido passar a limpo, é proibido apagar texto, as
anotações devem ser feitas com tinta, não pode faltar informação essencial.
Os relatórios:
A atividade de física experimental culmina na publicação dos resultados, isto é na comunicação
dos resultados à comunidade científica. Os relatórios devem ser encaradas como pequeno
exercício para esta atividade. Para alunos que não pretendem ser futuros cientistas a comunicação
de resultados é também uma tarefa essencial, qualquer que seja a futura profissão. É fundamental
para qualquer tipo de comunicação que o autor da comunicação tenha plena consciência das
informações e conhecimentos que as pessoas alvo (isto é, os leitores ou a platéia) possuem.
Na redação dos relatórios os alunos devem supor que o leitor do relatório conheça física mas ele
não sabe de que experiência o relatório trata. O aluno não deve supor que o leitor conheça o
roteiro da experiência. Relatórios que seriam ininteligíveis para um físico que não leu o roteiro
levam a nota ZERO!
O relatório deve explicar para cada experiência ou tarefa experimental qual é o objetivo da tarefa.
Esta explicação deve ser sucinta. Introduções teóricas não devem ultrapassar meia página.
A experiência deve ser descrita e acompanhada de desenhos de circuitos (se for o caso).
A análise quantitativa de dados deve buscar, sempre que for possível, a comparação com um
modelo teórico. Nesta tarefa a avaliação de erros experimentais é fundamental. Vale lembrar que a
avaliação de erro experimental é sempre imprecisa. Portanto não faz sentido especificar um erro
experimental com mais de dois algarismos significativos. Relatórios que declaram um erro
5
experimental com mais de dois algarismos significativos no resultado final perdem 10% do valor
do relatório.
A grande maioria de grandezas físicas não são números adimansionais (sem unidade). Erros
formais na notação que igualam números com grandezas dimensionais ou a soma de números com
grandezas dimensionais, recebem uma perda de pontos de no mínimo 10% da nota do relatório.
Exemplos de expressões erradas:
5
= 2,5 m / s
2
5m
v=
= 2,5 m / s
2s
•
v=
•
errado: 10,0 é número e não pode ser somado com 0,1 m/s. O certo é
v = 10,0 ± 0,1 m / s
v = (10,0 ± 0,1)m / s ou v = 10,0m / s ± 0,1m / s ou também v = 10,0m / s ± 1% . Esta última
expressão fornece o erro em termos relativos ao valor principal e portanto a dimensão está
incluída.
errado: 5/2 é número e não pode ser igual a 2,5 m/s. O certo é
Para cada tarefa deve constar uma conclusão no relatório. No caso que se trata de comparações
com um modelo teórico, deve-se discutir se os resultados são compatíveis com o modelo dentro do
erro experimental. Em caso de discordância, as possíveis fontes da discrepância devem ser
discutidas.
A Prova de Bancada
Na prova de bancada o aluno mostra que sabe montar circuitos simples e fazer medidas elétricas
básicas. Ele fará também no local da prova um mini-relatório dos resultados.
A Prova Escrita
A prova escrita averigua conhecimentos de técnicas de medidas elétricas e análise de dados
relacionados com as experiências feitas. A prova escrita é unificada para todos as turmas diurnas.
Os roteiros:
Os roteiros serão disponibilizados (na XEROX do ICE) para os alunos com pelo menos uma
semana de antecedência. Espera-se do aluno que ele leia o roteiro pelo menos dois dias antes da
experiência e tire dúvidas antes da aula de laboratório.
Freqüentemente os roteiros não dão instruções completas sobre quais valores de certos parâmetros
experimentais devem ser usados. Cabe ao aluno decidir sobre estes valores. Perguntas do tipo
“Professor, para que valores de voltagem devemos medir isto” têm a resposta: “Um pesquisador
que descobre um efeito novo não tem ao lado dele um mestre que manda medir para esta e aquela
voltagem”.
Literatura:
Livro Texto:
Livros recomendados:
Tipler: Física
Halliday, Resnick Walker: Fundamentos de Física
The Feynman Lectures on Physics Vol.II
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Experiência 1: Eletrostática
MATERIAL UTILIZADO: Tubos de PVC, algodão, tubos ou bastões de vidro, eletroscópio,
pedacinhos de papel e de folha de alumínio.
1. Introdução:
Qualquer corpo material é composto de uma quantidade muito grande de átomos
constituídos por partículas subatômicas denominados prótons, elétrons e neutrons. Na perda ou
aquisição de cargas um átomo ou molécula em situação de neutralidade, isto é, quando o número
de prótons é igual número de elétrons, pode tornar-se um íon positivo ou negativo, dependendo da
quantidade de prótons ou de elétrons que passa a possuir em excesso. Como são os elétrons que
podem se locomover de um átomo para outro, um corpo só fica eletrizado se ganhar ou perder
elétrons. A carga elétrica do corpo como um todo relaciona-se ao excesso de elétrons, quando
carregado negativamente, ou ao excesso de prótons, quando carregado positivamente.
ELETRIZAÇÃO DE CORPOS
A eletrização de um corpo pode ser conseguida por atrito, contato ou indução. No primeiro caso,
atrito, os corpos são mutuamente esfregados para que haja a transferência de elétrons de um para o
outro e assim provocar uma eletrização dos dois corpos com cargas de sinais opostos. Na
eletrização por contato, um corpo previamente carregado entra em contato com outro
eletricamente neutro. Parte da carga do primeiro é transferida para este último que passa assim a
ficar eletrizado com carga de mesmo sinal que aquela. Já na eletrização por indução o corpo
carregado é colocado próximo ao corpo neutro, porém sem qualquer contato com ele. Mantendo-o
nesta posição liga-se um fio terra ao corpo que se deseja carregar, cortando em seguida a ligação e
afastando o que está carregado. O corpo neutro ficará então eletrizado com carga de sinal contrário
ao do corpo previamente eletrizado. Por exemplo, ao atritar papel e seda, o papel adquire cargas
positivas e a seda cargas negativas. Porém, ao atritar lã e papel, o papel adquire cargas negativas e
a lã, cargas positivas.
CONDUTORES E ISOLANTES
Sabe-se que a maioria dos metais são condutores de eletricidade e que, por exemplo a
borracha não é um bom condutor de eletricidade. Nos metais, elétrons das órbitas mais externas
não estão fortemente ligados ao núcleo. Essa fraca força que os liga permite aos elétrons uma
movimentação no interior do sólido. Esses elétrons recebem o nome de elétrons livres e são
responsáveis pelo transporte de carga elétrica de um ponto a outro. Se o material possui esta
característica ele recebe o nome de condutor. Por outro lado, existem sólidos em que os elétrons
estão fortemente ligados ao núcleo. Esse tipo de material, além de não possuir elétrons livres, não
permite que a carga elétrica se transporte de um ponto a outro. Essa limitação os torna um mau
condutor, ou então, um isolante.
LEI DE COULOMB
Ao aproximar um bastão carregado de uma esfera eletricamente neutra ocorrerá uma
atração entre ambos, isto devido à indução eletrostática, separação de cargas na esfera. Quanto
mais o bastão se aproxima da esfera, mais esta se sente atraída. Em determinado instante, a força
de atração entre a esfera e o bastão chega a um máximo, quando ocorre o contato entre bastão e
esfera.
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Quando se dá o contato, instantaneamente, uma quantidade de cargas do bastão é transferida para
a esfera. Essa quantidade se recombina com a mesma quantidade de cargas de sinal oposto
separadas pelo processo de indução. Como bastão e esfera, após o contato, ficam com cargas de
mesmo sinal, ocorre a repulsão. A observação feita por Charles Augustin de Coulomb (17361806) em que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais contrários se atraem, levou-o a
construir uma balança que permitiu-lhe medir as forças elétricas com enorme precisão. Coulomb
colocou duas cargas Q1 e Q2, de sinais opostos a uma distância r. Coulomb verificou que
duplicando, triplicando e assim sucessivamente o valor da carga Q1, o valor da força também
acompanhava a proporção de crescimento, mantendo o valor da segunda carga fixa. A seguir,
inverteu o processo. Aumentou o valor da carga Q2 e observou o mesmo resultado com a força.
Como o valor da força cresce com o aumento do valor das cargas, então a força é diretamente
proporcional à carga. Assim, Coulomb pode escrever que a força aumentava com o produto das
cargas. Coulomb então fixou o valor das cargas e colocou mais uma variável para ser estudada: a
distância entre elas. Ele verificou que duplicando a distância entre as cargas, a força reduzia-se de
quatro vezes de seu valor inicial. Aumentando a distância para o triplo do valor inicial, a força se
tornava nove vezes menor. Pelo resultado obtido, Coulomb chegou a conclusão de que a força é
inversamente proporcional ao quadrado da distância. De posse destes resultados, Coulomb
relacionou as grandezas do seguinte modo:
Para tornar esta relação uma equação matemática é necessário um fator de
proporcionalidade. Esse fator de proporcionalidade é uma constante. Essa constante está
relacionada com o "meio" em que as cargas estão colocadas. Esse "meio" pode ser ar, óleo, etc.
Esse fator também influencia no resultado da força. Então, obtem-se a seguinte relação
matemática:
A Lei de Coulomb é válida apenas para corpos carregados de dimensões muito menores
que a distância entre elas. Costuma-se dizer que é verdadeira apenas para cargas puntiformes. A
unidade de carga no sistema MKS é o Coulomb (símbolo C). Um coulomb é a quantidade de carga
que atravessa, em um segundo, a secção reta de um fio percorrido por uma corrente constante de
um Ampère.
Um instrumento interessante para estudar os processos de eletrização é o eletroscópio,
mostrado na figura abaixo:
8
Roteiro da Experiência: Tarefas
1) Friccione o bastão de PVC com algodão e aproxime o bastão aos pedacinhos de papel e de
folha de alumínio.
Atenção: Toque nos bastões de PVC com a mão APENAS na extremidade
marcada com fita adesiva! O suor da mão contém íons de sódio que formam
um filme condutor na superfície do bastão e levam as cargas elétricas
embora, prejudicando as experiências.
!
Explique:
•
•
•
Por que os pedaços são atraídos pelo bastão (apesar de serem eletricamente neutros –utilize a
lei de Coulomb e acompanhe a explicação com desenhos)?
Por que alguns pedaços são repelidos ao tocar no bastão?
Por que alguns permanecem presos ao bastão?
2) Por que, ao se aproximar o bastão do eletroscópio, o ponteiro se movimenta?
3) Por que, ao tocar o bastão no eletroscópio, o ponteiro sofre deflexão que permanece mesmo
depois de afastar o bastão e tocando-se com o dedo no eletroscópio o ponteiro volta ao
normal?
4) Faça o item a, se não funcionar experimente o b (no item b analise o procedimento)
a Toque brevemente no eletroscópio com o bastão de PVC friccionado com algodão. Depois
friccione um bastão de vidro com algodão e aproxime este ao eletroscópio. Depois afaste o
Bastão de vidro Observe, descreva e explique o comportamento do eletroscópio.
b Aproxime do eletroscópio o bastão de PVC friccionado com algodão, mantendo-o a
aproximadamente uma distância de 5 a 10 cm (para obter uma boa deflexão). Depois friccione
um bastão de vidro com algodão, aproxime-o e afaste-o sucessivamente do eletroscópio.
Observe e explique o comportamento do eletroscópio.
5) Aproxime o bastão de PVC friccionado ao eletroscópio (sem transferir carga – mantenha uma
distância de 5 ou 10 cm), depois toque brevemente no eletroscópio com a mão e logo depois
afaste o bastão. Observe, descreva e explique o comportamento do eletroscópio.
9
Experiência 2: O Campo Eletromagnético
O eletromagnetismo é uma teoria de forças, que permite calcular as forças que atuam sobre
uma determinada classe de corpos. No caso mais simples pode-se verificar uma força entre
partículas puntiformes que é descrita pela lei de Coulomb:
G G
G
− 1 r2 − r1
F12 =
q1 q 2
(1)
4πε 0 rG2 − rG1 3
G
G
G
Nesta equação F12 é a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1. r1 e r2 são os vetores
posição das partículas e os fatores de proporcionalidade q1 e q 2 resultam ser propriedades das
partículas. Esta propriedade de uma partícula é chamada sua carga elétrica. O fator 1
tem a
4πε 0
ver com a escolha do sistema de unidades e no momento não deve nos preocupar.
G
Tarefa de casa: verifique que o módulo de F12 da equação (1) cai quadraticamente com a
distância entre as cargas.
Na prática da aula anterior vimos que a força de Coulomb pode fornecer uma força resultante não
nula para corpos compostos de várias partículas com carga elétrica, mesmo que a carga total do
corpo composto seja nula.
A lei de Coulomb é apenas um caso extremamente simples das forças eletromagnéticas. No caso
de cargas em movimento teremos também forças magnéticas. Em geral, as forças eletromagéticas
constituem um fenômeno complexo. O intuito do estudo destas forças é completar a teoria de
G G
Newton da mecânica, especificando o lado direito da equação ma = F . No entanto, no decorrer
deste estudo, descobre-se que ao invés de completar a mecânica Newtoniana, alguns dos pilares da
mecânica são derrubados pelos fatos observados.
F12
Figura 1 Problemas com a Terceira Lei de
Newton
Veremos
um
caso
onde
as
forças
eletromagnéticas derrubam um dos princípios da
mecânica de Newton. Imagine duas partículas
r1'
puntiformes com cargas q1 e q 2 em repouso
r1
G
G
nas posições r1 e r2 . A força que atua sobre a
F21 partícula 1 seria dada pela equação (1). Com a
terceira lei de Newton a força que atua sobre a
r2
partícula 2 seria o negativo desta mesma
expressão. Agora imagine que damos um
G
peteleco na partícula 1. Então a partícula 1 é rapidamente deslocada para uma nova posição r ′
como mostra a figura 1. Nesta nova posição a força que atua sobre a partícula 1 seria ligeiramente
diferente, devido ao fato que a direção da linha que une as partículas mudou e que a distância entre
as partículas mudou. Esta mudança de força apareceria na partícula 1 imediatamente. Por outro
lado, para a partícula 2 não haverá mudança de força até que a informação que o peteleco foi
aplicado na partícula 1 chegue no local da partícula 2. Esta informação viajaria da partícula 1 até a
partícula 2 com a velocidade da luz. Esta velocidade é alta comparada com as velocidades que
experimentamos cotidianamente, mas ela não é infinita. Desta forma as mudanças nas forças
ocorrerão na partícula 2 um pouquinho após o peteleco, enquanto para a partícula 1 elas ocorrerão
F12
10
imediatamente. Isto significa que a terceira lei de Newton será violada durante um curto intervalo
de tempo!
A Terceira Lei de Newton não vale! Mas não está tudo perdido. A conseqüência mais importante
da terceira lei, isto é, a lei de conservação de momento linear, pode ser salva. Lembremos
rapidamente da conservação do momento linear. Vamos pegar um exemplo simples, um sistema
de três partículas com massas m0 , m1 , m 2 . As massas 1 e 2 podem por exemplo ser as
partículas da figura 1 e a partícula 0 seria aquele corpo que aplicou o peteleco na massa 1. As
equações diferenciais da mecânica de Newton deste sistema seriam
G
G
G
m0 r0 = F01 + F02
(2)
G
G G
m1 r1 = F10 + F12
(3)
G
G
G
m2 r2 = F20 + F21
(4)
G
onde F jk é a força que a partícula k exerce sobre a partícula j. Somando as três equações obtemos
G
G
G
G
G
G
G
G
G
m0 r0 + m1 r1 + m 2 r2 = F01 + F02 + F10 + F12 + F20 + F21
(5)
−−−−−
≡≡≡≡≡
−−−−−
≡≡≡≡≡
Se valesse a terceira lei de Newton os termos sublinhados com traços iguais iriam cancelar-se e
teríamos a lei de conservação
G
G
G
d m 0 r0 + m1 r1 + m 2 r2
(6)
=0
dt
G
G
G
G
isto é, a grandeza P = m0 r0 + m1 r1 + m2 r2 não mudaria no tempo. Mas, como vimos acima,
durante curtos intervalos de tempo a terceira lei de Newton perde sua validade. Então não
G
G
G
G
podemos mais afirmar que P = m0 r0 + m1 r1 + m2 r2 fica inalterado. Mas quando uma grandeza, da
qual esperamos uma lei de conservação, não fica constante no tempo, podemos ter esquecido uma
contribuição. Exemplo: imagine um recipiente de água com uma entrada e uma saída de água.
Esperaríamos uma lei de conservação de água. Mas se fizermos a contabilidade da água no
recipiente considerando com precisão tudo que entra e que sai notaríamos uma perda de água. Por
que? Simplesmente esquecemos da água que evapora. Acrescentando esta parcela daria tudo certo
e a lei da conservação da água continua valendo. Será que a lei de conservação de momento linear
pode ser consertada da mesma forma? A resposta é sim. Para consertar a conservação de momento
linear temos que aceitar que além das partículas existe um outro sistema físico, tão real quanto as
partículas, porém invisível, que possui momento linear. Seria este sistema o responsável pela
transmissão da informação do peteleco da partícula 1 para a partícula 2. A lei de conservação de
momento linear seria então
G
G
G
G
d
(7)
m0 r0 + m1 r1 + m 2 r2 + PEM = 0
dt
G
onde PEM seria o momento linear deste novo sistema físico. Este novo sistema físico é o campo
eletromagnético.
(
)
(
)
As propriedades do campo eletromagnético são fundamentalmente diferente das
propriedades das partículas. A experiência imaginada do peteleco na partícula 1 pode nos indicar
algo sobre a natureza deste novo sistema físico. A partícula 1 é sujeita à nova força logo que ela
ocupa sua nova posição. Isto indica que existia, já antes da partícula chegar neste novo lugar, uma
condição no espaço que provocaria determinada força sobre uma partícula eletricamente carregada
se ela estivesse no local. Por outro lado, a partícula 2 continua com a força anterior enquanto as
11
condições no local dela não mudaram. Isto indica que o sistema campo eletromagnético não é
localizado como as partículas, mas trata-se de um sistema que preenche o espaço todo. O
movimento repentino da partícula 1 modificaria o estado do campo na vizinhança da partícula,
esta mudança modificaria o estado do campo na vizinhança da vizinhança, esta mudança
modificaria o estado na vizinhança da vizinhança da vizinhança etc. até a mudança chegar no local
da partícula 2. Esta visão de força é fundamentalmente diferente do conceito de força introduzido
por Newton. Na mecânica de Newton a força que uma partícula exerce sobre outra é uma ação à
distância. Na visão eletromagnética não devemos mais falar em “força que uma partícula exerce
sobre outra”. A condição local do campo na posição da partícula exerce a força e reciprocamente
as partículas modificam as condições locais do campo. As modificações locais propagam-se e
desta forma transmitem força de uma partícula para outra.
Podemos dizer que na mecânica de Newton o mundo era feito de partículas locais que interagiam
globalmente. No eletromagnetismo o mundo é feito de partículas locais e um campo global que
interage com as partículas de forma local.
Temos que formalizar estas idéias para poder descrever experiências de forma quantitativa. Para
G
uma descrição formal do campo eletromagnético, temos que atribuir a cada ponto r do espaço e
para cada instante t um valor de uma determinada grandeza. Resulta que precisamos, para uma
descrição completa do eletromagnetismo, não apenas uma grandeza mas logo duas grandezas
G
vetoriais. Desta forma o campo eletromagnético seria descrito por duas funções vetoriais de r e
G G
t , isto é, uma função chamada campo elétrico, E (r , t ) e uma chamada campo magnético,
G G
G
B (r , t ) . 1 É importante notar que o vetor posição r nestas expressões não depende do tempo! Os
G
campos existem em todo o espaço independente da presença de uma partícula no local r . Mas se
G
uma partícula estiver no local r então o conhecimento dos valores dos campos permite calcular a
força que atua sobre a partícula. Esta força é
G
G G
G G G
F = qE (r , t ) + qv × B (r , t )
(8)
G
onde v é a velocidade da partícula e q sua carga.
Linhas de força do campo elétrico
Este novo objeto físico "campo eletromagnético" parece ser demasiado sublime e incompreensível
para nossa mente; não podemos vê-lo nem tocá-lo com as mãos. Mas há meios de visualizar o
campo elétrico experimentalmente. A primeira experiência desta aula tem como objetivo conhecer
um método para tornar um campo elétrico visível e para conhecer então algumas configurações de
campo.
Na experiência vamos gerar um campo elétrico forte com ajuda de um gerador de alta tensão. A
região de campo alto ficará numa vasilha que contém um líquido não condutor e disperso no
líquido grãos de poeira de um material não condutor. No caso usamos óleo e farinha de fubá. Para
entender o que acontece vamos desenhar alguma configuração do campo elétrico e alguns grãos de
G G
poeira. Neste desenho representamos os vetores E (r ) (vamos supor um campo que não dependa
do tempo) por setas desenhadas em diversas posições rG . A seta desenhada representa o vetor
G G
E (r ) para o ponto rG que corresponde à base da seta. É bom lembrar que este tipo de desenho é
naturalmente apenas uma representação simbólica parecida com um diagrama de forças da Física
G G
I. Afinal o vetor E (r ) não é um deslocamento no espaço físico e portanto não é uma seta, mas
simbolicamente pode ser representado por uma seta.
1
G
De fato B é pseudo-vetor (vetor axial).
12
Figura 2 grãos de poeira no campo elétrico
Os grãos de poeira contém cargas elétricas positivas
e negativas em igual quantidade. Conforme a
equação (8), estas cargas sofrerão forças na direção
do campo e com sentidos opostos para as cargas de
sinais opostos. Estas forças deslocarão então as
cargas, induzindo
uma polarização dos grãos como está indicado na
figura 2. Este fenômeno de polarização já foi objeto
de estudo na nossa primeira experiência. Com a formação de polos positivos e negativos nos
grãos, aparecerá uma interação entre os grãos que tem a tendência de alinhar os grãos em fileiras
de tal forma que o lado positivo de um grão sempre toca no lado negativo do grão vizinho da
mesma fileira.
Figura 3 Formação de fileiras de grãos pela
interação elétrica dos grãos polarizados
Como o vetor que separa os polos do grão tem a
direção do campo elétrico, as curvas formadas pelas
fileiras de grãos terão a propriedade curiosa de
terem em todos os pontos da curva o campo elétrico
como vetor tangente da curva (compare a figura
(3)). Este tipo de curva que tem os vetores de um
campo vetorial como vetores tangentes é chamado
linha de força do campo.
Um sistema de linhas de força permite visualizar o campo elétrico de forma bastante completa. As
G G
direções dos vetores E (r ) são evidentes pelas curvas. Podemos até avaliar os módulos destes
vetores num desenho de linhas de força se, ao desenhar as linhas, adotarmos a convenção de
G G
desenhar as linhas com uma densidade proporcional ao módulo do vetor E (r ) . Nesta convenção
densidade de linhas significa número de linhas por área transversal às linhas. Pode-se mostrar com
as leis que governam os campos elétricos que em regiões do espaço onde não há cargas esta
convenção significa que uma linha de campo não nasce nem morre. A única informação que falta
G G
para caracterizar o vetor E (r ) é a orientação. Esta podemos indicar num desenho com uma
pequena seta nas linhas.
Tanto a convenção da densidade como a da seta de orientação é restrita aos desenhos. As fileiras
de grãos não mostram setas. Será que as fileiras de grãos obedecem a convenção da densidade?
Quem gostaria de responder esta pergunta pode fazer um trabalho de pesquisa à respeito. Acredito
que a validade desta convenção nas fileiras de grãos é precária. Mesmo assim podemos concluir
apenas pela forma das curvas qual seria a densidade num desenho, supondo espaços livres de
carga e usando a regra que nestas regiões as linhas não morrem nem nascem.
Na experiências veremos certas imperfeições das fileiras de grãos. Estas imperfeições tem duas
origens: a) existe interação entre fileiras vizinhas b) grãos que tocam nos eletrodos (placas
metálicas eletricamente carregadas) podem adquirir carga elétrica e subseqüentemente serão
repelidos violentamente dos eletrodos. Este movimente arrasta o líquido e perturba as fileiras de
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grãos. É uma questão de habilidade do experimentador minimizar estos defeitos escolhendo
adequadamente: a) a intensidade do campo, b) a quantidade adequada do óleo lubrificante, c) a
densidade dos grãos d) a viscosidade do óleo, e) o tipo de grão de poeira. Mesmo com todas as
imperfeições é fantástico que podemos “ver” o campo elétrico.
Tarefa 1:
Vamos visualizar o campo elétrico para as seguintes configurações:
Configuração1:Eletrodo ligado
ao capacete do gerador de alta tensão.
Configuração2:Eletrodos com cargas
de sinais opostos
Configuração3:Eletrodos com cargas
de mesmo sinal.
Configuração4:Eletrodos com cargas
de sinais opostos.
Configuração5:Eletrodos com cargas
de sinais opostos.
Configuração6:Eletrodos com cargas
de sinais opostos.
14
Tarefa 2:
a) Desenhe as linhas de campo para cada configuração observada.
b) Observe, descreva e explique com que ângulos entram as linhas de campo nos corpos
metálicos.
c) Utilizando a regra da densidade das linhas e sabendo que num espaço sem cargas as linhas não
nascem nem morrem, conclua uma regra sobre a intensidade do campo elétrico perto de pontas
metálicas carregadas que têm um raio de curvatura muito pequeno.
d) Observe o efeito que a proximidade de uma ponta metálica carregada tem sobre uma chama de
vela e tente explicar o observado.
e) Observe o comportamento de um torniquete carregado com pontas finas que pode rodar
livremente e tente explicar o observado.
f) Observe a demonstração de um filtro eletrostático de fumaça.
15
Experiência 3: O Voltímetro
Nesta prática vamos conhecer o voltímetro, um instrumento de medida de fundamental
importância para qualquer engenheiro, cientista ou técnico. O voltímetro mede uma integral de
caminho do campo elétrico
G
rV
G G G
V = − ∫ E (r ) ⋅ dr
(1)
G
rCOM
G
G
onde rCOM e rV são as posições das entradas "COM" (= Comum) e "V" (=Voltagem) do
voltímetro e o caminho de integração percorre o interior do circuito do voltímetro. No caso de não
termos campos magnéticos variáveis na experiência, a integral de caminho é de fato independente
da escolha do caminho e neste caso a voltagem V é uma diferença de potencial elétrico.
Voltímetros analógicos e digitais
A maioria dos voltímetros mede a voltagem através de uma medida de corrente. Este tipo de
voltímetro comporta-se eletricamente como um resistor de resistência RI (chamada resistência
interna do voltímetro). A voltagem aplicada nos terminais "COM" e "V" provoca então uma
corrente
I = V / RI
(1)
no voltímetro, cujo valor é registrado por um medidor de corrente chamado galvanômetro e que
compreende a peça principal do voltímetro. O galvanômetro usa geralmente o fato que uma
corrente elétrica numa espira condutora, se exposto a um campo magnético, resulta num torque
sobre a espira. Num galvanômetro este torque é mostrado como deflexão de um ponteiro, usando a
lei de Hook com uma mola acoplada no condutor. Este tipo de voltímetro é chamado voltímetro
analógico. O nome expressa o fato que a medição da voltagem acontece estabelecendo uma série
de analogias entre grandezas físicas: uma analogia entre voltagem e corrente (usando a lei de Ohm
I = V / RI ), uma analogia entre corrente e força (lei da força de Lorentz) e uma analogia entre
força e deflexão de um ponteiro (lei de Hook).
Fig. 1 Esquema de um galvanômetro
Hoje encontramos freqüentemente voltímetros
digitais. O nome digital vem de dedo porque o
processo digital usa números inteiros, aqueles
que podemos contar com os dedos. Nestes
instrumentos a voltagem nos terminais COM e
V é primeiramente amplificada para ficar
dentro de uma certa faixa de valores. Depois
esta voltagem amplificada V A é comparada
com voltagens padrão. Esta comparação pode
ocorrer de diversas formas. Aqui daremos um
exemplo que não necessariamente corresponde ao procedimento real nos voltímetros do nosso
laboratório. Suponha que as voltagens amplificadas fiquem todas na faixa de -1V a 1V. Dentro do
voltímetro há um circuito que gera uma voltagem padrão VP (t ) dependente do tempo de tal forma
que VP (t ) varre o intervalo -1V a 1V num determinado tempo T. No momento do início da
varredura um contador começa a contar pulsos de um relógio. Um circuito comparador compara a
16
voltagem V A com a voltagem VP (t ) . No momento que a voltagem padrão ultrapassa o valor V A o
número do contador é lido. Este número é então processado de forma lógica e transformado em
códigos numa tela de cristal líquido. A figura 2 mostra um esquema deste tipo de voltímetro:
Fig. 2 Esquema
voltímetro digital.
de
um
A maioria dos voltímetros
digitais pode medir voltagens
de ambas as polaridades. Se o
terminal "V" for positivo em
relação ao terminal "COM" isto é, o campo elétrico aponta
do terminal "V" para o terminal
"COM" - a voltagem é
registrada como voltagem
positiva. Se "COM" for
positivo em relação ao terminal
"V", a voltagem é contada
como negativa e isto é indicado
no mostrador do instrumento.
A maioria dos voltímetros analógicos só permite medir voltagens de uma única polaridade. Para
estes deve-se tomar muito cuidado de ligar o voltímetro sempre de tal forma que o terminal "V"
fique positivo em relação ao terminal "COM" . No caso contrário pode-se danificar o instrumento.
A resistência interna e o fundo de escala
Imagine que você queira medir a diferença de potencial entre os pontos A e B do circuito da
figura 3a. Você deve ligar os terminais do voltímetro nestes pontos. Com o voltímetro ligado o
circuito passa a ser diferente correspondendo ao esquema da figura 3b.
Será que esta modificação do circuito não altera a diferença de potencial entre os pontos A e B ?
Isto, de fato, pode acontecer. Então a própria intervenção da medida altera a grandeza a ser medida
e consequentemente obtemos um resultado falso. O erro cometido depende da resistência interna
do
Fig. 3a
Fig. 3b
voltímetro. Se a resistência interna RI for da mesma ordem de grandeza das resistências R1 , R2 e
R3 do circuito, ou até menor que estas, a introdução do voltímetro no circuito vai alterar a
corrente que percorre o resistor R3 e, com a lei de Ohm, a voltagem entre os pontos A e B será
17
alterada. Para obter uma boa medida de voltagem precisamos um voltímetro cuja resistência
interna seja muito maior que as resistências típicas do circuito. Para se construir um bom
voltímetro deve-se usar um galvanômetro bem sensível, capaz de registrar correntes bem baixas e
ligar em série com este galvanômetro uma resistência RV bem alta. Desta forma o voltímetro
corresponde ao esquema da figura 4.
Fig. 4
Suponha que o galvanômetro tenha uma resistência interna
RG e que uma corrente do valor I MAX leva o ponteiro do
galvanômetro à deflexão máxima da escala do instrumento.
Qual será a voltagem máxima que este voltímetro é capaz de
medir? A resistência interna do voltímetro é a soma da
resistência interna do galvanômetro e a resistência RV .
Então, segundo a equação (1), temos
VMAX = I MAX (RV + RG )
(2)
Este valor, que corresponde à deflexão máxima do ponteiro de um voltímetro analógico, é
chamado fundo de escala. Muitos voltímetros possuem uma chave rotatória que permite escolher
vários fundos de escala. Atrás da chave rotatória existem diversos resistores RV que são ligados
em série com o galvanômetro, dependendo da posição da chave.
Vimos acima que a resistência interna de um bom voltímetro deve ser grande em comparação com
resistências típicas do circuito a ser medido. Como podemos saber qual é o valor da resistência
interna de um voltímetro? Nos instrumentos analógicos vem escrita uma informação, por exemplo
na seguinte forma: 20kΩ / V . Desta informação calcula-se a resistência interna multiplicando este
valor com a voltagem do fundo de escala. Por exemplo, se rodarmos a chave rotatória numa
posição de 10 V, o voltímetro trabalha como um instrumento que pode medir no máximo 10 V e
cuja resistência interna é RI = (20kΩ / V ) ⋅ 10V = 200kΩ . Se medirmos com este instrumento uma
3V
voltagem de 3V, a corrente que atravessa o instrumento será I = V / R I =
= 15μA .
200 kΩ
Os voltímetros digitais costumam ter resistências internas bem altas. No manual dos instrumentos
usados no nosso laboratório encontramos a informação que a Impedância de entrada é de 10MΩ
para todas as faixas. Isto significa que a resistência interna vale 10 7 Ω independente do fundo de
escala.
Os aparelhos digitais que utilizamos no laboratório são chamados de multímetros
digitais. Isso se deve ao fato de que podem ser usados como voltímetro, amperímetro e
ohmímetro, medindo respectivamente tensões, correntes e resistências. Alguns multímetros
possuem até mais funções, como por exemplo: medidor de capacitância, termômetro, medidor de
fator de amplificação de transistores, freqüencímetro etc..
Erros de medida
Um resultado experimental sem avaliação de erro não tem valor algum. Então é importante saber
como avaliar o erro numa medida de voltagem. Os fabricantes de voltímetros fornecem
informação no manual referente à precisão do instrumento. Nos voltímetros analógicos costuma-se
especificar um erro percentual. Esta percentagem refere-se ao fundo de escala usado. Então se
medirmos a voltagem de uma pilha de 1,5 V usando o fundo de escala de 10V e o erro
18
especificado pelo fabricante for de 5% o erro da medida será δV = 10 V ⋅ 5% = 0,5 V
δV = 1,5 V ⋅ 5% = 0,075 V .
e não
Para os voltímetros digitais do nosso laboratório encontramos no manual a informação que o erro
para todos os fundos de escala de voltagem DC ("Direct Current" = voltagem constante no tempo
e não alternada) é de 0,5% da leitura mais o valor que corresponde à cifra 1 no dígito menos
significativo. Então veremos um exemplo. Suponha que você mediu a voltagem de uma pilha com
o fundo de escala de 2 V. O resultado foi a leitura no mostrador 1.500. Este valor significa 1,500
V. Então o erro seria
δV = 1,500 V ⋅ 0,005 + 0,001 V = 0,0085 V
e o resultado da medida pode ser escrito como
V = (1,500 ± 0,009) V
.
Neste resultado arredondamos o erro, adequando a representação ao número de dígitos
disponível na leitura.
Para efeito de cálculo de erros nas medidas, as leituras feitas nos
aparelhos devem ser consideradas em módulo.
Tarefas:
1) Monte o circuito da figura 5.
2) Transforme o multímetro em um voltímetro adequando a escala e a ligação dos terminais.
3) Ajuste a voltagem da fonte regulável com o voltímetro digital no valor de 10 V.
4) Meça as voltagens entre os pontos A e B, B e C, C e D, D e E, E e A. Use para cada medida o
fundo de escala que permita maior precisão da medida.
Fig. 5
5) A lei das malhas afirma que a
soma destas voltagens é zero.
Verifique com as suas medidas se
esta afirmação é válida. Nesta tarefa
é indispensável usar a avaliação de
erro do resultado experimental.
Cada uma das voltagens
VAB , V BC , VCD , VDE , VEA tem um
erro experimental e a soma
VΣ = VAB + VBC + VCD + VDE + VEA
tem um erro correspondente.
Verificar se o valor teórico da
soma, 0 = VΣTEOR , coincide com o
experimental, significa verificar se
o valor teórico fica dentro do
intervalo de valores estendido pelo valor do erro em torno do valor experimental (compare a figura
6).
19
Fig. 6a Caso de concordância entre modelo
teórico e resultado experimental
0,1 V
-0,1 V
0,3 V
Volts
experimental está em concordância com o
resultado teórico.
0V
Fig. 6b Caso de discrepância entre modelo
teórico e resultado experimental.
0,2 V
0,1 V
Ex: Se o resultado experimental for : VΣexp =
(0,1 ± 0,2) V temos que a faixa de valores
possíveis vai de – 0,1 V até 0,3 V e portanto o
valor
0,3 V
Volts
Ex: Se o resultado experimental for: VΣexp = (0,2
± 0,1) V temos que a faixa de valores possíveis
vai de 0,1 V até 0,3 V e portanto o valor
experimental não está em concordância com o
resultado teórico.
0V
No caso de discrepância entre teoria e experimento deve-se discutir se o erro foi avaliado
erroneamente ou se o modelo teórico por alguma razão não é aplicável ao experimento.
Fig. 7 Divisor de voltagem
6) Monte o circuito de um divisor de voltagem
(figura 7).
Use a lei das malhas e a lei de Ohm para calcular a
voltagem que deveria aparecer entre os pontos A
e B. Neste valor teórico entram parâmetros
experimentais: a voltagem de 10 V e as resistências
de 12 kΩ e 1 kΩ . Portanto, neste caso, o valor
teórico também tem erro experimental. Para
determinar este erro você pode supor que o erro do
resistor de 12 kΩ é de 5% e o do resistor de 1 kΩ é de 1%. Mostre suas contas com detalhes.
Meça a voltagem entre os pontos A e B e compare este valor com o valor teórico.
O divisor de voltagem é um circuito muito usado na eletrônica para fornecer uma dada voltagem.
Inclusive é possível fornecer uma voltagem ajustável. Para esta finalidade pode-se montar um
divisor de voltagem com ajuda de um reostato. O reostato ou potenciômetro é um resistor que
possui um contato móvel, capaz de percorrer a superfície condutora do resistor. Este contato tem o
papel do ponto B da figura 7.
20
7) Substitua agora os dois resistores do circuito da figura 7 por um reostato como mostra a figura
8.
Fig. 8 Divisor de voltagem variável.
Meça a voltagem entre os pontos A e B e observe
os valores variando a posição do contato móvel
(ponto B).
8) Os circuitos das figuras 5 e 7 eram
combinações de resistores em série. Agora vamos
investigar uma combinação em paralelo. Monte o
circuito da figura 9 e meça as voltagens entre os
pontos A e A' , B e B' , C e C'. Explique o resultado.
Figura 9
21
Experiência 4: O Amperímetro
O amperímetro mede uma corrente elétrica, isto é, uma taxa de passagem de carga elétrica
através da seção de um fio condutor. Portanto, uma medida de corrente refere-se a uma
determinada seção. Quando falarmos de uma corrente elétrica num circuito, devemos especificar o
ponto no circuito que corresponde à seção. Além disso devemos especificar a orientação da
superfície da seção. O sinal da corrente é definido em relação a esta orientação. Por convenção
adotamos o seguinte critério: se as cargas positivas passam no sentido da orientação da seção
contamos a corrente como positiva. A figura 1 mostra uma seção orientada num condutor e a
figura 2 um exemplo, como se define uma corrente I num esquema de circuito elétrico.
Fig. 1 Fio condutor com uma seção imaginada, à
qual se refere uma definição de corrente elétrica.
A seta indica a orientação da seção. Se os
elétrons do metal (partículas negativas) fluírem
no sentido oposto à seta, a corrente é contada
como positiva. Este resultado está de acordo
com a convenção adotada, uma vez que cargas
negativas se deslocando em um dado sentido
equivalem a cargas positivas se deslocando em
sentido contrário.
Fig. 2: Exemplo de um circuito com definição
de uma corrente I num ponto do circuito. A seta
faz parte da definição de I . Ela não indica em
que direção flui a corrente! Ela indica a
orientação da seção do fio.
Como medir com um amperímetro ?
Poder-se-ia medir a corrente num ponto de um
circuito aproveitando o fato que a corrente
elétrica provoca um campo magnético em torno
do fio. Poderíamos, por exemplo, no circuito da figura 2 colocar um detetor de campos magnéticos
na posição onde está escrito o símbolo I na figura. De fato existem amperímetros que trabalham
com este tipo de princípio. Mas a grande maioria dos amperímetros usa outro método. No
amperímetro comum a corrente a ser medida tem que atravessar o próprio amperímetro.
Conseqüentemente, temos que abrir o circuito no ponto da medida e inserir o amperímetro no
lugar do corte. A figura 3 ilustra como se faria então a medida da corrente I no circuito da figura
2.
Fig. 3 Como inserir um amperímetro no circuito.
22
O amperímetro tem dois terminais "COM" e "A". Para que o instrumento indique o sinal
da corrente de acordo com a convenção descrita acima, deve-se inserir o amperímetro de tal forma
que o terminal COM fique na ponta da seta e o terminal A na base da seta de orientação da seção.
Se o sinal indicado no amperímetro for positivo, significa que a corrente (de cargas positivas) está
no sentido indicado pela seta.
Resistência interna e fundo de escala
Inserindo o amperímetro num circuito alteramos o circuito e consequentemente
introduzimos um erro na medida. Para evitar isso deveríamos usar um amperímetro que eqüivale
eletricamente ao pedaço de condutor que retiramos para inserir o amperímetro. Então podemos
concluir que um bom amperímetro deve ter uma resistência interna baixa (contrário ao bom
voltímetro).
Fig. 4 Amperímetro composto de galvanômetro e
resistência Rs.
Com os galvanômetros, que conhecemos como parte
dos voltímetros analógicos, temos um exemplo de
um amperímetro. Normalmente estes galvanômetros
são instrumentos para medir correntes na faixa de
dezenas de micro-Ampère. Um artifício utilizado
para medir correntes maiores usando o
galvanômetro, consiste em colocar uma resistência
Rs muito pequena (comparada com a resistência do
galvanômetro) em paralelo com o galvanômetro,
conforme mostra a figura 4.
A corrente que percorre o amperímetro é dividida no ponto D numa corrente I G , que percorre o
galvanômetro, e numa corrente I S , que percorre o resistor RS . O índice “ S ” refere-se ao nome
“Shunt” (inglês "to shunt" = desviar) que é usualmente dado ao resistor paralelo ao galvanômetro.
A regra das malhas e a dos nós nos fornece as equações (1) e (2) respectivamente:
RG I G = RS I S
(1)
IS + IG = I
(2)
Eliminando a variável I S obtemos de (1) e (2):
⎛ R ⎞
I = ⎜⎜1 + G ⎟⎟ I G
RS ⎠
⎝
(3)
Então, a corrente que percorre o amperímetro é maior que a corrente indicada pelo galvanômetro
⎛ R ⎞
pelo fator ⎜⎜1 + G ⎟⎟ . A capacidade do amperímetro (fundo de escala) pode ser modificada com a
RS ⎠
⎝
escolha apropriada de Rs. Como RS é sempre muito menor que RG podemos garantir que a
resistência interna do instrumento (amperímetro) será muito pequena. Nos amperímetros digitais
temos um amplificador especial na entrada do instrumento que converte uma corrente numa
voltagem, que é subseqüentemente processado como num voltímetro digital.
Erros do amperímetro
23
Como no caso dos voltímetros analógicos, o erro nos amperímetros analógicos é dado em termos
de percentagem do fundo de escala. Para os nossos amperímetros digitais temos no manual a
informação que o erro é p% da leitura mais a corrente que corresponde à cifra n do dígito menos
significativo mostrado, onde p e n dependem do fundo de escala:
Fundo de Escala
20 μA
200 μA
2mA
20mA
200 mA
2A
Erro
± (2% Leitura +3 no dígito menos significativo)
± (0,8% Leitura +1 no dígito menos significativo)
±(1,2% Leitura +1 no dígito menos significativo)
Veremos um exemplo: suponhamos que estamos medindo na faixa de 20 μA e temos a leitura
10.25. Isto significa 10,25 μA .Então o erro seria:
δI = 10,25μA ⋅ 0,02 + 0,03μA = 0,235 μA
e o resultado da medida I = (10,25 ± 0,24) μA . Como adotamos como critério, arredondar o erro
para um algarismo significativo, teremos δI=0,2 μA e portanto nosso resultado final será:
I = (10,3 ± 0,2) μA
Se a medida for com sinal negativo, usamos o módulo da medida para o cálculo do erro,
conforme visto na experiência 3 (Voltímetro).
Cuidados especiais com amperímetros
É de suma importância nas medidas de corrente ter plena consciência do fato que o amperímetro
eqüivale eletricamente a um pedaço de fio de cobre!!!! Então fazer o que está
indicado na figura 5 é eletricamente equivalente ao circuito da figura 6 !!!!!, dado que a resistência
interna do amperímetro é muito baixa. Para evitar danos aos amperímetros, especialmente no caso
de amperímetros analógicos, é importante escolher a polaridade e o fundo de escala
apropriadamente. Recomenda-se fazer estimativas da ordem de grandeza da corrente que se espera
numa medida. Para facilitar estas estimativas é bom ter na mente que 1/quilo = mili. Então, por
exemplo, 10V em 1kΩ resulta numa corrente de 10mA, e não precisamos de calculadora ou
papel e lápis para chegar neste resultado.
Fig. 5
Fig. 6
O Ohmímetro
O princípio do ohmímetro é simples: dentro do instrumento existe uma fonte de voltagem
bem determinada que é ligada ao resistor a ser medido e o amperímetro determina a corrente
resultante. Com os valores da voltagem e da corrente pode-se determinar a resistência. O valor da
resistência é indicado diretamente no mostrador do instrumento.
24
É importante obedecer a seguinte regra na hora de medir com um ohmímetro: nunca
conecte um ohmímetro num circuito ligado na fonte de tensão. A medida num circuito ligado
geralmente resulta em valores completamente errados e pode até danificar o instrumento. É
necessário retirar do circuito o resistor a ser medido.
Os erros dos nossos ohmímetros seguem na tabela:
Fundo de escala
Erro
200Ω
± (0,5%Leitura + 3 no dígito menos significativo)
2kΩ
20kΩ
200kΩ
± (0,5%Leitura + 1 no dígito menos significativo)
2 MΩ
20MΩ
± (0,5%Leitura + 2 no dígito menos significativo)
Tarefas:
Tarefa 1: com a polaridade da bateria indicada na figura 2, determine teoricamente se I > 0 ou
I < 0.
Tarefa 2: Monte o circuito da figura 2 (usando resistores de 1kΩ e de 12kΩ e com 10 V na
fonte). Use a figura 3 como base para a inclusão do amperímetro, verificando experimentalmente
se você resolveu a tarefa 1 corretamente.
Tarefa 3: Monte o circuito da figura 7 e meça as correntes I A , I B , e I C . Ligue o amperímetro,
observando a direção das setas indicadas na figura.
Fig. 7
De acordo com a regra dos nós a soma destas
correntes deveria ser zero. Verifique se esta
previsão teórica é válida dentro do erro
experimental. É bom lembrar que o erro
intrínseco do amperímetro não é necessariamente
a única fonte de erro no experimento. Quais
outras fontes de erro podem existir neste
experimento?
Tarefa 4: Meça a corrente que a fonte de tensão está fornecendo ao circuito da figura 7. Pense
antes de medir!
25
Tarefa 5:
Desmonte o circuito da Fig 7
1) Temos resistores na mesa cujos valores nominais (isto é
valores declarados mas não necessariamente certos) são
R1 = 100Ω , R2 = 300Ω , R3 = 150Ω . Meça a resistência
de cada resistor (o resistor a ser medido deverá estar
sozinho na placa) e calcule, com os valores obtidos, qual
deveria ser a corrente no circuito da fig. 8 (determinando
também a incerteza da corrente). Considere que a tensão da
fonte contem o erro do voltímetro com o qual foi regulada:
V ± δV. Mostre suas contas em detalhes.
Fig.8
2) Monte o circuito da Fig. 8
Meça a corrente I. Compare com o valor calculado.
Tarefa 6:
Monte o circuito da figura 9 com os resistores da
tarefa 5 e meça as correntes I, I 1 , I 2 e I 3 .
Calcule os valores dessas correntes com seus
respectivos erros, usando os valores medidos
para R1, R2 e R3 e compare com as correntes
medidas. Considere que a tensão da fonte contem
o erro do voltímetro com o qual foi regulada: V ±
δV.
Fig. 9
26
Experiência 5: A lei de Ohm
A lei de Ohm afirma que o quociente V/I da voltagem aplicada num condutor e da corrente que se
estabelece nele independe da voltagem aplicada.
Lei de Ohm:
V/I independente de V.
Para verificar esta lei experimentalmente podemos aplicar várias voltagens num condutor, medir
os valores de V e I e representar os dados obtidos num gráfico I versus V. Os pontos
experimentais devem então cair sobre uma reta que passa pela origem. Neste procedimento outros
parâmetros experimentais como temperatura do condutor, campos magnéticos, estresse mecânico
etc. devem ser mantidos constantes.
Frequentemente podemos encontrar ainda outra formulação da lei de Ohm: “o quociente V/I = R
é constante”. Esta afirmação não é clara; o que significa constante? constante em relação a que? A
resistência de um condutor, R = V/I, certamente depende de muitos fatores, por exemplo, da
temperatura do condutor.
A dependência da resistência com a temperatura torna, na prática, a verificação da lei de Ohm
difícil. Se aumentarmos a voltagem suficientemente gera-se tanta energia térmica que fica difícil
manter a temperatura constante no experimento. A elevação da temperatura provoca então um
aparente desvio da lei de Ohm para altas voltagens. Em princípio este desvio seria evitável
esfriando o condutor.
A lei de Ohm não é uma lei fundamental como a segunda lei de Newton ou as equações de
Maxwell. Ela descreve razoavelmente bem o comportamento de uma grande classe de condutores
num intervalo de campos elétricos entre 0 e 108 V/m. Mas existem também condutores que
definitivamente não obedecem a lei de Ohm, por exemplo os díodos e as lâmpadas de néon.
Tarefas:
1)
Monte o circuito da figura abaixo, que será usado para as tarefas 2 e 3:
V
A
2)
Insira um resistor de 1kΩ no circuito e verifique a lei de Ohm, medindo a corrente e a
tensão no resistor. Use pelo menos 21 voltagens entre -10V e + 10V. Faça um gráfico de
tensão x corrente do resistor.
3)
Troque o resistor por uma lâmpada incandescente de 12V e repita o procedimento da
Tarefa 1 ( Cuidado com a escala do amperímetro, a escala usada para o resistor não
serve para a lâmpada ) . Você encontrará um desvio perceptível da lei de Ohm neste caso.
Supondo que a lei de Ohm vale para o filamento da lâmpada, o que você pode concluir a
partir dos dados sobre a dependência da resistência com a temperatura? Faça o gráfico
desta medida na hora para poder julgar se você escolheu os valores da voltagem
adequadamente! Este procedimento é aconselhável em geral na física experimental.
27
4)
Verifique que a lei de Ohm definitivamente não vale para um diodo. Use voltagens entre –
1,0V e + 0,7 V. Faça um gráfico para julgar se você usou um número adequado de pontos
de medida. A voltagem será contada como positiva se o diodo estiver ligado na fonte como
na figura. O traço horizontal na ponta do triângulo corresponde ao anel prateado que está
desenhado no corpo do díodo. É altamente recomendável começar com a voltagem 0V e
aumentar a voltagem cautelosamente!
Sugestão de montagem: Para tensões entre –1 V a 0 V, variar de 0.1 em 0.1 V, conforme a figura
abaixo: Varie a tensão variando a posição do reostato.
COM
2V
V
A
COM
Para tensões entre 0 V a 0.7 V, variar de 0.05 em 0.05 V, conforme a figura baixo:
2V
V
COM
A
COM
Observações:
- Se o voltímetro indicar ddp’s altas, verifique o fusivel do amperímetro.
- Pergunte o seu professor sobre aplicações de diodos.
- Traga folhas de papel milimetrado (linear – linear)!
- Quando o fusível do amperímetro queima o voltímetro marca valores
estranhos.
28
Experiência 6: Força Eletromotriz e Fontes
As fontes de alimentação elétrica são de fundamental importância em qualquer circuito
elétrico. A experiência desta semana explora os seguintes conceitos: força eletromotriz, resistência
interna de uma fonte e fontes ideais de voltagem e corrente.
Lembremos da lei de Ohm, que dizia que a corrente num condutor é proporcional à
voltagem I ∝ V . Poderíamos encarar esta lei ainda de outra forma: a corrente que se estabelece
num condutor vai depender de alguma forma da voltagem que existe no condutor I = F (V ) . Se
esta função for matematicamente bem comportada deve ser possível desenvolvê-la numa série de
Taylor, ou seja, deve ser possível escrevê-la como uma série de potências de V:
I (V ) = a 0 + a1V + a 2V 2 + a 3V 3 + a 4V 4 + ......
(1)
A lei de Ohm simplesmente diz que, para as voltagens normalmente empregadas no laboratório, os
termos quadráticos, cúbicos , etc. são desprezíveis. Então ficamos com uma dependência linear. Cuidado! - Vamos pensar melhor: argumentamos de forma um pouco generosa demais.
Desprezar os termos quadráticos, cúbicos , etc. não significa que a corrente seja proporcional à
voltagem. Ainda tem o termo de ordem zero que denominamos de a 0 na expansão (1). Bem,
poderíamos dizer: o a 0 é naturalmente zero, pois este termo corresponderia a uma corrente que
flui mesmo não tendo voltagem alguma no condutor. Sem voltagem os portadores de carga não
teriam motivo para fluir. Então com esta suposição natural teríamos a lei de Ohm I (V ) = a1V .
Será que a suposição a0 = 0 é mesmo sempre válida? A resposta é não! Além de campos
elétricos existem outras causas para um fluxo de carga elétrica. Uma causa não elétrica de corrente
elétrica é chamada de força eletromotriz. Este nome é um tanto infeliz porque na maioria dos
casos não se trata de forças no sentido da segunda lei de Newton. Um nome mais apropriado seria
causa eletromotriz.
Vejamos alguns exemplos de força eletromotriz: imagine que você deixa uma gota de ácido
clorídrico cair numa das extremidades de uma canaleta cheia de água.
Fig. 1 Força eletromotriz numa
canaleta de água.
Na água, o ácido dissocia-se em H+
e Cl- . Estes íons sofrem a ação da
agitação térmica e com isto se
espalharão pela água da canaleta.
Acontece que este processo de
difusão é muito mais rápido para os
+
íons de H do que para os íons Cl . Nos primeiros minutos após ter deixado a gota de ácido cair
na água, poderíamos até desprezar a difusão do Cl- completamente. A difusão dos íons de H+
constitui uma corrente cuja causa não seria um campo elétrico, mas a simples agitação térmica
junto com a condição inicial que todos os íons estavam inicialmente localizados numa
extremidade da canaleta. Este exemplo de força eletromotriz tem duas caraterísticas em comum
com muitas outras forças eletromotrizes: 1) o sistema está fora do equilíbrio termodinâmico e 2)
há dois processos que levam o sistema para o equilíbrio (a difusão de H+ e a difusão de Cl- ) e
um dos dois é muito mais lento que o outro.
29
Vejamos um outro exemplo, o da pilha comum. Imagine que você joga um pedacinho de zinco
(Zn) num recipiente de ácido, tampa o recipiente e guarda-o por muito tempo, digamos alguns
anos. Após um tempo suficiente o zinco teria desaparecido, teríamos íons de zinco na solução
Zn2+, encontraríamos hidrogênio e o número de íons de hidrogênio do ácido teria diminuído.
Teria acontecido a seguinte reação química:
Zn + 2 H + → Zn 2+ + H 2
(2)
Zn → Zn 2+ + 2e −
(2a)
2 H + + 2e − → H 2
(2b)
Esta reação consiste de duas partes:
e
Acontece que a segunda parte (2b) é lenta, devido ao fato que os elétrons do zinco teriam que
vencer uma barreira de energia potencial antes de se ligar nos prótons H+. O segredo da pilha é
um agente que acelera a segunda parte, isto é, a transformação de H+ numa espécie eletricamente
neutra, e que este agente é colocado espacialmente separado da região onde acontece a reação
(2a). Este agente é um eletrodo de grafite, que fornece os elétrons, junto com a substância oxidante
MnO2, que fica em torno do eletrodo. A reação seria a seguinte:
2 MnO 2 + 2 H + + 2e − → Mn 2 O3 + H 2 O
(2c)
O ácido usado é o NH4Cl, e a reação (2c) seria mais precisamente
+
2MnO2 + 2 NH 4 + 2e − → Mn2 O3 + H 2 O + 2 NH 3
(2d)
Se ligassemos um fio grosso de cobre entre grafite e zinco poderíamos observar uma corrente
elétrica saindo do grafite, que corresponde a um fluxo de elétrons passando do cobre para o
grafite, aqueles que entram no lado esquerdo da equação (2d). No lado do zinco observaríamos
uma corrente entrando na pilha que corresponde a elétrons do lado direito da reação (2a). Estas
correntes iriam parar em pouquíssimo tempo, sendo freadas por campos elétricos, se não existisse
uma corrente elétrica no seio do eletrólito. Esta corrente seria uma corrente de difusão dos íons
Zn2+ e NH 4+ . Na medida que a reação (2a) joga íons de zinco na solução e com isto cria uma
concentração alta destes íons perto do zinco, a agitação térmica tem mais probabilidade de afastar
um íon Zn2+ do zinco do que aproximar um destes íons do metal. Com os íons de NH 4+
acontece algo análogo: na medida que a reação (2d) elimina íons de NH 4+ na região perto do
carbono, a agitação térmica tem mais probabilidade de aproximar um íon NH 4+ do grafite do que
afastar um. A figura 2 mostra estes processos simbolicamente:
30
Fig. 2 Processos na pilha comum na situação de curto circuito. Os íons negativos Cl- , que
garantem a neutralidade do eletrólito, não são desenhados.
Para evitar que o MnO2 saia da região do eletrodo de grafite e para evitar problemas de
vazamentos de líquidos, todo eletrólito é misturado com amido formando uma massa pastosa. Esta
pilha foi inventada por George Laclanché, em 1865. A tabela mostra ainda outras pilhas usadas.
Nome
Reações
Voltagem
Pilha Alcalina
Zn + 2OH − → ZnO + H 2 O + 2e −
1,5V
2 MnO 2 + H 2 O + 2e − → Mn 2 O3 + 2OH −
Bateria de
Chumbo
Pb + SO42− → PbSO4 + 2e −
2V
PbO2 + SO42− + 4 H + + 2e − → PbSO4 + 2 H 2 O
Pilha de Mercúrio Zn + 2OH − → ZnO + H 2 O + 2e −
1,5V
HgO + H 2 O + 2e − → Hg + 2OH −
Bateria de Níquel- Cd + 2OH − → Cd (OH )2 + 2e −
Cádmio
2 NiO (OH ) + 2 H 2 O + 2e − → 2 Ni (OH )2 + 2OH −
1,4V
Pilha de Lítio
2,8V
2 Li → 2 Li + + 2e −
I 2 + 2e − → 2 I −
Célula de
Combustível
2 H 2 + 4OH − → 4 H 2 O + 4e −
1V
O2 + 2 H 2 O + 4e − → 4OH −
31
Como podemos ver, a maioria destas células eletroquímicas emprega substâncias altamente
tóxicas e poluentes. Com exceção das pilhas comuns, como regra geral não devemos desmontar
baterias. Baterias de telefones celulares, calculadoras, filmadoras etc. não devem ser jogadas
no lixo e muito menos no mato, nos rios ou outros lugares fora do nosso controle!!!!
Discutimos a pilha comum numa situação de curto circuito, isto é, com um fio condutor ligado
entre grafite e zinco. Se tirarmos este fio, os movimentos dos íons descritos acima carregarão o
grafite positivamente e o zinco negativamente. O campo elétrico gerado por estas cargas atuaria
sobre os íons com uma força elétrica (força no sentido da segunda lei de Newton) e esta força se
opõe ao fluxo químico. Rapidamente se estabelece um equilíbrio no qual a corrente elétrica será
zero. Com a equação (1) e desprezando os termos de ordem superior teríamos para este equilíbrio
0 = I = a 0 + a1V EQUIL.
(3)
e a voltagem entre zinco e grafite seria
VEQUIL. = −
a0
a1
(4)
O negativo da voltagem de equilíbrio é chamado de valor da força eletromotriz ou simplesmente
força eletromotriz, geralmente escrito com o símbolo ε .
Quando queremos verificar a lei de Ohm ou medir, no caso geral, a função I = F (V ) para um
condutor, usamos o seguinte circuito:
Fig. 3 Circuito para medir as caraterísticas de um
condutor.
O mesmo circuito pode ser usado para medir a
dependência da corrente com a voltagem no caso
em que o condutor é uma pilha. Basta substituir o
resistor da figura 3 pela pilha. Se nos limitarmos a
[− ε,0] podemos até
voltagens no intervalo
simplificar o circuito e substituir a fonte de
alimentação por um resistor, pois a própria pilha vai
fornecer a corrente. Para obter vários pontos de
medida pode-se variar o valor deste resistor
utilizando um reostato, como indicado na figura 4.
Esta figura mostra também um interruptor que
permite limitar a passagem de corrente a intervalos
de tempo curtos para evitar que a pilha se gaste na
experiência.
Fig. 4 Circuito para determinar a relação entre
corrente e voltagem de uma pilha.
Tarefa 1:
a) Monte o circuito da figura 4. Use o próprio fio
com “conector banana” como interruptor.
Mantenha o circuito aberto enquanto não estiver fazendo medidas, para não gastar a pilha.
b) Meça a voltagem com o interruptor aberto (isto é, com I = 0).
32
c) Meça as voltagens e correntes para várias posições do reostato começando com grandes
valores de R. Em cada medida feche o circuito apenas por poucos segundos para não gastar a
pilha. Termine com um R que corresponde apenas à resistência dos fios e da resistência
interna do amperímetro. (use valores de R formando aproximadamente uma seqüência
geométrica R1 = Rtotal , R2 = Rtotal / 2 , R3 = Rtotal / 4 , R4 = Rtotal / 8 .....)
d) Faça agora as medidas do item c) em ordem inversa, começando com R ≈ 0 e terminando
com R = ∞ .
e) Represente os dados das medidas dos itens c e d num gráfico V versus I.
Comentário sobre a escolha das orientações dos instrumentos de medida:
A orientação do amperímetro e voltímetro no circuito da figura 4 é escolhida tal que as correntes
medidas serão positivas enquanto as voltagens serão negativas, dando origem a um gráfico no
segundo quadrante (como o da figura 5). Por que esta escolha estranha? Tratamos aqui a pilha
como um condutor qualquer e devemos adotar a mesma convenção que usamos na experiência da
lei de Ohm. Num resistor o produto de voltagem e corrente mede a potência transferida para o
condutor. No caso de uma pilha (no uso comum dela como fonte) esta potência é negativa, pois o
fluxo de energia é do condutor para o campo eletromagnético, inverso do caso do resistor.
Consequentemente o produto VI deve ser negativo no caso da pilha e V e I tem sinais opostos.
Você encontrará que a aproximação de desprezar os termos de ordem superior da equação (1) no
caso da pilha não é uma aproximação excelente. Além disso pode ocorrer que as medidas do item
d) não fiquem na mesma linha das do item c). Isto indica que a pilha mostra efeitos de memória. O
fato que a pilha já fora usada em medidas, altera as medidas subsequentes. Isto significa que neste
caso a corrente não é apenas uma função da voltagem mas depende também da história da pilha.
No entanto, como uma aproximação grosseira, podemos ajustar uma reta nos pontos. O inverso da
inclinação desta reta seria um valor aproximado da resistência interna da pilha.
RPILHA =
1
dI
(5)
dV
f) Determine a resistência interna da pilha a partir da reta de ajuste dos seus dados.
A figura 5 mostra as relações I versus V de uma pilha de resistência interna baixa e de uma pilha
de resistência interna alta. Como podemos ver, na pilha de resistência interna baixa a corrente
pode variar muito sem alterar a voltagem apreciavelmente. Esta é certamente uma propriedade de
uma boa pilha. O caso idealizado de uma bateria de resistência interna nula chama-se uma fonte
ideal de voltagem. Usa se o símbolo
para este tipo de fonte. Uma fonte de voltagem ideal mantêm sempre a mesma voltagem nos seus
terminais independente da corrente.
Pode-se pensar ainda num caso ideal oposto a este: uma fonte que fornece sempre a mesma
corrente independente da voltagem. Este tipo de força eletromotriz idealizada é chamada fonte de
corrente ideal. O símbolo usado é
33
Fig 5 Curvas de I versus V de duas
pilhas, uma com resistência interna
baixa e outra com resistência interna
alta.
Uma maneira de construir uma fonte
de corrente quase ideal é usar uma
fonte de voltagem muito alta e colocar
um resistor muito grande em série.
Hoje em dia pode-se chegar bem perto
dos casos ideais com fontes
eletronicamente estabilizadas. O nosso
laboratório de Física III usa fontes que
podem funcionar como fontes de
voltagem ou fontes de corrente. Com
os botões da esquerda podemos escolher a voltagem desejada da fonte de voltagem. Um medidor
interno verifica se a voltagem nos terminais corresponde ao valor escolhido e um circuito regula
esta voltagem para eliminar um possível desvio. Se ligarmos um resistor na fonte, fluirá a corrente
V/R . Se diminuirmos o valor do resistor cada vez mais esta corrente sobe até chegar num valor
limite. A partir deste valor uma diminuição do resistor não alteraria mais o valor da corrente. Isto
significa que, a partir deste ponto, a fonte funciona como uma fonte de corrente. O valor da
corrente limite pode ser escolhido com os botões da direita. Na tarefa 2 você pode conhecer um
pouco melhor as nossas fontes reguladas do laboratório.
Tarefa 2:
a) Regule a fonte numa voltagem de 10V e coloque o botão da direita (limitação de corrente)
numa posição entre 0 e 0,2 A que corresponde aproximadamente ao valor de 0,1A.
b) Sem alterar as posições dos botões da fonte, monte o circuito da figura 6.
Fig. 6
c)
Meça a corrente I e tensão V para 8 posições igualmente
espaçadas do reostato, sem alterar os botões da fonte. Faça o
gráfico I versus V para a fonte e indique as regiões nas quais a
fonte opera como uma fonte ideal de voltagem e como uma fonte
ideal de corrente.
34
Experiência 7: Teste de qualidade de uma pilha
Na aula anterior conhecemos as características principais de uma fonte elétrica. Por
exemplo vimos que uma boa pilha deve ter uma resistência interna baixa. Alem da resistência
interna interessa naturalmente quanta carga pode ser aproveitada numa pilha. A tarefa desta
semana consiste exatamente na determinação da carga elétrica que podemos deixar circular num
circuito até “descarregar” a pilha. Descarregar não é, na verdade, a palavra mais correta, pois não
vamos gastar a pilha a tal ponto que a força eletromotriz dela desapareça por completo. Vamos
usar uma pilha até o ponto que ela seria considerada para muitas aplicações uma pilha gasta.
Arbitramos que vamos chamar a pilha de gasta quando a voltagem dela no circuito usado cai
abaixo de 1,4 V. Esta determinação não corresponde necessariamente a um julgamento adequado.
Nossa “norma” é mais motivada pelo fato que nossa experiência deve ser factível dentro da
duração de uma aula experimental. Também a escolha do circuito é determinado por este critério e
não corresponde necessariamente a melhor maneira de avaliar uma pilha.
A idéia da experiência é simples: vamos ligar um resistor R numa pilha até o momento que a
voltagem caia até 1,4 V. A corrente que circula no circuito durante este tempo é monitorada e
depois integrada no tempo. Alguns grupos devem fazer esta medida com uma pilha comum e
outros com uma pilha alcalina. Depois podemos comparar os resultados e ver se o preço do
“Coulomb alcalino” é mais caro ou mais barato que do “Coulomb comum”.
Tarefa 1:
a) Monte o circuito da figura 1 com uma pilha nova. Não
feche o interruptor (pino banana) por enquanto, para não
gastar a pilha.
Figura 1
b) Meça o valor do resistor.
c)
Meça a voltagem ainda com o interruptor aberto, para
não gastar a pilha.
d) A experiência será feita medindo o tempo após fechar o
circuito e a ddp correspondente da pilha. A ddp deve ser
medida de 10 em 10 segundos no primeiro minuto e
depois basta medir a cada minuto ou até com menos freqüência. Antes de fechar o interruptor,
tenha certeza de que o procedimento adotado está claro, uma vez que o processo de descarga
da pilha é irreversível. É bom preparar no seu caderno de laboratório a tabela das medidas
antes do início das medidas. A coleta de dados começa no tempo t = 0 s, que corresponde ao
instante em que o interruptor foi fechado, e termina quando a voltagem cai abaixo de 1,4V.
Não comece o experimento se ainda tiver alguma dúvida.
e) Feche o interruptor, dê início na contagem de tempo no cronômetro e meça simultaneamente a
voltagem da pilha. Termine quando a voltagem cai abaixo de 1,4V.
f)
Queremos determinar a carga elétrica que circulou no circuito nesta experiência. Então temos
que determinar a integral Q =
t FIM
∫ I (t ) dt
a partir dos dados. Isto pode ser feito a partir de um
t0
gráfico I versus tempo, onde I é obtido dividindo as voltagens por R ou a partir do gráfico V
35
t FIM
versus tempo, determinando primeiramente a integral
∫ V (t ) dt
e dividindo este valor por R.
t0
O segundo método é menos trabalhoso por que não precisa converter dados os dados em
corrente. Elabore então um gráfico I versus t (ou se preferir V versus t).
g) Integre esta função para achar a carga total que circulou no circuito. Esta integração deve ser
feita da seguinte maneira: recorte com uma tesoura um retângulo do seu gráfico (como na
figura 2) com os lados Δt e ΔI (ou ΔV ) conhecidos. Meça a massa deste retângulo numa
balança de precisão, para estabelecer uma proporcionalidade entre massa de papel do gráfico e
carga elétrica Δt ΔI (ou no caso do gráfico Vxt, seria uma proporção entre massa e Vs).
Depois recorte a área embaixo da curva e meça a massa deste recorte e determine a carga
correspondente (ou número de Vs correspondente).
h) Com o valor da carga desta experiência calcule quantos miligramas de zinco foram dissolvidas
durante esta experiência. ( Zn → Zn 2+ + 2e − )
Dados: massa molar do zinco = 65,37 g mol −1 , número de Avogadro = 6,022 ⋅ 10 23 mol -1 ,
carga elementar = 1,602 ⋅ 10 −19 As .
Alguns grupos de alunos devem fazer esta experiência com uma pilha de marca e outros com uma
pilha barata.
j) Compare os valores de carga de uma pilha comum com uma alcalina e determine o preço do
Coulomb.
Sugestões para tarefas opcionais em casa:
Figura 2
Qualquer estudante que pretende um dia ser um
engenheiro ou cientista deveria ter em casa um
multímetro. Caso você não tenha um, compre um
pequeno voltímetro digital. É um eletrodoméstico
útil e não custa caro (15 a 25 reais para um
instrumento simples).
Pesquise então as seguintes questões:
1) Se tivéssemos usado um resistor de 1 kΩ na
tarefa 3 no lugar de 15 Ω a experiência teria
levado muito mais tempo e as correntes teriam sido menores. Será que o valor da integral teria
sido o mesmo?
2) Determine para os dois casos R = 15 Ω e R = 1 kΩ qual é a energia total dissipada no
resistor durante a experiência.
3) Repita estas experiências com pilhas de tamanho maior e diferentes marcas.
4) Meça a resistência interna de diferentes marcas e de vários tamanhos.
5) Compare todos os resultados com os correspondentes para pilhas alcalinas.
6) Elabore critérios mais adequados para testar pilhas.
Use a escala graduada abaixo!
36
37
38
Experiência 8:
Circuito RC: Processo de Carga e Descarga de Capacitores
Na experiência da próxima semana vamos conhecer a dinâmica de uma combinação de
resistor e capacitor chamada circuito RC. O circuito RC é de fundamental importância em
circuitos eletrônicos. Isto se deve ao fato que tal combinação fixa uma constante de tempo e com
isto determina a rapidez do circuito eletrônico. Além disso é interessante estudar o comportamento
de um capacitor que está sendo carregado ou descarregado, pois o tipo de comportamento
encontrado no circuito RC pode ser encontrado em inúmeras outras áreas das ciências exatas e
engenharias. Por exemplo: a deformação lenta de concreto devido a um carregamento permanente
(fluência do concreto) mostra um comportamento temporal semelhante ao da voltagem de um
capacitor quando é carregado através de um resistor.
Primeiramente devemos estudar um pouco a teoria do circuito RC antes de começar com os
experimentos. Vamos analisar o circuito da figura 1:
Figura 1 Circuito RC
Para entender o comportamento deste
circuito devemos escrever a lei das malhas:
12 V
ε = RI + QC
V
ε
(1)
Nesta equação Q é a carga do capacitor (a
carga na placa superior da figura, a carga na
outra placa será igual mas com sinal oposto).
Podemos notar que a equação (1) contem
duas incógnitas: a corrente I e a carga Q .
Portanto esta equação sozinha não é suficiente para entender o circuito. Precisamos de uma
relação entre Q e I . Pela própria definição de corrente (I = taxa de passagem de carga) podemos
escrever:
I=
dQ
dt
(2)
Combinando as equações (1) e (2) obtemos:
ε = R dQ
dt
+
1
Q
C
(3)
Esta é uma equação muito especial, uma equação diferencial. Primeiramente podemos notar que a
equação difere das equações que conhecemos na escola de segundo grau (do tipo
x 2 + 4 x − 10 = 0 ) pelo fato que a incógnita, Q , não é um número mas uma função desconhecida;
Q = Q(t ) . Segundo, a equação impõe uma condição sobre esta incógnita envolvendo valores da
incógnita e valores da derivada da mesma. Terceiro, t não é fixo, a equação deve valer para todo
t. Quarto, todos os valores
39
da incógnita e das derivadas são tomados no mesmo ponto da variável independente t, isto é
1
dQ
=R
+ Q(t ) para todo t.
dt |t C
ε
É notável que na física e química quase todas as leis básicas podem ser formuladas como equações
diferenciais. Em ciências que tratam de sistemas mais complexos, como por exemplo biologia,
economia e história, isto geralmente não é o caso.
Vamos ver como podemos resolver a equação (3). Esta equação é de fato tão simples que não vale
a pena utilizar as técnicas dos matemáticos. Podemos adivinhar facilmente a solução e com isto
adquirir um pouco de compreensão do problema. Para facilitar vamos resolver primeiramente o
problema sem a presença da bateria (circuito da figura 2).
Fig. 2 Circuito de descarga
Na equação (3) isto significa simplesmente
igualar a força eletromotriz da bateria a zero:
R
1
dQ
+ Q=0
dt
C
(4)
ou escrevendo em outra forma:
1
dQ
=−
Q
dt
RC
(4)
Então estamos procurando uma função que é
proporcional à própria derivada dela. Sabemos
que a função exponencial tem esta propriedade. Verificamos facilmente que as funções
Q (t ) = Q0
−t
RC
e
(5)
são soluções da equação da equação (4). Na expressão (5) Q0 é uma constante arbitrária. Para
qualquer valor de Q0 temos uma solução. Esta é uma característica geral das equações
diferenciais; elas têm um número infinito de soluções. O fato que a solução não é única não é
defeito mas é vantagem. Desta forma uma única equação é capaz de descrever um número infinito
de situações físicas. Por exemplo, a equação (4) descreve todos os possíveis comportamentos do
circuito da figura 2. Qual situação física é realizada num experimento depende das condições
iniciais. Isto significa que o valor da carga do capacitor no instante t = 0 vai determinar a
solução. Q0 é a carga do capacitor no instante t =0. Como podemos ver pela expressão (5), para
poder observar algum comportamento interessante no circuito RC sem bateria, é necessário termos
uma carga inicial Q0 ≠ 0 , pois de outra forma teríamos apenas a solução trivial Q(t ) = 0 para
todo t. Então no circuito da figura 2 só podemos observar o processo de descarga do capacitor. A
figura 3 mostra um gráfico deste tipo de processo.
40
[μC]
5
Carga
Fig. 3 Descarga de um capacitor
4
Q0=5μC
Carga de um capacitor em função do tempo
para um processo de descarga
3
2
Q0/e
1
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [s]
τ = RC
Podemos agora entender a afirmação que um circuito RC define uma constante de tempo. O
expoente na expressão (5) deve ser uma grandeza adimensional. Portanto o produto RC deve ter a
dimensão de tempo. De fato podemos verificar que
1Ω ⋅ 1F = 1s
(6)
A constante τ = RC é chamada tempo característico do circuito ou constante de tempo do
circuito. τ é o tempo no qual a carga do capacitor se reduz por um fator e , onde e é o número
∞
1
de Euler: e = ∑ ≈ 2,718 . Isto significa: se a carga do capacitor num instante t1 tinha o valor
n = 0 n!
Q1 , no instante t 2 = t1 + τ ela terá o valor Q1 / e . Conhecendo este fato, é fácil determinar a
constante de tempo a partir de um gráfico Q versus t (compare a figura
12 V
3). Na prática não usaríamos um gráfico Q
versus t mas um gráfico da voltagem do
capacitor em função do tempo. Já que á
voltagem do capacitor é proporcional a sua
carga, podemos determinar τ deste tipo de
gráfico da mesma forma. A figura 4 mostra um
circuito que pode ser usado para determinar a
constante de tempo de um circuito RC:
Fig.4 Circuito de descarga
41
O capacitor seria primeiramente carregado fechando o interruptor. Depois o interruptor é aberto e
o capacitor é descarregado através do resistor. Um voltímetro paralelo ao capacitor permite
acompanhar a voltagem do capacitor durante o processo de descarga.
Para poder medir a voltagem do capacitor em função do tempo e gerar um gráfico V versus t com
medidas com um voltímetro e cronômetro comum, é necessário que a constante de tempo do
circuito seja suficientemente grande de tal forma que nossa capacidade de ler o voltímetro e
cronômetro permita acompanhar o processo. Constantes de tempo na ordem de 5 ou 10 segundos
são adequadas. Não é fácil realizar um valor RC = 10s . A resistência não deve ultrapassar
algumas dezenas de kΩ para garantir a condição de uma boa medida da voltagem (lembre que a
resistência interna do voltímetro deve ser muito maior que a resistência do circuito). Por exemplo,
com R = 10 kΩ a capacitância teria que ser C = 1000 μF. Este valor é bastante grande e
geralmente só seria realizável em laboratório com capacitores eletrolíticos.
Agora vamos resolver a equação (3) com a presença da bateria:
ε = R dQ
dt
+
1
Q
C
Uma solução podemos adivinhar facilmente: se o capacitor estiver com a mesma voltagem da
bateria não haverá diferença de potencial no resistor e consequentemente não haverá corrente. Não
tendo corrente a carga do capacitor deve ficar constante. A função constante QP (t ) = Cε é
obviamente uma solução. Botamos um índice P nesta solução para indicar que se trata apenas de
uma única solução, logo de um caso Particular. Para encontrar uma solução geral da equação (4)
podemos somar as equações (3) e (4):
ε=
0=
dQP
1
+
QP
dt
C
dQ
1
R 5 +
Q5
dt
C
R
(7)
_____________________________________________
ε = R d (Q dt+ Q ) + C1 (Q
P
5
P
+ Q5 )
onde Q5 é a solução dada na expressão (5). A terceira linha do cálculo (7) nos informa que a
função Q(t ) = QP (t ) + Q5 (t ) é solução da equação (4). Então temos como solução:
−t
Q(t ) = Cε + Q0 e RC
(8)
A constante Q0 é o parâmetro livre que permite adaptar a solução à condição inicial (ao contrário
do caso sem bateria, Q0 não tem mais a interpretação da carga inicial).
Vamos supor que o capacitor estava inicialmente descarregado; Q(0) = 0 . Neste caso Q0 teria o
valor Q0 = −Cε , e a solução seria
−t
⎞
⎛
Q(t ) = Cε ⎜⎜1 − e RC ⎟⎟
⎠
⎝
(9)
A Figura 5 mostra um exemplo deste comportamento:
42
Q [μC]
Fig 5. Processo de carga de um capacitor
5
5 μC /e
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
τ = RC
10
t [s]
Compare esta figura com a curva de cura da fluência do concreto (figura 6):
Fig. 6 Fluência de Concreto
-1
Fluência Especifica x 10E-6 [MPa ]
700
680
(Dados tomados do livro: Concretos
massa,
estrutural,
projetado
e
compactado com rolo, Ensaios e
Propriedades. Atores: Equipe da
FURNAS. Editor: Walton Pacelli de
Andrade)
Fluência de Concreto
660
640
620
Podemos determinar a constante
de tempo RC também do
600
gráfico 5, mas esta tarefa requer
Pontos = deformação lenta de concreto devido a um
o conhecimento exato da carga
580
carregamento permanente
final (no caso do gráfico 5
Curva = curva de um circuito RC equivalente
560
seriam 5μC ). Neste aspecto o
gráfico da descarga (Fig. 3) é
0
10
20
30
40
50
60
70
mais prático. No caso da
Tempo após aplicação da carga [ dias ]
descarga podemos determinar a
constante RC com boa precisão
representando o logaritmo da carga (ou da voltagem) do capacitor em função do tempo. Usando a
equação (5) (caso de descarga) e dividindo por 1 μC, escolhido arbitrariamente,
Q (t )
Q − t
= 0 e RC
1μC 1μC
1
(10)
Calculando os logaritmos Neperianos obtemos:
ln
Q
Q(t )
1
= ln 0 −
t
1μC
1μC RC
ou
(11)
43
ln
V
V (t )
1
= ln 0 −
t
1V
1V RC
(12)
Então, se a teoria da descarga do capacitor for verídica, devemos obter uma reta desta
1
e permite determinar a constante de tempo.
representação. A inclinação desta reta vale −
RC
Sabendo o valor exato da resistência podemos desta forma determinar o valor da capacitância.
OBS:
O capacitor tem polaridade definida, não podendo ser ligado com a polaridade
trocada
Tarefas:
1) Verifique experimentalmente, montando o circuito adequado, se as equações (5) e (9)
descrevem corretamente os processos de descarga (Figura 4) e carga (Figura 1) de um capacitor.
No caso da carga verifique apenas visualmente se o gráfico V x t tem o aspecto da figura 5. No
caso da descarga use além da representação voltagem versus t também a do logaritmo da
voltagem versus t. Este gráfico deveria resultar numa reta. Aviso: nas medidas use apenas um
único fundo de escala do voltímetro (20 V). Para o processo de carga, meça o tempo para a ddp no
capacitor variar de 0V a 1 V, 0V a 2 V, 0V a 3 V, ... , 0V a 10 V. Para a descarga, meça o tempo
para a ddp variar de 10V a 9V, 10V a 8 V, 10V a 7 V, ..., 10V a 1V.
2) Meça as capacitâncias de dois capacitores de sua escolha, medindo τ = RC e R. Aproveite os
dados obtidos na descarga do capacitor do item anterior.
3) Mostre experimentalmente que a capacitância equivalente de dois capacitores em paralelo é a
soma das capacitâncias Cequiv=C1+C2.
Determinação de erro dos valores de C: o erro de C=τ/R é determinado com o erro de R e de τ.
A resistência R deve ser medida com o ohmímetro e o erro é determinado como no roteiro do
Amperímetro. O erro do τ deve ser determinado graficamente. Desenhe nos seus gráficos do
ln(V/1V) versus t, além da melhor reta, uma segunda reta (reta alternativa) que se adapte
razoavelmente bem aos dados mas que tenha uma inclinação maior ou menor que a melhor reta.
Estime então o erro de t como τmelhor – τalternativo.
44
100
10
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
45
46
Experiência 9: O Campo Magnético
O campo magnético pode ser definido a partir da força que atua sobre uma carga elétrica
em movimento:
G
G G
(1)
Fmagnética = qv × B
Podemos observar qualitativamente esta força aproximando um imã de um feixe de partículas
carregadas, observando o desvio do feixe causado pela presença do imã. Também podemos
observar a força sobre um condutor com corrente num campo magnético.
1. Observe o comportamento de um feixe de partículas carregadas na presença de um imã.
2. Observe o comportamento de um balanço metálico cuja haste horizontal fica acima de um imã
quando ligamos o balanço numa fonte de corrente.
A equação (1) é a base de muitos métodos para medir campos magnéticos. Por exemplo:1) as
G
sondas Hall, 2) medição de B pela freqüência angular de um movimento circular de uma
G
partícula carregada 3) medição de B pelo torque exercido numa espira de corrente etc. Na
experiência desta aula vamos medir a componente horizontal do campo magnético da Terra
utilizando ainda um outro método. O método usado é a comparação do campo desconhecido da
Terra com um campo conhecido. Para poder comparar o campo desconhecido com o conhecido
precisamos de um indicador da direção e sentido do campo. Uma simples bússola serve para esta
finalidade. Primeiramente determina-se a direção do campo da Terra com a bússola, depois
adiciona-se um campo conhecido numa direção diferente (por exemplo, ortogonal ao campo da
Terra) e observa-se a direção do campo resultante com a bússola. A mudança de direção da
bússola permite determinar o campo da Terra.
Na nossa experiência vamos gerar o campo conhecido por um solenóide comprido. Lembramos
que o
campo dentro de um solenóide infinitamente comprido é
Bh
G
(2)
B s = eˆμ 0 nI
onde
ê é um vetor unitário apontando na direção do eixo de simetria
do
solenóide, μ 0 = 4π ⋅ 10 −7 Vs / Am , a constante n é a densidade
α
linear de espiras e I é a corrente no fio do solenóide. Nosso
solenóide tem 80cm de comprimento e um diâmetro de pouco
B
s
mais
de 10cm. A equação (2) fornece uma boa aproximação para o
campo no centro deste solenóide. A expressão exata para o
campo no centro do solenóide é
G
B = eˆμ 0 nI sen φ
(3)
onde o ângulo φ está definido na
figura 2.
φ
Considerando que Bs seja o campo
conhecido do solenóide, dado pela
equação (2) e que Bh seja o campo desconhecido, que neste caso, é a componente horizontal do
campo magnético da Terra, podemos escrever que:
tg α=Βs/Βh
Usando a equação 2, temos que:
(4)
tg α= (μοn /Bh) I
47
Do gráfico da Figura 2 temos:
Δtgα μ0 n
=
Bh
ΔI
O procedimento experimental para medir a componente horizontal do campo terrestre é o
seguinte:
1) Coloque o solenóide numa posição perpendicular à direção da bússola. Observe a bússola
dentro do solenóide. Dê toques leves no solenóide para agitar a bússola garantindo que esta se
encontre numa orientação de equilíbrio.
2) Ligue uma fonte elétrica com um reostato em série na bobina e meça a corrente, conforme
mostra a figura 1. Cuidado, nunca deixe a corrente ultrapassar 1,5A !! Regule a corrente para obter
um desvio da bússola de α = ±10o, α = ±20o, α = ±30o, .... até α = ±60o..
3) Determine o módulo da componente horizontal do campo da Terra a partir do gráfico tan α
versus módulo da corrente I (figura 2). Note que o coeficiente angular da reta mostrada nesta
figura é o mesmo da eq. 2. É importante incluir barras de erro nos pontos experimentais deste
gráfico. Há duas formas de colocar barras de erro neste gráfico ou na abscissa ou na ordenada.
Você pode optar por medir cada ângulo várias vezes e com o conjunto de valores de I construir
uma barra de erro para o eixo das correntes ou medir cada ângulo só uma vez, estimar um erro do
ângulo e calcular uma barra de erro dos tan α com propagação de erro. Para a determinação do
erro do campo da Terra desenhe duas retas que passem pela origem, uma que se adapte melhor aos
pontos experimentais e uma reta alternativa, que se adapte razoavelmente mas que tenha uma
inclinação maior ou menor que a melhor reta.
4) Compare o seu resultado do módulo da componente horizontal do campo magnético com dados
da literatura e com os resultados de outras equipes da sua turma. Se houver discrepância maior que
o seu erro experimental comente sobre a possível origem desta discrepância.
Avalie os erros das medidas e discuta se, frente aos erros da medida, é necessário usarmos a
fórmula exata (3) ou seria suficiente usar a expressão válida para um solenóide infinito. Observe
também o comportamento de uma bússola posta sobre o solenóide (ao lado da janela redonda).
Para um solenóide infinito o campo gerado pelo solenóide seria zero nesta posição.
Coef .angular =
220Ω
tg α
Resistor
Solenóide
Δtgα
ΔI
A
I
Figura 1
Figura 2
48
Experiência 10: Lei de Indução
Em situações não-estacionárias e na presença de campos magnéticos aparece na lei das
malhas, além das forças eletromotrizes químicas, um termo de indução magnética
Vind = −
G G
d
d
B ⋅ dS = − Φ
∫∫
dt malha
dt
(1).
Vind é a voltagem induzida que atua na lei das malhas como se fosse uma força eletromotriz. A
integral de superfície,
∫∫
, é calculada sobre uma superfície que tem a malha como beirada.
malha
Em palavras podemos formular esta lei da seguinte forma: numa malha existe uma força
eletromotriz que é o negativo da taxa de variação do fluxo magnético através da malha.
Caso a maior parte da malha seja formada pelas espiras de uma bobina enrolada em torno de uma
superfície S, esta integral pode ser aproximada pela integral do campo magnético sobre a
superfície S multiplicada pelo número N de espiras da bobina:
Φ=
G G
G G
B
⋅
d
S
≈
N
B
∫∫
∫∫ ⋅ dS
(2).
G G
d
B ⋅ dS
∫∫
dt S
(3).
malha
S
Neste caso a equação (1) toma a forma
Vind = − N
Nesta aula vamos verificar esta lei. Esta tarefa é difícil porque não podemos manter uma taxa de
variação de fluxo por muito tempo. Há três maneiras de resolver este problema: 1) medir Vind
G G
d
B
com muita rapidez (então não precisaria de um
∫∫ ⋅ dS ≠ 0 por muito tempo), ou 2) usar
dt malha
uma variação periódica do fluxo magnético que poderia ser observada com relativa facilidade ou
3) integrar a voltagem induzida no tempo. Aqui vamos utilizar o terceiro método. Dispomos de um
circuito eletrônico que calcula a integral temporal de uma voltagem aplicada na entrada do
circuito. Se a voltagem na entrada for V IN a voltagem na saída será
VOUT (t ) =
t
1
VIN (t ′)dt ′
τ t∫0
onde τ é uma constante caraterística do circuito. Se aplicarmos a operação
(4)
t
1
′ na equação
⋅ dt
τ t∫0
(1) obtemos
VOUT (t ) = −
1
{Φ(t ) − Φ(t 0 )}
τ
(5)
49
Então, mesmo que a alteração do fluxo magnético tenha ocorrido apenas num intervalo de tempo
muito curto, podemos verificar a lei de indução com medidas lentas. Pois agora basta ler a
voltagem na saída do integrador depois da alteração de fluxo ter ocorrido.
A tarefa desta aula é verificar a equação (5) para as seguintes três situações:
1) A bobina de indução fica em volta de uma bobina que gera um campo conhecido e a variação
de fluxo é causada desligando a corrente da bobina que gera o campo (figura 1).
2) A bobina de indução fica dentro de uma bobina que gera um campo conhecido e a variação de
fluxo é causada desligando a corrente da bobina que gera o campo (figura 2).
3) A bobina de indução é virada por 180o dentro do campo magnético da Terra.
Para poder medir com o circuito integrador é preciso entender um pouco como este instrumento
funciona. O integrador converte primeiramente a voltagem da entrada numa corrente através de
um resistor R. Esta corrente I = VIN / R é usada para carregar um capacitor C , cuja carga seria
Q = ∫ Idt e cuja voltagem Q/C é o sinal da saída do circuito. Desta forma temos
VOUT =
1
V IN dt
RC ∫
(6)
e a constante do integrador τ vale RC. Quando ligamos o integrador a voltagem da saída terá
geralmente algum valor sem significado. Este valor pode ser encarado como uma constante de
integração. Podemos eliminar esta constante descarregando o capacitor pouco antes da medida.
Para esta finalidade existe um botão no integrador que zera a voltagem de saída.
Todo tipo de circuito tem pequenos erros. No caso do integrador a voltagem de entrada é
registrada com um pequeno erro V ERRO . Desta forma o sinal da saída é de fato igual a
VOUT =
1
V IN dt
RC ∫
+
1
V ERRO dt
RC ∫
(7)
Mesmo que a voltagem de erro seja extremamente pequena (por exemplo 1μV ), com o passar do
tempo a voltagem de saída vai acumular um erro considerável. Este acúmulo de erro pode ser
notado se deixarmos o integrador ligado na bobina de indução sem nenhuma variação de fluxo
magnético. Os valores da saída vão mudar lentamente. Esta deriva da saída perturba as medidas. O
integrador possui um botão de ajuste que permite minimizar a voltagem de erro. Antes de medir é
necessário fazer este ajuste até chegar numa deriva menor que 0,001 V/s. Na medida, zeramos o
integrador antes da mudança de fluxo, logo depois provocamos a mudança de fluxo e
imediatamente depois lemos a voltagem de saída. Se entre o instante de zerar o integrador e ler o
resultado passam por exemplo 2 segundos teríamos um erro de medida de 0,002V se a deriva fosse
0,001V/s. Os resultados das medidas ficam na faixa de 0,5V e um erro de 0,001V/s seria tolerável.
A voltagem de erro (chamado "offset" na linguagem dos especialistas de eletrônica) depende da
temperatura. Se a temperatura do integrador mudar, fica praticamente impossível controlar a
deriva. Por isso evite tocar na caixa do integrador com a mão.
50
Nas tarefas 1) e 2) ligue uma corrente de 1A na bobina comprida (a mesma bobina que foi
utilizada na determinação do campo magnético da Terra). Depois zere o integrador, desligue a
corrente para provocar a variação do fluxo e leia a voltagem de saída imediatamente depois.
Compare o resultado com um cálculo teórico, considerando devidamente todos os erros de
medida. Analise a equação 5, levando em conta separadamente dados de entrada e de saída.
A
A
Integrador
Integrador
V
V
Figura 2
Figura 1
Na tarefa 3) oriente uma bobina de grande área tal que a normal da superfície S aponte na direção
de uma bússola. Depois zere o integrador, gire a bobina de 180o. Calcule com este resultado e com
os dados geométricos da bobina o campo da Terra. Compare o resultado com o da medida da
semana passada.
Na verdade o campo magnético da Terra não é horizontal. Na experiência da semana passada
medimos apenas a componente horizontal. Agora pode-se medir também o campo completo
começando com a bobina de indução inclinada, procurando uma inclinação que resulte num sinal
máximo no integrador.
Dados do integrador: R = ( 4,00 ± 0,04) kΩ
C = (954 ± 39)nF
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