NOME

1. AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E
OS EFEITOS DO MAGNETISMO
1.1 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
A descrição física de qualquer campo eletromagnético
pode ser apresentada em termos de cinco campos
vetoriais: dois magnéticos e três elétricos.
NATUREZA SÍMBOLO
magnético
B
magnético
H
elétrico
E
elétrico
D
elétrico
J
NOME
densidade de
fluxo
magnético
intensidade
de campo
magnético
intensidade
de campo
elétrico
densidade de
fluxo elétrico
densidade de
corrente
UNIDADE
T
A/m
V/m
C/m2
A/m2
Esses campos vetoriais satisfazem às equações de
Maxwell,
D
 H  J 
t
.B  0
B
 E  
t
.D  
Existe
um
matemáticas,
segundo
as
conjunto
relações
de
de
relações
passagem,
que
descrevem cada meio material na região de interesse
em
termos
de
sua
permeabilidade
,
sua
permissividade , e sua condutividade .
B   H H
D  E
J  E
Essas equações diferenciais parciais somente podem
ser resolvidas caso um número suficiente de
condições de fronteira sejam especificadas.
Existem fenômenos físicos na interface de meios
diferentes, conhecidos como condições de interface,
e que são empregadas para se derivar aproximações
para as condições de fronteira. Na interface de duas
regiões 1 e 2, essas condições são
n  ( E1  E2 )  0,
n  ( H1  H 2 )  J s ,
n  ( D1  D2 )   s ,
n  ( B1  B2 )  0.
n é o vetor unitário normal à interface e dirigido da
região 2 para a região 1;
s é a densidade superficial de carga elétrica;
Js representa a densidade superficial de corrente
elétrica.
Como as equações de Maxwell, as condições de
interface podem ser analisadas aos pares.
 Duas condições representam a continuidade da
componente normal dos vetores; as outras duas
representam
a
continuidade
da
componente
tangencial.
 Duas delas relacionam campos vetoriais; duas
relacionam densidades de fluxo.
 Duas formam um par de grandezas elétricas, as
outras
duas
formam
um
par
de
grandezas
magnéticas.
 Duas são homogêneas, indicando que não existem
polos
magnéticos
individuais
nem
correntes
magnéticas.
 Duas delas são não homogêneas e fazem-nos
lembrar que cargas elétricas e seu movimento são
as bases do campo eletromagnético.
As equações de Maxwell e as leis da física
D
 H  J 
t
 
.B  0
Lei da conservação do fluxo magnético

 
B
 E  
t
 
.D  
Lei de Ampère
Lei de Faraday
O fluxo elétrico não é conservativo
1.2 EFEITOS DO MAGNETISMO
O campo magnético H tem a propriedade de atuar
tanto em condutores de correntes quanto em
estruturas de ferromagnéticas sem que haja contato
físico entre as partes.
Os efeitos são usualmente descritos em termos de
sua densidade de fluxo B que é uma grandeza mais
fácil de medir experimentalmente.
1.3
CONDUTOR
IMERSO
EM
UM
CAMPO
MAGNÉTICO
 B se distribui uniformemente na direção vertical
O
condutor
retilíneo
de
perpendicular ao campo B
comprimento
“l”
é
Principais Efeitos:

Se o condutor se move com velocidade u
perpendicularmente ao plano onde estão o campo B
e o condutor, será gerada uma tensão e no
condutor, dada por:
e  Blu.

(1)
Se o condutor conduz uma corrente i, surgirá uma
força f que atua no condutor. A direção dessa força é
perpendicular ao condutor e ao campo B. Sua
magnitude é dada por
f  Bli
(2)
Com a direção da corrente i mostrada na Fig.1, a
direção de f é a mesma da velocidade u.
Aplicações desses efeitos:
o Transdutores de bobina móvel fazem uso desses
efeitos de maneira direta;
o Motores
e
geradores
também
têm
seu
funcionamento baseado nesses efeitos, embora a
maior
parte
da
força
atue
nas
estruturas
ferromagnéticas, em vez dos condutores.
Figura: motor cc; condutores alojados nas ranhuras
Figura: motor cc; distribuição do fluxo magnético
1.4 A equação de Lorentz
As equações
e  Blu.
(1)
f  Bli
(2)
e
são obtidas a partir de uma importante equação do
eletromagnetismo:
a equação de Lorentz para a força f que atua em uma
carga móvel q:

  
f  q( E  u  B)
(3)
q: carga em coulomb;
E: intensidade do campo elétrico;
u: velocidade de deslocamento da carga;
B: densidade de fluxo magnético.
A força na carga possui uma componente elétrica


f e  qE
(4)
e uma componente magnética

 
f m  qu  B
(5)
A direção da componente magnética fm é dada pela
regra da mão direita do produto vetorial. A força fm é,
pois, perpendicular ao plano que contém u e B.
o Ambas as forças são empregadas na deflexão do
feixe de elétrons de um tubo de raios catódicos [1].
o Em osciloscópios, a deflexão é eletrostática e
explora a força elétrica fe.
o Em monitores de vídeo e aparelhos de TV a
deflexão é magnética e explora a força magnética
fm.
Força em um condutor
Uma corrente elétrica fluindo em um fio condutor
representa cargas em movimento. Portanto, as
cargas sofrem a ação de uma força uB quando o fio
está imerso em um campo magnético B.
Figura 2: Condutor sob a ação de um campo B
Se dq é a carga no cilindro elementar de comprimento
dl, e u é a velocidade de deslocamento da carga, a
força que atua no elemento de corrente é

 
df  dq(u  B)
(6)
A carga percorre uma distância dl em um tempo dt, e
a velocidade é dada por

 dl
u
dt
(7)
A corrente é a taxa de variação da carga no tempo, e
é expressa como
dq
i
 dq  idt.
(8)
dt
Substituindo as expressões de u e dq na equação (6),

 
df  idl  B
(9)
A força em um condutor de comprimento l é obtida
por integração da equação (9). Se o campo é
uniforme e perpendicular ao condutor, a magnitude da
força é dada pela equação (2) e a direção pela
equação (9).
Tensão induzida em um condutor
Considere o condutor mostrado na Fig. 3.
Figura 3: Mecanismo de separação de cargas
 Sobre as cargas livres do condutor atua uma força
quXB e essas cargas começam a se mover.
 As cargas negativas – os elétrons livres - se movem
em uma dada direção, deixando para trás um
acúmulo de carga positiva.
 Essa separação de carga produz um campo elétrico
E dentro do condutor. A força de magnitude qE atua
em cada carga q e o movimento de cargas continua
até que seja atingido o equilíbrio. A relação entre os
campos B e E é:

 
E  u  B
(10)
e a distribuição das grandezas é mostrada na Fig. 3.
Figura 3: Mecanismo de separação de cargas
Se a densidade de fluxo B é uniforme e perpendicular
ao condutor, a tensão entre os terminais do condutor
é dada por
 
e   E.dl   uBdl  uB dl  Blu
(11)
1.5 Força magnética na interface ferro-ar
O campo magnético exerce força em objetos feitos de
ferro ou aço. Observe o eletroímã que aparece na
Fig. 4.
Figura 4: eletroímã; núcleo em U
 O núcleo é de aço e tem a forma de “U”;
 O campo magnético H é criado pelas bobinas 1 e 2;
 O campo magnético H atrai um objeto de aço
conhecido como armadura móvel;
 Existe um espaço de ar entre as faces polares e a
armadura; é conhecido como “entreferro”.
 O campo H é mais intenso nos entreferros e produz
uma força de atração, de grande intensidade, que
varia com H2.
Na Fig. 5 aparece o resultado da análise feita em um
programa de elementos finitos de distribuição gratuita,
conhecido como “MagNet” (www.infolytica.com). Na
figura aparece a distribuição do fluxo magnético.
Figura 5: mapeamento do fluxo magnético
 Na
ilustração,
representação
as
visual
linhas
da
fornecem
densidade
de
uma
fluxo
magnético B, que é de fato invisível.
 A direção das linhas indica a direção do campo B;
 O espaçamento entre as linhas indica a densidade:
quanto mais próximas as linhas, maior é a
densidade do campo B.
Questão: Será que as linhas mais próximas também
indicam uma maior intensidade do campo H
Em cada entreferro, o fluxo é quase uniforme e
perpendicular à superfície da armadura de aço.
Figura 6: Campo B no entreferro
Quando o campo B é uniforme e perpendicular à
superfície do ferro, a força de atração por unidade de
área é
fm 1 B

[N / m2 ]
A 2 0
(12)
fm: força magnética
A: área perpendicular a B;
0=4x10-7H/m é a permeabilidade magnética do ar;
Aplicação:
Informações:
Bg: a densidade de fluxo no entreferro;
Ap: área de um polo, perpendicular ao fluxo
A força de atração que um polo exerce sobre a
armadura móvel é
f polo
Ag
1 Bg

[ N / m2 ]
2 0
(13)
A força total na armadura é, pois,
f total  2 f polo

Bg 2

A [N ]
0
p
(14)
Comentários:
As forças magnéticas podem ser muito grandes.
Considere um eletroímã com um campo B de 1,0
tesla no entreferro. A pressão magnética que o
mesmo exerce é
pressão 
f polo
Ap

1,02
2(4x10  7 )
 400000 [ N / m 2 ]
(14)
Essa pressão é algo em torno de quatro vezes a
pressão atmosférica normal.
Espraiamento e dispersão do campo B
Espraiamento:
É o fenômeno do espalhamento do fluxo magnético
no espaço de ar entre cada polo e a armadura;
matematicamente tem-se
Bentreferro B polo
Dispersão
Uma parte do fluxo segue um atalho entre os polos;
deixa de passar pelos entreferros e armadura.
Aplicações dos eletroímãs
 Suspensões magnéticas
 Relés eletromecânicos
 Quando controlados eletronicamente, são usados
para eliminar o contato mecânico entre partes
móveis;
 Na Fig. 6 observa-se uma ilustração do Sistema
Transrápido
Alemão
onde
as
suspensões
magnéticas são empregadas ao invés de rodas.
Fig. 6: Transporte com suspensão magnética
1.6 Ímãs Permanentes
A ilustração da Fig. 8 observa-se um ímã permanente
que atrai uma armadura retangular de aço. O
mapeamento das equipotenciais aparece na Fig. 9.
Enquanto no eletroímã da Fig. 3 as correntes dos 2
enrolamentos são as fontes de campo, no acionador
da Fig. 8 a fonte é um ímã de formato retangular.
Fig. 8: Acionador; a fonte de campo é um ímã
Fig. 9: Mapeamento do fluxo magnético
Em muitas aplicações os ímãs incorporam culatras de
aço
que
melhoram
seu
desempenho
consideravelmente.
Ímãs permanentes x Eletroímãs
As
vantagens
relativas
de
cada
um
dispositivos são resumidas no quadro abaixo:
desses
Eletroímãs
Ímãs Permanentes
Requer uma fonte de corrente
Não requer uma fonte
Produz de calor no enrolamento
Não há produção de calor
Campo controlável
Campo é fixo(*)
Pode ser desligado
Não pode ser desligado(*)
(*)
O campo só pode variar caso se altere a
configuração mecânica.