Resolução de sistemas

Em aulas anteriores trabalhamos com equações do 1º grau com uma incógnita, e estes
conhecimentos serão muito importantes na resolução de sistemas.
A Matemática utiliza o símbolo { para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema.
Veja os exemplos:
2x + 3y = -11
x + 4y = -39
A)
B)
5x – 4y = 30
3x - 3y = + 33
Resolução de sistemas
Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y ) que tornem verdadeiras as equações
que o formam.
x + y = 5
( 1ª equação)
x – y = 3
(2ª equação)
I)
Na 1ª equação temos:
x=5–y
Na 2ª equação temos:
x=3+y
Vamos atribuir valores quaisquer a “y” e calcular “x”
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4
3
2
1
0
x
3
4
5
2
1
0
y
0
1
2
-1
-2
-3
Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o par (4; 1), isto
é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma, podemos dizer que as equações x
+ y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de equações do 1º grau que admitem uma solução comum.
1) O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma incógnita e substituir
esse valor na outra equação. Veja um exemplo:
x-y=1
(1ª equação)
x+y=5
(2ª equação)
Escolhemos uma das equações ( 1ª) e “tiramos” o valor de uma das incógnitas, ou seja,
estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim:
x-y=1
x=1+y
Agora, temos o valor de x em função de y e podemos substituir esse valor na outra equação(2ª):
x+y=5
1+y+y=5
1 + 2y = 5
2y = 5 - 1
2y = 4
y=2
Como x = 1 + y
x=1+2
x = 3.
Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.
Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas as equações:
x-y=1
3-2=1
1 = 1 (verdadeiro)
x+y=5
3+2=5
5 = 5 (verdadeiro)
Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.
2) MÉTODO DA ADIÇÃO
Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos das equações.
A-
OS COEFICIENTES DE UMA DAS INCÓGNITAS SÃO SIMÉTRICOS
1. A soma de dois números é igual a 10 e a diferença entre eles é 4. Quais são esses números?
 Vamos chamar um dos números de “X”.
 Vamos chamar o outro número de “Y”.
Montando o sistema:
X + Y = 10
X - Y = 4
A melhor maneira para resolução é pelo
método da ADIÇÃO (soma), pois ocorrerá o
cancelamento de uma das incógnitas.
Resolvendo, vamos achar o valor de “X”
Para achar o valor de “Y” usamos a primeira
equação do sistema.
Isolamos o “Y” no primeiro membro da
equação e passamos o “X”, com a operação
inversa, para o segundo membro.
Substituímos “X pelo valor já achado, que foi
7 , e calculamos o valor de “Y”
X + Y = 10
X - Y = 4
_____________
2X
/ = 14
2X = 14
> X = 14 >
2
X + Y = 10
Y = 10 – X
Y = 10 – 7
Y=3
Tiramos a prova substituindo o “X” e o “Y”
pelos valores encontrados
X + Y = 10
7 + 3 = 10
X - Y = 4
7 - 3 = 4
Concluímos que o par ( 7 ; 3 ) satisfaz o sistema dado.
X= 7
B- OS COEFICIENTES DAS INCÓGNITAS SÃO DIFERENTES E NÃO SIMÉTRICOS
2x + 3y = 43
x - 5 y = -37
Como podemos observar, ao somarmos
as duas equações não haverá o
cancelamento de nenhuma das variáveis
2x + 3y = 43
x - 5 y = -37
3x - 2y = 6
Então há necessidade de uma estratégia de cálculo para que o sistema possa ser
resolvido pelo método da Adição.
Os números dentro dos parênteses
correspondem aos coeficientes das
variáveis, ou seja ( 1 e 2 do “x” ) e (3 e 5
do “y”), que serão fatores multiplicadores
para que tenhamos novas equações.
2x + 3y = 43 ( 1 )
(5 )
ou
x - 5 y = -37 (-2)
(3)
Observe que os coeficientes estão colocados em equações contrárias.
ATENÇÃO: Quando os coeficientes das incógnitas tiverem sinais iguais, na hora da
multiplicação deverão ter sinais diferentes; quando tiverem sinais diferentes, na hora
da multiplicação deverão ter sinais iguais.
Agora é optar por um dos coeficientes e efetuar a multiplicação. Não esqueça da
regra de sinais.
Optamos pelos coeficientes do “x” para ser o fator multiplicador; tivemos que colocar
um com sinal negativo, pois na equação original ambos tinham o mesmo sinal.
2x + 3y = 43 ( 1 )
2 x + 3y = 43
x - 5 y = -37 (-2)
- 2x + 10y = 74
Podemos observar agora que ao
realizarmos
a
soma
teremos
o
cancelamento de uma das incógnitas.
Assim faremos a resolução, achando
primeiramente o valor de “y”.
Vamos utilizar a primeira equação do
sistema para achar o valor de “x”
2 x + 3y = 43
- 2x + 10y = 74
/ + 13y = 117
y = 117
13
2x + 3y = 43
y=9
Isolamos o “x” no primeiro membro da
equação e passamos o “y”, com a
operação inversa, para o segundo
membro. Nessa operação os coeficientes
acompanham as incógnitas.
Substituímos o “y” por 9, que foi o valor
encontrado e calculamos o valor de “x”
2x = 43 - 3y
2x = 43 – 3. (9)
2x = 43 – 27
2x = 16
X = 16
2
x=8
Retomando o sistema original.
2 . ( 8 ) + 3 .( 9 ) = 43
Tirando a prova concluímos que o
par ( 8 ; 9 ) satisfaz o sistema
(8)
- 5 . ( 9 ) = - 37
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DE SISTEMA DE EQUAÇÕES
 A primeira preocupação na resolução de problemas será a identificação do que será o
nosso “X” e o nosso “Y”.
 Com certeza está identificação será feita ao realizarmos a leitura da pergunta do problema,
e é ai que estabeleceremos nossas incógnitas.
 Não esquecer que um sistema é composto de duas equações, assim temos que buscar
dados no problema para formação do sistema.
 Vamos ver um exemplo:

“Em um estacionamento temos 33 veículos entre carros e motos,
num total de 96 rodas. Quantos carros e quantas motos estão no
estacionamento?”
 Analisando a pergunta podemos concluir que uma das nossas incógnitas será os carros e a
outra as motos.
 Estabelecemos para fins de resolução do problema o seguinte :
x = carros
y = motos
 Concluímos que os carros mais as moto são iguais a 33. Montamos assim a primeira
equação:
x + y = 33
 O outro dado disponível no enunciado diz respeito ao número de rodas. Sabemos que os
carros possuem 4 rodas e as motos 2 rodas, formamos a segunda equação:
4x + 2y = 96
 Com estas duas equações organizamos o sistema que será resolvido conforme orientações
anteriores.
x + y = 33
4x + 2y = 96
 Resolvendo o sistema teremos como solução para o problema:
x = 15 ou seja
15 carros
y = 18 ou seja
18 motos.
SISTEMA DE EQUAÇÕES
2)
1)
x + y = 16
x -y= 6
x + y = 14
x - y = 4
3)
x + y = 11
x -y= 1
4)
x + y = 12
x - y =2
5)
x + y = -5
x - y = 15
6)
x + y = -4
x - y = -6
7)
x + y = -7
x - y = -3
8)
x + y =-6
x - y = -12
9)
x + y = -4
x - y = 10
10)
x + y =9
x - y = 11
11)
x + y = -10
12)
2x - y = -5
13)
x + y = -12
x - y = -5
14)
2x - y = 0
15)
2x + y = 17
x + y = -6
16)
x + y = 30
18)
3x + 2y =-8
5x - 2y = 24
3x + y = 0
x - y = 12
20)
2x - y = 3
21)
4x + y = 19
5x - y = 8
2x - y = 24
19)
2x + y = 14
5x - y = 0
3x - y = 8
17)
3x + y = 21
2x + y = 5
5x - y = -26
22)
4x + y = -38
5x - y = 21
x +y = 3
23)
x + y = 11
24)
x – 4y= - 27
x - 3y = - 21
x- y=0
25)
3x + 4y = 4
26)
5x + 2y = -28
5x – 2y = 24
3x + 4y = 18
3x + 4y = -14
27)
28)
5x – 2y = 4
5x - 2y = 46
3x + 4y = -11
3x + 4y = 19
29)
30)
5x – 2y = -27
5x – 2y= - 29
4x – 3y = 27
3 x + 2y = 20
31)
32)
5x - 3y = -11
3x + y = -3
2x - 2y = 14
34)
3x + y = 15
33)
2x - 2y= -10
5x + 2y = -20
2x - 2y= 18
36)
5x + 2y = 12
35)
x - 3y = 13
x - 3y = 33
x + 6y = -37
x + 6y = 27
37)
38)
4x - 2y = 8
4x - 2y = -22
3x – 5y = 28
3x + 3y = 30
39)
40)
3x – 2y = 4
4x - 2y = 28
2x + 3y = -11
41)
x + 4y = -39
42)
5x – 4y = 30
3x - 3y = + 33
3x + 4y = 11
43)
3x + y = 14
44)
5x – 2y = -25
5x +3y = 18
x + 6y = -40
45)
x + y = 6
46)
4x + 2y = -6
6x - 3y = -45
0,2x + 0,3y = 4
3x + 3y = 54
47)
48)
x + y = 15
5x - 4y = -9
x + y = 11
49)
4x - 6y = 92
50)
9x – 9y = -63
3x - 5y = 74
x + y =9
51)
4x - 6y = -32
52)
9x – 9y = -27
3x - 5y = -25
x + y = -4
53)
4x - 6y = 26
54)
9x – 9y = 126
3x - 5y = 23
x + y = -11
4x - 6y = -24
55)
56)
9x – 9y = 27
3x - 5y = -21
x + y = -10
57)
4x - 6y = 40
58)
9x – 9y = 54
3x + 4y = 23
3x - 5y = 34
60)
5x + 3y = -47
59)
5x – 2y = -57
61)
4x - 4y = 8
2x – 7y = 29
2x + 6y = -62
62 )
7x - 2y = 26
14x + 3y = 10
63)
65)
64)
66)
67)
68)
69)
70)
72)
71)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
PROBLEMAS
1) A soma de dois números é igual a 79 e a diferença entre eles é 21. Quais são esses
números?
2) A soma de dois números é igual a 40. Sabendo que um número é igual ao triplo do
outro, calcule os números.
3) A soma de dois números é igual a 150. Sabendo que um número é igual ao quíntuplo do
outro, calcule os números.
4) A média aritmética de dois números é 75. Um dos números é o dobro do outro. Quais
são esses números?
5) Uma loja pratica os seguintes preços: 7 CDs e 8 fitas de vídeo por 415 reais.
11 CDs e 4 fitas de vídeo por 395 reais. Qual o preço de cada CD e de cada fita?
6) Fernanda comprou na cantina 2 salgados e um picolé e pagou R$ 3,00. Nei comprou 4
salgados e 4 picolé, e pagou R$ 7,20. Qual o preço do salgado e do picolé?1
7) Paulo depositou R$ 300,00 no banco em notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, num total de 14
notas. Quantas notas de R$ 50,00 Paulo usou para fazer o depósito?
8) Uma classe é formada por 30 alunos. Numa certa avaliação, a média da classe foi 6,1. A
nota de cada aluno foi 5,5 e de cada aluna 6,5. Quantos são os alunos e alunas dessa
classe?
9) Num espetáculo de música, foram vendidos 627 ingressos e arrecadados R$ 10398,00.
O ingresso comum custou R$22,00 e o para estudante R$ 10,00. Quantos estudantes
compareceram ao espetáculo?
10)Num restaurante há mesas de seis lugares e mesas de 10 lugares. Ao todo são 20
mesas e 148 lugares. Calcule o número de mesas de cada tipo ?
11) Pedro quer dividir uma tábua de 6 m de comprimento em duas partes de tal modo que
uma delas seja a sétima parte da outra. Calcule o comprimento de cada parte.
12) Um retângulo tem 40 cm de perímetro. Sabendo que um dos lados mede o triplo do
outro, calcule as medidas dos lados desse retângulo.
13) Em um estacionamento temos 33 veículos entre carros e motos, num total de 96 rodas.
Quantos carros e motos estão no estacionamento?
14).Em um terreiro existem 42 animais entre porcos e galinhas. Num total de 138 pernas.
Quantos porcos e quantas galinhas existem no terreiro?
15)A soma das idades de dois irmãos é 24 anos.Quais são suas idades sabendo que o
maior é 4 anos mais velho?
16)Um estacionamento cobra R$2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final
de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantos carros e
quantas motos usaram o estacionamento nesse dia?
17)Uma fábrica de refrigerantes produz refresco de guaraná nas versões “tradicional” e
“daiti”, e evasa em garrafas de 300 ml. Os bares vendem os “tradicionais” por R$ 2,00 e os
“daiti” por R$2,50. Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes, com um
faturamento de R$ 4200,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo foram vendidas.
18)Depois de ter plantado milho e feijão, um agricultor colheu 6600 sacas de grãos. Estas
sacas foram vendidas por R$ 190000,00, com o preço da saca de milho a R$ 25,00 e a de
feijão por R$30,00. Quantas sacas de milho de feijão foram vendidas?
19)Um ônibus com 60 lugares vai de Cuiabá a Campo Grande passando por Coxim.A
passagem para Campo Grande Custa R$ 90,00 e para Coxim R$75,00. Certo domingo o
cobrador arrecadou R$ 4860,00 com todos os assentos ocupados. Quantas pessoas
fizeram a viagem até Campo Grande?
20)No último Encontro Nacional de Estudantes a inscrição de alunos do Ensino
Fundamental e Médio custava R$ 10,00. Os alunos do 3° Grau pagavam R$ 15,00. A
arrecadação total obtida com as inscrições foi de R$ 40 250,00 de um total de 3100 alunos
inscritos. Quantos eram os alunos do Ensino Fundamental e Médio?
21)O perímetro de um retângulo é 72 cm. Sabendo que o lado maior é o dobro do menor,
encontre a medida dos lados do retângulo.
22) O professor Zezão tem um sistema muito curioso para dar notas nas provas. O aluno
ganha 5 pontos por cada questão certa e perde 3 a cada resposta errada. Pedro obteve 52
pontos numa prova de 20 questões. Quantas ele acertou?
23). Encontre uma fração sabendo que: se adicionarmos 8 ao seu numerador e se
retirarmos 9 do seu denominador, o resultado é 3. Se retirarmos 1 de seu numerador e
juntarmos 17 ao seu denominador, encontramos 0,1.
24) Dois números são tais que o maior é o triplo do menor. Se adicionarmos 6 a cada um
deles obtemos dois números tais que o maior é o dobro do menor. Que números são
esses?
25) Roberto e Márcia têm juntos 26 anos. Se Roberto tem 2 anos a mais que Márcia qual a
idade dela?
26) Num pacote há 51 balas e pirulitos. O número de balas é igual ao número de pirulitos,
aumentado de 7 unidades. Determine o número da balas.
27) Cruzeiro e Atlético marcaram 54 gols num campeonato. Se o Cruzeiro marcou 8 gols a
mais que o Atlético, quantos gols marcou o Cruzeiro?
28)Dois números somados valem 42. Sendo o número maior igual ao número menor
aumentado de 8 unidades, calcule o número maior.
29) Numa sacola há tomates e batatas, num total de 34 unidades. O número de tomates é
igual ao número de batatas, diminuído de 6 unidades. Qual é o número de tomates?
30) Paulo tem o triplo da idade de Júlia. Encontre a idade de Paulo, sendo de 26 anos a
diferença de idade entre Paulo e Júlia.
31) Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando que lhe dará 5 pontos
por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos por problema não resolvido. No final, seu
amigo tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu corretamente?
32) Há 4 anos um pai tinha 6 vezes a idade do filho . Daqui a 5 anos a idade do filho será
1/3 da do pai.Qual a idade atual de cada um?
33) A soma das idades de um casal é de 65 anos. Há 13 anos a idade do marido era o
dobro da idade da mulher. Qual a idade de cada um?
34)Dois números são tais que o maior é o triplo do menor. Se adicionarmos 8 a cada um
deles obtemos dois números tais que o maior é o dobro do menor. Qual é o maior desses
números?
35) A distância entre as cidades A e C é de 1430 km. Sabendo que a distância entre A e B
é 130 km maior do que a distância entre as cidades B e C , calcule a distância entre as
cidades B e C.
36) Em uma loja há dois tipos de lustres; um com 3 lâmpadas e outro com 5 lâmpadas. Se
na loja há um total de 50 lustres e 206 lâmpadas, quantos lustres de 5 lâmpadas há?
37)Pedro propõe 24 problemas a um de seus amigos, informando que lhe dará 5 pontos
por problema resolvido e lhe tirará 3 por problema não resolvido. No final , seu amigo, tinha
nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu corretamente?