Cap 30 - Indução e Indutância

Capítulo 30:
Indução e Indutância
Cap. 30: Indução e Indutância
Índice
 Fatos Experimentais;
 A Lei de Faraday;
 A Lei de Lenz;
 Indução e Tranferência de Energia;
 Campos Elétricos Induzidos;
 Indutores e Indutância;
 Auto-indução;
 Circuito RL;
 Energia Armazenada no Campo Magnético;
 Indução Mutua.
Cap. 30: Indução e Indutância
Fatos Experimentais
Um imã é aproximado a uma espira conectada a
um amperímetro
 Uma corrente elétrica é observada apenas se existe
um movimento relativo entre a espira e o imã; a corrente
desaparece no momento que o movimento deixa de
existir.
 Quanto mais rápido for o movimento maior será a
corrente.
 Quando aproximamos da expira o pólo norte do imã, a
corrente terá sentido horário, e quando afastamos o imã
da espira a corrente terá sentido anti-horário. Sendo
assim, a corrente na espira sempre produzirá um campo
oposto ao campo oposto a variação de fluxo magnético!
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Indução de Faraday
O sentido da corrente induzida em uma espira gera um campo que é oposto
ao sentido da variação do campo magnético aplicado.
O módulo da força eletromotriz E induzida em uma espira condutora é igual à
taxa de variação com o tempo do fluxo magnético ФB que atravessa a espira.
 
 B   B  dA   B cos dA
Fluxo magnético através da área A
Unidade de medida no SI:
1 Weber = 1 Wb = 1 T/m2
d B
E 
dt
Lei de Faraday
 B  BA
Caso de espira plana, campo
uniforme e perpendicular ao plano da
espira
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Indução de Faraday
 Para uma bobina, onde as espiras estão muito próximas, ou seja um
enrolamento compacto onde fluxo magnético que atravessa todas as N espiras, a
força eletromotriz total induzida é dada por:
E  N
d B
dt
Lei de Faraday
 
 B   B  dA   B cos dA
Formas de mudar o fluxo magnético em uma bobina:
 mudar o módulo do campo magnético B.
 Mudar a área total da bobina ou a parte da área atravessada pelo campo
magnético, mudando as dimensões da bobina.
 Mudar o ângulo entre a direção do campo magnético e o plano da bobina
(girando a bobina por exemplo).
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Indução de Faraday
Exemplo 30-1) pg. 267
O solenóide longo S representado em corte na figura 30-3 possui 220 espiras/cm, tem
um diâmetro D = 3,2 cm e conduz uma corrente i = 1,5 A. No centro do solenóide é
colocada uma bobina C, de enrolamento compacto, com 130 espiras e diâmetro d = 2,1
cm. A corrente no solenóide é reduzida a uma taxa constante em 25 ms. Qual o valor
absoluto da força eletromotriz na bobina C, enquanto a corrente no solenóide está
variando?
 Calcular o campo dentro do solenóide:
B  0 ni  4 107 (220 *100)1,5
B  41,47mT
 Calcular o fluxo magnético na bobina:
2
 d 2 
3  0,021
  41,47 10
 B  BA  B
 1,436 105Wb
4
 4 
 B f   Bi
d B
 B
0  1,436 105
E  N
 N
 N
 130
 75mV
3
dt
t
t f  ti
25 10  0
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Lenz
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo
magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que induz a
corrente.
 A aproximação do pólo norte do imã aumenta o
fluxo magnético que atravessa a espira, portanto
induz uma corrente na espira. A corrente induzida na
espira tem sentido anti-horário, produzindo um
campo que se opõe ao campo do imã.
 Esse princípio também pode ser usado para
explicar o funcionamento dos captadores das
guitarras.
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Lenz
Exemplo 30-2) pg. 269.
A figura abaixo mostra uma bobina formada por uma semicircunferência de raio R e três
fios retilíneos. A semicircunferência esta em uma região onde existe um campo de
módulo dados por B = 4t2 + 2t + 3. Uma fonte com força eletromotriz E = 2 V é ligada à
espira que possui resistência de 2 . a) Determinar o módulo e o sentido da força
eletromotriz induzida na espira no instante t = 10 s. b) Qual é a corrente na bobina no
instante t = 10 s?
 a) Da Lei de Faraday:
d B
dB
R 2
E 
 A

(8t  2)
dt
dt
2
E   5,152 V horário
 b) A corrente na bobina:
Etot Eind Efon
i

 1,58 A
R
R
Cap. 30: Indução e Indutância
A Lei de Lenz
Exemplo 30-3) pg. 270.
A figura abaixo mostra uma espira retangular imersa em um campo magnético variável
de módulo B = 4t2x2, dirigido para dentro do papel. A espira tem largura W = 3 m e altura
H = 2 m. Determinar o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na epira no
instante t = 0,1 s.
 O fluxo na espira:
w
 B   BdA   4t 2 x 2 Hdx 
0
2 3
4t x H
3
w
0
4t 2 w3 H
B 
 72t 2
3
 A força eletromotriz:
d B
E 
 2(72)t  14,4V
dt
Cap. 30: Indução e Indutância
Indução e Transferência de Energia
 Para puxar a espira da figura ao lado é necessário
aplicar uma força F constante. A potência pode ser
determinada da seguinte forma:
P
dW Fdx

 Fv
dt
dt
 Enquanto a espira está sendo puxada, o fluxo
magnético diminui, e de acordo com a Lei de Faraday
uma corrente será induzida na espira. O fluxo que
atravessa a espira é:
 B  BLx
 A corrente induzida na espira pode ser obtida por
meio da força eletromotriz.
BLdx
BLv
E  iR  i  

Rdt
R
A força será:
F1  iLBsen90  iLB
 A Potência:
P  Fv  iLBv
2

BLv 
P
R
Potência dissipada na forma
de energia térmica pelo
movimento de uma espira.
Cap. 30: Indução e Indutância
Correntes Parasitas
 Quando uma placa metálica é puxada para fora de uma região onde existe campo
magnético, correntes parasitas são induzidas na placa. As correntes parasitas são
induzidas todas as vezes que a placa entra ou sai da região de campo magnético. Toda
a energia associada às correntes parasitas é dissipada na forma de calor.
Cap. 30: Indução e Indutância
Campos Elétricos Induzidos
Um campo magnético variável produz um campo elétrico.
 Imaginamos que nas figuras abaixo o campo magnético esteja aumentando a uma
taxa constante.
Cap. 30: Indução e Indutância
A Indução de Campos Elétricos
 Considerando uma carga que executa um movimento circular. O trabalho pode ser
escrito em termos da força eletromotriz como descrito abaixo:
 
W  q0E   F  ds  q0 E 2r
E  E 2r
 Para os casos mais gerais:
 
E   E  ds
 A Lei de Fadaray pode ser reescrita como:
 
d B
E

d
s



dt
Cap. 30: Indução e Indutância
A Indução de Campos Elétricos
O potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos
por cargas estáticas; o conceito não se aplica aos campos elétricos produzidos
por indução.
 Na presença de um fluxo magnético variável, a integral de
 
 E  ds
não é zero.
 Imaginando que o campo elétrico seja constante nessa situação, levaria a conclusão
que o potencial não poderia ser constante, seria dependente da posição, pois:

E  V
 Como explicar isso sabendo que dentro de um condutor o potencial é constante? A
única conclusão possível é que o conceito de potencial elétrico não se aplica quando o
campo elétrico é obtido por meio de indução.
Cap. 30: Indução e Indutância
A Indução de Campos Elétricos
Exemplo 30-4) pg. 277.
Na figura abaixo R = 8,5 cm e dB/dt = 0,13 T/s. a) Deduza a equação para o campo
elétrico induzido e calcule o valor para r = 5,2 cm. b) Escreva a expressão para o campo e
obtenha quando r = 12,5 cm, ou seja, fora da região de campo magnético.
 Obtendo o campo elétrico na região de campo
magnético:
 
d
 E  ds  
dB
E (2r )  (r )
dt
2
B
dt
E  (r / 2)
dB
 3,4 103V / m
dt
 Obtendo o campo elétrico fora da região de campo
magnético:
 
d B
E

d
s



dt
E (2r )  (R 2 )
dB
dt
R 2 dB
E 
 3,8 103V / m
2r dt
Cap. 30: Indução e Indutância
Indutância e Indutores
 A indutância de um solenóide de N espiras, percorrido por uma corrente i que gera
um fluxo magnético ФB no seu interior é:
N B
L
i
Definição de Indutância.
 A sua unidade de medida no SI é o Henry:
1 Henry = 1 H = 1 Tm2/A
 Curiosidade: Na época de Faraday, não haviam fios isolados comerciais, e sendo
assim, ele isolava os fios com pedaços de pano para a construção dos seus indutores.
Cap. 30: Indução e Indutância
Indutância e Indutores
 Considerando um longo solenóide de N espiras (n = N/l), seção reta A, e
comprimento l, temos:
N B  nl (BA)
 O campo magnético de um solenóide é:
B  0 ni
 Da definição de indutância temos:
L
N B nlBA nl0 niA


i
i
i
L
 0 n 2 A
l
Indutância de um solenóide.
Cap. 30: Indução e Indutância
Auto-indução
Uma força eletromotriz induzida EL aparece em todo indutor cuja corrente
está variando.
 Quando fazemos variar a corrente em um indutor,
mudando os contados de um resistor variável, uma
força eletromotriz auto-induzida EL aparece no
indutor enquanto a corrente está variando.
 Analisando as equações temos:
Li  N B
d ( N B )
EL  
dt
EL   L
di
dt
Força Eletromotriz Auto-induzida
Cap. 30: Indução e Indutância
Circuitos RL
Inicialmente, um indutor se opõe a qualquer variação da corrente que o
atravessa. Após um tempo suficientemente longo, o indutor se comporta
como um fio comum.
 Depois de um logo tempo ligado, passamos a
chave para o contato b, desligando a fonte.
 Considerando o acionamento da
fonte:
di
iR  L E
dt
E
i e
R
R
 t
L
E
C2 
R
L 
 C2
L
R
Constante de Tempo
di
iR  L  0
dt
1
R
d
i


i
 L dt
E  RL t
i e
R
R
 t
E 
i  1  e L 
R

ie
R
 t
L C1
i (0) 
e
E
R
Diminuindo a corrente
Aumentando a corrente
Cap. 30: Indução e Indutância
Circuitos RL
Ligando
R
 t
E 
i  1  e L 
R

 Supondo que a fonte seja ligada. Depois de um
tempo t = L, a corrente será 63% da corrente
máxima do circuito, ou seja a corrente em t = !
L 
L
R
Constante de Tempo
Desligando
E  RL t
i e
R
 Supondo que depois de um longo período de
tempo a fonte seja desligada. Depois de um tempo
t = L, a corrente será 63% da corrente máxima do
circuito, ou seja a corrente em t = 0!
Cap. 30: Indução e Indutância
Circuito RL
Exemplo 30-5) pg. 283.
A figura ao lado mostra um circuito com três resistores
iguais de R = 9 , dois indutores iguais de L = 2 mH e
uma fonte ideal de 18 V. a) Qual a corrente i que
atravessa a chave no instante inicial? b) Depois de um
tempo muito longo qual é a corrente i que atravessa a
chave?
 Em t = 0, i = 0 nos indutores.
E  iR  0
E
i   2A
R
 Para t = , os indutores se comportarão como condutores.
E  iReq  0
E
i
 6A
Req
1
1
1
1
 

Req R1 R2 R3
Req  3
Cap. 30: Indução e Indutância
Circuito RL
Exemplo 30-6) pg. 284.
Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,37 . Se o
solenóide é ligado a uma bateria, quanto tempo leva para que a corrente atinja metade
do valor final?
R
 t
E E 
 1  e L 
2R R 

L
t   ln(1 / 2)
R
t  0,1s
Cap. 30: Indução e Indutância
Energia Magnética Armazenada em um Indutor
 Da lei das malhas temos:
di
E  iR  L  0
dt
di
2
Ei  i R  Li
dt
 Cada um dos termos representa uma potência
(W = J/s). Para o indutor temos:
dU B
di
P
 Li
dt
dt
dU B  Lidi
 A energia potencial magnética associada ao indutor é:
Li 2
UB 
2
 Em analogia com o
campo elétrico
q2
UE 
2C
Cap. 30: Indução e Indutância
Energia Magnética Armazenada em um Indutor
Exemplo 30-7) pg. 285.
Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,35 . a) Se uma
força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina, qual é a energia armazenada no campo
magnético quando a corrente atinge seu valor final? b) Após quantas constantes de
tempo a metade da energia magnética máxima estará armazenada na bobina?
 Determinar a corrente máxima, e depois a indutância.
Li 2 0,053(34,3) 2
UB 

 31J
2
2
E
i   12 / 0,35  34,3 A
R
 Determinar a corrente quando a energia for metade do seu valor máximo.
Li 2 1 Li

2
2 2
i
i
2
2
R
 t
E 
1 E
1  e L  

R 
2 R


e
t
L
1
 1
2
t  1,23 L
Cap. 30: Indução e Indutância
Densidade de Energia Magnética
 Por definição, a Densidade de Energia é:
UB
uB 
V
U B Li 2
uB 

Al 2 Al
uB 
 0 n 2i 2 A
2A

B2
uB 
20
 0 n 2i 2
2
1 2
U B  Li
2
 Para uma bobina:
L
 0 n 2 A
l
 Para uma bobina:
B  0 ni
 Em analogia com o
campo elétrico
uE 
0E2
2
Cap. 30: Indução e Indutância
Densidade de energia
Exemplo 30-8) pg. 287.
Um fio coaxial longo é formado por dois fios concêntricos de paredes finas e raios a e b.
O cilindro interno produz uma corrente i que retorna pelo cilindro externo. Calcule a
energia armazenada no campo magnético em um segmento l de cabo.
 
 B  ds  0i
B
B2r  0i
 0i
2r
 0i 2
B2
1   0i 
uB 


  2 2
20 20  2r  8 r
2
dU B
uB 
dV
U B   uB dV
 0i 2
U B   2 2 (2rldr )
8 r
a
b
U B  0i

l
4
2 b
1
a r dr
U B  0i 2

ln(b / a)
l
4
Cap. 30: Indução e Indutância
A Indutância Mutua
O
campo
magnético
B1
produzido pela corrente i1 na
bobina 1 atravessa as espiras da
bobina 2. Quando se faz variar a
corrente i1, uma força eletromotriz
é induzida na bobina 2 e o
amperímetro revela a passagem
de uma corrente nessa bobina. O
mesmo ocorre quando a bobina é
invertida.
 A indutância que a bobina 2
sente devido a presença da bobina
Analisando a força eletromotriz:
1:

di1
d 21
M 21  N 2 21



M


N
i1
2
21
2
dt
dt
M 21  M12  M
di
d 21
di2
d12
M 21 1  N 2



M


N
1
12
1
dt
dt
dt
dt
Cap. 30: Indução e Indutância
A Indutância Mutua
Exemplo 30-9) pg. 289.
A figura abaixo mostra duas bobinas circulares, compactas, coplanares, coaxiais, a
menor de raio R2 e N2 espiras e a maior com raio R1 e N1 espiras. Escreva a expressão
para a indutância Mutua M, com R1 >> R2.
 Analisando a Indutância Mutua:
M  M 12  M 21  N 2
 21
BA
 N2 1 2
i1
i1
 O campo magnético de uma espira:
B1 
0i1R12
2( R1  z 2 ) 2
2
 No centro da bobina
com N1 espiras z = 0:

 0i1 
 N1
 R2 2
2 R1 

M  N2
i1

M
0N1 N 2 R2 2
2R1
B1  N1
0i1
2R1
Cap. 30: Indução e Indutância
Lista de Exercícios:
5, 11, 25, 31, 35, 37, 43, 47, 57, 63, 71
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.
de
Física:
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.