gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2010 – REGULAR
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU
DATA: ____________
NOME: GABARITO
NOTA:
Nº: ______ TURMA: _______
TESTE DE MATEMÁTICA II – 1ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos)
1) (UERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa
pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E e F, que dividem a circunferência em seis
arcos, cada um medindo 60 graus.
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em
linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso correspondeu a ABACADAEAFA. Considerando
3  1,7 , o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi igual a:
(A) 1480
(B) 2960
(C) 3080
(D) 3120
Solução. Os triângulos assinalados são retângulos, pois um dos lados coincide com o diâmetro da
circunferência. Logo, os ângulos são inscritos e medem a metade do ângulo central de 180º. O ângulo


BAD  FAD mede 60º, pois é inscrito e determina dois arcos que


somam 120º. O ângulo CAD  EAD mede 30º, pois é inscrito e
determina um arco de 60º.
As distâncias pedidas na parte superior da circunferência são
equivalentes às da parte inferior e podem ser calculadas aplicando a
razão trigonométrica envolvendo o cosseno.
i)
cos 60º 
AB
1
 AB  400.  200m  AF  200m
400
2
ii)
cos 30º 
AC
3
 AC  400.
 200(1,7)  340m  AE  340m
400
2
Cada percurso deste foi feito duas vezes (ida e volta). Na parte superior temos: 2(200 + 340) = 1080m. O
diâmetro foi percorrido duas vezes: 2(400) = 800m. A parte inferior foi percorrida na mesma distância que a
superior: 1080m. Logo o total de metros será: (1080m) + 800m + 1080m = 2960m.
2) Paulo observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R), bem em frente ao seu prédio, segundo um
ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a distância do prédio à banca, Paulo sobe seis andares
(aproximadamente 16 metros) até o apartamento de seu amigo e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo um
ângulo de 30º com a vertical. Qual deve ser o valor da distância “d”,
aproximadamente? (Dados: 2  1,4 3  1,7 )
Solução. Considere a altura do solo ao quarto A como “x”. A altura do quarto
B em relação ao solo será (16 + x).
Aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:
d

tg
60
º

 x. 3  d

x
 3d  d  16 3

tg30º  d  3  d  3d  x. 3  16 3

16  x
3 16  x
d 
16 3
 8 3  8(1,7)  13,6m
2
1
3) (ENEM) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção
ortogonal de P sobre o eixo X, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário,
uma distância d  r sobre a circunferência. Então o ponto Q percorrerá, no eixo X, uma distância dada por:


d

r
d
d
d 
d 


c) r 1  tg 
d) r.sen 
e) r. cos 

r
r
r
r


Solução. A figura mostra que o ponto P se desloca até P’ e sua projeção Q para Q’. A distância “d” percorre
um arco de comprimento d = r.a, onde “a” é o ângulo central em radianos.
a) r 1  sen
b) r 1  cos
A distância no eixo X, pedida, é QQ '  r  x . No triângulo hachurado “x”
é o cateto adjacente ao ângulo “a” de hipotenusa “r”.
Aplicando a razão trigonométrica do cosseno, temos:
x

cos a  r  x  r. cos a
d  
 d 
 QQ '  r  x  r  r cos   r 1  cos  

r 
 r 
d  r.a  a  d

r
4) Um botânico interessado em descobrir qual o comprimento da copa de uma árvore fez as observações indicadas
na figura a partir de ponto no solo. Calcule o comprimento (H), em metros, dessa copa. Use
3  1,7
Solução. Considere a altura do solo até o início da copa da árvore como “x”. A altura total da árvore em
relação ao solo será (x + H). Aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:
x
x

tg 45º  10  1  10  x  10m  (isósceles )

tg 60º  10  H  3  10  H  H  10  10 3

10
10
 H  10(1,7)  10  17  7  7m
5) Dois homens, H1 e H2, com 2m e 1,5m de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos
de um poste de 5m de comprimento, iluminados por uma lâmpada desse poste, como mostra a figura. Determine a
distância (em metros) entre os homens. (Use
3  1,7 )
Solução. A figura original pode ser representada pela que mostra
triângulos semelhantes. A distância entre os homens é o valor de (z +
x).
i) cálculo de “x”:
5
1,5
15  4,5 10,5

 1,5 x  4,5  15  x 

7
x3 3
1,5
1,5
ii) cálculo de “y”: tg30º 
iii) cálculo de “z”:
2
3 2
6
6 3 6 3

 y

.

 2 3  2(1,7)  3,4
y
3
y
2
3
3 3
y
2
3,4
2
17  6,8 10,2
 
  6,8  2 z  17  z 

 5,1
yz 5
3,4  z 5
2
2
A distância entre os homens é de 7m + 5,1m = 12,1m.
2
6) No triângulo retângulo ABC representado na figura seguinte, tem-se que AB = 10 3 cm, AD = y e CD = x.
Nessas condições, responda:
a) Qual é o valor de y?
Solução. Aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:
tg 60º 
AB
10 3
10 3
 3
y
 10cm
y
y
3
b) Qual é o valor de x?
Solução. Aplicando novamente a razão trigonométrica da tangente, temos:
tg30º 
AB
3 10 3
30 3  10 3


 x 3  10 3  30 3  x 
 20cm
yx
3 10  x
3
7) (PUC) Na figura x  1,5rad , AC  1,5 e o comprimento do arco AB é 3. Qual a medida do arco CD?
a) 1,33
b) 4,50
c) 5,25
d) 6,50
e) 7,25
Solução. O comprimento de um arco na circunferência é calculado pelo produto do
ângulo central, em radianos, correspondente pelo raio desta circunferência. Se o arco
AB tem comprimento igual a 3 então, x.OA  3  1,5.OA  3  OA 
3
 2 . O arco
1,5
CD ainda é determinado pelo ângulo central de 1,5rad.


Logo, CD  (1,5) OA  AC  (1,5)( 2  1,5)  (1,5)(3,5)  5,25
8) O professor de artes em uma aula deu um desenho de uma moeda de R$1,00 para as crianças desenharem. Um
dos alunos desenhou e pintou uma parte mostrada na figura. Considere OA = 10cm,
OB = 8cm e o ângulo AOB = 30º. Calcule o perímetro da parte pintada. (Use п = 3).
Solução. O perímetro pedido é a soma dos comprimentos calculados:
i) (segmento AC): AC  OA  OC  OA  OB  10cm  8cm  2cm
 
  6   (10).(0,5)  5cm
ii) (arco AD): AD  OA . rad   OA .


iii) (segmento BD): mesmo comprimento de AC. Logo, BD = 2cm.
 
  6   (8).(0,5)  4cm
iv) (arco BC): BC  OB . rad   OB .


O perímetro será: 2 + 5 + 2 + 4 = 13cm.
9) (Faap–SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmo sentido, uma pista circular de 50 metros de diâmetro. A cada volta, o
primeiro percorre 2,5m a mais do que o segundo. Supondo que mantenham o mesmo ritmo, o primeiro ciclista terá percorrido
1 radiano a mais do que o segundo após quantas voltas?
Solução. Pela definição de radiano, quando o ângulo central medir 1 radiano, o comprimento do arco compreendido
por este ângulo será igual à medida do raio. O raio mede 25m, pois o diâmetro vale 50m. Como a cada volta o 1º
percorre 2,5m a mais que o segundo, ele precisará de 25m ÷ 2,5m = 10 voltas para que a diferença entre eles seja de
25m. Exatamente o comprimento de arco determinado por um ângulo central de 1 radiano.
Logo, a situação ocorrerá após 10 voltas.
3
10) (UERJ) Observe a bicicleta e tabela
trigonométrica. Os centros das rodas estão
a uma distância PQ igual a 120cm e os
raios PA e QB medem respectivamente
25cm e 52cm. De acordo com a tabela,
qual o valor do ângulo

AOP ?
Solução. A figura pode ser representada pelo esquema mostrado onde o ângulo “a” pedido está oposto aos catetos PA e
QB. Aplicando a relação trigonométrica do seno, temos:

PA 25

sena 
52
25

x
x




x  120
x
sena  QB  52

x  120 x  120
52 x  25 x  3000  52 x  25 x  3000  x 
No triângulo OPA, temos:
sena 
3000 1000

27
9

25
25
9
9

 25.

 0,225 . Logo, AOP  13º .
x 1000
1000 40
9
4