ENSINO MÉDIO 1º ANO – 2º SEMESTRE Prof. Evaldo Botelho

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ENSINO MÉDIO
1º ANO – 2º SEMESTRE
Prof. Evaldo Botelho
GAROPABA – SC
2013
Capítulo 5: Força e movimento
Tradicionalmente, no primeiro ano do Ensino Médio
de Física, tratamos do estudo da Mecânica. Como já dissemos
anteriormente, a Mecânica se preocupa sobretudo com as
idéias de movimento, forças e equilíbrio. O sub-ramo da
Mecânica que trata dos movimentos, sem se preocupar com as
suas causas é denominado Cinemática (do grego kinema, que
significa “movimento”), e a parte que estuda os movimentos e
suas causas (as forças) com base nas leis de Newton, é denominada Dinâmica (do grego dynamis, que significa “força”).
Intimamente relacionado ao estudo dos movimentos,
temos o conceito de velocidade. A noção qualitativa de velocidade está relacionada com a rapidez com que o movimento se
processa, e existe desde o tempo de Aristóteles. No entanto, até
a época de Galileu não se conhecia uma maneira de quantificar (medir) a velocidade de um objeto. A grande sacada de
Galileu foi perceber que a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelo objeto pelo tempo gasto
no percurso.

Velocidade e aceleração
Como já antecipamos acima, a velocidade é definida
matematicamente como o quociente entre a distância percorrida pelo móvel (corpo em movimento), e o intervalo de tempo
gasto no percurso, isto é:
velocidade 
distância
tempo
Isto é equivalente à fórmula:
v 
d
t
Na fórmula acima, para determinarmos o valor da velocidade
(símbolo v) do móvel, colocamos a medida da distância percorrida no lugar da letra d, e o valor do tempo gasto no lugar
da letra t.
Como já comentamos na introdução, as medidas de
velocidades misturam distâncias e tempos, e portanto suas
unidades devem combinar unidades de distância com unidades
de tempo. Por isso, a unidade de medida da velocidade no S.I. é
o metro por segundo (m/s). Outras unidades de velocidade
bastante usadas, especialmente nos automóveis, são o quilômetro por hora (km/h), e a unidade equivalente nos países de língua inglesa, a milha por hora (mi/h).
M uitas vezes, no entanto, é necessário mudar de unidades. Isso é fundamental para compararmos velocidades que
estão medidas em unidades diferentes. Na prática usa-se um
“macete” (dica) para efetuar a conversão de km/h para m/s:
basta dividir por 3,6. Para entender de onde vem isso, veja a
questão abaixo:
Qual carro está correndo mais, um que está a 25 m/s
ou outro que corre a 60 km/h?
Fazendo as contas:
1 km = 1000 metros
1 h = 3600 segundos
60 km/h 
60 km 60.000 m 60


 16,7 m/s
1h
3600 s
3,6
Um outro conceito que também está ligado à idéia de
movimento é a aceleração. De fato, uma das dificuldades dos
alunos que começam a estudar física é perceber qual é a diferença
entre o conceito de velocidade e o de aceleração. Do ponto de
vista qualitativo (sem usar fórmulas), podemos dizer que, assim
como a velocidade mede a rapidez com que o movimento se processa, a aceleração mede a rapidez com que a velocidade varia,
ou seja, um objeto está em movimento acelerado quando podemos dizer que ele se move cada vez mais rápido. Portanto, para
que você memorize mais facilmente essa diferença, lembre-se:
velocidade: rapidez com que o corpo se movimenta
aceleração: rapidez com que a velocidade muda
Do ponto de vista quantitativo, a aceleração é uma grandeza física relacionada com a variação de velocidade, da seguinte forma:
aceleração 
variação de velocidade
tempo
M atematicamente, temos:
a
Δv
t
Na fórmula acima, para determinar a aceleração (símbolo a),
devemos colocar a medida da variação de velocidade no lugar do
símbolo v, e a medida do tempo gasto no lugar da letra t.
Na Física o símbolo  não significa nada sozinho; mas
quando vem acompanhado de outra letra é usado para representar
variação. Na maioria dos problemas com aceleração temos duas
velocidades: a velocidade inicial (símbolo v1) e a velocidade final
(símbolo v2). Neste caso, a variação de velocidade  v é calculada
como sendo igual a diferença (subtração) entre essas duas velocidades, isto é:
v = v2 — v1
Note que, quando a velocidade está aumentando (o móvel
está “cada vez mais rápido”) temos v2 > v1, e consequentemente
a aceleração será positiva (v > 0  a > 0); por outro lado,
quando a velocidade está diminuindo (o móvel está “cada vez
mais lento”) temos v2 < v1, e portanto a aceleração será negativa
(v < 0  a < 0).
Unidade de aceleração: Considere o exemplo de um automóvel
que acelera de 0 a 100 km/h, no intervalo de 10 segundos. Calculando a aceleração pela fórmula acima, temos:
a
Δv 100 km/h
km/h

 10
t
10 s
s
O resultado acima indica que o carro varia a sua velocidade em
10 km/h, a cada segundo. No entanto, a notação acima não é muito conveniente porque mistura as unidades de tempo (hora e segundo). Para unificar as unidades de tempo, devemos sempre
expressar as velocidades em unidades S.I (metros por segundo),
como já mencionamos anteriormente. A unidade de aceleração no
S.I. é o quociente da unidade de velocidade (m/s) pela unidade de
tempo (s), e lê-se metro por segundo quadrado (m/s 2).
Exercícios de Fixação
1. Determine a velocidade de um trem que percorre 80 km em 30 minutos:
A) dê o resultado em km/h; B) dê o resultado em m/s
2. Um esquiador das olim píadas de inv erno, saltou a dis tância de 105 metros,
em 4 segundos. Qual era sua v elocidade (em km/h) no momento do salto?
Portanto, ao invés de transformar separadamente de quilômetros para metros e de horas para segundos, basta dividir diretamente a medida em km/h (no nosso exemplo é o 60) por 3,6 3. Em 10 segundos a velocidade de um carro aumentou de 20 km/h
para 120 km/h. Determine a aceleração do carro.
para achar o valor da velocidade em metros por segundo.
4. Um avião parte do repouso, e após 50 segundos atinge a velocidade de 180 km/h. Qual é a aceleração do avião?
LEMBRE-SE:
5 Um carro está a 90 km/h, quando o motorista pisa no freio, e o carro
km/h  m/s: dividir por 3,6;
para após 5 segundos. Determine a desaceleração (aceleração
m/s  km/h: multiplicar por 3,6.
negativa) sofrida pelo carro, durante a freada.
2
Capítulo 5: Força e movimento

3
Tipos de movimentos
Os movimentos normalmente são classificados, de acordo
com o modo como a velocidade varia, e em alguns casos especiais, de acordo com a forma da trajetória (caminho) percorrida
pelo móvel.
Quanto à velocidade, os movimentos podem ser uniformes (M RU), uniformemente variados (M RUV), onde a velocidade varia uniformemente, mas a aceleração é constante, e movimentos com velocidade e aceleração varáveis, como por exemplo,
o movimento harmônico simples (M HS), que consiste no movimento de vai-e-vem, onde os valores da velocidade e da aceleração “oscilam” (ex: movimento de um pêndulo).
Quanto à trajetória, os movimentos podem ser retilíneos
(trajetória reta) ou curvilíneos (trajetória curva). Entre os tipos
especiais de movimentos curvilíneos, destacamos o movimento
circular uniforme (M CU), caracterizado por uma trajetória circular e velocidade constante.
Na tabela abaixo, organizamos alguns tipos de movimento “puros”, conforme os critérios acima:
Tipo de
Movimento
Velocidade
Aceleração
Trajetória
MRU
constante
zero
retilínea
MRUV
variável
constante
retilínea
MCU
constante
zero
circular
MHS
variável
variável
vai-e-vem
Em outros casos, temos movimentos que são combinações de movimentos puros. Assim por exemplo, o movimento de
um projétil (trajetória parabólica) resulta da combinação de um
M RU na direção horizontal (eixo x) com um M RUV na direção
vertical (eixo y). Da mesma forma, a trajetória descrita no ar
pelas extremidades das hélices de um avião em movimento
(trajetória helicoidal) resulta da combinação de um M RU
(movimento de translação do avião) com um M CU (movimento
de rotação da hélice).
Na tabela abaixo, apresentamos algumas características
destes movimentos compostos:
Tipo
de
Movimento
Composição
do
movimento
Movimento
de projéteis MRU + MRUV
Movimento
da hélice de
um avião
MRU + MCU
Velocidade
vx = const
vy = variável
Aceleração
Trajetória
ax = 0
parabólica
ay = const.
vTRNSL.= const aTRNSL. = 0
vROT = const.
aROT = 0 helicoidal

Exercícios de Fixação
1.
Um estudante vai de sua casa até a escola em 30 min, com velocidade de 0,8 m/s. Qual é a distância entre a sua casa e a escola?
2.
Um avião supersônico desenvolve uma velocidade de 1200 km/h.
Qual a distância percorrida pelo avião, em 1 minuto de vôo?
3. Um carro anda 160 km com um velocidade de 80 km/h.
A) Qual foi o tempo gasto no percurso?
B) Qual será a distância percorrida pelo carro, em um percurso de 5
horas?
4.
Um automóvel percorre o trecho Garopaba-Florianópólis (80 km)
com velocidade de 100 km/h. Q uanto tempo ele gasta para chegar
na metade do percurso?

Movimento retilíneo uniformemente variado
Outro tipo de movimento relativamente simples, é o caso do
movimento retilíneo onde a velocidade é variável, porém varia de
maneira uniforme, isto é, a velocidade aumenta (ou diminui) sempre na mesma taxa. Em outras palavras, neste tipo de movimento a
aceleração é constante (seu valor nunca muda), como acontece
com o movimento de queda dos corpos sem resistência do ar. Este
tipo de movimento é denominado movimento retilíneo uniformemente variado (M RUV), e é caracterizado pelo fato de que a
velocidade do móvel é diretamente proporcional ao tempo, enquanto a distância percorrida é proporcional ao quadrado do
tempo gasto no percurso.
Como a velocidade varia como tempo no M RUV, então a
cada instante temos uma velocidade diferente. Para calcular a
velocidade do móvel em um dado instante, usamos a fórmula conhecida como função horária da velocidade:
v = v0 + a.t
Na fórmula acima, devemos colocar o valor da velocidade (em
metros por segundo) no lugar da letra v, o valor da velocidade
inicial do móvel no lugar do símbolo v0, o valor da aceleração no
lugar da letra a, e o tempo gasto (em segundos) no lugar da letra t.
Exemplo: Um carro acelera de 0 a 90 km/h, no intervalo de tempo de 10 segundos.
A) Qual a velocidade do carro após 5 segundos?
B)
Quanto tempo o carro leva para aumentar a velocidade de 0
a 72 km/h?
Resolução: Inicialmente precisamos calcular a aceleração do carro.
Para isso, expressamos a variação de velocidade em m/s:
v = 90 km/h = 90 : 3,6 = 25 m/s
e então, usamos a fórmula de definição da aceleração:
Δv 25

 2,5 m/s 2
t
10
A) Para determinarmos a velocidade após 5 segundos, usamos a função horária da velocidade:
v = v0 + a.t = 0 + 2,5 . 5 = 12,5 m/s
B) Neste caso, fazendo a transformação de velocidades:
v = 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s
e substituindo na função horária da velocidade, temos:
20 = 0 + 2,5 . t
20  0 = 2,5 . t
20
 t  t  8 segundos
2,5
a

Movimento retilíneo uniforme
Certamente o tipo de movimento mais simples consiste
no caso em que a velocidade é constante e a trajetória é uma reta;
este tipo de movimento é denominado movimento retilíneo uniforme (M RU), e é caracterizado pelo fato de que a distância
percorrida pelo móvel é diretamente proporcional ao tempo gasto
no percurso. Assim sendo, uma vez conhecendo a velocidade do
móvel, podemos determinar a distância percorrida ou o tempo
gasto, por simples regra de três. Alternativamente, podemos usar
a fórmula:
d = v.t
Note que antes de substituir nas fórmulas, é necessário transforNa fórmula acima, a letra d representa a distância percorrida, a mar as velocidades de km/h para m/s. Portanto, lembre-se que nas
letra v representa a velocidade do móvel, e a letra t é o tempo
fórmulas do MRUV não se pode usar velocidades em km/h!
gasto no percurso.
Capítulo 5: Força e m ovim ento
4

Calculando a distância no MRUV
Quando o movimento se processa sempre com a mesma
velocidade (M RU), a distância percorrida pelo móvel, é dada
pelo produto da velocidade pelo tempo gasto no percurso, como
já discutimos na página anterior.
No caso dos movimentos com velocidade variável e aceleração constante (M RUV), também podemos usar uma fórmula
similar:
d  vt
No entanto, na fórmula acima devemos lembrar que a velocidade que entra na fórmula é a média aritmética:
v0  v
2
onde v0 é a velocidade inicial (velocidade no instante t=0) e v é a
velocidade final (velocidade no fim do percurso), que pode ser
calculada através função da horária da velocidade.
Alternativamente, se quisermos evidenciar a dependência
da distância com o quadrado do tempo, basta substituir a expressão da função horária da velocidade no lugar de v, o que resulta
na expressão conhecida como função horária da distância:
v
d  v0  t 

a  t2
2
Estudo gráfico dos movimentos
2) MRUV com acelerações diferentes: Nesse caso, estamos
interessados em calcular a distância
total percorrida pelo móvel. Neste
tipo de gráfico, a inclinação representa a aceleração, e portanto temos
acelerações diferentes em cada trecho do percurso. No entanto, para
calcular a distância total percorrida
não é necessário conhecer as acelerações; ao invés disso, basta calcular
o valor da área sob a curva
(triângulo sombreado).

Exercícios de Fixação
1.
Um carro parte do repouso (v 0=0), e adquire no fim de 8 segundos,
a velocidade de 40 m/s. Qual a distância percorrida nesse intervalo
de tempo?
Um veículo parte do repouso, com aceleração de 2 m/s 2 . Qual a
velocidade e a distância percorrida após 5 segundos?
Um carro parte do repouso, e atinge a velocidade de 36 km/h em
5 segundos. Determine a aceleração, a velocidade e a distância
percorrida nos 5 segundos.
Durante uma de suas caçadas, a velocidade de um leão varia de
36 km/h para 90 km/ h em 5 segundos. Calcule a aceleração e a
distância percorrida no intervalo de tempo de 5 segundos.
(Unimar-SP) Um automóvel, com velocidade inicial de 10 m/s,
acelera sua marcha a uma taxa de 1,0 m/s 2. A distância percorrida
após 6 segundos é igual a:
A) 18 m; B) 42 m; C) 60 m; ) 63 m; e) 78 m;
2.
3.
4.
5.
Na maioria dos livros de Física (e nos testes de vestibular
ou do ENEM ) é muito comum aparecerem problemas de Cinemática na forma de gráficos ou tabelas, especialmente da velocidade como função do tempo. Neste tipo de gráfico, segmentos 6.
horizontais indicam M RU (a velocidade correspondente pode ser
lida no eixo vertical), segmentos inclinados representam M RUV,
e curvas propriamente ditas indicam movimento com velocidade
e aceleração variáveis. É importante observar que em qualquer 7.
um desses gráficos, o valor da distância percorrida pelo móvel é
igual à área sob a curva, para um determinado intervalo de tem8.
po.
Para entendermos melhor, vamos analisar em detalhes
dois casos particulares:
1) MRU com velocidades diferentes: No gráfico da figura ao
lado queremos descobrir a velocidade média desenvolvida no
percurso total. Para isso, inicialmente separamos o problema em dois
trechos distintos; em cada um dos
trechos o móvel se desloca em M RU
com uma velocidade diferente. Usando os dados da figura ao lado temos:
Trecho 1: Neste trecho a velocidade é
de 20 km/h, e o tempo gasto é de 3
horas. A distância percorrida neste
trecho é igual à área do retângulo da
esquerda:
d1 = base x altura = 3 . 20 = 60 km
Trecho 2: Este trecho corresponde ao retângulo da direita, cuja
“base” (tempo gasto) mede 5-3=2 segundos. A distância percorrida nesse trecho é igual a área do retângulo:
d2 = base x altura = 10 . 2 = 20 km
A distância total é igual à soma d 1+d2 = 80 km, e o tempo total
gasto pode ser lido diretamente do gráfico (t=5 horas). A velocidade média (vM ) no percurso todo é calculada como:
vM 
distância total 80 km

 16 km/h
tempo total
5h
(Fuvest-SP) Um veículo acelera, a partir do repouso, com aceleração de 2 m/s2. A velocidade após 3,0 segundos será:
A) 6 m/s; B) 3 m/s; C) 12 m/s; D) 2,0 m/s;
No problema anterior, a distância percorrida será:
A) 9 m; B) 18 m; C) 12 m; D) 36 m;
(DESAFIO) Uma partícula parte do repouso, e com aceleração
constante (MRUV) percorre 18 metros nos primeiros 3 segundos.
Aos 4 segundos sua velocidade será:
A) 16 m/s; B) 12 m/s; C) 10 m/s; D) 8 m/s; E) 6 m/s;
Com base no gráfico mostrado ao lado,
e no exemplo mostrado no texto, responda as questões abaixo:
9.
(UFES) Um automóvel percorre
metade de sua trajetória com velocidade v1=20 km/h, e a outra metade
com com velocidade v2=30 km/h.
A velocidade média (em km/h) no
percurso total é:
A) 28; B) 26; C) 24; D) 22; E) 20;
10.
(U. Católica de Salvador-BA) Um carro viaja entre duas cidades
com velocidade constante. Na viagem de ida a velocidade é v 1=60
km/h, e na volta a velocidade é v 2=90 km/h. A velocidade média
(em km/h) no percurso total é:
A) 76; B) 74; C) 72; D) 70; E) 68;
11.
Quanto mede a distância entre as duas cidades, para o caso do
problema 10?
12.
Usando a relação área = (base x altura)/2, descubra o valor da
distância total percorrida, para o problema representado pelo
gráfico (triângulo sombreado) mostrado no alto da página.
Capítulo 5: Força e m ovim ento
5

Queda livre e lançamento de projétei s
Desde a Grécia antiga até os dias de hoje, o homem se
pergunta a respeito de como se dá o movimento de queda dos
corpos perto da superfície da Terra. Uma teoria satisfatória
começou a ser construída pelo s ábio italiano Galileu Galilei
(1564-1642). Observando que a rapidez de um corpo em queda
livre aumenta conforme o corpo vai se aproximando do solo,
Galileu quis saber que lei da matemática governa esse movimento. No entanto, a queda livre dos corpos se dá com demasiada rapidez para que pudesse ser estudada sem o auxílio de
equipamentos modernos, como na época de Galileu.
Apesar disso, o sábio italiano, pai do chamado método
experimental, criou uma experiência em que se pudesse verificar se um corpo mais “pesado” caía mais rápido do que um
corpo mais “leve”, e chegou a conclusão de que, quando a
resistência do ar pouco influi: “Corpos diferentes soltos da
mesma altura, atingem o chão ao mesmo tempo”.
Nos dias de hoje, com auxílio de uma lâmpada especial, chamada “estroboscópica”, que pisca em intervalos de tempo bem definidos (30 vezes por segundo), pode-se verificar por
meio de experimentos, que os corpos em queda nas proximidades da superfície da Terra, aumentam sua velocidade em aproximadamente 10 m/s, a cada segundo, ou seja, são acelerados
numa taxa de aproximadamente 10 m/s2, devido ao efeito da
força da gravidade que a Terra exerce sobre eles. Esta aceleração é denominada aceleração da gravidade (símbolo g), e seu
valor obtido experimentalmente é g=9,8 m/s2.
O movimento de um corpo largado de uma certa altura
é denominado queda livre, quando desprezamos os efeitos da
resistência do ar. Este tipo de movimento constitui um caso
especial de M RUV, onde o movimento se processa na direção
vertical, com aceleração a=10 m/s2. Nesse caso, como o corpo
é largado em repouso, consideramos que a velocidade inicial é
nula (v0=0), e a posição do corpo em cada instante corresponde
a altura do corpo em relação ao solo (símbolo h, do inglês height, que significa “altura”).
Um outro movimento que se passa na direção vertical é
o caso em que um corpo é disparado verticalmente para cima ,
o que chamamos de lançamento vertical. Nesse caso, é conveniente separar o processo completo (subida+descida) em
duas etapas, como mostra o esquema abaixo:
MRUV para o movimento vertical
Na subida:
velocidade inic ial = velocidade de lançamento
velocidade final: nula (velocidade no ponto de altura máx im a)
aceleração: negativa (a= −10 m/s2 )
Na descida:
velocidade inic ial : nula (repouso)
velocidade final: velocidade de lançamento
aceleração: positiva (a = 10 m/s2 )
Em ambos os casos, seja queda livre ou lançamento
vertical, podemos calcular a velocidade do corpo em qualquer
instante usando a função horária da velocidade no M RUV:
v = v0 + a.t
Por outro lado, combinando a função horária da velocidade (equação acima) com a função horária da distância (ou
posição) citada na coluna da esquerda da página anterior (e
trocando a letra d de distância, pelo símbolo h da altura), obtém-se a expressão conhecida como equação de Torricelli:
v2 = v02 + 2.a.h
Como não estamos levando em conta a resistência do
ar, para qualquer que seja altura, valem as relações:
tempo de subida = tempo de descida
velocidade na subida = velocidade na descida
Exemplos
1. Uma pedra cai de um certa altura, e leva 2 segundos para
atingir o solo. Calcule a velocidade com que a pedra atinge o solo, e a altura de onde ela caiu.
Resolução: Para achar a velocidade basta substituir t=2 segundos,
v 0=0 e a=10 m/s2 na função horária da velocidade:
v = v0 + a. t = 0 + 10 . 2 = 20 m/s
Para determinar a altura de queda, usamos o resultado acima na equação de Torricelli ( v2=v02 + 2.a.h):
20 2= 0 2+2.10.hh=
400
= 20 m
20
2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 30 m/s. Calcule a altura máxima atingida pela
pedra, e o tempo gasto na subida.
Resolução: No ponto de altura máxima a velocidade é zero (v=0).
Assim, substituindo v=0, v0=30 m/s, e a=−10 m/s, na equação de
Torricelli, obtemos a altura máxima:
900
= 30 m
30
Além disso, usando esses valores na função horária da velocidade
( v=v0+a.t), achamos o tempo de subida:
2
2
0 = 30 − 2.10.hh=
0= 30− 10.t t=

30
= 3s
10
Exercícios de fixação
1.
Um corpo é abandonado de uma altura de 78,4 metros em relação
ao solo. Desprezando a resistência do ar, calcule:
A) o tempo de queda do corpo;
B) a velocidade no instante em que o corpo atinge o solo.
2.
Uma pedra cai de uma certa altura, e atinge o solo em 3 segundos. Determine a velocidade com que a pedra atinge o solo, e a
altura de onde ela caiu.
3.
Uma gota de chuva cai de uma altura de 245 metros. Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade com que a gota
chega ao solo, e o tempo que ela leva para cair.
4.
Suponha que a maior velocidade com que um gato pode atingir o
solo, sem se machucar, seja de 8 m/s. Qual deve ser altura máxima de onde o gato pode saltar, sem se machucar?
5.
Um projétil é lançado verticalm ente para cima, com velocidade de 20 m/s.
Determine a altura máxim a que o projétil atinge; o tempo que ele gasta na
subida, e o tempo total para subir e descer.
6.
(Supra-SC) Um caçador dispara um projétil de seu revólver calibre
38, verticalmente para cima, atingindo a altura de 4500 metros
acima do ponto de disparo. Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade com que a bala saiu do cano do revólver. Quanto vale essa velocidade em km/h?
7.
(DESAFIO) Considerando a velocidade do som igual a 320 m/s,
deixa-se cair uma pedra em um poço, ouvindo-se o som do choque
contra o fundo 4, 25 segundos após ter-se soltado a pedra. Qual é
a profundidade do poço?
A) 40 m; b) 80 m; c) 120 m; d) 160 m; d) n.d.a
Dica: O tempo total é igual ao tempo de queda da pedra (tQUEDA)
mais o tempo que o som leva para alcançar o ouvido do observador (tSUBIDA). Você pode resolver por tentativas (chutando valores
para o tempo de queda da pedra: 1, 2, 3, ... segundos), fazendo
tSUBIDA = 4,25—tQUEDA,
e testando até que se verifique a igualdade:
distânci a percorrida pelo som = altura de queda da pedra
(M RU)
(M RUV)
Capítulo 5: Força e m ovim ento
6
 Estudo gráfico do MRUV
Em muitos casos, especialmente quando a velocidade varia, as situações de movimento são descritas através de gráficos:
posição x tempo ou velocidade x tempo. Em particular, para o
caso do M RUV na vertical (queda livre ou lançamentos), o uso
de gráficos pode ser bastante útil.
1.
Gráfico posição x tempo
Em um gráfico posição x tempo do M RUV, os valores da
velocidade inicial e da aceleração podem ser obtidos a partir
das coordenadas do vértice da parábola que representa a função horária da
posição. Na figura ao lado,
as coordenadas do vértice
são representadas pelo par
ordenado (X,Y), enquanto
Y0 representa o ponto em
que a parábola corta o eixo
vertical. Os valores da
aceleração e da velocidade
inicial são dados pelas
relações:
v 0= 2
(Y − Y 0 )
X
a= − 2
(Y − Y 0)
X
2
Resolução: Do gráfico obtemos que as coordenadas do vértice da
parábola, e o ponto em que a curva parábola toca o eixo vertical:
X = 5; Y = 50; Y0 = 0;
A) A aceleração da gravidade do planeta é igual ao valor da aceleração do corpo (sem o sinal de menos):
a= − 2
(Y − Y 0)
X2
=− 2
(50− 0)
= − 4 m/ s2
52
B) A velocidade com que o corpo foi lançado para cima é igual à velocidade inicial (v0 ):
v 0= 2
(Y − Y 0 )
(50− 0)
=2
= 20 m/ s
X
5
C) O tempo que o corpo gasta até atingir a altura máxima (tempo de
subida) pode ser lido diretamente do gráfico. Temos:
tSUBIDA = X = 5 segundos
D) Do gráfico vemos que no instante t=7 segundos, o corpo passa pela
posição de 42 metros, isto é, o corpo está a uma altura de 42 metros
acima do solo.
E) O tempo que o corpo leva para voltar ao solo (subida+descida) é
igual ao dobro do tempo de subida:
t SUBIDA+DESCIDA = 2×t SUBIDA = 10 segundos
2. Um objeto lançado para cima na superfície de um certo
astro, tem seu movimento descrito pelo gráfico
velocidade x tempo, mostrado na figura abaixo:
A) Qual é a velocidade com
2. Gráfico velocidade x tempo
que o objeto foi lançado?
Se ao invés do gráfico posição x tempo, tivermos um gráfi- B) Determine a aceleração
co velocidade x tempo, podemos obter a velocidade inicial e a
da gravidade do astro.
coordenada X (abscissa) do vértice diretamente do gráfico. C) Quanto tempo o objeto
Nesse caso, a velocidade inicial é o ponto em que o gráfico
gasta até atingir a altura
“toca’ o eixo vertical, enquanto a coordenada X do vértice é
máxima?
o ponto em que o gráfico “toca” o eixo horizontal. Conhecen- D) Determine altura máxido esses valores, podemos determinar a aceleração:
ma que objeto pode
alcançar.
v
E) Quanto tempo objeto
a= − 0
X
gasta até voltar ao chão?
Em particular, em problemas de lançamento de projéteis a
partir do solo, a parábola toca o eixo vertical no ponto zero
(Y0=0). Nesse caso, a coordenada Y do vértice indica a altura Resolução: Nesse caso, podemos obter a velocidade inicial e a coormáxima atingida pelo corpo, e a coordenada X do vértice re- denada X (abscissa) do vértice diretamente do gráfico.
presenta o tempo de subida (isto é, o tempo que o corpo gasta A) A velocidade com que o objeto foi lançado para cima é igual à veloaté atingir a altura máxima). Temos então as relações:
cidade inicial, cujo valor é igual ao ponto em que o gráfico “toca” o
eixo vertical, isto é:
v X
t SUBIDA= X
h MAX = Y = 0
v 0 = 9 m/s;
2
B) A aceleração da gravidade do planeta é igual ao valor da aceleração do corpo (sem o sinal de menos):
Exemplos
v 9
1. Um corpo lançado para cima em um certo planeta, tem
a= 0 = = 3 m/ s 2
X 3
seu movimento é descrito pelo gráfico da figura abaixo:
A) Qual é a aceleração da
C) O tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima (tempo de
gravidade do planeta?
subida) é igual ao valor da coordenada X do vértice:
B) Com que velocidade o
tSUBIDA = X = 3 segundos
corpo foi lançado para
cima?
D) A altura máxima que o objeto pode alcançar é igual ao valor da
C) Quanto tempo o corpo
coordenada Y do vértice, a qual pode ser obtida pela relação:
gastou até alcançar a
v X 9× 3
altura máxima?
h MAX = 0 =
= 13,5 m
D) Qual
a
posição
2
2
(altura) do corpo, no
instante t=7 segundos?
E) O tempo que o corpo leva para voltar ao solo (subida+ descida) é
E) Quanto tempo o corpo
igual ao dobro do tempo de subida:
gasta para voltar ao
solo?
t SUBIDA+DESCIDA = 2×t SUBIDA = 6 segundos
Capítulo 5: Força e movimento

7
Forças: as causas do movimento
Os movimentos e suas causas foram, sem duvida
nenhuma, os primeiros fenômenos de nosso mundo fís ico a
serem investigados pelo homem, e as primeiras indagações
remontam às antigas civilizações da Asia M enor.
No século IV a.C., na Grécia Antiga, Aristóteles desenvolveu uma visão cosmológica em que relacionava idéias
hoje discutidas separadamente em diversas áreas do conhecimento, como ciência, política, ética, poesia e teologia. Suas
idéias mostraram-se de grande valia em muitas áreas, mas suas
teorias físicas tinham limitações. Além disso, ele não usava a
M atemática para descrever os fenômenos naturais, entre os
quais os movimentos. M esmo assim, a concepção de Aristóteles permaneceu aceita por cerca de 2000 anos, até a época do
Renascimento.
O Renascimento trouxe consigo uma nova arte, uma
nova música e novas idéias acerca do universo e do papel do
ser humano dentro dele. A curiosidade e as atitudes questionadoras tornaram-se aceitáveis e até mesmo valorizadas. Foi
então que alguns pensadores como Galileu Galilei e Isaac
Newton, começaram a reconhecer o uso da M atemática para
analisar e descrever os fenômenos naturais.
O sábio italiano Galileu Galilei (1564-1642) mostrou
como descrever o movimento de objetos ordinários, como uma
bola rolando por uma rampa. Seu modo de pensar, o uso que
fez da M atemática, e a confiança depositada nos resultados
obtidos experimentalmente lançaram as bases da ciência moderna.
Inspirado nas idéias de Galileu, o inglês Isaac Newton
(1642-1727), conseguiu elaborar leis que permitem lidar com
toda a variedade de situações envolvendo forças e movimentos, descrevendo as causas dos movimentos como interações
(forças) que agem entre os objetos. Cada interação representa
uma força diferente, que depende das diferentes condições em
que os objetos interagem. M as obedecem aos mesmos princípios elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos como
Leis de Newton.
Hoje sabemos que as causas dos movimentos estão
diretamente ligadas a um conceito essencial na Física, o conceito de força. Temos intuitivamente a idéia do que é força
toda vez que puxamos ou empurramos um objeto. Além disso, a aplicação de uma força pode movimentar uma objeto
parado (em repouso), assim como pode parar um objeto em
movimento.
As forças surgem da interação entre os objetos, e as
formas pelas quais os objetos interagem uns com os outros são
muito variadas. A interação entre uma raquete e uma bolinha
de pingue-pongue, por exemplo, é diferente da interação entre
uma lixa e uma parede, ou entre um imã e um alfinete. De
modo geral, quando ocorre contato entre os objetos, as forças
envolvidas são chamadas de forças de contato. Por outro
lado, como no caso do exemplo imã-alfinete, a interação
(atração) ocorre à distância, sem necessidade de haver contato
físico entre os dois corpos, e neste caso, as forças são denominadas de forças de campo.
As forças de contato aparecem em situações como
batidas, pancadas, espetadas, ou simplesmente quando um
corpo se apóia sobre o outro (forças de reação normal), em
arranhões, esfregadas, deslizamentos (forças de atrito) ou
quando um objeto se movimenta dentro de um líquido ou gás
(forças de resistência). Na tabela da coluna ao lado, esquematizamos a classificação dos diversos tipos de forças.
Importante: Do ponto de vista microscópico, todas as forças
de contato são descritas em ter mos de forças de campo.
Geralmente elas são o resultado da interação eletromagnética
(à distância) entre os átomos e moléculas das super fícies
que estão em contato macroscópico .

forçasde reaçãonorm al


forçasde contatoforçasde atrito
forçasde resistência


Forças
gravitacional (atraçãoentreastros)

forçasde cam poeletrom agnética (ligaçõesquím icas)

nuclear(ligaçãopróton- nêutron)



As forças que atuam à distância são produzidas devido a ação de
um coisa chamada campo. No estudo
da M ecânica, vamos nos preocupar
somente com os efeitos do campo
gravitacional sobre os objetos. O campo gravitacional (ou simplesmente
gravidade), aparece ao redor dos
corpos, devido à sua massa, mas seu
efeito só pode ser percebido se o corpo
possuir uma massa imensa, como a Terra, o Sol, a Lua, ou um
outro astro qualquer. Quando um objeto qualquer está mergulhado em um campo gravitacional , sofre a ação de uma força denominada força peso, como vamos discutir mais adiante.

Força elástica
Em situações nas quais os objetos podem ser considerados elásticos, como é o caso de uma mola ou de um elástico
propriamente dito, é possível determinar o valor da força de uma
forma bastante simples. Imagine, por exemplo, um menino puxando o elástico de um estilingue. Quanto mais o garoto puxa a
borracha, maior é a força que ele tem de fazer parar mantê-la
esticada. Esse fato revela uma importante relação entre a força
aplicada e deformação do elástico. Na medida
em que o elástico é puxado, seu comprimento
aumenta, e a força por ele também aumenta. De
fato, verifica-se que:
Obs: a força elástica atua sempre no sentido
contrário ao da deformação (alongamento)!
As conclusões acima podem ser expressas em termos matemáticos, através da fórmula:
F = -k.x
Na fórmula acima, a letra F representa a força
elástica, a letra x representa o quanto a mola
(ou elástico) foi deformada, e a letra k representa uma constante de proporcionalidade denominada constante elástica da mola, a qual
depende do material que é feita a mola (ou
elástico); o sinal menos (-) indica que a força
atua no sentido contrário à deformação.
Balança de peixeiro
O instrumento usado para medir forças é denominado dinamômetro, conhecido popularmente como
“balança de peixeiro” (figura ao lado).
O dinamômetro consta basicamente de uma mola
previamente calibrada, que, submetida à aplicação
de uma força (geralmente o peso de um objeto
pendurado), sofre uma deformação. Conhecendose a deformação sofrida pela mola, pode se obter a
intensidade da força aplicada.
Quando é usado como balança, o dinamômetro
possui um escala graduada em gramas, quilogramas ou outra unidade de massa.
Na figura acima,
o deslocamento
para baixo é
proporcional ao
peso. Portanto,
podemos usar
esse deslocamento como uma
medida da forçapeso, e também
de outras forças.
Capítulo 5: Força e m ovim ento
8

1a Lei de Newton: Princípio da Inércia
“Quando é difícil parar”
Até a época de Galileu, acreditava-se como Aristóteles, que uma força era necessária para manter um objeto em
movimento, ao longo de um plano horizontal. Galileu realizou
várias experiências para analisar o movimento dos corpos, e
concluiu que, se um corpo estiver em repouso, é necessária a
ação de uma força para colocá-lo em movimento; por outro
lado, uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das
forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente em
linha reta, com velocidade constante. Baseado nessas conclusões, Newton enunciou a sua 1a Lei, conhecida como Princípio da Inércia.
O Princípio da Inércia, está presente em muitas situações do cotidiano, como por exemplo, quando as pessoas viajam na carroceria de um caminhão. Se o caminhão, que
estava parado, sair em disparada: todos serão jogados para
trás, como na figura ao lado.
Também os cavaleiros,
ao saltar obstáculos com seu
cavalo, podem encontrar dificuldades, quando o cavalo vem
em disparada e refuga na hora
do salto: o cavaleiro vai para o
outro lado, mas sem o cavalo.
As constatações acima
constituem a essência da 1a
Lei de Newton ou Princípio
da Inércia, que pode ser Corpo livre da ação de forças
significa que ou nenhuma
enunciada assim:
força age sobre ele, ou agem
várias forças que se anulam
mutuamente.

Aplicações do princípio da inércia
1. Equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico: Conforme a
descrição no balão explicativo acima, a expressão “um corpo
livre da ação de forças” equivale a dizer que a resultante da
soma das forças que atuam sobre ele é nula. Nesse caso, de
acordo com a 1a Lei de Newton, o corpo estará em repouso ou
em movimento retilíneo uniforme, e quando isto ocorre dizemos que o corpo está em equilíbrio.
A)
B)
Há dois tipos básicos de equilíbrio:
Equilíbrio estático: Quando a velocidade é constantemente nula com o passar do tempo, ou seja, o corpo
esta em REPOUSO.
Equilíbrio dinâmico: Quando a velocidade é constante e não-nula, com o passar do tempo, ou seja, o
corpo está em movimento retilíneo uniforme (M RU).
2) O conceito de inércia e os referenciais: O conceito físico
de inércia está ligado à propriedade geral da matéria, de resistir a
qualquer variação em sua velocidade; um corpo em repouso tende, por inércia, a continuar em repouso; um corpo em movimento
tende, por inércia, a continuar em movimento retilíneo uniforme.
Assim, como descrito nos exemplos da coluna anterior,
quando o carro parte, os passageiros, por inércia sentem-se atirados para trás (em relação ao carro); quando o cavalo pára diante
de um obstáculo, por inércia, o cavaleiro é atirado para a frente.
Em ambos os casos, isto ocorre porque o corpo tende a manter o
seu estado de movimento.
Observe que o estado de movimento (repouso, M RU,
movimento acelerado, etc.) depende da escolha de um referencial, isto é, de um ponto de referência, em relação ao qual o movimento é observado. Os referenciais em relação aos quais, vale o
Princípio da Inércia (1a Lei de Newton), são denominados referenciais inerciais. Em relação a um referencial inercial, um corpo livre da ação de forças está em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme. Nestes referenciais, para variar a velocidade
do corpo, é necessário a ação de uma ou mais forças sobre ele.
Por outro lado, os referenciais acelerados em relação à
Terra não são inerciais. A própria Terra, em virtude de seu movimento de rotação, não é um referencial inercial. Entretanto, nos
problemas comuns dos movimentos dos corpos na superfície da
Terra, podemos desprezar os efeitos da rotação da Terra, e considerá-la como um referencial inercial.
Galileu versus Aristóteles
As relações entre forças e movimentos tem sido objeto de
estudo desde a Antiguidade. O filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.),
por exemplo, acreditava que um corpo só poderia permanecer em movimento se existisse uma força atuando sobre ele:
“Se um corpo estivesse em repouso, e uma força agisse sobre o ele,
então o corpo se poria em movimento; mas cessando a ação da
força, o corpo voltaria ao repouso”.
As afirmações da Aristóteles podem parecer corretas à primeira
vista, pois, em nossa experiência diária, vemos que os objetos, de um
modo geral, só se encontram em movimento quando estão sendo puxados ou empurrados. Um liv ro empurrado sobe uma mesa, de fato, pára
imediatamente quando se deixa de empurrá-lo.
Durante toda a Idade Média, as idéias de Aristóteles foram
acatadas sem que se tenha feito uma análise mais cuidadosa em torno
delas. As críticas às teorias aristotélicas, como dissemos na introdução
deste capítulo, só surgiram com Galileu, no século XVII.
Introduzindo o método experimental para o estudo dos fenômenos físicos, Galileu realizou uma série de experiências que o levaram a
conclusões diferentes daquelas de Aristóteles.
Estudando uma esfera em repouso sobre uma superfície horizontal, Galileu observou que, empurrando-a com uma certa força, ela
entrava em movimento. Entretanto, a esfera continuava a se mover,
percorrendo uma certa distância, mesmo depois que ele deixava de
empurrá-la. Assim, Galileu verificou que um corpo podia estar em movimento sem a ação de uma força que o empurrasse.
Repetindo a experiência, usando uma superfície horizontal
mais lisa, ele observou que o corpo percorria uma distância maior após
cessar a ação da força. Baseando-se em uma série de experiências
semelhantes, Galileu concluiu que o corpo parava, após cessado o
empurrão, em virtude da ação do atrito entre a superfície e o corpo, cujo
efeito seria sempre o de retardar o seu movimento. Assim, se fosse
possível eliminar totalmente a ação do atrito, o corpo continuaria a se
mover indefinidamente, sem nenhum retardamento, isto é, em movimento retilíneo uniforme (MRU). Generalizando suas conclusões, Galileu
chegou ao seguinte resultado:
“Se um corpo estiver em repouso, é necessário a ação de uma força
para coloca-lo em movimento; uma vez iniciado o movimento,
cessando a ação das forças que agem sobre o corpo, ele continuará
a se mover indefinidamente com velocidade constante”.
Capítulo 5: Força e movimento
9

3a Lei de Newton: ação e reação

“Quem com ferro fere, com ferro será ferido”. Esse 1.
agressivo ditado popular é muitas vezes traduzido pelo enunci- A)
ado da lei que provavelmente é a mais conhecida da Física: a
lei da ação e reação.
Numa interação entre objetos, as forças de ação e reação atuam ao mesmo tempo, mas uma em cada corpo, possuindo mesma intensidade e direção, mas sentidos contrários. O
fato da força de ação agir em um objeto e a força de reação em B)
outro, é a idéia básica da 3a Lei de Newton:
Um exemplo bastante comum é a batida entre dois
veículos: neste tipo de incidente, ambas as partes levam prejuízo, mesmo que um deles esteja parado, pois os dois carros
exercem forças um sobre o outro, e consequentemente se amassam. Da mesma forma, quando chutamos uma bola, a
força exercida pelo pé impulsiona a bola para frente, enquanto
a bola também age no pé, aplicando-lhe uma força no sentido
oposto. Se não fosse assim, poderíamos chutar até uma bola de
ferro sem sentir dor.
No desenho ao lado,
esquematizamos as forças de
ação e reação, quando um homem empurra uma cadeira de
rodas, com um outro sentado
nela. Observe que as forças de
ação e reação não se anulam,
porque são aplicadas em corpos diferentes.
Uma propriedade fundamental que emerge da lei da
ação e reação, é que as forças
na natureza sempre aparecem
aos pares, para cada ação sempre existe uma reação, de intensidade igual e sentido oposto.
Exemplos de aplicações
1. Movimento de um barco: A hélice do barco ao girar, empurra a
água para trás (ação). Como resultado, o barco é empurrado para a
frente devido a força de reação da água sobre ele.
2. Movimento de foguetes fora da atmosfera: Os foguetes são
acelerados pelo seguinte processo: um jato gasoso, resultante da
queima do combustível, é expelido para trás. Pela lei da ação e
reação, o foguete é acelerado para a frente devido à força de reação dos gases sobre ele. Note que a atmosfera não participa do
processo de ação e reação, o que permite que o foguete seja acelerado, mesmo na sua ausência (vácuo).
3. Movimento de caminhar: Quando caminhamos, o pé empurra o
solo para trás (ação), e o solo exerce no pé uma força de reação pra
a frente. Essas forças trocadas pelo pé e pelo chão são forças de
atrito. Se não houvesse atrito, isto é, se as superfícies fossem perfeitamente lisas, não conseguiríamos andar.
4. Rodas de tração motora: Nas rodas de um carro, ligadas ao
motor (rodas de tração motora), um sistema de engrenagens transmite às rodas um movimento de rotação. Ao acelerarmos o carro, as
rodas de tração empurram o solo para trás (ação), e o solo reage,
exercendo nas rodas forças de reação para frente.
Com base no Princípio da Inércia, explique:
Por que os passageiros são empurrados para a frente, quando o ônibus dá uma freada
brusca?
Por que os passageiros são empurrados para trás,
quando o ônibus
dá uma arrancada?
2.
Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis?
3.
A força resultante sobre um corpo é nula. O que podemos dizer a
respeito da velocidade do corpo?
4.
Um pára-quedista desce verticalmente, próximo à superfície da
Terra, com velocidade constante. Qual é a resultante da das forças
que atuam sobre o conjunto homem+pára-quedas?
5.
Quando um avião em vôo horizontal abandona uma bomba, por
que ela não cai verticalmente?
6.
Os satélites giram em torno da Terra por causa da força de atração que a Terra exerce sobre eles, mantendo-os em órbita. O que
aconteceria com os satélites, caso desaparecesse esta força?
7.
Um menino está parado sobre um banco. Como já sabemos, a
Terra exerce sobre ele uma força, devido à gravidade. Conforme a
3a Lei de Newton, a reação dessa força será aplicada sobre:
A) O banco; B) A gravidade; C) O menino; D) A Terra;
8.
A)
Verifique se são verdadeiras, as seguintes afirmações:
Se a cada ação corresponde uma reação igual e oposta, então
elas se anulam e o movimento é impossível.
Uma força nunca pode aparecer sozinha; para cada força (ação)
necessariamente vai existir uma reação, igual e oposta, mas aplica em um corpo diferente.
B)
9.

Questões
Um automóvel colide com um grande caminhão carregado. Você
acha que a força exercida pelo automóvel sobre o caminhão é
maior, igual ou menor que a força exercida pelo caminhão sobre o
automóvel?
A força das curvas
Uma situação que você certamente já experimentou é o fato
de ser empurrado “para fora”, quando está dentro de um automóvel ou ônibus que faz uma curva. Os motoristas de carros e motos, geralmente dizem que “a curva puxa você para fora”. Na
verdade trata-se de um efeito de inércia. Lembre-se que, de acordo com o Princípio da Inércia, um corpo em movimento, tende a
permanecer em movimento retilíneo uniforme (MRU), ou seja,
movimento com velocidade constante e em linha reta. Este
efeito de inércia faz aparecer uma força “fictícia” denominada
força centrífuga, que tende a “jogar” você e o veículo para fora
da curva.
Por isso, quando você estiver dirigindo um veículo (carro,
moto, bicicleta, etc.) deve sempre lembrar que nas curvas as
coisas não acontecem do mesmo jeito que nas retas, e o procedimento mais seguro para evitar deslizamentos, derrapagens ou
capotagens, é reduzir a velocidade (antes de entrar na curva)!
Capítulo 5: Força e movimento
10

2a Lei de Newton
Que carro acelera mais?
A tabela abaixo mostra o desempenho de “modernos veículos nacionais”. Você e capaz de dizer por que uns aceleram
mais rápido do que os outros?
Exemplo: Um bloco de massa m=2 kg, é puxado sobre uma
mesa horizontal, por uma força horizontal F, e adquire movimento retilíneo com aceleração de 6 m/s2. Considerando que o
bloco se desloca sobre uma superfície sem atrito:
A) Qual é a intensidade da força F que puxa o bloco?
B) Qual deveria ser a massa do bloco, para que a força F
produza uma aceleração de 5 m/s2?
Resolução: Para resolver o problema devemos aplicar a Lei Fundamental da Dinâmica, ao movimento do bloco.
A) Como a única força que atua na direção do movimento é a força
horizontal F, temos:
F = m•a = (2 kg)•(6 m/s2) = 12 kg•m/s2 = 12 N
B) Nesse caso temos:
F = m•a  12 = m•5  m = 12÷5 = 2,4 kg

Você pode observar pela tabela acima, que alguns
modelos atingem mais rapidamente a velocidade de 100 km/h.
Se compararmos os dois primeiros carros, veremos que seus
motores são diferentes, mas que eles possuem a mesma massa.
Na verdade, a principal diferença entre eles é o motor, que é o
responsável pela força. O segundo carro possui um motor mais
potente, o que significa que ele é capaz de exercer uma força
maior. Isso explica o menor tempo para se atingir a marca dos
100 km/h.
Por outro lado, o primeiro e o terceiro carros (Trave
Plus e Paramim) tem o mesmo motor, porém seus tempos de
aceleração são diferentes. Por que será? Se você observar bem,
verá que o carro que possui maior massa é o que acelera menos (maior tempo), o que nos leva a concluir que uma massa
maior provoca uma aceleração menor. Tudo isso está de acordo como que diz a 2a Lei de Newton, também conhecida como Lei Fundamental da Dinâmica (o termo Dinâmica vem
da palavra grega dynamis, que significa “força”):
Em termos matemáticos, podemos escrever:
a
F
m

F ma
Na fórmula acima, F é força que atua sobre o corpo (expressa
em newtons), m é massa (expressa em quilogramas) e a é a
aceleração por ele sofrida (medida em m/s2). A relação acima
é válida também para o caso em que o corpo está sujeito à
ação de várias forças. Neste caso, as forças devem se somar
vetorialmente, como veremos adiante, e o símbolo F da fórmula acima representa a resultante da soma das forças.
Conversão de velocidades
As velocidades normalmente são expressas em quilômetros por
hora (km/h), como nos velocímetros de carros e motos.
No entanto, quando precisamos calcular acelerações, devemos
converter esses valores para metros por segundo (m/s).
Para converter de km/h para m/s, basta dividir por 3.6.
Massa ou peso?
Você já teve ter observado que é mais difícil empurrar
(ou parar) um caminhão do que um automóvel, porque o caminhão tem maior inércia, ou seja, a tendência do caminhão em
manter o seu estado de repouso ou movimento é maior do que a
do automóvel, que é mais leve. Esse tipo de comparação leva à
conclusão de que a inércia de um corpo depende da sua massa: o
corpo com maior massa tem mais inércia.
No entanto, o conceito de massa é comumente confundido com o termo “peso”, e por isso chamamos de “pesagem” ao
ato de medir a massa na balança. Nos livros de Física (e no vestibular) você costuma encontrar o conceito de peso, como sendo a
força que a Terra exerce sobre um corpo, devido a ação da gravidade, ou seja, o conceito físico de peso representa uma força, e
portanto, é diferente do conceito de massa. Para evitar confusão,
neste texto vamos usar a denominação força-peso, para representar essa força; quanto à palavra “peso”, continuaremos a usá-la no
sentido corriqueiro, como sinônimo de massa.
Note que massa é uma grandeza invariável, independente
do local onde é medida, enquanto a força-peso depende da gravidade. Assim, por exemplo, se levarmos um corpo para a Lua, sua
massa permanecerá a mesma, mas a força-peso se tornará cerca
de 6 vezes menor. Isso acontece porque a gravidade na Lua é 6
vezes menor do que a gravidade da Terra.
A relação entre massa e força-peso, é obtida da 2a Lei de
Newton, como:
FP  m  g
Na fórmula cima, para obtermos o valor da força-peso (FP), devemos colocar o valor da massa do corpo no lugar da letra m, e o
valor da aceleração da gravidade no lugar da letra g. A fórmula
acima expressa uma relação fácil de memorizar:
FORÇA PESO = M ASSA × GRAVIDADE
Lembre-se que a força-peso deve ser expressa em newtons, e a
massa m deve ser expressa em quilogramas.
A unidade de medida de força
A unidade de medida de força no S.I (obrigatória quando usamos a fórmula da Lei Fundamental da Dinâmica) é o newton, em homenagem ao famoso físico inglês Isaac Newton.
A medida de 1 newton corresponde à força necessária para
suspender um objeto de aproximadamente 100 gramas.
Capítulo 5: Força e movimento
11

Exercícios

1.
Determine a aceleração produzida por uma força de 18 N,
sobre um corpo de massa 3 kg.
2.
Determine a intensidade da força que produz uma aceleração
de 3 m/s2, em um corpo de massa 9,6 kg.
3.
Uma força constante de 40 N imprime a um corpo uma aceleração de 8 m/s2. Qual será a aceleração desse mesmo corpo, se
a intensidade da força for de 15 N?
As forças de atrito aparecem em situações como arranhões, raspadas, esfregadas, deslizamentos. De modo geral, o
atrito surge sempre que tentamos deslizar uma superfície sobre
outra. Quanto mais ásperas as superfícies, maior o atrito entre
elas. Para expressar esse fato, inventou-se um valor chamado
coeficiente de atrito, representado pela letra grega  (lê-se
“mi”).
Os valores da tabela abaixo mostram o quanto um material
tem de atrito no contato com outros.
4.
Em 3 segundos, a velocidade de um carro de massa 900 kg
passa de 54 km/h para 0. Supondo que a força resultante que
parou o carro seja constante:
A) Calcule a intensidade dessa força;
B) Calcule o peso do carro;
5.
Incluindo o atrito
Uma força constante aplicada durante 2 segundos em um corpo
A, produz uma variação de 6 m/s em sua velocidade. A mesma
força aplicada em outro corpo B durante 5 segundos, produz
uma variação de velocidade de 10 m/s. Qual dos dois corpos
possui maior massa?
6.
Um bloco de 5 kg é puxado sobre uma superfície horizontal, por
uma força horizontal F1, e experimenta uma aceleração de
6 m/s2.
A) Determine a intensidade da força F1, considerando que o bloco
se desloca sem atrito.
B) Qual deve ser a massa do bloco, para que a aceleração reduza
à metade (considere a mesma força do item A)?
7.
A)
B)
C)
D)
Antes de partir em viagem espacial, um astronauta mede a sua
massa, e a balança registra 100 kg. Determine a força-peso
que atua sobre o astronauta:
Na superfície da Terra, onde g=10 m/s2.
Em órbita, a 1000 km de altitude, onde g=7,5 m/s2.
Na superfície da Lua, onde g=1,7 m/s2.
O que acontece com a massa do astronauta, durante a viagem
espacial?
8.
Na Lua, onde a aceleração da gravidade é seis vezes menor
do que na Terra (g = 1,7 m/s2 ), a força-peso que atua sobre
um astronauta é 110 N.
A) Qual é a massa do astronauta?
B) Qual o valor da força-peso, medido na Terra?
9. Para você pensar:
A) Um corpo pode ter massa nula? E a força-peso? Explique.
B) Um corpo está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Qual
a menor força capaz de deslocá-lo? Explique.
Lembrete: Quando o valor da força vem expresso em quilogramaforça (kgf), é preciso transformar para a unidade SI (newton),
antes de usar na fórmula F=m.a. A relação de conversão é:
1 kgf = 9,8 N ≈10 N
Por que se usa o quilograma-força?
O uso do quilograma-força (kgf) como unidade de força
é bastante prático, exatamente pelo fato de neste caso a massa
e a força-peso são expressos pelo mesmo valor. Note que a
força de 1 kgf corresponde à força necessária para suspender
um corpo de 1 quilograma, ou seja, é aproximadamente 10 vezes maior do que a medida de 1 newton, como mostra a relação
apresentada acima.
Além disso, quanto maior o peso de um corpo sobre uma
superfície, maior a força necessária para arrastá-lo. Isto ocorre,
porque quanto mais forte o contato entre duas superfícies, maior
o atrito entre elas.
Uma maneira matemática de expressar as idéias descritas
acima, é através da fórmula:
FATRITO = •FNORMAL
onde FNORMAL representa a intensidade da força que comprime os
as superfícies em contato. Para um corpo apoiado sobre uma
superfície horizontal, a força normal é igual à força-peso do
corpo.
Quando consideramos o atrito, na aplicação das Leis de
Newton, especialmente a Lei Fundamental da M ecânica, devemos lembrar que a força de atrito se opõe ao movimento, e portanto, contribui negativamente para a soma das forças. Assim, a
resultante das forças que atuam sobre o corpo é determinada como:
F = F MOTORA - FATRITO
onde FMOTORA representa a força que produz o movimento do
objeto, e FATRITO é a força contrária que aparece devido ao atrito.
Exemplo: Um tijolo de massa 2 kg, é arrastado sobre uma
superfície horizontal de madeira, por uma força “motora” de 20
N. Determine a aceleração sofrida pelo bloco.
Resolução: Usando a tabela, a força de atrito que atua sobre o tijolo é:
FATRITO = •FNORMAL = 0,6•20 = 12 N
de modo que a resultante das forças que atuam sobre o tijolo será:
F = FMOTORA - F ATRITO = 20 - 12 = 8 N
Aplicando a 2ª Lei, resulta:
F = m•a ==> 8 = 2•a ==> a = 8÷2 = 4 m/s2
Exercícios:
1.
Um bloco de 2 kg é arrastado por uma força de 20 N, sobre uma
superfície cujo coeficiente de atrito. Qual é a aceleração do bloco?
2.
A)
B)
C)
Um bloco de 3 kg, inicialmente em repouso, é puxado por uma
força de 50 N, sobre uma superfície de borracha.
Qual o valor da força de atrito que atua sobre o bloco?
Qual a aceleração que o bloco experimenta?
Qual deveria ser o valor mínimo do coeficiente de atrito, para que
o corpo não saia do lugar (aceleração nula)?
Capítulo 3:Capítulo
Leis de Newton
6: Movimento
de rotação (voltas e giros)
Quando fazemos um levantamento dos tipos de movimentos estudados na Mecânica, vemos que grande parte deles
são rotações, i.e, movimentos onde os corpos descrevem voltas
ou giros em torno de um eixo. Eles aparecem no funcionamento
de engrenagens, rodas ou discos presentes nas máquinas, motores, veículos e muitos outros tipos de brinquedos.
Observe que quando falamos do movimento de rotação
propriamente dito, estamos tratando de um corpo (geralmente
grande) que gira em torno de si mesmo, como um pião, uma
bailarina, ou a própria Terra.
Alternativamente, podemos aplicar os conceitos básicos
do movimento de rotação, para estudar o movimento de corpos
(ou pontos) que descrevem voltas em torno de um ponto ou eixo
de rotação. Quando essas voltas constituem trajetórias circulares, o movimento é denominado movimento circular.

Entrando nos eixos
Para começarmos nosso estudo, seria interessantes tentarmos estabelecer as principais diferenças entre os movimentos
de translação (como os
movimentos estudados no
capítulo 2) e os movimentos de rotação. Se você
observar com mais atenção
cada caso, perceberá que
nas rotações os objetos
sempre giram em torno de
“alguma coisa”. A hélice de um helicóptero, por exemplo, gira
presa a uma haste metálica que sai do motor (veja figura ao lado). No centro da haste, podemos imaginar um linha reta que
constitui o eixo em torno do qual tanto a haste como as hélices
giram. Da mesma forma, podemos considerar que a pequena
hélice, localizada na cauda do helicóptero, também efetua uma
rotação em torno de um eixo. Este eixo, porém, se encontra na
direção horizontal.
No caso de um bailarina rodopiando, ou da Terra, em
seu movimento de rotação, não
existe nenhum eixo “real”, mas
podemos imaginar um eixo em
torno do qual os objetos giram.
Isso mostra que em todo movimento de rotação sempre é possível identificar um eixo, mesmo
que imaginário, em torno do
qual o objeto gira.
Em alguns objetos, como uma
bicicleta, por exemplo, temos várias
partes em rotação simultânea, e portanto, podemos imaginar diversos eixos de
rotação.
DESAFIO ! Tente encontrar ao menos 7
eixos em sua bicicleta.

Velocidade das rotações
Um exemplo clássico de objetos que descrevem movimento de rotação, são os ponteiros de um relógio. Nesse caso,
enquanto o ponteiro gira, seus pontos constituintes descrevem
voltas (circunferências) em torno do centro do relógio. Observe
que essas circunferências tem raios diferentes: os pontos mais
distantes de centro percorrem distâncias maiores que os mais
próximos. Assim, um mesmo corpo — o ponteiro do relógio —
tem velocidades diferentes em pontos diferentes. Neste caso, o
conceito de velocidade não é muito adequado para medir a rapidez com que se processa o movimento de rotação.
Por outro lado, sabemos que uma hélice de ventilador
gira mais rápido do que uma roda-gigante, e que esta por sua
vez, gira mais rápido que o ponteiro dos minutos de um relógio. Como fazemos para expressar a rapidez com que uma
coisa gira?
A maneira mais simples é determinar quantas voltas
completas o objeto dá em determinada unidade de tempo, o que
chamamos de freqüência.
Freqüência (símbolo f) é uma grandeza física que mede
o número de voltas (ou giros) por unidade de tempo.
M atematicamente a freqüência é definida como:
f 
número de voltas
intervalo de tempo
Por exemplo, o ponteiro dos segundos de um relógio, efetua
uma volta completa por minuto. Dessa forma, expressamos sua
freqüência como 1 rpm = 1 rotação por minuto. Essa é uma
unidade de freqüência bastante usada, principalmente para
expressar a rapidez de giro de motores.
A unidade de freqüência ciclos por segundo ou rotações por
segundo (rps) é a unidade de freqüência, adotada pelo Sistema
Internacional de Unidades (SI). Essa unidade recebe o nome de
hertz (símbolo Hz), em homenagem ao físico alemão Heinrich
Hertz, que estudou as propriedades de um tipo especial de movimento periódico: o movimento ondulatório, o qual também é
caracterizado por uma freqüência de oscilação, que mede o
número de ciclos (oscilações) por segundo.
Conjugado com a freqüência de rotação, define-se uma
outra grandeza chamada período. O período (símbolo T) mede
o intervalo de tempo gasto em uma volta (ou giro). O período
está relacionado com a freqüência, através da fórmula:
T
1
f
A tabela abaixo, mostra a relação entre as unidades de
período (tempo) e as unidades de freqüência. Note que cada
unidade de freqüência corresponde ao inverso de cada unidade
de período correspondente.
PERÍODO
FREQÜÊNCIA
hora (h)
ciclos por hora (cic lo/h)
minuto (min)
ciclos por minuto (rpm)
segundo (s)
ciclos por segundo (rps)
Por outro lado, como já dissemos a trajetória descrita
pelos pontos da hélice de um ventilador, ou dos ponteiros de
um relógio, são circunferências. Observe que mesmo que a
velocidade de giro seja a mesma para todos os pontos, quanto
mais afastados do centro (eixo) de rotação, maior deve ser a
velocidade com que eles se deslocam, porque estes pontos
descrevem circunferências maiores!
Observe que, para um dado ponto situado a uma distância r em relação ao centro da circunferência, a distância
percorrida por ele em uma volta, é igual ao comprimento da
circunferência (d=2r), e o tempo gasto é igual ao período de
rotação (t=T). Assim, a velocidade com que o ponto se desloca
será:
d 2π  r
v
t

T
Alternativamente, lembrando que a freqüência é o inverso do
período (f=1/T), podemos escrever:
v = 2•r•f
Assim, se conhecemos o tempo necessário para dar uma volta,
usamos a primeira fórmula, e quando temos o número de voltas
por unidade de tempo (freqüência), usamos a segunda fórmula.
12
Capítulo 6: Movimento de rotação (voltas e giros)
13

Exemplos
1.
Um disco, de raio igual a 20 cm, executa 50 voltas por
minuto (50 rpm).
Qual é o período de rotação do disco?
8. Um ciclis ta dá duas pedaladas por segundo em sua bicicleta. Se a mensaDetermine a velocidade com que se deslocam os
geira traseira é três vezes menor que a dianteira, e a roda da bic ic leta tem
raio de 30 centímetros:
pontos da periferia do disco.
A)
B)
7. Duas polias A e B, de raios 10 cm e 30 cm, respectiv amente, giram interligadas por uma correia. Se a freqüência da polia A é 120 rpm, qual deve ser a
freqüência da polia B?
Resolução:
A) Note da tabela da página anterior, que se a freqüência está em rpm, a
fórmula do inverso determina o período em minutos. Temos então:
T
60
1 1

 0,02 min  1,2 s
f 50
A) Quantos metros a bic icleta anda em um segundo?
B) Qual a dis tância percorrida pela bic icleta em um minuto?
Dicas:
1) O número de pedaladas por segundo é a freqüência de rotação da mensageira dianteira.
2) Quando você não tem os valores dos raios, pode escolher um deles como
sendo igual a 1.
B) A v elocidade de um ponto na periferia, é determinada pela fórmula:
v
2π  r 6,28 20

 104cm/s  1,04m/s
T
1,2
2. Regra das polias: As polias
A e B da figura tem raios
rA=20 cm e rB=50 cm, e estão
ligadas por uma correia. Sabendo que a polia A gira com freqüência de 25 rps, determine:
A) o número de voltas por segundo (rps) da polia B.
B) a velocidade com que a correia se desloca sobre as polias.
Resolução: Para as duas polias A e B acima, v ale a regra:
fA•rA = fB•rB
onde fA e fB são as freqüências de rotação das polias A e B.
A) Usando a regra acim a, temos:
25 •20 = fB•50 ==> fB = 500 ÷ 50 = 10 rps
B) A v elocidade com que a correia se desloca sobre a polia é obtida aplic ando a fórmula v=2•r•f a qualquer uma das duas polias. Escolhendo a polia A,
temos:
v = 2•r•f = 6,28•20•25 = 125,6•25 = 3140 cm/s = 31,4 m/s

Exercícios
1. Determine a freqüência de rotação da Terra (cic los/h), e o período de
translação ao redor do Sol (em horas).
2. Um dis co em rotação efetua 360 voltas por minuto. Sabendo que o raio
do dis co é de 2 metros, determine:
A) O período e a v elocidade de rotação do disco.
B) A velocidade dos pontos da periferia do disco.
3. Uma bic ic leta daqueles modelos do início do século XX, tem sua roda
dianteira com raio de 50 cm, e a roda traseira com raio de 25 cm. Sabendo que a roda menor gira com freqüência de 4 rps, determine a freqüência da roda maior, e a velocidade com que a bicic leta se desloca (esta
velocidade é igual á velocidade dos pontos da periferia das rodas).
4. Um ciclis ta dá três pedaladas por segundo em sua bic ic leta. Determine a
freqüência e o período (em segundos) da mensageira dianteira da bic icleta. Se a mensageira tem raio de 15 cm, qual será a v elocidade de
seus dentes?
5. Um automóvel percorre uma estrada com velocidade de 70 m/s, e seus
pneus tem raio de 35 cm. Determine a freqüência de rotação das rodas
do automóv el.
Sugestão: a velocidade com que se deslocam os pontos da roda é igual
à velocidade desenvolv ida pelo automóvel.
6. Qual a velocidade de um carro, cuja roda tem 40 cm de raio, e efetua
1200 rotações por minuto?

O sentido das rotações
Quando você quer dizer para alguém para que lado uma cois a está
girando, o que você faz? Em geral as pessoas diz em algo como: gire para a
esquerda, ou gire a manivela no sentido horário. Porém, tanto um quanto o
outro jeito traz problemas. Uma roda gigante, gira no sentido horário ou antihorário? Para quem a vê de um lado é uma coisa, para quem vê do outro lado é
o contrário. Faça o teste: ponha uma bicic leta de ponta-cabeça e gire sua roda.
Observe-a a partir dos dois lados da bic icleta. Também não dá para definir claramente!
Mas algum espertinho inv entou um jeito de definir o sentido de qualquer rotação, usando uma regra conhecida como regra da mão direita. Seus
quatro dedos, fora o polegar, devem apontar acompanhando a rotação. O polegar estará paralelo ao eix o, e
aponta o sentido da rotação. No
desenho ao lado, definimos o
sentido da rotação do disco como
sendo “para dentro da vitrola”. Note
que qualquer pessoa pode fazer
isso, independente de sua posiç ão
em relação à vitrola.
Esta regra é aplicada especialm ente, nas operações de apertar e
afroux ar parafusos. Quando os parafusos são fabricados nas industrias metalúrgicas, seu “enroscamento” é desenhado de modo que o sentido de avanço do
parafuso coincida com o sentido apontado pela regra da mão direita. O mesmo
acontece com as tampas de rosca, em garrafas e v idros de conserva. Você pode
testar a regra da mão direita, tentando abrir a tampa de um garrafa térmic a.
Observe o enroscamento dos dedos, e o sentido de avanço da tampa.
A conservação das rotações
não deixa ninguém sair do eixo!
Como você sabe da Geografia, o planeta Terra apresenta um movimento de rotação em torno de um eix o im aginário, levemente inclinado em relação à direção norte-sul, o que nos proporciona as estações do ano. Sabe-se que
o movim ento de rotação e a direção do eix o permanece praticamente inalterada
por milhões de anos. Is to acontece, porque a Terra não tem para quem transferir
seu movim ento de rotação.
Quando um corpo não tem para quem transferir seu movimento de rotação (ou perde esse mov im ento lentamente), a tendência é manter inalterada a
sua v elocidade de giro, e também a direção do eix o de rotação. Isso acontece,
por ex emplo, com um pião. Enquanto ele tem quantidade de giro suficiente,
tende a fic ar em pé. Á medida que vai perdendo giro, ele começa a “bambear”
em torno do eix o vertical, até perder todo o mov im ento e cair. Também no caso
da de uma bicic leta, enquanto suas rodas tem quantidade de giro sufic iente, seu
eix o de rotação tende a se manter na direção horizontal, e conseqüentemente,
a bic icleta se mantém em equilíbrio.
Piões, bicicletas,
e até mesmo o nosso planeta,
“não saem do eixo’, graças a
tendência de conservação da
quantidade de giro.
Capítulo 6: Movimento de rotação (voltas e giros)
14

Equilíbrio de rotação
Existe um variedade de situações em que as forças
aplicadas sobre um mesmo corpo são paralelas entre si, de
modo que mesmo que a soma vetorial delas seja nula, o corpo
adquire movimento de rotação (giro). Isto acontece, porque
quando as forças são paralelas entre si, cada uma é aplicada em
um ponto diferente do corpo, e suas linhas de ação não se cruzam. Neste caso, para que um corpo rígido permaneça em
equilíbrio absoluto (repouso, sem girar) além da condição de
equilíbrio translacional, resultante da 1ª lei de Newton (a resultante das forças deve ser nula), uma condição adicional
conhecida como regra das alavancas, também deve ser satisfeita.
A regra das alavancas: Quantas vezes você não precisou
levantar um peso enorme, e sentiu dificuldades? Para essas e
outras atividades importantes do nosso dia-a-dia, é que existem
as alavancas. Com um ponto de
apoio e um barra, nosso amigo da
figura ao lado construiu uma
alavanca. A força que ele faz em
um a p ont a é a m p l iada
(multiplicada) no outro lado da
barra. O segredo da alavanca é
ter dois “braços” de tamanhos
diferentes. No braço maior ( d1)
fazemos a força, e no outro (d2)
colocamos a carga. No século III
a.C. Arquimedes, após realizar
várias experiências, chegou à
conclusão de que quando uma
alavanca está em equilíbrio, vale
a igualdade:
F1•d1 = F2•d2
Como se pode ver da figura acima, F1 representa a força aplicada no braço maior, e F2 representa a força (peso) aplicada no
braço menor.
Dependendo da posição da força aplicada, da carga e
do ponto de apoio, as alavancas pode ser de três tipos:
A) interfixas: o ponto de apoio (ponto fixo) fica situado entre a
carga e a força aplicada. Ex: gangorras, tesouras, alicates, e as
alavancas das figuras acima.
B) inter-resistentes: quando a carga (força resistente) fica situada entre o ponto de apoio e a força aplicada. Ex: carrinho de
mão, quebra-nozes, etc.
C) interpotentes: a força é aplicada entre o ponto de apoio e a
carga (força resistente). Ex: braço humano, cortador de unhas,
pedal do acelerador de automóveis, etc.
Exemplo 1: Como equilibramos uma gangorra de playground,
com um pessoa de 60 kg de um lado, e uma criança de 30 kg
do outro?
Resolução: Chamaremos de d1 ao “braço de alavanca” da pessoa,
e d2 o braço de alavanca da criança (braço de alavanca é a distância do ponto de aplicação da força até o ponto de apoio da alavanca). Aplicando a regra das alavancas, temos:
60•d1 = 30•d2
Para que os dois lados da igualdade dêem o mesmo número, o valor
de d1 deve ser a metade do valor de d2. Portanto, o braço de alavanca da pessoa deve ser a metade do braço de alavanca da criança.

Exercícios (com dicas de resolução)
1. Uma pessoa de 80 kg está sentada sobre uma gangorra, a 20 metros
do seu ponto de apoio. A que distância, uma outra pessoa, de 60 kg
deve se sentar no outro braço da gangorra, afim de equilibrá-la?
Dica: Basta substituir os valores dados na regra da alavanca, e
colocar “x” no lugar de d2.
2. No carrinho de mão da figura ao lado,
considere que o peso seja P=80 kgf, e os
braços da alavanca meçam d1=36 cm e
d2=100 cm. Determine a intensidade da
força F (em kgf) que deve ser aplicada,
para sustentar o carrinho.
3. No carrinho da figura acima, se a força
máxima aplicada for de 20 kgf, qual deve ser o comprimento (d2) do
braço maior da alavanca?
Dica (Problemas 2 e 3): O carrinho de mão se comporta como uma
alavanca inter-resistente (a carga fica entre o ponto de apoio e o
ponto de aplicação da força). Neste caso, basta aplicar a regra
das alavancas, e colocar “x” no lugar da incógnita.
4. Usando a regra das alavancas, determine as forças exercidas pelos
apoios A e B, na figura acima.
Dica: Para determinar a força sobre o apoio A, considere a tábua
como uma alavanca inter-resistente, com o ponto de apoio em B.
5. (Mack-SP) Qual é o peso (em kg) da pessoa que está sentada na
extremidade direita da gangorra da figura acima?
A) 108 kg; B) 63 kg; C) 54 kg; D) 36 kg;
Dica: Use a forma generalizada da regra das alavancas (veja a
observação no final da coluna ao lado).
6. (Mack-SP) No desenho ao lado, o quadro
está pendurado em um prego, suspenso
por um fio de 1 metro de comprimento,
preso nos pontos A e B. Qual deve se a
tração nos fios, para que o quadro fique em equilíbrio horizontal?
Torque: o produto força x braço da alavanca define uma
A) 12 N; B) 15 N; C) 20 N; D) 25 N;
grandeza física denominada torque ou momento de força. Dica: O quadro se comporta como uma alavanca inter-resistente.
Assim, quando atuam mais do que duas forças sobre um cor- Como o peso é aplicado no centro do quadro, o braço de alavanpo, a regra das alavancas pode ser generalizada assim:
ca é de 40 cm, tanto para o peso (aliás, metade dele), quanto
 a soma dos torques que tendem a fazer o corpo (ou ala- para a força de tração, mas lembre-se que a força “efetiva” que
vanca) girar no sentido horário deve ser igual à soma sustenta o peso do quadro é somente a componente vertical da
dos torques que atuam no sentido oposto (anti-horário). tração no fio.
Capítulo 7: Estudo dos líquidos
Até agora estudamos as idéias sobre forças, movimentos e equilíbrio, que se aplicam a objetos sólidos. Neste capítulo (e no próximo) vamos estender estas idéias às substâncias
que não possuem forma definida, genericamente conhecidas
como fluídos. Os fluídos incluem tudo que não é sólido, isto é,
os líquidos e os gases. No entanto, estamos especialmente interessados no estudo dos líquidos (o estudo dos gases será tratado no 2º ano); a parte da Física que estuda os líquidos em
equilíbrio estático (em repouso) é denominada hidrostática,
uma vez que o termo hidro vem de água, que é a substância
que melhor representa o tipo de líquido considerado nesta
parte da Física.
O estudo da hidrostática remonta aos tempos de Arquimedes, filósofo e matemático grego que viveu na Sicília de 287
a.C a 212 a.C. Conta a lenda que Hierão, rei da província
onde vivia o sábio, fornecera ao joalheiro da corte certa quantidade de ouro, para que este lhe confeccionasse uma coroa.
Entretanto, ao receber a encomenda, desconfiou de que o artesão misturara prata e ouro, embolsando parte do ouro..
Coube a Arquimedes descobrir se houve fraude ou não,
sem destruir a peça. Depois de passar longo tempo tentando
resolver o problema, a inspiração veio para o sábio ao notar o
transbordamento de água quando mergulhou numa banheira
na casa de banhos públicos. Entusiasmado com a descoberta,
Arquimedes ter ia saído completamente nu pelas ruas, gritando
“eureka! eureka!”, palavra grega que significa “achei”.
Infelizmente o trabalho em que Arquimedes deu a solução completa do problema não chegou até nós, mas especulase que o sábio tenha resolvido a questão raciocinando da seguinte maneira: “se a quantidade de água derramada pela
coroa fosse igual à derramada pelo bloco de ouro, não teria
havido mistura; porém, se fosse intermediária à derramada
pelo bloco do ouro e à derramada por um bloco idêntico de
prata, teria havido uma mistura dos dois metais”.
Acredita-se que tenha nascido daí, a idéia de densidade,
um conceito tão fundamental no estudo dos fluídos, quanto o
conceito de massa no estudo dos sólidos. Neste capítulo vamos
tratar o conceito de densidade aplicado aos líquidos, e um
fenômeno intimamente relacionado, denominado empuxo.

Densidade: a relação entre “quilo” e litro
Uma propriedade característica dos fluídos, é o fato de
p derem escoar. Devido a essa característica torna-se pouco
prático medir a massa de um fluído diretamente na balança,
sem antes colocá-lo dentro de um recipiente.
Na prática, a massa de um fluído é relacionada com o
volume que ele ocupa. Sabemos por exemplo, que um
“quilo” (1 kg) de água ocupa mais ou menos o volume de 1
litro (1000 cm3). Por outro lado, a massa contida em 1000 cm3
de ferro é igual a 7,8 kg, enquanto a massa contida no mesmo
volume de alumínio é igual a 2,8 kg. Dizemos que o ferro é
mais denso (mais “pesado”) que o alumínio.
Esta relação entre “quilo” (massa) e litro (volume) de
um fluído, é denominada densidade, definida como:
densidade 
massa
volume

d
m
V
Na fórmula sombreada, devemos colocar o valor da densidade
no lugar da letra d, o valor da massa no lugar da letra m, e o
valor do volume no lugar da letra V.
Como vemos da fórmula acima, as unidades de medida da densidade misturam unidades de massa e de volume. A
unidade oficial (S.I) é o kg/m3, mas as unidades mais usados
na prática são o g/cm3 (unidade C.G.S), e o kg/L (quilograma
por litro). Note que essas duas unidades são equivalentes!
A relação entre as unidades de densidade é:
1 g/cm 3  1 kg/L  1000 kg/m3
15
DENSIDADE DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS COMUNS
SUBSTÂNCIA
DENSIDADE
(g/cm 3)
SUBSTÂNCIA
alumínio
2,8
gasolina
0,7
ferro
7,8
álcool
0,8
cobre
8,9
água
1,0
prata
10,5
glicerina
1,3
chumbo
11.3
ácido sulfúric o
1,84
ouro
20,0
mercúrio
13,6
..
DENSIDADE
(g/cm 3)
Exercícios de Fixação
1.
Porque o óleo flutua na água?
2.
Qual é a massa de uma chapa de ferro de volume
igual a 650 cm3 ?
3.
Qual é a massa contida em 2 litros de água?
4.
Calcule o volume ocupado por 690 gramas de mercúrio?
5.
A massa de um tanque cheio de gasolina é 50 kg. Se a massa do
tanque vazio é 8 kg, qual é o volume ocupado pela gasolina desse
tanque?
6.
Um artigo recente, na revista Veja, informou que todo o ouro extraído pelo homem, desde a Antiguidade até os dias de hoje, seria
suficiente para encher uma caixa cúbica de lado igual a 20 m.
Sabendo que a densidade do ouro vale cerca de 20 g/cm 3, qual
deve ser a massa total do ouro extraído pelo homem (expressa em
toneladas)?
A) 20; B) 400; C) 8000; D) 160000;
7.
Qual a diferença de massa acusada na balança, quando colocamos um bloco de ferro de 4 cm3, e um bloco de ouro de 2 cm3?
8.
Um aluno encontrou um bloco em forma de cubo de 2 centímetros
de aresta. Percebendo ser constituído de material bastante pesado, colocou o cubo numa balança, a qual registrou 90,4 gramas.
De que material era feito o cubo?
NOTAS
1) A densidade de um material não depende do tamanho da
amostra considerada. Quanto maior a amostra, maior a sua
massa, mas a densidade permanece a mesma. Por exemplo, a densidade da água é a mesma, não importa se é
uma gota ou uma garrafa!
2) Algumas pessoas costumam dizer, por exemplo, “O chumbo é mais pesado do que a cortiça” (sem fazer referência
ao volume de cada um). Tal afirmação não está correta,
pois é possível obter-se um grande volume de cortiça que
seja mais pesado do que um pequeno volume de chumbo.
Na realidade, a idéia que aquela pessoa deseja transmitir é:
“O chumbo é mais denso do que a cortiça”. Isso é
correto, pois para o chumbo temos d=11,3 g/cm3, e para a
cortiça d=0, 24 g/cm3.
3) A relação prática “1 quilo ==> 1 litro” só é válida para a
água; para qualquer outro líquido a massa (em “quilos”) é
igual ao produto do volume (em litros) pela densidade do
líquido!.
Capítulo 7: Estudo dos líquidos
16

Empuxo e Princípio de Arquimedes
Você alguma vez já se perguntou como é que os navios,
que pesam toneladas, conseguem boiar? Para entendermos a Física que existe por trás desse fenômeno, vamos iniciar fazendo
uma experiência simples.
Pegue uma rolha de garrafa, e tente afundá-la dentro de
um recipiente com água. Você deve ter sentido um resistência,
uma dificuldade, ao tentar afundar a rolha, como se algo empurrasse a rolha para cima. Se você levar a rolha até o fundo, e depois soltá-la, verá que ela sobe imediatamente. De fato, para que
a rolha suba, é preciso que haja uma força que a empurre para
cima. M as que força é essa? Como ela surge?
A figura ao lado, ilustra um objeto
mergulhado dentro de um líquido. As setas
indicam as forças que atuam sobre o objeto,
devido ao peso do líquido que fica acima
dele. Diferente do que acontece nos sólidos,
essas forças não se aplicam somente na
direção vertical (de cima para baixo); ao
invés disso, as forças se aplicam em todas
as direções como se tentassem “esmagar” o objeto.
Observe que as forças que atuam na parte de baixo do
objeto, isto é, aquelas que tendem a empurrar o objeto para cima,
são mais intensas do que as forças que atuam na parte de cima do
objeto (lembre-se que quanto mais profundo você estiver mergulhado, maior a quantidade de líquido que fica acima de sua cabeça!). Somando todas essas forças, vemos que existe uma força
resultante com direção vertical e sentido para cima. Essa força
é denominada empuxo, e é ela que empurra para cima os corpos
mergulhados nos líquidos, inclusive a nossa rolha!
Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes, que viveu
no século III a.C., quem descobriu, a partir de cuidadosas experiências, como calcular o empuxo. Arquimedes expressou as conclusões de suas observações, em um princípio que ficou conhecido como Princípio de Arquimedes:

Sobe, desce ou fica parado?
Nem todos os objetos que colocamos num líquido se comportam da mesma forma: alguns afundam, outros flutuam, e outros, descem um pouco e param no meio do líquido.
Quando um objeto é mergulhado dentro de um líquido, fica
sujeito a ação de duas forças: a
força-peso (P), devido a ação da
gravidade, e a força de empuxo
(E) exercida pelo líquido. Para
saber o que ocorre com o objeto,
precisamos estudar a relação entre essas forças. Observe que o
empuxo, depende da densidade do líquido, enquanto o peso depende da densidade do objeto, de modo que podemos prever o que
ocorrerá quando um objeto é mergulhado em um líquido, simplesmente comparando as densidades de ambos. Podem ocorrer três
situações, conforme mostra a tabela abaixo:
FORÇAS
DENSIDADES
SITUAÇÃO
P> E
dOBJ > dLIQ
O objeto vai para o fundo.
Ex : uma pedra ou tijolo na água.
P=E
dOBJ = dLIQ
O objeto fic a em equilíbrio, totalm ente imerso.
Ex : um submarino.
P<E
dOBJ < dLIQ
O objeto sobe no líquido, e flutua com uma
parte emersa (fora d’água).
Na tabela acima, a notação dOBJ representa a densidade do objeto,
e a notação dLIQ representa a densidade do líquido onde o objeto
está mergulhado.

Corpos parcialmente imersos
Quando um objeto mergulhado em um líquido, tem sua
densidade menor do que a do líquido, ele tende a subir no líquido,
e flutuar (boiar) com uma parte emersa (fora d’água). Neste caso,
Todo corpo mergulhado num líquido sofre a ação de uma força
o volume de líquido deslocado pelo objeto é menor do que o voluvertical de baixo para cima, denominada empuxo, cuja intensime total do objeto, e geralmente
dade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.
estamos interessados na fração (ou
porcentagem) do volume total do
Então, para medir o empuxo exercido sobre um corpo, objeto, que fica dentro d’água. A
basta calcular o peso do líquido que o corpo desloca quando é condição de equilíbrio entre empumergulhado. Portanto, quanto mais líquido o corpo deslocar, xo e peso, para um corpo flutuante
maior será o empuxo exercido sobre ele.
(parcialment e imers o) permite
estabelecer a seguinte fórmula:
empuxo = peso do líquido deslocado
No entanto, não é muito prático medir o peso (massa) do
líquido deslocado. Ao invés disso, podemos medir o volume de
líquido deslocado, e então usar a relação:
massa = densidade × volume
onde a densidade do líquido pode ser obtida numa tabela.
Observe que para
medir o volume de líquido
deslocado, podemos utilizar
um recipiente com uma escala
graduada (em mililitros, por
exemplo), de modo que para
saber o volume de líquido
deslocado, basta verificar o
nível do líquido antes e depois
de mergulhar o objeto!
NOTA: O empuxo é numericamente igual à massa de líquido deslocado, quando é medido em quilograma-força (kgf). Assim, para calcular o
empuxo, basta determinar a massa de líquido deslocado (em gramas), e
então dividir por 1000; o resultado obtido dá o empuxo (em kgf). Mas
nunca esqueça que o empuxo é uma força, enquanto a massa é uma
medida da quantidade de matéria; são grandezas físicas diferentes!
x
VIMERSO
d
 OB J
VTOTAL
d LIQ
Na fórmula acima, a letra x representa a fração de volume
do corpo, que fica imersa (mergulhada) dentro do líquido. Note
que esta fração pode ser calculada como a razão (quociente) entre
o volume da parte imersa (VIMERSO) e o volume total do objeto;
alternativamente, podemos determinar esta fração dividindo a
densidade do objeto pela densidade do líquido (para expressar este
valor na forma de porcentagem você deve multiplicar por 100).
EXEMPLOS
1. Um corpo de volume 500 cm 3 é totalmente imerso em um líquido de densidade
0,8 g/cm 3. . Determine o empuxo exercido sobre ele.
Resolução: O empuxo (E) é igual ao peso (massa) de líquido deslocado,:
m = 0,8.500 = 400 g  E = 400 ÷ 1000 = 0,4 kgf
2. Descubra qual é a porcentagem do volume de um iceberg, que fica im erso
(dentro d’água) e quantos por cento de seu v olume ficam fora d’água?
Resolução: Basta div idir a densidade do objeto (gelo) pela densidade do líquido
(água), e em seguida multiplicar o resultado por 100:
x = 0,92 ÷ 1,0 = 0,92  92% (fração de volume im erso)
Portanto, a porcentagem de volume que fic a fora dágua é de apenas 8%.
Capítulo 7: Estudo dos líquidos
17

Exercícios
Pressão sob re uma superfície
1.
Um objeto de massa 2 kg e densidade 5 g/cm3, está imerso na
água. Calcule o empuxo exercido pela água sobre o objeto.
Se exercermos forças iguais sobre um corpo com duas
facas de cortes diferentes, veremos que a faca mais afiada cortará
com mais facilidade, pois sua área de contato com o corpo é menor que a área de contato da outra faca. A situação acima está
relacionada com o conceito físico de pressão. Define-se pressão
(símbolo p) como o quociente entre a intensidade da força
aplicada sobre uma superfície, e o a medida da área dessa
superfície, isto é:
2. Um corpo de 20 kg flutua totalmente imerso em um líquido.
A) Qual é o empuxo exercido pelo líquido sobre ele?
B) Sua densidade é maior, igual ou menor que a do líquido?
5.
6.
Um corpo de volume 100 cm3 está mergulhado em um líquido de
densidade 0,6 g/cm3. Se o corpo estiver em equilíbrio no interior do
líquido, qual será a sua massa?
Um corpo de massa 20 g está em equilíbrio totalmente imerso em
um líquido de densidade 0,8 g/cm3. Qual é o volume do corpo?
7.
Um objeto flutua em um líquido de densidade 0,6 g/cm3. Sendo o
volume da parte imersa igual a 2/3 do volume total, calcule a densidade deste objeto.
8.
Um iceberg dentro de um líquido, com aproximadamente 70% de
seu volume submerso (dentro d’água). Descubra qual é o líquido
onde o iceberg está mergulhado.
10. Um tronco está boiando na superfície de um lago. Metade do tronco
fica fora d’água, e a outra metade
fica imersa. Sabendo que o volume
total do tronco é 10000 cm3:
A) Calcule a força de empuxo que atua
sobre o tronco.
B) Qual é o peso do tronco? E a sua massa?
C) Calcule a densidade do material que compõe o tronco.
DESAFIOS
11. (Osec-SP) Um cubo de madeira de 10 cm de aresta, está imerso
num recipiente contendo água e um óleo especial de densidade
0,6 g/cm3. A cubo está em equilíbrio de modo que 20% de seu
volume fica imerso dentro da água e 80% dentro do óleo. Determine a massa do cubo.
Dica: Calcule separadamente, os empuxos exercidos pela água e
pelo óleo, sobre o cubo. A soma dos dois valores (empuxo total) é
numericamente igual à massa do cubo!
12. (Fuvest-SP) Um bloco cúbico de isopor, de 1 metro de aresta,
flutua imerso na água, com 10% de seu volume submerso. Qual é
a densidade do isopor? Quantos centímetros de aresta ficariam
submersos na água, para um cubo de isopor com 2 metros de
aresta?
Dica: Transforme as medidas de metros para centímetros, e use a
fórmula dos corpos parcialmente imersos, para descobrir a densidade do isopor. Para responder a segunda pergunta, leia o balão
no final da primeira página deste capítulo.
Aplicações do empuxo
Navios: o aço tem densidade maior do que a água, e portanto um
corpo maciço feito de aço afundará na água. Porém, se o corpo
tiver partes ocas, mesmo sendo feito de aço poderá apresentar
densidade menor do que a água, e desse modo flutuará, como
acontece nos navios.
Balões: os balões, como aqueles usados em observações meteorológicas, são preenchidos com um gás menos denso do que o ar,
de modo que o empuxo supera o peso e o balão sobe. Porém, ele
não sobe “eternamente”, pois, à medida que a altitude aumenta, a
densidade do ar diminui. Desse modo, há uma altitude máxima
que o balão pode atingir, para a qual a densidade do ar fica igual
à densidade do balão, e o balão pára de subir.
pressão 
força
área

p
F
A
Na fórmula acima, o símbolo F representa a intensidade da força exercida, e o símbolo A representa a medida da área
de contato sobre a superfície. Na situação acima, dizemos que a
faca afiada exerce uma pressão maior
do que a faca
“cega” (menos afiada), porque concentra a mesma força sobre
uma área de contato menor.
Unidades de medida da pressão: Como podemos ver da fórmula acima, as unidades de pressão misturam unidades de força e
unidades de área. No S.I (Sistema Internacional de Unidades) a
unidade de medida da pressão é denominada Pascal (Pa), a qual é
definida como a razão entre a unidade de força (N) e a unidade de
área (m2), isto é:
1 Pa = 1 N/m2
Na prática, é comum se utilizar outras unidades de
pressão, especialmente o quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/cm2), que recebe o nome de atmosfera (atm), por um
motivo que veremos mais adiante, quando estudarmos a pressão
atmosférica. Há ainda uma unidade de pressão bastante conhecida por quem calibra pneus, e que chamamos de “libra”. Trata-se
na realidade, de uma unidade britânica denominada libra-força
por polegada ao quadrado, que em inglês se escreve pound per
square inches (psi). Na tabela abaixo, relacionamos as principais
unidades de pressão:
Unidade
Símbolo
Equivalência
pascal
Pa
N/m2
atmosfera
atm
kgf/cm2
libra
psi
lbf/pol2
A relação de conversão entre essas unidades é:
1 atm = 14,2 psi = 100.000 Pa
 Exercícios
1. José tem 1,80 m de altura, 65 kg e usa sapatos 42. Pedro tem 1,60 m de
altura, 65 kg, e calç a sapatos 38. Qual dos dois exerce maior pressão sobre
o solo?
2. Aplica-se uma força de intensidade 8 N sobre uma superfície de área 0,004
m 2. Calcule a pressão (em Pa) exercida por essa força sobre a superfície?
3. A água contida em um tanque exerce uma pressão de 40 Pa sobre sua
base, um retângulo de 2 m por 5 m. Calc ule a força exercida pela água?
4. A área da base de um cilindro é de 4 cm2, e sua massa é de 8 kg. Colocando o cilindro verticalmente (em pé) sobre uma mesa, qual a pressão que o
cilindro exerce sobre a mesa?
5. Um tanque de água tem área da base igual a 2000 cm2, e contém 800 litros
de água. Qual é a pressão ex ercida pela água sobre o fundo do tanque?
Ex presse o resultado em atm e em pascal?
6. Qual a pressão exercida por 1000 litros de água, sobre um tanque cuja base
circular mede 2000 cm2? Dê o resultado em atm e em pascal?
Capítulo 7: Estudo dos líquidos
18
Pressão atmosf érica

Pressão hidrostática
O planeta Terra é envolvido
por uma camada de gases denominada ar atmosférico ou simplesmente atmosfera. Como o ar atmosférico tem peso, ele exerce uma pressão
sobre a superfície terrestre, denominada pressão atmosférica.
A pressão atmosférica foi
determinada pelo físico italiano
Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileu. Ele
encheu um tubo de vidro com mercúrio, e emborcou a extremidade tampada com o dedo, dentro de uma cuba contendo o mesmo líquido. Ao destampar o tubo, verificou que o mercúrio no
tubo descia um pouco, e estabilizava a uma altura de 76 cm.
Torricelli concluiu então que a pressão atmosférica é igual à
pressão necessária para sustentar uma coluna de mercúrio
de 76 cm de altura.
O que acontece quando uma pessoa mergulha na água?
Acima de sua cabeça existe, além da coluna de ar, uma coluna de
água. Esta coluna de água também tem peso, e portanto, também
exerce pressão sobre o mergulhador, denominada pressão hidrostática.
De modo geral, a pressão em um líquido varia com a profundidade. Um mergulhador sente maior pressão à medida que
aumenta a profundidade de mergulho. Nas grandes profundidades,
um submarino pode ser destruído pela pressão da água. De fato,
perfurando um recipiente com líquido, em dois pontos distintos,
observamos que o jato é mais forte no orifício inferior, pois a pressão aumenta com a profundidade. A relação entre a pressão hidrostática e a profundidade no interior de um líquido, é determinada pela lei conhecida como:
Princípio Fundamental da Hidrostática (Lei de S tevin):
A pressão hidrostática em um ponto qualquer no interior de um líquido,
é proporcional à densidade do líquido e à altura da coluna de líquido
acima do ponto considerado.
Se a superfície do líquido está exposta à atmosfera, então
devemos adicionar a pressão exercida sobre a superfície livre do
líquido, que é igual à pressão atmosférica. Isto significa que:
A pressão total no fundo do mar é igual à pressão da coluna água
(pressão hidrostática) mais a pressão da coluna de ar acima da superfície (pressão atmosférica).
Assim, até hoje os livros didáticos usam a expressão
centímetros de mercúrio (símbolo cmHg) como uma unidade de
medida de pressão. Posteriormente, verificou-se que o efeito da
pressão atmosférica sobre nós (ao nível do mar), equivale ao
peso de 1 quilograma sobre cada centímetro quadrado de nosso
corpo, ou seja, o valor da pressão atmosférica ao nível do mar é
aproximadamente 1 kgf/cm2; por esse motivo, a unidade de pressão kgf/cm2 recebeu o nome de atmosfera (símbolo atm).
Temos então:
patm = 1 atm = 76 cmHg =100.000 Pa
Como a pressão atmosférica resulta diretamente da força
exercida pelo peso do ar, e o peso do ar depende da quantidade
de moléculas que existem lá para cima, então quanto menor for a
espessura da atmosfera menor será sua pressão, e vice-versa. Isto
significa que a pressão atmosférica diminui com a altitude, isto
é, com a altura do local, em relação ao nível do mar.
O dispositivo que serve para medir a pressão atmosférica
é denominado barômetro. Na prática um barômetro é constituído
de um tubo em forma de U, contendo mercúrio, e fechado em
uma das extremidades.
Para pensar!
Se na experiência de Torricelli, fosse usado outro líquido ao invés
de mercúrio, qual seria a altura da coluna de líquido suportada
pela pressão atmosférica?
Só para ter uma idéia, se fosse usado água, a altura da coluna seria de
10 metros! Isso explica porque Torricelli escolheu o mercúrio. Na tabela
abaixo, mostramos essa altura, para alguns líquidos familiares:
Líquido
Densidade
(g/cm3)
Altura da
coluna (m)
água
1,0
10
álcool
0,8
12,5
gasolina
0,7
14
glicerina
1,25
8


Cálculo da pressão no interior de um líquido
Para calcular a pressão no interior de um líquido, vamos
usar um esquema prático que fornece o resultado em atmosferas
(kgf/cm2). Se você quiser o resultado em outra unidade, basta usar
a relação de conversão dada na coluna anterior. M as antes de aplicar o esquema prático, é necessário identificar em que tipo de
recipiente o líquido está contido.
A) Recipiente fechado: Trata-se da situação em que o líquido está
contido em um recipiente hermeticamente fechado, isto é, um
recipiente que não permite a entrada de ar. Nesse caso, a pressão
total no interior do líquido é igual à pressão hidrostática.
B) Recipiente aberto: Aqui estão incluídas todas as situações em
que temos um líquido exposto à atmosfera, ou contido num recipiente aparentemente fechado, mas que permite a entrada de ar.
Nesse caso, a pressão total no interior do líquido é igual à pressão
hidrostática (pressão da coluna de líquido) mais a pressão atmosférica (pressão da coluna de ar acima da superfície).
Uma vez identificado o tipo de recipiente onde o líquido
está contido, usamos o esquema prático para determinar a pressão
a hidrostática. M as afinal, que esquema prático é esse? Trata-se de
aplicar uma simples regra de três, conforme mostramos abaixo:
I. Se você quiser achar a pressão hidrostática numa determinada
profundidade, digamos 50 metros, basta montar a regra de três:
1 atm —— 10 m
x —— 50 m
II. Se você já conhece o valor da pressão hidrostática (digamos
que seja 20 atm), e quer achar a profundidade correspondente,
a regra de três fica assim:
1 atm —— 10 m
20 atm —— x
Se ao invés da água for outro líquido, no lugar do 10 devemos usar o
valor correspondente ao líquido, na terceira coluna da tabela ao lado.
Capítulo 7:
9: Estudo dos líquidos
19
Exemplos
1. Um barômetro de mercúrio é conectado a um pneu de
automóvel, e verifica-se que o desnível entre as duas
colunas de mercúrio é de 62 cm. Qual é a pressão no
interior do pneu?
Resolução: A pressão no ramo
do barômetro conectado ao pneu
corresponde à pressão do pneu.
De acordo com a lei de Stevin:
dois pontos de um líquido,
situados numa mesma profundidade, tem a mesma pressão.
Portanto a pressão do pneu é
igual à pressão no outro ramo do
barômetro, na altura da linha pontilhada da figura, ou seja, é igual
à soma da pressão atmosférica mais a pressão da coluna de mercúrio que fica acima da linha pontilhada. Para achar a pressão
hidrostática do mercúrio, inicialmente determinamos a altura da
coluna:136-64 = 62 cm, e em seguida montamos a regra de três:
1 atm —— 76 cm
x —— 62 cm
Temos então:
76x = 1 . 62  x = 62÷76 = 0,8 atm
A pressão no pneu será então:
p = p atm. + p hidr= 1 + 0,8 = 1,8 at m
2. Qual seria a pressão deste pneu, se fosse medida em
“libras” (psi), como nas máquinas dos postos de gasolina?
Resolução: Basta transformar o valor obtido acima para psi,
usando a fórmula de conversão apresentada na página anterior.
Temos então:
Tal que resulta:
1 atm ——14,2 psi
1,8 at m —— x
1x = 1,8 . 14,2  x = 25,5 psi
Nos automóveis pequenos, os pneus são “calibrados” com aproximadamente 2 atm (28, 4 psi).

De olho no vestibular!
No vestibular (e outros concursos) costuma aparecer uma fórmula para
calcular a pressão no interior de um líquido:
p = p0 + d.g.h
Nesta fórmula, a letra d representa a densidade do líquido (em kg/m3), a
letra g representa a aceleração da gravidade (g= 10 m/s2 ), a letra h representa a profundidade (em metros) em que o corpo se encontra mergulhado; o símbolo p0 representa a pressão atmosférica (expressa em Pa) que
deve ser adicionada, caso se trate de um líquido exposto à atmosfera.

Exercícios
1. Qual é a pressão total no fundo de um lago com 10 m de profundidade?
2. O nível de água contida em uma caixa está 6 m acima de uma
torneira. Qual é a pressão hidrostática exercida sobre a torneira?
3. (UFC-CE) Um mergulhador pode suportar uma pressão máxima de 10 vezes a pressão atmosférica. Calcule a profundidade
máxima que o mergulhador pode atingir.
4. Determine o valor da pressão exercida pela coluna de mercúrio da experiência de Torricelli, expresso em unidades britânicas.
5. Um barômetro de mercúrio é conectado a um tambor de ar
comprimido, e as duas colunas estabilizam-se com um desnível de 45 cm. Sabendo que a pressão atmosférica neste dia é
de 76 cmHg, qual deve ser a pressão dentro do tambor?
Confira o exemplo ao lado!
6. Determine a que profundidade se encontra um mergulhador
dentro de uma piscina, sabendo que ele está sujeito a uma
pressão de 1,4 atm.

Exercícios complementares
7. Um recipiente de forma cilíndrica, hermeticamente fechado,
possui 900 ml de álcool em seu interior. Sabendo que a altura
do cilindro é de 25 cm, determine a pressão que o álcool exerce no fundo do recipiente.
8.
Uma bailarina de massa 45 kg executa um movimento no qual
apóia todo o peso de seu corpo sobre a ponta de uma só
sapatilha. Sabendo que a ponta da sapatilha tem uma área de
2 cm2, determine a pressão que a bailarina exerce sobre o
solo.
9. Sabendo que a densidade do óleo é de 0,8 kg/l:
A) Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900 ml?
B) Quantas latas de 900 ml podem ser preenchidas com 180 kg
de óleo?
10. Submerso em um lago, um mergulhador constata que a
pressão absoluta no medidor que se encontra em seu pulso
corresponde a 1,6 atm. Determine a profundidade em que se
encontra o mergulhador, em relação à superfície do lago.
11. Em um lago, a 10 m de profundidade, a soma da pressão
hidrostática com a pressão atmosférica é aproximadamente 2
atmosferas (2 atm). No mesmo lago, a 20 metros de profundiPressão sanguínea
dade, a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosféO coração é um músculo que se contrai e se dilata periodicamenrica (medida em atmosferas) será:
te. Durante a contração (sístole) o sangue é “empurrado” para as artérias.
a) 12;
b) 4;
c) 3;
d) 2,33;
e) 2,50;
Depois de circular pelo corpo, o sangue retorna pelas veias do coração,
nele penetrando durante a dilatação (diástole). Em condições normais, ao 12. (UERJ) Um submarino encontra-se a uma profundidade de
sair do coração e entrar nas artérias, o sangue tem uma sobrepressão
50 metros. Para que a tripulação sobreviva, um descompres(excesso de pressão acima da pressão atmosférica) de aproximadamente
sor mantém o seu interior a uma pressão constante igual à
12 cmHg na sístole e 8 cmHg na diástole, o que os médicos chamam de
pressão atmosférica ao nível do mar. A diferença de pressão
“12 por 8”.
entre o exterior e o interior do submarino é:
No entanto, se a pessoa estiver em pé, é preciso levar em conta a
A) 1 atm; B) 2 atm; C) 5 atm; D) 10 atm; E) 50 atm;
lei de Stevin, a qual afirma que a pressão diminui com a altura. Assim,
quando a pessoa se levanta muito rapidamente, provoca uma rápida dimi- 13. (U. Mackenzie-SP) Quando um mergulhador se encontra a
nuição da pressão arterial no cérebro, o que pode causar momentânea
25 metros de profundidade na água do mar, a pressão que
diminuição do fluxo sanguíneo do cérebro (até que o organismo se adapte
ele suporta (expresa em atm) é de:
à nova situação); desse modo, a pessoa pode sentir uma pequena tontura.
A) 3,5 B ) 2,85 C) 2,35
D) 2,0 E) 1,85 atm