Matemática - NEEJA Caxias do Sul

NEEJA
NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
CAXIAS DO SUL – 4ª CRE
Rua Garibaldi, 660 – Centro
CEP – 95080-190
Fone Fax 3221-1383
Email – [email protected]
blog - http://blogneejacxs.blogspot.com/
ENSINO FUNDAMENTAL
COMPONENTE CURRICULAR
MATEMÁTICA
MÓDULO ÚNICO
JANEIRO – 2017
2
Neste módulo o ensino de Matemática deve levar o aluno a:













Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no contexto social,
explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos.
Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação
de regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática.
Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais,
buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um
mesmo problema
Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato, aproximado — pela observação de
regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados.
Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como instrumento para produzir e analisar
escritas.
Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como
para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando
terminologia adequada.
Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no plano, identificando formas bidimensionais, em
situações que envolvam descrições orais, construções e representações.
Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, capacidade e elaborar estratégias
pessoais de medida.
Identificar grandezas diretamente e inversamente proporcionais, resolver regras de três.
Interpretar e resolver problemas que envolvam trigonometria, ângulos, triângulos e quadriláteros.
Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e expressá-los por meio de
representações não necessariamente convencionais.
Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e interpretação de informações e construir
formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas.
Resolver equações do 1º e 2º graus, teorema de Pitágoras e utilizar as relações trigonométricas na
resolução de problemas propostos.
Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como
algarismos indo-arábicos.
Representamos:
I N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos)
indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Observe que para qualquer número pertencente ao conjunto N, sempre conseguimos determinar o
número seguinte, isto é, o seu sucessor, bastando adicionar UM ao número.
Exemplos: Seja m um número natural.
1. (a) O sucessor de m é m+1.
2. (b) O sucessor de 0 é 1.
3. (c) O sucessor de 1 é 2.
4. (d) O sucessor de 19 é 20.
Por outro lado 6 é o ANTECESSOR de 7, pois 7 – 1 = 6
Concluindo:
3
ANTECESSOR
subtraímos 1 do número
SUCESSOR
somamos 1 ao número
Frequentemente estamos trabalhando com as 4 operações sem nos darmos conta disso; pois
elas aparecem no nosso dia-a-dia e são resolvidas naturalmente.
a) Adição:
TERMOS DA ADIÇÃO
Para comprar uma calça de 59 reais e um blusa de 23 reais, quanto vou gastar?
59  Parcela
+ 23  Parcela
82  Soma ou total
b) Subtração:
TERMOS DA SUBTRAÇÃO
Dos 40 alunos de uma sala, 23 foram ao passeio. Quantos ficaram?
40  Minuendo
– 23  Subtraendo
17  Diferença
Observação:
Para realizar somas ou subtrações com números elevados, devemos armar a conta e prestar
atenção na colocação dos algarismos.
Exemplos:
Veja:
42237 + 3046 + 1025
CM
DM
4
+
4
UM
2
3
1
6
C
2
0
0
3
16305 – 784 =
D
3
4
2
0
U
7
6
5
8
CM
DM
1
UM
6
1
5
–
C
3
7
5
D
0
8
2
U
5
4
1
c) Multiplicação:
TERMOS DA MULTIPLICAÇÃO
Num cinema há 18 filas de 24 cadeiras em cada uma. Qual o total de cadeiras?
18  Fator
x 24  Fator
72
36=
432  Produto
d) Divisão:
TERMOS DA DIVISÃO
4
Qual será o valor de cada prestação na compra de um televisor de 780 reais em 4 vezes
iguais?
 Dividendo
780 4
 Divisor
- 4 . 195  Quociente
38 .
-36 .
.020
-20
0
 Resto
Relações essenciais
EXERCÍCIOS:
1) Resolva os problemas:
a) Uma escola funciona em dois turnos. Pela manhã são 1327 alunos e a tarde 965 alunos. Quantos
alunos há na escola?
b) Um terreno tem 395 metros quadrados de área construída e 155 metros quadrados de área livre.
Qual a área total do terreno?
c) Determine a soma do número 273 com seu sucessor.
d) Em uma adição, as parcelas são 721 e 139. Qual é a soma?
2) Efetue as operações seguintes
a) adicione 16 a 43. Da soma, subtraia 35.
b) Subtraia 24 de 109. A esta diferença, adicione 85.
c) Adicione 36, 48 e 53. Da soma, subtraia 97.
3) Arme e efetue:
a) 34 + 54 + 82 + 128 =
d) 5846 – 328 =
b) 94873 + 1023 + 572 =
e) 67856 – 7845 =
c) 325142 + 8765 + 12+104 =
f) 3794 – 3629 =
Atenção:
Na multiplicação observa-se que:
 A ordem dos fatores não altera o produto.Ex.: 6 x 3 = 3 x 6
 O “1” é o elemento neutro da multiplicação pois, multiplicado a qualquer número natural
não altera esse número.
Exs.: 1 x 4 = 4
10 x 1 = 10
 A multiplicação substitui a adição de parcelas iguais. Obser
 Exs.: 4 + 4 + 4 = 3 . 4 = 12
7 + 7 + 7 + 7 = 4 . 7 = 28
4) Complete escrevendo em forma de produto:
a) 9 + 9 =
b) 12 + 12+12 =
c) 6 + 6 + 6 =
d) a + a
5) Efetue as multiplicações:
a) 48 x 15 =
b) 625 x 4 =
c) 906 x 0=
d) 1 x 3.750 =
Lembre-se:
 dobro = 2 vezes
 triplo = 3 vezes
 quádruplo = 4 vezes



quíntuplo = 5 vezes
uma dezena = 10 unidades
uma dúzia são 12 unidades
6) Calcule :
a) o dobro de 585 =
b) o triplo de 685=
c) o quádruplo de 1260=
Lembretes
 Numa divisão, quando o dividendo é zero, o quociente é zero. Ex.: 0 : 4 = 0
 Não existe divisão de um número por zero. Ex.: 12 : 0 = ?
 Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor.
5
NOTA:
Sempre que os números forem elevados, armamos e efetuamos
também as divisões, veja os exemplos.
7668
–72
Verificamos inicialmente quantas vezes o “36” “cabe”
no “76”; duas vezes. Colocamos o 2 no quociente e
multiplicamos pelo divisor. O resultado é colocado
abaixo do “76”. Subtraímos. Baixamos o próximo
algarismo que é o “6”. O número formado é o “46”. O
divisor “cabe” nele 1 vez. Colocamos no quociente.
Procedemos agora como antes, até o fim da conta.
36
213
46
–36
108
–108
000
Veja outro exemplo:
423503
–405
185
–180
45
9411
esta divisão não é exata.
50
–45
053
– 45
08
7) Efetue:
a) 3745 : 28 =
e) 12358 x 314 =
b) 14720 : 64 =
f) 1846 x 27 =
c) 10656 : 72 = d) 64380 : 102 =
g) 3853 x 265 = h) 408 x 507 =
POTENCIAÇÃO
Numa sala de aula há 5 fileiras de carteiras e cada fileira com 5 carteiras. Qual o total de
carteiras dessa sala de aula?
Para calcular esse total de carteiras você faz:
5 x 5  dois fatores iguais
Podemos representar:
quantidade de fatores
5 x 5 = 5²
fator que se repete
Então:
expoente
5² = 25
potência
base
Essa é a operação de Potenciação.
6
Escrevemos
2²
5³
34
45
Lemos
 dois ao quadrado
 cinco elevado ao cubo
 três elevado à quarta potência
 quatro elevado à quinta potência
Observações:
 Todo número elevado a um é igual a ele mesmo.
1
1 = 1; 21 = 2; 31 = 3; 41 = 4 ...
 Todo número natural não-nulo elevado a zero é igual a um.
10 = 1; 20 = 1; 30 = 1; 40 = 1 ...
 Toda potência de um é igual a um.
10 = 1; 11 = 1; 12 = 1; 13 = 1; 14 = 1...
 Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros
quantas forme as unidades do expoente.
100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10.000 ...
8) . Em 7² = 49, responda:
a) Qual é a base? b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?
9) . Escreva cada uma das multiplicações na forma de potência indicada:
a) 50 x 50 =
b) 15 x 15 x 15 x 15 x 15 =
c) 9 x 9 x 9 x ,,, x 9 =
d) x .x .x .x
repete 9
vezes
10) Calcule as potências:
a) 13² =
b) 21² =
c) 9³ =
d) 26 =
e) 73 =
RADICIAÇÃO
Vamos considerar os seguintes problemas:
a) Qual é o número que elevado ao quadrado dá 9? É o 3, pois 3² = 9
b) Qual é o número que elevado ao quadrado dá 25?É o 5, pois 5² = 25
A resolução desses problemas dá origem a uma nova operação chamada RADICIAÇÂO.
Assim: 3² = 9 equivale a 2 9 = 3
 (lemos: a raiz quadrada de 9 é igual a 3).
5² = 25 equivale a
2
25 = 5  (lemos: a raiz quadrada de 25 é igual a 5).
Radical
Índice
2
9=3
Raiz
Radicando
Na operação, 2 é o índice, 9 é o radicando, 3 é a raiz e
é o radical.
7
Representamos
36  6
3
8 2
4
16  2
2
Lemos
 A raiz quadrada de 36 é igual a 6.
 A raiz cúbica de 8 é igual a 2.
 A raiz quarta de 16 é igual a 2.
NOTA:
Quando o índice é 2 costuma-se omiti-lo:
2
49 = 49
2
100 = 100
11) Complete:
a)
36 = ____
b)
4 = ______
c)
9 = _________
d)
25 = _______
DIVISIBILIDADE
O assunto divisibilidade está diretamente relacionado a várias situações do nosso dia.
Observe o exemplo:
Um lojista percebeu que havia 460 pares de meias esportivas em estoque.
Para vender essas meias, resolveu fazer promoção e decidiu empacotar os pares de meias
em embalagens com a mesma quantidade.
Será que é possível as embalagens conterem:
 2 pares de meias?
 10 pares de meias?
 3 pares de meias?
 5 pares de meias?
(Livro EJA – Ensino Fundamental)
Para conhecer as possibilidades não é necessário efetuar divisões ou fazer tentativas.
Há regras práticas que permitem verificar se um número é ou não divisível por outro, sem se
efetuar a divisão.
Estas regras práticas são chamadas de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE.
Vamos ver os mais utilizados.
Divisibilidade por 2.
Um número é divisível por 2 quando for par (terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8).
Assim, os números 30, 72 e 216 são divisíveis por 2.
a) (
12) . Assinale com x os números divisíveis por 2:
) 140 b) ( ) 5.876
c) ( ) 37
d) 423
e) 128
f) 423
g) 128
Divisibilidade por 3.
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for
divisível por 3.
Assim:
a) 132 é divisível por 3, pois 1 + 3 + 2 = 6 e 6 é divisível por 3.
b) 14.025 é divisível por 3, pois 1 + 4 + 0 + 2 + 5 = 12 e 12 é divisível por 3.
13) . Usando a regra acima, verifique se os números a seguir são divisíveis por 3:
a) 723 
b) 1.349 
c) 6.529 
d) 36.996 
Divisibilidade por 5.
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Assim, 30 e 235 são divisíveis por 5.
8
14) . Assinale com x os números divisíveis por 5:
a) (
) 135
b) (
) 487
c) (
) 4.760
d) (
) 34265
e) ( ) 1357
Divisibilidade por 10.
Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
Assim, 780 e 1.230 são divisíveis por 10.
a) (
15) . Assinale com x os números divisíveis por 10:
) 430
b) ( ) 135
c) ( ) 1.890
d) (
) 467
e) (
) 780
Números Primos
O conceito de números primos está diretamente relacionado à quantidade de divisores de um
número.
Observe os conjuntos dos divisores de 2, 3, 4, 5, 6 e 9, abaixo:
a) D(2) = {1, 2}
b) D(3) = {1, 3 } c) D(4) = {1, 2, 4}
d) D(5) = {1, 5}
e )D(6) { 1,2,3,6,}
A partir dos conjuntos acima podemos notar que:
a) Os números 2, 3 e 5 possuem apenas dois divisores: 0 1 e ele próprio. Esses números são
chamados primos.
Números primos são todos os números naturais
maiores que 1 que possuem apenas dois divisores: o 1 e
ele próprio.
Os números que não foram riscados correspondem
aos números primos.
b) Os números 4, 6 e 9, possuem mais que dois divisores,
são chamados compostos.
Números compostos são todos os números
naturais maiores que 1 que possuem mais de dois
divisores.
c) O único par e primo é o 2.
d) número 1 não é primo nem composto. e) O conjunto dos números primos é infinito.
16) Uma vila tem casas numeradas de 1 a 30. Quantas dessas casas têm números que são
primos?
17). Escreva certo ou errado:
a) Os dez primeiros números naturais
primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29
b) Não existe número par que seja primo.
c) Não podemos determinar o maior número primo.
d) O único número par que é primo é o número 2.
e) Todos os números ímpares são primos
(__________)
(__________)
(__________)
(__________)
(__________)
FATORAÇÃO
Fatorar um número é escrever esse número em forma de produto.
Observe algumas fatorações do nº 20.
 20 = 2 . 10
 20 = 4 . 5
9
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a
fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos
para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor
primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo
menor divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número
630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Observação:
A direita do traço vertical só podem ser escritos números primos.
18) Marcelo tem 3 irmãos cujas idades são números primos. Sabe-se que o produto das
idades dos 3 irmãos é 195. Quais não as idades dos irmãos de Marcelo?
19) Decomponha em fatores primos os números a seguir:
a) 18
b) 12
c) 312 d) 15 e) 147 f) 637
Mínimo Múltiplo Comum.
Na cozinha de um restaurante, a manutenção do fogão é feita a cada dois dias; a da
geladeira, a cada três; e a do freezer, a cada cinco dias.
Hoje, 10 de setembro, os três equipamentos, juntos, estão sendo vistoriados. Esta
coincidência ocorrerá novamente em:
Para resolver esta situação, vamos analisar os múltiplos de 2, 3 e 5.
a) M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
b) M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...}
c) M(5) = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...}
A próxima revisão se dará em 30 dias.
 Método Prático para determinar o menor múltiplo comum de dois ou mais números
(m.m.c.) decomposição simultânea.
Qual é o m.m.c. de 16, 24 e 40?
 Nesse caso, decompomos todos os números ao mesmo tempo, conforme é mostrado a
seguir:
10
16, 24,
8, 12,
4,
6,
2,
3,
1,
3,
1,
1,
1,
1,
40
20
10
5
5
5
1
2
2
2
2
3
5
24
O produto dos fatores obtidos na
decomposição é o m,m.c. desses números.
m.m.c. (16, 24, 40) = 240
20) Decomponha os números:
a) 60
b) 150
c) 55
21) Calcule o m.m.c. dos números:
a) m.m.c. ( 12 , 8 ) =
b) m.m.c ( 8,5 ) =
c) m.m.c.(6,3,9)
d) m.m.c. ( 6, 10, 12 ) =
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – FRAÇÃO
Representação:
Na representação da fração, há dois números separados por uma barra horizontal.
2
Numerador
8
Denominado r
Denominador: indica em quantas partes iguais algo foi dividido.
Numerador: indica quantas das partes iguais foram consideradas.
As frações são chamadas de Números Racionais.
Fração indica parte de um todo.
Exemplo:
Dividindo um retângulo em três partes iguais e pintando uma parte, essa parte é
1
do
3
retângulo.
Veja outras frações dos retângulos.
1
2
3
4
5
6
Às vezes, uma fração pode indicar a quantidade toda.
3
3
4
4
LEITURA:
Os nomes das frações dependem do denominado:
Se ele for 2  meios Se ele for 3  terços
Se ele for 4  quartos
5, 6, 7, 8, 9  lê-se respectivamente: quinto(s), sexto(s), sétimo(s), oitavo(s), nono(s).
 Quando o denominador for 10, 100, 1000 ... lê-se o numerador acompanhado das palavras
décimo(s), centésimo(s), milésimo(s) ...
 Para frações com denominadores diferentes desses, usa-se a palavra avos.
1
Ex:
 um onze avos
11
11
EXERCÍCIOS:
22) Que parte da figura está pintada? Responda com uma fração.
23).Escreva como se lêem cada uma das frações abaixo:
3
2
6
a)
b)
=
c)
=
7
15
20
d)
24).Escreva as seguintes frações:
a) dois quintos
b) cinco doze avos c) seis centésimos
15
=
6
d) um décimo
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que visivelmente são diferentes, mas se fizermos as devidas
representações percebemos que representam a mesma quantidade. Veja o exemplo abaixo:
.3
.2
1
2
.2
.4
2
4
3
6
4
8
.3
.4
Percebeu a propriedade?
Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, obtém-se
uma fração igual à primeira.
Observe:
:2
8
4
8
4
Será que
é igual a
Sim, porque
=
18
9
18 : 2 9
Então:
Dividindo o numerador e o denominador por um mesmo número, também se obtém uma
fração igual a primeira.
EXERCÍCIOS:
25) Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da
letra “x” para que se tenha:
a)
7
14

9
x
b)
4
x

7
28
c)
7
x

2
12
d)
15
x

30
2
e)
3
9

11
x
Observação: Frações irredutíveis são frações cujos os termos são números primos entre si, não
sendo mais possível simplificar.
12
26) Dividindo o numerador e o denominador torne as frações irredutíveis. (Veja o exemplo)
15  15
1
15  3
5  5
1

ou


45  15
3
45  3
15  5
3
a)
8

12
b)
12

30
c)
30

45
d)
40

140
e)
350

500
f)
40

400
Reduzindo frações ao mesmo denominador
Dadas duas ou mais frações com denominadores diferentes, podemos obter frações
equivalentes às frações iniciais e que apresentam o mesmo denominador.
Esse denominador deve ser o menor dos múltiplos comuns (m.m.c.) dos denominadores das
frações dadas.
Essa operação é denominada redução das frações ao menor denominador comum.
Veja um exemplo:
7 3
9
Reduzir as frações
ao menor denominador comum.
,
e
15 10 20
Observe que o m.m.c. (15, 10, 20) = 60.
As novas frações (frações equivalentes) deverão ter o denominador 60 e o numerador
proporcional, então você deve dividir o m.m.c. pelo denominador de cada fração e multiplicar o
resultado pelo numerador em cada uma delas. Veja:
60 : 15 = 4; 4 . 7 = 28
60 : 10 = 6; 6 . 3 = 18
28
60
Assim:
60 : 20 = 3; 3 . 9 = 27
18
60
7 3 9
,
,
15
10
20



frações equivalent es
frações que têm
denominado res diferentes
x
28 18 27
,
,
60
60
60



frações que têm
mesmo denominado r
EXERCÍCIO:
27) Reduza ao mesmo denominador:
=
MODELO:
27
60
7
2
, x
=
5
3
21
,
6
10
6
LEMBRE:
6 é m.m.c. entre 2 e 3.
5 2
a) ,
4 3
6 3
b) ,
5 8

1 5
c) ,
4 3

d)
4 2
,
7 5
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
a) Quando elas são homogêneas, a maior é aquela que possui o maior numerador.
8
6
1


Exemplo:
5
5
5
b) Quando elas são heterogêneas, devemos transformá-las em homogêneas, isto é, reduzi-las ao
mesmo denominador.
3 4
Exemplo: ,
5 6
Reduzindo-as ao mesmo denominador temos, respectivamente:
m.m.c. (5, 6) = 30
13
x
3
5


18
30
x
4
6
20
30


Assim:
18
20
3
4

, portanto
 .
5
6
30
30
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
Você já aprendeu que fração é um número que representa parte(s) do inteiro. Agora você vai
aprender a resolver situações problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que
saber operar (fazer conta) com esses números.
Adição e Subtração de Frações
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos:
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores:
Exemplo:
3
2
5


6
6
6
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair
apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador.
TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO
1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo)
2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador
3º) divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima de cada fração
4º) efetue a adição
Exemplo: Adriana viajou para a praia. Durante a primeira hora de viagem, ela percorreu do caminho e, na
segunda hora, mais . Que fração do percurso total Adriana já percorreu? Vamos encontrar frações
equivalentes as dadas no problema encontrando o M.M.C. entre 3 e 5.
28) Calcule, simplificando o resultado quando possível:
5
3
12
3
6
3
a)
b)
c)
=





8
2
2
4
6
8
d)
3
7


2
3
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
A multiplicação de frações é muito
simples, basta multiplicarmos
numerador por numerador e
denominador por denominador,
respeitando suas posições. Observe:
14
29) De acordo com essa regra prática, efetue e simplifique, se possível.
4
2
13
3
4
9
12 10
a) 
b)
c)
d)







7 10
9
26
18 20
5
36
DIVISÃO DE FRAÇÕES
A divisão deve ser efetuada
aplicando uma regra prática e
de fácil assimilação, que diz:
“repetir a primeira fração e
multiplicar pelo inverso da
segunda”.
30) Efetue e simplifique quando possível.
18
4
8
a) 9 :
b)
:


7 35
5
c)
5
15
:

10
4
d)
7
: 21 
12
Potenciação (multiplicação com o mesmo número)
Como vimos no conjunto dos naturais (Módulo 1) a potenciação é uma maneira abreviada de
representar uma multiplicação de fatores iguais. Observe:
5 . 5 . 5 = 53 = 125
O mesmo ocorre com as frações:
3
1 1 1
 1


  
2 2 2
2
3
1
 1
Da comparação vem que:   
8
2
31)Resolva as potências:
2
3
a)   
5
2
3
b)   
7
2
 1
c)   
4
Gabarito/ 1ª parte
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3
 1
d)   
 10 
A) 2292 alun B) 550 metros C) 547 D) 860
A) 24 b) 170 c) 40
A) 298
B) 96.468 C) 334.023 D) 5.518 E) 60.011 F) 165
A) 2 x 9 B) 3 x 12 C) 3 x 6 D) 2 x a
A) 720
B) 2500 C) 0 D) 3750
A) 1170 B) 2055 C) 5040
A) 133 resto 21 B) 230 resto 0 C) 148 resto 0 D) 631 resto 18
E) 3.880.412
F) 49.842
G) 1.021.045 H) 206.856
8. A) 7 B) 2 C) 49
9. A) 50² B) 155 C) 99 D) X4
10. A) 169 B) 441 C) 729 D) 64 E) 343
11. a) 6 b) 2 c) 3 d) 5
12. a, b, e, g
13. A) Sim B )Não C) Não D) Sim
14. a, c, d
15. a , c, e 16. 10 CASAS
17. a) Certo b) Errado c) Certo d) Certo e) Errado
18. 3 anos; 5 anos e 13 anos
19. a) 18 = 2 x 3² b) 12 = 2² x 3 c) 312 =
x 3 d) 15 = 3 x 5
2
4
e)   
9
15
e) 147 = 3 x 72 f) 637 = 13 x 72
20. a) 60= 2² x 3 x 5
b) 150 = 2 x 3 x 5² c) 55 = 5 x 11
21. a) 24 b) 40 c) 18 d) 60
22.
1
1
2
1
2
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
6
4
3
8
2
23. a) três sétimos b) dois quinze avos c) seis vinte avos d) quinze sextos
24.
2
a)
5
b)
5
12
25. a) x =18
2
3
26. a)
27.
a)
c)
13
4
30. a)
5
2
d)
b) x = 16
b)
2
5
c)
15 8
,
12 12
28. a)
6
100
b)
b)
b)
5
2
9
4
c) x = 42
2
3
13
8
31. a)
2
7
d)
48 15
,
40 40
c)
1
10
c)
d)
9
25
d) x = 1
e)
7
10
3 20
,
12 12
23
6
b)
e) x = 33
f)
d)
7
10
20 14
,
35 35
29. a)
9
49
c)
1
16
4
35
d)
1
1000
b)
1
6
e)
c)
1
10
d)
2
3
16
81
2ª parte
NÚMEROS DECIMAIS
São aqueles que aparecem valores menores que a unidade. Esses números são
normalmente chamados “números com vírgula”.
Ex:
3,54
;
8,403
;
0,001
Considere o numeral decimal: 3,547
3
 representa a parte inteira.
547  representa a parte decimal.
Na parte decimal:
O 1º algarismo  representa os décimos.
O 2º algarismo  representa os centésimos.
O 3º algarismo  representa os milésimos.
Obs.: A vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
12
21
A representação
,
etc são chamadas de frações decimais, pois o seu denominador é
100 100
uma potência de dez.
Outros exemplos de fração decimal:
8
3
4
,
,
10 1000 10000
16
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos
Exemplos:
0,6
Seis décimos
0,37
Trinta e sete centésimos
0,189
Cento e oitenta e nove milésimos
3,7
13,45
Três inteiros e sete décimos
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
Importante:
 Todo nº decimal pode ser transformado em fração decimal.
1º  escreva como numerador o número decimal sem a vírgula.
2º  escreva como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantos sejam os
algarismos decimais (após a vírgula).
Ex:
12973
2
1
b) 12,973 =
c) 0,001 =
1000
100
1000
Toda fração decimal pode ser transformada em número decimal.
1º) escreva o numerador da fração e
2º) separe este nº com uma vírgula, deixando após ela tantos algarismos quantos sejam os
zeros do denominador da fração.
a) 0,02 =
Ex:
478
3
235
b)
c)
 4,78
 0,003
 0,235
100
1000
1000
1. Transforme as frações decimais em numerais decimais:
15
379
1
8
a)
b)
c)
d)




10
10
10
100
Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por
1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:
(a) 7,4 x 10 = 74
(b) 7,4 x 100 = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta
deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:
(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475
17
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
A ) Adição : para adicionar duas ou mais importâncias em reais, efetua-se da forma indicada para
os números decimais( vírgula embaixo de vírgula).
Ex.: R$ 720,38 + R$ 6,00 720,38
+ 6,00
726,38
R$ 720,38 + R$ 6,00 = R$ 726,38
B ) Subtração: Efetua-se da forma indicada para os números decimais .
Ex.: R$ 650,00 – R$ 34,50
650,00
- 34,50
615,50
R$ 650,00 – R$ 34,50 = R$ 615,50
C) Multiplicação : só é válida a multiplicação de uma importância em real por um número. Não
existe a multiplicação de real por real. Para se multiplicar real por número efetua-se da mesma
forma que a multiplicação de numerais decimais.
Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a
vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à
soma dos números de casas decimais do fatores.
Exemplos:
3,49 x 2,5
Para dividirmos dois números decimais devemos deixá-los com o mesmo número de casas decimais
e então procedemos como na divisão de inteiros.
Observe as divisões a seguir:
 14,7 : 0,003
igualando as casas decimais:
14,700 : 0,003
eliminando a vírgula:
14700 : 3
resolvendo:
14700
2700
000
3
4900
Então a divisão de 14,7 por 0,003 resulta em 4900.
 0,729 : 8,1
igualando as casas decimais:
0,729 : 8,100
eliminando a vírgula:
resolvendo:
72900
0
8100
0,09
729 : 8100
Então a divisão de 0,729 por 8,1 resulta em 0,09.
18
a) Observação:
A divisão e a multiplicação de números decimais por potências de dez se dá apenas pelo
deslocamento da vírgula, conforme a operação que se deseje realizar.
 12,834 . 100 = 1283,4 (deslocou a vírgula duas casas para a direita)
 3,76 . 1000 = 3760 (deslocou a vírgula três casas para a direita)
 123,98 : 100 = 1,2398 (deslocou a vírgula duas casas para a esquerda)
 65,987 : 10000 = 0,0065987 (deslocou a vírgula quatro casas para a esquerda)
2. Determine o quociente nas divisões
a) 6,7 : 5 =
b) 13 : 5,2
c) 144 : 0,25
3. Efetue as operações indicadas:
a) 0,0387 . 100 =
b) 2,12 . 100 =
d) 234,79 : 1000 =
e) 546,1 : 10 =
c) 2,12 . 100 =
f) 9,73 : 100 =
4) Efetue as seguintes operações:
a) R$ 66,00 + R$ 3,50 =
b) R$ 3,20 + R$ 6,40 + R$ 19,20 =
d) R$ 48,00 : R$ 3,00 =
e) R$ 54,00 : 6 =
c) R$ 65,20 – R$ 32,10 =
f) R$ 18,30 x 3 =
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O que é medir uma grandeza?
Pense:
 Quantos palitos de fósforos há em uma caixa?
Você responde esta pergunta contando os fósforos.
E, se eu perguntar:
 Quantos litros de vinho cabem em um garrafão?
Você responderá contando quantas vezes a unidade (litro) cabe na grandeza a ser medida
(garrafão).
Você fez uma medição.
Então, medir é comparar.
Logo:
Medir uma grandeza significa compará-la a outra de mesma
espécie, chamada unidade padrão e descobrir quantas vezes essa
unidade padrão cabe na grandeza inicial.
Como unidades-padrão mais conhecidas temos:
 o metro
. o litro
. metro quadrado
 metro cúbico
. a hora
. quilograma
. o grau
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade fundamental utilizada para medir o comprimento é o metro (m).
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Para medir a distância entre duas cidades, autódromos, pistas de aviões, ou seja, medir
grandes distâncias usamos medidas maiores que o metro que chamamos de múltiplos do metro:
 quilômetro (km), que vale 1000 m
 hectômetro (hm), que vale 100 m
 decâmetro (dam), que vale 10 m
Para medir pequenas extensões como o comprimento de uma folha de papel, a espessura de
um vidro, o diâmetro da cabeça de um parafuso, etc., usamos medidas menores que o metro que
chamamos de submúltiplos do metro, que são:
19
 decímetro (dm), que vale 0,1 m (décima parte do metro)
 centímetro (cm), que vale 0,01 m (centésima parte do metro)
 milímetro (mm), que vale 0,001 m (milésima parte do metro)
Veja o quadro:
EXERCÍCIOS:
5). Associe:
a) quilômetro
b) hectômetro
c) decâmetro
d) metro
(
(
(
(
) dm
)m
) hm
) km
e) decímetro
f) centímetro
g) milímetro
(
(
(
) dam
) mm
) cm
6). Complete:
Qual a unidade de comprimento mais adequada que devemos usar para medir:
a) a distância de Porto Alegre a São Paulo? __________
b) a minha altura? __________
c) o diâmetro da cabeça de um parafuso? __________
d) a espessura do vidro de uma janela? __________
e) a largura do batente de uma porta? __________
f) o comprimento de um campo de futebol? __________
7). Resolva os problemas:
a) Numa construção, chama-se pé-direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
apartamentos o pé-direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15
andares?
b) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonais, por polegadas.
Considerando-se 1 polegada = 2,5 cm, quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas
Transformação de Unidades
Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
multiplica por
divide por
Exemplos:
a) Transformar 5,473 km em metros.
c) Transformar 70 cm em metros.
5,473 km = (5,473 x 1000) = 5473 m
70 cm = (70 : 100) = 0,70
b) Transformar 0,082 hm em metros.
0,082 hm = (0,082 x 100) = 8,2 m
d) Transformar 92,8 dm em metros.
92,8 dm = ( 92,8 : 10 ) = 9,28 m
20
EXERCÍCIOS:
8). Faça a conversão de:
a) 32,8 dm ______________m)
c) 1,9 dam ________________hm
b) 15 mm _______________cm
d) 0,12 m _______________ dam
Perímetro de um Polígono
A soma das medidas dos lados de um polígono é chamada de perímetro desse polígono.
A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de
comprimento: metro, centímetro, quilômetro...
Ex.: Calcular o perímetro da figura abaixo.
4m
Solução:
3,5 m
2m
P = 2m + 4 m + 3,5 m + 5 m
P = 14,5 m
5m
EXERCÍCIOS:
9). Resolva os problemas:
a) Os lados de um triângulo medem 3 cm, 4 cm e 5 cm. Qual é o seu perímetro?
b) Um quadrado tem 7 cm de lado. Qual é o seu perímetro?
c) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 114 m.
Se Mariana der três voltas completas em torno do jardim, quantos metros ela vai andar?
d) O perímetro de um quadrado mede 48 cm. Calcule a medida do lado desse quadrado.
e) Um retângulo tem 4 cm de base e 2,5 cm de altura. Qual o seu perímetro?
f) Calcule a medida do lado de um triângulo eqüilátero cujo perímetro mede 18 m.
Circunferência
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam
igualmente de um ponto fixo do plano.
Esse ponto fixo é chamado centro da circunferência.
Elementos da circunferência
 Qualquer segmento que una o centro a qualquer ponto de uma circunferência, chama-se
raio.
 Qualquer segmento que una dois pontos distintos da circunferência chama-se corda.
 A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro. O diâmetro é a
maior corda da circunferência.
Perímetro da circunferência
O perímetro ou contorno de uma circunferência é obtido por C = 2 .
C=2.
Observação:
.r
  (lê-se pi)  3, 14
r  raio
.r
21
EXERCÍCIOS:
10. Calcule:
a) O raio de uma circunferência mede 4 cm. Quanto mede o seu contorno?
b) Qual é o perímetro de uma circunferência com 2,5 cm de raio?
c) O diâmetro de uma circunferência mede 3 cm. Qual é o seu perímetro?
d) Calcule o contorno de uma circunferência cujo diâmetro mede 20 cm.
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Sabe-se que, no Egito antigo, os agricultores das margens do rio Nilo pagavam ao faraó um
imposto pelo uso da terra. Esse imposto era proporcional ao tamanho da terra cultivada. Esse fato
motivou um grupo especial de egípcios a se dedicarem a medir superfícies e a descobrir maneiras
que tornassem mais fácil essa medição.
Medir superfícies faz parte de nossas atividades:
 O orçamento da pintura de uma parede é feito medindo-se a superfície dessa parede.
 Quando se vai revestir com tábuas ou pisos cerâmicos o chão de uma casa, é preciso
medir a superfície ocupada pelo chão da casa.
 Quando se vai encapar com plástico um caderno ou um livro, é preciso medir a superfície
ocupada pela capa do caderno ou do livro.
 O Imposto Territorial Urbano (IPTU) que pagamos às prefeituras é calculado sobre a
medida da superfície ocupada pelo terreno onde está construída a nossa casa.
Chama-se área a medida de uma superfície.
A unidade fundamental utilizada para medir superfícies é o metro quadrado (m²).
As unidades maiores que o metro quadrado usadas para medir grandes superfícies são as
seguintes:
 O decâmetro quadrado (dam²), que corresponde a uma região quadrada de 1 dam de lado
e equivale a 100 m².
 O hectômetro quadrado (hm²), que corresponde a uma região quadrada de 1 hm de lado e
equivale a 10 000 m².
 O quilômetro quadrado (km²), que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado e
equivale a 1000 000 m².
A unidade mais usada é o quilômetro quadrado (km²).
As unidades menores que o metro quadrado usadas para medir pequenas superfícies são as
seguintes:
 O decímetro quadrado (dm²), que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado e
equivale a 0,01 m².
 O centímetro quadrado (cm²), que corresponde a uma região quadrada de 1 cm de lado e
equivale a 0,0001 m².
 O milímetro quadrado (mm²), que corresponde a uma região quadrada de 1 mm de lado e
equivale a 0,000001 m².
Entre elas, a mais usada é o centímetro quadrado (cm²).
Mudança de Unidades
Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
multiplica-se por
km²
100
hm²
100
dam² 100
divide- se por
m²
100
dm²
100
cm²
100
mm²
22
A mudança de unidade se faz deslocando a vírgula para a direita ou para a esquerda.
Exemplos:
a) Transformar 73,58 dam² em m².
73,58 dam² = (73,58 x 100) = 7358 m²
b) Transformar 0,54623 km² em m².
0,54623 km² = (0,54623 x 1000 000) = 5462
EXERCÍCIOS:
11. Responda:
a) Qual unidade você usaria para medir a superfície do perímetro urbano de sua cidade?
b) Se você fosse medir a superfície do quadro e giz da sala de aula, qual unidade você usaria?
c) Você quer colocar vidro em um vitrô pequeno. Qual unidade você usaria para medir a superfície
do vidro colocado nesse vitrô?
d) Uma parede deve ser revestida com azulejos. A parede tem 20 m² de área e cada azulejo tem
0,04 m² de área. Quantos azulejos devem ser comprados para revestir totalmente essa parede?
12. Complete:
a) 5,08 m² = ______________dm²
b) 4 km² = _______________hm²
c) 2,12 dm² = ________________cm²
d) 9 hm2 = ___________________ m2
Medindo Superfícies
ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Medir uma superfície é compará-la com outra superfície, tomada como unidade. O resultado
dessa comparação é um número chamado área da superfície.
Quando estudamos o Brasil, lemos nos livros certas afirmações, como:
 A área do território brasileiros é de 8 511 965 km².
 O Amazonas é o maior estado brasileiro em extensão territorial e tem uma área de 1 564
455 km².
Por esses dois exemplos, podemos dizer que:
Área de uma figura geométrica plana é o número que expressa a
medida da superfície dessa figura numa certa unidade.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS:
 Quadrado
l = lado
l
Área = l x l
l
 Retângulo
h
b = base
h = altura
Área = b x h
b
 Triângulo
h
b
b = base
h = altura
Área =
bxh
2
23
EXERCÍCIOS:
13. Calcule as áreas das seguintes figuras planas:
a) Quadrado de lado igual a 8 cm.
b) Retângulo de dimensões 6 e 10 cm.
c) Triângulo de base 8 cm e altura 3 cm.
MEDIDAS DE VOLUME
Estamos interessados em medir a
quantidade de espaço ocupado por um
sólido.
1m
Como
nas
outras
unidades
aprendidas, necessitamos de um padrão.
1m
Nesse caso será o cubo de aresta
medindo 1 metro e será chamado metro
cúbico (m³
Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico
1m
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km³
hm³
dam³
m³
dm³
cm³
mm³
Dessas unidades, as mais usadas são o decímetro cúbico (dm³) e o centímetro cúbico (cm³).
1 m³ = 1000 dm³
1 dm³ = 1000 cm²
Mudança de Unidades
Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
multiplica-se por
km³
1000 hm³
1000 dam³ 1000
m³
1000
dm³
1000
cm³
1000 mm³
divide- se por
A mudança de unidade se faz deslocando a vírgula para a direita ou para a esquerda.
Exemplos:
a) Transformar 5,847 dm³ em cm³.
5,847 dm³ = (5,847 x 1000) = 5847 cm³
b) Transformar 56,4 dm³ em m³.
56,4 dm³ = (56,4 : 1 000) = 0,0564 m³
EXERCÍCIOS:
14. Responda:
a) Uma medida de 0,045 m³ corresponde a quantos dm³?
b) Uma medida de 0,001 dm³ corresponde a quantos cm³?
c) Um sólido tem 2350 cm³ de volume. Qual é o seu volume em dm³?
d) Um sólido tem 52000 dm³. Qual o volume desse sólido em m³?
a)
b)
c)
d)
15. Complete:
8 m³ = ______________dm³
3 cm³ = _______________mm³
50 dm³ = ________________cm³
0,832 m³ = _______________dm³
e) 2 km³ = _______________ dam³
f) 745 dm³ = _______________ m³
g) 75000 m³ = ______________ dam³
h) 327458 cm³ = _____________ dm³
24
UNIDADES DE CAPACIDADE
Observe o desenho abaixo:
Dizemos que a capacidade da caixinha é de 1 litro.
Usamos o tremo capacidade (volumétrica) para medir,
por exemplo, quantidades de líquidos ou gases que cabem
no interior de determinado recipiente.
Observe que nas caixas-d’água, vem escrito:
Capacidade: 1000 litros.
A unidade padrão é o litro.
Múltiplos e submúltiplos do litro
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Importante:
Como relacionar unidade de volume com unidade de capacidade.
1 litro = 1 decímetro cúbico
1 l = 1 dm³

1 ml
1 ml = 1 cm³
1000 l = 1 m³ 
EXERCÍCIOS:
16. Indique qual unidade, dentre litro e mililitro, é a mais adequada para medir a capacidade dos
seguintes recipientes:
a) a caixa-d’água de residências:____ b) ampola de injeção:_____ c) tanque de gasolina:____
17. Resolva os problemas:
a) Uma caixa-d’água tem capacidade de 8 m³. Quantos litros ela contém?
b) Foram vendidos 3 l de leite, distribuídos em copos com capacidade de 250 ml. Quantos
copos de leite forma vendidos?
25
MEDIDAS DE MASSA:
Dependendo do valor da massa do corpo podemos usar outras unidades, múltiplos e
submúltiplos do quilograma. Veja:
 1 tonelada (1t) = 1000 kg
 1 grama (1 g) = 0,001 kg (milésima parte do quilograma)  1 kg = 1000 g
 1 miligrama (1mg) = 0,001 g (milésima parte do grama)  1 g = 1000 mg
18. Dentre quilograma, grama, miligrama e tonelada, qual utilizamos normalmente para medir a
massa de:
a) um homem:
c) um navio:
e) um pernilongo:
b) um morango:
d) um saco de batatas:
f) uma bolinha de tênis:
19. Lembrando que 1 kg = 1000 g, escreva em seu caderno as seguintes massas em gramas:
a) 15 kg:
b) 1,5 kg
c) 0,9 kg:
d) 0,25 kg
20. Na foto ao lado, observamos a
massa que uma balança digital
acusou quando foi colocado sobre
ela um pacote de manteiga.
a) Quantos pacotes iguais a esse
são necessários para completar 1
kg de manteiga?
b) Se o preço da manteiga é de R$ 6,00 o quilograma, quanto deverá custar esse pacote?
21. Helena e Marta vão à
feira com uma lista de
compra. Supondo que cada
laranja e cada pepino
tenham 100 g de massa;
cada mamão, 250 g; e o
repolho, 1200 g, e que elas
compraram tudo o que
estava na lista, quantos
quilogramas vão ter de
carregar na volta para
casa?
 3 kg de batatas
 0,5 kg de cenouras
 meia dúzia de pepinos
 1,5 kg de tomates
 dois mamões
 duas dúzias de laranjas
 um repolho
GABARITO / 2ª PARTE
1) a) 1,5 b) 37,9 c)0,1 d) 0,08
11) a) Km2 b) cm2 c) cm2 d) 500 azulejos
2) a) 1,34 b) 2,5 c) 576
12) a) 508 b) 400 c) 212 d) 9000
3) a) 3,87
b) 239,8 c) 212
13) a) 64 cm2 b) 60 cm2 c) 12 cm2
d) 0,23479 e) 54,61 f) 0,0973
14) a) 45 dm3 b) 1 cm3 c) 2,35 dm3 d) 52 m3
4) a) 69,5 b) 28,80 c) 32,90
15) a) 8.000 b) 3.000 c) 50.000 d) 832
d) 16,00 e) 9,00 f) 54,90
e) 2.000.000 f) 7,458 g) 75 h) 327,458
5) ( e ) ; ( d ) ; ( b) ; ( a ); ( c ); ( g ); ( f ).
16) a) litro b) mililitro c) litro
6) a) km b) m c) mm d) mm e) cm e) m
17) a) 8000 litros
b) 12 litros
7) a) 40,5m b) 40cm
18) a) quilograma b) grama c) tonelada
8) a) 3,28 b) 1,5 c) 0,19 d) 0,012
d) quilograma e) miligrama f) grama
9) a) 12 cm b) 28 cm c) 1368 m; 684 m; 304m
19) a) 15000g b) 1500g c) 900g d) 250g
d) 12 cm e) 13 cm f) 6 cm
20) a) 4 pacotes b) R$ 1,50
10) a) 25,12 cm b) 15,7 cm c) 9,42 cm d) 62,8 cm 21) 9,7 Kg
26
3ª PARTE
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z
(Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
distâncias iguais
Na reta numérica:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4 5
6
distâncias iguais
Ordem e simetria no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em
Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na
reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2
(c) -5 é antecessor de -4
(e) 0 é antecessor de 1
(g) -1 é sucessor de -2
(b) 2 é antecessor de 3
(d) -4 é sucessor de -5
(f) 1 é sucessor de 0
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e
ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da
origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
1. Complete:
a) O oposto de + 7 é _______
b) O oposto de – 8 é _______
c) O oposto de – 3 é _______
d) O oposto de + 1 é _______
e) O oposto de + 10 é _______
f) O oposto de 0 é _______
g) O oposto de + 2 é _______
h) O oposto de + a é _______
i) O oposto de – b é _______
j) O oposto de + y é _______
Números Inteiros: Comparação
De um modo geral, dados dois números inteiros:
 O negativo é sempre menor que o positivo.
 Se são positivos, o menor é aquele que está mais próximo de zero.
 Se são negativos, o menor é aquele que está mais distante de zero, ou seja, é o que
tem
 maior módulo.
Exemplos:
a) – 5 < 1
b) + 2 < +10
c) + 5 > – 12
d) – 10 < – 4
27
EXERCÍCIO:
2. Complete com > (maior) ou < (menor):
a) + 8 ...... + 3
g) + 2 ...... –1
b) + 2 ...... + 1
h) – 3 ...... –1
c) + 11 ...... + 5
i) – 2 ...... + 7
d) + 7 ...... + 10
j) –10 ...... – 3
e) 0 ...... + 2
l) + 2 ...... – 2
f) –1 ...... 0
m) – 5 ...... + 3
n)
o)
p)
q)
r)
s)
– 3 ...... – 8
0 ...... – 7
– 6 ...... – 2
–11 ...... + 11
5 ...... – 20
– 6 ...... – 2
Operações com Números Inteiros
1. ADIÇÃO
A Soma de Números Inteiros
As parcelas têm
sinais iguais
As parcelas têm
sinais diferentes
1) (+ 43) + (+ 10) = + 53
2) (– 82) + (– 38) = – 120
3) (+ 52) + (– 38) = + 14
4) (+ 17) + (– 62) = – 45
Então:
Então:
 A soma de dois números inteiros
 A soma de dois números inteiros
com sinais iguais é um número inteiro com sinais diferentes é um número
com:
inteiro com:
 sinal igual ao das parcelas.
 sinal igual ao da parcela de maior
valor absoluto (ou módulo)
Observação:
A soma de dois números inteiros opostos é zero.
Ex.: (+10) + (– 10) = 0
(– 5) + (+ 5) = 0
EXERCÍCIOS:
3. Calcule as somas:
a) (+ 3) + (+ 7) = _____
b) (+ 2) + (+ 5) = _____
c) (+ 1) + (+ 3) = _____
d) (+ 8) + (+ 2) = _____
4. Efetue:
a) (– 2) + (– 3) = _____
b) (– 8) + (– 2) = _____
c) (– 12) + (– 1) = _____
d) (– 20) + (– 3) = _____
e) (+ 13) + (+ 5) = _____
f) (+ 6) + (+ 14) = _____
g) (+ 2) + (+ 33) = _____
h) (+ 8) + (+ 20) = _____
e) (– 7) + (– 2) = _____
f) (– 10) + (– 3) = _____
g) (– 6) + (– 8) = _____
h) (– 13) + (– 1) = _____
Atenção:
A soma de números inteiros pode ser simplificada eliminando os parênteses e deixando
de escrever o sinal de adição.
Acompanhe os exemplos:
a) (+38) + (– 75) = + 38 – 75 = – 37
b) (– 64) + (– 19) = – 64 – 19 = – 83
c) (– 20) + (+ 30) = + 10 ou 10
d) (– 17) + (– 35) + (+ 21) = – 17 – 35 + 21
– 52
+ 21 = – 31
28
EXERCÍCIOS:
5. Efetue, eliminando os parênteses, como no exemplo:
a) Ex.:(+ 10) + (– 8) = + 10 – 8 = 2
i) (– 3) + (– 4) + (+9) = _____
b) (+ 7) + (– 2) = _____
j) (– 2) + (+ 5) = _____
c) (+ 1) + (– 5) = _____
k) (– 9) + (+ 10) = _____
d) (+ 8) + (– 9) = _____
l) (– 5) + (+ 6) = _____
e) (+ 5) + (– 10) = _____
m) (+ 3) + (– 8) + (+ 4) = _____
f) (+ 3) + (– 8) = _____
n) (– 12) + (+ 10) = _____
g) (– 12) + (+ 3) + (– 1) = _____
0) (– 20) + (+ 15) = _____
h) (– 5) + (+ 7) + (+ 6) = _____
p) (+ 10) +(– 5) + (– 2) = _____
6. Qual é a soma de (+73) + (– 48)?
7. Qual é o valor de (– 84) + (+ 65)?
Lembrete:
Na adição de números inteiros:
 A ordem das parcelas não altera a soma.
Ex.: (+ 27) + (– 13) = (– 13) + (+ 27)
27 – 13 = – 13 + 27
14 = 14
O “zero” é o elemento neutro da adição.
Ex.: (– 32) + 0 = – 32 + 0 = – 32
2. SUBTRAÇÃO

Subtração
(+ 10) – (+ 3) = + 7
(+ 3) – (+ 10) = – 7
(+ 5) – (– 8) = + 13
(– 24) – (– 20) = – 4
Adição
(+ 10) + (– 3) = + 7
(+ 3) + (– 10) = – 7
(+ 5) + (+ 8) = + 13
(– 24) + (+ 20) = – 4
A diferença de dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o oposto do
segundo.
Exs.: a) (– 36) – (– 51) = (– 36) + (+ 51) = 15
b) (+ 20) – (+ 15) = (+ 20) + (– 15) = 5
Uma subtração de números inteiros pode ser simplificada eliminando os parênteses e o
sinal – e substituindo o segundo termo pelo seu oposto.
Exs.: a) (+ 36) – (+ 84) = 36 – 84 = – 48
b) (– 2) – (– 9) = – 2 + 9 = 7
c) (+ 5) – (– 8) = 5 + 8 = 13
EXERCÍCIOS:
8. Elimine os parênteses e efetue:
a) (+ 10) – (+ 2) = _____
b) (+ 7) – (+ 5) = _____
c) (+ 11) – (+ 9) = _____
d) (+ 3) – (– 2) = _____
e) (+ 10) – (– 8) = _____
f) (+ 3) – (– 5) = _____
g) (+ 5) – (+ 8) = _____
h) (– 4) – (+5) = _____
i) (– 5) – (– 7) = _____
j) (– 5) – (– 5) = _____
k) (– 9) – (+ 9) = _____
l) (– 10) – (+ 7) = _____
m) (– 8) – (– 3) = _____
n) (– 1) – (– 9) = _____
3. MULTIPLICAÇÃO
O pai de José fez no caixa eletrônico de seu banco três retiradas seguidas de R$ 50,00.
Responda: quanto o pai de José retirou no total?
Esse cálculo pode ser indicado por uma adição.
29
(– 50) + (– 50) + (– 50) = – 50 – 50 – 50 = – 150
ou uma multiplicação
3 . (– 50) = – 150
Outros exemplos
 (– 4) . (+ 9) = – 36
 (+ 4) . (– 2) = – 8
Então:
O produto de dois números inteiros diferentes de zero de sinais diferentes é um
número inteiro de sinal ( – ) negativo.
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e com sinais iguais é um
número positivo.
Ex.:  (+ 5) . (+ 8) = + 40 = 40
 (– 6) . (– 2) = + 12 = 12
Observação:
Quando um dos fatores é zero, o produto é zero.
Exs.: a) (+ 50) . 0 = 0
b) 0 . (– 15) = 0
EXERCÍCIOS:
9. Efetue:
a) (+ 3) . (– 4) = _____
b) (+ 7) . (– 5) = _____
c) (+ 9) . (– 2) = _____
d) (+ 11) . (– 3) = _____
e) (+ 15) . (– 1) = _____
f) (– 2) . (+ 7) = _____
g) (– 8) . (+ 3) = _____
h) (– 13) . (+ 1) = _____
i) ( 0 ) . (+ 2) = _____
j) (– 3) . (+ 6) = _____
k) (– 2) . (- 25) = _____
l) (+9) . (+ 3) = _____
m) (– 16) . (- 1) = _____
n) ( 0 ) . ( -7 ) = _____
o) (+ 2) . (+ 25) = _____
Mais de dois números
Para efetuarmos a multiplicação com mais de dois números procedemos como nos
seguintes
Exemplos:
a)
(– 4) . ( + 2) . (– 5) =
(– 8) . (– 5) = + 40
(+ 2) . (– 3) . (– 4) . (– 1) =
b)
(– 6) . (– 4) . (– 1) =
(+ 24) . (– 1) = – 24
10. Efetue:
a) (– 3) . (+ 2) . (– 4) = _____
b) (+ 5) . (+ 6) . (– 2) = _____
c) (– 7) . (– 5) . (– 2) = _____
d) (+ 8) . (+ 1) . (+ 1) = _____
e) (– 4) . (– 8) . (+ 3) = _____
f) (+ 7) . (– 2) . (+ 1) = _____
g) (– 10) . (+ 2) . (– 5) . (– 1) = _____
h) (+ 1) . (+ 2) . (+ 3) (– 4) = _____
i) (+ 9) . (– 1) . (+ 2) . (– 3) = _____
j) (+ 5) . (– 6) . (+ 2) . 0 = _____
Lembrete:
Na multiplicação de números inteiros:
 A ordem dos fatores não altera o produto.
Ex.: (– 3) . (– 4) = (– 4) . (– 3)
12

=
12
O elemento neutro da multiplicação é o + 1 ou 1.
Exs.: (+ 7) . (+1) = (+ 1) . (+7) = 7
(– 30) . (+1) = (+ 1) . (– 30) = – 30
30
4. DIVISÃO
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
 12 : 4 = 3 porque 3 . 4 = 12
 1,4 : 0,7 = 2 porque 2 . 0,7 = 1,4
Usando essa idéia, podemos resolver divisões entre números negativos.
 10 : (– 2) = – 5 porque – 5 . (– 2) = +10 = 10
 (– 14) : 7 = – 2 porque – 2 . 7 = –14
 (– 20) : (– 2) = 10 porque 10 . (– 2) = –20
Resumindo:
O quociente entre dois números de mesmo sinal é um números positivo.
O quociente entre dois números de sinais diferentes é um números negativo.
EXERCÍCIOS:
11. Calcule:
a) (– 6) : (– 2) = _____
b) (+ 8) : (– 4) = _____
c) (– 10) : (+ 2) = _____
d) (+12) : (+ 4) = _____
e) (+ 40) : (– 5) = _____
f) (– 12) : (– 3) = _____
g) (– 64) : ( + 8) = _____
h) (– 24) : (– 2) = _____
i) (– 48) : (– 48) = _____
5 . POTENCIAÇÃO
Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita usando-se a potenciação. Observe:
expoente
base
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
potência
Lembrete:
base: fator que se repete;
expoente: número de vezes que o fator aparece
Na potenciação com números inteiros, destacamos:
 Expoente par:
Quando o expoente é par, a potência é sempre positiva.
expoente par
Ex.:
(+ 3)² = 9 pois (+ 3)² = (+ 3) . (+ 3) = + 9 = 9
12. Complete:
a) (– 2)² = _____
b) (+ 5)² = _____
c) (– 7)² = _____
d) (–1)4 = _____
e) (– 8)² = _____
f) (– 3)4 = _____
g) (–1)6 = _____
h) (+ 3)4 = _____
i) (– 2)4 = _____
 Expoente ímpar:
Quando o expoente é impar, a potência tem o sinal da base.
expoente ímpar
Exs.:
(+ 2)³ = + 8 pois (+ 2) . (+ 2) . (+ 2) = + 8 = 8
expoente ímpar
(– 2)³ = – 8 pois (– 2) . (– 2) . (– 2) = – 8
13. Complete:
a) (+ 3)³ = _____
b) (– 3)³ = _____
c) (+ 2)5 = _____
d) (– 2)5 = _____
e) (+ 4)³ = _____
f) (– 4)3 = _____
g) (+ 1)5 = _____
h) (– 1)7 = _____
31
6. RAIZ QUADRADA
Sabemos que 25 = 5 por que 5² = 25
Também vimos que (– 5)² = 25
Temos dois números inteiros que elevados ao quadrado resultam 25: o 5 e o – 5. Ou
seja, existem duas raízes quadradas do número 25.
Combinou-se que:
25 = 5 e – 25 = – 5
Atenção:
Dois é um número par. Todo o número elevado ao quadrado (expoente par) é positivo.
Portanto, não existem raízes quadradas de números negativos.
Ex.:  16 não existe
EXERCÍCIOS:
14. Porque a raiz quadrada de 400 é 20?.
15 . Complete:
a) + 9 = _____
g) – 64 = _____
h) + 81 = _____
b) – 9 = _____
c) + 36 = _____
d) – 4 = _____
e) – 25 = _____
f) + 49 = _____
i) +
j) +
k) –
l) +
1 = _____
 25 = _____
 16 = _____
 36 = _____
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Veja alguns exemplos:
x representa
Y representa
um número.
um número.
2) 2 . y significa:
- duas vezes um número;
- o produto de 2 por um número;
- o dobro de um número.
x representa
a representa
1) x + 4 significa:
- um número mais 4;
- a soma de um número com 4;
- um número acrescido de 4;
- 4 unidades a mais do que um número
representado por x.
um número.
a
significa:
3) x – 4 significa:
3
- um número menos 4;
- um número dividido por 3;
- a diferença de um número com 4;
- o quociente de um número por 3;
- um número diminuído de 4;
- a terça parte de um número represen- 4 unidades a menos do que um nu- tado por a.
mero representado por x.
um número.
4)
Chamamos de expressão algébrica uma expressão que envolve números, letras e
operações indicadas entre eles.
As letras são as variáveis da expressão: elas representam um número qualquer.
32
EQUAÇÔES
Equações são sentenças matemáticas abertas expressas por uma igualdade que
envolvem números desconhecidos representados por letras.
Numa equação, assim como em toda a igualdade, existem “dois lados”, separados pelo
sinal =. Cada “lado” é um membro dessa equação.
4x + 2 = x + 1
1º membro
Exemplos de equações:
x
a) x –
=5
3
EXERCÍCIOS:
2º membro
b) 3x + 22 = 27
c) 6(x + 2) = 8
16. Coloque x nas sentenças que são equações:
a) 4x + 2 = 8
( )
h) x – 1 = 0
b) 3 + 7 = 10
( )
i) 3x4 + 7 = 10
c) 8x > 16
( )
j) 4 + 3 < 10
d) y  2
( )
k) 3 : 3 = 1
e) 6x + 2 = 0
( )
l) 3² = 9
f) x5 + 7 = 10 ( )
m) x² + 3x + 2 = 0
g) 5 – 3 = 2
( )
n) x³ + 4x = 0
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
RESOLUÇÂO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Resolver uma equação é determinar o valor da incógnita que torne a sentença
verdadeira.
A solução de uma equação é chamada de raiz da equação.
Na equação x + 2 = 7, a variável x chama-se incógnita.
Para que esta sentença se torne verdadeira o x deve valer 5.
 Então 5 é a raiz da equação.
Veja outros exemplos:
a) x + 1 = 8
Se x valer 7 a sentença se torna verdadeira.
 Então 7 é a raiz da equação.
b) 3x – 1 = 11
Se x valer 4 a sentença se torna verdadeira.
 Então 4 é a raiz da equação.
c) 8x – 12 = 4
Se x valer 2 a sentença se torna verdadeira.
 Então 2 é a raiz da equação.
EXERCÍCIOS:
17. Complete:
a) Em x + 3 = 7, o valor de x é ____ ou a raiz da equação é 4.
b) Em 8x = 16, o valor de x é 2 ou a raiz da equação é _____.
c) Em y – 5 = 0, o valor de y é ____ ou a raiz da equação é 5.
d) Em z + 10 = 13, o valor de x é 3 ou a raiz da equação é _____.
e) Em 5x = 10, o valor de x é ____ ou a raiz da equação é 2.
f) Em x – 9 = 9, o valor de x é 18 ou a raiz da equação é _____.
18. Siga o modelo, determinando a raiz das equações.
Modelo: x + 1 = 5  x = 4
a) 3x = 21
x=
b) y – 2 = 8  y =
33
c) 2x = 14
d) y + 2 = 8
e) 5x = 10
f) 2x + 1 = 17
x=
y=
x=
x=
EQUAÇÔES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL
Chamamos de equação do 1º grau com uma variável as equações onde o maior
expoente dessa variável é 1.
Exemplos:
a) x + 2 = 7
b) 3y = 12
c) z – 5 = 3
EXERCÍCIO:
19. Assinale com x as equações do 1º grau:
a) 3x + 7 = 10
( )
b) x² – 16 = 0
( )
c) y + 2 = 7
( )
d) 2y – 3 = 9
( )
e) y² = 25
( )
f) 3x³ = 12
( )
g) x² + 2x – 5 = 0 ( )
h) 5x – 32 = 12
i) y³ – 8 = 0
j) 3x + 2 = 0
k) x² – 4 = 8
l) 5x4 = 10
m) 10x +7 = 7
n) 5x³ – 9 = 10
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
Resolução de equações do 1º grau – PROCESSO PRÁTICO
Para resolver uma equação do 1º grau, devemos:
1º) Agrupar no 1º membro  todos os termos com a variável;
Agrupar no 2º membro  todos os termos independentes (números);
2º) Efetuar as operações;
3º) Determinar o valor da variável.
Exemplos:
Determine o valor da incógnita:
 Isolamos o x, transportando o 3 para o 2º membro.
a) x + 3 = 7
 O 3, que estava adicionado, passa subtraindo.
x=7–3
x=4
b) 3x – 4 = 2x + 8  Agrupamos no 1º membro as variáveis e no 2º membro
3x – 2x = 8 + 4
os valores numéricos.
 Efetuamos as operações de cada membro.
x = 12
c)
d)
7x – 2 + 4 = 10 + 5x
7x – 5x = 10 + 2 – 4
2x = 8
8
x=
2
x=4

Agrupamos as variáveis e os valores numéricos,
cada qual em seu membro.

Interessa-nos o valor de x e não o valor de 2x.
Então, devemos passar o 2 que estava multiplicando, para o 2º membro, dividindo.
3x – 2 = 10 + x

3x – x = 10 + 2
2x = 12
12
x=
2
x=6

Transportamos x para o 1º membro e –2 para o 2º
membro.
No 1º membro ficam os termos “com x” e no 2º
membro ficam os valores numéricos.
34
e)
3 . ( x + 2) = 0
3x + 6 = 0
3x = – 6
6
x=
3
x=–2


Multiplicamos, conforme indicam as setas.
Passamos o 6 para o segundo membro.
EXERCÍCIOS:
20. Resolva as equações do 1º grau:
a) 2x – 2 = 10
b) 3x + 5 = 2
c) 3x + 5 = 20
d) 5x – 2 = 18
e) 6x – 3 = 5x + 10
f) 8x – 1 = 2x + 11
g) 5x + 4 = 13 + 2x
h) 5 x + 6x + 16 = 3x + 2x + 4
i) 2x + 3x + 9 = 8 . (6 – x)
j) 4 . (x + 10) – 2 . (x – 5) = 0
PROBLEMAS DO 1º GRAU
Recordando a passagem da linguagem comum para a linguagem matemática.
Linguagem comum
Um número.
O dobro de um número.
O triplo de um número.
A metade de um número.
Um número mais três é igual a cinco.
O dobro de um número menos o próprio número é cinco.
A soma dos quocientes de um número por três, por
cinco e por dez é trinta e oito.
Linguagem matemática
X
2x
3x
x
2
X+3=5
2x – x = 5
x x x
 
 38
3 5 10
EXERCÍCIO:
21. Traduza para a linguagem matemática:
a) Um número somado com doze dá vinte. ______________________
b) Um número mais três é igual a dez. ___________________________
c) Um número somado com cinco dá oito. ________________________
d) Subtraindo-se dez de um número, obtêm-se cinco. _______________
e) Um número aumentado de cinco dá onze. ______________________
f) O triplo de um número é doze. ________________________________
g) O quíntuplo de um número é dez. ______________________________
h) A sexta parte de um número somada com sua metade resulta em oito. _____________
Resolvendo Problemas
Um dos caminhos para resolver um problema é usar uma equação. Para isso, é preciso
determinar a equação que nos dá a solução desse problema. É o que se costuma chamar de
equacionar o problema.
Para equacionar um problema:
1º) identifique uma incógnita do problema e represente-a por uma letra qualquer;
2º) identifique o conjunto de números ao qual poderá pertencer a solução. Esse será o
conjunto universo;
3º) escreva a equação do problema;
4º) resolva a equação;
5º) verifique se a raiz é ou não solução do problema proposto.
35
Nos exemplos que se seguem, as sugestões poderão ajuda-lo a equacionar os
problemas propostos.
Exemplos:
a) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número?
Resolvendo a equação do problema:
x
x+
= 80
4
4x x
320
=
4
4
Resposta: O número procurado é 64.
5x = 320
320
x=
5
x = 64  Raiz da equação
b) O dobro de um número mais a sua terça parte é igual a 21. Qual é esse número?
x
Linguagem simbólica: 2x +
=21
3
Resolvendo a equação do problema:
x
7x = 63
2x +
=21
3
63
x=
6x x
63
7
=
3
3
x = 9  Raiz da equação.
Resposta: O número procurado é 9.
c) A soma de 2 números naturais consecutivos é 17. Quais são esses números?
Números consecutivos: x e x + 1
16
Resolvendo a equação:
x=
x + x + 1 = 17
2
2x + 1 = 17
x=8
2x = 17 – 1
2x = 16
O outro número é x + 1 = 8 + 1 = 9
Resposta: Os números são 8 e 9.
EXERCÍCIO:
22. Resolva os problemas:
a) O dobro de um número aumentado e 15 é igual a 49. Qual é esse número?
b) A soma de um número como seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?
c) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que
juntos têm 60 anos.
d) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia?
e) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse
número?
f) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse
número?
g) O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número aumentado de
2. Qual é esse número?
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
Expressões algébricas
O cinema encheu! Não há mais cadeira vazia. Qual terá sido a arrecadação da
bilheteria?
 Se todos pagaram inteira: 200 x 6,00 = 1.200,00
 Se todos pagaram meia: 200 x 3,00 = 600,00
 Se 100 pagaram meia e 100 inteira: 100 x 3,00 = 300,00
100 x 6,00 = 600,00 +
900,00
36
 Se 47 pagaram meia e 153 inteira:
47 x 3,00 = 141,00
153 x 6,00 = 918,00 +
1.059,00
Programando o cálculo
Número de meias-entradas = x
Número de inteiras = y
Dinheiro arrecadado com a venda de meias-entradas = 3x
Dinheiro arrecadado com a venda de inteiras = 6y
Arrecadação total = 3x + 6y
Uma sentença como esta, 3x + 6y, onde aparecem letras e números é chamada
expressão algébrica.
Vamos usá-la para calcular a arrecadação do cinema no caso de terem sido vendidas 92
meias-entradas e 108 inteiras.
3x + 6y
3.92 + 6. 108 = 276 + 648 = 924
A arrecadação terá sido de R$ 924,00
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e
estão substituindo valores, com as letras x e y na expressão da arrecadação do cinema.
Veja algumas expressões algébricas:
1) 2ab + 1
3) 3a3 – 5ab2 + 4b3
x 2x
4) 2x – 2y3
2) 
 x2
3 4
Valor Numérico
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse valor é encontrado a partir do
momento em que temos ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é pedido
para que se calcule o valor numérico da expressão algébrica 2x 2y é preciso que saibamos ou
atribuímos valores para as letra X e Y.
Então vamos supor que na equação 2x2y, os valores das letras seja X= -2 e Y =1.
Agora substituindo esses valores chegaremos em um valor numérico.
2x2y
2. (-2)2.1
2.4.1 = 8
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
a) Potenciação ou Radiciação
b) Multiplicação ou Divisão
c) Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que
estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal,
desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores
negativos.
EXERCÍCIO:
23. Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas:
a) a + 10
para a = 2
b) 7 – x
para x = 3
37
c) 25 – y
para y = -2
d) x² + 1
para x = 4
e) 5a – 3b²
para a = 3 e b = 2
f) 8x³ – 7xy
para x = -1 e y = 1
g) 3y – 2x²y + 5x – 7 para x = -3 e y = 2
Os Monômios
Uma expressão algébrica será chamada monômio se for inteira e envolver apenas
operações de multiplicação. Em um monômio podemos identificar duas partes: a parte literal e
o coeficiente.
Monômio
5xy
Coeficiente
5
Parte literal
xy
1 2
a
4
1
4
–3 m²n³p
mb²
–3
1
a²
m²n³p
mb²
As expressões algébricas formadas unicamente por monômios são também chamadas
polinômios. E alguns podem ainda receber nomes especiais:
As expressões em que aparecem mais de três monômios são chamadas simplesmente
de polinômios.
EXERCÍCIO:
24. Complete:
a) –5x²
coeficiente_______
parte literal _______
2
coeficiente_______
parte literal _______
b) x 3
3
c) 2x³y²
coeficiente_______
parte literal _______
d) 3a
coeficiente_______
parte literal _______
e) x5
coeficiente_______
parte literal _______
3 2 3
a b d
coeficiente_______
parte literal _______
f) –
5
OPERANDO COM MONÔMIOS
1
O que os monômios 3xy, –8xy e xy tem em comum?
3
Todos eles tem a mesma parte literal, “xy”. Por isso são chamados monômios semelhantes.
Monômios semelhantes
3b; – 4b; 3b
1
2x²; – x²; 0,51x²
5
2ax²; – 4ax²; ax²
Os monômios 3x²y e 3xy² não são iguais, nem semelhantes. Os expoentes de cada
variável são diferentes.
Observação: É muito comum os estudantes, ao terem o primeiro contato com os cálculos
algébricos, os seguintes erros no cálculo da adição ou da subtração:
ERRADO:
Veja que 3a³ e 2a² não possuem a mesma parte literal e, portanto, não podem ser
somados. No caso acima, não há termos que podem ser somados ou subtraídos.
38
EXERCÍCIO:
25. Coloque V ou F:
a) Dois termos de mesma parte literal são semelhantes.
b) 5x² e 3x² são semelhantes.
c) 5a²b e 7a²b² são semelhantes.
d) 7x³y e x³y não são semelhantes.
ab
e)
e 5ab são semelhantes.
3
f) 10x²y³ e 8x³y² não são semelhantes.
(
(
(
(
)
)
)
)
(
)
(
)
Observação:
Podemos diminuir o número de termos de uma expressão algébrica adicionando ou
subtraindo os termos semelhantes.
Exemplo:
Reduzir os termos semelhantes das expressões
1) 2x² + 3xb – 5xb + x² +1
2) 5xy + 3 – 2xy + 4
2x² + x² + 3xb – 5xb +1
5xy – 2xy + 3 + 4
3x²
– 2xb
+1
3xy
+7
Você percebeu a redução do número de termos da expressão? Chamamos isso de
redução de termos semelhantes.
EXERCÍCIOS:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
26. Reduza os termos semelhantes:
2x + 3x =
12y + 3y – 9y =
3a – 2a +13a – 5a =
11b – b =
3x + 2y + 5x =
5y – 2x +10y + 7x =
5x + 3 – 2x + 11 =
15a²b + 2a²b – 3a²b =
4m – 5 + 3m +2 =
12xy – 7a – 15xy + 2xy – 13a =
Na adição e subtração algébrica, operamos com os coeficientes e conservamos a parte literal
Observe:
Sejam:
A = 3x² - 5x + 7
B = 2x² + 8x – 10
A + B = (3x² - 5x + 7) + (2x² + 8x – 10)
Eliminamos os parênteses:
3x² - 5x + 7 + 2x² + 8x – 10
Reduzimos os termos semelhantes:
5x² + 3x – 3
Podemos ainda obter a soma A + B utilizando o seguinte método prático:
3x² – 5x + 7
2x² + 8x – 10
5x² + 3x – 3
39
Na subtração, nos parênteses precedidos do sinal de “–“ trocamos todos os sinais
de dentro.
Sejam:
A = 3x² - 5x + 7
B = 2x² + 8x – 10
A – B = (3x² - 5x + 7) – (2x² + 8x – 10)
Eliminamos os parênteses:
3x² - 5x + 7 – 2x² – 8x + 10
Reduzimos os termos semelhantes:
x² – 13x +17
Ou, então, pelo método prático:
3x² – 5x + 7
–2x² – 8x +10
x² – 13x +17
EXERCÍCIOS:
27. Dados: A = 5x – 3
Calcule:
a) A + B =
c) A + C =
b) B + C =
d) A – B =
B = 2x + 4
e) B – C =
f) A – C =
C = – 3x + 8
g) B – A =
h) C – B =
i) C – A =
j) A + B – C =
MULTIPLICAÇÃO
Para efetuar a multiplicação de polinômios, vamos considerar os seguintes casos:
1º caso:
 Monômio por monômio
Multiplicamos os coeficientes e adicionamos os expoentes de mesma base da parte literal.
a)
3x²y . 5x³y² =
3. 5 . x² . x³ . y . y² =
3. 5 . x2 + 3 . y1+ 2 =
15 x5y³
EXERCÌCIO:
28. Efetue:
a) 4x . 2y =
3
d) x²y³ . 5x³ =
4
b)
3x . 5y = 15 xy
c)
3
6
d) 2a . b = ab
5
5
– 10x²y . 5x = –50x³y
b) 3x2 . 5x3
e) 3abc² . b³c =
c) 2ab² . 7b³ =
f) 5a³ . (– 4a²c) =
g) 3x²y . 2xy² . 5x³z =
2º caso:
 Monômio por polinômio
Multiplicamos o monômio por todos os termos do polinômio.
Exemplo:
5x . (2x² + 3x – 4) = 10x³ + 15x² – 20x
Outros exemplos:
a) 3a² . (a²x – 2ª + 5) = 3a4x – 6a³ + 15a²
b) x²y . (x³ – 2xy² + 3) = x5y – 2x³y³ + 3x²y
40
EXERCÌCIO:
29. Efetue:
a) 3x . (x² – 2x + 3) =
b) a² . (a³b + 2ac² – 3) =
c) 2x³y² . (5x³y² – 3xy³ + 5) =
3º caso:
 Polinômio por polinômio
Multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio.
Exemplo:
(2x – 3) . (3x² + 4x – 5) = 6x³ + 8x² – 10x – 9x² – 12x + 15
Reduzindo os termos semelhantes, temos:
6x³ – x² – 22x + 15
A multiplicação de polinômios também pode ser efetuada utilizando a seguinte
disposição prática:
3x² + 4x – 5
2x – 3
x
+ 6x³ + 8x² – 10x
– 9x² – 12x + 15
6x³ – x² – 22x + 15
EXERCÌCIO:
30. Efetue:
a) (3x – 4) . (2x² – 5x) =
b) ( x – 1) . (x² –7x + 10) =
c) (2a² – 5a) . (3a² – a) =
d) (y – 1) . (y + 1) =
e) (2x + 3) . (2x + 3) =
DIVISÃO
Para efetuar a divisão de polinômios, vamos considerar os seguintes casos:
1º caso:
 Monômio por monômio
Para resolver basta dividir o coeficiente do 1º monômio pelo 2º e subtrair os expoentes
de mesma base da parte literal.
Exemplo:
8x5y3 : 2x³y = (8 : 2) . x5-3 . y3-1 = 4x²y²
Veja outros exemplos:
a) 12x3y4z : 4xy³z = (12 :4) . y4-3 . z1-1 = 3x²y
5 4
1
 5  4-3 2-1 5
b) 6 a b²x : 3 a³b =  6 . 3  a . b = 2 abx


5
5
c) 5x7y²z³ : 6x4y = . X7-4 . y2-1 z³ = x³yz³
6
6
41
EXERCÍCIO:
31. Efetue:
a) – 8x³ : 2x =
b) 20x4y³ : 5x² =
c) 7x³y² : xy =
2º caso:
 Polinômio por monômio
Para resolver, dividem-se todos os termos do polinômio pelo monômio.
Exemplos:
a) (15x4 – 9x³ + 6x²) : (3x²) =
As divisões são:
(15x4 : 3x²); (– 9x³ : 3x²) e (6x²: 3x²)
Lembre-se que, em cada divisão, devemos aplicar a regra dos sinais, ou seja: sinais
iguais, positivo e sinais diferentes, negativo. Teremos, então: 5x² - 3x +2
b) (7x3y4 + 10x4y³ – 2x²y5) : (2x²Y²) =
As divisões são:
(7x3y4 : 2x²Y²); (10x4y³ : 2x²Y²) e (– 2x²y5 : 2x²Y²)
Resolvendo:
7
xy² + 5x²y – y³
2
EXERCÌCIO:
32. Efetue:
a) (10x4 – 20x³) : (10x²) =
b) (8a³b4 – 16a4b³) : (– 2a²b²) =
c) (18x³y²z5 – 9x²y²) : (3xy²) =
Sistemas de Equações de 1º Grau
Resolução de um sistema de equações de 1º grau
Há mais de um método para resolvermos um sistema de equações. Um deles chama-se
método da substituição.
Veja esse método aplicado à resolução do sistema:
x+y=7
x–y=1
Isolando o x na equação x + y = 7, temos x = 7 – y.
Uma vez que o valor de x de uma equação deve ser igual ao da outra, podemos
substituir:
x = 7–y
x–y=1
(7 – y ) – y = 1
–y–y=1–7
– 2 y = – 6 . (–1)
2y = 6
6
y=
y=3
2
42
Achamos o y e agora vamos calcular “x”
x = 7–y
x = 7–3  x=4
Aqui está a solução do sistema S ={(4,3)}
Veja outro exemplo:
x – 2y = 7
2x + y = 4
isolamos x = 7 + 2y
Substituímos x na 2ª equação
2x + y = 4
2 . (7 + 2y) + y = 4

14 + 4y + y = 4

4y + y = 4 – 14
5y = – 10
 10
y=
5
elimina-se o parênteses
resolvemos a equação
y = –2
Calculamos o valor de x
x = 7 + 2y
x = 7 + 2 . (–2)
x=7–4
x=3
S = {(3, –2)}
EXERCÌCIO:
33. Resolva os sistemas, aplicando o método de substituição:
a)
x–y=8
x + y = 12
b)
x+y=9
x–y=3
5x + y = 6
d) x – 2y = 10
e) x + y = 4
2x + 3y = 13
c)
3x + y = 15
x+y=9
 Se você tiver um sistema de equações e um termo com variável em uma das equações for
oposto ao termo com a mesma variável na outra, o sistema está pronto para ser resolvido pelo
método da Adição.
Exemplo:
2x + 3y = 10
–2x + 5y = 22
Observe que em uma equação há o termo 2x e na outra –2x que são opostos.
O que acontece quando adicionamos termos opostos? Eles se anulam.
Então:
2x + 3y = 10
–2x + 5y = 22
8y = 32
32
y=
8
y=4
43
Para descobrir a outra variável, devemos substituir esse valor em uma das equações do
sistema:
2x + 3y = 10
2x + 3 . 4 = 10
2x + 12 = 10
2x = 10 – 12
2x = – 2
2
x=
x = –1
2

S = {( –1, 4)}
 Quando as incógnitas possuem coeficientes diferentes:
Exemplo:
3x + 2y = 8
4x + 5y = 13
Multiplicando a primeira equação por 4 e segunda por –3, obteremos equações
equivalentes com coeficientes simétricos, junto ao termo x.
3x + 2y = 8 . (4)
4x + 5y = 13 . (–3)
12x + 8y = 32
–12x – 15y = –39
–7y = –7 (. –1)
7y = 7
7
y=
y=1
7
Substituindo y em 3x + 2y = 8, temos:
3x + 2 . 1 = 8
3x + 2 = 8
3x = 8 – 2
3x = 6
6
x=
3
x=2
Assim, o par ordenado (2,1) é a solução do sistema.  S = {(2, 1)}
EXERCÌCIO:
34. Usando o método de adição, resolva os sistemas:
a)
x+y=9
x–y=7
2x + 3y = 8
d) x + 3y = 10
b)
–2x + 5y = 6
3x – y = 4
2x + 5y = 12
e) 3x + 2y = 7
c)
x+y=8
3x + y = 12
f)
5x – 8y = 1
2x + 3y = –12
44
PROBLEMAS DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
EXERCÍCIOS:
35. Resolva os problemas (use o método que preferir):
a) Numa classe há 33 alunos e a diferença entre o dobro do número de meninas e o número de
meninos é 12. Quantas são as meninas?
b) A soma de dois números é 81 e a diferença entre eles é 25. Calcule esses dois números.
c) Um sitiante comprou galinhas e coelhos num total de 21 cabeças e 54 pés. Quantas galinhas
e quantos coelhos comprou?
d)Juntando 29 pacotes de açúcar, uns com 5 kg, outros com 1 kg, podemos obter um total de
73 kg. Quantos pacotes de cada tipo foram usados?
GABARITO / 3ª PARTE
1. a) -7
b) +8
2. a) >
b) >
c) +3
d) -1
e) -10
f) 0
c) > e) <
d) < f) <
g) >
h) <
g) -2
h) –a
i) <
j) <
l) >
m) <
i) +b
j) –y
n) >
o) >
p) <
q) <
r) >
s) <
3. a) 10 c) 4 e) 19 g) 20 i) 28 b) 7 d) 10 f) 18 h) 35
4. a) -5 b) -10 c) -13 d) -23 e) -8 f) -9 g) -13 h) -14 i) -14 j) -40
5. a) 2 b) 5 c) -4 d) -1
k) 1 l) 1 m) -1 n) -2
6. 25
7. -19
8. a) 8
b) 2 c) 2
e) -5
o) -5
f) -5
p) 3
a) 24 b) -60
11. a) 3
b) -2
c) -70
c) -5
d) 8
d) 3
c) 32
e) -8
d) -32
f) -14
n) 0
g) -24
o) 50
e) 96 f) -14
12. a) 4 b) 25 c) 49 d) 1 e) 64
13. a) 27 b) -27
g) – 10 h) 8 i) 2 j) 3
d) 5 e) 18 f) 8 g) -3 h) -9 i) 2 j) 0 k) -18 l) -17 m) -5 n) 8
9. a) -12 b) -35 c) -18 d) -33 e) -15
i) 0
j) -18 k) 50 l) 27 m) 16
10.
j) 30
f) 4
e) 64
g) -100
g) -8
f) 81 g) 1
f) -64
h) -13
h) 12
h) 81
g) 1
h) -24 i) 54 j) 0
i) 1
i) 16
h) -1
14. Porque 20 x 20 = 400
15. a) 3 b) -3 c) 6 d) -2 e) -5 f) 7 g) -8 h) 9 i) 1 j) Não Existe k) Não Existe l) Não Existe
16. a; e; f; h; i; m; n
17. a) 4 b) 2 c) 5
d) 3 e) 2 f) 18
18. a) 7 b) 10 c) 7 d) 6 e) 2 f) 3
19. a; d; h; j; m
20. a) 6 b) -1 c) 5 d) 4 e) 13 f) 2 g) 3 h) -2 i) 3
j) -25
45
21.
a) x + 12 = 20
b) x + 3 = 10
c) x + 5 = 8
22. a) 17
b) 12
23. a) 12
d) X - 10 = 5
e) x + 5 = 11
f) 3x = 12
c) 15 e 45 anos
b) 4
c) 27
d) 17
24. a) –5 ; x²
b) 2/3 ; x³
c) 2 ; x³y³
g) 5x = 10
h) x x
+
=8
6 2
d) 15 anos e) 5
e) 3 f) -1
f) -3
g) 6
g) -52
d) 3 ; a
e) 1 ; x5
f) –1/5 ; a³b²cd³
25. a) V b) V c) F d) F
e) V f) V
26.
a)
b)
c)
d)
5x
6y
9a
10b
e) 8x + 2y
f) 15y + 5 x
g) 3x + 14
h) 14 a²b
i) 7m – 3
j) – xy – 20a
27.
a)
b)
c)
d)
7x + 1
– x + 12
2x + 5
3x – 7
e) 5x – 4
f) 8x – 11
g) –3x + 7
h) – 5x + 4
i) – 8x + 11
j) 10x – 7
28.
a) 8xy
b) 15x5
c) 14ab5
d)
f) – 20a5c
g) 30x6y³z
15 5 3
x y
4
e) 3ab4c³
30 . a)
b)
c)
d)
e)
29.
a) 3x3 – 6x² + 9x
b) a5b + 2a³c² – 3a²
c) 10x6y4 – 6x4y5 + 10x³y²
31.
a) – 4x²
32.
a) x² – 2x
33.
a) S = {(10, 2)}
b) S = {(6, 3)}
c) S = {(3, 6)}
34.
a) S = {(8, 1)} c)S = {(2, 6)}
e) S = {(1, 2)}
b) S = {(2, 2)} d) S = {(–2, 4)} f) S = {(–3, –2)}
35.
b) 4x2y2
6x³ – 23x² + 20x
x³ – 8x² +17x –10
6a4 – 17a³ +5a²
y² – 1
4x² +12x +9
c) 7x2y
b) – 4ab²
a) 15 meninas.
b) Os números são 28 e 53
c) 15 galinhas e 6 coelhos
5
c) 6x²z –3x
d) S = {(2, – 4)}
e) S = {(– 1, 5)}
d) 11 pacotes de 5 kg e 18 pacotes de 1 kg
e) Minha idade é 18 anos
4ª PARTE
RAZÕES E PROPORÇÕES
1 – Razão
Henrique comprou uma chácara bem longe da população da cidade. Nela construiu um
pequeno chalé em formato triangular. Ele tem a parte inferior em tijolos e a parte superior de
madeira.
46
Paulo, seu amigo, gostou tanto que tirou fotos do chalé para construir um do mesmo
modelo, porém um pouco maior, por isso ao revelar as fotos, pediu uma ampliação da foto do
chalé. Veja como ficou.
Foto 2
Com o auxilio de uma régua, mediu em centímetros, algumas medidas do chalé em cada uma
das fotos.
Altura do triângulo de Largura
da
base Comprimento de cada
madeira
superior de tijolos
um dos lados do telhado
Foto 1 4 cm
5 cm
5,6 cm
Foto 2 6 cm
7,5 cm
8,4 cm
Dividindo-se cada comprimento da foto 2 pelo respectivo comprimento de foto 1 (ver
tabela) obtivemos:
6 cm 6
7,5 cm 7,5
8,4 cm 8,4
  1,5

 1,5

 1,5
5,6 cm 5,6
4 cm 4
5 cm
5
Observe que todos os quocientes obtidos são iguais a 1,5, ou seja a razão entre cada
comprimento da foto 2 e o comprimento correspondente da foto 1 e 1,5.
Essa razão (1,5) foi o fator de ampliação. Isso significa que cada cm medido na foto 1
corresponde a 1,5 cm na foto 2.
De um modo geral, dizemos que:
Razão de dois números racionais (com o segundo diferente de zero) é o quociente
do primeiro pelo segundo.
Observações:
a
1) A razão
ou a : b pode ser lida das seguintes maneiras: “razão de a para b” ou “a está para
b
b”.
2) Em toda razão o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número,
conseqüente.
47
a
b
antecedente
conseqüente
Exemplos:
1º) Determinar a razão de 12 para 40.
12 : 4
3
=
 fração irredutível que corresponde à razão pedida.
40 : 4
10
Nesse caso podemos ler “3 está para 10” ou “3 para 10”.
2º) Numa partida de basquete, Rafael fez 15 arremessos acertando 9 deles. Nessas
condições:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Rafael?
acertos
9
3
9 : 15 =
=
“3 está para 5”, ou seja, para cada 5 arremessos

15
5
dados, Rafael acertou 3.
total
b) Qual a razão entre o número de arremessos que Rafael acertou e o número de
arremessos que ele errou?
15 – 9 = 6  Número de arremessos errados.
9
3
9:6=
=
“3 está para 2”, ou seja, para cada 3 arremessos

6
2
acertados, Rafael errou 2.
EXERCÌCIOS:
1. Escreva na forma de razão e dê a leitura correspondente:
2
MODELO: 2 e 9 
 lê-se 2 está para 9
9
a) 3 e 4  ____________________________________
b) 1 e 8  ____________________________________
c) 6 e 10  ____________________________________
d) 5 e 20  ____________________________________
e) 20 e 5  ____________________________________
f) 4 e 1  ____________________________________
g) 2 e 2  ____________________________________
2. Resolva os problemas:
a) Num tanque de combustível há 5 litros de álcool e 30 litros de gasolina. Determine as
razões das medidas:
1) do álcool para a gasolina;
2) da gasolina para a mistura;
3) do álcool para a mistura.
b) João faz entregas a domicílio usando uma moto. Certo dia, ele rodou 150 km e, no dia
seguinte, 500 km. Qual é a razão entre os percursos de um dia para o dia seguinte?
PROPORÇÃO
Para entendermos o significado da proporção, iremos recorrer à medidas do chalé do
início desse módulo, cujas medidas estão abaixo.
Foto 1
Foto 2
Altura do triângulo de Largura
da
base
madeira
superior de tijolos
4 cm
5 cm
6 cm
7,5 cm
48
Veja que:
A razão entre a altura do triângulo de madeira da foto 1 e da foto 2 é:
4
2
, ou seja:
6
3

A razão entre a largura da base superior de tijolos da foto 1 e da foto 2 é:
50
2
5
5 x 10
, ou seja:
=
=
7,5
7,5 x 10
75
3
2
4
5
Como as duas razões são iguais a
podemos escrever:
=
3
6
7,5
Então: Proporção é uma igualdade entre duas razões.
4
5
A proporção
=
também pode ser escrita assim:
6
7,5
4 : 6 = 5 : 7,5
As duas representações lê-se: “quatro está para seis, assim como cinco está para sete e
meio”.

Observações:
1) Os números 4, 6, 5 e 7,5 são chamados termos da proporção.
2) O primeiro e o último termo são chamados extremos da proporção e os outros dois,
meios da proporção.
extremos
4 : 6 = 5 : 7,5
4
6
=
5  meios
7,5  extremos
meios


Veja o que acontece quando:
multiplicamos os meios: 6 . 5 = 30
multiplicamos os extremos: 4 . 7,5 = 30
Viu? Deu a mesma coisa.
Isso acontece em toda a proporção, o que significa dizer que:
Em toda a proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Essa propriedade é chamada de propriedade fundamental das proporções.
5
15

As razões
e
formam uma proporção, pois 5 . 24 = 8 . 15
8
24
120
120
7 14

As razões
e
não formam uma proporção, pois 7 . 3  6 . 14
6
3
21
84
EXERCÌCIOS:
3. Complete:
3
6
a)
=
Lê-se: 3 está para 4, assim como 6 está para __________.
4
8
7
14
b)
=
Lê-se: 7 está para 3, assim como 14 está para __________.
3
6
10
2
c)
=
Lê-se: 10 está para _______, assim como 2 está para __________.
5
1
49
4. Complete:
1
2
a)
=
5
10
4
12
=
3
9
3
6
c)
=
5
10
4
8
d)
=
7
14
b)
1 e 10 são os extremos e 5 e __________ são os meios.
4 e ______ são os extremos e 3 e __________ são os meios.
_____ e _____ são os extremos e _____ e 6 são os meios.
_____ e _____ são os extremos e _____ e ________________.
5. Complete, formando uma proporção:
2
...
a)
=
3
6
b)
1
3
=
5
...
c)
...
3
=
1
3
d)
4
8
=
10
...
e)
...
5
=
12
6
f)
1
...
=
2
20
Proporção: Resolução
Resolver uma proporção é determinar o valor do termo desconhecido, que torna a
igualdade verdadeira.
Veja alguns exemplos:
20
8
1) Resolver a proporção
=
25
x
 Aplicando a propriedade fundamental:
20 . x = 25 . 8
 Resolvendo a equação:
20x = 200
200
x=
20
x = 10
x3
3
2) Resolver a proporção
=
x 1
5
 Aplicando a propriedade fundamental: 5 . (x + 3) = 3 . (x + 1)
 Resolvendo a equação:
5x + 15 = 3x + 3
5x – 3x = 3 – 15
2x = – 12
x=–6
Como:
 o antecedente é x + 3, temos – 6 + 3 = – 3 e
 o conseqüente é x + 1, temos – 6 + 1 = – 5
EXERCÌCIO:
5. Determine o valor do termo desconhecido:
a)
3
x
=
12
4
c)
b)
9
1
=
x
5
d)
4
6
=
x
3
5
10
=
11
x
e)
7
7
=
x
5
g)
2x
8
=
3
6
f)
9
12
=
x
4
h)
2
10
=
3x
15
50
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Grandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma
árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são
grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar
Exemplo:
Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos certa importância em
dinheiro. A quantidade colocada e o preço que pagamos por ela são duas grandezas variáveis
dependentes.
O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, açúcar... O peso e custo da
mercadoria comprada são grandezas variáveis dependentes.
Consideremos, então, o exemplo seguinte:
 Uma máquina produz:
- 3 camisas em 2 horas;
- 6 camisas em 4 horas;
- 12 camisas em 8 horas.
À medida que aumentamos a grandeza “camisa” a grandeza “tempo” (horas) também
aumenta na mesma razão. Então, dizemos que as grandezas camisa e tempo são
diretamente proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a
outra aumenta na mesma razão; ou quando diminuindo uma delas a outra também diminui na
mesma razão.
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na
redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você
fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.
Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.
Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo
de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma
distância de 600km.
Velocidade
(km/h)
Tempo
(h)
média
de
viagem
60
100
120
150
200
300
10
6
5
4
3
2
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se
viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um
tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem
obtemos sempre o mesmo valor..
EXERCÌCIO:
7. Complete, usando aumenta ou diminui e diretamente ou inversamente:
a) Um auto percorre 120 km em:
- 1 hora, com velocidade de 120 km por hora;
- 2 horas, com velocidade de 60 km por hora.
Aumentando a grandeza tempo (horas), a grandeza velocidade _______________.
Então, tempo e velocidade são grandezas _________________ proporcionais.
51
b) Uma automóvel percorre a distância de:
- 120 km e consome 20 litros de álcool;
- 240 km e consome 40 litros.
Aumentando a grandeza distância (km), a grandeza álcool _______________.
Então, distância e álcool são grandezas _________________ proporcionais.
c) Uma padaria gasta:
- 100 km de farinha de trigo para fazer 500 pães;
- 200 km de farinha de trigo para fazer 1.000 pães.
Aumentando a grandeza farinha, a grandeza pães _______________.
Então, farinha e pães são grandezas _________________ proporcionais.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido
a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área
para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
1,2
1,5
Identificação do tipo de relação:
Energia (Wh)
400
x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido
(para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Veja os exemplos:
a) Se 20 metros de arame custam R$ 100,00, quanto custarão 15 metros desse arame?
Metros
20
Reais
100
15
x

Colocamos a flecha apontando para “x”
52
Se, comprando 20 metros gastamos R$ 100,00, comprando menor quantidade de
metros gastaremos menos.
As grandezas arame (metros) e preço (reais) são diretamente proporcionais, portanto,
colocamos as flechas (setas) no mesmo sentido.
Metros
20
Reais
100
15
x
Montando a proporção e resolvendo:
20
100
=
15
x
20 . x = 100 . 15
20x = 1500
1500
x=
20
Então: x = 75
Resposta: Custarão R$ 75,00
b) Se uma casa é construída por 4 homens em 3 dias, em quantos dias essa casa será
construída por 1 homem?
Homens
Dias

4
3
Colocamos a flecha apontando para “x”
1
x
Com menos homens trabalhando, são necessários mais dias para realizar a obra.
As grandezas homens e dias são inversamente proporcionais, portanto, colocamos as
setas em sentido contrário.
Homens
Dias
4
3
1
x
Ao montar a proporção uma das razões será invertida:
1
3
=
4
x
1.x=4.3
x = 12
Então: x = 12
Resposta: 12 dias
EXERCÌCIO:
8. Resolva os problemas:
a) Se 8 metros de um tecido custam R$ 60,00, quanto custarão 24 metros desse tecido?
Metros
8
R$
60
24
x
b) Um operário ganha R$ 75,00 em 5 dias. Quanto receberá trabalhando 30 dias?
R$
75
Dias
5
x
30
53
c) Uma máquina produz 300 peças em 6 minutos. Quantas peças essa máquina
produzirá em 7 minutos?
Peças
300
Minutos
6
x
7
d) Se 6 homens constroem uma ponte em 1º dias, em quantos dias 2 homens
construirão esta ponte?
Homens
6
Dias
10
2
x
e) Um auto faz um percurso em 3 horas, com a velocidade de 60 km/h. Em quantas
horas fará esse percurso com a velocidade de 90 km/h?
Horas
3
Velocidade
60
x
90
f) Três torneiras enchem um tanque em 12 horas. Quantas torneiras iguais serão
necessárias para encher o mesmo tanque em 9 horas?
g) Um trem faz um percurso em 2 horas, com a velocidade de 40km/h. Qual deverá ser
sua velocidade para fazer o mesmo percurso em 10 horas?
h) Em um terreno de 1.000 metros quadrados podemos plantar 2.000 pés de laranjas.
Quantos pés de laranjas poderemos plantar em um terreno de 200 metros quadrados?
PORCENTAGEM
Você já deve ter ouvido falar em porcentagem. É uma palavra que se vê e ouve
diariamente através do rádio, da televisão, jornais, etc.
Domicílios com coleta de lixo
O gráfico ao lado mostra que no ano
de 1997 havia coleta de lixo em 70% dos
domicílios brasileiros.
Você sabe que:
70
70% =
100
Fonte: IBGE, 2000
Vamos, então falar sobre as porcentagens, que são comparações com 100.
Em 1997, da cada 100 domicílios brasileiros, 70 tinham coleta de lixo.
70 para 100 é
70
100
e
70
= 70%
100
54
70 %
70
7
ou
10
100
Podemos escrever setenta por cento assim:
0,70 ou 0,7
Dados do IBGE mostram que o salário do trabalhador brasileiro aumentou no período de
2.000 a 2.009. Essa é uma notícia animadora; no entanto, muitos ainda ganhavam pouco em
2.000, dois em cada cinco trabalhadores recebiam menos de 1 salário mínimo.
Podemos representar esse dado por meio de uma porcentagem.
2
2 em 5 =
5
2 x2
4 x 10
40
=
=
= 40%
1 0 x 10
5 x2
100
Observe os exemplos abaixo:
1) Na padaria perto de casa, o pão doce, que custava R$ 1,25, passou a custar R$ 1,45.
Calculei a porcentagem de aumento assim:
1,45 – 1,25 = 0,20  de aumento
16
0,20
= 0,16  0,16 =
= 16%
1,25
100
O aumento do pão doce for de 16%
2) Numa loja de esportes, a camisa do meu time, que custava R$ 25,00 passou a custar
R$ 27,00. Qual a porcentagem de aumento?
27 – 25 = 2
Temos um aumento de R$ 2,00 em R$ 25,00
x4
2
25
=
x4
8
100
 8%  O aumento foi de 8%
EXERCÌCIOS:
De um modo geral, os jornais fornecem informações sobre o mercado financeiro
utilizando porcentuais. Veja na ilustração da outra página.
9. Escreva cada porcentual seguinte na forma decimal correspondente:
a) 43%
b)25%
c) 32%
10. Escreva usando o símbolo %:
a) 0,16 =
d) 0,092 =
b) 0,08 =
e) 0,136 =
c) 0,725 =
f) 0,8 =
d) 9%
e) 11,87%
f) 2,71%
55
15
= 15%
100
11
9
c)
=
d)
=
100
100
932
100
g)
=
h)
=
100
100
18
MODELO: 18% =
100
d) 200% = _______
e) 1% = _______
f) 500% = _______
11. Complete conforme o modelo:
3
=
100
1
e)
=
100
a)
12
=
100
130
f)
=
100
b)
12. Faça como o modelo:
a) 37% = _______
b) 70% = _______
c) 2% = _______
MODELO:
Observação:
Uma razão comum , como por exemplo
3
, pode ser transformada em razão porcentual,
4
procedendo-se da seguinte maneira:
Divide-se o antecedente pelo conseqüente.
3
75
= 0,75 =
= 75%
4
100
Foi obtido dividindo-se 3 por 4.
EXERCÌCIOS:
13. Transforme em razão centesimal (denominador 100):
2
6
7
a)
=
c)
=
e)
=
5
8
10
1
12
32
b)
=
d)
=
f)
=
2
20
50
14. Lembrando que
a) 15% de 100 =
b) 8% de 500 =
c) 25% de 12 =
7
=
5
14
h)
=
25
g)
3
3
de 20 pode ser representado por
. 20, calcule:
4
4
d) 9% de 20 =
g) 20% de 300 =
e) 50% de 72 =
h) 10% de 300 =
f) 10% de 540 =
i) 5% de 80 =
15. Para fazer um molho forma usados os seguintes ingredientes:
3g
Pimenta
45 g
Sal
90 g
Cebola
27 g
Alho
135 g
Azeite
300 g
Total
Qual o porcentual de cada ingrediente?
Problema Resolvido
Os problemas de porcentagem podem ser resolvidos através de uma regra de três
simples e direta.
Exemplos:
a) Em uma classe de 40 alunos, 10% formam reprovados. Quantos alunos foram
reprovados?
Em 100 alunos, seriam reprovados 10.
10% significa que
Em 40 alunos, foram reprovados x.
56
100  10
40  x
Aplicando a regra de três,
100 . x = 40 . 10
400
x=4
Resposta : Foram reprovados 4 alunos.
100
b) Se 30% de uma certa quantia é R$ 12,00, qual é essa quantia?
100  30
x  12
Aplicando a regra de três:
30 . x = 12 . 100
30x = 1200
1200
x=
30
x = 40
Resposta : A quantia é de R$ 40,00
100x = 400
x=
EXERCÌCIO:
16. Resolva os seguintes problemas:
a) Em uma classe de 50 alunos, 10% faltaram. Quantos alunos faltaram?
b) Se 20% de uma certa quantia corresponde a R$ 36,00, qual é essa quantia?
c) Um objeto custa R$ 2.000,00 a prazo e a vista tem um desconto de 20%. Quanto
pagarei por este objeto comprando-o à vista?
d) Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa
de porcentagem de frutas estragadas?
e) Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes?
f) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos
havia na classe?
g) Numa classe 20% dos alunos correspondem a 9 alunos. De quantos alunos é
formada essa classe?
h) Se um comerciante compra uma mercadoria por R$ 800,00 por quanto deve vendê-la
para ter um lucro de 15%?
JURO SIMPLES
Numa empresa financeira, Mauro aplicou R$ 18.000,00, a uma taxa de juro simples de
15% ao ano. Após 2 anos de aplicação, ele recebeu R$ 5.400,00 de juro simples.
Vamos destacar algumas informações desse texto.

R$ 18.000,00
Total do dinheiro aplicado,
Chamamos de capital.
15% ao ano

Porcentual da aplicação,
Chamamos de taxa de juro simples.
2 anos

Período de aplicação,
Chamamos de tempo
57

R$ 5.400,00
Compensação, em dinheiro, que se
recebe quando termina o período de
aplicação: é o juro simples.

Apliquei uma quantia em dinheiro. Recebo juro pelo tempo que apliquei.

Fiz empréstimos de uma quantia. Pago juro pelo tempo que durou o empréstimo.

Comprei em prestações. Pago juro, conforme o número de prestações.
Quando se estabelece uma taxa, fixa-se também a duração de cada período. Assim
15% ao ano significa 15% de uma aplicação no período de um ano.
Chamamos de juro simples o juro calculado sobre a aplicação de um capital ao final de
um ou mais períodos de aplicação.
O total que se paga no final do empréstimo (capital + juro) chama-se montante.
Fórmula empregada para a resolução dos problemas de juros.
Calcular o juro produzido por R$ 8.000,00, à taxa de 5% ao ano, durante 2 anos.
Os 5% ao ano significam que com cada R$ 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano.
j=
c .i. t
100
Resolução do problema anterior, com a aplicação da fórmula:
Capital
R$ 8.000,00
 c
Taxa
5% ao ano
 i
Tempo
2 anos
 t
Juro
?
 j
c .i. t
Fórmula: j =
100
8000,00 . 5 . 2
j=
100
80000,00
j=
100
j = 800,00
Resposta: O juro produzido é de R$ 800,00
Observação:
Quando não houver compatibilidade entre taxa e tempo, isto é:
 taxa anual e tempo em anos
 taxa mensal e tempo em meses
 taxa diária e tempo em dias
é necessário, antes da resolução do problema, fazer a devida conversão.
Exemplos:
1) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.000,00, a 3% ao mês durante 2 anos.
j=?
t = 2 anos = 24 meses
i = 3% ao mês
c = 2000
Transformamos a unidade de tempo de anos para meses.
2 anos = 24 meses
c .i. t
j=
100
2000 . 3 . 24
j=
100
j = 1440
Resposta: o Juro é de R$ 1.440,00
58
2) Qual o capital que produz o juro de R$ 720,00, durante 3 anos ,à taxa de 25% a o
ano?
c .i. t
100
c . 25 . 3
720 =
100
72000 = 75 . c
72000
c=
c = 960
75
Resposta: O capital é de R$ 960,00
j = 720,00
t = 3 anos
i = 25%
c=?
j=
EXERCÌCIO:
17. Resolva os seguintes problemas:
a) Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de 30% ao ano.
b) Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 7% ao mês.
c) Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses, a uma taxa de 60% ao ano.
d) Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a uma taxa de 6,5% ao mês.
e) Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5%
ao mês.
f) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a uma taxa de 12%
ao mês.
g) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses,
renda R$ 2.000,00 de juros?
h) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10
meses, renda R$ 18.000,00 de juros?
i) Qual será o capital que, em 9 meses, a 6% ao mês renderá R$ 32.400,00 de juros?
j) Qual o juro produzido por um capital de R$ 4.000,00, em 3 meses, à taxa de 12% ao ano?
TRIÂNGULO
É o polígono com o menor número de lados.
Elementos de um triângulo
Representação do triângulo ABC
Vértices
“bicos”: A, B, C
 Lados
Segmentos de reta: AB, AC , BC
 Ângulos
Internos: Â, B̂ , Ĉ
Externos: Â, B̂ , Ĉ
59
Propriedades dos Triângulos
1ª Propriedade:
A soma das medidas dos ângulos internos de
qualquer triângulo é igual a 180º.
A
Seja o triângulo
70º
60º 50º
B
C
Medindo com o transferidor, verificamos que:
m (Â) = 70º
m ( B̂ ) = 60º
m ( Ĉ ) = 50º
m (Â) + m ( B̂ ) + m ( Ĉ ) = 180º
EXEMPLOS:
2x + 80º + 40º = 180º
2x = 180º – 80º – 40º
2x = 60º
1. Calcule a medida do ângulo B̂ :
A
80º
2x
x = 60º
2
x = 30º
40º
Se B = 2x então B = 2.30
B = 60º
C
B
18. Calcule o valor de x nos triângulos:
a)
d)
x=
b)
x=
e)
x=
x=
60
c)
f)
x=
x=
x=
QUADRILÁTERO
Quadrilátero é o polígono de quatro lados. Seja o
quadrilátero ABCD, abaixo:
B
C
A
D
Temos:
Os lados AB e CD ; AD e BC são opostos pois são segmentos não
consecutivos. Os ângulos  e Ĉ ; B̂ e D̂ são opostos pois não são
consecutivos.
Os segmentos AC e BD são diagonais.
Observe que cada diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos, portanto,
a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.
Lembretes:
Retas paralelas: são retas que não se cruzam, ou seja, não tem ponto comum.
a
b
Indicamos
a
//
b
Retas perpendiculares: são retas que se cruzam num ponto formando 4 ângulos retos
(cada um mede 90°).
.
.
s
.
.
r
Indicamos por s
r
61
19. Calcule o valor de x:
x = _________
x = ______
20. Resolva os problemas:
a) Os ângulos internos de um quadrilátero medem x, 2x, 3x e 6x. Qual é o valor de x?
b) Num quadrilátero, três dos seus ângulos medem 145º, 60º e 85º. Quanto mede o
quarto ângulo?
c) As medidas dos ângulos internos de um triângulo são dadas por x + 12º, 2x e x – 20º.
Quanto mede cada ângulo desse triângulo?
62
GABARITO / 4ª PARTE
Exercício 1.
3
6
20
2
a) ; 3 está para 4
c)
; 6 está para 10
e)
; 20 está para 5 g) ; 2 está para 2
4
10
5
2
1
5
4
b) ; 1 está para 8
d)
; 5 está para 20
f)
; 4 está para 1
8
20
1
Exercício 2.
1
6
1
3
1)
2)
3)
b)
a)
6
7
7
10
Exercício 3.
a) 8 b) 6 c) 5,1
Exercício 4.
a) 2 b) 9;12 c) 3 e10; 5 d) 4 e 14; 7 e 8 são meios
Exercício 5.
a) 4 b) 15 c) 9 d) 5 e) 10 e) 10 f) 10
Exercício 6.
30
a) 1 b) 45 c) 2 d) 22 e) 5 f) 3 g) x = 2 h) x = 1
i)
k) 44 l) 15
7
Exercício 7.
a) diminui; inversamente
b) aumenta, diretamente c) aumenta; diretamente
Exercício 8.
a) R$ 180,00 b) R$ 450,00 c) 350 peças d) 30 dias e) 2 horas f) 4 torneiras
g) 8 Km/h
h) 400 laranjeiras
Exercício 9.
43
25
32
9
1187
271
a)
b)
c)
d)
e)
f)
100
100
100
100
100
100
Exercício 10.
a) 16%
b) 8%
c) 72,5%
d) 9,2%
e) 13,6%
f) 80%
Exercício 11.
a) 3% b) 12% c) 11% d) 9% e) 1% f) 130% g) 932% h) 100%
Exercício 12.
37
70
2
200
1
500
a)
b)
c)
d)
e)
f)
100
100
100
100
100
100
Exercício 13.
40
50
75
60
70
64
140
56
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
100
100
100
100
100
100
100
100
Exercício 14.
a) 15 b) 40 c) 3 d) 1,8 e) 36
f) 54
g) 60
h) 30
i) 4
Exercício 15. 1%; 15%; 30%; 9%; 45%
Exercício 16.
a) Faltaram 5 alunos c) 1.600,00 e) 60%
g) 45 alunos
b) R$ 7,20
d) 8%
f) 60 alunos
h) R$ 920,00
Exercício 17.
a) R$ 30.000,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 7.200,00 d) R$ 3.900,00 e) 8 meses
f) 4 meses
g) 10% ao mês h) 9% ao mês i) R$ 60.000,00 j) R$ 120,00
Exercício 18.
a) 60º b) 105º c) 40º d) 70º e) 60º f) 130º
Exercício 19.
A ) 120º B) 140º C) 60º D) 60º E) 50º F) 90º
Exercício 20.
a) x = 30º b) O quarto ângulo mede 70º c) Cada ângulo mede 27º, 59º e 94º
63
5ª PARTE
RACIONALIZAÇÂO DE DENOMINADORES
A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente
com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.
Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.
Vamos analisar a seguinte fração:
1
2
É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos 2 por ele mesmo. Vejamos:
Dividir um número irracional é uma dificuldade que podemos evitar se realizamos o
processo da racionalização de denominadores. E como é isso? Veja, por exemplo essa
divisão de 1 por 2 :
1
Vamos obter uma fração equivalente
2
a esta multiplicando os dois termos por 2 .
1
2
=
1
2
2
=
2
.
2
 2
2
=
2
2
Aí está! Dividir 1 por 2 é o mesmo que dividir 2 por 2, que é uma operação na
qual podemos conseguir o resultado com a aproximação que quisermos.
Em resumo, quando uma fração tiver um denominador irracional, é melhor que ela
seja racionalizada, isto é, transformada em uma equivalente com o denominador racional.
Para isso, será importante lembrar sempre que:
 a =
n
n
n
an = a
para qualquer número a positivo e n natural maior do que 1.
Racionalizar = tornar racional
Genericamente o fator racionalizante de um denominador
é o próprio
Exemplos:
6
6. 3
6:3 3
6 3
a)
=
=
=
= 2 3
3:3
3
32
3. 3
2. a
b)
EXERCÍCIOS:
1. Racionalize o denominador das frações:
1
2
2
8
a)
c)
e)
g)
i)
2
5
2
2
b)
4
7
d)
7
2
f)
3
3
h)
15
3
2
=
a
2
10
a. a
=
.
2 a
a
2
=
2 a
a
64
2. Escreva uma fração com denominador racional que seja equivalente a: (veja o
modelo)
3
3
3 . 10
30
30
modelo:
=
=
=
=
10
10
10
10 2
10 . 10
a)
8
3
b)
1
6
c)
2
10
d)
5
10
e)
5
2
As Equações de 2º Grau
Uma equação de 2º grau com uma incógnita x é toda equação que pode se escrita na
forma reduzida ou forma normal.
ax² + bx + c = 0
em que as letra a, b e c, os coeficientes da equação, são números reais e a  0.
Veja alguns exemplos de equação do 2º grau com os seus coeficientes.
a) 3x² – 4x + 1 = 0
a=3 b=–4 c=1
c) –n² + 9 = 0
a = –1 b = 0 c = 9
x2
d)
+ 3x – 1 = 0
2
1
a=
b = 3 c = –1
2
b) –2m² + 8m = 0
a = –2 b = 8 c = 0
Atenção!
Fique atento aos coeficientes a, b e c.
 Quando eles forem diferentes de zero, a equação é completa.
 Se algum deles é nulo ou se os dois são iguais a zero a equação é incompleta.
EXERCÍCIOS:
3. Compare as equações seguintes com a forma reduzida de uma equação de 2º grau,
ax² + bx + c = 0 e identifique os valores a, b e c em cada uma:
a) 6x² + 5x + 8 = 0
b) x² – 4x = 0
c) x² + x + 1 = 0
d) 2x² – 3 = 0
e) 0,7x² – 0,7 = 0
4. Identifique como completa ou incompleta cada uma das seguintes equações do 2º grau.
a) x² – x – 20 = 0
d) y² – 10y = 0
b) –2y² + 3y – 1 = 0
e) x² – 3x – 6 = 0
c) r² + 4r = 0
f) 2x² – 50 = 0
Resolvendo equações do 2º grau
Qualquer equação do 2º grau, com uma incógnita, escrita na forma normal, pode ser
resolvida através de uma fórmula, desenvolvida pelo hindu Bháskara (1114 – 1185).
Usando esta fórmula podemos determinar o conjunto solução das equações do 2º
grau.
Essa fórmula recebeu o nome de fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara.
Um “pedaço” da fórmula de Bháskara tem especial importância e por isso recebe o
nome discriminante:
x
 b  b 2  4ac
2a
o discriminante é b² – 4ac
65
O discriminante, b² – 4ac, é normalmente indicado pela letra grega  (delta). Quer
dizer que a fórmula de Bháskara também pode ser escrita assim:
b 
 = b² – 4ac
x
2a
O discriminante é importante, pois a existência ou não de raízes reais depende
exclusivamente dele.
 Quando   0, a equação tem raízes reais.  > 0 (duas raízes reais)
 = 0 (uma única raiz real)
 Quando  < 0, a equação não tem raízes reais.
Exemplos:
1. Quais são as raízes reais da equação x² – 10x + 21 = 0?
Inicialmente identificamos os coeficientes da equação a = 1 b = – 10 c = 21
A seguir, calculamos o discriminante
 = b² – 4ac
 = (–10)² – 4.1.21
 = 100 – 84
 = 16 > 0
Como  > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes:
b 
x
2a
  10  16
x
2 1
10  4 14
x' 

7
2
2
10  4
x
2
10  4 6
x '' 
 3
2
2
Os números 7 e 3 são raízes reais da equação. Logo:
S = {7, 3}  conjunto solução
2. Um número real y é tal que 25y² + 10y = –1. Qual é esse número?
25y² + 10y = –1
25y² + 10y + 1 = 0  forma reduzida
a = 25 b = 10 c = 1
 = b² – 4ac
 = (10)² – 4.25.1
 = 100 – 100
= 0
Como  = 0, a equação tem uma única raiz real.
b 
x
2a
 10  0
x
2  25
 10  0  10
1
x' 


50
50
5
 10  0
x
50
 10  0  10
1
x '' 


50
50
5
66
1
1
, logo: S = {  }
5
5
3. Determine o conjunto solução da equação:
2x² – 4x + 3 = 0
a = 2 b = –4 c = 3
 = b² – 4ac
 = (–4)² – 4.2.3
 = 16 – 24
 = –8 < 0
Como  < 0, a equação não tem raízes reais.
Logo:
S = ø  conjunto vazio
Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para
, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para
, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para
, a equação não tem raízes reais.
Logo o número real procurado é 
EXERCÍCIOS:
5. Dadas as equações do 2º grau, calcule o discriminante de cada uma delas e
identifique:
a) x² – 11x + 28 = 0
d) x² + 8x + 16 = 0
b) 4x² + 2x + 1 = 0
e) x² – 7x + 16 = 0
c) 2x² – 4x –1 = 0
a) as equações que tem duas raízes reais diferentes.
b) as que tem apenas uma raiz real.
c) as que não admitem raízes reais.
6. Determine o conjunto solução das equações do 2º grau.
a) x² – 7x + 6 = 0
h) x² – 3x + 10 = 0
b) x² – 8x + 15 = 0
i) 6x² + x – 1= 0
c) x² + 10x + 25 = 0
j) x² – 2x + 1 =0
d) –x² + 12x – 20 = 0
k) x² – 4x + 5 = 0
e) 5x² + 20 = 0
l) 2x² – 32 = 0
f) –x² + x = 0
m) 4x² – 7x = 0
g) x² – 6x + 9 = 0
Coordenadas Cartesianas no Plano
Você já ouviu falar em cidades pré-traçadas?
Brasília é um exemplo de cidade pré-traçada. Outros exemplos são: Rio Claro, no
interior de São Paulo, Maringá, no interior do Paraná, e Palmas, em Tocantins.
Em cidade pré-traçadas, a localização de um ponto é mais fácil de ser feita.
A figura seguinte representa parte da planta de uma cidade pré-traçada e apresenta
indicações de algumas praças.
67
Uma maneira simples de localizar as praças A e D é indicar:
 A praça A está localizada 4 quadras à direita e 2 quadras acima da praça
Central.
 A praça Central está localizada 3 quadras acima e 5 quadras à esquerda da
praça D.
Outra forma de simplificar ainda mais essa explicação é esquematizando uma planta
da seguinte maneira:
1º) Traçamos duas retas perpendiculares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra
vertical, chamada eixo y.
2º) O ponto de intersecção das duas retas recebe o nome de origem e coincide com
a praça Central, identificado pela letra O, que corresponde ao número zero.
3º) Usando segmentos de mesma medida, associamos cada quadra a esse
segmento.
4º) Usaremos números positivos para identificar as quadras situadas à direita e
acima da praça Central.
5º) Usaremos números negativos para identificar as quadras situadas à esquerda e
abaixo da praça Central.
Vamos tomar a praça Central como referência e localizar, nesse esquema, as
praças A, B, C, D e E.
A praça A está na posição (4, 2). Esse par ordenado de números indica a posição
da praça A (ponto A) em relação à para Central (ponto O, origem).
A praça B está na posição (0, 3) em relação à origem. (praça Central)
A praça C está na posição (–3, 1) em relação à origem.
A praça D está na posição (–5, –3) em relação à origem.
A praça E está na posição (1, –2) em relação à origem.
68
Os pares (4, 2), (0, 3), (–3, 1), (–5, –3) e (1, –2) são chamados pares ordenados,
porque escrevemos em primeiro lugar o número encontrado no eixo x e, depois, o número
encontrado no eixo y.
O ponto que corresponde ao par (0, 0) é chamado ponto de origem.
Essa maneira de localizar um ponto no plano é devido ao filósofo e matemático
francês Descartes. Em homenagem a ele é que:
 as retas numéricas x e y são chamadas eixos cartesianos, sendo o eixo x
horizontal (abcissas) o eixo y vertical (ordenadas)
 o plano formado por esses eixos chama-se plano cartesiano.
 os pares ordenados são as coordenadas cartesianas.
EXERCÍCIOS:
7. A figura ao lado representa a planta de uma
cidade. O prédio A está na esquina 2 com a avenida 1,
tendo a localização A (2, 1). Dê a localização dos
prédios B, C, D e E, usando pares ordenados.
B(
)
C(
)
D(
)
E(
)
5
4
.
3
.
C
.
2
.
1
0
1
.
B
D
A
2
3
4
8. Represente no plano cartesiano os pontos:
A (1, 1), B (2, – 3), C (– 1, 2), D (– 2, – 4), E (0, 3), F (4, 0)
6
5
y
3
2
1
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
x
9. Escreva nos parênteses a abcissa e a ordenada de cada ponto:
T (
)
-2
y
4
)
3 I (
2
P (
1
-4
R (
)
E (
4
8 x
1
-2
)
-4
M (
)
)
E
69
Funções ou Aplicações
Quem é que não se irrita ao ver uma torneira quebrada pingando, pingando?
Pois para mostrar que isso é um enorme desperdício, Marcinha pegou uma
grande vasilha graduada em litros e colocou-a para recolher os pingos que caíam.
Durante uma semana, ao final de cada dia, ela anotava o volume que havia
sido depositado durante aquele dia e calculava o total acumulado.
Terminada a semana, Marcinha fez uns cálculos, montou um gráfico e deixou tudo
sobre a mesa para que seu pai visse quando chegasse.
O que Marcinha fez para tentar convencer seu pai foi a análise de uma grandeza em
função de outra: o volume de água desperdiçado pela torneira quebrada em função do
tempo. Foi fácil concluir:
Nesse exemplo da torneira entramos em contato com duas grandezas, isto é, com
algo que podemos quantificar de alguma maneira: volume e tempo. Pudemos perceber
que, variando uma delas, varia também a outra: quer dizer, aumentando o número de dias,
aumenta também o volume de água desperdiçado. Há muitas e muitas grandezas que se
relacionam dessa forma, dependendo umas das outras, ou melhor, variando umas em
função das outras.
O que é exatamente uma função?
Imagine duas grandezas, que chamaremos de A e B, e um conjunto de valores para
cada uma. Imagine ainda que entre elas exista uma certa dependência, isto é, a um valor
de uma delas corresponde certo valor da outra. Se cada elemento do conjunto de valores
da grandeza A tiver em correspondência um único valor da grandeza B, dizemos que
essa correspondência é uma função de A em B.
Vavá sabe que o número de pessoas que transporta em sua lotação varia em
função do horário. Ele fez uma tabela na semana passada.
70
Horário
Número de pessoas
Nesse caso temos de fato uma função, pois para cada horário há em
correspondência apenas um número de pessoas transportadas. Afinal, como Vavá poderia
transportar dois números diferentes de pessoas no mesmo horário?
Uma relação de A em B é uma função se para todo
elemento de A existe um único correspondente em B.
Uma função é indicada por:
f: A  B
(função de A em B)
EXEMPLOS:
São funções de A em B:
a)
A
B
Cada elemento de A tem um
único elemento correspondente em B.
b)
A
B
Cada elemento de A tem um
único elemento correspondente em B.
c)
A
B
Cada elemento de A tem um
único elemento correspondente em B.
Não são funções de A em B.
a)
A
B
Há elementos em A que não
possuem correspondentes em B.
71
b)
A
B
Há elemento em A que possui
mais de um correspondente em B.
EXERCÍCIO:
10. Escreva sim se representar função e não se não representar:
a)
A
B
A
b)
B
__________
c)
A
__________
B
d)
A
B
__________
e)
A
__________
B
A
f)
B
__________
__________
A
g)
A
B
__________
B
h)
________
72
Funções definidas por equações
a) No açougue, o quilograma de certo tipo de carne custa R$ 9,00. O preço a pagar
y é, em função da quantidade de carne comprada, x. Veja o diagrama:
Carne (kg)
x
.
2.
3.
1
Preço (R$)
1x9
2x9
3x9
.9 y
.18
.27
A cada valor de x corresponde um único valor de y.
A lei de formação dessa função é
y = 9.x  equação
x e y são as variáveis da função
Mais exemplos:
b) Seja f: IR IR definida por y = 5x + 2
Podemos, atribuindo valores quaisquer a x, determinar os valores de y.
Assim, em y = 5x + 2
Se x = 0 então y = 5 . 0 + 2
y=0+2
y=2
Se x = 1 então y = 5 . 1 + 2
y=5+2
y=7
Se x = 2 então y = 5 . 2 + 2
y = 10 + 2
y = 12
Observação:
A função definida por uma equação pode ser escrita “função de x”.
EXEMPLO:
A função definida por y = 5x + 2 pode ser escrita f(x) = 5x + 2 e é função do 1º grau.
Veja:
Seja a função f(x) = 3x + 7 f: IR  IR , vamos calcular o valor numérico dessa função
para alguns valores de x.
Se x = 0 então f(x) = 3x + 7
f(0) = 3 . 0 + 7
f(0) = 0 + 7
f(0) = 7
Se x = –1 então f(–1) = 3 . (–1) + 7
f(–1) = – 3 + 7
f(–1) = 4
Se x = –2 então f(–2) = 3 . (–2) + 7
f(–2) = – 6 + 7
f(–2) = 1
73
EXERCÍCIOS:
11. Dada a função f(x) = 3x + 1, determine:
a) f(0) =
c) f(–1) =
b) f(2) =
d) f(–4) =
12. Considerando a função f(x) = 3x + 5, calcule:
a) f(0) =
d) f(–3) =
b) f(1) =
e) f(4) =
c) f(–2) =
13. Sendo f(x) = x² + 7x + 10, calcule:
a) f(0) =
b) f(1) =
c) f(2) =
d) f(–1) =
e) f(–3) =
f) f(–5) =
Construindo Gráfico de Funções
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é
chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua
aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de
uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)
Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,
Marcamos os pontos (0, -1) e
reta.
x
y
0
-1
0
e outro ponto é
.
no plano cartesiano e ligamos os dois com uma
74
EXERCÍCIOS:
14. Represente graficamente a função y = f(x) = –3x + 2, completando a tabela.
x
0
1
y
(x, y)
15. Construa o gráfico da cada uma das seguintes funções (complete a tabela).
c) y = –2x + 1
a) y = 3x + 1
x
0
1
y
(x, y)
b) y = –2x + 3
x
0
1
x
0
1
y
(x, y)
d) y = x + 3
y
(x, y)
y
(x, y)
x
0
1
y
(x, y)
c) y = 4x
x
0
1
Função Quadrática
No seu dia-a-dia você já deve ter visto uma curva conhecida como parábola.
Vamos ver agora, a relação que existe entre essa curva, denominada parábola, e a
função do 2º grau ou função quadrática.
Acompanhe essa situação:
 Quando se disputa um torneio de futebol, basquete ou vôlei, com turno e returno,
o número total de jogos do torneio que vamos indicar por y é dado em função do número x
de equipes que disputam o torneio.
75
Nº de equipes
(x)
2
3
4
...
...
x
Nº de jogos
(y)
2 = 2 (2 – 1)
6 = 3 (3 – 1)
12 = 4 (4 – 1)
...
...
x (x – 1)
Pela tabela, temos
y = x (x – 1)
ou
y = x² – x
polinômio do 2º grau
Nessa situação apresentada o 2º membro da fórmula que define a função é um
polinômio do 2º grau na variável x.
De modo genérico:
Qualquer função da forma y = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a  0, definidas de IR
IRsão chamadas funções quadráticas ou do 2º grau.
São exemplos de função do 2º grau:
a) y = x² – 3x – 4
b) y = x² – 16
c) y = –3x² + 18
d) y = 3x² – 15x
Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva
chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y
e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
X
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
76
Acompanhe os exemplos:
Construir o gráfico das funções quadráticas de IR IR
Agora, faça você:
16. Complete a tabela e construa o gráfico das funções quadráticas de IR IR
c) y = x² + 2x –3
a) y = 2x²
x
y
(x, y)
x
y
(x, y)
–3
–1
2
(–1, 2)
–2
0
–1
1
0
2
1
2
b) y = –2x²
x
y
–1
–2
0
1
2
–2
(x, y)
d) y = –x² + 4x – 4
x
y
(x, y)
–1
0
1
2
3
4
Retas Paralelas
Duas retas de um mesmo plano são paralelas quando não possuem pontos em
comum.
77
r
s
Indica-se r // s
Feixe de Retas Paralelas
r
s
t
u
v
O conjunto de retas paralelas entre si de um plano, chama-se feixe de retas paralelas.
Uma reta não pertencente ao feixe intercepta as retas do feixe; essa reta é chamada
transversal.
s
t
u
v
 reta transversal
TEOREMA DE TALES
Na ilustração ao lado, percebe-mos
que as avenidas das Rosas, das
Margaridas e dos Lírios são paralelas.
As ruas dos Pinheiros e dos
Eucaliptos são transversais a essas
avenidas.
Será que podemos, com as
informações deste mapa, determinar a
distância entre a farmácia e o banco?
A resposta é sim.
Vamos descobrir como?
Usando a proporcionalidade de segmentos temos:
x
200
=
400
500
1
x
=
2
500
2x = 500
500
x=
2
x = 250
R.: A farmácia dista 250m do banco, seguindo a rua dos Eucaliptos.
ou simplificando as frações
78
Podemos dizer, então:
Quando duas retas paralelas são cortadas por retas transversais, as
medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais
são proporcionais.
Essa relação é conhecida como teorema de Tales*
(*Tales de Mileto era grego. Nasceu por volta de 624a.C. e é considerado um grande
matemático.)
Acompanhe mais exemplos de aplicação do teorema de Tales.
1) Determinar x nas figuras abaixo.
a)
x 6

8 3
6
x
3x = 8 . 6
8
x=
48
3
x = 16
3
3x = 48
b)
x
x
2

x 1 4
2
4x = 2 . (x + 1)
x+1
2x = 2
2
x=
2
4
4x = 2x + 2
4 x – 2x = 2
x=1
1) Calcule o valor da medida y, considerando um feixe de paralelas cortado pelas
retas transversais a e b..
y
15cm

2y  6 36cm
b
a
y
2y + 6
15cm
36cm
36y = 15 . (2y +
6)
36y = 30y + 90
EXERCÍCIOS:
17) Calcule o valor de x no feixe de retas paralelas:
36y – 30y = 90
6y = 90
90
y=
6
y = 15cm
79
O Triângulo Retângulo
Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto (mede 90°).
a
c
.
b
ângulo reto
Num triangulo retângulo, chamamos os lados que
formam o ângulo reto de catetos.
O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida)
chama-se hipotenusa.
No triangulo anterior temos:
a  medida da hipotenusa
b  medida do cateto
c  medida do cateto
80
Os triângulos retângulos sempre tiveram grande aplicação na vida prática, uma vez
que é possível estabelecer uma série de relações entre seus elementos, principalmente
lados e ângulos. Daí a sua grande importância no desenvolvimento da humanidade.
Uma das relações mais importantes é conhecida como teorema de Pitágoras, que
foi um matemático e filosofo grego.
“Em todo o triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”
Lembre-se que triângulos retângulos são triângulos que tenham um ângulo interno
medindo 90º .
Então:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + ( cateto)2
O teorema de Pitágoras é importantíssimo e tem muitas aplicações. Veja alguns exemplos.
1) Uma porteira de fazenda terá a forma de retângulo. Para dar maior rigidez à estrutura,
uma barra de madeira será colocada na diagonal no retângulo, como se vê o projeto do
carpinteiro.
Poderemos calcular o comprimento da
barra usando Pitágoras.
a=?
b = 2m
c = 1,5m
a2 = b 2 + c2
a2 = 22 + (1,5)2
a2 = 4 + 2,25
a2 = 6,25
a = 6,25
a = 2,5m
R: A barra deve ter 2,5 m
A peça que sustenta uma prateleira chama-se
mão francesa. Essas estruturas são comuns.
Podemos calcular a medida que falta usando
Pitágoras
a = 25cm, b = 15cm, c = ?
a 2 = b 2 + c2
625 = 225 + c2
c2 = 625 – 225
c2 = 400
c = 400
c = 20cm
81
EXERCÍCIOS:
18) Determine a medida do elemento desconhecido nos triângulos retângulos:
e)
f)
19. Qual a medida do lado de um losango cujas diagonais medem 6cm e 8cm?
20. Resolva os problemas:
A) O acesso à garagem de uma casa, situada no subsolo é feito por rampa,
conforme nos mostra o desenho. Sabe-se que a rampa AC tem 10,25m de comprimento e
a altura BC da garagem é de 2,25m. Qual é a distância AB entre o portão e a entrada da
casa?
82
B) Na situação do mapa da figura, deseja-se construir uma estrada que ligue a
cidade A à estrada BC , com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em
quilômetros:
C
B
a(
) 24
b(
) 28
c(
) 30
d ( A) 32
e(
) 40
c) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos ao chão, em um terreno plano
horizontal, conforme mostra a figura. Se o ponto A está a 15m da base B da torre e o ponto
C está a 20m de altura, o comprimento do cabo AC é:
a(
) 20m
b(
) 25m
c(
) 35m
d(
) 40m
e(
) 15m
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Utilizando cálculos trigonométricos, que relaciona as medidas de seus ângulos, é de
grande utilidade na medição de grandes distâncias, inacessíveis ao ser humano, como a
altura de montanhas, torres e árvores ou largura de lagos e rios.
A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicação da
Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na
Astronomia e até na Música.
As Relações Trigonométricas
Observe com atenção:
No triângulo retângulo ABC abaixo, temos:
83





B
a
c
A
b
C
o cateto b é oposto ao ângulo B̂ ;
o cateto b é adjacente ao ângulo Ĉ ;
o cateto c é oposto ao ângulo Ĉ ;
o cateto c é adjacente ao ângulo B̂ ;
a é a hipotenusa
As relações trigonométricas são razões entre a medida dos catetos e a
hipotenusa e recebem nomes especiais.
Tangente: é a razão (quociente) entre a medida do cateto oposto ao ângulo
considerado e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
Escrevemos:
medida do cateto oposto ao ângulo
tg <) =
medida do cateto adjacente ao ângulo
1) Num triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo de 40º mede 6cm. Qual o
valor aproximado do outro cateto?
ângulo: 40º
cateto oposto a 40º: 6cm
cateto adjacente: x
medida do cateto oposto a 400
medida do cateto adjacente a 400
6
6
tg 40º =
0,83 x = 6
x=
x  7,2
0,83
x
6
0,83 =
A medida aproximada é de 7,2cm.
x
tg 40° =
Seno: é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo considerado e a medida da
hipotenusa.
Escrevemos:
sen <) =
medida do cateto oposto ao ângulo
medida da hipotenusa
1) Um piloto contou que, ao decolar, o avião fez uma inclinação de 10º. Depois de
voar 15km sem mudar a trajetória, qual deve ser a altura atingida pelo avião?
ângulo: 10º
x
hipotenusa: 15km
altura: x
84
sen 10º =
medida do cateto oposto a 100
medida da hipotenusa
x
0,17 =
15
x = 0,17 . 15
x = 2,55
A altura atingida será de 2,55km.
Cosseno: é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo considerado e a
medida da hipotenusa.
Escrevemos:
medida do cateto adjacente ao ângulo
cos <) =
medida da hipotenusa
EXEMPLO:
1) Um pintor tem que
apoiar uma escada em um muro
para chegar à parte mais alta.
Para que a escada não caia, o pé
da escada deve estar 1,20m
distante da parede, e a escada
deve formar um ângulo de 70º
com o chão. Pede-se o
ângulo:
70º da escada.
comprimento
cateto adjacente a 70º: 1,20m
hipotenusa: x
medida do cateto adjacente a 700
medida da hipotenusa
1,20
0,342 =
x
0,342 x =1,20
1,20
x=
x = 3,50
A escada tem 3,50m
0,342
cos 70º =
EXERCÍCIOS:
21) Considere o triângulo abaixo:

a
b

c
a)
b)
c)
d)
e)
Qual é a hipotenusa?
Qual é o cateto oposto a  ?
Qual é o cateto adjacente a  ?
Qual é o cateto oposto a  ?
Qual é o cateto adjacente a  ?
85
22) No triângulo retângulo da figura, calcule:
B
a) sen  =
b) cos  =
8cm
6cm
c) tg  =
d) sen Ĉ =
10 cm
e) cos Ĉ =
A
C
f) tg Ĉ =
23) Calcule o valor de x nos triângulos abaixo:
a)
g)
60º
50
10
40º
x
x
b)
h)
20
12
x
45º
35º
x
c)
i)
10
x
.
x
24º
50º
100
d)
j)
x
40
30º
40º
120
x
.
86
e)
A
k)
10
17
x
45º
28º
C
.
x
B
f)
60º
50
l)
x
9
40º
.
x
24) Resolva os problemas
a) Veja a figura ao lado. Pode-se
tombar a árvore em direção à casa,
sem atingir a construção?
b) Uma escada medindo 3m precisa fazer um
ângulo de 40º com a parede para que não
escorregue. A que distância o pé da escada
precisa ficar da parede?
c) Determine a altura h do
poste indicada na figura.
Use sen 37º = 0,60
cos 37º = 0,80
tg 37º = 0,75
d) Uma escada rolante de 10m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem
inclinação de 30º. Qual é, em metros, a altura h entre um andar e outro dessa loja?
87
TABELA DOS ÂNGULOS TRIGONOMÉTRICOS E SUAS MEDIDAS
Ângulos
seno
cosseno
tangente
Ângulos
seno
cosseno
tangente
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
19º
20º
21º
22º
23º
24º
25º
26º
27º
28º
29º
30º
31º
32º
33º
34º
35º
36º
37º
38º
39º
40º
41º
42º
43º
44º
45º
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,432
0,454
0,469
0,485
0,500
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
46º
47º
48º
49º
50º
51º
52º
53º
54º
55º
56º
57º
58º
59º
60º
61º
62º
63º
64º
65º
66º
67º
68º
69º
70º
71º
72º
73º
74º
75º
76º
77º
78º
79º
80º
81º
82º
83º
84º
85º
86º
87º
88º
89º
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,777
0,788
0,799
0,809
0,819
0,829
0,839
0,848
0,857
0,866
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,914
0,921
0,927
0,934
0,940
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,998
0,999
0,999
1,000
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
0,559
0,545
0,530
0,515
0,500
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
0,242
0,225
0,208
0,191
0,174
0,156
0,139
0,122
0,105
0,087
0,070
0,052
0,035
0,017
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,474
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
14,301
19,081
28,636
57,290
88
5ª PARTE / GABARITO
1. a)
2
2
2.
2 6
3
a)
b)
4 7
7
c)
2 5
5
b)
6
6
d)
7 2
2
e)
c)
3. a) a = 6 b = 5 c = 8
b) a = 1 b = – 4 c = 0
c) a = 1
d) a = 2
f)
2
g) 4 2
3
5
5
d)
b=1
b=0
c=1
c=–3
a) completa b)completa c) incompleta d) incompleta
5. a) a ; c
b) d
c) b ; e
6.
a)
S = {1, 6}
f)
S = {–1, 0}
b)
S = {3, 5}
g) S = {3}
c)
S = {– 5}
h) S = ø
d)
S = {2, 10}
1 1
S = {– , }
e)
S=ø
i)
2 3
C = (1, 3)
i)
2
2
e) completa
j)
k)
l)
m)
D = (3, 2)
10
5
e)
e) a = 0,7 b = 0
4.
7. B = (5, 3)
8.
h) 5 3
10
2
c = – 0,7
f) incompleta
S = {0, 1}
S=ø
S = {– 4, 4}
7
S = {0, }
4
E = (6, 4)
y
E 3
C
2
A
1
-2
2
-1
-3
F
x
3 4
1
-2
-3
-4
D
9. E = (8, 0);
B
I = (0, 3);
M = (4, –4);
P = (1, 2);
R = (–2, –2);
10. São funções: c, g
Não são funções: a, b, d, e, f, h
11. a) f(0) = 1 b) f(2) = 7
c) f (-1) = –2
12. a) f(0) = 5
13. a) f(0) = 10
b) f(1) = 8
b) f(1) = 18
c) f(–2) = 1
c) f(2) = 28
T = (–4, 4)
d) f (- 4) = –11
d) f(–3) = 4
e) f(4) = 17
d) f(–1) = 4
e) f(–3) = –2
f) f(–5) = 0
89
14.
15.
b)
c)
d)
y=x+3
90
16.
a)
x
y
(x,y)
–1
2
(–1, 2)
0
0
(0, 0)
1
2
(1, 2)
2
8
(2, 8)
b)
x
y
(x,y)
–1
–2
(–1, –2)
0
0
(0, 0)
1
–2
(1, –2)
2
–8
(2, –8)
–2
–8
(–2, –8)
c)
d)
y
x
y
(x,y)
–3
0
(–3, 0)
–2
–3
(–2, –3)
–1
–4
(–1, –4)
0
–3
(0, –3)
1
0
(1, 0)
2
5
(2, 5)
x
y
(x,y)
–1
–9
(–1, –9)
0
–4
(0, –4)
1
–1
(1, –1)
2
0
(2, 0)
3
–1
(3, –1)
4
–4
(4, –4)
91
5
2
17. a)
b) 3
c) 4
d) 4
b) 6
e) 18
18.
a) 5
c) 13
19.
O lado do losango mede 5cm
f) 1
d) 9
20. a) A distância é de 10 m b) 30km
21.
a) a
22.
a)
b)
c)
23. a)
b)
c)
d)
24. a)
b)
b) b
h) 6
e) 15
d) c
e)
f)
7,07
25
43,3
12
j) 14
c) O comprimento do cabo é de 25 m
d)
e)
f)
g)
h)
i) 6
f)40
c) c
6
= 0,6
10
8
= 0,8
10
6
= 0,75
8
7,66
11,48
119,2
20
g) 2
e) b
8
= 0,8
10
6
= 0,6
10
8
= 1,333…
6
i)
j)
k)
l)
4,07
100,68
15,01
6,894
Não. A altura da árvore é de 25,6m. c) A altura do poste é de 6m.
A distância aproximada é de 1.93m. d) A altura entre os andares é de 5m.
BIBLIOGRAFIA
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2000.
MATSUBARA & ZANIRATO, Big. Mat – Matemática: história; evolução;
conscientização – São Paulo : IBEP, 2002.
JAKUBO e LELLIS – Matemática na medida certa – São Paulo : Scipione, 1994
IMENES & LELLIS - Matemática – São Paulo : Scipione, 2000
SPINELLI, Walter e Souza, Maria Helena Soares de. Matemática, Oficina de
Conceitos – São Paulo : Ática, 2002.
ANDRINI, Álvaro. Praticando a Matemática/ Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos
– São Paulo : Editora do Brasil, 2002.
SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática, Oficina de Conceitos/ Maria Helena
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MATSUBARA, Roberto. Big. Mat – Matemática: história; evolução; conscientização/
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MORI, Iracema.. Matemática: idéias e desafios/ Iracema Mori, Dulse Satiko Onaga –
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GIOVANNI, José Rui. Aprendendo Matemática/ José Rui Giovanni e Eduardo
Parente – São Paulo : FTD, 1999.
DI PIERRO NETTO. Matemática: conceito e história – São Paulo : Scipione, 1998
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SILVA, Jorge Daniel da – Caderno do Futuro/ Jorge Daniel da Silva, Valter dos
Santos Fernandes, Orlando D. Mabelini – São Paulo : IBEP, 2002.
http://www.alunosonline.com.br/matematica/teorema-de-pitagoras.html