Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnética Conte´udo

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:15
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica,
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a TERCEIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
37 As Equações de Maxwell – [Capı́tulo 37,
página 316]
37.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
37.2.1 As Equações de Maxwell: Uma
Lista Provisória – (1/2) . . . . .
2
2
2
37.2.2 Campos Magnéticos Induzidos
– (3/5) . . . . . . . . . . . . . .
37.2.3 Corrente de Deslocamento –
(6/15) . . . . . . . . . . . . . .
37.2.4 Equações de Maxwell: a Lista
Completa – (16/20) . . . . . . .
3
4
2
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
2
jgallas @ if.ufrgs.br
(lista3.tex)
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37 As Equações de Maxwell – [Capı́tulo 37, página 316]
(a) Mostre que E 5 F"$##HG . (Esta grandeza é
chamada de “impedância do vácuo”.) (b) Mostre que a
37.1 Questões
freqüência angular correspondente a *% Hz é igual a "$#*#
rad/s. (c) Compare os itens (a) e (b). Você acha que esta
coincidência tenha influido ma escolha de % Hz para os
Q 37-3.
geradores de corrente alternada? Lembre-se de que na
Por que é tão fácil mostrar que “um campo magnético Europa usam % Hz.
variável produz um campo elétrico”, mas é tão difı́cil (a)
mostrar de um modo simples que “um campo elétrico
<
<
variável produz um campo magnético”?
!"$#;%IJ(*"8+-% .1
L0 9 H/m
Porque os campos magnéticos devidos a campos
4' 4*(K4#?4'5#?*8+-% .
F/m
elétricos variáveis são extremamente
fracos. Isto deve
se ao coeficiente do termo na lei
"#5'M#5"*%;GN
de Ampère-Maxwell ser muito pequeno em relação ao
outro termo da equação. A constante representa a ve- (b) O NAPNQ=5PR%K="$#' >>I Hz Por outro lado,
0
locidade da luz.
OSLBT"'U(VW7> Hz (c) Espaço reservado para sua resposta:
37.2 Problemas e Exercı́cios
37.2.1 As Equações de Maxwell: Uma Lista Provisória – (1/2)
37.2.2 Campos Magnéticos Induzidos – (3/5)
E 37-1.
E 37-3.
Verifique o valor numérico da velocidade escalar da luz Para a situação do Exemplo 37-1, quais as possı́veis
usando a Eq. 37-1 e mostre que a equação está dimen- distâncias onde o campo magnético induzido se reduz
sionalmente correta. (Veja o Apêndice B.)
à metade do seu valor máximo?
No Apêndice B, pág. 321, encontramos que
3 Portanto,
;
!"$#&%')(*",+-%/.10
:9
4' 4*5(64$#&4'7#&*8+-%/.
<
H/m 2
F/m =/ >>#?>"$6+-%*@ m/s Seja X o raio da placa do capacitor e Y a distância a
partir do eixo do capacitor. Para pontos tais que Y[ZAX
a magnitude do campo magnético é dada por
\H]
Não deixe de fazer a análise dimensional pedida!
E 37-2.
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D_Y $ `
enquanto que para Y8abX ela é dada por
\[]
O Apêndice B informa que o valor experimental de é
;A' >*>$#?>$5(B4,+CD%@ m/s Y^
X
Y5^
5Y
9
$`
O campo magnético máximo ocorre nos pontos em que
YRTX sendo então seu valor dado por qualquer uma das
fórmulas acima:
\
max
X $ `
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\H]
Existem dois valores de Y para os quais
Y^c
E 37-8.
\
max : um menor do que X e um maior. O valor Para a situação do Exemplo 37-1, mostre que a densidam
menor do que X pode ser encontrado resolvendo-se em
de de corrente de deslocamento w para Y[ZxX , é dada
termos de Y a equação
por
\
m
*`
\H]
Y $`
X *`
max
w T
Y^)
*
*
(
*ed
f
O resultado é Y-gXKhi**hi*#/ mm O valor y Considere uma área q , normal a um campo elétrico
. A densidade de corrente de deslocamento é uniforme
que é maior do que X é obtido resolvendo-se para Y a
m
lm
e normal à área. Sua magnitude é dada por w zq .
equação
Nesta situação temos
9
\H]
X $`
X *`
Y^)
l:m
$`
5Y
*
(
2
TDq
O resultado é YRAX==8+jRk*% mm de modo que
w
37.2.3 Corrente de Deslocamento – (6/15)
m
q
q
*`
$ `
A
E 37-6.
Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de
placas paralelas pode ser escrita como
P 37-14.
Em 1929, M.R. Van Cauwenberghe conseguiu medir diretamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamenl:m
l:m
o
to entre as placas de um capacitor de placas paralelas,
An
submetido a uma diferença de potencial alternada, como
está sugerido na Fig. 37-1. Ele usou placas circulares
A corrente de deslocamento é dada por
cujo raio efetivo era de (*% cm e cuja capacitância era
de
D%% pF. A diferença de potencial aplicada tinha um
lpm
*`
Tq
2
valor
máximo oI{ de 5#7( kV na freqüência de % Hz.
*
(a) Qual foi a corrente de deslocamento máxima obtida
onde q é a área de uma das placas e ` é a magnitu- entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferença
de do campo elétrico entre as placas. O campo entre as de potencial tão elevada? (A delicadeza destas medidas
placas é uniforme, de modo que `rso5 , onde o é a é tal que elas só foram realizadas diretamente mais de
diferença de potencial entre as placas e é a separação 60 anos depois de Maxwell ter enunciando o conceito
das placas. Portanto
de corrente de deslocamento!)
(a) Use os resultados do Exercı́cio 37-6, com oc
Dq o
o
Tn
2
]
* o { sin 5 P|OuL^ . A derivada
em relação ao tempo é
]
l:m
o
c
|
P
O
o
|
P
u
O
L
^ , de modo que
C
{
_
}
$
~

uma vez que DqN5 é a capacitância n de um capacitor
]
|
P
O
R
n
o
|
P
u
O
L
^
,
sendo
a
corrente
de
deslocamenC
{
_
}
$
~

de placas paralelas “cheio de vácuo”.
lm
to máxima dada por
E 37-7.
Dispõe-se de um cacitor de placas paralelas de t F. Como seria possı́vel obter uma corrente de deslocamento
(instantânea) de A no espaço entre as placas?
lm
max
5P|O] nRoV] {
L
9 ]
5P %*^ D%%€+CD%/. ^ 7#5(+CD%‚U^
/ (#6+-% .1‚ A Para tanto basta variar o potencial entre as placas a (b) A corrente de deslocamento máxima é diretamente
proporcional à máxima diferença de potencial aplicada.
uma taxa de
l:m
Um valor grande de o { produz um valor de max mais
l:m
o
A
facilmente mensurável do que com oV{ menor.
v% 0 V/s n
% .u0 F
P 37-15.
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O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas circulares de raio XiƒD4 cm está ligado a uma fonte de
fem „…F„/{ senQJ , onde „{†‡% V e Qˆe"*%
rad/s. O valor máximo da corrente de deslocamento é
l:m
‰# € A. Despreze a distorção do campo elétrico
nas bordas das placas. (a) Qual é o valor máximo da
l
corrente ? (b) Qual é o valor máximo de ?5* , onde
é o fluxo elétrico na região entre as placas? (c) Qual
é a separação entre as placas? (d) Determine o valor
máximo do módulo de Š entre as placas a uma distância
YKk* cm do centro.
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] 9 9 lm
lm
Y X ^ , onde é a corrente de deslocamento total entre as placas e X é o raio da placa. As li‹
m
nhas de campo são cı́rculos no eixo das placas, de modo
que B é paralelo ao vetor *› . A magnitude do campo
é constante ao longo da trajetória circular, de modo que
\
š8ŠkŒD*›NT5PY . Logo,
PY
dando
\
\
œ
d X
lm
Y
9
9
f
l:m
Y
9 P—X
(a) Para qualquer instante , a corrente de deslocaO campo magnético máximo é dado por
:l m
mento
existente no espaço entre as placas é igual
lm
l
\
max Y
à corrente condução nos fios. Portanto ‹ max 9
lm
max
P—X
max =#/ A.
]
]
]
]
l:m
(P-+-% .1 ^ # ,+-% .10 ^ '% ˜7^
(b) Como T /L^_2
9
]
5P %'˜4$^
lm
:9
# ,+CD% .u0 A
/ max
/˜8+CD% . T :9
d f max
4' 4*€+-% . F/m
4'>8+-% S V Œ m/s (c) De acôrdo com o Exercı́cio 37-6
l:m
q $ o
* Na situação em questão, a diferença de potencial através
do capacitor coincide em magnitude com a fem do
„ { senQJ e o5*Ž
gerador, de modo que o
QJ„/{ }U~* QJ . Portanto
l:m

q&QJ„/{
}U~* QJz
z ‘ ’
“[”–• max
donde se tira facilmente que
q&QJ„/{
lm
L
9
9 ]
] max
]
]
4' 4*8+-% . —
^ P %'˜4$^ "*%*^ %*^
#/ 8+-% .u0
"I "*>8+CD% .u‚ m 2
9
onde usamos o fato que q=™P—X .
(d) Use a lei de Ampère-Maxwell na forma š8ŠsŒD$›K
m
‹ , onde o caminho de integração é um
m cı́rculo de
raio Y entre as placas, paralelo a elas. ‹ é a corrente de deslocamento através da área limitada pelo caminho de integração. Como a densidade da corrente de deslocamento é uniforme entre as placas, temos
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37.2.4 Equações de Maxwell: a Lista Completa –
(16/20)
P 37-20.
Uma longa barra cilı́ndrica condutora, de raio X , está
centrada ao longo do eixo ž como mostra a Fig. 37-11.
A barra possui um corte muito fino em žŸT . Uma corl
rente de condução , aumentando no tempo e dada por
l
k¡¢ , percorre a barra da esquerda para a direita; ¡ é
uma constante de proporcionalidade (positiva). No instante JA% não existe cargas nas faces do corte próximo
a žhx . (a) Determine o módulo da carga nessas faces
em função do tempo. (b) Use a Eq. I da Tabela 37-2
para determinar ` no intervalo entre as faces em função
do tempo. (c) Esboce as linhas de Š para YH£=X , onde
Y é a distância ao eixo
\[] ž . (d) Use a Eq. IV da Tabela 372 para determinar Y^ no intervalo entre as faces para
\[]
YCZsX . (e) Compare a resposta do item (d) com Y^
na barra para Y€Z¤X .
(a) No instante a carga na face direita é dada por
¥ A¦§ l *)A¦§ ¡¢¨*J ¡¢ 9 Para o 9 mesmo instante, o valor da carga na face esquerda
é ©;¡| .
(b) Use uma superfı́cie Gaussiana com a forma de um
cilindro, concêntrica com a barra condutora, com um
extremo dentro do intervalo onde existe o corte e o outro
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dentro da barra à esquerda do corte, (conforme ilustrado na figura à direita). O campo elétrico está na direção
positiva do eixo ž de modo que precisamos apenas considerar as faces do cilindro. A magnitude do campo
elétrico na face esquerda é dado por ªIw , onde ª é a resistividade da barra e w é a densidade de corrente.
Como caminho de integração escolha um cı́rculo que
coincida com uma linha de campo magnético. Suponha
que o raio do caminho de integração seja Y (com Y€£™X )
\
e que seja a magnitude do\ campo para pontos sobre o
PY . Na região do corte a
caminho. Então š€ŠxŒ*›B
corrente é zero e apenas a corrente de deslocamento contribui no lado direito da equação de Ampère-Maxwell.
Como temos
Denotemos por ` a magnitude do campo na face direita.
9 ¡¢
/
*`
¡¢pY
9 Tq
œPY
Além disto, suponhamos que a densidade de corrente é
*
*
P— X
X
uniforme na face esquerda e que o campo elétrico é uniforme na face direita. Neste caso,
a equação de Ampère-Maxwell nos fornece
«
y
ŒD*¬rv©&ªIw—q®­®`KqK2
\
onde q é a área de uma das faces. Nós supomos ainda
que a resistividade é tão pequena que nos permita desprezar o termo acima no qual ela aparece. A lei de Gauss
fica `KqxA¯€5 , onde ¯ é a carga na barra e dentro da
superfı́cie Gaussiana.
A área da face do cilindro Gaus9
siano é q°sPY , onde Y 9é o raio,
e a carga englobada
9
]
pela Gaussiana é ¯ˆ
Y 5X ^ ¥ , onde ¥ é a carga na
face da barra. Portanto
9
¡ ¢
9 2
P— X
5P—±X
9
onde o resultado obtido no item (a), ¥ A¡| `v
¥
9 do.
¡¢pY
9 P—X
O campo magnético dentro da barra, a uma distância Y
do seu eixo, é dado exatamente pela mesma expressão.
Neste caso, somente a corrente de condução contribui
no lado direito da lei de Ampère-Maxwell. Tome o caminho de integração como sendo um cı́rculo centrado
no eixo e paralelo
9 l faces da barra. A corrente através
] 9 às
do cı́rculo é Y 5X ^ e a equação de Ampère-Maxwell
, foi usa- fornece
9
\
(c) As linhas de campo magnético formam cı́rculos que
são concêntricos com o eixo da barra (eixo ž ), estando de modo que
em planos paralelos às faces da barra.
(d) Use a lei de Ampère-Maxwell:
«
\
9 2
9
¡|pY
9 X
PY´T
Portanto
9
l
ŠvŒU$›BT ²
­ D³
*
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
\
l
PY´T X
Y
9 l2
l
Y
¡¢pY
9 9 2
P—X
5P—X
onde substituimos por ¡¢ .
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