Baixar Dica - Colégio Integrado Jaó

COLÉGIO INTEGRADO JAÓ
Professor
Tales Mazzoccante
ORIENTAÇÕES PARA
PROVA BIMESTRAL
MATEMÁTICA
6º ANO
Aluno(a):
Data:
06 / 10 / 2016
6º Ano
Turma:
Algumas orientações:
Neste terceiro bimestre, daremos ênfase às regras de divisibilidade e números primos, aplicados à fatoração,
divisores positivos naturais de um número, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
A) Fatoração: a fatoração é aquele procedimento no qual, a partir de um número natural, queremos descobrir
outros números, que multiplicados, temos como resultado o número original estudado.
Veja:
40 = 5 . 8
40 = 4 . 10
40 = 2 . 5 . 4
40 = 2 . 2 . 2 . 5
Todas essas formas são formas fatoradas do número 40, porém, apenas uma delas foi feita com números
primos (40 = 2 . 2 . 2 . 5). Utilizaremos nos nossos estudos, com prioridade, a forma fatorada utilizando
números primos. Fique atento! O número 1 não é primo e o único número par primo é o 2.
B) Divisores naturais de um número: para encontrarmos os divisores naturais de um número, começamos
sempre por 1 e ele mesmo, pois todo número se divide por 1 e por ele mesmo. Logo em seguida, vamos utilizar
as regras de divisibilidade para descobrir se o número estudado se divide por 2, por 3, por 4, por 5 e assim por
diante. Lembre-se que se o número é par, por exemplo, ele se divide por 2 e portanto, o número estudado
divide-se por 2 e pelo resultado da divisão.
Veja: Para encontrarmos os divisores de 40, começamos por 1 e por ele mesmo:
D(40) = {1,
… , 40}
No entanto, 40 é par. Logo, 40 se divide por 2 e por 20 (que é o resultado da divisão: 40 por 2)
D(40) = {1, 2,
…
, 20, 40}
Em seguida, observamos que 40 não se divide por 3 (pois a soma dos algarismos não é da tabuada do 3),
mas 40 tem duas metades inteiras e portanto se divide por 4 e o resultado é 10. Concluímos que ele tem
como divisores o 4 e o 10 também, pois se um número divide por 4, ele também se divide pelo resultado
desta divisão, que é 10.
D(40) = {1, 2, 4,
…
, 10, 20, 40}
Na sequência, ao analisar o número 5, temos a grata satisfação de perceber que ele se divide por 5 (pois
termina em 0 ou 5) e como aluno do professor Tales não divide por 5… “tira uma casa e dobra”, façamos
40→ 4→8 , ou seja, 40 : 5 = 8. Logo, os números 5 e 8 também são divisores e participam da sequência.
D(40) = {1, 2, 4, 5,
…
, 8, 10, 20, 40}
Certo! Observe que ao fazer estes procedimentos, já explorados em sala de aula (procure os exercícios feitos
no caderno, para revisar e conferir outros exemplos), percebemos que os números aumentam da esquerda
para a direita e diminuem da direita para a esquerda, parecendo que vão se “encontrar no meio”. E eles
diminuem muito a cada operação, diminuindo as possibilidades que precisamos testar. Em seguida, neste
exemplo, temos que testar apenas o 6 e 7, que são os únicos números naturais que se encontram entre
5 e 8.
Concluímos que 40 não se divide por 6, pois não se divide por 2 e por 3, juntos; e muito menos por 7, pois
verificamos que não há nenhum número da tabuada do 7 na sequência dos divisores. Estamos certos então
que os divisores procurados já foram encontrados e apenas finalizamos a disposição deles.
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
C) Máximo divisor comum: o m.d.c. entre dois ou mais números é uma ferramenta que se utiliza em situações
bem específicas: aquelas em que se pretende dividir, repartir ou distribuir diferentes quantidades, sem sobra,
e com maior resultado possível na divisão. Para isso utilizamos os divisores naturais de cada um e verificamos
qual o maior divisor comum entre eles (o maior que se repete para todos).
Veja:
m.d.c. (40, 50)
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
e
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
O m.d.c entre 40 e 50 é 10. Significa dizer que 40 laranjas e 50 goiabas, se distribuídos em pacotes com
mesma quantidade de frutas, contendo a maior quantidade possível, sem sobra, destas qualidades de frutas,
sem misturá-los, cada um destes pacotes teria 10 frutas (ou 10 laranjas ou 10 goiabas).
Exemplo:
01. Três peças de tecido que medem 30m, 36m e 42m, respectivamente, devem ser divididas em pedaços,
todos de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que haja sobras em cada uma delas. O
comprimento de cada pedaço, em metros, é:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
Resposta: Procura-se um divisor simultâneo de 30, 36 e 42 e este deve ser o maior possível. Trata-se de um
problema em que se usa o m.d.c..
30, 36 , 42
10, 12 , 14
5, 6, 7
3
2
ou
30, 36 , 42
5, 6, 7
6
Pode-se utilizar qualquer número que seja divisor de todos.
Logo, o m.d.c. (30, 36, 42) = 3 . 2 = 6 e portanto, o comprimento de cada pedaço é 6 metros e ainda
sabemos que são obtidos 5 + 6 + 7 = 18 pedaços destas três peças de tecido. Alternativa A
D) Mínimo múltiplo comum: esta é uma grande ferramenta para resolver alguns problemas muito bem
definidos. Utilizamos o m.m.c. para encontrar respostas de problemas em que se quer encontrar de tempos em
tempos, repetir um fenômeno, piscar juntos, acontecer novamente um evento, ou seja, relacionamos os
problemas em que se aplica o m.m.c. a EVENTOS NO FUTURO.
O m.m.c., vocês já sabem que é o primeiro (menor) múltiplo positivo que se repete na sequência dos
múltiplos de um ou mais números. Lembre-se que os múltiplos de um número são os números da tabuada
dele.
Veja:
m.m.c (20, 60)
M (20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...}
M(60) = {0, 60, 120, 180, …}
Portanto, o m.m.c. entre 20 e 60 é o próprio número 60. O zero representa o momento inicial do
experimento, portanto, procuramos o primeiro número após ele, que se repete nas sequências.
Ainda assim, aprendemos o método prático de se calcular o m.m.c. que poderá ser utilizado sempre que
achar conveniente. Neste processo, utilizamos apenas números primos, embora não há necessidade de se
preocupar com a ordem em que se escolhem os números.
Veja:
m.m.c. (20, 60)
20, 60
10, 30
5, 15
5, 5
1, 1
2
2
3
5
20, 60
4, 12
2, 6
1, 3
1, 1
5
2
2
3
20, 60
20, 20
4, 4
2, 2
1, 1
3
5
2
2
O m.m.c entre 20 e 60 é o resultado de 2 . 2 . 3 . 5 ou 5 . 2 . 2 . 2 ou 3 . 5 . 2 . 5 = 60. Voltamos a reforçar
a ideia que não existe ordem certa, desde que se utilizem números primos.
Significa dizer que dois amigos que, hoje, se encontram e partem juntos do aeroporto de Goiânia para
trabalhar pelo Brasil afora e que se sabe que um deles volta para casa, voltando a viajar novamente a cada
20 dias e que o outro faz o mesmo ciclo de viagens a cada 60 dias, voltarão a se encontrar no aeroporto de
60 em 60 dias, que é o m.m.c. entre 20 e 60.
Sabemos que viajando de 20 em 20 dias e de 60 em 60 dias, partindo do aeroporto, eles se encontram
toda vez que o segundo amigo viaja, ou seja, são situações futuras.
Revisem os módulos do 3º bimestre em que aparecem problemas sobre os assuntos aqui estudados,
anotações e exercícios no caderno e livro. Bom estudo e boa avaliação!
Professor Tales Mazzoccante