número de ouro

CONFERÊNCIA
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Dia 2 de maio de 2012
SALA D2
1ªSESSÃO: 9h00
2ªSESSÃO: 10h30
Professora Cristina Cândido
alunos do 7º1
1
“A matemática é uma disciplina maravilhosa, louca, cheia de imaginação,
fantasia e criatividade que não está limitada pela miudeza dos
pormenores do mundo físico, mas apenas pela força da nossa luz interior”
Gregory Chaitin, “Less Proof, More Truth”
New Scientist, 28 de julho de 2007
Professora Cristina Cândido
2
O NÚMERO DE OURO
Professora Cristina Cândido/ Filipa Alves
3
O número de ouro
O número de ouro é um
número infinito (que não
tem fim) e tem o valor de
1,618033989…
O número de ouro é uma
proporção que está em
toda a Natureza.
Fórmula para calcular o
número de ouro
4
Filipa Alves
Número de ouro/Retângulo de ouro
• O número de ouro aparece
relacionando as dimensões de
um retângulo especial, que
por esse facto se designa por
retângulo de ouro.
Filipa Alves
5
Número de ouro/Retângulo de ouro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Desenha-se um quadrado e divide-se
ao meio.
Desenha-se o prolongamento do lado
maior do retângulo.
Num dos retângulos obtidos traça-se a
diagonal.
Com o compasso, traça-se um arco de
circunferência, cujo raio é a diagonal
do retângulo, até à base prolongada.
Pelo ponto de intersecção do arco com
o segmento da base traça-se um
segmento perpendicular à base.
Prolonga-se o lado superior do
quadrado até se encontrar este
último segmento para formar o
retângulo.
Professora Cristina Cândido
6
Número de ouro/Retângulo de ouro
2
1
x 1   
2
1
x2  1 
4
5
x2 
4
5
5
x

4
2
2
2
x
5
2
1
1
2
5
2
comprimento 1
5 1 5
 

 1,618033989...  
l arg ura
2 2
2
Professora Cristina Cândido
7
Número de Ouro/Retângulo de ouro
Observa a construção do
retângulo ouro passo a passo
Professora Cristina Cândido
8
Atividade 1: QUAIS OS RETÂNGULOS TE PARECEM MAIS AGRADÁVEIS À VISTA?
C
B
A
D
E
F
G
H
L
J
I
São retângulos de
ouro: A, D, E, F, J e L
Filipa Alves
9
O número de ouro - história
*A história do número de ouro perde-se no passado.
Ninguém sabe ao certo quando apareceu o número pela
1ª vez.
*No Egipto, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo
em conta uma proporção, que relaciona a altura de uma
face com metade do lado da base da pirâmide. Num papiro
encontrado, os Egípcios referem-se a esta proporção como
a “razão sagrada”, que se pensa ser o número de ouro.
Filipa Alves
10
O número de ouro – pirâmides de Gisé
Pirâmides de Gizé
O quociente da altura de uma face da
pirâmide pela metade do lado da base é
aproximadamente 1,618.
Filipa Alves
11
Atividade 2:
Das seguintes pirâmides qual ou quais te parecem ser mais harmoniosas e equilibradas?
Filipa Alves
12
Número de ouro/Retângulo de ouro
O retângulo de ouro é uma figura geométrica que
marca forte presença no domínio das artes,
nomeadamente na arquitetura, na pintura, na
natureza e até na publicidade. Este facto não é uma
simples coincidência já que muitos testes psicológicos
demonstraram que o retângulo de ouro é de todos os
retângulos o mais agradável à vista humana.
Professora Cristina Cândido
13
Número de ouro na Arquitetura
O Parténon é um exemplo de
uma das primeiras utilizações
do retângulo de ouro na
arquitetura. Os gregos da
antiguidade
conheciam
a
proporção de ouro, como obtêla, como conseguir uma
aproximação conveniente e
como a utilizar na construção
do retângulo de ouro. Não foi
por acaso que o número de
ouro foi designado por  (fi),
segundo o nome de Fídias,
famoso escultor grego.
Professora Cristina Cândido
14
Número de ouro na Arquitetura
Professora Cristina Cândido
15
Número de ouro na Pintura
Mona Lisa, Leonardo da Vinci
No quadro Mona Lisa, se construir um
retângulo em torno de seu rosto, vê-se
que este é um retângulo de ouro.
Pode-se também subdividir este
retângulo usando a linha dos olhos para
traçar uma reta horizontal e tem-se
novamente a razão de ouro.
Pode-se continuar a explorar esta
proporção em várias outras partes do
corpo. As próprias dimensões do quadro
formam igualmente um retângulo
áureo.
Professora Cristina Cândido
16
Número de ouro na Natureza
Miolo da flor de girassol.
As sementes de girassol crescem em espirais opostas.
As sementes estão dispostas no centro, curvam para a esquerda como para a direita,
sendo a razão entre cada rotação para a seguinte de 1,618.
Filipa Alves
17
Número de ouro na Natureza
21 espirais no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio
e
34 espirais no sentido dos ponteiros do relógio
Filipa Alves
18
Número de ouro na Natureza
Se dividirmos o número de abelhas fêmeas pelo número de abelhas
machos em qualquer colmeia do mundo, vamos sempre obter um mesmo
número: 1,618.
Filipa Alves
19
Número de ouro no Corpo Humano
Leonardo da Vinci, estudou exaustivamente as
proporções do corpo humano.
A altura do corpo humano e a medida do
umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandíbula
até o alto da cabeça.
 A medida da cintura até a cabeça e o
tamanho do tórax.
 A medida do ombro à ponta do dedo e a
medida do cotovelo à ponta do dedo.
 O tamanho dos dedos e a medida da dobra
central até a ponta.
 A medida da dobra central até a ponta
dividido e da segunda dobra até a ponta.
As medidas do corpo humano, Leonardo da Vinci
Professora Cristina Cândido
20
Número de ouro no Corpo Humano
Miguel Ângelo, A Criação
do Homem
"Meçam a distância do ombro às pontas dos
dedos, e então dividam-na pela distância do
cotovelo às pontas dos dedos. Outra vez PHI.
Mais uma? Anca ao chão a dividir por joelho
ao chão. PHI. Articulação dos dedos das mãos.
Dos pés. Divisões espinais. PHI, PHI, PHI. Meus
amigos, cada um de vocês é um tributo
ambulante à Proporção Divina.”
(trecho retirado do livro O Código Da Vinci)
A falange, a falanginha e a falangeta do indicador têm comprimentos que
estão na proporção de ouro.
Professora Cristina Cândido
21
Número de ouro no Corpo Humano
Atividade :
1. Mede o comprimento da falange, da falanginha e da
falangeta do indicador de uma das tuas mãos.
2. Calcula as seguintes razões:
falange/falanginha
falanginha/falangeta
3. Averigua se as razões obtidas se aproximam do
número de ouro.
Monitores da atividade: Alin Rusu, Ana Diniz,
Diogo Monteiro, Sara Gaspar, Fausto Ribeiro , Tiago
Pedro, Joana Carvalho, Filipe Silva
Outros exemplos
O retângulo de ouro está presente nos
cartões de crédito, cartões das Finanças,
novo modelo de carta de condução,
passes dos transportes, pequenos
calendários, cartão de cidadão, etc.
Certamente todos os novos cartões que
aparecerem vão obedecer a esta nova
normalização, a regra de ouro.
Muitas embalagens têm a configuração
do retângulo de ouro, possivelmente com
o intuito de apelar ao sentido estético do
público.
Professora Cristina Cândido
23
Número de ouro no cartão de cidadão
Atividade :
1. Mede o comprimento e a largura do teu cartão de
cidadão
2. Calcula a seguinte razão:
comprimento/largura
3. O que verificas?
Monitores da atividade: Alin Rusu, Ana Diniz,
Diogo Monteiro, Sara Gaspar, Fausto Ribeiro , Tiago
Pedro, Joana Carvalho, Filipe Silva
ESPIRAL EQUIANGULAR (Espiral de Fibonacci)
O retângulo de ouro gera continuamente outros
retângulos de ouro, circunscrevendo, assim a
espiral equiangular (Espiral de Fibonacci). É o
único tipo de espiral que não altera a sua forma
à medida que aumenta o tamanho.
Filipa Alves
25
O ENIGMÁTICO NÚMERO DE OURO – Espiral Equiangular
Observa a construção do
retângulo ouro passo a passo
Professora Cristina Cândido
26
ESPIRAL EQUIANGULAR
O Nautilus é um molusco que vive no
sudoeste do oceano pacífico. O Nautilus
é um dos seres vivos que apresenta a
razão de ouro no seu desenvolvimento,
sendo assim chamado de Espiral de
Ouro.
Concha do Caramujo Nautilus
Professora Cristina Cândido
27
A sequência de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
28
Sequência de Fibonacci
Leonardo de Pisa, também conhecido por Fibonacci, em 1202 publicou o livro
Liber Abaci (o livro do Ábaco), onde apresentou à Europa a conhecida sequência
numérica
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
que atualmente se designa por sequência de Fibonacci.
À exceção dos dois primeiros números,
qualquer número sucessivo da sequência
é igual à soma dos dois anteriores.
Estes números aparecem num impressionante número de disciplinas
matemáticas e na natureza!! Será Deus matemático?
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
29
Sequência de Fibonacci
A natureza é matemática
A Natureza é matemática!
A disposição das sementes de um girassol pode ser entendida recorrendo
aos números de Fibonacci. As cabeças de girassol, como as de outras flores,
contêm famílias de espirais entrelaçadas de sementes, uma no sentido dos
ponteiros do relógio outra no sentido contrário. O número de espirais
dessas sementes (34 para a direita, 21 para a esquerda) assim como o
número de pétalas das flores, é, muitas vezes, um número de Fibonacci.
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
30
Sequência de Fibonacci
A natureza é matemática
Os ananases têm para um lado
8 diagonais para o outro 13 diagonais.
O mesmo se verifica nas pinhas
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
31
Sequência de Fibonacci
A natureza é matemática
1 pétala
3 pétalas
1 pétala
5 pétalas
2 pétalas
8 pétalas
32
Sequência de Fibonacci
A natureza é matemática
34 pétalas
21 pétalas
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
13 pétalas
55 pétalas
33
Sequência de Fibonacci
A natureza é matemática
Nalguns
arbustos
ou
árvores
o
crescimento dos galhos ao longo dos
meses, anos coincide com os números de
Fibonacci, tal como se vê na figura
seguinte.
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
34
A Natureza nos Números
filme
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
35
O número pi
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
36
O número pi
Arquimedes de Siracusa
Pi, simbolizado pela letra grega , é a relação entre as grandezas do perímetro de
uma circunferência e o seu diâmetro, sendo aproximadamente igual a 3,14159.
O matemático grego Arquimedes (250 a. C) foi o primeiro a dar-nos um intervalo
rigoroso de  (uma valor entre 223/71 e 22/7)
O número Pi é um número irracional (tem infinitas casas decimais e até agora ainda
não foi encontrado nenhum grupo de algarismos em repetição – trata-se por isso de
uma dízima infinita não periódica)
Beatriz Coutinho/Mariana Sardinha
37
O número pi
Atividade
1. Mede o perímetro de um objeto circular
2. Mede o diâmetro desse objeto
2. Determina a razão entre o valor do perímetro e o diâmetro
obtidos.
O que verificas?
Monitores da atividade: Allin Rusu, Ana Diniz,
Diogo Monteiro, Sara Gaspar, Fausto Ribeiro , Tiago
Pedro
38
Os Números imaginários
A matemática é arte e beleza
Professora Cristina Cândido
39
Os Números imaginários
A matemática é arte e beleza
Um número imaginário é aquele cujo quadrado tem um valor negativo!
Ao longo de vários séculos, muitos matemáticos declaravam que era impossível um
número negativo possuir raiz quadrada embora tivessem indícios de que tal poderia
acontecer. Mostravam-se relutantes em “acreditar” em números imaginários, incluindo
Descartes, que introduziu o termo imaginário como uma espécie de insulto.
A história dos números imaginários começou a florescer no séc. XVI na Europa. O
engenheiro
italiano Rafael Bombelli , conhecido na sua época pela drenagem de
pântanos, é atualmente famoso pela sua obra intitulada Álgebra, publicada em 1572, que
introduziu a notação de
1
que seria uma solução válida da equação
x 2  1  0.
Professora Cristina Cândido
40
Os Números imaginários
A matemática é arte e beleza
No séc. XVII, Leonhard Euler, introduziu o símbolo
1  i
i para
 1.
Ainda hoje usamos este símbolo. Esta descoberta veio trazer progressos chave na Física
moderna que não teriam sido possíveis sem o uso dos imaginários.
Os números imaginários desempenham um papel muito importante na produção de
magníficas obras de arte fractais.
41
Filme - Fractais
Professora Cristina Cândido
42
Sequência dos números granizo
A matemática é arte e beleza
Imagina caminhar no meio de uma tempestade ofuscante de granizo, arrastado pelas rabanadas e
turbilhões do vento. Por vezes, as pedras de granizo atiradas até onde o olhar consegue ver, caem à
Terra, esmagando-se no chão como pequenos meteoritos.
Este é um problema numérico de granizo que fascinou os matemáticos ao longo de décadas.
Sequência de números de granizo:
1º Escolhe um número inteiro qualquer positivo
2º Se o nº for par, divide-o por 2; Se for ímpar, multiplica-o por 3 e adiciona-lhe 1.
3º Com base na tua resposta , repete a regra.
Exemplo: A sequência de granizo para 3 é:
3, 3x3+1=10; 5; 3x5+1=16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Tal como o granizo que cai do céu por força das nuvens da tempestade, esta sequência sobe e desce!
Da mesma forma, tal como o granizo cai ao chão, os números de granizo acabam sempre, no inteiro 1.
Professora Cristina Cândido
43
Padrão fractal dos números de granizo
Professora Cristina Cândido
44
45
TOUCH numa relação com a matemática
Jake é capaz de descobrir relações
matemáticas, num "mosaico gigante de
padrões ... escondido à vista de todos”
Filipa Alves
46
Muitos matemáticos
morreram tragicamente…
* Tales de Mileto – asfixiado pela multidão ao sair de um
espetáculo.
* Arquimedes – assassinado por um soldado romano.
* Eratóstenes – suicidou-se, deixando-se morrer de fome.
* Hipátia – lapidada por um grupo de exaltados durante um motim
em Alexandria.
* Evaristo Galois – morto em duelo.
* Pitágoras – assassinado, em Tarento, durante uma revolução.
Pedro Pinheiro
47
Uma curiosidade sobre as idades…
• Se adicionarmos a idade de alguém
aos 2 últimos dígitos do seu ano de
nascimento, o resultado vai dar
sempre 111 ou 112 !!!
(isto não resulta com pessoas nascidas depois
de 2000 ou em 2000)
Exemplo :
19(40)+ 72= 112
(19)99+12=111
Experimenta com a tua idade…
Pedro Pinheiro
48
Multiplicações de 1 a 10 por 9
1- Contam-se os dedos das duas mãos da esquerda para a
direita e numerando-os sequencialmente de 1 a 10.
2 - Baixamos o dedo correspondente ao número que queremos
multiplicar por 9, e teremos o resultado.
Por exemplo: 4x9.
Baixamos o dedo correspondente ao numero 4. Repara que
ficaram 3 dedos do lado esquerdo e 6 dedos do lado direito do
dedo baixado. Agora é só unir o 3 e o 6, ou seja, o resultado é
36.
Joana Rebelo
49
A palavra noite e o número 8
• Em diversos idiomas europeus, a palavra "noite"
assemelha-se à junção da letra "n" com o número 8.
Vejamos alguns exemplos:
• Português: noite = n + oito
Inglês: night = n + eight
Alemão: nacht = n + acht
Espanhol: noche = n + ocho
Francês: nuit = n + huit
Italiano: notte = n + otto
Joana Rebelo
50
Confusão de Números
1. Tens 1000, acrescenta-lhe 40.
2. Acrescenta mais 1000.
3. Acrescenta mais 30 e novamente 1000.
4. Acrescenta 20. Acrescenta 1000 e ainda 10.
Qual é o total?
A resposta certa é 4100 !!!!
O teu resultado é 5000 ?
Verifica com a calculadora. O que acontece é que a sequência decimal
confunde o nosso cérebro, que salta naturalmente para a mais alta casa
decimal (centenas em vez de dezenas).”
Joana Rebelo
51
Com multiplicações estranhas…
•
Vê o que acontece se multiplicarmos 37 por múltiplos de 3:
•
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999
Curioso…
Rita Homem
Com o número de telemóvel…
•
Escreve os 3 primeiros algarismos de teu telefone (não pode ter o indicativo 91, 96, 21 ou 22
ou 26...).
•
Multiplica por 80.
•
Soma 1.
•
Multiplica por 250.
•
Soma com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.
•
Soma com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.
•
Diminui 250.
•
Divide por 2.
•
Reconheces o resultado?
Fonte: http://pititi.com/curiosidades/matematica.htm
Rita Homem/Filipe Silva/Joana Rebelo
l
Outra forma de calcular Potências
Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular
potências: através da soma de números ímpares. Ele
descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números
naturais ímpares.
Exemplo:
22  1  3  4
32  1  3  5  9
4 2  1  3  5  7  16
5 2  1  3  5  7  9  25
6 2  1  3  5  7  9  11  36
7 2  1  3  5  7  9  11  13  49
....
Alice Mendes/Guilherme Soares
54
O número 12345679
Se multiplicarmos o número 12345679 por qualquer múltiplo de 9, entre 9 e 81,
iremos obter um produto cujo algarismo que se repete é o próprio multiplicador
dividido por 9.
12345679 x 9 = 111.111.111 (9 / 9 = 1)
12345679 x 18 = 222.222.222 (18 / 9 = 2)
12345679 x 27 = 333.333.333 (27 / 9 = 3)
12345679 x 36 = 444.444.444 (36 / 9 = 4)
12345679 x 45 = 555.555.555 (45 / 9 = 5)
12345679 x 54 = 666.666.666 (54 / 9 = 6)
12345679 x 63 = 777.777.777 (63 / 9 = 7)
12345679 x 72 = 888.888.888 (72 / 9 = 8)
12345679 x 81 = 999.999.999 (81 / 9 = 9)
Guilherme Soares/Alice Mendes
55
Número Mágico
1089 é conhecido como o número mágico
Vamos ver como podemos justificar esta afirmação.
Primeiro escolhemos um número qualquer de três algarismos distintos, como 325.
Seguidamente, escrevemos esse número invertido, 523.
Calculamos a diferença entre o maior e o menor, 523 - 325 = 198.
Fazemos a mesma coisa ao resultado da diferença, 891 - 198=693.
Finalmente, em vez de subtrairmos adicionamos 693 + 396=1089
E obtemos 1089!
Carolina Martins
56
Os caracteres numéricos
•
Os caracteres numéricos que usamos hoje têm uma origem árabe (provavelmente
marroquina) e têm mais de mil anos. Uma explicação engraçada, mas muito pouco provável,
é a de que a erosão provocada pelo uso alterou-os ligeiramente, mas a ideia original teria
uma explicação curiosa:
O "1" tem um ângulo
O "2" tem dois ângulos
O "3" tem três ângulos
O “4" tem quatro ângulo
O “5" tem cinco ângulos
O “6" tem seis ângulos
….
O "0" tem zero ângulos!
Prof. Cristina Cândido
57
Número com três algarismos
1. Escolhe um número de três algarismos:
Ex: 234
2. Repete esse número à frente do mesmo:
234234
3. Agora divide por 13:
234234 / 13 = 18018
4. Depois divide o resultado por 11:
18018 / 11 = 1638
5. Divide novamente o resultado, só que agora por 7:
1638 / 7 = 234
6. O resultado vai ser igual ao número de três algarismos que
escolheu: 234
Maria Carolina Gomes
58
Com capicuas…
Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou
da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor,
como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número
capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e
soma-se com o número dado, um número de vezes até que se
encontre um número capicua, como por exemplo:
Partindo do número 84:
84+48=132
132+231=363
E 363 é um número capicua!
Experimenta agora com tu com outro número!
Ana Piedade/Margarida Borges
59
Os números amigos e a magia
•
O que é um número amigo?
•
Um número diz-se amigo quando a soma
dos divisores de um dá o outro.
220 e 284 são amigos!
Os divisores de 220 são :
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Os divisores de 284 são:
1, 2, 4, 71 e 142
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
André Francisquinho
60
Os números amigos e a magia
•
Para os Pitagóricos os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a
amizade perfeita e o amor. Estes tinham um papel especial na magia e na
astrologia, na construção de horóscopos, na bruxaria, na preparação de poções
mágicas e na construção de talismãs.
•
Por exemplo: A amizade entre os números 220 e 284 é bastante antiga. A
“amizade” entre dois números vem da relação existente entre eles e seus
divisores.
•
Na Idade Média esses números foram muito cultuados tanto que até eram
vendidos como talismãs.
•
Durante muito tempo não se conhecia nenhum outro par de números amigos até
que, em 1636, Fermat descobriu o par 17.296 e 18.416.
•
Posteriormente, encontraram-se mais 62 pares de números amigos.
André Francisquinho
61
Googol
•
O termo googol , significa o número 1 seguido de 100 zeros, isto é, o número 10 elevado a 100, foi criado por
Milton Sirotta, com nove anos de idade. Sirotta era sobrinho de um matemático americano Edwin Kasner, que
popularizou o termo googol após ter pedido ao seu sobrinho para inventar uma palavra para um número muito
grande.
10100
=10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
0.000.000.000.000.000.000.000.000
•
A palavra googol apareceu, pela primeira vez em publicações impressas em 1938.
•
Usou o googol como base para denominar um número ainda maior: o googolplex, que equivale a "10 elevado a 1
googol". Imagina quantas folhas de papel seriam necessárias para escrever o número googolplex por extenso!!!
10googol
ou
1010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
Professora Cristina Cândido
62
Agradecimentos:
Os alunos e a professora Cristina Cândido agradecem:
• à professora de Língua Portuguesa, Sofia Pais, a sua
colaboração na avaliação das apresentações, quanto à
oralidade e comunicação, feitas pelos alunos.
• ao pai da aluna Filipa Alves, pelo seu apoio na impressão dos
folhetos “ Sequência de Fibonacci” distribuídos pela
comunidade educativa.
Professora Cristina Cândido
63
Fontes:
Pickover, Clifford, O livro da Matemática, De Pitágoras à 57ª dimensão, Librero
WONG, Wucius Princípios de Forma e Desenho. São Paulo: Editora Martins
Fontes, 2001. 2ª edição.
PILLAR, Analice Dutra A Educação do Olhar no Ensino das Artes. Porto Alegre:
Editora Mediação, 2001. 2ª edição.
PAPPAS, Theoni, Fascínios da Matemática. Editora Replicação, 1989
CRATO, Nuno, A Espiral Dourada. Editora Gradiva, 2006.1ª edição.
http://pt.wikipedia.org/
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
http://www.cienciaviva.com/
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/problema
s.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
Google imagens
Youtube filmes
Professora Cristina Cândido
64