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Curso Hexaedro Tel.: 27960275 ou (21)78975481 ou Nextel ID.:55*81*13142
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
9- (CN) Reduzindo a expressão a uma forma mais simples
a2
a b
1 2
1
ab 
a
ab
a2
1
1 2
ab
a
Nível(Básico e intermediário)
1-Se x é um quadrado perfeito, a expressão do quadrado
perfeito imediatamente superior a x é:
a)
x 1
Obtemos:
b) x 2  1
c) x 2  2 x  1
d )x  2
 b2
 b2
 b2
 b2
A) a/b b) b/a c) a.b d) 1 e) -1
x 1
10-(CN) O valor numérico da expressão
120k 4  10k 2  8 ,sendo k pertencente ao conjunto dos
números naturais ,é o quadrado de um número natural para
e) x  x
2
(a2  b2 )3  (a3  b3 )2 e a.b  0 o valor
a b
 é:
numérico de
b a
2-Se
A) 1 B) 2 C) 2/3 D) ½ E)3/2
a  3  3 7 e b  3 7  1 então o valor de
a3  b3  3a2b  3ab2 é igual a:
(A) somente um único valor de k .
(B) somente dois valores de k .
(C) somente valores de k múltiplos de 13.
(D) somente valores de k múltiplos de 18.
(E) nenhum valor de k .
11- (CN) Se a , b ,c e d são números reais não nulos tais que
ad 2  bc 2  0 ,pode-se afirmar que
3- Se
a c ac
 
;b  d  0
b d bd
a b ab
;c  d  0
(B)  
c d cd
a b ab
 
;c  d  0
(C) d c c  d
(A)
a)1 b)2 c) 4 d) 6 e) 8
4-O natural n para o qual
(1012  25)2  (1012  25)2  10n é:
a)10 b) 12 c) 14 d) 25 e) 50
3 2 2  3 2 2
5-A expressão
a) 2 b)
3
c)
4 2
d)
6
e)
é igual a:
2 2
x  104 , y  102 e p  2 o número de zeros que
2p
2p
2p
2p
termina o produto P=(x  y ).( x  y )
6-Se
É:
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
7-Se a,b e c são números reais tais que
a2  b2  c2  28 o
valor mínimo de a.b  a.c  b.c
É:
A) 14 B) 8 C) 0 D) -14 E) -28
8-(CN) Efetuar, dando a resposta em sua expressão mais
simples:
a
a  ba  c 

b
c

b  c b  a  c  a c  b
A) -1 B) 0 C) -1 D) 2 E) 3
c b bc
 
;a  d  0
a d ad
c d cd
 ab  0
(E)  
b a ab
(D)
12-(CN) O resultado mais simples para a expressão
4

48  7
2  4 
48  7
2 é:
(A) 2 3
(B) 4 4 3
(D) 2 7
(E)
13-(CN) Efetuando-se
x
2 y
2x
(D)
y2
(A)
14-(CN)
(C) 4
4 3 7  4 3 7
x
4  4 x  x2 2  x
 2
:
, encontra-se
2  y y  4y  4 2  y
x 2
2
(B)
(C)
y2
y2
2x
(E)
y2
Sabendo-se
que
a
seguinte
identidade
a x  b y a b
  é verdadeira para quaisquer número reais a ,
x.  y
y x
b , x  0 e y  0 , o valor de
13
13
13
13


  
2 4 4 6 6 8
50  52
é igual a :
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25
(A)
16
25
(D)
4
25
12
25
(E)
2
(B)
(C)
25
8
16-(CN)
O quociente da divisão de
a  b  c3  a3  b3  c3 por a  bc2  ca  b  ab é:
(B) 2
(E) 5
(C) 3


(C) 3
5 x2  20
:
19-(CN) Dois inteiros positivos, primos entre si x e y ,
satisfazem a equação y2  6 xy  7x2  0 . Achar a soma x  y .
(A) 6
(B) 8
(C) 4
(D) 10
(E) 13
20-(CN) Simplificando
a4  b4
2ab
 2
2
2
2
2
a  b  2ab a  b  2ab a  b2

para b  a obtém-se :
b
a b
(C)
a b
a
a
a b
(D)
(E)
a b
b
21-(CN) O aluno Mauro, da 8 a série de um certo colégio, para
resolver a equação x4  x2  2x  1 0 , no conjunto dos
números reais, observou-se que x4  x2  2x  1 e que o
(A) 11
(D) 4 yzx3
(E) 4 xyz
(C) 4 zx3
p
m
n


é:
np mp mn
(B) 3
(E) 22
(C) 7
1
2
 é


3
3 2
 2
(B)  a3  b 2 




(C)
2
2 3
 3
 a 2  b3 




3
2 2
 3
(D)  a 2  b3 




3
2 2
 2
(E)  a3  b3 




26-(CN) Se 2  x  3 , então x  2 x  1 x  2 x  1 é igual a
:
(A) 2
(B) x
(C) 2 x  1
(D) 2 x
(E) 3
27-(CN) Sabendo-se que a equação:
x² (x² + 13) – 6x (x² + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como
um produto de binômios do primeiro grau, a soma de duas
das suas raízes reais distintas é igual a:
a) – 3
b) – 2
c) – 1
d) 2
e) 3
(B)
segundo membro da equação é um produto notável. Desse
modo, conclui que 2x  12 é igual a:
(A) 3 (B) 4 (C) 5 D) 6 E) 7
22-(CN) Sejam
é
24-(CN) Se m n  p  6 , mnp  2 e m n  m p  n p  11 ,
2
(A) depende do valor dado x
(B) é maior que 5 , para x maior que 3
(C) é menor que 2 , para x menor que 1
(D) é nulo para x 0
(E) é sempre o mesmo, para x  2

(B) 4 yx3
3 3
 2
(A)  a3  b 2 




5
2x  4 3 x  6 
y 3  z3
1
4- x5  1 x3  1x2  1
5- x  1 x  1x  1x  1x  1x  1
Quantas são verdadeiras ?
(A) 1
(B) 2
(D) 4
(E) 5
x3  y 3  z3 2  x3  y 3  z3 2 ,
4 2 2
2 4


25-(CN) O valor de  a2  a 3 b3    b2  a3 b 3






3- x5  1 x  1x4  x3  x2  x  1

3
(C) 3
equivalente a:
(A) 4 x3
(A) 1
(D) 18


1 5
1 5
x  1 x2 
x  1
2
2


18-(CN) O valor numérico de
2  3 1997  2  3 1997 ,
o valor de 4 x  3 y 2 é :
(A) 1
(B) 2
(D) 4
(E) 5
podemos dizer o valor de
17-(CN) Dadas as afirmativas a seguir:
1- x5  1 x2  1x  1x  1
2- x5  1 x  1 x2 
e y
2
23- (CN) A expressão
(E) 6
(A) 1
(D) 4
2  3 1997  2  3 1997
2
15(CN) Calcule a soma dos cubos das raízes da equação
x2  x  1 0 .
(A) 1
(B) 4
(C) 3
(D) 8
x
28-(CN) No sistema
valores de x e y é :
a soma dos
29-(CN) Se a+b+c = 0, onde a , b e c são números reais
diferentes de zero, qual a opção que é uma identidade?
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obtemos :
30-(CN) A soma dos algarismos na base 10
(10n  3) 2 , onde n é um número inteiro positivo é :
3
6
3
(A) 16 B) 13 C) 13n D) n  3n E) n  2n  1
3
De
31-(CN) Simplificando a expressão
39-(CN) Simplificando
vamos
encontrar:
40- (CN) Sendo x e y números positivos e x maior do que y , que
satisfazem o sistema
32-(CN) Se
, então
é:
vamos ter
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
33- (CN) Sejam r e s as raízes da equação
O valor numérico da expressão
34-(CN) Se
produto xyz é :
É:
e x+y+z=16 ,o
igual a:
41(CN) Depois de transformarmos o sistema abaixo em um do 1o
grau , os valores de módulo diferentes de x e y têm para módulo da
diferença :
42- (CN) Na solução do sistema
(A) 192 B) 48 C) 32 D) 108 E) 96
encontramos, para x e y , valores tais que x y é igual a :
35-(CN)
A)
4 B) 2 (C) 1 D) 5 E) -3
43-(CN)
36-(CN)
37-(CN)
38-(CN) Fatorando e simplificando a expressão
44-(CN) Efetuar e simplificar:
45-(CN) Simplificando-se a fração
Temos:
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46-
Problema 7 (IME 1991) Mostre que o número
Obtém-se:
47-(CN)
é um número racional.
Problema 8
Simplificandose a fração
Problema 9 Dado que
, qual
é o valor de
Problema 10 Se x + y = xy = 3, encontre
x3  y 3 .
Problema 11 (American Mathematical Monthly) Racionalize
Aplicações(Nível Avançado)
Problema 1. A soma de dois números é 4 e seu produto é 1.
Encontre a soma dos cubos desses números.
Problema 2. Seja x um número real tal que
,
Problema 12 Resolva a equação:
Problema 13 A expressão
calcule
Problema 3 Qual a forma mais simplificada da expressão
É igual a :
A) 3367/5050 B)5050/3367 C) 3552/6060 D) 6060/3552
Problema 4 Encontre o quociente da divisão de
por
Problema 14(IME-1980) Mostre que o número
é um quadrado perfeito.
Problema 5 Racionalize a expressão
Problema 15 Se
numérico de
Problema 6 Sejam a e b números reais tais que a .b = 1. Mostre
que o produto
é igual a
Problema 16
calcule o valor
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RELAÇÕES IMPORTANTES
a3  b3  (a  b).(a 2  a.b  b2 )
a3  b3  (a  b).(a2  a.b  b2 )
Outros exemplos:
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
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a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²