Princípio da Casa dos Pombos

Aula 2
Equipe Fermat
13/04/2014
Princípio da Casa dos Pombos
O Princípio da Casa dos Pombos arma que ao distribuírmos n + 1 pombos em n casas, existirá pelo menos
uma casa com 2 ou mais pombos.
Prova: Suponha, por absurdo, que cada casa terá no máximo 1 pombo. Como são n casas, terá no máximo n
pombos distribuídos entre as elas. O que é um absurso, visto que foram distribuídos n + 1 pombos dentre as casas
e n + 1 > n.
Vejam agora algumas consequências desse princípio.
Exemplo 1
Note que:
(i) Em grupo de 3 pessoas, existe pelo menos duas do mesmo sexo.
(ii) Em um grupo de 366 pessoas, existe pelo menos duas que fazem aniversário no mesmo dia.
(iii) Em um grupo de 13 pessoas, existe pelo menos duas do mesmo signo.
Exemplo 2
Uma oresta tem um milhão de pinheiros. Sabe-se que nenhum pinheiro tem mais de 600.000
espinhos. Mostre que pelo menos dois dos pinheiros na oresta têm que ter o mesmo número de espinhos.
Solução:
Temos um milhão de ’pombos’, os pinheiros, e 600.001 casas, que serão numeradas de 0 a 600.000, re-
presentando as possíveis quantidades de espinhos que um pinheiro pode ter. Agora iremos colocar cada pinheiro
na casa que tenha o mesmo número que a sua quantidade de espinhos. Note que cada pinheiro estará em exatamente uma casa. Como existem mais pombos(pinheiros) que casas, então existem pelo menos 2 pombos em uma
mesma casa, logo existem pelo menos dois pinheiros com a mesma quantidade de espinhos.
Problema 3
Dados doze números, mostre que é possível escolher dois deles de modo que sua diferença seja
divisível por 11.
Problema 4
Mostre que, em qualquer grupo de 5 pessoas, duas delas têm o mesmo número de amigos do
grupo.
Problema 5
grupo.
Mostre que, em qualquer grupo de n pessoas, duas delas têm o mesmo número de amigos no
Problema 6
Dados 5 pontos no plano com coordenadas inteiras, prove que pelo menos um dos dez pontos
médios gerados por eles também possui coordenadas inteiras.
Problema 7
Escolhem-se 5 pontos ao acaso sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos
√
dois deste pontos estão em um distância menor que ou igual a 2 2.
Problema 8
Mostre que um triângulo equiilátero não pode ser totalmente coberto por outros dois triângulos
equiláteros menores.
Problema 9
Cinquenta e um pontos são postos no interior de um quadrado de lado 1 metro. Prove que existe
um conjunto de très desses pontos podem ser cobertos por um quadrado de lado 20 centímetros.
Princípio da Casa dos Pombos Generalizado Ao distribuírmos pelo menos nk + 1 pombos em n casas, existirá
pelo menos uma casa com k + 1 ou mais pombos.
Prova: Suponha, por absurdo, que cada casa terá no máximo k pombo. Como são n casas, terá no máximo
nk pombos distribuídos entre as elas. O que é um absurso, visto que foram distribuídos nk + 1 pombos dentre as
casas e nk + 1 > nk.
Exemplo 10
Vinte e cinco engradados de maças foram entregues em uma loja. As maças são de três tipos dife-
rentes, mas todas as maças em cada engradado são do mesmo tipo. Mostre que pelo menos nove dos engradados
contêm o mesmo tipo de maçãs.
Solução:
Estamos colocando 25 pombos(engradados) em 3 casas(tipos de maças). Como 25 = 8.3 + 1, podemos
usar o Princício da Casa dos Pombos Generalizado, logo existe pelo menos 9 pombos em uma das caixas, ou seja,
pelo menos 9 dos engradados contêm o mesmo tipo de maças.
Problema 11
Em um grupo de 29 hobbits existem alguns deles que falam a verdade e os outros que sempre
mentem. Em um certo dia de primavera, todos eles se sentaram ao redor de uma mesa, e cada um deles falou que
seus dois vizinhos eram mentirosos.
a) Prove que pelo menos 10 hobbtis falavam a verdade.
b) É possível que exatamente 10 deles falem a verdade?
Problema 12
Em um conjunto de 7 pessoas, a soma de suas idades é de 332 anos. Prove que podemos escolher
três pessoas tais que a soma de suas idades não seja menor que 142 anos.
Problema 13
Os inteiros de 1 a 200 estão divididos em 50 conjuntos. Mostre que pelo menos um desses 50
conjuntos contém três números distintos que podem ser medidas dos lados de um mesmo triângulo.
Problema 14
Prove que se escolhermos mais do que n números do conjunto 1, 2, ..., 2n, então um deles será
múltiplo de outro. Isso pode ser evitado com n números?