[a,b,c](a,b)(a,c)(b,c) - ORM/SC

TICA
OLIM
PÍA
D
GIONAL DE M
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AT
Á
EM
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XVI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
A
SA
NT
A
CATARINA - U
FS
C
Gabarito 10 3a fase de 2014
Nível 2
1. Sim.
Obs: [a1 , . . . , an ] denotará o mmc dos números a1 , . . . , an e (a1 , . . . , an ) o mdc dos números
a1 , . . . , an .
Lema 1: abc = [a,b,c](a,b)(a,c)(b,c)
para todos a, b, c inteiros positivos.
(a,b,c)
Prova: Seja p primo. Usaremos a notação pk ∥n signicando que pk |n e pk+1 ̸ |n.
Agora, pα1 ∥a, pα2 ∥b e pα3 ∥c ⇒
. Provaremos que
pmin{α1 ,α2 }+min{α1 ,α3 }+min{α2 ,α3 }+max{α1 ,α2 ,α3}−min{α1 ,α2 ,α3} ∥ [a,b,c](a,b)(a,c)(b,c)
(a,b,c)
o expoente de p é α1 + α2 + α3 . Supondo sem perda de generalidade α1 ≤ α2 ≤ α3 , o
expoente do p é α1 + α1 + α2 + α3 − α1 = α1 + α2 + α3 . Logo, pelo teorema fundamental
da aritmética vale a igualdade.
Sejam a1 , a2 , . . . , a2011 os números de Esmeralda. Basta Jade perguntar o mdc(ai , ai+1 )
e o mmc(ai , ai+1 ) ∀ i ∈ 1, 3, 5, . . . , 2007 e perguntar também o mdc(a2009 , a2010 , a2011 ),
mmc(a2009 , a2010 , a2011 ), mdc(a2009 , a2010 ), mdc(a2009 , a2011 ), mdc(a2010 , a2011 ).
Multiplicando os primeiros 2( 2007−1
) = 2006 valores, pelo Lema para c=1, Jade obterá
2
mmc(a1 , a2 )mdc(a1 , a2 )mmc(a3 , a4 )mdc(a3 , a4 ) . . .mmc(a2007 , a2008 )mdc(a2007 , a2008 ) =
= a1 a2 . . . a2008 .
Multiplicando os 4 últimos e dividindo pelo quinto de trás para frente Jade encontra, pelo
lema,
[a2009 ,a2010 ,a2011 ](a2009 ,a2010 )(a2009 ,a2010 )(a2010 ,a2011 )
(a2009 ,a2010 ,a2011 )
= a2009 a2010 a2011 .
Agora basta Jade multiplicar os dois valores encontrados e obterá a1 a2 . . . a2011 , c.q.d..
2. Considere o número da formaABCD. Temos 3 possibilidades:
• A > D ⇒ o número não é abestado.
• A = D ⇒ o número é abestado somente se C > B . Calculando o número de casos temos:
A = D : 9 possibilidades, pois A = D ̸= 0 senão o número teria somente 3 algarismos.
C > B : 45 possibilidades, pois é o resultado do somatório 9 + 8 + 7... + 1, já que B pode
assumir o valor zero.
Totalizando 9 · 45 = 405 números abestados.
• A < D ⇒ o número é abestado, independentemente dos valores B e C. Novamente
calculando o número de casos:
A < D : 36 possibilidades, pois é o somatório de 8 + 7 + 6... + 1 já que A não pode assumir
o valor zero.
B e C : 100 possibilidades, já que B pode assumir 10 valores diferentes, assim como C .
Total: 36 · 100 = 3600 números abestados.
Finalizando, teremos 405 + 3600 = 4005 números abestados de quatro algarismos.
b = α, logo B CD
b = α, pois em um paralelogramo os ângulos opostos são iguais.
3. Seja B AD
b = β . Assim ABD
b = 180o − α − β . Veja que m(arco AB) = 2B DA
b = 2β e
Seja B DA
o
b ⇒ AD = 360 − 2α − 2β .
m(arco AD) = 2ABD
2b
A
B
a
180° – a – b
360° – 2a – 2b
E
2a
b
a
D
F
C
m(arco BAD) − m(arco EF )
⇒ 2α = 360o − 2α − m(arco EF ) ⇒
2
m(arco EF ) = 360o − 4α.
Com isso m(arco EBAF ) = 4α.
b = 2F CE
b ⇒ F OE
b = 2α.
Seja O o circuncentro do △F CE . Sabemos que F OE
b =
Note que B CD
m(arco EBAF )
b = m(arco EBAF ) ⇒ O ∈ T , pois F OE
b é ângulo
= 2α ⇒ F OE
2
2
Como
inscrito.
4. a) Por exemplo, 900 = 22 · 32 · 52 , que tem (2 + 1) · (2 + 1) · (2 + 1) = 27 divisores positivos.
b) Não, não existe. Seja n um número com pelo menos 200 divisores. Se o i-ésimo menor
divisor é d, então o i-ésimo maior divisor é nd . Seja m o centésimo menor divisor. Temos
m ≥ 100 e mn > m, donde n > m2 ≥ 10000. Chegamos perto, mas isso ainda não resolve
o problema. Consideremos o 98o , o 99o e o 100o menores divisores de n, que chamaremos
de k, l, e m. Note que, se m ≥ 105, teremos como antes mn > m, donde n > m2 ≥ 1052 =
11025 > 11000.
Podemos supor então que 98 ≤ k < l < m ≤ 104. Como para quaisquer inteiros positivos
a·b
distintos a, b temos mdc(a,b)≤|b-a|, e mmc(a,b)= mdc(a,b)
, concluímos que n ≥mmc(k,l,m)
k·mmc(l,m)
k·mmc(l,m)
klm
klm
≥ mdc(k,l)·mdc(k,m)
= mdc(l,m)mdc(k,l)mdc(k,m)
≥ (m−l)(l−k)(m−k)
≥
= mmc(k,mmc(l,m)) = mdc(k,mmc(l,m))
98·99·100
.
(m−l)(l−k)(m−k)
Como (m-l)+(l-k) = m-k
n
≥
98·99·100
> 11000.
54
≤
104-98 = 6, temos (m-l)(l-k)
≤ 3·3
= 9 e (m-l)(l-k)(m-k)
≤ 9·6
= 54, donde