campo conceitual da estrutura multiplicativa e os conceitos de

CAMPO CONCEITUAL DA ESTRUTURA MULTIPLICATIVA E OS
CONCEITOS DE MÚLTIPLO E DIVISOR
Monica Bertoni dos Santos
[email protected]
1 APRESENTAÇÃO
O presente texto refere-se ao mini-curso intitulado O Campo Conceitual da
Estrutura Multiplicativa e os Conceitos de Múltiplo e Divisor, enviado ao VIII ENEM
(VIII Encontro Nacional de Educação Matemática) a ser realizado em Recife,
Pernambuco em julho de 20004.
O referido mini-curso foi, inicialmente planejado a partir de outros por nós
ministrados, quando integrantes da equipe do GEEMPA (Grupo de Estudos sobre
Educação, Metodologia de Pesquisa e Ação originalmente, Grupo de Estudos para o
Ensino de Matemática de Porto Alegre)
Dada a relevância do tema para a formação de professores, já o trabalhamos
em cursos, mini-cursos e oficinas com diferentes durações, enfocando diversificados
aspectos da estrutura multiplicativa. Os referidos trabalhos têm sido apresentados em
cursos e seminários de formação continuada de professores de escolas infantis ou de
ensino fundamental, incluindo cursos para alfabetizadores de adultos e em disciplinas de
cursos de formação inicial de professores de Matemática.
Partindo da fundamentação de alguns aspectos da teoria dos Campos
Conceituais inspirados no texto de Gérard Vergnaud e na tese de doutorado de Esther
Pillar Grossi, citados nas referências, no que diz respeito especificamente ao conceito de
múltiplo e divisor, utilizando basicamente o acervo de jogos e atividades do GEEMPA,
acrescidos de nossa vivência como formadora de formadores, adaptamos o referido
mini-curso para 5 horas aula, já que sua primeira edição como mini-curso foi realizada
em 2003 em Porto Alegre- Rio Grande do Sul e tinha 8 horas-aula de duração.
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A teoria dos campos conceituais precisa constantemente ser explorada por
pesquisadores e por professores na qualidade de cientistas e pesquisadores, dada a sua
complexidade e a sua relevância como suporte para as aprendizagens científicas. Trata
da conceitualização do real e presta-se para diferentes áreas do conhecimento tendo sido
elaborada para explicar estruturas matemáticas de base como a aditiva e a
multiplicativa.
Os conceitos de múltiplo e divisor não são puntuais e isolados, fazem parte
de uma complexa estrutura multiplicativa que se constitui, como já mencionamos, num
campo conceitual.
Consideramos o campo conceitual da estrutura multiplicativa, inicialmente,
como um conjunto de situações que exigem variadas multiplicações e divisões.
Trabalhando com jogos que denominamos espaços de problemas e que colocam
conceitos e procedimentos em quadros de representação de diferentes naturezas
(aritmético, algébrico e geométrico),
os números vão sendo construídos como
estruturas singulares de seus divisores e a conceitualização de múltiplos e divisores que
passa pela decomposição em fatores primos ou não primos, culmina nos conceitos de
máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
2 ALGUNS PRESSUPOSTOS TEÓRICOS
A teoria dos campos conceituais, inicialmente, foi elaborada para explicar o
processo de conceitualização das estruturas aditiva e multiplicativa, das relações de
número-espaço e da álgebra. Embora não seja, em si, uma teoria didática, é uma teoria
cognitivista que fornece uma estrutura à aprendizagem a qual permite às crianças, aos
adolescentes e mesmo aos adultos compreenderem, as filiações e rupturas entre
conhecimentos, entendendo por conhecimento tanto as habilidades quanto as
informações expressas. (VERGNAUD, 1991).
Entende-se por campo conceitual, conforme foi definido por Gerard
Vergnaud, “Um espaço de problemas ou de situações-problema cujo tratamento implica
em conceitos e procedimentos
de vários tipos que estão em estreita conexão.”
(VERGNAUD, 1981, apud GROSSI, 1985, p. 13, tradução nossa).
Tendo em vista o ensino e a aprendizagem, considera-se que um conceito
não é apenas uma definição e que somente toma sentido através das situações-problema
que o envolvem, as quais um indivíduo ou um grupo de indivíduos trabalhando juntos
devem resolver.
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Por sua vez, o conceito de situação, em si, no campo conceitual, toma o
sentido de tarefa com procedimentos a serem desenvolvidos. São situações variadas
que dão sustentação à operacionalidade de um conceito que, por sua vez, é entendido
através de uma diversidade de situações práticas e teóricas que envolvem atividades
com materiais concretos, com movimentos corporais, com jogos e atividades coletivas,
com atividades individuais e que comportam variadas e complexas propriedades.
Variam muito, também, os procedimentos que estão intimamente
relacionados aos conceitos e que são desenvolvidos pelos alunos e propostos pelos
professores ou pelos próprios alunos, tanto individualmente, como no curso do
desenvolvimento das atividades propostas, como elementos de um grupo de trabalho
que se propõe a resolver as situações-problema com as quais se defrontam ou são
defrontados.
No processo de conceitualização, a linguagem escrita ou falada, bem como
os simbolismos desempenham um papel definido nas representações mentais para a
construção dos conceitos.
A estrutura multiplicativa é um campo conceitual que já está relativamente
explorado. Constitui-se de situações e procedimentos que implicam em uma ou várias
multiplicações e divisões e em um conjunto de conceitos e teoremas que permitem
analisar essas situações e representá-las.
No presente mini-curso, a partir dos jogos e dos procedimentos propostos,
destacamos ainda a exploração de conceitos como razão escalar direta e inversa,
quociente e produto de dimensões, combinação e aplicação lineares, razão, número
racional e, em especial, fatores, múltiplos e divisores que destacaremos dentre outros
ainda mais complexos de um campo conceitual rico e denso como o que a estrutura
multiplicativa pode oferecer. (VERGNAUD, 1991).
Às relações de múltiplo e divisor estão associadas as propriedades reflexiva,
anti-simétrica e transitiva e outras que as classificam.
Ao exprimirem proposições como: “um número é múltiplo de seus
divisores” os alunos estarão se tornando competentes para expressar e significar
diferentes propriedades e diferentes estruturas que permitirão encontrar as classes de
relações que queremos conceituar.
Exemplificando, dados x, y e z, três números naturais, e que x.y = z,
chegamos aos diferentes divisores de um número. Quando esse número tem somente
dois divisores diferentes, a saber, ele mesmo e a unidade, dizemos que ele é primo. D’aí
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partimos para a decomposição do número em seus fatores, primos ou não, determinando
o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum.
Quando trabalhamos com um campo conceitual, é importante apresentar as
situações problema em diferentes quadros, por exemplo, o aritmético, o algébrico e o
geométrico nos quais os conceitos, os procedimentos e as representações se
concretizam.
É relevante assinalar os ganhos da realização dos trabalhos em pequenos
grupos, o que propicia a promoção da interação social entre os participantes, sem, no
entanto, perder de vista o papel das atividades individuais e de grande grupo na
interação dos sujeitos entre si e com o conhecimento.
Consideramos as situações no seu alcance didático, mas, também, na sua
dimensão afetiva e dramática – jogos que envolvem gestos, movimentos do corpo e o
olhar - que devem ser tão valorizadas quanto a cognitiva.
Por fim, é importante reforçar a função da linguagem escrita e falada nas
representações mentais dando sentido às situações e aos procedimentos nas ações e na
conceitualização.
3 DESCRIÇÃO E COMENTÁRIOS SOBRE OS JOGOS E SOBRE ALGUMAS
ATIVIDADES
No mini-curso, trabalhamos com quatro diferentes materiais que chamamos
genericamente de jogos; O Jogo do Repartir, o Segredo dos Números, as Maquetes dos
Números e o Veritek, além do álbum chamado Dicionário dos Números. Os três
primeiros, acrescidos do jogo da batalha dos divisores de sessenta são, os chamados
espaços de problemas do campo conceitual da multiplicação .
O Jogo do Repartir, aborda a multiplicação a partir da divisão. É constituído
de um dado de seis ou doze faces, dependendo do adiantamento dos alunos, seis ou doze
recipientes (copinhos de cafezinho) para cada participante, um saco de continhas (que
podem ser feijões) e fichas de instruções com as regras do jogo elaboradas a partir do
que se quer explorar e adaptadas à idade dos alunos. Esse jogo pode ser trabalhado
desde a escola infantil, na fase pré-numérica, quando a criança está construindo os
números associados a quantidades.Se os alunos, nessa fase, ainda não dominarem a
leitura, as regras do jogo poderão ser transmitidas oralmente.
Através de uma seqüência de diferentes procedimentos expressos nas regras
do Jogo do Repartir, complementadas ou não por outros jogos como, por exemplo, o
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Veritek,, os alunos poderão trabalhar as representações e a memorização dos conceitos e
dos algoritmos sistematizados. Com o Jogo do Repartir em suas diferentes modalidades
e conseqüentes atividades, os alunos vivenciam ricas e complexas situações para o
estabelecimento das relações que levam aos conceitos de divisão em um determinado
número de partes iguais, de resto e de possíveis restos de uma divisão, o que, por sua
vez, traz a idéia de divisão exata ou não exata.
Outra idéia muito trabalhada no Jogo do Repartir é a divisão e a
multiplicação como operações inversas e o algoritmo da divisão, na medida em que se
encoraja o aluno a achar o dividendo, “punhado inicial de feijões” (o D), a partir do
divisor, o número de copinhos (o A), do cociente, o número de feijões em cada copinho
(o B) e o próprio resto (o C). Partindo-se dos casos em que o resto é zero, em que a
divisão é exata, chega-se à construção dos conceitos de múltiplo e de divisor, à noção de
fatoração e às idéias de números primos e compostos, da prioridade das operações, pois,
nesse jogo, estão envolvidas, além da multiplicação, a adição e a subtração.
O Segredo dos Números é um baralho constituído de 60 cartas com cinco
marcas especiais que identificam os cinco primeiros números primos. O corte na ponta
da carta é uma marca que identifica o fator dois e seus múltiplos, a janela amarela
identifica o fator três e seus múltiplos, a carta vermelha o cinco, o traço sobre o número
o sete e a bolinha laranja o onze. Essas marcas combinadas produzem os números
compostos. Esse baralho também é construído numa versão de cartas grandes para jogos
coletivos.
Na medida em que outras marcas forem sendo criadas para os outros primos,
os infinitos números compostos poderão ser construídos.
No desenvolvimento desse jogo, a idéia de fator fica muito clara, acrescida
de que cada número ou é primo (e a carta tem uma nova marca) ou é composto a partir
da multiplicação de primos (e a carta contém as marcas dos primos que o geraram).
Trabalham-se, então, com os números primos e compostos, com a questão do
1, com a decomposição em fatores primos, com a fatoração completa, os divisores e
múltiplos de um número, números que são seqüências de potências de um número,
divisibilidade e as relações “...é múltiplo de...”, “...é divisível por...”, “...é divisor de...”.
O baralho Segredo dos Números, proporciona o Jogo da Batalha, utilizandose as cartas que são os divisores de 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Nessa
situação didática, a partir da multiplicação e da divisão, trabalham-se as relações “ser
múltiplo de”, “ser divisor de” e “não ser comparável com”, o que definirá o máximo
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divisor comum e o mínimo múltiplo comum para cada par de números e trabalhará a
idéia de que cada número é único quanto aos seus fatores e quanto aos seus divisores.
Nas Maquetes dos Números, tem-se um jogo constituído de bolinhas de
isopor, palitos coloridos e etiquetas adesivas. A partir de convencionar um multiplicador
primo para cada cor de palito, das regras de construção das maquetes e do fato de que
cada número tem sua particular estrutura multiplicativa a partir de determinados
números primos e suas repetições, constroem-se as maquetes dos números. Cada
maquete é uma construção geométrica com diferentes dimensões, na qual ficam
definidos todos os divisores de um número, quais primos foram seus geradores e se
esses primos envolvidos são ou não repetidos. A maquete de um número, através dos
seus elementos (palitos, suas cores e as bolinhas) é a representação espacial do seu
conceito que favorece a compreensão das relações que simbolizam.
O Veritek é um jogo que trabalha a fixação dos conceitos e dos algoritmos
trabalhados pelo grupo. Constitui-se de uma caixa com a base numerada de um a doze
e doze fichas numeradas de um lado e desenhadas com formas geométricas especiais do
outro, de tal maneira que, a partir de uma cartela de perguntas e respostas, os
participantes montam as fichas na base da caixa e, se as questões forem realizadas
corretamente, formar-se-á um desenho previsto na cartela.
Os jogos são acompanhados de fichas de trabalho que explicitam suas regras
e propõem exercícios escritos que os componentes do grupo realizam em conjunto, após
discutirem e chegarem a consensos. Há ainda as fichas individuais de trabalho que
podem ou não serem discutidas com o grupo, dependendo da sua dinâmica de trabalho.
O Dicionário dos Números contém os números de 1 a 60, um em cada
página, sendo que cada número é representado por um dos espaços de problemas
propostos na oficina, estabelecendo um paralelo entre as representações referentes aos
quadros aritmético, geométrico e algébrico. A saber, a representação do jogo do repartir,
o desenho da maquete do número, o desenho da carta com as suas marcas, a
identificação dos seus geradores e todos os seus divisores.
Todo o trabalho realizado a partir dos jogos descritos prevê momentos de
grande grupo quando as descobertas são socializadas e os conceitos são sistematizados.
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4 O DESENVOLVIMENTO DO MINI-CURSO
Duas perguntas desencadeiam o trabalho do mini-curso (previsto para cinco
horas-aula) e são respondidas no seu final, a partir do trabalho realizado: O que é um
campo conceitual? Em que consiste o campo conceitual da multiplicação?
Para responder as perguntas, serão utilizados três jogos que contêm a
estrutura que queremos explorar a saber:o Jogo do Repartir, o baralho Segredo dos
Números que inclui o jogo da batalha dos divisores do número sessenta e as Maquetes
dos Números, e o Veritek, um jogo de fixação, além do Dicionário dos Números. Serão
apresentadas orientações de trabalho (regras e atividades) expressas em fichas,
abordando, em especial, os divisores do número 60.
Os jogos são os espaços de problemas, as regras e as atividades propostas
são os procedimentos do campo conceitual da multiplicação que propiciarão aos
participantes a elaboração de suas representações mentais em diferentes níveis de
complexidade para a construção dos conceitos do referido campo conceitual.
O campo conceitual da multiplicação envolve um conjunto de conceitos que
incluem, entre outros, os de números primos e compostos, divisores e múltiplos, divisor
e múltiplo de, divisível por, fator, fator primo, decomposição em fatores primos,
fatoração completa, operação inversa, algorítmo da divisão, divisão exata, restos
possíveis de uma divisão, potências de um número, máximo divisor comum, números
primos entre si.
O mini-curso inicia com a formação de grupos de quatro a cinco pessoas
procedendo-se uma breve apresentação dos participantes e a apresentação e discussão as
questões desencadeadoras.
A seguir, é apresentado o Jogo do Repartir em suas diferentes modalidades
que o grupo deve jogar trocando idéias e fazendo anotações.
O próximo jogo a ser apresentado é o baralho Segredo dos Números. Inicia
com cartas grandes e dois jogos coletivos: o jogo das cadeiras e o jogo do mágico.
Continua nos pequenos grupos quando cada um ganha o baralho original com duas
fichas de atividades com a finalidade de descobrir as marcas das cartas e como estas
marcas as combinações para formar novas (novos números). Os participantes são
encorajados a descobrir o jogo do mágico e, com isso, desvendar o segredo dos
números, tendo como atividade final a descoberta da carta do número 60 e seus
divisores, isto é, as diferentes cartas que, por suas marcas, estão relacionadas com a
carta do 60.
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Após serem realizadas as atividades do Jogo do Repartir e do baralho
Segredo dos Números e com a finalidade de fixar os conceitos e os algoritmos
trabalhados, representá-los e fixá-los o grupo realiza algumas rodadas com o Veritek
acompanhado de fichas de orientação pertinentes a cada jogo, além de realizar as fichas
individuais de trabalho.
Na seqüência do trabalho, retoma-se o Jogo do Repartir, solicitando que os
grupos realizem a ficha de atividade dos divisores de 60, explicitando-os. Propõem-se,
então, o jogo da batalha com os divisores de 60 e as fichas de trabalho decorrentes dessa
atividade.
Inicia-se, então, o trabalho com as Maquetes dos Números: cada grupo
recebe a maquete do número 60 (um prisma quadrangular reto formado de dois cubos,
portanto com doze vértices, onde estão as bolinhas de isopor), doze pequenos adesivos,
escrito um divisor de 60 em cada um e uma ficha de instruções que contém o desafio de
colocar, organizadamente, cada adesivo colado em uma das bolinhas da maquete. Ao
resolver o desafio, o grupo terá descoberto, mesmo que parcialmente, a regra de
construção das maquetes que será socializada e reconstruída no grande grupo.
A seguir, será solicitado que os grupos construam, a partir das regras
explicitadas, as maquetes de vários números que serão, posteriormente, exploradas e
classificadas por suas propriedades.
Por fim, os participantes completarão algumas páginas do Dicionário dos
Números e,
partir de um trabalho expositivo-dialogado, serão analisadas as
particularidades das maquetes construídas e das classificações feitas. Ao comentar os
diferentes quadros em que as atividades foram propostas: o aritmético (Jogo do
Repartir), o algébrico (Baralho Segredo dos Números) e o geométrico (as Maquetes dos
Números), o que são os espaços de problemas, os procedimentos e os conceitos
envolvidos, respondem-se as perguntas iniciais e explora-se a teoria dos campos
conceituais e, em especial, o campo conceitual da multiplicação, enfocando
particularmente os divisores e os múltiplos de um número.
4 CONCLUSÃO
A elaboração do presente trabalho fundamentou-se em textos de Gérard
Vergnaud sobre a teoria dos campos conceituais e na tese de doutorado de Esther Pillar
Grossi que trata da psicogênese do conceito de múltiplo por ele orientada.
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Concentramos nossas atenções em alguns aspectos da teoria, como a questão
das situações, dos procedimentos e das representações, dedicando especial atenção aos
conceitos da estrutura multiplicativa que contribuem para os de divisores e múltiplos,
suas relações e as estruturas matemáticas por eles geradas.
Enfatizamos especialmente a importância que deve ser dada à linguagem
como via de estruturação das representações mentais, ao uso de materiais variados (na
forma de jogos e atividades) que representam os conceitos em diferentes quadros (o
aritmético, o geométrico, o algébrico), às dimensões afetiva e dramática da
aprendizagem, ao trabalho em grupo pela riqueza das trocas entre iguais que
pressupõem os conhecimentos já construídos de todos e de cada um e o papel do
professor como mediador desse processo que com ele também aprende e,
constantemente reconstrói o seu conhecimento.
Esperamos com realização desse mini-curso poder contribuir para a
formação dos professores que se dedicam à Educação Matemática.
PALAVRAS CHAVES: Campo conceitual, estrutura multiplicativa, múltiplo, divisor.
REFERÊNCIAS
GROSSI, Esther Pillar, Psychogénése et Apprentissage du Concept de Multiple. 1995.
526 f. Tese (Doutorado em Psicologia Cognitiva)- École des Hautes Études en Sciences
Sociales, Paris, 1985.
VERGNAUD, Gerard, A Teoria dos Campos Conceituais. Recherches en Didactiques des
Mathématiques, v.10, n.23, p.133-170, 1991.