3 Sub-an¶eis, ideais e an¶eis quocientes - DM

3
Sub-an¶
eis, ideais e an¶
eis quocientes
3.1
Sub-an¶
eis e ideais
De¯ni»c~
ao 3.1.1 (Sub-anel de um anel) Seja (A; +; ¢) um anel e seja B um subconjunto n~ao vazio de A.
Dizemos que B ¶e um sub-anel de A se
1. B ¶e fechado nas opera»c~
oes + e ¢ de A, ou seja
8a; b 2 B; tem-se a + b 2 B e a ¢ b 2 B
2. A estrutura alg¶ebrica (B; +; ¢), em que + e ¢ s~ao as restri»c~oes das opera»c~oes de
A ao subconjunto B, ¶e um anel.
Proposi»c~
ao 3.1.1 Sejam A um anel e B um subconjunto n~ao vazio de A. Ent~ao B ¶e
sub-anel de A se e somente se
8a; b 2 B; tem-se a ¡ b 2 B e a ¢ b 2 B
Demonstra»c~ao..
(Se) ou (() Suponhamos que 8a; b 2 B; tem-se a ¡ b 2 B e a ¢ b 2 B.
Temos ent~ao que, 8a; b 2 B,
(i) b ¡ b 2 B, logo 0 2 B;
(ii) 0 ¡ b 2 B (pois 0 2 B e b 2 B), logo ¡b 2 B;
(iii) a ¡ (¡b) 2 B (pois a 2 B e ¡b 2 B, logo a + b 2 B.
Assim, B ¶e fechado na opera»c~ao + do anel A, e podemos portanto restringir
tal opera»c~ao ao conjunto B. Como a adi»c~ao de A ¶e associativa e comutativa,
sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades. Pelos propriedades veri¯cadas nos
29
itens (i) e (ii) acima, temos ent~ao que a estrutura alg¶ebrica (B; +) ¶e um grupo
abeliano.
Por hip¶otese, a opera»c~ao multiplica»c~ao de A pode ser restringida ao conjunto B,
e como a multiplica»c~ao de A ¶e associativa e tamb¶em distributiva em rela»c~ao µa
adi»c~ao, sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades.
Assim sendo, temos que a estrutura (B; +; ¢) ¶e um anel, e portanto B ¶e um
sub-anel de A.
(Somente se) ou ()) Sendo B um sub-anel de A, temos que 8a; b 2 B, temos
tamb¶em ¡b 2 B, logo a ¡ b = a + (¡b) 2 B e a ¢ b 2 B.
Exemplo 3.1.1 Consideremos o anel A = M (2; R) das matrizes quadradas 2 £ 2 de
n¶
e seja B o sub-conjunto de A constitu¶³do de todas as matrizes da forma
µumeros reais,
¶
a b
.
¡b a
µ
¶
µ
¶
a b
c d
Sendo X =
eY =
dois elementos de B (a; b; c e d todos
¡b a
¡d c
reais), temos
µ
¶
a¡c
b¡d
X ¡Y =
;
¡(b ¡ d) a ¡ c
µ
¶
ac ¡ bd
ad + bc
X¢Y =
¡(ad + bc) ac ¡ bd
Logo, X ¡ Y e XY tem o formato das matrizes de B. Pela proposi»c~ao 3.1.1, B ¶e um
sub-anel do anel M (2; R).
Exemplo 3.1.2 (A unidade de um sub-anel pode n~
ao ser a do anel) Considere
¶
o anel Z12 e seu subconjunto B = f0; 3; 6; 9g. E f¶acil veri¯car que para cada x 2 B e
cada y 2 B, tem-se x ¡ y 2 B e xy 2 B. Assim, B ¶e um sub-anel de Z12 .
Agora note que 9 ¢ 3 = 3, 9 ¢ 6 = 6 e 9 ¢ 9 = 9. Portanto, denotando 1B = 9, temos
1B ¢ x = x, 8x 2 B. Como ¢ ¶e comutativa, temos que 1B = 9 ¶e elemento unidade da
opera»c~ao multiplica»c~ao em B.
Assim, B ¶e sub-anel (comutativo) com unidade, muito embora seu elemento
unidade n~ao seja a unidade do anel Z12 , que ¶e a classe 1.
De¯ni»c~
ao 3.1.2 (Ideal de um anel) Sejam A um anel e I ½ A um sub-conjunto n~ao
vazio. Dizemos que I ¶e um ideal do anel A se
1. I ¶e um sub-anel de A;
2. Para cada a 2 A, e para cada x 2 I, tem-se a ¢ x 2 I e x ¢ a 2 I.
30
Observa»c~
ao 3.1.1 Sendo A um anel e I um sub-conjunto n~ao vazio de A, combinando
o resultado da proposi»c~ao 3.1.1 e a de¯ni»c~ao de ideal, ¶e f¶acil concluir que:
I ¶e um ideal de A se e somente se
8x; y 2 I; 8a 2 A; tem-se x ¡ y 2 I; xa 2 I e ax 2 I
A prova desta observa»c~ao ¶e deixada como exerc¶³cio para o leitor
Exemplo 3.1.3 (Nem todo sub-anel ¶
e um ideal) Considere o anel (corpo) Q dos
n¶umeros racionais e seu sub-anel Z dos n¶umeros inteiros. Conven»ca-se primeiramente
que Z ¶e sub-anel de Q.
Agora note que 1 2 Z,
1
2
2 Q, mas
1
2
¢1=
1
2
2 Z. Assim, Z n~ao ¶e ideal de Q.
6
Exemplo 3.1.4 Considere o anel Z dos n¶umeros inteiros e seja I o conjunto dos
m¶ultiplos de 5 em Z:
I = f5n j n 2 Zg
Dados x; y 2 I, x = 5r e y = 5s para certos r; s 2 Z. Temos ent~ao x ¡ y =
5r¡5s = 5(r¡s) 2 I. Al¶em disso, se a ¶e um inteiro qualquer, ax = a(5r) = 5(ar) 2 I,
e xa = (5r)a = 5(ra) 2 I.
Logo, pela observa»c~ao 3.1.1, I ¶e um ideal de Z.
3.1.1
Ideais gerados por subconjuntos ¯nitos. Ideais principais
Proposi»c~
ao 3.1.2 Sejam A um anel comutativo e S = fa1 ; : : : ; an g um subconjunto
de A.
O conjunto, denotado por (S) (ou por (a1 ; : : : ; an )), de¯nido por
(S) = fx1 a1 + : : : + xn an j x1 ; : : : ; xn 2 Ag;
¶e um ideal de A.
Demonstra»c~ao.. Seja (S) = fx1 a1 + : : : + xn an j x1 ; : : : ; xn 2 Ag.
Sendo ® = x1 a1 +: : :+xn an e ¯ = y1 a1 +: : :+yn an, com x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn 2
A, temos:
® ¡ ¯ = (x1 ¡ y1 )a1 + : : : + (xn ¡ yn)an 2 (S)
e, para cada r 2 A,
r® = r(x1 a1 + : : : + xn an ) = (rx1 )a1 + : : : + (rxn )an 2 (S);
®r = (x1 a1 + : : : + xn an )r = (x1 a1 )r + : : : + (xn an )r = (rx1 )a1 + : : : + (rxn )an 2 (S)
(combinando as propriedades comutativa e associativa de ¢ de A).
Pela observa»c~ao 3.1.1, (S) ¶e ideal do anel A.
31
De¯ni»c~
ao 3.1.3 Sejam A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal
(S) = fx1 a1 + : : : + xn an j x1 ; : : : ; xn 2 Ag ¶e chamado ideal gerado pelo conjunto S.
Os elementos a1 ; : : : ; an s~ao chamados geradores do ideal (S).
No caso que (S) tem um u¶nico elemento a, o ideal (S) = (a) = fxa j x 2 Ag ¶e
chamado ideal principal gerado por a
De¯ni»c~
ao 3.1.4 Um anel A ¶e chamado um anel principal ou dom¶³nio de ideais
principais se A ¶e um anel de integridade (tamb¶em chamado de dom¶³nio) e se todo
ideal I de A ¶e um ideal principal.
De¯ni»c~
ao 3.1.5 Um anel A ¶e chamado um anel euclidiano ou um dom¶³nio euclidiano se A ¶e um anel de integridade comutativo e se existe uma fun»c~ao ±: A ! N
satisfazendo:
8a; b 2 A; b 6
= 0; existem q; r 2 A satisfazendo a = bq + r e ±(r) < ±(b)
Exemplo 3.1.5 Como exemplos de an¶eis euclidianos temos os seguintes
1. O anel Z dos n¶umeros inteiros, tomando-se ±(x) = jxj, para cada x 2 Z. Pelo
teorema do algoritmo da divis~ao em Z, para cada par de inteiros a e b, com b 6
= 0,
existem inteiros q e r satisfazendo a = bq + r e 0 · r < jbj, logo jrj < jbj, ou
seja, ±(r) < ±(b).
2. O anel K[x] dos polin^omios sobre um corpo K, na indeterminada x. Para cada
p(x) 2 K[x], de¯nimos ±(p(x)) = 2 grau (p(x)) , de¯nindo-se 2¡1 = 0. Dados dois
polin^omios f (x); g(x) 2 K[x], com g(x) 6
= 0, pelo teorema do algoritmo da divis~ao
em K[x], existem polin^omios q(x); r(x) 2 K[x] satisfazendo f (x) = g(x)q(x) +
r(x) e grau (r(x)) < grau(g(x)), logo ±(r(x)) = 2 grau (r(x)) < 2 grau (g(x)) =
±(g(x)).
3. Todo corpo K ¶e um anel euclidiano, de¯nido-se ±(0) = 0 e ±(a) = 1, se a 2 K e
a6
= 0. Dados a; b 2 K, com b 6
= 0, podemos escrever a = b(b¡1 a) + 0. Assim
¡1
a = bq + r, sendo q = b a e r = 0, tendo-se portanto ±(r) = ±(0) = 0 < 1 =
±(b).
Proposi»c~
ao 3.1.3 Todo anel euclidiano ¶e um anel principal, ou seja, se A ¶e um anel
euclidiano ent~ao todo ideal de A ¶e um ideal principal.
Demonstra»c~ao.. Seja A um anel euclidiano e seja ±: A ! N a fun»c~ao que d¶a a propriedade euclidiana a A.
Seja I ½ A um ideal de A. Se I = f0g ent~ao I = (0) e portanto ¶e um ideal
principal.
Se I 6
= f0g, consideremos o conjunto de n¶
umeros naturais
D = f±(x) j x 2 A; x 6
= 0g
32
Pelo princ¶³pio do menor inteiro, D tem um menor n¶
umero natural, e a ele corresponde um elemento c 2 A com a propriedade, ±(c) · ±(x), 8x 2 A; x 6
= 0.
Mostramos que I = (c) = fcx j x 2 Ag, ou seja, que c ¶e o gerador do ideal I.
De fato, para cada elemento a 2 I, se a = 0 ent~ao a = c ¢ 0 2 (c). Se a 6
= 0,
ent~ao existem elementos q e r em A satisfazendo a = cq + r e ±(r) < ±(c).
Como ±(c) · ±(x) para todo x 2 A, x 6
= 0, temos que r = 0 (se r 6
= 0, temos a
seguinte contradi»c~ao: ±(r) < ±(c) e ±(c) · ±(r)).
Logo, a = cq 2 (c).
Portanto I = (c).
Exemplo 3.1.6 (Ideais em Z, ideais num corpo K, ideais em K[x])
Pela proposi»c~ao 3.1.3 e observa»c~ao precedente, o anel Z ¶e um anel principal. Assim todo
ideal I de Z ¶e da forma
I = (m) = fkm j k 2 Zg
para algum inteiro m, e denotamos tamb¶em I = mZ.
Se K ¶e um corpo, o anel de polin^omios K[x] ¶e euclidiano, logo ¶e um anel principal.
Assim, todo ideal de J de K[x] ¶e da forma
J = fp(x)q(x) j q(x) 2 K[x]g
para algum polin^omio p(x) 2 K[x], e denotaremos tamb¶em J = (p(x)) = p(x)K[x].
3.2
O anel quociente de um anel por um ideal
3.2.1
O conjunto quociente de um anel por um ideal
Sejam A um anel e I um ideal de A.
De¯ne-se em A a congru^
encia m¶
odulo I como sendo a rela»c~ao em A dada por
8a; b 2 A; a ´ b (mod I) , a ¡ b 2 I
(\a ´ b (mod I)" l^e-se \a ¶e congruente a b, m¶odulo I")
Proposi»c~
ao 3.2.1 A rela»c~ao de congru^encia m¶odulo I ¶e uma rela»c~ao de equival^encia
em A, ou seja: 8a; b; c 2 A,
1. a ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e re°exiva);
2. se a ´ b (mod I) ent~ao b ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e sim¶etrica);
3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao a ´ c (mod I) (a rela»c~ao ¶e transitiva)
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Demonstra»c~ao.. 8a; b; c 2 A, como I ¶e um sub-anel de A,
1. a ¡ a = 0 2 I, logo a ´ a (mod I).
2. se a ´ b (mod I) ent~ao a ¡ b 2 I. Logo, ¡(a ¡ b) = b ¡ a 2 I, e portanto
b ´ a (mod I).
3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao, a ¡ b 2 I e b ¡ c 2 I. Logo,
(a ¡ b) + (b ¡ c) = a ¡ c 2 I e portanto a ´ c (mod I).
De¯ni»c~
ao 3.2.1 (Classes laterais do ideal I em A) Sejam A um anel e I um ideal
de A. Para cada a 2 A, a classe de equival^encia de A, com respeito µa rela»c~ao de
congru^encia m¶odulo I, ¶e chamada classe lateral de I, determinada por a.
Tal classe de equival^encia ¶e o conjunto
a = fx 2 A j x ´ a (mod I)g
Notemos agora que, 8x 2 A,
x2a ,
,
,
,
x ´ a (mod I)
x¡a 2I
x ¡ a = r para algum r 2 I
x = a + r para algum r 2 I
Portanto, a = fa + r j r 2 Ig. Denotando a + I = fa + r j r 2 Ig, acabamos de ver
que a classe lateral do ideal I, determinada por um elemento a do anel A, ¶e dada por
a = a + I = fa + r j r 2 Ig
De¯ni»c~
ao 3.2.2 (Conjunto quociente do anel A pelo ideal I) Sendo A um
anel e I um ideal de A, o conjunto das classes laterais a + I, com a 2 A, ¶e chamado
conjunto quociente do anel A pelo ideal I, e ¶e denotado por A=I. Simbolicamente
A=I = fa + I j a 2 Ag
3.2.2
Estrutura de anel em A=I, sendo I um ideal do anel A
Sejam A um anel e I um ideal de A. No conjunto quociente A=I, de¯niremos duas
opera»c~oes, tamb¶em denotadas por + e ¢, ambas \induzidas" pelas opera»c~oes de A, as
quais dar~ao uma estrutura de anel a A=I. Antes por¶em estabeleceremos a
Proposi»c~
ao 3.2.2 (Igualdade de classes laterais) Sejam A um anel, I um ideal de
A,e x e y elementos de A. Ent~ao
x+I =y+I ,x¡y 2I
(em particular, x 2 I , x + I = I)
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Demonstra»c~ao..
(Se) Suponhamos x ¡ y 2 I. Ent~ao x ¡ y = r, para algum r 2 I. Mostraremos ent~ao
que x + I ½ y + I e que y + I ½ x + I.
Para cada a 2 A, a 2 x + I, temos a = x + s, para algum s 2 I. Como x ¡ y = r,
temos ent~ao a = (y + r) + s = y + (r + s) 2 y + I, j¶a que r + s 2 I. Portanto
a 2 x + I ) a 2 y + I. Logo, x + I ½ y + I
Analogamente, prova-se que y + I ½ x + I.
(Somente se) Suponhamos que x + I = y + I. Tome um elemento x + r 2 x + I.
Ent~ao x+r 2 y+I. Da¶³, existe s 2 I, tal que x+r = y+s. Logo x¡y = s¡r 2 I.
De¯ni»c~
ao 3.2.3 (Adi»c~
ao e multiplica»c~
ao em A=I) Sejam A um anel,
ideal de A e A=I o conjunto quociente de A por I.
I um
De¯nem-se em A=I as opera»c~oes + e ¢, dadas por: 8x; y 2 A
1. (x + I) + (y + I) = (x + y) + I
2. (x + I) ¢ (y + I) = (xy) + I (tamb¶em denotamos (xy) + I = xy + I)
Teorema 3.2.1 A adi»c~ao e a multiplica»c~ao de duas classes x + I e y + I em A=I, n~ao
depende dos representantes x e y dessas classes, ou seja, se x+I = x0 +I e y+I = y 0 +I
ent~ao (x + y) + I = (x0 + y 0 ) + I e xy + I = x0 y 0 + I. (Este fato ¶e tamb¶em enunciado
dizendo-se que a adi»c~
ao e a multiplica»c~
ao em A=I s~
ao bem-de¯nidas)
Demonstra»c~ao.. A prova deste teorema ¶e essencialmente conseqÄ
u^encia do seguinte
Lema 3.2.1 Sejam A um anel e I um ideal de A. A rela»c~ao de congru^encia m¶odulo I
¶e compat¶³vel com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em A, ou seja,
8x; x0 ; y; y 0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y 0 (mod I), ent~ao x + y ´ x0 + y 0 (mod I)
e xy ´ x0 y 0 (mod I).
Demonstra»c~ao.. Sendo x; y; x0 ; y 0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y 0 (mod I), ent~ao
x ¡ x0 2 I e y ¡ y 0 2 I.
Da¶³, como I ¶e ideal de A, temos:
1. (x ¡ x0 ) + (y ¡ y 0 ) 2 I ) (x + y) ¡ (x0 + y 0 ) 2 I ) (x + y) + I = (x0 + y 0 ) + I )
x + y ´ x0 + y 0 (mod I)
2. (x ¡ x0 )y 2 I e x0 (y ¡ y 0 ) 2 I ) xy ¡ x0 y 2 I e x0 y ¡ x0 y 0 2 I ) (xy ¡ x0 y) +
(x0 y ¡ x0 y 0 ) 2 I ) xy ¡ x0 y 0 2 I, logo xy ´ x0 y 0 (mod I)
35
Demonstra»c~ao. do teorema 3.2.1. Se x + I = x0 + I e y + I = y 0 + I, ent~ao x ¡ x0 2 I
e y ¡ y 0 2 I. Pelo lema 3.2.1, x + y ´ x0 + y 0 (mod I) e xy ´ x0 y 0 (mod I), logo
(x + y) + I = (x0 + y 0 ) + I e xy + I = x0 y 0 + I.
Teorema 3.2.2 Sejam A um anel comutativo e I um ideal de A. O conjunto A=I,
juntamente com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao dadas por
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I e (x + I)(y + I) = xy + I; 8x; y 2 A;
¶e um anel, em que
1. 0 + I = I ¶e o elemento neutro da adi»c~ao;
2. (¡x) + I ¶e o elemento oposto (inverso aditivo) de x + I, 8x 2 A.
Al¶em disso,
3. Se A ¶e anel com unidade 1, ent~ao A=I ¶e anel com unidade 1 + I;
4. Se, alem disso, x ¶e um elemento invert¶³vel do anel A, ent~ao a classe lateral x + I
¶e elemento invert¶³vel do anel A=I, sendo (x + I)¡1 = x¡1 + I;
5. Se A ¶e anel comutativo, ent~ao A=I ¶e tamb¶em comutativo;
Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema ¶e f¶acil, por¶em com muitas linhas, e ser¶a
deixada para o leitor.
Para provar por exemplo, que a multiplica»c~ao em A=I ¶e associativa, usamos o fato
de que a multiplica»c~ao em A ¶e associativa:
8x; y; z 2 A,
(x + I) ¢ [(y + I) ¢ (z + I)] =
=
=
=
=
(x + I)(yz + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)
x(yz) + I (idem)
(xy)z + I (pela associatividade de ¢ em A
(xy + I)(z + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)
[(x + I) ¢ (y + I)] ¢ (z + I) (idem)
Para provar o item 4, suponhamos que x 2 A ¶e um elemento invert¶³vel. Ent~ao
(x + I)(x¡1 + I) = (xx¡1 ) + I = 1 + I
e tamb¶em
(x¡1 + I)(x + I) = (x¡1 x) + I = 1 + I
o que prova que (x + I)¡1 = x¡1 + I, uma vez que 1 + I ¶e a unidade do anel A=I.
Os demais detalhes ser~ao deixados para o leitor.
36
3.3
Homomor¯smos de an¶
eis. O teorema fundamental do isomor¯smo
Muitas vezes dois an¶eis aparentemente diferentes, comportam-se como se fossem um
mesmo anel. Considere por exemplo, os an¶eis A = Z3 = f[0]; [1]; [2]g e o sub-anel A0
de Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g, dado por A0 = f0; 2; 4g. Neste exemplo, temos que denotar
as classes de congru^encia m¶odulo 6 diferentemente das classes m¶odulo 3, para evitar
confus~ao.
Estabelecendo-se a correspond^encia biun¶³voca entre Z3 e A0 ,
[0] $ 0
[1] $ 4
[2] $ 2
notamos que [1] + [1] = [2] corresponde a 4 + 4 = 2, [1] + [2] = [0] corresponde a
4 + 2 = 0, [1] ¢ [1] = [1] corresponde a 4 ¢ 4 = 4, etc., ou seja, a soma ou produto
de elementos de A corresponde µa soma ou produto dos elementos correspondentes µas
parcelas (no caso da soma) ou dos fatores (no caso do produto).
Neste caso, dizemos que A e A0 s~ao an¶eis isomorfos, pois tratam-se de um mesmo
anel, embora com \roupagens" diferentes.
De¯ni»c~
ao 3.3.1 Sejam (A; +; ¢) e (A0 ; +; ¢) dois an¶eis (cujas opera»co~es + e ¢ tem a
mesma nota»c~ao por simplicidade). Uma aplica»c~ao (ou fun»c~ao) f : A ! A0 ¶e chamada
um homomor¯smo de an¶
eis, se:
1. f(x + y) = f (x) + f (y); 8x; y 2 A; e
2. f(x ¢ y) = f (x) ¢ f (y); 8x; y 2 A.
De¯ni»c~
ao 3.3.2 Sendo f : A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis, dizemos que
1. f ¶e um endomor¯smo se A = A0 ;
2. f ¶e um monomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e injetora;
3. f ¶e um epimor¯smo se a fun»c~ao f ¶e sobrejetora;
4. f ¶e um isomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e bijetora (correspond^encia biun¶³voca);
5. f ¶e um automor¯smo se A = A0 e f ¶e um isomor¯smo.
Proposi»c~
ao 3.3.1 Seja f: A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis.
1. f(0A ) = 0A0 ;
2. f(¡x) = ¡f(x), 8x 2 A;
37
3. O conjunto Im(f) = f (A) = ff (x) j x 2 Ag ¶e sub-anel de A0 ;
4. Se B ¶e sub-anel de A ent~ao f (B) = ff(x) j x 2 Bg ¶e sub-anel de A0 ;
5. Se A tem elemento unidade 1A ent~ao f (1A ) ¶e elemento unidade do anel Im(f )
(sub-anel de A0 );
6. Se A tem elemento unidade 1A e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f (1A ) ¶e elemento
unidade de A0 ;
7. Se A tem elemento unidade e
(a) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel ent~ao f (x) ¶e elemento invert¶³vel do anel Im(f );
(b) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f(x) ¶e elemento
invert¶³vel do anel A0
Proposi»c~
ao 3.3.2 Seja f : A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis, e considere o n¶
ucleo
ou kernel de f , de¯nido como sendo o conjunto
ker(f ) = f ¡1 (0) = fx 2 A j f (x) = 0g
Ent~ao
1. ker(f ) ¶e um ideal de A;
2. Se I 0 ½ A0 ¶e um ideal de A0 ent~ao I = f ¡1 (I 0 ) = fx 2 A j f (x) 2 I 0 g ¶e um ideal
de A (com ker(f) ½ I)
Proposi»c~
ao 3.3.3 Seja f: A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis. Ent~ao f ¶e um monomor¯smo se e somente se ker(f) = f0g.
O teorema que segue ¶e tamb¶em chamado Teorema fundamental do homomor¯smo de an¶
eis. Ele estabelece uma ferramenta que nos permite identi¯car, em
termos de isomor¯smo, um anel quociente com um anel \previamente conhecido."
Teorema 3.3.1 (Teorema fundamental do isomor¯smo de an¶
eis)
0
0
Sejam (A; +; ¢) e (A ; +; ¢) dois an¶eis e seja f : A ! A um homomor¯smo de an¶eis.
Seja K = ker(f ). Ent~ao a aplica»c~ao
f : A=K ! Im(f )
de¯nida por
8 a + K 2 A=K; f(a + K) = f (a)
¶e bem-de¯nida e ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
Simpli¯cando,
A=ker(f ) »
= Im(f)
atrav¶es do isomor¯smo f .
38
Demonstra»c~ao.. Provemos primeiramente que f ¶e bem-de¯nida, ou seja, f (a + K) n~ao
depende do representante a da classe lateral a + K.
Se a+K = b+K ent~ao, a¡b 2 K = ker(f ). Logo, f (a¡b) = 0 ) f (a)¡f (b) =
0 ) f (a) = f (b), logo f (a + K) = f (b + K).
Provemos agora que f ¶e um monomor¯smo de an¶eis.
f ¶
e injetora:
8a; b 2 A, f (a + K) = f (b + K) ) f(a) = f(b) ) f(a ¡ b) = f (a) ¡ f (b) = 0
) a ¡ b 2 K = ker(f ) ) a + K = b + K.
f ¶
e sobrejetora:
Para cada y 2 im(f ), y = f(x) para algum x 2 A, logo y = f(x + K).
f ¶
e um homomor¯smo de an¶
eis:
8a; b 2 A,
f ((a+K)+(b+K)) = f ((a+b)+K) = f (a+b) = f (a)+f (b) = f (a+K)+f (b+K);
f ((a + K) ¢ (b + K)) = f ((ab) + K) = f (ab) = f (a)f (b) = f (a + K) ¢ f (b + K)
Portanto, f ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
39
3.4
Problemas do Cap¶³tulo 3
1. D^e exemplo de um anel A contendo um sub-anel B, em cada um dos casos:
(a) A tem unidade 1A , B tem unidade 1B , e 1A 6
= 1B ;
(b) A tem unidade 1A e B n~ao tem unidade;
(c) B tem unidade 1B e A n~ao tem unidade.
2. Sejam A um anel e sejam I e J ideais de A. Prove que
(a) I \ J ¶e um ideal de A
(b) De¯nindo-se I + J = fx + y j x 2 I; y 2 Jg e
I ¢ J = fx1 y1 + : : : + xn yn j n ¸ 1; x1 ; : : : ; xn 2 I e y1 ; : : : ; yn 2 Jg
mostre que I + J e I ¢ J s~ao ideais de A
3. Sejam a e b inteiros e seja I = (a) + (b) = fma + nb j m; n 2 Zg. Mostre que
I = (d) = dZ, sendo d = mdc(a; b).
Mostre ainda que:
(a) (a) ½ (b) , b j a.
(b) (a) ¢ (b) = (ab).
(c) (a) \ (b) = (m), sendo m = mmc (a; b) [Sugest~ao: Use a caracteriza»c~ao
natural de m¶³nimo m¶
ultiplo comum de dois inteiros: se a 6
= 0 ou b 6
= 0,
mmc (a; b) ¶e o menor inteiro positivo que ¶e m¶ultiplo de ambos a e b.]
4. Mostre, com um contra-exemplo que, se I e J s~ao ideais de um anel A, o conjunto
P = fxy j x 2 I e y 2 Jg n~ao ¶e necessariamente um ideal de A.
5. Seja A um anel
T e seja C = fI® j ® 2 ¤g um conjunto (cole»c~ao) de ideais de A.
Mostre que
I® ¶e um ideal de A.
®2¤
[Lembre-se de que, por de¯ni»c~ao, \®2¤ I® = fa 2 A j a 2 I® ; 8® 2 ¤g.]
6. (Ideal gerado por um subconjunto) Sejam A um anel e S um subconjunto de A. Seja C o conjunto dos ideais de A que cont¶em S, ou seja, C =
fJ j J ¶e um ideal de A e S ½ Jg.
T
De¯ne-se L =
J como sendo a interse»c~ao dos elementos da cole»c~ao C. Ou
J2C
seja, L = fa 2 A j a 2 J; 8J 2 Cg.
Mostre que
(a) L ¶e um ideal de A contendo o conjunto S.
(b) L ¶e o menor ideal de A que cont¶em o conjunto S, ou seja, se I ¶e um ideal
de A que tamb¶em cont¶em S ent~ao S ½ J ½ I.
Nota: Tal ideal L, ¶e denotado por L = (S), ¶e chamado ideal gerado por S.
40
7. Mostre que, se A ¶e um anel comutativo e S = fa1 ; : : : ; an g ¶e um subconjunto de
A ent~ao o ideal gerado por S, L = (S), segundo a de¯ni»c~ao dada no exerc¶³cio
anterior, ¶e o conjunto
J = fx1 a1 + : : : + xn an j x1 ; : : : ; xn 2 Ag
ou seja, coincide com o ideal gerado por S segundo a de¯ni»c~ao dada na proposi»c~ao
3.1.2.
8. Mostre que os u¶nicos ideais de um corpo K s~ao I = f0g e J = K.
9. Se A ¶e um anel, n~ao necessariamente comutativo, sendo a um elemento de A,
de¯ne-se
(a) = fx1 ay1 + : : : + xs ays j s ¸ 1; e x; y 2 Ag
Mostre que (a) ¶e ideal de A (chamado ideal gerado por a). Mostre que, no
caso de A ser comutativo, (a) = fxa j x 2 Ag, ou seja (a) coincide com o ideal
principal gerado por a.
10. (Z ¶e um anel principal, mas Z[x] n~ao o ¶e) Em Z[x], considere o ideal J = (2; x), ou
seja, o ideal gerado pelos elementos 2 e x. Mostre que J n~ao ¶e um ideal principal,
isto ¶e, que n~ao existe p(x) 2 Z[x] tal que J = (p(x)). [Sugest~ao: Supondo que
J = (p(x)), como 2 2 J e x 2 J, temos que 2 = p(x)f (x) e x = p(x)g(x)
para certos polin^omios f (x) e g(x) em Z[x]. Mostre que isto implica p(x) = §1.
Mostre que n~ao existem polin^omios a(x) e b(x) em Z[x] tal que 2a(x)+xb(x) = 1.]
11. Mostre que um homomor¯smo de an¶eis de um corpo K num anel A 6
= f0g ¶e um
monomor¯smo.
12. Considere o anel Zm dos inteiros m¶odulo m, m ¸ 0, e a aplica»c~ao f: Z ! Zm ,
de¯nida por f (a) = a, 8a 2 Z.
(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis.
(b) Mostre que K = ker(f ) = mZ = fkm j k 2 Zg.
(c) Aplicando o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, mostre que o anel
quociente Z=mZ ¶e isomorfo ao anel Zm , sendo tal isomor¯smo dado pela
aplica»c~ao
f : Z=mZ ! Zm
a + mZ 7
! a
13. Seja A um anel com unidade 1A e seja f : Z ! A a aplica»c~ao de¯nida por f(n) =
n ¢ 1A .
(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis. Voc^e ter¶a que mostrar primeiramente que 8m; n 2 Z, (mn)1A = (m1A )(n1A ). [Sugest~ao: Para um inteiro
gen¶erico m, prove primeiramente que o resultado ¶e v¶alido para n 2 N, por indu»c~ao sobre n. Depois prove o resultado para n inteiro negativo, escrevendo
n = ¡ jnj e usando a validade do resultado para jnj.]
(b) A imagem do homomor¯smo f, im(f ) = f (Z) = fn1A j n 2 Zg ¶e um subanel de A. Mostre que f (Z) ¶e o menor sub-anel de A que cont¶em a unidade
1A .
41
(c) Mostre que f (Z) ¶e isomorfo ao anel Z dos n¶umeros inteiros ou ao anel Zm
para algum inteiro positivo m.
(d) De¯nimos a caracter¶³stica do anel A como sendo o n¶
umero natural carac
(A), dado por
½
0; se ker(f) = f0g,
carac (A) =
m; se ker(f) = mZ
Note que, alternativamente,
½
carac (A) =
0; se f (Z) »
= Z,
m; se f (Z) »
= Zm
Mostre que se carac (A) = m ent~ao ma = 0, 8a 2 A.
14. Mostre que se A ¶e um anel de integridade, ent~ao a caracter¶³stica de A ¶e 0 ou um
n¶umero primo.
15. Mostre que, se A ¶e um anel de integridade, os u¶nicos homomor¯smos f : A ! A
s~ao a aplica»c~ao identidade idA e o homomor¯smo nulo. [O homomor¯smo nulo
f: A ! A ¶e a aplica»c~ao de¯nida por f (a) = 0; 8a 2 A.]
16. Seja m inteiro positivo.
(a) Mostre que se f : Z ! Zm ¶e um homomor¯smo de an¶eis e f(1) = a, ent~ao
a2 = a.
(b) Mostre que se a 2 Zm , com a 2 Z, e a2 = a, ent~ao a aplica»c~ao f : Z ! Zm ,
dada por f(n) = na ¶e bem-de¯nida e ¶e um homomor¯smo de an¶eis.
(c) Considere a aplica»c~ao f : Z ! Z6 , dada por f(n) = 4n. Mostre que f ¶e
um homomor¯smo de an¶eis. Mostre que ker(f ) = 3Z e que, aplicando
o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, obtemos um isomor¯smo
entre Z3 = f[1]; [2]; [3]g e o sub-anel de Z6 , A0 = f0; 2; 4g, dado ao in¶³cio
da se»c~ao 3.3.
17. Determine todos os homomor¯smos f do anel Z no anel Z12 . Em cada caso,
determine o sub-anel A de Z12 que ¶e imagem do homomor¯smo f , e determine,
via teorema fundamental do isomor¯smo, um inteiro k tal que A »
= Zk .
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