Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das

Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das
Geometrias Não Euclidianas
From the myth of Euclidean Geometry to the teaching of Non-Euclidean
Geometry
Mylane dos Santos Barreto*
Salvador Tavares**
Das tentativas frustradas de provar que o
quinto postulado de Euclides era um teorema,
surgiram as Geometrias Não Euclidianas. Com
os quatro primeiros postulados de Euclides
e a negação do quinto, surgiram outras
Geometrias cujos postulados são possíveis
em modelos planos que são tão consistentes
quanto o da Geometria Euclidiana. Neste
artigo são apresentados os modelos, postulados
e conceitos da Geometria Elíptica e Geometria
Hiperbólica. Além disso, é discutido o ensino
dessas Geometrias.
Non-Euclidean Geometry originated from
unsuccessful attempts to prove that Euclid’s fifth
postulate was a theorem. From the first four
Euclidean postulates and the negation of the
fifth derived other geometries whose postulates
are possible in planes models, and as consistent as
that in Euclidean Geometry. This article presents
the Elliptical and Hyperbolic Geometry models
with their postulates and concepts. A discussion
of the teaching and learning of these geometries
is also presented.
Palavras-chave: Geometria Euclidiana. Quinto
postulado de Euclides. Ensino e aprendizagem
de Geometrias Não Euclidianas.
Key words: Euclidean Geometry. Euclid’s
fifth postulate. Teaching and Learning. NonEuclidean Geometry.
Ensino de Geometrias
Um dos tópicos de discussão da atualidade é a reformulação do ensino no Brasil.
As Geometrias Não Euclidianas formam um ramo da matemática importante do ponto
de vista histórico e educacional. Se os menos otimistas acreditam que não é possível a
inclusão do ensino das Geometrias Não Euclidianas na Educação Básica pelo menos ela
deveria ser apresentada a todos os professores em formação. Porém isso não ocorre na
realidade.
Usiskin (1994, p. 25) já alertava que “[...] muitos professores novos nunca
estudaram Geometria tridimensional, talvez nunca tenham tomado conhecimento de
uma Geometria Não Euclidiana nem lidado com transformações ou vetores”.
Uma pesquisa foi elaborada no ano de 2005 como parte integrante da monografia
de conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática do CEFET Campos escrita* e
orientada** pelos autores desse artigo.
*
Professora (CEFET Campos, UNED Guarus). Mestranda em Engenharia de Produção (UENF). Pós-graduanda em Educação
Matemática (UNIFLU/FAFIC). Licenciada em Matemática (CEFET Campos).
Professor (CEFET Campos, UCAM Campos, UNIFLU/FAFIC, LICEU de Humanidades de Campos). Mestre em Educação
Matemática (USU/RJ).
**
CEFET. Campos dos Goytacazes - RJ
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A pesquisa foi realizada em sites de diversas Instituições de Ensino Superior
brasileiras, a fim de verificar o estado da arte do ensino das Geometrias Não Euclidianas
nos Cursos de Licenciatura em Matemática. De 43 Instituições pesquisadas, somente
5 abordavam conceitos de Geometrias Não Euclidianas nas suas matrizes curriculares,
aproximadamente 12% (Figura 1).
Figura 1: Gráfico
Os dados sugerem a omissão de disciplinas que abordem tópicos de Geometrias
Não Euclidianas em cursos de Licenciatura em Matemática.
Como surgiram as Geometrias Não Euclidianas
As Geometrias Não Euclidianas surgiram das tentativas frustradas de provar
que o quinto postulado de Euclides era um teorema demonstrado a partir dos quatro
postulados anteriores, e não um postulado.
Euclides viveu provavelmente de 330260 a.C., nasceu na Síria, estudou na escola
platônica de Atenas e ensinou matemática no
Museu de Alexandria. Foi um dos primeiros
geômetras e é reconhecido como um dos
matemáticos mais importantes de todos os
tempos.
Figura 2: Euclides
Fonte: http://mathworld.wofram.com.
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A obra de Euclides, denominada Elementos, é um conjunto de 13 livros escritos
entre os anos de 330 e 320 a.C. sendo considerada padrão para a matemática durante
mais de 2000 anos e só superada em número de publicações pela Bíblia. Poucos dos
teoremas demonstrados lá são obra sua, se é que existe algum. O verdadeiro mérito de
Euclides está na proposta de ordenação da Geometria de seu tempo em um sistema
dedutivo.
Para estabelecer uma afirmação num sistema dedutivo deve-se mostrar que essa
afirmação é uma conseqüência lógica necessária de algumas afirmações previamente
estabelecidas. Assim as primeiras afirmações são aceitas sem demonstração e chamadas,
nos dias atuais, de postulados ou axiomas. Desses axiomas decorrem as demais
afirmações. Euclides chamou de axiomas as afirmações aceitas em todas as ciências e
postulados as afirmações de natureza geométrica.
As dez afirmações classificadas como postulados e axiomas são os pilares para
a obra de Euclides, pois as 465 proposições apresentadas nos Elementos são baseadas
nestas afirmações.
AXIOMAS
A1 - Coisas que são iguais à mesma
coisa também são iguais entre si.
A2 - Se iguais são somados a iguais,
então os todos são iguais.
A3 - Se iguais são subtraídos a iguais,
então os restos são iguais.
A4 - Coisas que coincidem entre si são
iguais entre si.
A5 - O todo é maior do que a parte.
CEFET. Campos dos Goytacazes - RJ
POSTULADOS
P1 - Se pode traçar uma linha reta de
um ponto a outro ponto qualquer.
P2 - Se pode prolongar uma linha reta
indefinidamente a partir de uma reta
finita.
P3 - Se pode traçar um círculo com
centro e raio dados.
P4 - Todos os ângulos retos são iguais.
P5 - Se uma linha reta encontra duas
outras retas e com elas formam de um
mesmo lado ângulos internos em que
a soma é menor do que dois ângulos
retos, então essas duas retas encontrarse-ão no lado que formam ângulos cuja
soma é menor que dois ângulos retos.
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O quinto postulado, chamado de postulado das paralelas, foi o ponto culminante
do surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Por esse postulado não ser tão evidente
como os quatro anteriores e por se referir a um ponto de intersecção que pode estar a
quilômetros de distância (Figura 3), alguns afirmavam que ele podia ser demonstrado,
portanto não seria um postulado e sim um teorema.
Figura 3: Quinto postulado de Euclides
Em 1829, numa espécie de jornal chamado Mensageiro de Kazan, Nicolai Ivanovich
Lobatschewsky publicou um artigo chamado Sobre os Princípios de Geometria. Esse ano
ficou marcado como o surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Aproximadamente
em 1829, Janos Bolyai chegou a mesma conclusão que Lobatschewsky chegara. Em
1851 na sua aula inaugural para admissão como professor-adjunto na Universidade de
Göttingen, Georg Riemann apontou possibilidades para outras Geometrias.
O matemático alemão Félix Klein chamou a Geometria de Lobatschewsky de
Geometria Hiperbólica e a Geometria de Riemann de Geometria Elíptica. Essas são as
duas principais Geometrias Não Euclidianas.
Daí Lobatschewsky, Bolyai e Riemann demonstraram que o quinto postulado
de Euclides se trata de um axioma independente dos outros quatro, supuseram que
o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas.
Foi demonstrado que se alguma das Geometrias Não Euclidianas apresentar uma
contradição, a própria Geometria Euclidiana seria contraditória.
Essas novas Geometrias permitiram às ciências uma série de avanços, entre os
quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein, provando que ao contrário do
que muitos afirmavam essas teorias tinham aplicações teóricas.
Planos e retas das Geometrias Não Euclidianas
Na Geometria Elíptica o modelo plano é uma superfície esférica e as retas são
geodésicas dessa superfície (Figura 4).
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As geodésicas da superfície esférica são circunferências cujo centro coincide com
o centro da superfície.
Figura 4: Plano e retas elípticos
Na Geometria Hiperbólica o modelo plano é uma superfície chamada de pseudoesfera (Figura 5). Essa superfície é gerada através da revolução de uma curva chamada
tratriz (Figura 6) em torno do seu eixo horizontal. As retas da Geometria Hiperbólica
são geodésicas da pseudo-esfera.
Figura 5: Pseudo-esfera
Figura 6: Tratriz
Quinto postulado das Geometrias Não Euclidianas
As Geometrias Elíptica e Hiperbólica admitem os quatro primeiros postulados
de Euclides e substituem o quinto postulado por outras afirmações que são válidas nos
seus modelos planos.
Quinto postulado da Geometria Elíptica: Por
um ponto exterior a uma reta não podemos traçar
nenhuma paralela a essa reta (Figura 7).
Todas as retas traçadas irão intersectar-se em
dois pontos distintos, logo não existem retas paralelas.
Comparando a superfície esférica com a
superfície terrestre, as retas seriam os meridianos que
intersectam-se nos pólos.
CEFET. Campos dos Goytacazes - RJ
Figura 7: Retas não paralelas
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Quinto postulado da Geometria Hiperbólica: Por um ponto exterior a uma reta
podemos traçar uma infinidade de paralelas a essa reta (Figura 8).
Sobre a reta r traçamos um segmento MP e
FT perpendicular a r, sendo M e F pontos da reta
r. Com a distância MF e centro em P traçamos um
arco que intersectará o segmento FT
. nos pontos S1
e S2. Daí os pontos P e S1 determinam a reta a e os
pontos P e S2 determinam a reta b.
Figura 8: Retas Paralelas
Conclusão
É indiscutível a necessidade de se ensinar Geometrias Não Euclidianas,
principalmente nos cursos de Licenciatura em Matemática. Seria possível um professor
de Matemática não saber que existem outras Geometrias além da elaborada por
Euclides?
Uma sugestão de atividade que pode ser desenvolvida na 7ª. série do Ensino
Fundamental é relatada a seguir.
Considerando que a noção de plano da Geometria Euclidiana é construída sobre
a superfície da Terra, que tem a forma de uma esfera achatada nos pólos, ao construirmos
duas retas paralelas sobre a superfície de uma laranja, que tem a forma idêntica à da
Terra, teremos a seguinte situação:
Figura 9: Retas Euclidianas paralelas na superfície da Terra
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Como mostra a seqüência de figuras, as retas que são consideradas paralelas na
Geometria Euclidiana quando construídas numa superfície esférica se encontram em
dois pontos distintos e a distância entre elas não é constante em qualquer ponto.
Daí a Geometria Euclidiana ser inconsistente para esse modelo de superfície.
Não podemos considerar uma Geometria, todas são consistentes e válidas nos seus
modelos planos. Devemos conhecê-las para poder utilizar no momento adequado.
Referências
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Sociedade Brasileira de Matemática, 2002.
BARRETO, Mylane dos Santos. Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das
Geometrias Não Euclidianas. Campos dos Goytacazes – RJ, 2005. Trabalho de Conclusão
do Curso de Licenciatura em Matemática do CEFET Campos.
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