Aulas 11 Potenciais Unidimensionais

Islands of Memory – Vladimir Kush
FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
POTENCIAIS
UNIDIMENSIONAIS
Você deve estar espantado simplesmente porque o elétron é uma partícula
material. Com a luz, isso parece normal: estamos acostumados a vê-la atravessar
paredes de vidro e até de material opaco, desde que sejam bem finas. Isso
acontece porque a luz é uma onda eletromagnética. Aí está a chave do segredo: o
elétron pode atravessar um material opaco porque, em determinadas
circunstâncias, deixa de ser uma partícula para se tornar uma onda. – Prof. Carlos
Alberto dos Santos (UFRGS)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. INTRODUÇÃO
A Equação de Schroedinger em uma dimensão
Vamos agora resolver alguns problemas
envolvendo a Equação de Schroedinger.
simples
As situações mais simples envolvem problemas em uma
dimensão em casos estacionários (independentes do tempo).
Neste caso, a Equação de Schroedinger é escrita na
forma
2
2
h d
−
Ψ (x ) + U (x ) ⋅ Ψ (x ) = E ⋅ Ψ (x )
2
2 ⋅ m dx
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. INTRODUÇÃO
A Equação de Schroedinger em uma dimensão
Lembremos que resolver a Equação de Schrödinger
significa, dado uma energia potencial U(x), encontrar a
função de onda Ψ(x) que satisfaz a equação diferencial e que
descrevem a dinâmica da partícula.
Eventualmente, as energias destas partículas também
são encontradas quando da solução desta equação
diferencial.
Com as funções de onda (auto-funções) e com as
energias (auto-valores) teremos determinado todas as
propriedades da partícula (auto-estados).
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. INTRODUÇÃO
Problemas a serem abordados
1) Potencial degrau:
- uma partícula quântica sob a ação de um potencial
constante a partir de uma dada posição.
- objetivo: comparação com a situação clássica.
2) Barreira de potencial: uma partícula quântica sob a
ação de uma potencial constante que atua numa região finita
do espaço.
- objetivo: discussão do efeito de tunelamento.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. INTRODUÇÃO
Problemas a serem abordados
3) Poço de potencial: uma partícula quântica ligada a um
“poço” de energia potencial.
- objetivo: determinar os níveis de energia discretos que
a partícula pode admitir.
4) Oscilador harmônico: uma partícula quântica sob a
ação de um potencial do tipo “sistema massa-mola”.
- objetivo: aplicar a solução para compreender como um
elétron está ligado a uma molécula (ligação química – modos
vibracionais).
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
O potencial degrau
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um
potencial definido como mostra a Figura 1.
Seja também a situação em que U0 > 0 e que E > U0.
Potencial Degrau
0
U (x ) = 
U 0
x<0
x>0
12000000
U0
6000000
0
-30
-15
0
-6000000
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
15
30
x
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
A Equação de Schroedinger para x < 0
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x < 0, onde temos U = 0.
2
Ψ ( x)
d
h
−
= E ⋅ Ψ ( x)
2
2 ⋅ m dx
2
d Ψ ( x) 2 ⋅ m ⋅ E
+
⋅ Ψ ( x) = 0
2
2
dx
h
2
A solução geral desta equação diferencial é
Ψ1 (x ) = A ⋅ e
i⋅k1 ⋅ x
+ B⋅e
− i⋅k1 ⋅ x
2⋅m⋅ E
k1 =
2
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Interpretação da solução geral para x < 0
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação
de duas ondas planas.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
i⋅k1 ⋅ x
+ B⋅e
− i⋅k1 ⋅ x
A⋅exp( i⋅k1⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k1 e
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅k1⋅x)
B⋅exp(-i⋅k1⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k1 e
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅k1⋅x)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Representação gráfica da solução geral para x < 0
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o degrau.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
i ⋅k1 ⋅ x
+ B⋅e
− i ⋅k1 ⋅ x
2 ⋅π
h2
= 2 ⋅π ⋅
λ1 =
k1
2⋅m⋅ E
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
A Equação de Schroedinger para x > 0
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x > 0, onde temos U = U0.
h 2 d 2 Ψ (x )
d 2 Ψ (x ) 2 ⋅ m
−
+ U 0 ⋅ Ψ (x ) = E ⋅ Ψ (x )
+ 2 (E − U 0 ) ⋅ Ψ ( x ) = 0
2
2
2 ⋅ m dx
dx
h
A solução geral desta equação diferencial é
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
i ⋅k 2 ⋅ x
+ D⋅e
− i ⋅k 2 ⋅ x
2 ⋅ m ⋅ (E − U 0 )
k2 =
2
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Interpretação da solução geral para x > 0
Esta solução mostra que para x > 0 temos a propagação
de duas ondas planas.
Mas, observe que neste caso a onda de matéria não tem
onde se refletir, pois não uma outra barreira após x > 0.
Logo, necessariamente, temos que D = 0, pois a onda de
matéria se propaga apenas na direção +x.
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
i ⋅k 2 ⋅ x
C⋅exp(i⋅k2⋅x): onda plana de amplitude C, número de onda k2 e
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅k2⋅x)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Representação gráfica da solução geral para x > 0
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o degrau.
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
i ⋅k 2 ⋅ x
2 ⋅π
h2
λ2 =
= 2 ⋅π ⋅
k2
2 ⋅ m ⋅ (E − U 0 )
k1 > k 2 ⇒ λ1 < λ2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Existe aqui uma clara analogia entre a Mecânica Quântica
e a Óptica.
O problema de uma onda de matéria incidindo sobre um
campo que produz uma determinada energia potencial é
similar ao da luz incidindo sobre uma região de índice de
refração constante muito espessa.
No caso da Óptica, calculamos a percentagem de luz
refletida pelo meio de índice de refração constante.
No caso da onda de matéria faremos um procedimento
similar.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Coeficiente de reflexão da onda de matéria
Neste caso, vamos calcular a razão entre a intensidade
do feixe de partículas que é refletido (pelo degrau de energia
potencial) e a intensidade do feixe incidente.
Fazemos isto simplesmente calculando a razão entre as
amplitudes das ondas de matéria refletida e incidente.
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância)
associado ao degrau, partimos da solução geral da onda de
matéria.
 A ⋅ ei⋅k1 ⋅ x + B ⋅ e − i⋅k1 ⋅ x
Ψ (x ) = 
C ⋅ ei⋅k2 ⋅ x
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
x≤0
x≥0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Definição do coeficiente de reflexão da onda de matéria
 A ⋅ ei⋅k1 ⋅ x + B ⋅ e − i⋅k1 ⋅ x
Ψ (x ) = 
C ⋅ ei⋅k 2 ⋅ x
x≤0
x≥0
Neste caso, definimos então o coeficiente de reflexão ou
simplesmente a refletância R.
B
R=
A
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Condições de contorno do problema
Para determinar R, devemos impor as condições de
contorno para a função de onda Ψ.
Lembremos que Ψ deve ser uma função contínua em
todo o espaço.
(
Ψ1 x = 0
−
) = Ψ (x = 0 ) Ψ ' (x = 0 ) = Ψ ' (x = 0 )
+
2
−
1
+
2
O resultado obtido é então um sistema de duas equações
a duas incógnitas (B/A e C/A).
A+ B = C
k1 ⋅ ( A − B ) = k 2 ⋅ C
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Solução do sistema
Este sistema é de fácil solução.
k2
k1
B
=
k2
A
1+
k1
1−
C
=
A
2
k
1+ 2
k1
U0
k2
= 1−
k1
E
É mais conveniente escrever a razão B/A
termos da energia E e da energia potencial U0.
Para isto, escrevemos a razão entre k2 e k1.
Após alguma manipulação matemática,
obtemos então uma expressão para B/A.
U0
1− 1−
B
E
=
A
U0
1+ 1−
E
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Determinação da refletância em termos da razão E/U0
Após um exaustivo cálculo matemático, obtemos então
finalmente a refletância R.
Reflectância - Potencial Degrau E > U0
1,2

U0  U0
2 ⋅ 1 − 1 −
−
2
E  E

B
R=
=
A

U0  U0
2 ⋅ 1 + 1 −
−
E  E

0,9
R
0,6
0,3
0
0
2
4
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
6
8
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
O potencial degrau
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um
potencial definido como mostra a Figura 2.
Seja também a situação em que U0 > 0 e que E > U0.
Potencial Degrau
0
U (x ) = 
U 0
x<0
x>0
12000000
U0
6000000
0
-30
-15
0
-6000000
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
15
30
x
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
A Equação de Schroedinger para x < 0
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x < 0, onde temos U = 0.
2
Ψ ( x)
d
h
−
= E ⋅ Ψ ( x)
2
2 ⋅ m dx
2
d Ψ ( x) 2 ⋅ m ⋅ E
+
⋅ Ψ ( x) = 0
2
2
dx
h
2
A solução geral desta equação diferencial é
Ψ1 (x ) = A ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ B⋅e
− i ⋅k ⋅ x
2⋅m⋅ E
k=
2
h
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Interpretação da solução geral para x < 0
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação
de duas ondas planas.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ B⋅e
− i ⋅k ⋅ x
A⋅exp( i⋅k⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k e
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅k⋅x)
B⋅exp(-i⋅k⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k e
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅k⋅x)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Representação gráfica da solução geral para x < 0
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o degrau.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ B ⋅e
− i ⋅k ⋅ x
2 ⋅π
h2
λ=
= 2 ⋅π ⋅
k
2⋅m⋅ E
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
A Equação de Schroedinger para x > 0
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x > 0, onde temos U = U0.
h 2 d 2 Ψ (x )
d 2 Ψ (x ) 2 ⋅ m
−
+ U 0 ⋅ Ψ (x ) = E ⋅ Ψ (x )
+ 2 (E − U 0 ) ⋅ Ψ ( x ) = 0
2
2
2 ⋅ m dx
dx
h
A solução geral desta equação diferencial é
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
ρ ⋅x
+ D⋅e
− ρ ⋅x
2 ⋅ m ⋅ (U 0 − E )
ρ=
2
h
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Interpretação da solução geral para x > 0
Lembremos que uma condição de existência para a
função de onda é que ela não pode apresentar singularidades
para qualquer valor de x.
Isto significa, por exemplo, que a função de onda não
pode apresentar valores infinitos para qualquer valor de x.
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
ρ ⋅x
+ D⋅e
− ρ ⋅x
Para que esta condição seja obedecida, necessariamente
temos que fazer com que C = 0, pois caso contrário
apareceria um ∞ em Ψ2(x).
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Forma da solução geral para x > 0
Escrevemos então a função de onda para x ≥ 0.
Ψ2 ( x ) = D ⋅ e
− ρ ⋅x
D⋅exp(-ρ⋅x): onda evanescente de amplitude D e constante de
amortecimento ρ.
Esta solução mostra que para x ≥ 0 temos a propagação
de uma onda chamada evanescente.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Representação gráfica da solução geral para x > 0
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o degrau.
Ψ2 ( x ) = D ⋅ e
− ρ ⋅x
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Novamente existe aqui, mais uma vez, uma clara analogia
entre a Mecânica Quântica e a Óptica.
Desta forma, podemos repetir aqui todo o procedimento
já feito no caso E > U0 e calcular também o coeficiente de
reflexão associado ao degrau.
Como na situação E > U0, fazemos isto simplesmente
calculando a razão entre as amplitudes das ondas de matéria
refletida e incidente.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Coeficiente de reflexão da onda de matéria
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância)
associado ao degrau, partimos da solução geral da onda de
matéria.
 A ⋅ ei⋅k ⋅ x + B ⋅ e − i⋅k ⋅ x
Ψ (x ) = 
 D ⋅ e − ρ ⋅ x
x≤0
x≥0
Neste caso, definimos de maneira análoga à anterior o
coeficiente de reflexão ou simplesmente a refletância R.
B
R=
A
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Condições de contorno do problema
Para determinar R, devemos impor as condições de
contorno para a função de onda Ψ.
Lembremos que Ψ deve ser uma função contínua em
todo o espaço.
(
Ψ1 x = 0
−
) = Ψ (x = 0 ) Ψ ' (x = 0 ) = Ψ ' (x = 0 )
+
2
−
1
+
2
O resultado obtido é então um sistema de duas equações
a duas incógnitas (B/A e C/A).
A+ B = D
i ⋅ k ⋅ (A − B) = −ρ ⋅ D
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > U0)
Solução do sistema e determinação de R
Este sistema é de fácil solução.
i⋅ρ
1−
B
k1
=
A 1+ i ⋅ ρ
k1
D
2
=
A 1+ i ⋅ ρ
k1
De posse da razão B/A calculamos então o valor de R.
i⋅ρ
B
k1
R=
=
i⋅ρ
A
1+
k1
2
2
1−
=
i⋅ρ
1−
k1
2
i⋅ρ
1+
k1
2
2
ρ
1 +  
k
=  1 2
ρ
1 +  
 k1 
⇒
R =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < U0)
Gráfico da refletância R
Construímos então o gráfico de R(E) para E < U0.
Reflectância - Potencial Degrau E < U0
1,2
R =1
∀
E < U0
R
0,8
0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
1,2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Determinação da refletância para qualquer energia
Reunimos os resultados da refletância para todos os
valores da razão E/U0 em um único gráfico.
Reflectância - Potencial Degrau
1,5
1

 2 ⋅ 1 − 1 − U 0  − U 0
 

E  E
R= 
 

 2 ⋅ 1 + 1 − U 0  − U 0
 
E  E
E < U0
R
1
E > U0
0,5
0
0
2
4
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
6
8
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Comportamento de partículas clássicas
Partículas clássicas:
a) se a energia da
partícula for menor do que a
“altura” do degrau ela só é
encontrada no lado x < 0, ou
seja, R = 1.
Refletância - Potencial Degrau
Comportamento Clássico
1,5
R
1
0,5
0
0
2
4
6
E/U0
8
b) se a energia da
partícula for maior do que a
“altura” do degrau ela só é
encontrada no lado x > 0, ou
seja, R = 0.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Comportamento de partículas quânticas
Partículas quânticas:
a) se a energia da
partícula for menor do que a
“altura” do degrau a onda de
matéria é totalmente refletida,
ou seja, R = 1;
Refletância - Potencial Degrau
Comportamento Quântico
1,5
R
1
0,5
0
0
2
4
6
E/U0
8
b) se a energia da
partícula for maior do que a
“altura” do degrau a onda de
matéria
é
parcialmente
refletida, ou seja, R < 1.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Comparação entre o comportamento
quânticas e clássicas para E < U0
de
partículas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
- no caso da energia da partícula ser menor do que a
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas têm
comportamento análogo;
- em ambos os casos as partículas são encontradas
apenas do lado esquerdo do degrau, isto é, R = 1 tanto no
caso clássico quanto no quântico.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Comparação entre o comportamento
quânticas e clássicas para E > U0
de
partículas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
- no caso da energia da partícula ser maior do que a
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas NÃO
apresentam comportamento análogo;
- neste caso, NÃO são observadas partículas clássicas
do lado esquerdo da barreira, pois no caso clássico R = 1.
- por outro lado, existe uma probabilidade diferente de
zero de encontrarmos partículas quânticas do lado esquerdo
do degrau, pois no caso quântico R ≤ 1.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU
Comparação entre o comportamento
quânticas e clássicas – análise gráfica
de
partículas
Vamos então analisar estes resultados graficamente.
Reflectância - Potencial Degrau
Comportamento Clássico
Reflectância - Potencial Degrau
Comportamento Quântico
1,5
R
1,5
R
1
1
0,5
0,5
0
0
0
2
4
6
8
0
2
E/U
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
4
E/U0
6
8
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
A barreira de potencial
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um
potencial definido como mostra a Figura 3.
Seja agora a situação em que E > U0.
0

U ( x ) = U 0
0

x<0
Barreira de Potencial
12000000
U0
0< x<a
x>a
6000000
0
-20
-10
0
10
20
30
40
x
-6000000
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Solução geral da Equação de Schroedinger
Aplicamos os mesmos procedimentos para o caso do
potencial degrau e obtemos a seguinte solução geral da
Equação de Schroedinger para o caso da barreira de
potencial.
i⋅k1 ⋅ x
− i⋅k1 ⋅ x
A⋅ e
+ B⋅e

i ⋅k 2 ⋅ x
− i ⋅k 2 ⋅ x
Ψ (x ) = C ⋅ e
+ D⋅e

i⋅k1 ⋅ x
F
⋅
e

Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
x≤0
0≤ x≤a
x≥a
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
Neste caso, definimos o coeficiente de reflexão ou
simplesmente a refletância R e o coeficiente de transmissão
ou
simplesmente
transmitância
T
como
sendo,
respectivamente
 A ⋅ ei⋅k1 ⋅ x + B ⋅ e −i⋅k1 ⋅ x

Ψ (x ) = C ⋅ ei⋅k2 ⋅ x + D ⋅ e −i⋅k2 ⋅ x

i ⋅k1 ⋅ x
F
⋅
e

B
R=
A
2
F
T=
A
2
x≤0
0≤ x≤a
x≥a
R +T =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Condições de contorno do problema
Para determinar R ou T devemos impor as condições de
contorno para a função de onda Ψ.
Lembremos que Ψ deve ser uma função contínua em todo
o espaço.
Assim, da definição de continuidade de uma função
temos que Ψ deve satisfazer
(
−
)
(
−
)
(
Ψ x=0 =Ψ x=0
(
+
Ψ2 x = a = Ψ3 x = a
)
+
(
−
)
(
Ψ' x = 0 = Ψ' x = 0
+
)
) Ψ ' (x = a ) = Ψ ' (x = a )
−
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
+
3
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Sistema de equações a ser resolvido
Temos então um sistema de quatro equações e quatro
incógnitas (B/A, C/A, D/A e F/A), portanto este problema
apresenta solução.
Podemos escrever este sistema de equações na forma
matricial.
1
 −1

k2
1
k1

0
e i ⋅k 2 ⋅a

k 2 i ⋅k 2 ⋅a
⋅e
0
k1

1
k2
−
k1
e − i ⋅k 2 ⋅a
k 2 − i ⋅k 2 ⋅a
− ⋅e
k1

  B / A  1
  
0  
 ⋅ C / A = 1
− ei⋅k1 ⋅a   D / A   0 

  
i ⋅k1 ⋅a  
 0
−e
F
/
A
 
  

0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Solução do sistema de equações
A resolução deste sistema de equações nos leva a
F
=
A
e
− i ⋅k 2 ⋅a
i (k + k )
cos(k ⋅ a ) − ⋅
sin (k
2 k ⋅k
2
1
2
2
2
(
)
1
2
⋅ a)
2
i k 22 − k12
sin (k 2 ⋅ a )
2 k1 ⋅ k 2
B
=
A
i k12 + k 22
cos(k 2 ⋅ a ) − ⋅
sin (k 2 ⋅ a )
2 k1 ⋅ k 2
(
)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Determinação da refletância e da transmitância
A partir das razões F/A e B/A, e após um exaustivo
cálculo matemático, obtemos T e R em termos da razão E/U0
como sendo

4⋅ E  E


⋅
−
1
2

U0  U0 
F
T=
=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E


4⋅ E  E
2
0

⋅ 
− 1 + sin 
− 1 
2
U0  U0 
h

 U 0  
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E

0

sin 
− 1 
2
2
h

 U 0  
B
=
R=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E


4⋅ E  E
2
0

⋅ 
− 1 + sin 
− 1 
2
U0  U0 
h

 U 0  
⇒
2
R +T =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
O parâmetro característico da barreira
Observe que tanto R quanto T dependem de um
parâmetro adimensional, que depende das características da
barreira U0 e a, além da massa da partícula m.
Vamos definir este parâmetro adimensional α como
sendo
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a
α=
2
h
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,11×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e=
1,602×
×10-19
a = 2,00×
×10-9 m
U0 = 100 meV
C
Espectro de Transmitância para α = 3,25 e E > U0
1,2
T
α = 3,25
0,8
0,4

4⋅ E  E
⋅ 
− 1
U0  U0 
F
=
T=
A


4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅
U0  U0 

0
2
 E


− 1 
 U 0  
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,11×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e=
1,602×
×10-19
a = 2,00×
×10-9 m
U0 = 100 meV
Espectro de Refletância para α = 3,25 e E > U0
1,2
C
R
α = 3,25
0,8
0,4

sin 2 α ⋅

 E


− 1 
2
 U 0  
B
=
R=
A

 E


4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 
U0  U0 

 U 0  
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este α = 3,25.
α = 3,25

4⋅ E  E


⋅
−
1
2
U 0  U 0 
F
=
T=
A


4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅
U0 U0 


sin 2 α ⋅

Espectro de R e T para α = 3,25 e E > U0
1,2
T, R
 E


− 1 
 U 0  
 E


− 1 
2
 U 0  
B
=
R=
A


 E

4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 
U0 U0 

 U 0  
0,8
0,4
0
0
2
4
R +T =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
6
8
10
E/U0
12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,11×
×10-31 kg
a = 10,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Transmitância para α = 16,3 e E > U0
1,2
T
e = 1,602×
×10-19 C
0,8
α = 16,3
0,4

4⋅ E  E
⋅ 
− 1
U
U
F
0
 0 
T=
=
A



2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2  E
4⋅ E  E

 
⋅ 
− 1 + sin 2 
−
1
U
U0  U0 
h2

 0  
2
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,11×
×10-31 kg
a = 10,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
Espectro de Refletância para α = 16,3 e E > U0
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
1,2
e = 1,602×
×10-19 C
R
0,8
α = 16,3
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E

0

 
sin 2 
−
1
U
2
h2

 0  
F
R=
=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E


4⋅ E  E
0

⋅ 
− 1 + sin 2 
− 1 
2
U0 U0 
h

 U 0  
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 16,3

4⋅ E  E


⋅
−
1
2
U 0  U 0 
F
=
T=
A


4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅
U0 U0 


sin 2 α ⋅

T, R
 E


− 1 
 U 0  
 E


− 1 
2
 U 0  
B
=
R=
A


 E

4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 
U0 U0 

 U 0  
R +T =1
Espectro de R e T para α = 16,3 e E > U0
1,2
0,8
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Com os seguintes dados:
m = 9,11×
×10-31 kg
a = 50,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e = 1,602×
×10-19 C
Espectro de Transmitância para α = 81,5 e E > U0
1,2
T
0,8
α = 81,5
0,4

4⋅ E  E
⋅ 
− 1
U
U
F
0
 0 
T=
=
A



4⋅ E  E
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2  E

 
⋅ 
− 1 + sin 2 
−
1
U
U0  U0 
h2

 0  
2
E/U0
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Com os seguintes dados:
m = 9,11×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e=
1,602×
×10-19
a = 50,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
Espectro de Refletância para α = 81,5 e E > U0
C
1,2
α = 81,5
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E

0

sin 2 
− 1 
2
2
h

 U 0  
B
R=
=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2  E


4⋅ E  E
0

− 1 
⋅ 
− 1 + sin 2 
2
U0  U0 
h

 U 0  
R +T =1
R
0,8
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 81,5

4⋅ E  E


⋅
−
1
2
U 0  U 0 
F
=
T=
A


4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅
U0 U0 


sin 2 α ⋅

1,2
T, R
 E


− 1 
 U 0  
 E


− 1 
2
 U 0  
B
=
R=
A


 E

4⋅ E  E
⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 
U0 U0 

 U 0  
R +T =1
Espectro de R e T para α = 81,5 e E > U0
0,8
0,4
0
0
2
4
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
6
8
10
E/U0 12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
A barreira de potencial
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um
potencial definido como mostra a Figura 4.
Seja agora a situação em que E < U0.
0

U ( x ) = U 0
0

x<0
Barreira de Potencial
12000000
U0
0< x<a
x>a
6000000
0
-20
-10
0
10
20
30
40
x
-6000000
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Solução geral da Equação de Schroedinger
Aplicamos os mesmos procedimentos para o caso do
potencial degrau e obtemos a seguinte solução geral da
Equação de Schroedinger para o caso da barreira de
potencial.
i⋅k1 ⋅ x
− i⋅k1 ⋅ x
A⋅e
+ B⋅e

ρ ⋅x
− ρ ⋅x
Ψ ( x ) = C ⋅ e + D ⋅ e

i⋅k1 ⋅ x
F
⋅
e

Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
x≤0
0≤ x≤a
x≥a
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
Neste caso, definimos o coeficiente de reflexão ou
simplesmente a refletância R e o coeficiente de transmissão
ou
simplesmente
transmitância
T
como
sendo,
respectivamente
 A ⋅ ei⋅k1 ⋅ x + B ⋅ e − i⋅k1 ⋅ x
x≤0

ρ ⋅x
− ρ ⋅x
Ψ ( x ) = C ⋅ e + D ⋅ e
0≤ x≤a

i⋅k1 ⋅ x
F
⋅
e
x≥a

R +T =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
B
R=
A
F
T=
A
2
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Condições de contorno do problema
Para determinar R ou T devemos impor as condições de
contorno para a função de onda Ψ.
Lembremos que Ψ deve ser uma função contínua em todo
o espaço.
Assim, da definição de continuidade de uma função
temos que Ψ deve satisfazer
(
) = Ψ (x = 0 ) Ψ ' (x = 0 ) = Ψ ' (x = 0 )
Ψ (x = a ) = Ψ (x = a ) Ψ ' (x = a ) = Ψ ' (x = a )
Ψ1 x = 0
−
+
2
−
2
1
+
3
−
+
2
−
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
+
3
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Sistema de equações a ser resolvido
Temos então um sistema de quatro equações e quatro
incógnitas (B/A, C/A, D/A e F/A), portanto este problema
apresenta solução.
Podemos escrever este sistema de equações na forma
matricial.
1
 −1

i⋅ρ
−
1
k1

0
e ρ ⋅a

i ⋅ ρ ρ ⋅a
⋅e
0
k1

1
i⋅ρ
k1
e − ρ ⋅a
i ⋅ ρ − ρ ⋅a
⋅e
k1

  B / A  1
  
0  
 ⋅ C / A = 1
− ei⋅k1 ⋅a   D / A   0 

  
i ⋅k1 ⋅a  
  0
−e
D
/
A
 
  

0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Solução do sistema
A resolução deste sistema de equações nos leva a
F
=
A
e
− i ⋅k 2 ⋅a
i (k + k )
cos(k ⋅ a ) − ⋅
sin (k
2 k ⋅k
2
1
2
2
2
(
k
i
)
1
2
⋅ a)
2
− k12
sin (k 2 ⋅ a )
2 ⋅ k1 ⋅ k 2
B
=
2
2
A
+
k
k
i
2
cos(k 2 ⋅ a ) − ⋅ 1
sin (k 2 ⋅ a )
2 k1 ⋅ k 2
2
2
(
)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Determinação da refletância e da transmitância
A partir das razões F/A e B/A, e após um exaustivo
cálculo matemático, obtemos T e R em termos da razão E/U0
como sendo
4⋅ E 
E 


⋅ 1 −
U0  U0 
2
F
T=
=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2 
4⋅ E 
E 
E 
2
0
 + sinh 
1 −
 
⋅ 1 −
2
U0  U0 
h

 U 0  
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2 
E 
0

 
sinh 
1−
2

2
h

 U 0  
B
R=
=
A
 2 ⋅ m ⋅U ⋅ a 2 
4⋅ E 
E 
E 
2
0
 + sinh 
1 −
 
⋅ 1 −
2
U 0  U 0 
h
U

0 


R +T =1
2
⇒
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
O parâmetro característico da barreira
Observe que tanto R quanto T dependem novamente de
um parâmetro adimensional, que depende das características
da barreira U0 e a, além da massa da partícula m.
Já
definimos
este
anteriormente como sendo
parâmetro
adimensional
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a
α=
2
h
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
α
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 2,00×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e = 1,602×
×10-19 C
Espectro de Transmitância para α = 3,25 e E < U0
1,2
T
0,8
α = 3,25
2
0,4
0
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 
B
T=
=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

0
0,2
0,4
0,6

E 
1 −
 
 U 0  
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
1,2
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 2,00×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 3,25 e E < U0
1,2
e = 1,602×
×10-19 C
R
0,8
α = 3,25
2

sinh 2 α ⋅


E 
1 −
 
U
0 


B
=
R=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 


E 
1 −
 
U
0 


0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
1,2
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 3,25
Espectro de R e T para α = 3,25 e E < U0
1,2
2
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 
F
=
T=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

2
R=

sin 2 α ⋅


E 
1 −
 
U
0 



E 
1 −
 
U
0 


B
=
A

E 
4⋅ E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

R +T =1

E 
1 −
 
U
0 


T, R
0,8
0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
1,2
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e=
1,602×
×10-19
Espectro de Transmitância para α = 16,3 e E < U0
1,2
C
T
0,8
α = 16,3
2
a = 10,0×
×10-10 m
U0 = 100 meV
0,4
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 
B
=
T=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

0
0
0,2
0,4
0,6

E 
1 −
 
 U 0  
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
E/U0
1,2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 10,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 16,3 e E < U0
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
R
α = 16,3
0,8
0,4
2

sinh 2 α ⋅


E 
1 −
 
U
0 


B
R=
=
A

4⋅E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 


E 
1 −
 
 U 0  
0
0
0,2
0,4
0,6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
1,2
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 16,3
Espectro de R e T para α = 16,3 e E < U0
1,2
2
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 
F
=
T=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

2
R=

sinh 2 α ⋅


E 
1 −
 
U
0 



E 
1 −
 
U
0 


B
=
A

E 
4⋅ E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

R +T =1

E 
1 −
 
U
0 


T, R
0,8
0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
1,2
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de T(E/U0) para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
e=
1,602×
×10-19
a = 50,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
Espectro de Transmitância para α = 81,5 e E < U0
1,2
C
T
α = 81,5
0,8
0,4
2
T=
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 
F
=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

0

E 
1 −
 
 U 0  
0
0,2
0,4
0,6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
E/U0
1,2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R(E/U0) para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 50,0×
×10-9 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 81,5 e E < U0
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
R
0,8
α = 81,5
2
R=

sinh 2 α ⋅

0,4

E 
1 −
 
 U 0  
B
=
A

E 
4⋅ E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

0
0
0,2
0,4
0,6

E 
1 −
 
 U 0  
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
E/U0
1,2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 81,5
2
Espectro de R e T para α = 81,5 e E < U0
F
=
T=
A

4⋅ E 
E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 

2
R=
1,2
4⋅ E 
E 

⋅ 1 −
U 0  U 0 

sinh 2 α ⋅

T, R

E 
1 −
 
U
0 



E 
1 −
 
U
0 


B
=
A

E 
4⋅ E 
 + sinh 2 α ⋅
⋅ 1 −
U0  U0 


E 
1 −
 
U
0 


0,8
0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
R +T =1
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
0,8
1
E/U0
1,2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de T(E/U0) para α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 2,00×
×10-10 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
1,2
T
e = 1,602×
×10-19 C
Espectro de Transmitância para α = 3,25
1
0,8
α = 3,25
0,6

E 
4⋅ E 

⋅ 1 −

U 0  U 0 




 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  
 U 
 U 0  U 0 

0 



T =

4⋅ E  E

⋅ 
− 1

U0  U0 


 4⋅E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 


 U 0  
 U 0  U 0 
E < U0
0,4
0,2
0
E > U0
0
2
4
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
6
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de R(E/U0) para α pequeno (α
α < 10)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 2,00×
×10-10 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 3,25
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
R
α = 3,25
0,8



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

− 1 
sin 2 α ⋅ 


 U 0  


 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 

U

 U U

 0  
 0  0 
E < U0
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α pequeno (α
α < 10)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 3,25



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

sin 2 α ⋅ 
− 1 

 U 0  



 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 
U


 U U

 0  
 0  0 

4⋅ E 
E 

⋅ 1 −

U
U
0
0 





 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  




 U0  U0 

 U 0  

T =

4⋅ E  E

⋅
− 1

U 0  U 0 


 4⋅ E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 

U
U
U

 0  
 0  0 
1,2
T, R
E < U0
Espectro de T e R para α = 3,26
1
0,8
E > U0
E < U0
0,6
R +T =1
0,4
0,2
0
E > U0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de T(E/U0) para α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 10,0×
×10-10 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Transmitância para α = 16,3
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
T
α = 16,3
0,8

E 
4⋅ E 

⋅ 1 −

U 0  U 0 




 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  
 U 
 U 0  U 0 

0 



T =

4⋅ E  E

⋅ 
− 1

U0  U0 


 4⋅E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 


 U 0  
 U 0  U 0 
E < U0
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de R(E/U0) para α médio (10 < α < 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 16,3
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
α = 16,3



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

− 1 
sin 2 α ⋅ 


 U 0  


 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 

U

 U U

 0  
 0  0 
a = 10,0×
×10-10 m
U0 = 100 meV
R
0,8
E < U0
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α médio (10 < α < 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 16,3



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

sin 2 α ⋅ 
− 1 

 U 0  



 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 
U


 U U

 0  
 0  0 

4⋅ E 
E 

⋅ 1 −

U
U
0
0 





 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  




 U0  U0 

 U 0  

T =

4⋅ E  E

⋅
− 1

U 0  U 0 


 4⋅ E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 

U
U
U

 0  
 0  0 
Espectro de R e T para α = 16,3
1,2
E < U0
T, R
0,8
E > U0
E < U0
R +T =1
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de T(E/U0) para α grande (α
α > 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 50,0×
×10-10 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Transmitância para α = 81,5
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
T
α = 81,5
0,8

E 
4⋅ E 

⋅ 1 −

U 0  U 0 




 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  
 U 
 U 0  U 0 

0 



T =

4⋅ E  E

⋅ 
− 1

U0  U0 


 4⋅E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 


 U 0  
 U 0  U 0 
E < U0
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
12
E/U0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (∀
∀ E > 0)
Gráfico completo de R(E/U0) para α grande (α
α > 50)
Sejam os valores dos parâmetros e constantes dados
abaixo.
m = 9,1×
×10-31 kg
a = 50,0×
×10-10 m
U0 = 100 meV
h/2⋅π
⋅π = 1,05×
×10-34 J⋅⋅s
Espectro de Refletância para α = 81,5
e = 1,602×
×10-19 C
1,2
α = 81,5
R
0,8



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

− 1 
sin 2 α ⋅ 


 U 0  


 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 

U

 U U

 0  
 0  0 
E < U0
0,4
0
E > U0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
E/U0
12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < U0)
Gráfico de R e T para o parâmetro α grande (α
α > 50)
Façamos um gráfico superpondo a refletância R e a
transmitância T para este valor do parâmetro α.
α = 81,5



E 

 
sinh 2 α ⋅ 1 −


 U 0  


 4⋅ E 

E 
E 
 + sinh 2 α ⋅ 1 −
 
⋅ 1 −


 U 0  
 U0  U0 
R=


 E

sin 2 α ⋅ 
− 1 

 U 0  



 4 ⋅ E ⋅  E − 1 + sin 2 α ⋅  E − 1 
U


 U U

 0  
 0  0 

4⋅ E 
E 

⋅ 1 −

U
U
0
0 





 4 ⋅ E ⋅ 1 − E  + sinh 2 α ⋅ 1 − E  




 U0  U0 

 U 0  

T =

4⋅ E  E

⋅
− 1

U 0  U 0 


 4⋅ E  E

 E

⋅ 
− 1 + sin 2 α ⋅ 
− 1 

U
U
U

 0  
 0  0 
Espectro de R e T para α = 81,5
1,2
E < U0
T, R
0,8
E > U0
E < U0
R +T =1
0,4
0
0
2
4
E > U0
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Partículas clássicas:
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x < 0;
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x > 0.
Partículas quânticas:
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
da barreira, a onda de matéria é parcialmente refletida (e
parcialmente transmitida), dependendo do valor da razão E/U.
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
da barreira, a onda de matéria é parcialmente refletida (e
parcialmente transmitida), dependendo do valor da razão E/U.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância Comportamento Clássico
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
1,2
T
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância para α = 3,25
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas:
análise gráfica
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
1,2
T
0,8
Espectro de Transmitância para α = 3,25
×
Comportamento Clássico
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
E/U0
12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância Comportamento Clássico
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância para α = 16,3
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância para α = 16,3 × Comportamento
Clássico
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
E/U0 12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância Comportamento Clássico
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância para α = 81,5
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
8
10
12
E/U0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Estes resultados
graficamente.
podem
ser
melhor
analisados
Espectro de Transmitância para α = 81,5
×
Comportamento Clássico
1,2
T
0,8
0,4
0
0
2
4
6
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
8
10
E/U0
12
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Concluímos então que :
- no caso da energia da partícula ser menor do que a
“altura” da barreira, partículas clássicas e quânticas NÃO
têm comportamento análogo;
- no caso da energia da partícula ser maior do que a
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas também
NÃO apresentam comportamento análogo;
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Comparação entre partículas quânticas e clássicas
Em termos da razão E/U0 temos que:
- as partículas clássicas são encontradas apenas em um
lado da barreira, dependendo do valor da razão E/U0;
- já no caso de partículas quânticas, existe uma
probabilidade diferente de zero de encontrarmos partículas
quânticas do lado esquerdo e direito da barreira, dependendo
do valor da razão E/U0.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Interpretação do efeito de tunelamento
Observe que mesmo que uma partícula tenha energia
menor do que a “altura” da barreira, existe uma
probabilidade diferente de zero (T ≠ 0) dela ser encontrada do
outro lado da barreira.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
O poço de potencial
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se “propagando” na direção +x, e que encontra
um potencial definido como mostra a Figura 5.
Seja a situação em que temos um estado ligado com
energias entre 0 e – U0, isto é, – U0 < E < 0.
Poço de Potencial
0

U ( x ) = − U 0
0

x<0
0< x<a
x>a
300000
0
-30
0
-300000
-U0
-600000
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
30
x
60
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
A Equação de Schroedinger para x < 0
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x < 0, onde temos U = 0.
h d Ψ(x )
−
= − E ⋅ Ψ (x )
2
2 ⋅ m dx
2
2
d 2 Ψ (x ) 2 ⋅ m ⋅ E
−
⋅ Ψ (x ) = 0
2
2
dx
h
A solução geral desta equação diferencial é uma
combinação linear de exponenciais reais.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
ρ ⋅x
+ B⋅e
− ρ ⋅x
ρ=
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
2⋅m⋅ E
h
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Interpretação da solução geral para x < 0
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação
de duas ondas evanescentes.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
ρ ⋅x
+ B⋅e
− ρ ⋅x
A⋅exp(ρ⋅x): onda evanescente crescente de amplitude A e
constante de crescimento ρ.
B⋅exp(-ρ⋅x): onda evanescente decrescente de amplitude B e
constante de amortecimento ρ.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Condição de existência da função de onda para x < 0
Mas, observe que a função de onda não pode apresentar
valores infinitos, pois ela necessariamente deve ser uma
função “bem comportada”.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
ρ ⋅x
+ B⋅e
− ρ ⋅x
Isto obriga que B = 0, pois caso contrário teremos a
situação Ψ(x = - ∞) = ∞.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
ρ ⋅x
A⋅exp(ρ⋅x): onda evanescente de amplitude A, e
constante de crescimento ρ.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Representação gráfica da solução geral para x < 0
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o poço de potencial.
Ψ1 ( x ) = A ⋅ e
ρ ⋅x
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
A Equação de Schroedinger para 0 < x < a
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por 0 < x < 0, onde temos U = - U0.
d 2 Ψ (x ) 2 ⋅ m
h 2 d 2 Ψ (x )
−
− U 0 ⋅ Ψ (x ) = − E ⋅ Ψ (x )
+ 2 (U 0 − E )⋅ Ψ ( x ) = 0
2
2
dx
2 ⋅ m dx
h
A solução geral desta equação diferencial é uma
combinação linear de exponenciais complexas.
Ψ2 (x ) = C ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ D⋅e
− i ⋅k ⋅ x
k=
2 ⋅ m ⋅ (U 0 − E )
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
h
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Interpretação da solução geral para 0 < x < a
Esta solução mostra que para 0 < x < a temos a
propagação de duas ondas planas.
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ D⋅e
− i ⋅k ⋅ x
C⋅exp(i⋅k⋅x): onda plana de amplitude C, número de onda k e
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅k⋅x)
D⋅exp(-i⋅k⋅x): onda plana de amplitude D, número de onda k e
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅k⋅x)
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Representação gráfica da solução geral para 0 < x < a
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o poço de potencial.
Ψ2 ( x ) = C ⋅ e
i ⋅k ⋅ x
+ D⋅e
− i ⋅k ⋅ x
2 ⋅π
h2
= 2 ⋅π ⋅
λ=
k
2 ⋅ m ⋅ (U 0 − E )
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
A Equação de Schroedinger para x > a
Vamos escrever a Equação de Schroedinger para a região
definida por x > a, onde temos novamente U = 0.
h 2 d 2 Ψ (x )
d 2 Ψ (x ) 2 ⋅ m ⋅ E
−
= − E ⋅ Ψ (x )
−
⋅ Ψ (x ) = 0
2
2
2
2 ⋅ m dx
dx
h
Novamente, a solução geral desta equação diferencial é
uma combinação linear de exponenciais reais.
Ψ3 ( x ) = F ⋅ e
ρ ⋅x
+ G ⋅e
− ρ ⋅x
ρ=
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
2⋅m⋅ E
h
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Interpretação da solução geral para x > a
Mas, observe que a função de onda não pode apresentar
valores infinitos, pois ela necessariamente deve ser uma
função “bem comportada”.
Ψ3 ( x ) = F ⋅ e
ρ ⋅x
+ G ⋅e
− ρ ⋅x
Isto obriga que F = 0, pois caso contrário teremos a
situação Ψ(x = - ∞) = ∞.
Ψ3 (x ) = G ⋅ e
− ρ ⋅x
G⋅exp(-ρ⋅x): onda evanescente de amplitude G, e
constante de amortecimento ρ.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Representação gráfica da solução geral para x > a
Esta solução geral pode ser representada graficamente,
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que
representa o poço de potencial.
Ψ3 ( x ) = G ⋅ e
− ρ ⋅x
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Os estados ligados
Observe que este problema é bastante similar ao da
partícula em uma “caixa”.
No caso deste poço de potencial, a energia da partícula é
negativa (E < 0), porém maior que – U0.
Logo, podemos concluir que a partícula fica praticamente
confinada e ligada ao poço de potencial.
Neste confinamento a partícula quantiza seus níveis de
energia, admitindo apenas alguns valores discretos para a
energia.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Cálculo dos estados ligados
Neste caso, seremos capazes de calcular quais as
possíveis energias que a “onda de matéria” pode admitir
dentro do poço de potencial.
Para este cálculo, vamos incialmente escrever a função
de onda que representa a partícula em todo o espaço.
 A ⋅ e ρ ⋅x

i ⋅k ⋅ x
− i ⋅k ⋅ x
Ψ ( x ) = C ⋅ e + D ⋅ e
G ⋅ e − ρ ⋅ x

x≤0
0≤ x≤a
x≥a
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Condições de contorno do problema
Para resolver o problema, devemos impor as condições
de contorno para a função de onda Ψ.
Lembremos que Ψ deve ser uma função contínua em todo
o espaço.
Assim, da definição de continuidade de uma função
temos que Ψ deve satisfazer
(
) (
) Ψ ' (x = 0 ) = Ψ ' (x = 0 )
Ψ (x = a ) = Ψ (x = a ) Ψ ' (x = a ) = Ψ ' (x = a )
−
Ψ1 x = 0 = Ψ2 x = 0
−
2
+
−
1
+
3
+
2
−
2
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
+
3
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Equações oriundas das condições de contorno
A imposição das condições de contorno nos leva a um
conjunto de quatro equações.
A=C+D
ρ ⋅ A = i ⋅ k ⋅ (C − D )
e
i ⋅ k ⋅a
(
⋅C + e
− i ⋅k ⋅ a
⋅D = e
− ρ ⋅a
)
⋅G
i ⋅ k ⋅ e i ⋅ k ⋅a ⋅ C − e − i ⋅ k ⋅ a ⋅ D = e − ρ ⋅ a ⋅ G
Manipulamos estas equações para obter um sistema
estruturado.
A−C − D = 0
e i ⋅ k ⋅a ⋅ C + e − i ⋅ k ⋅ a ⋅ D − e − ρ ⋅ a ⋅ G = 0
ρ ⋅ A − i ⋅ k ⋅C + i ⋅ k ⋅ D = 0
i ⋅ k ⋅ e i ⋅k ⋅a ⋅ C − i ⋅ k ⋅ e − i ⋅k ⋅a ⋅ D − e − ρ ⋅a ⋅ G = 0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Sistema de equações na forma matricial
Temos então um sistema de quatro equações e quatro
incógnitas (A, C, D e G), portanto este problema apresenta
solução.
Podemos escrever este sistema de equações na forma
matricial.
−1
1

−i⋅k
ρ
0
e i ⋅k ⋅ a

 0 i ⋅ k ⋅ e i ⋅k ⋅ a

−1
i⋅k
e − i ⋅k ⋅a
− i ⋅ k ⋅ e − i ⋅ k ⋅a
  A  0
    
  C  0
⋅ = 
− ρ ⋅a  
e
D
0





ρ ⋅ e − ρ ⋅a   G   0 
0
0
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
O sistema linear homogêneo
Como vemos, trata-se de um sistema linear homogêneo
(SLH).
−1
1

−i⋅k
ρ
0
e i ⋅k ⋅a

 0 i ⋅ k ⋅ e i ⋅k ⋅a

−1
i⋅k
e − i ⋅k ⋅ a
−i ⋅k ⋅e
  A  0
    
0   C  0
⋅ = 
− ρ ⋅a  
e
D
0





− ρ ⋅a  
ρ ⋅ e   G   0 
0
− i ⋅k ⋅a
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Soluções para o sistema linear homogêneo
Uma solução matematicamente possível para qualquer
SLH é a chamada solução trivial.
Esta solução é aquela na qual temos A = C = D = G = 0.
Porém, embora seja matematicamente possível, ela é
fisicamente indesejável, pois ela conduz a uma função de
onda nula em todo o espaço.
Além da solução trivial, um SLH apresenta uma outra
solução possível quando det(M) = 0, onde M é a matriz
associada ao SLH.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Condição de existência da solução não trivial
Desta forma, para que o problema tenha uma solução
diferente da trivial, vamos impor a condição para que o
determinante da matriz característica seja nulo.
1
ρ
−1
−i⋅k
i ⋅ k ⋅a
e
0
i ⋅k ⋅a
0 i⋅k ⋅e
−1
i⋅k
0
0
− i ⋅k ⋅a
− ρ ⋅a
e
− i ⋅k ⋅a
−i⋅k ⋅e
e
− ρ ⋅a
ρ ⋅e
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=0
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Determinação da energia do estado ligado
Após um exaustivo cálculo deste determinante, obtemos
uma condição que relaciona as constantes k e ρ.
Observe que as constantes k e ρ trazem em seu bojo a
energia E.
k=
2 ⋅ m ⋅ (U 0 − E )
h
2
ρ=
2⋅m⋅ E
h
2
Desta forma, ao obtermos uma expressão que relaciona
as constantes k e ρ, no fundo estaremos obtendo uma
expressão para determinarmos a energia E.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Determinação da relação entre k e ρ
O cálculo do determinante é exaustivo, porém leva à uma
relação entre as constantes k e ρ.
2⋅k ⋅ ρ
tg (k ⋅ a ) = 2
2
k −ρ
Como veremos, a solução desta equação transcendental
fornece os valores possíveis para as energias da partícula
sujeita ao poço de potencial.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Alguns truques para da determinação da energia E
Multiplicamos o lado direito desta equação por a2, tanto
no numerador quanto no denominador.
2 ⋅ (k ⋅ a ) ⋅ (ρ ⋅ a )
tg (k ⋅ a ) =
2
2
(k ⋅ a ) − (ρ ⋅ a )
Fazemos uma pequena manipulação na expressão do
vetor de onda k.
k=
2 ⋅ m ⋅ (U 0 − E )
h2
⇒
k ⋅a =
E 
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2 
1 −

2


h
U
0 

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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Mais truques para da determinação da energia E
Fazemos o mesmo tratamento para a constante ρ.
ρ=
2⋅m⋅ E
h
⇒
2
ρ ⋅a =
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2  E 
 
2
U 
h
 0
Em ambos os termos aparece o parâmetro característico
do poço de potencial, o qual denominamos α, que depende
da largura do poço a e da profundidade do poço U0.
α=
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2
h2
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Último truque para da determinação da energia E
Por fim, definimos a variável adimensional u em termos
da energia E e da profundidade do poço U0.
u=
E
U0
.
Com todos os truques descritos acima, obtemos uma
equação transcendental na variável u.
2 ⋅ u ⋅ (1 − u )
tg α ⋅ 1 − u =
1− 2 ⋅u
[
]
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Obtenção de uma solução numérica para a variável u
Agora estamos aptos a resolver esta equação
transcendental para determinar soluções para a variável u.
(1 − 2 ⋅ u ) ⋅ sin[α ⋅
Poço de Potencial
(1 − 2 ⋅ u ) ⋅ sin [α ⋅
1− u
]
(2 ⋅
) [
u ⋅ (1 − u ) ⋅ cos α ⋅ 1 − u
]
α=
] (
) [
]
1 − u = 2 ⋅ u ⋅ (1 − u ) ⋅ cos α ⋅ 1 − u .
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2
= 16,245
h2
α=
1
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2
h2
f(x)
Parâmetros utilizados:
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
m = 9,1×10-31 kg
a = 10 nm
-1
⇒
-E/U0
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U0 = 100 meV
α = 16,245
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Resultado da solução numérica para a variável u
Soluções para o caso considerado:
Poço de Potencial
(1 − 2 ⋅ u ) ⋅ sin [α ⋅
1− u
]
(2 ⋅
) [
u ⋅ (1 − u ) ⋅ cos α ⋅ 1 − u
]
α=
u1 = 0,0260
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2
= 16,245
h2
1
f(x)
u2 = 0,2885
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
α = 16,245
u3 = 0,5355
u4 = 0,7362
u5 = 0,8815
-1
-E/U0
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u6 = 0,9705
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Obtenção das soluções para as energias Ei
A partir das soluções para a variável u, determinamos as
respectivas energias Ei.
Poço de Potencial
(1 − 2 ⋅ u ) ⋅ sin [α ⋅
1− u
]
(2 ⋅
u ⋅ (1 − u ) )⋅ cos[α ⋅
1− u ]
α=
2 ⋅ m ⋅U 0 ⋅ a 2
= 16,245
h2
u1 = 0,0260
E1 = - 2,60 meV
u2 = 0,2885
E2 = - 28,85 meV
u3 = 0,5355
E3 = - 53,55 meV
u4 = 0,7362
E4 = - 73,62 meV
u5 = 0,8815
E5 = - 88,15 meV
u6 = 0,9705
E6 = - 97,05 meV
f(x)
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-1
-E/U0
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Obtenção da função de onda para o estado fundamental
1,668 ×103 ⋅ e16, 00×10 ⋅ x

ΨEF ( x ) = 1,668 ×103 ⋅ cos 2,790 × 108 ⋅ x + 5,736 ⋅ sin 2,790 ×108 ⋅ x

3
−16 , 00×108 ⋅(x −10×10 −9 )
×
⋅
1
,
729
10
e

8
[ (
)
3
PSI (10 m
-1/2
)
6
0
0
5
-6
x (nm)
)]
0≤ x≤a
x≥a
A partir da solução para o
estado fundamental é possível
determinar as constantes C, D e G
em termos da constante A.
Função de Onda
Estado Fundamental
-5
(
x≤0
10
15
A é determinada usando a
condição de normalização.
E6 = - 97,05 meV
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
O oscilador harmônico simples
Seja uma partícula quântica de massa m em movimento
harmônico simples (MHS).
Por exemplo, esta partícula pode estar presa a uma
“mola” de constante elástica k.
Desta forma, a partícula executa um movimento periódico
de frequência angular ω dada por
k
ω=
m
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
A energia potencial elástica
A energia potencial à qual a partícula quântica está
sujeita é mostrada na Figura 6.
1
2
U (x ) = k ⋅ x
2
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
A energia potencial elástica – outra versão
Às vezes é útil escrever esta energia potencial em termos
da frequência angular ω associada ao MHS.
Como vimos, temos que
k
ω=
m
⇒
k = m ⋅ω
2
Daí, isto nos leva a reescrever U(x) na forma
1
2
2
U (x ) = m ⋅ ω ⋅ x
2
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
A Equação de Schroedinger para o MHS
Para esta energia potencial a Equação de Schrödinger é
dada por
2
2
1
h d
2
2
(
)
−
Ψ x + m ⋅ ω ⋅ x ⋅ Ψ (x ) = E ⋅ Ψ (x )
2
2 ⋅ m dx
2
Reescrevemos esta equação e obtemos
d
2⋅m 
1
2
2
Ψ (x ) + 2  E − m ⋅ ω ⋅ x  ⋅ Ψ(x ) = 0
2
2
dx
h 

2
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Solução da Equação de Schroedinger para o MHS
A solução desta equação diferencial é obtida apenas pelo
método das séries de potências.
Uma boa fonte de consulta para entender o método das
séries de potências para solução deste problema é o livro
Equações Diferenciais aplicadas à Física de Kleber Daum
Machado, 2a Edição.
A solução do problema do Oscilador Harmônico Quântico
é apresentada no Capítulo 7 deste livro, pgs. 267-282.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Solução da Equação de Schroedinger para o MHS
Dada a complexidade do processo de solução, não a
desenvolveremos aqui, deixando a cargo do estudante o
interesse pela procura da solução.
Assim, vamos apenas apresentar as soluções para as
energias En e suas respectivas funções de onda Ψn.
Com esta solução, obtemos o estado da partícula em
oscilação harmônica.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
O estado da partícula quântica em MHS: a energia
As energias de um oscilador quântico são dadas por
1

En =  n +  ⋅ h ⋅ ω
2

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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
O estado da partícula quântica em MHS: a função de onda
Por sua vez, as funções de onda associadas a estas
energias são dadas por
1  m ⋅ω 
Ψn (x ) =


2 n ⋅ n!  π ⋅ h 
1/ 4
 m ⋅ω 
 m ⋅ω ⋅ x2 
 E =  n + 1  ⋅ h ⋅ ω
 ⋅ H n 
⋅ exp −
x
n

2⋅h 
h 
2



ξ=
m ⋅ω
⋅x
h
Hn(ξ): polinômios de
Hermite de ordem n.
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POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Abaixo, apresentamos a solução para o estado
fundamental (n = 0) para a partícula quântica em MHS.
n=0
E0 =
1
h ⋅ω
2
Ψ0 ( x ) =
m ⋅ω
ξ=
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
−
ξ
⋅e
π
ξ 2 ⋅x2
2
Função par
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Abaixo, apresentamos a solução para o primeiro estado
excitado (n = 1) para a partícula quântica em MHS.
n=1
3
E1 = h ⋅ ω
2
Ψ1 ( x ) =
ξ
2⋅ π
⋅ 2 ⋅ (ξ ⋅ x ) ⋅ e
m ⋅ω
ξ=
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
−
ξ 2 ⋅x2
2
Função ímpar
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Abaixo, apresentamos a solução para o segundo estado
excitado (n = 2) para a partícula quântica em MHS.
n=2
5
E2 = h ⋅ ω
2
Ψ2 ( x ) =
ξ
8⋅ π
[
]
⋅ 2 − 4 ⋅ (ξ ⋅ x ) ⋅ e
m ⋅ω
ξ=
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
2
−
ξ 2 ⋅x2
Função par
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Abaixo, apresentamos a solução para o terceiro estado
excitado (n = 3) para a partícula quântica em MHS.
n=3
E3 =
7
h ⋅ω
2
Ψ3 ( x ) =
ξ
48 ⋅ π
[
]
⋅ 12 ⋅ (ξ ⋅ x ) − 8 ⋅ (ξ ⋅ x ) ⋅ e
m ⋅ω
ξ=
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
3
−
ξ 2 ⋅x 2
Função ímpar
2
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Abaixo, apresentamos a solução para o quarto estado
excitado (n = 4) para a partícula quântica em MHS.
n=4
E4 =
9
h ⋅ω
2
Ψ4 ( x ) =
ξ
384 ⋅ π
[
]
⋅ 12 − 48 ⋅ (ξ ⋅ x ) + 16 ⋅ (ξ ⋅ x ) ⋅ e
m ⋅ω
ξ=
h
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
2
4
−
Função par
ξ 2 ⋅x2
2
PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografia
1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica; Editora
Campus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 231-298.
2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna; Elsevier
Editora; São Paulo, 2006; páginas 495-520.
3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna; Editora
Polígono; São Paulo, 1969; páginas 158-170.
4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4; Editora
Edgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 379-387.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografia
5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;
Fundamentos de Física – Volume 4 – 4a Edição; Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 182-184.
6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,
R. A.; Física IV; 10a Edição; Pearson Education do Brasil; São
Paulo, 2004; páginas 246-257.
7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna;
Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001;
páginas 153-179.
Física para Engenharia Elétrica – Potenciais Unidimensionais
Pros and Cons – Vladimir Kush