Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnщtica Conte´udo

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
5 de Março de 2006, às 8:21
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı́sica Teórica
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
29 Circuitos Elétricos
29.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
2
2
2
29.2.1
29.2.2
29.2.3
29.2.4
29.2.5
Trabalho, energia e FEM . . . .
Diferenças de potencial . . . . .
Circuitos de malhas múltiplas .
Instrumentos de medidas elétricas
Circuitos RC . . . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
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jgallas @ if.ufrgs.br
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29 Circuitos Elétricos
.8
29.1 Questões
Q 29-1.
Q 29-4.
.85+ 9
Uma determinada bateria de automóvel cuja fem é de
V tem uma carga inicial de
A h. Supondo que
a diferença de potencial entre seus terminais permaneça
constante até que a bateria esteja completamente descarregada, por quantas horas ela poderá fornecer energia na
taxa de
W?
Não. O sentido convencional da fem é sempre do
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, independentemente do sentido da corrente que atravessa a
bateria.
.:+;+
Se < é a taxa com a qual a bateria entrega energia e
é o tempo, então =><? é a energia entregue
num tempo . Se é a carga que passa através da bateria no tempo e é a fem da bateria, então @ .
Igualando-se as duas expressões para e resolvendo-se
para , temos
A < B.38,+ A.3+,9 + hW$(B.38 V$ .&CD C horas Para medir a fem use um voltı́metro com uma resistência elevada e ligue os terminais do aparelho aos
terminais da bateria sem nenhum outro circuito conectado à bateria. Para medir a resistência interna da bateria, utilize uma pequena resistência em série juntamente 29.2.2 Diferenças de potencial
com um amperı́metro (também em série). A seguir meça
a ddp através dos terminais da bateria e a corrente ,
P 29-5.
que passa no circuito série considerado. Calcule a reVe
V. Qual é o sensistência interna da bateria mediante a seguinte relação: Na Figura 29-18,
tido da corrente no resistor? Que fem está realizando
trabalho positivo? Que ponto, ou , apresenta o mais
alto potencial?
O sentido da corrente é anti-horário, determinado pelo sentido da fonte “resultante” de fem: res
29.2 Problemas e Exercı́cios
V.
29.2.1 Trabalho, energia e FEM
A fonte que realiza trabalho positivo é a que tem o mesmo sentido da fonte “resultante”; neste caso é a fonte
. Se tivessemos mais fontes no circuito, todas as que
E 29-2.
tivessem o mesmo sentido da fonte “resultante” é que
Uma corrente de A é mantida num circuito por uma fariam trabalho positivo.
bateria recarregável cuja fem é de V, durante minu- Chamando de
e
o potencial no ponto e , restos. De que quantidade diminui a energia quı́mica da pectivamente, temos, pela “regra da fem”, ao ir do ponto
bateria?
ao ponto passando através das fontes
A energia quı́mica da bateria é reduzida de uma quantidade
, onde é a carga que passa através dela
num tempo
minutos e é a fem da bateria. Se
ou seja
for a corrente, então
e
DE#F.38
HGIKJ
" L
DEMHGN
.8%JC
E
!#"%$&'$(!
.,/.102.3+54167
"
min
+ seg
$*) ,min
-
L
DO DP
" L
ORQ .38#SJI@ PNT
O ? P KUCWVX+ T
o que implica ser MPYDO .
E 29-8.
Suponha que as baterias na Fig. 29-19 ao lado tenham
Note que foi necessário converter o tempo de minutos
resistências internas desprezı́veis. Determine: (a) a corpara segundos para as unidades ficarem corretas.
rente no circuito; (b) a potência dissipada em cada resistor e (c) a potência de cada bateria e se a energia é
P 29-4.
fornecida ou absorvida por ela.
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Z E
DE[Z#G\ZE[HG]+
^ Z EE Q2Z#G G .C`8 _ VQ Ja _ V +D A (a) Seja a corrente no circuito e suponhamos que (b)
ela seja positiva quando passamos da direita para a esquerda de
. Usando a lei de Kirchhoff das malhas:
. Ou seja
(c)
< G
G
h5+*$ !+7 +5Ci$^.:+;+
< j .38;$(h5+;$A@,+;+
Watts
O fato de termos obtido um valor positivo para a corWatts
rente indica que o sentido arbitrado inicialmente foi o
sentido correto da corrente.
(d) Quando for a bateria quem estiver fornecendo cor(b) A potência dissipada pelo resistor
é
rente temos
ZE
G
<E
!+7b A$ cC`_U$d. W T
W R2
.38%!5+*$(!+7 +5C*$A.:+ Volts enquanto que a dissipada pelo resistor Z#G é
<eG]!+7b A$ G 'Ja_U$@8 W < G G
(c) Se representar a corrente que passa através de uma
h5+*$ !+7 +5Ci$^.:+;+ Watts bateria com de fem, então a bateria fornece energia a
uma taxa <FK desde que a corrente e a fem estejam
na mesma direção. A bateria absorve energia a uma taxa <>K se a corrente e a fem estiverem em direções E 29-10.
opostas. Para E a potência é
Na Figura 29-20 o potencial no ponto < é de .:+;+ V.
Qual é o potencial no ponto k ?
<^EU'+D A$&.8 V$ W
Precisamos determinar primeiramente o sentido e o
e para HG ela é
valor da corrente no circuito, para então poder determinar a queda de potencial devida a cada uma das re<fG%'+D A$&' V$ag W sistências. O sentido da corrente é aquele imposto pela
bateria mais forte: a de .35+ V: sentido anti-horário. O
Na bateria . a corrente está na mesma direção que a fem
valor da corrente é obtido usando a lei das malhas, de
de modo que esta bateria fornece energia para o circuito.
Kirchhoff. Partindo do ponto k e seguindo no sentido
A bateria está descarregando-se. A corrente na bateria 8
anti-horário temos:
flui na direção contrária da fem, de modo que a bateria
absorve energia. Portanto, ela está carregando-se.
.5+al8mil5+aWg,M+ T
ou seja
A@8,+ A Tendo este valor, partimos novamente do ponto k no
E 29-9.
sentido anti-horário, descobrindo facilmente que
Uma bateria de automóvel com uma fem de 12 V e uma
resistência interna de +D +;+5CN_ está sendo carregada com
Dn Q .3,+#S8085+IoDprqK.3+,+ V uma corrente de 5+ A. (a) Qual a diferença de potencial
entre seus terminais? (b) A que taxa a energia está sendo Portanto
dissipada como calor na bateria? (c) A que taxa a enerMnsd.3+ V gia elétrica está sendo convertida em energia quı́mica?
Sugestão: refaça o problema indo de k para < , porém
(d) Quais são as respostas dos itens (a), (b), (c) quanaplicando a lei de Kirchhoff das malhas no sentido
do a bateria é usada para suprir 5+ A para o motor de
horário. Será que suas respostas finais poderão depenarranque?
(a) Durante a carga, a corrente flui no sentido oposto der do sentido escolhido?
da polaridade da fem. Portanto
W Q .8 Q h5+*$('+D +,C*$AK.:C
E 29-11.
Volts
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"]L
Na Fig. 29-21, o trecho de circuito
absorve
de potência quando é percorrido por uma corrente
,+ W
^d.
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85S
E1
:GIuZ+
" L
t
Zo
E\2
3G
Z
3G
<duMOvP
Z
OvP < ,. + o5+ (b) Chamando-se de w um ponto qualquer que fique entre o resistor Z e o elemento t , temos
I=^
E
EY
A no sentido indicado. (a) Qual a diferença de poten. Substituindo-se
cial entre e ? (b) O elemento não tem resistência nesta expressão nos fornece
.
interna. Qual é a sua fem? (c) Qual é a sua polaridade? (b) Como tem que ser positivo, precisamos ter
. A ddp através da bateria com a maior resistência
(a) Como
, temos:
interna pode ser anulada através de uma escolha aproW
priada de . A ddp através da bateria com a menor reVolts
sistência interna não pode ser anulada.
A
P 29-22.
MOvx@DO2?DxZyd. A 08_X@8 Volts (a) Na Fig. 29-5a, mostre que a taxa na qual a energia
é dissipada em Z como energia térmica é um máximo
Portanto a fem do elemento t será
quando Z=
. (b) Mostre que esta potência máxima
G
vale <K HcC;
5$ .
z@ OvP ? Ovx ,+1S8C;J Volts (a) A corrente no circuito é dada pela relação
(c) Subtraia e some Dx ao valor de MOz?MP obtendo
{ MOz|~?} MP @{ MOz|~?} Mx Q { MxX|(S} MP A
G
Z
Q
4
Portanto x YF P , ou seja, o terminal L é o terminal
Com ela vemos que a expressão <!Z1$ que dá a energia
negativo.
térmica liberada em função de Z é:
P 29-15.
GZ G G

<
'Z
$
o
Z
(a) Na Fig. 29-23, que valor deve ter Z para que a corc
Q Z$
rente no circuito seja de . mA? Considere E 8 V,
G og V e E G og#_ . (b) Com que taxa a energia Para encontrar o valor procurado de Z vamos procutérmica aparece em Z ?
rar o ponto maximo da curva <'Z$ . O ponto de in (a) Supondo que uma corrente circula no circuito no flexão
de <!Z$ é obtido como raiz da primeira derivada:

]
<

y
Z
+ . Ou seja, da equação
sentido anti-horário e aplicando a lei das malhas no sentido horário, a partir de um ponto “a” localizado entre
os dois terminais positivos das fontes de fem, obtemos
<
G
GZ
m
8

%2 G`Q G`Q uZ Q h
EQ E
Z
c
Q G Z$ G '
Q Z$
G`Q EQ uZ G 2 E
c
Q Z$ Q Z?85Z%+D
B.:+H:$&'g Q g;$ Q .:+H&Z g1?81.
.:+H&Z +7 ,,C
Desta equação vê-se facilmente que a raiz procurada é
Z ,,C%_#
ZF
. NOTA: para garantir que a potência seja realmente máxima é preciso ainda investigar-se a segunda
(b)
derivada de <'Z$ ! Faça isto.
<e] G ZoB.:+7&$ G !,5Ci$AD ,C0.:+7M4 Watts (b) A potência máxima liberada é:
(a) Sendo a corrente no circuito, a ddp na bateria
. é Er
E e para que seja nula é preciso que
BE^
E . A lei de Kirchhoff das malhas diz-nos que
P 29-20.
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G
G
<'Zy
5$a G c
Q 5$ G ;C Página 4 de 12
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29.2.3 Circuitos de malhas múltiplas
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Z
E 29-29.

Nove fios de cobre de comprimento e diâmetro estão
ligados em paralelo formando um único condutor composto de resistência . Qual deverá ser o diâmetro de
um único fio de cobre de comprimento , para que ele
tenha a mesma resistência?

E K G @ C Z E d.3+,+]_ Z G 5+#_
Aplicando a Lei das Malhas, no sentido anti-horário,
w
Na Fig. 29-24 determine a corrente em cada resistor e a
De acôrdo com a Eq. 15 do Cap. 28, a resistência dos
diferença de potencial entre e . Considere
V,
9 fios juntos é
V,
V,
e
.
nas duas malhas indicadas obtemos:
DE[iG\ G&Z%G + T
UBEZE Q iG + T
que fornecem
uG
BE Z H G E .3+,+ +D +* A
G 1?5#+ 2C N+7 +, A "
ZK¢;¡ " ,£ ¡ G C T
onde é a área de cada fio individual.
A resistência de um fio único equivalente, com mesmo
comprimento é
#Z ¤U £jw ¡ G mC Para que tenhamos ZZ1¤ vemos que é preciso ter-se
w¥g , que é a resposta procurada.
Note que
tem sentido contrário ao que foi arbitraP 29-39.
do inicialmente no problema. Para encontrarmos a
diferença de potencial entre os pontos e computa- Dispõe-se de um certo número de resistores de
,
mos as quedas de tensão desde até :
cada um deles capaz de dissipar somente W. Que
número mı́nimo de tais resistores precisamos dispor numa combinação série-paralelo, a fim de obtermos um
resistor de
capaz de dissipar pelo menos W?
De onde descobrimos que:
Volts.

M Q C Q oM*
?
E 29-33.
Z G Z E YZ G

ZE
Duas lâmpadas, uma de resistência
e a outra de resistência ,
estão ligadas a uma bateria (a)
em paralelo e (b) em série. Que lâmpada brilha mais
(dissipa mais energia) em cada caso?
.:+¦_
.
.3+%_
§
Divida os resistores em grupos em paralelo, sendo
cada um destes grupos formado por um arranjo em série
de resistores. Como todos os resistores são iguais, a
resistência equivalente é
¨
. § j¨ Z
total
Como desejamos que Z total KZ , precisamos escolher
¨©§ .
A corrente em cada resistor é a mesma e temos um total
G
de ¨ deles, de modo que a potência total dissipada é
< total ¨ G < , sendo < a potência dissipada por apenas
um resistor. É pedido que < total Yª,< , onde <«.
W. Portanto, precisamos que ¨ G seja maior que . O
menor número inteiro satisfazendo esta condição é g , o
que fornece o número mı́nimo de resistores necessários:
¨ G , ou seja, três ramos em paralelo, cada ramo conZ
(a) Seja a fem da bateria. Quando as lâmpadas são
conectadas em paralelo a diferença de potencial atrevés
delas e a mesma e é a mesma que a fem da bateria. A
potência dissipada pela lâmpada é
ea
potência dissipada pela lâmpada é
. Como
é maior que
, a lâmpada dissipa energia a
uma taxa maior do que a lâmpada , sendo portanto a
mais brilhante das duas.
(b) Quando as lâmpadas são conectadas em série a
corrente nelas é a mesma. A potência dissipada pela
lâmpada é agora
e a potência dissipada tendo três resistores em série.
pela lâmpada é
. Como
é maior do que
, mais potência é dissipada pela lâmpada do que pela lâmpada sendo agora a lâmpada a mais brilhante P 29-40.
das duas.
(a) Estando conectadas em paralelo, não apenas a ddp
sobre as duas baterias é a mesma como também a corE 29-35.
rente (positiva para a esquerda) que circula por elas e,
ZE
Z#G
ZG
.
8
^< E2G G ZE
8 <eG#@ Z#G
. ^< ERG G 5Z1E
8 G mZ G
8
.
Z1E
.
.
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8m
%?8muZ@@+
^ Q 8,Z 5 de Março de 2006, às 8:21
uG® Z DE E~Z ZG`E[Q Z iG;E Z'ZE Q Q Z Z G Z $

Z D E EmZ !Z1G`E Q Q Z Z#E Z G:$^Q HZ G&ZG Z E

Z
portanto,
a corrente que circula em . A regra das
malhas nos fornece
, de modo que
A potência dissipada em cada resistor é
<AEU GGE Z1E 7+ g5C* W T
<eG] GG Z%G 7+ +;,+ W T
< Z 7+ °¯m+; W A potência dissipada é
G
<d G ZK '
Q 85Z Z$ G O valor máximo é obtido colocando-se igual a zero a
derivada de < em relação a Z :
<
G
G
G
Z c
Q 8,Z$ G c
C,Q 8,Z Z1$ '
c
Q1?8,Z185Z$ $ Desta última expressão verificamos que < tem um valor extremo (que tanto pode ser um máximo quanto um
mı́nimo), para Zy
,58 .
Para verificar que para ZK
,,8 o valor de < realmente

é máximo, você ainda precisa calcular G <] Z G e verificar que tal derivada é negativa para Zª
5,8 . Não
.:g A T
.:J A (b) As potências fornecidas são:
<AE® Q DEU.,b85,g W
<eG Xu(G HG]N+7/.35J W G
O resultado para a segunda fonte é negativo pois a corrente
percorre-a no sentido contrário ao sentido de
sua fem.
Observe que
, como deveria ser.
.; 8,,g+D g,C; Q +7 +;5+ Q +7/.3,J
deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que
nos problemas de máximo e mı́nimo, é sempre impres- P 29-50.
cindı́vel o cálculo da segunda derivada antes de se poder
(a) O fio de cobre e a capa de alumı́nio estão conecafirmar a natureza das soluções.
(b) A taxa máxima de dissipação de energia é obtida tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles é a
mesma e, portanto,
na expressão da potência:
substituindo-se
Zy
5,8
G
G
< max h8m
5,
$,G 8 5J P 29-46.
u±Z#±r O Z O[T
Z²
onde o subı́ndice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao
alumı́nio. Para cada um dos fios sabemos que
, ou seja,
¡i³ ("
DEyg HGd¬. ZEK_
Z#±?´¡ £j± ³ G T
Z O £! ¡ G O S³ G $ T
ZG
8_ Z C_
ZE
u±Z#±r O Z O fornecem
ZG Z
.
8
± ¡ G ± GuO ¡ O G (a) Usando a lei das malhas e a lei dos nós obtemos o
S
sistema de três equações envolvendo as três incógnitas
Resolvendo esta equação juntamente com a equação
BE , G e :
^ u± Q O , onde é a corrente total, obtem-se
G
± ! G S G $ ¡ ±± Q G O
E Z E Z E + T
iG Q uG&Z#GUE(Z1E + T
G ¡G ¡
BE Q uG,
O ! G hS SG $ ± $ ¡ Q ± G O ¡
¡
Resolvendo estas equações, encontramos:
Numericamente, encontramos
para
o
denominador
o vaE _r9:§ , e
lor de g7/.:+0.:+
BE Z E Z G`DE(Q Z%Z G EQ Z HG&Q Z Z G Z .3 A T
± .,/.,. A T
uOS+D J;,g A

Na Fig. 29-33,
V,
V,
,
,
e as duas baterias são ideiais.
(a) Qual é a taxa de dissipação de energia em ? Em
? Em
? (b) Qual é a potência da bateria ? e da que substituidas em
bateria ?
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(b) Considere o fio de cobre. Sendo
ddp, usamos a expressão
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µ¶.38
Volts a que, simplificada, fornece o resultado final
± Z ± ± £j¡ ± G ³ T
de onde obtemos
G
³ £j± Z ± .385 metros onde
·
G
<e¿S .:+;+,ZI.:+,m+;Z ZW cjQ ·v.3m+5Z · $ · G $ G T
deve ser medido em centı́metros.
P 29-52.
Z
.38
ZE
A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra resistores, cada um de
resistência , formando um cubo. (a) Determine
,
a
resistência
equivalente
entre
as
extremidades
da
diaP 29-51.
gonal de uma face. (b) Determine
, a resistência
Primeiro, devemos obter uma função
que equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo.
forneça o valor da resistência do pedaço de
que está (Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.)
em paralelo com , bem como
, que forneça a
(a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos e , o
resistência do pedaço restante de
, de modo que tenhamos sempre
, qualquer que ‘truque’ é perceber que temos os pontos e no mesmo potencial, bem como os pontos e estão no mesmo
seja o valor de .
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de moO enunciado do problema informa que a resistência
é uniforme, isto é, varia linearmente de a . Portanto, do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorção
altere as correntes. .....
.
Longos cálculos....:
Z
·
Z G c·$
Z
Z q¸Z E '·$ Q Z G c·$
Z
Z1 E5c·$
ZEÂ
J
Z
+ Z
ZEmc·$¹ · Z T
Z#G,c·$¹ Z ³ S Z1E,c·$aª);.U · - Z T
³
deve ser medido na mesma unidade que
Z E g,ZIC
8 C
C . g
. ¯
(b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos e , o ‘truque’ é perceber que temos os pontos e no mesmo
onde
, por potencial, bem como os pontos e estão no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de moexemplo, em centı́metros.
o paralelo de
com
temos do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorção
Chamando-se de
e, consequentemente, a re- altere as correntes. .....
.
Longos cálculos....:
sistência equivalente total
do circuito é
·
ZNº
Z º »Z#Z E 7'Z Q Z E $
Z
ZE
³
g ZEÂ%@5ZIm
]Z ¼
Z%¼AZ º]Q Z G Z ºNQ½ .U · Z 29.2.4 Instrumentos de medidas elétricas
³¾
Como a corrente fornecida pela bateria é a mesma corrente que passa tanto através de Z#G quanto do paralelo
ZNº , vemos facilmente que a diferença de potencial M¿ P 29-56.
sobre Z (que obviamente coincide com E sobre ZE ) Qual é a corrente, em termos de e Z , indicada pepode ser obtida da relação
lo amperı́metro " na Fig. 29-41? Suponha que a resistência do amperı́metro seja nula e a bateria seja ideal.
e Z% ¼ DZ ¿ º Z Eº $ T
Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o
terminal negativo, de c o terminal do amperı́metro que
ou seja,
está ligado entre 85Z e Z e, finalmente, de d o terminal
do
amperı́metro que está ligado entre Z e Z .
¿ ZZ º ¼ Chamemos de E a corrente que flui através de 8,Z de
a para c. Analogamente, de G a corrente fluindo de a
para d. Finalmente, chamemos de uO a corrente que flui
A potência pedida é então:
através do amperı́metro, indo de d para c. Assim, a corG
¿
rente
de c para b será BE Q uO , enquanto que a corrente
<f¿ Z
de d para b será uG%ruO . Estas informações devem ser
sobre a Figura do problema, para simplificar
ZK. À .U· fZ#$BZ Z E&7Q 'Z Z1Z1Q E:ZH!ZE($ Q Z1E&$Á G T colocadas
o uso da lei das malhas.
³
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BE Q uG
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Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi- A leitura no voltı́metro será, portanto,
nais da bateria tem o mesmo valor,
, como não por
poderia deixar de ser.
V
Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb
obtemos duas equações independentes:
& 58 Z#BE Q ZW'E Q uOA$
Z# GaQ ZWc G O $(
Além disto, temos que
BE~ZE , que é dada
'gD + ($ !7 +02.3+ $&!8,,+;$
'g,+;+ Q .3+,+;$&!8;5+ Q 7 +0.:+ $ Q h8,,+;$(hH +02.3+ $
expressão esta que nos fornece o valor
BE(Z1E .,/.38
Volts
A corrente na ausência do voltı́metro pode ser obtida da
(Ã ,8 Z%BE
expressão de E~Z1E no limite Z1ÆrÈ¶É :
(Ä Z#u Gm
ÇZ E
'gD + V$(h8,,+]_U$
Porém, como a resistência do amperı́metro (suposto E Z E Z1E Q Z#G Q 8;5+]_ Q g,+,+#_ Q .:+;+]_
ideal aqui) é nula, sabemos que DO«qÅ ÃuÄ ¢+ , ou
.;Ê. Volts seja, que
(Ã q@ (Ä O erro fracional é
Estas três últimas equações implicam termos
.,/.3%X.,/.38 +D +;g,+ T
Erro .,/.3
GNo8mBE
ou seja, g1Ë .
que, substituido na expressão acima para & nos permite determinar que BEUo8me7h¯5Z1$ e que, finalmente,
P 29-63.
O ¯5 Z A ponte de Wheatstone. Na Fig. 29-44 ajustamos o valor
de Z1Ì até que os pontos e fiquem exatamente com
o mesmo potencial. (Verificamos esta condição ligando momentaneamente um amperı́metro sensı́vel entre
P 29-58.
e
; se estes pontos estiverem no mesmo potencial, o
A corrente em Z#G é . Seja BE a corrente em ZE e amperı́metro
não defletirá.) Mostre que, após essa ajussuponha-a para baixo. De acordo com a lei dos nós, a tagem, a seguinte relação é válida:
corrente no voltı́metro é vz E , para baixo. Aplicando a
lei das malhas no laço da esquerda obtemos
Z#Í@Z Ì ZZ GE uZ G E Z E h
+D
Chamando de uÎ a corrente que passa de ZE para Z#G
Aplicando a mesma lei no laço da direita temos
e de Ä a corrente que passa de Z Ì para Z%Í , temos, suBE(Z1E[cf2BE&$ZÆr+D
pondo @ :
Resolvendo estas equações encontramos
Î Z E Ä:Z#Ì e Î Z G Ä&Z Í Z
Z
E
Q
Æ
e Z1Æ BE T
Portanto, da razão entre estas duas expressões encontramos o resultado pedido.
que quando substituida na primeira das equações acima Procedimento sugerido por um aluno: Seja E a corfornece-nos
rente em ZE e Z%G e considere-a positiva quando apontar
na direção do ponto “a” ao passar por ZE . Seja uG a cor !Z1E Q ZZ1ÆaÆ$&'Z#G Q m$ EAQ Z E E + T
rente em Z Ì e Z#Í , considerando-a positiva quando ela
apontar na direção do ponto “b” ao passar por Z Ì . Com
ou seja
esta convenção a regra da malhas fornece
Ç
Z
Æ
E 'ZE Q ZÆ`$('Z#G Q 5$ Q Z1E(Z1Æ 'ZE Q Z%G3$uBE`X!Z%Í Q Z Ì $uuG]+7 hÏ,$
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BE~ZE=uG:Z Ì
uGFBE~ZE&5Z Ì
Como os pontos “a” e “b” estão no mesmo potencial, de onde tiramos que
temos
. Esta última equação nos dá
, que quando substituida na equação (*)
acima produz
ou seja
'Z EQ Z G $H E 'Z ]Í Q Z#Ì($ Z1Z%GE E Z ÌMZ G 5Z E .
donde tiramos facilmente Z Í @1

RS @Ð; ¼'ÚÛ T
Ö ) .38%.3S8 - ln .3¯ 8Ü N+7b5g,D
Desta expressão, para K.; g0.:+ Ý segundos, encontramos
Öl .; gW+D0 ,g,.: + Ý Ü 87 CM.38\Þ s P 29-64.
Se os pontos e na Fig. 29-44 forem ligados por um
fio de resistência , mostre que a corrente no fio será
(b)
^ 'Z Q 85
5$(`'Z1'Z Ì Ì Q Z Z#Í $Í;$ Q 8,Z#ÌZ Í T
onde é a fem da bateria ideal. Suponha que Z E Z G oZ e que Z y+ . Esta fórmula é consistente com
o resultado do Problema 63? e do 56?
ty Z Ö 8H CD. .38020.3.:+ + Ý +DÊ.37.102.3+Hß F P 29-69.
E 29-66.
Zt
.3+,+
Um capacitor com uma diferença de potencial de
V
é descarregado através de um resistor quando uma chave entre eles é fechada no instante
. No instante
s a diferença de potencial através do capacitor
é V. (a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b)
Qual é a diferença de potencial através do capacitor no
instante
s?
.3+
.
29.2.5 Circuitos RC
ln
ª+
K.m¯
¥,,t
t
d Ð ¼'ÚÛ
U+
Ö
'B$a ¼'ÚÛ T
onde q 5t é a diferença de potencial existente no
instante inicial. Portanto
Öd ln ![ 5 $ ln .m.3i+ .:+;+m`Ü 87Ê.m¯ s
(b) Para d.m¯ s, Öd.m¯,,8H/.¯
¯i J,g e obtemos
Ü
o Ð; ¼'ÚÛ B.:+;+;$HÐ; Â&à Ü g7 ,W0.:+7 G V Quantas constantes de tempo devem decorrer até que um
(a) A diferença de potencial através das placas do
capacitor em um circuito
esteja carregado com me- capacitor está relacionada à carga na placa positiva penos de % de sua carga de equilı́brio?
la relação
, onde é a capacitância. Como a
carga em um capacitor que se descarrega é controlada
A equação que rege a carga de um capacitor é
por
, onde é a carga no instante
e
é a constante de tempo, isto significa que
.
1ot#aB.NÐ]Ó*Ñ,Ô Ò $ot#aB.UÐfÑ,Õ Ò $
onde Ö é a constante de tempo. A carga de equilı́brio é
atingida para yÉ , valendo então t# . Portanto
.3+,+#. t#2ot#aB.UÐfÑ,Õ Ò $ T
.:+,+
ou seja, ×/Ø .U+D ;mMdUCM ;+;1KUmÖ , fornecendo

CM ;+;^Ö7
E 29-68.
P 29-71.
(a) Basta igualar-se as duas expressões para a carga
Um capacitor de
F com uma energia inicial armazenum capacitor:
nada de
J é descarregado através de um resistor de
M . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual
o valor da corrente através do resistor no momento em
que a descarga inicia? (c) Determine
, a voltagem
Ù t t##);.UÐ; ¼'ÚÛ - T
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. _
+7b
.]Þ
±
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D¿
através do capacitor, e
, a voltagem através do resis- novamente com medido em segundos.
tor, em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração
de energia térmica no resistor em função do tempo.
(a) A energia armazenada num capacitor é áA±â
G H!8;t$ , onde t é a capacitância e é a carga inicial
na placa. Portanto
ã 8;tIá ± ã 87B.02.3+ Ý F$(!+7b J$
.0.:+7 C
. mC ¼'ÚÛ , onde Ö
(b) A carga em função do tempo é 1@ Ð
P 29-72.
g _
2@C
.UÞ
Um resistor de M e um capacitor de
F estão ligados em um circuito de uma única malha com uma fonte
de fem com
V. Após s de feita a ligação, quais
são as taxas nas quais: (a) a carga do capacitor está aumentando; (b) a energia está sendo armazenada no capacitor; (c) a energia térmica está aparecendo no resistor
e
(d) a energia está sendo fornecida pela fonte de fem?
é a constante de tempo. A corrente é a derivada da carga
em relação ao tempo:
(a) A carga na placa positiva do capacitor é dada por

Ad Ö Ð, '¼ ÚÛ .
1ot# À U. SÐ; ¼'ÚÛ Á T
t
[O sinal negativo é necessário pois a corrente de descarga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu
onde é a fem da bateria, é a capacitância, e
durante o processo de carga.]
constante
de tempo capacitiva. O valor de é
A corrente inicial é dada pela expressão acima no instante
:
. A constante de tempo é
F
s
F
s
Ö
ÖlZtK!gW02.3+,ÝU_U$(B.I02.3+HÝ $ @g Para Ad. s temos
.s
Ö g s Ü +D g;g,g
Ö
é a
A + @ Ö
Ö[email protected].:+7Ý $(.0.:+;ÝN_U$d. Portanto
.0.:. + s C . mA ¼cÛ em M±r,,t obtendo então
(c) Substitua 1@ Ð
± cB$a t Ð; ¼'ÚÛ ..0202.3.3++ Ý CF Ð, ¼'Ú&ä E så e a taxa com a qual a carga está aumentando é
t# ¼'ÚÛ
¼
Ö Ð; B.02.3+ g Ý sF$&cC V$ Ð; à
.0.:+;:$^Ð; V T
onde é medido em segundos.
¼'ÚÛ em D¿SuZ , obtendo
D ;02.3+H Â C/s Substitua ^' mÖD$HÐ
Ü
Observe que ‘Coulombs/segundo’ é a definição de
D¿U'B$¹ Ö Z Ð ¼'ÚÛ
Ampère, a unidade de corrente.
A energia armazenada no capacitor é dada por áA±?
B.I0.:+ B.C$&s.$ 0.:+ Ý _U$ Ð, ¼'Ú&ä E så (b)
G H h8,t$ e sua taxa de carga é
á±
B.I0.:+,:$HÐ; ¼ V T
t
com medido em segundos.
¼'ÚÛ em <d G Z , obtendo Para A d. s temos
(d) Substitua A! ÖD$HÐ
G
<cB$¹ Ö GZ Ð G ¼'ÚÛ
t# À .USÐ ¼'ÚÛ Á
»
G
.0.:+ B.C$ s$ B.G 02.3+ Ý _U$ Ð G ¼'Ú&ä E så
.02.3+ Ý F$('C V$ À .UÐ à Á
.3$7Ð G ¼ W T
Ü ,. /.:g0.:+ Ý C T
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Usando a lei dos nós e a lei das malhas obtemos
de modo que
á±
Lei dos nós è
BE\uG Q T
) .,/. .:g002.:+ .3+ Ý Ý FC - 'D ;0.:+ Â C/s$
Malha esquerda è
R2BE(Z1E[uG&Z#G]+ T
,
.
,
+
J
0
:
.
H
+

Ý
W
Ü
Malha direita è
uG(Z#GU2 Z @+7
(c) A taxa com a qual a energia está sendo dissipaG
da no resistor é dada por <æ Z . A corrente é Como todas as resistências são iguais, podemos des7b,0.:+ Â A, de modo que
prezar os subı́ndices, escrevendo apenas Z , onde Zq
@Z%G]@Z .
<d'7b,0.:+7 Â A$ G !gW0.3+,Ýj_U$ Ü 8H°¯CW0.:+HÝ W AZ EUúltima
das três equações acima nos diz que ªuG

resultado que, substituido na primeira das equações aci(d) A taxa com a qual a energia é fornecida pela bateria ma, nos da uG]BE&,8 . Com isto tudo, não é difı́cil agora
é
usar-se a equação do meio para obter-se que
Â
©!7b,02.3+H A$('C V$ Ü g7 J;80.:+7Ý W BEU g;8mZ gM87'+B.D,b¯5b8g00.:.:+ + Ý V_U$ $Ü .;Ê.0.:+7 A
A energia fornecida pela bateria é ou armazenada no
capacitor ou dissipada no resistor.
conservação da energia requer que
O princı́pio da
z á±a Q G Z Os valores numéricos acima satisfazem o princı́pio de
conservação, como se pode verificar facilmente.
P 29-78.
e, consequentemente, que
G g, Z Dg !+7.,°b8¯mg0202.3+.3+ Ý V_U$ Ü Hb02.3+ M4 A Em oÉ
o capacitor estará completamente carregado sendo portanto zero a corrente no ramo que contém
o capacitor. Então EUuG e a lei das malhas fornece
E~Z1E[uG&Z#G]+ T
2K.; 8 dt 7b%Þ o que nos fornece a solução
Z E ¥Z G ª
Z ¥+Db¯5g _
t
ç
ao+ E G 85 Z 87!+7.,°b8¯mg0202.3+.3+ Ý V_U$ Ü J7b802.3+ M4 A + oÉ
(b) Considere a placa superior do capacitor como senD G
#Z G
do positiva. Isto é consistente com a corrente que
%+ ]FÉ
flui em direção a esta placa. As leis dos nós e das
MG =+ É
malhas são BEdG Q , odBE~ZédBE~Zê¹+ , e
oÉ
I !,5t$] Z Q uG(Zµâ + . Use a primeira equação
para substituir BE na segunda e obter 28muG(Zz Zo
+ . Portanto G cK Z$Hh85Z$ . Substitua esta expressão na terceira equação acima obtendo então
I!,5t$\d' Z$ Q ce,8,$\d' ZI58,$«+ . Substitua
agora por , obtendo

,
g
Z
Çë
8 Q t 8 (a) Em + o capacitor está completamente descarregado e a corrente no ramo do capacitor é a que Como não é difı́cil de reconhecer, esta é a equação de
terı́amos se o capacitor fosse substituido for um fio con- um circuito Zt em série, exceto que a constante de temdutor. Seja BE a corrente em ZE ; tome-a positiva quando po é Ö?>g,Zt158 e a diferença de potencial aplicada é
aponta para a direita. Seja G a corrente em Z%G , positiva ^58 . A solução é, portanto,
quando apontar para baixo. Seja a corrente em Z ,

H'B$ t#8 À .USÐ G ¼'Ú&ä ¿ ± å Á positiva quando apontar para baixo.
No circuito da figura abaixo,
kV;
F;
M . Com completamente
descarregado, a chave é subitamente fechada (
).
(a) Determine as correntes através de cada resistor para
e
. (b) Trace um gráfico que descreva qualitativamente a queda do potencial através de
desde
a
. (c) Quais são os valores numéricos de
em
e
. (d) Dê o significado fı́sico de
no presente problema.
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¼'Ú&ä ±
(c) Para o+ , o fator exponencial Ð G ¿ å é igual a
G ¼'Ú&ä ¿ ± å
.e
cB$` ,g Z Ð .; 80.:+ V C;+;+ V D
%
G
g
g
A corrente no ramo do centro é
G cB$ 85 Z 8 8, Z , Z Ð G ¼'Ú&ä ¿ ± å Para A oÉ , o fator exponencial Ð G Ú&ä ¿ ± å é zero e
; Z«À g1SÐ G ¼'Ú&ä ¿ ± å Á
DG% 8 .; 808 .:+ V ,+;+ V enquanto que a diferença de potencial ao atravessar-se
Z G é
(d) O significado fı́sico de “tempo infinito” é um certo
'
¼
&
Ú
ä
±
G
¿
å
intervalo de tempo suficientemente grande para que se
MG*cB$aG:Zy À g1Ð; Á possa considerar como sendo zero o valor da corrente
Gráfico de DG;cB$ : faça-o você mesmo, usando a equação que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo
acima!! É uma curva que parte do valor ì5G]emg , cres- de tempo deverá ser muitas vezes maior que a constante
de tempo caracterı́stica do circuito em questão.
cendo assimptóticamente para o valor e58 .
A corrente no ramo que contém o capacitor é
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