apostila projeto pibid/2011 subárea – matemática razões
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APOSTILA PROJETO PIBID/2011 SUBÁREA – MATEMÁTICA RAZÕES PROPORÇÕES PORCENTAGENS JUROS BOLSISTAS: AILTON GOMES DA SILVA ALEX FERREIRA LOPES ANTÔNIO MARCOS PEREIRA ORIENTADOR: Prof. Antonio Joaquim Rodrigues Feitosa João Pessoa, Abril de 2013 1 RAZÃO E PROPORÇÃO PARTE TEÓRICA Razão é uma técnica matemática usada para fazer comparações entre duas quantidades, entre duas medidas ou entre duas grandezas diversas. Isto é feito examinando-se o quociente entre duas medidas ou duas grandezas. Por exemplo, se quisermos examinar a concentração de alunos numa escola, calculamos o quociente entre o número de alunos e a área da escola. O termo razão significa divisão, isto é, a razão de certo número a por certo número é o quociente que se lê está para , também indicado em forma de fração, , só que neste caso não se lê como fração, mas como a parte a parte representando tantas vezes parte ou o contrário , representando tantas vezes a parte , isto é , o inverso da razão Exemplos: A razão para é o quociente . A razão de 6 para 7 é o quociente . Como fração se lê meio para a primeira situação e seis sétimos para o segundo caso, com razão se lê 1 está para 2, ou seja, para cada duas unidades temos uma, para a segunda situação lemos, 6 está para 7, ou seja, para cada 7 unidades temos 6 unidades. A fração está expressando divisão em partes iguais e a razão está expressando uma comparação. Por exemplo: Numa partida de basquete um jogador faz 18 arremessos e acerta 4, a razão entre o número de acertos e de arremessos é: O que significa que em cada nove arremessos ele acerta dois, isto é uma comparação entre o número de arremessos e o número de acertos. Lendo este quociente simplesmente como uma fração significa que de todos os arremessos ele acertou dois nonos (2/9). Uma lanchonete, “Delícias de Sucos”, estabelece a seguinte tabela de preparação de sucos: Ingredientes Suco Puro Água Rendimento Uva 3 2 5 Maracujá Manga 6 8 4 10 10 18 Esta tabela informa que: a) Para cada 5 volumes de suco de uva adiciona-se 3 partes de suco puro e duas partes de água; b) Para cada 10 volumes de suco de Maracujá adiciona-se 6 partes de suco puro e 4 partes de água; c) Para cada 18 volumes de suco de Manga adiciona-se 8 partes de suco puro e 10 partes de água. Com esta tabela, usando a definição de razão a lanchonete pode se planejar para suas demandas, isto é, quando a lanchonete vender 50 copos de suco quantos copos de suco pronto ela usou e quantos copos de água ela usou. O mesmo tipo de planejamento ela pode fazer para os outros tipos de suco. Para realizarmos estes cálculos necessitamos de outras definições e propriedades das razões. Razão entre grandezas da mesma espécie: É o quociente entre grandezas que podem ser reduzidas à mesma unidade de medida. Por exemplo. A distância entre João Pessoa e Campina Grande é 120.000 m e entre João Pessoa e Natal 258 km. Qual é a razão entre as distâncias de João Pessoa a Campina Grande e João Pessoa à Natal. 2 Exemplo: Uma rampa tem 15 m de altura, uma pessoa após caminhar 20 m sobre a rampa observa que está a 4 m de altura do solo. Quantos metros têm à rampa? Razão entre grandezas de espécie diferentes: É a razão entre grandezas com unidades de medidas que não podem ser reduzidas à mesma unidade. Por exemplo, uma grandeza medida em quilômetros e outra medida em horas, cujo quociente expressa a velocidade em quilômetros por horas, exemplo: Um automóvel percorreu em duas horas. Qual é a razão entre o espaço percorrido por este automóvel e tempo gasto para percorrer os . O automóvel passa uma hora para percorrer . Na sala de aula do 3ª ano B deste colégio existem 20 alunos e 25 alunas. Qual é a razão do número de alunos para o número de alunas. Isto significa que para quatro alunos existem cinco alunas nesta turma. Exemplo: Densidade Demográfica: É a razão entre o número de habitantes que moram em mesma região e a área da região: O estado do Ceará tem uma área de densidade demográfica do estado do Ceará? Isto significa que em cada área de e uma população de habitantes, qual é a vivem 44.000 habitantes. REPRESENTAÇÃO EM ESCALA A escala é um procedimento matemático muito utilizado para fazer comparações entre medidas e, por isto é muito usado para fazer representações de medidas muito grandes em espaços muito reduzido, como é o caso de se representar numa folha de papel o mapa de um país ou de um estado, como por exemplo, o mapa do estado da Paraíba que é representado na escala 1:46.000, portanto o desenho de uma rodovia, de uma ferrovia, da planta de uma casa, a área de uma região e muitos outros desenhos, são exemplos de representações em escala. Como a escala é um instrumento usado para fazer comparações entre duas medidas na mesma unidade, 3 a escala é obtida dividindo o tamanho representado no desenho pelo tamanho real na mesma unidade de medida, isto é; A escala é geralmente representada por , onde é a quantidade de unidades representada no papel, os dois pontos servem para anunciar que a medida na realidade é vezes maior do que a que está representada no papel. Assim a escala 1:46.000 do mapa do estado da Paraíba, significa que cada unidade representada no papel na realidade é 46.000 vezes maior. No contexto matemático, uma escala é uma razão entre duas grandezas. Nestas notas vamos considerar razões entre grandezas medidas na mesma unidade. Veja a representação do mapa do Brasil desenhado na escala 1: 44.000.000 na figura abaixo. Todas as distâncias desenhadas nesta figura é na realidade quarenta e quatro milhões de vezes maiores (44.000.000 de vezes maiores). Oprazerdageografia.blogsport.com. acessado em 04/2013 Exemplo: A distância de João Pessoa para Campina Grande é 150 Km, evidentemente esta distância é impraticável para se representar numa folha de papel, ao invés disto representamos esta distância numa folha de papel por 3 cm. Qual é a escala? Sabemos que a . Então a escala em que foi representada a distância de João Pessoa para Campina Grande por centímetro no papel é equivalente a 50.000 centímetros na realidade. é , isto é, cada Os problemas de escalas tratam de explorar as seguintes questões, dada a escala e a distância no papel encontrar a distância real. Dada a distância no papel e a distância real determinar a escala, comparação entre duas escalas. Dizemos que uma escala E1 é maior ou menor que outra E2 se, para uma mesma representação no desenho a escala E1 representa uma amplificação real maior ou menor que a escala E2. Dizer que uma escala E1 é maior que a escala E2 significa que o desenho na escala E1 é mais nítido do que na escala E2. Por exemplo, se na escala E1 uma distância é representada por 3m e na escala E2 esta mesma distância é representada por 2m, dizemos que a escala E1 é maior que a escala E2. Para isto é importante que as escalas em questão estejam representadas na mesma unidade de medida. 4 Exemplo: A distância entre João Pessoa e Alagoa Nova é 155 Km. Qual é esta distância em centímetros representada em um mapa na escala 1:46.000 e em outro mapa numa escala de 1:31.000. Qual a escala maior? Números Proporcionais: Para compreendermos números proporcionais, vamos analisar a seguinte situação problema: Qual das duas receitas, para preparação de sucos,indicadas abaixo produzirá um suco mais concentrado? Receita 1 – Um pacote de poupa de frutas para 5 copos de suco: Receita 2 – Dois pacotes de poupa da mesma fruta para 10 copos de suco: Concluímos que os sucos têm a mesma concentração. Neste caso dizemos que os números proporcionais. Então os números são proporcionais se a razão entre eles são iguais, isto é, Os termos da proporção são os números são Na proporção; a : b ::c :d meios extremos Os termos e são chamados de extremos e os termos De maneira semelhante se diz que os números se, e são chamados de meios. são, respectivamente, proporcionais aos números, Exemplo de utilização dos números proporcionais: Num colégio o número de alunos é proporcional ao número de alunas. Se a razão entre o número de alunos e o número de alunas é e no colégio existem , quantas alunas existem no colégio. Seja e Exemplo: Problema das Torneiras: Duas torneiras, A e B, juntas enchem um tanque em 4 horas. Determine em quanto tempo a torneira B, sozinha, enche o tanque se a primeira torneira enche este tanque em 12 horas. Solução: Se a torneira A enche o tanque em 12 horas, em forma de razão representamos isto por . Se representa o tempo que a torneira B leva para encher o mesmo tanque, da mesma forma, em termos de razão representamos por . Então juntas, representamos por , então , ou seja a torneira B levará 6 horas para encher o tanque. Exemplo: Três torneiras, A, B, e C, abastecem uma caixa d’água com capacidade para 6.160 litros. A torneira A despeja 9 litros por minuto, a torneira B despeja 10 litros por minuto e a torneira C despeja 11 litros por minuto. Em quanto tempo as três torneiras juntas, abertas simultaneamente, enchem este mesmo tanque? 5 Propriedades das Proporções: 1- Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, Com esta propriedade já podemos estudar as questões surgidas com o planejamento da lanchonete “Delicias de Sucos”. Se a lanchonete “Delicias de Sucos”, preparar 50 copos de suco de uva quantos copos de suco puro ela usa e quantos copos de água ela usa. Para cada 5 partes de suco pronto foram adicionados 3 partes de suco puro e 2 partes de água, então para 50 partes de suco pronto foram adicionados x partes de sucos puro e y partes de água. Então: 2- Numa proporção a soma e a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo assim como a soma e a diferença do terceiro e quarto termo está para o terceiro termo, isto é, e também a soma e a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo assim como a soma e a diferença do terceiro e quarto termo está para o quarto termo, isto é Grandezas Diretamente Proporcionais: Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre seus valores é constante. Se as grandezas são, respectivamente, diretamente proporcionais às grandezas , temos; E também é válida a seguinte propriedade; Grandezas Inversamente Proporcionais: Duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre seus valores é constante. Se as grandezas são, respectivamente, inversamente proporcionais às grandezas , temos; Que é equivalente a igualdade entre suas razões inversas, Exemplos: Verifique se os números . Temos; são, respectivamente, inversamente proporcionais aos números Como foi verificado o produto, dizemos que os números são inversamente proporcionais. Exemplo: Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2 e a 3. O problema consiste em encontrar as partes tais que sabendo-se que então . Assim , então , logo e . Ora como . Exemplo: Num torneio de ciclismo de 1000 metros os competidores registraram os escores indicados na tabela abaixo; 6 Ciclistas 1 2 3 4 5 Velocidade (m/s) 5 8 10 16 20 Tempo (m) 200 125 100 62,5 50 Qual foi o tempo gasto por um ciclista que andou os 1000 metros com uma velocidade de ? Qual foi a velocidade de um ciclista que gastou 80 minutos para percorrer os 1000 metros? PORCENTAGENS A porcentagem é a maneira de relacionar dados com referencia a 100. Quando se diz, dois por cento (2%), significa que estamos relacionando a quantidade dois com 100, isto é, em cada 100 estamos tirando dois ou em cada 100 estamos aumentando dois. O número acompanhado do símbolo % indica por cento, por exemplo, 10%, se lê 10 por cento e significa que em cada 100 aumentamos ou diminuímos 10. Quando se diz que as passagens de ônibus aumentaram 3% significa que a cada R$ 100,00 a passagem aumenta R$ 3,00. Neste sentido a porcentagem é uma razão de denominador 100. Toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem, cujo numerador é parte de 100 que foi atribuída. Para resolver problemas de porcentagem utilizase as regras desenvolvidas com os números proporcionais. Exemplos: 1) Os plásticos por sua versatilidade e menor custo relativo, tem seu uso cada vez mais crescente. Da produção anual brasileira de plásticos de cerca 2,5 milhões de toneladas, 40% são destinados a indústria de embalagem. Quantos milhões de toneladas de plásticos produzidos pela indústria brasileira não são destinada a indústria de embalagens. Adaptado de prova do ENEM 2005. Solução. Se 40% de 2.5 milhões de toneladas são destinados a indústria de plásticos significa que 60% não são destinados a indústria de embalagens , portanto; 2.5 milhões é equivalente a 2.500.000 quilos e se de cada 100 quilos 60 quilos não são destinados a indústria de embalagens, então de 2.500.000 quilos, x quilos não são destinados a indústria de embalagens. 2) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de poluição que mais afligem as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental. 7 Adaptada da prova do ENEM 2005 Responda, guiando-se pelo mesmo tipo de abordagem que praticamos na questão anterior: a) Qual das três cidades é menos afetada com poluição do ar? b) Qual das três é menos afetada com a poluição de esgoto.? c) Sobre uma população 970.890 qual das três cidades tem maior número de habitantes afetados pela poluição de dejetos tóxicos. d) sobre uma população 1.700.640 habitantes qual das três cidades tem menor número de habitantes afetados pela poluição sonora. 3) Em um estudo feito pelo instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistema paulista desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de S. Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformação da Mata Atlântica. Calcule os percentuais solicitados nos itens abaixo guiando-se pelos procedimentos anteriores. a) Qual o percentual de preservação da mata Atlântica no período 1971 – 1973 com relação ao período 1962 1963. b) Qual é o percentual de devastação da floresta natural da mata atlântica do período 1962 – 1963 para o período 1990 – 1992. c) Quantos por cento foi devastado a mais no período 2000 – 2001 da vegetação natural. d) Em 2000 – 2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990 – 1992 foi de 34,6%. 8 e) Qual o percentual de devastação da vegetação natural do período 1962 – 1963 relativos ao período 1971 – 1973. Adaptado do ENEM 2005 PARTE PRÁTICA 1ª Questão: (ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de: a) 12 kg b) 16 kg c) 24 kg d) 36 kg e) 75 kg. 2ª Questão: (ENEM 2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas de cada um. Na primeira etapa do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6: 5: 4, respectivamente. Na segunda etapa do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4: 4: 2, respectivamente. Sabe-se que um deles levou 50 laranjas a mais na segunda parte do trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem transportaram na segunda parte do trajeto? a) 600,550, 350 b) 300, 300, 150 c) 300, 250, 200 d) 200, 200, 100 e) 100, 100, 50 3ª Questão: (ENEM 2012) Em um blog de variedade, musicais, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura em “Divertido”,”Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. Prova do ENEM 2012 Questão 164 prova Amarela O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabe-se que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximado por: a) 0.09 b) 0.12 c) 0.14 d) 0.15 e) 0.18 9 Responda a seguinte questão: Em relação aos que disseram que os “Contos de Halloween” é divertido quantos a menos, aproximadamente, disseram ser assustador? a) 15% b) 64.28% c) 35.71% d) 37% e) 28,78% 4ª Questão: (ENEM 2012) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir. Hipoglicemia Taxa de glicose menor ou igual a 70 mg/dL Normal Taxa de glicose maior que 70 mg/dL e menor ou igual a 100 mg/d\l Taxa de glicose maior que 100 mg/dL e menor ou igual a 125 mg/dL Taxa de glicose maior que 125 mg/dL e menor ou igual 250 mg/dL Taxa de glicose maior que 250 mg/dL Pré-diabetes Diabetes Melito Hiperglicemia Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de a) Hiperglicemia, b) Normal c) pré-diabete d) diabete melito e) hiperglicemia 5ª Questão: (ENEM 2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constatando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectares (10 000m2). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectares)2é a) 20,25 b) 4.50 c) 0.71 d) 0.50 e) 0.25 6ª Questão: (ENEM 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficarão maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado). Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000 A resistência elétrica e as dimensões do condutor 7ª Questão: (ENEM 2010) A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção transversal (A); • resistência (R) e área da secção transversal (A). dado o mesmo comprimento(l) e • comprimento (l)e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência(R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes. 10 As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R)e com perímetro (l), resistência (R) e a área da secção transversal (A), e entre comprimento (l) e a área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. 8ª Questão: (ENEM 2010) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critério de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir. Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze,sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de2004? a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 9ª Questão: (ENEM 2010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1.000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1 538 10ª Questão: (ENEM 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto e num só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Dispon´ıvel em: www.cbat.org.br (adaptado). 11 Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m,e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre; a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. 11ª Questão: (ENEM 2010 )Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Claudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 109 12. Questão: (ENEM 2012)Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. Prova do ENEM 2012, questão 137 prova amarela. Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V 13. (ENEM – 2010) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132000,00 em 2008 e de R$ 14500,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado. (A) insuficiente (B) regular C) bom (D) ótimo (E) excelente 14 (ENEM – 2010) Uma bióloga conduziu uma série de experimentos demonstrando que a cana-de-açúcar mantida em um ambiente com o dobro da concentração atual de CO2 realiza 30% mais de fotossíntese e produz 30% mais de açúcar do que a que cresce sob a concentração normal de CO2. Das câmaras que mantinham esse ar rico em gás carbônico, saíram plantas também mais altas e mais encorpadas, com 40% mais de biomassa. Disponível em: http://revistapesquisa.fapesp.br. Acesso em: 26 set 2008. Os resultados indicam que se pode obter a mesma produtividade de cana numa menor área cultivada. Nas condições apresentadas de utilizar o dobro da concentração de CO2 no cultivo para dobrar a produção da biomassa da cana-de-açúcar, a porcentagem da área cultivada hoje deveria ser, aproximadamente, (A) 80% (B) 100% (C) 140% (D) 160% (E) 200% 12 15 (ENEM – 2010) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de (A) 16% (B) 24% (C) 32% (D) 48% (E) 64% 16 (ENEM – 2010) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Fonte: IBGE. Disponível em: http//www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (Adaptado). Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? (A) 5.513 (B) 6.556 (C) 7.450 (D) 8.344 (E) 9.536 17. (ENEM – 2010) Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%. Disponível em: planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 2 maio 2009. Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, (A) 22,5% (B) 50,0% (C) 52,3% (D) 65,5% (E) 77,5% 18 (ENEM – 2010) O gráfico expõe números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde. 13 acordo com o gráfico, entre as demais categorias a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de (A) indígenas. (B) gestantes. (E) crianças de 6 meses a 2 anos. (C) doentes crônicos. (D) adultos entre 20 e 29 anos. 19. (ENEM – 2009) A taxa anual de desmatamento na Amazônia é calculada com dados de satélite, pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), de 1º de agosto de um ano a 31 de julho do ano seguinte. No mês de julho de 2008, foi registrado que o desmatamento acumulado nos últimos 12 meses havia sido 64% maior do que no ano anterior, quando o INPE registrou 49.741 Km2 de floresta desmatada. Nesses mesmos 12 meses acumulados somente o estado de Mato Grosso foi responsável por, aproximadamente, 56% da área total desmatada na Amazônia. Jornal O Estado de São Paulo. Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 30 ago. 2008 (adaptado). De acordo com os dados, a área desmatada sob a responsabilidade do estado do Mato Grosso, em julho de 2008, foi (A) inferior a 2.500 km2. (B) superior a 2.500 km2 e inferior a 3.000 km2. (C) superior a 3.000 km2 e inferior a 3.900 km2 . (D) superior a 3.900 km2 e inferior a 4.700 km2. (E) superior a 4.700 km2. 20. (ENEM – 2009) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas. 14 Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a. (A) 23.940. (B) 32.228. (C) 920.800. (D) 23.940.800. (E) 32.228.000. 21. (ENEM – 2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria (A) renegociar suas dívidas com o banco. (B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. (C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. (D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. (E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 22. (ENEM – 2009) A cada ano, a Amazônia Legal perde, em média, 0,5% de suas florestas. O percentual parece pequeno, mas equivale a uma área de quase 5 mil quilômetros quadrados. Os cálculos feitos pelo Instituto do Homem e do Meio Ambiente da Amazônia (Imazon) apontam um crescimento de 23% na taxa de destruição da mata em junho de 2008, quando comparado ao mesmo mês do ano de 2007. Aproximadamente 612 quilômetros quadrados de floresta foram cortados ou queimados em quatro semanas. Nesse ritmo, um hectare e meio (15 mil metros quadrados ou pouco mais de um campo de futebol) da maior floresta tropical do planeta é destruído a cada minuto. A tabela abaixo mostra dados das áreas destruídas em alguns Estados brasileiros. Estado Acre Amazonas Mato Grosso Pará Rondônia Roraima Tocantins Total Agosto/2006 a junho/2007 (km2) 13 146 2.436 1.322 381 65 6 4.370 Agosto/2007 a junho/2008 (km2) 23 153 2.074 1.936 452 84 29 4.754 Variação 77% 5% -14% 46% 19% 29% 383% 9% Correio Braziliense, 29 jul. 2008. Supondo a manutenção desse ritmo de desmatamento nesses Estados, o total desmatado entre agosto de 2008 e junho de 2009, em valores aproximados, foi (A) inferior a 5.000 km2. (B) superior a 5.000 km2 e inferior a 6.000 km2. (C) superior a 6.000 km2 e inferior a 7.000 km2. (D) superior a 7.000 km2 e inferior a 10.000 km2. (E) superior a 10.000 km2. 23. (EXAMES DO MEC) Todo ano os brasileiros precisam acertar as contas com o Leão, ou seja, com o Imposto de Renda (IR). Suponha que, se a faixa salarial anual de um contribuinte está entre R$ 15.085,45 e R$ 30.144,96, 15 então ele deve pagar 15% de IR. Logo, para verificar o valor devido, basta multiplicar a renda total no ano por 0,15. Nessa situação, se uma pessoa teve uma renda anual de R$ 20.000,00, o valor devido a título de IR é de (A) R$ 120,00 (B) R$ 300,00 (C) R$ 1.200,00 (D) R$ 3.000,00 24. (EXAMES DO MEC) Uma empregada doméstica tem salário mensal de R$ 700,00. Todo mês, sua patroa recolhe ao Instituto Nacional de Seguro (INSS) o percentual de 19,65% sobre o valor do seu salário. Esse percentual é dividido em duas parcelas. Uma delas é de 12%, que compete à patroa recolher, e a outra é descontada do salário da empregada. O salário líquido dessa empregada é (A) R$ 646,45, porque são descontados 7,65% do seu salário mensal. (B) R$ 616,00, porque a patroa paga 12% de INSS do seu salário mensal. (C) R$ 562,45 porque a patroa recolhe 19,65% do seu salário mensal. (D) R$ 560,00, porque são descontados cerca de 20% do seu salário mensal. 25. (EXAMES DO MEC) Um grupo de artesão resolveu criar uma cooperativa para, entre outras coisas, realizar bazares itinerantes e vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada associado doa 14% do valor de suas vendas para o fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui gastos mensais de, no mínimo, R$ 749,00, deve ser feito um esforço conjunto dos associados para venderem por mês um total de, pelo menos, (A) R$ 10.486,00. (B) R$ 8.709,30. (C) R$ 5.350,00. (D) R$ 1.048,60. 26. (EXAMES DO MEC) Para facilitar o pagamento de qualquer eletrodoméstico, no valor à vista, uma loja oferece a seguinte condição: uma entrada de 40% e o restante dividido em duas parcelas iguais. Se um cliente comprasse uma tevê de 29 polegadas de R$ 1.280,00, o valor da parcela seria representado numericamente por (A) (0,04 1280):2. (B) (0,06 1280):2 (C) (0,40 1280):2 (D) (0,60 1280):2. 27. (EXAMES DO MEC) “Os operários de hoje fabricam em uma semana o que seus colegas do séc. XVIII faria em quatros anos. Esse aumento de produção fez com que se elevasse o consumo de tal maneira que, em 2000, registrou-se uma produção quatro vezes maior que a de 1960”. Adaptado de Galileu. Nossa história no lixo: Abril 2004 Com base nestes dados, o percentual da produção de 1960 em relação ao de 2000 é (A) 16%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 28%. 28. (EXAMES DO MEC) Em 2002, o número de turistas aumentou em 20% na cidade do Rio de Janeiro. Em 2003, devido à violência, esse número decresceu 20% em relação a 2002. O número de turistas em 2003, em relação a 2001, foi (A) o mesmo. (B) o dobro. (C) o triplo. (D) menor. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Juros Simples Em muitas ocasiões necessitamos realizar compras a prazo ou fazer empréstimos bancários para suprir necessidade ou então emprestar dinheiro para rentabilidade. Em todas estas ocasiões pagamos pelo dinheiro envolvido na operação ou o recebemos em rendimentos. Estes pagamentos ou rendimentos são denominados de juros. Portanto juros são quantidades em dinheiro que pagamos ou recebemos em operações financeiras. Estes juros são de duas modalidades: Juros Simples e Juros Compostos, que vamos definir no desenvolvimento teórico. Nesta parte, vamos desenvolver primeiramente a matemática dos cálculos de juros simples. Vamos supor que uma pessoa fez um empréstimo bancário de R$ 100,00 a 2% ao mês. Isto significa que em cada mês ele paga R$ 2,00, já que 2% significam R$ 2,00 em cada 100. Então um mês ele paga R$ 2,00, em dois meses ele paga R$ 4,00, em três meses ele paga R$ 6,00 e, assim por diante, ou seja, o juro é diretamente proporcional ao 16 tempo, ao capital e a taxa, Isto é, enquanto maior o capital, a taxa e o tempo maior é o juro a ser pago. Quando uma quantidade é proporcional a duas ou mais quantidades ela é proporcional ao produto destas quantidades. Então neste caso denominando-se , , de e de , obtemos que; Observação: A taxa deve estar sempre relacionada a uma unidade de tempo, isto é, por exemplo: Taxa anual, ; Taxa mensal, Taxa diária, O montante é a quantidade total a ser paga, ou seja, o capital mais o juro, . Exercícios resolvidos: 1. Uma pessoa empresta a outra, a juros simples , a quantia de R$ 3.000,00 pelo prazo de 4 meses, a taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? Resolução: Dados do problema: Capital aplicado (C): R$ 3.000,00; Tempo de aplicação (t): 4 meses; Taxa (i): 2% ao mês (Obs.: a taxa deve ser expressa na forma decimal), ou seja, 0,02 a. m. Temos que: Substituindo-se os dados na fórmula, teremos: Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros. 2. A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? Resolução: Dados do problema: C = 20000; T = 3 anos; J = 28800; I = ? (Obs.: como o tempo está em ano, devemos ter uma taxa anual). 17 Resposta: ao ano. Parte prática 29. Um agricultor fez um empréstimo de R$ 5.200,00 e vai pagá-lo em 5 meses, a uma taxa de 1,5% ao mês. a) Qual a quantia de juros que o agricultor vai pagar por mês? b) Após os 5 meses, qual o total (empréstimo + juros) pago pelo agricultor? 30. Uma aplicação de R$ 40.000,00 rendeu, em 3 meses, R$ 3.000,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros? 31. Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses, gerou um montante de R$ 260,00. Qual a taxa mensal de juros ao mês? 32. (FGV – SP) Um investidor norte-americano traz para o Brasil 500.000 dólares, faz a conversão dos dólares para reais, aplica os reais por um ano à taxa de 18% ao ano e no resgate converte os reais recebidos para dólares e os envia para os Estados Unidos. No dia da aplicação um dólar valia R$ 1,10 e, um ano depois, na data do resgate um dólar valia R$ 1,20. a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicação, considerando os valores expressos em dólares? b) Quanto deveria valer um dólar na data de resgate (um ano após a aplicação) para que a taxa de rendimento em dólares tivesse sido de 12% ao ano. Juros Compostos Vamos analisar o seguinte problema, no sistema de juros simples: Um capital de R$ 100,00 foi aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 3 meses. Qual foi o montante no fim dos 3 meses? No sistema de capitalização a juros simples Capital = R$ 100,00 Rendimento Nº de meses Montante Simples 1 2 3 No sistema de capitalização a juros compostos Capital = R$ 100,00 Rendimento Nº de meses Montante Composto 1 2 3 Sendo assim, no fim dos 3 meses o montante composto é de R$ 106,12. No sistema de juros compostos, deve-se calcular os juros no fim de cada período, formando um montante sobre o qual se calculam os juros do período seguinte, até esgotar o tempo da aplicação (é o que se chama de “juros sobre juros”). Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. Fórmula para o cálculo de juros compostos 18 Utilizando o problema dado como exemplo, vamos calcular os montantes de juros compostos, mês a mês: Capital inicial C: R$ 100,00; Taxa i: 2% ao mês ou 0,02. No primeiro mês, obtemos: 1 No segundo mês, obtemos: 2 No terceiro mês, obtemos: No n-ésimo mês o montante será obtido pela fórmula, . Conseqüentemente, para um capital , aplicado a uma taxa de juros compostos , durante um período tempo obtemos, a seguinte forma para o montante obtido a juros compostos: . No sistema de juros compostos, o juro é a diferença entre o montante e o capital, isto é, . Exercício resolvido 1. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6.000,00, à taxa de 1% ao mês? Resolução Dados do problema: Então, Logo, a pessoa receberá de juros R$ 369,12. Parte prática 33. Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. 34. Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? 35. (ENEM – 2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para comprar o carro, João deverá esperar: (A) dois meses, e terá a quantia exata. (B) três meses, e terá a quantia exata. 19 (C) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. (D) quatro meses, e terá a quantia exata. (E) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. Bibliografia: [1] Palhares, Pedro, Gomes Alexandre, Amaral Elza e et al, Complementos de Matemática para professores do Ensino Básico, Ed LIDEL, Lisboa – Porto. Setembro de 2011. [2] Exames do ENEM, EXAMES do MEC 2006 a 2012 [3] Queiroz, Amélia Maria N. Pessoa de, Matemática Transparente, Ed. LF, 2011, S.P. 20 APOSTILA PROJETO PIBID/2011 SUBÁREA – MATEMÁTICA PROBABILIDADE BOLSISTAS: COORDENADOR: Prof. Antonio Joaquim Rodrigues Feitosa João Pessoa, Abril de 2013 ATIVIDADE PIBID – NOÇÕES DE PROBABILIDADES 21 1 - Introdução: O conceito de probabilidade é usado para medir as chances de se obter um resultado que não temos certeza de seu acontecimento antecipadamente, por exemplo; Medir as chances de um candidato do sexo feminino passar num concurso em que existem 80 vagas oferecidas e existem 400 candidatos do sexo feminino inscritos e 600 candidatos do sexo masculino inscritos. Medir as chances de se retirar bola da cor branca de uma sacola que tem 6 bolas de cor preta, 4 bolas de cor branca e duas de cor verde retirando-se uma bola dessa sacola em uma única vez. Na primeira situação não temos, antecipadamente certeza que um candidato do sexo feminino seja aprovado no concurso porque o número de vagas oferecidas é muito menor que o número de candidatos inscritos, neste caso todas as vagas poderão ser preenchidas ou nenhuma das vagas podem ser preenchidas. Mesmo que, por hipótese todas as vagas sejam preenchidas não temos a certeza antecipada que uma delas seja preenchida por um candidato do sexo feminino. Os mesmos tipos de incertezas acontecem com a segunda situação. A imprevisibilidade é um fenômeno muito presente no cotidiano e, as suas maneiras de estimar são muito usadas para se fazer planejamentos. 2- Desenvolvimento Teórico: Os acontecimentos são chamados de fenômenos e estes classificados em: Determinísticos – São aqueles em que podemos prever antecipadamente seu resultado, por exemplo, se abandonarmos uma pedra do alto de um edifício, antecipadamente sabemos que ela vai cair. Se chover temos certeza que os telhados das residências vão ficar molhados. Aleatórios – São aqueles que não podemos prever seus resultados, por exemplo, numa partida de futebol não podemos prever antecipadamente o resultado de um time. Num lançamento de um dado não podemos prever antecipadamente qual é a quantidade de marcas da face que fica voltada para cima. Em probabilidade estudam-se fenômenos aleatórios. Os fenômenos Aleatórios podem ser acontecimentos certo, provável, improvável ou impossível, por exemplo; Ao retirar uma bola de uma sacola que contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Não podemos garantir antecipadamente que esta bola seja branca ou preta. Assim os acontecimentos: “Obter uma bola branca” e “obter uma bola preta” são acontecimentos possíveis mas não são certos. “Obter uma bola branca” ou “obter uma bola preta” é acontecimento certo, pois temos certeza que sairá uma bola com uma das duas cores, porque na cesta só tem bolas com estas cores. “Obter uma bola de cor azul” é um acontecimento impossível, porque na cesta não tem bola azul “Obter uma bola presta” ou “não preta” é um acontecimento certo, porque na cesta só tem bola preta ou não preta. “Obter uma bola branca ou amarela” é um acontecimento possível (mas não é certo) porque na sacola tem bola branca. “Obter uma bola não amarela” é um acontecimento certo, porque na cesta não tem bola de cor amarela. Os acontecimentos certos sempre ocorrem, os acontecimentos possíveis podem ocorrer, mas não são certos, os acontecimentos impossíveis nunca ocorre. Ao realizarmos um experimento pode acontecer o resultado esperado ou pode não acontecer. Experimento Aleatório: É um processo de obtenção de resultados ou medida que apresenta a seguinte característica: Não temos certeza, antes de realizar o experimento, qual será o resultado a ser obtido, mas podemos obter um conjunto de resultados possíveis. Exemplos: Lançamento de um dado não viciado e observação das faces voltadas para cima; Puxar uma carta de um baralho e observar seu Naipe. 22 Retirar uma bola de uma sacola com várias bolas de várias cores e observar a cor da bola. Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, representado por . Para cada experimento haverá um espaço amostral único associado a ele - casos possíveis, por exemplo: Exemplos: Definir os espaços amostrais associados às situações abaixo. Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. Resposta: Todos os resultados possíveis são Cara ou Coroa, . Observar o número de meninos em uma família de 5 filhos. Resposta: Como a família pode ter no mínimo zero meninos e no máximo 5 meninos, então Evento: É uma parte do Espaço Amostral – Casos favoráveis. Um evento pode conter um ou mais resultados, se pelo menos um resultado ocorrer o evento ocorre. Exemplo: Lançamento de um dado não viciado e observação da face voltada para cima: Espaço Amostral . Vamos definir os eventos, Aparecer às faces voltadas para cima com números pares de marcas, . Aparecer às faces voltadas para cima com os números ímpares de marcas . Aparecer às faces voltadas para cima com números de marcas maiores ou iguais a três . Definição: Uma situação problema é probabilística se ela pode ser caracterizada pelas três condições: Um experimento – que é a própria situação problema; Um Espaço amostral - Por todos os casos possíveis de acontecer; Um Evento - Pelos casos favoráveis, Por exemplo: Retirar uma bola de cor branca de uma sacola que tem 3 bolas brancas e 2 pretas com uma única retirada. Experimento – Retirar uma bola de uma sacola que tem 3 bolas brancas e 2 pretas de uma única vez. Espaço Amostral . Escolher uma das cinco bolas. Evento – . Escolher uma das três bolas brancas. Definição de probabilidade (P): Observação: Como o , então . Exemplos: 1) No seguinte experimento: Lançamento de um dado e observação do número de marcas na face voltada para cima, calcular a probabilidade dos seguintes eventos: a) Aparecer uma face com um número ímpar de marcas b) Aparecer uma face com um número par de marcas c) Aparecer uma face com um número de marcas maior ou igual a três Solução: Num lançamento do dado as faces que podem aparecer voltadas para cima são as com , marcas, logo o espaça amostral marcas é , o evento com número par de marcas é marcas maior ou igual a 3 é a) com seis elementos. O Evento com número ímpares de e o Evento com número de ; b) c) 2) No experimento: Retirar uma bola de uma sacola que tem 3 bolas brancas e duas pretas, calcular a probabilidade dos seguintes eventos. 23 a) Retirar uma bola de cor Branca; b) Retirar uma bola de cor preta. Solução: Vamos adotar os símbolos para representar as bolas brancas e para as bolas pretas, então o espaço amostral . O evento retirar uma bola branca é , semelhantemente, o evento retirar uma bola de cor preta é . Então e e, , logo e 3) Numa sacola tem 20 bolas numeradas de 1 a 20. No experimento retirar uma bola desta sacola e observar o número, qual é a probabilidade do número retirado ser par ou ser um múltiplo de cinco. Solução: Ao retirar uma bola da sacola podemos obter qualquer número entre 1 e vinte inclusive, então como o espaço amostral é formado por todos casos possíveis tem-se que, e, neste caso temos dois eventos , o que é formada pelos bolas de números pares e o pelas bolas cujos números são múltiplos de 5, isto é, Observe que as bolas de números e que é formado estão nos dois eventos. Então a união dos dois eventos é: É o conjunto de todos os casos possíveis, de se retirar uma bola com número par ou múltiplo de 5. Então a probabilidade de se retirar uma bola de número par ou múltiplo de cinco é; Outra maneira de se calcular esta probabilidade e que é amplamente usada é calcular a probabilidade do evento e do evento , somar estas duas probabilidades e subtrair da probabilidade do evento interseção , os fundamentos deste método é originado no cálculo do números de elementos da união de dois conjuntos, pois, Conseqüentemente, dividindo pelo número de elementos do espaço amostral, temos Que resulta em; Então, neste caso temos, Este é o método de se calcular a probabilidade de ocorrer os eventos ou ou ambos. Muitas vezes recorremos aos diagramas de VEEN, da linguagem de conjuntos, para representar esta situação, como na figura ao lado. A porção destacada com a cor verde representa a ocorrência simultânea de elementos do evento 24 e . Quando não ocorrem elementos simultaneamente nos dois eventos, dizemos que os eventos são MUTUAMENTES EXCLUDENTES, isto é, . Exemplo, na sacola com bolas numeradas de 1 a 20, retirar uma bola com número ímpar, e uma bola com número divisível por quatro, , são eventos multuamentes excludentes. Como , temos . Considere agora o seguinte problema: Numa comunidade moram 800 pessoas sendo 400 adultos, 100 crianças e 300 adolescentes. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa desta comunidade, qual é a probabilidade de não ser criança. A técnica para resolver este tipo de problema chama-se CALCULO DA PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR, ou técnica da negação, que também se fundamenta no conceito de complementar de conjuntos. Relembrando, considerando o conjunto universo como sendo o espaço amostral e um subconjunto A de como sendo um Evento , o complementar de vamos designar por . Da teoria dos conjuntos, sabemos que e que e que pelo que já sabemos sobre probabilidade temos que ea , então; Logo; Então para resolver o problema de retirar uma pessoa da comunidade que não seja criança vamos utilizar esta técnica. Fazendo as devidas comparações temos; O universo é o conjunto de todas as pessoas que morem na comunidade. Neste caso existem três eventos, : ser adulto; ser criança; ser adolescente. Não ocorrer o evento significa que pode correr o evento ou o evento ou os eventos e simultaneamente, mas os eventos , são multuamentes excludentes, isto é, e , e , então, a probabilidade de não ser criança é probabilidade do evento , isto é, Probabilidade Condicional: É a probabilidade de ocorrer um Evento B sabendo que já ocorreu um evento A, que é expressa na linguagem estatística como, encontrar a probabilidade de B dado A e é representado na linguagem matemática por . Se quisermos encontrar a possibilidade de B ocorrer já tendo ocorrido A então o número de casos possível fica reduzido ao evento , que nesta situação passa a ser o Espaço Amostral, e o número de casos favoráveis passa a ser passa a ser , que se ler a probabilidade de ocorrer o evento dentro de todos os casos possíveis de ocorrência do evento . Exemplo: Em uma urna foram colocadas bolas numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma dessas bolas, calcule: A probabilidade de o número retirado ser par, sabendo que ele é maior que 7. A probabilidade de o número ser maior que 7, dado que ele é par. Solução: Pelo que expomos acima, temos: 1. O evento A é “O número ser maior que 7”, logo 2. O evento B é “O número ser par”, logo, 3. O evento “ser par maior que sete é” que é exatamente Logo; 25 Primeira situação: Segunda situação: Queremos saber qual a probabilidade do numero ser maior que sete sabendo que ele é par, A probabilidade condicional oportuniza possibilidade de calcular a probabilidade da interseção de dois eventos, pois sendo; Temos, No exemplo acima primeiro caso temos. e a probabilidade de ocorrer Se os eventos e são independentes, a ocorrência , então; independe da ocorrência de , logo , não há restrição do espaço amostral. Assim a probabilidade da interseção é dada por, Exemplo: (Adaptada do ENEM 2010) A figura I abaixo representa vias que ligam a cidade A com a cidade B. Cada número na Fig II indica a probabilidade de se pegar um engarrafamento quando se passa na respectiva via, por exemplo, ao se deslocar de C para B pela via E5 há uma probabilidade 30% de se pegar um engarrafamento Qual é a probabilidade de uma pessoa se deslocar do ponto A para o ponto B e enfrentar o menor engarrafamento 3 - PROBABILIDADE DE UMA SUCESSÃO DE EVENTOS 26 Seja um evento de um espaço amostral não vazio. Considere um fenômeno que pode se repetir muitas vezes, tais como lançamento de uma moeda, a qual podemos lançar várias ou, lançamento de um dado com as faces numeradas de 1 a 6, que também podemos lançar várias vezes. Por exemplo, no lançamento de uma moeda três vezes obtemos o seguinte espaço amostral, Qual é a probabilidade de sair duas caras em dois destes lançamentos? Veja que destes lançamentos podemos obter , ou podemos obter três em oito, e que em dois , então . Em situações mais geral isto pode ser obtido aplicando a seguinte formulo, Onde r Uma moeda lançada três vezes qual é a probabilidade de sair duas caras em dois destes três lançamentos? Observe que a probabilidade de ocorrer cara é a mesma de não ocorrer coroa, isto é neste fenômeno. Espaço amostral equiprovável é aquele em que todos seus elementos têm à mesma chance de ocorrer. Os espaços amostral que tratamos até aqui são considerados equiprovável. Num lançamento de uma moeda em que a face cara tem duas vezes mais chance de sair voltada para cima não é um fenômeno equiprovável. Exemplos: Um dado foi lançado de tal maneira que num lançamento a probabilidade de ocorrer a face com um número par de marcas voltado para cima é 3 vezes maior do que a probabilidade de ocorrer a face com número impar de marcas voltado para cima, sendo que as três faces de números pares ocorrem com mesma chance, bom com as de números ímpares. Determine a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos: i) ii) Observe que , ea . Por outro lado , então , então e . 4 - EXERCÍCOS 1ª Questão: ( adaptada do ENEM 2012) O diretor de uma escola leu em uma revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos a média do tamanho dos calçados das mulheres era 35,5 e, hoje é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com os funcionários do colégio, obtendo o quadro a seguir, Tamanho do Calçado Número de Funcionário 39,0 1 38,0 10 37,0 3 36,0 5 35,0 5 Escolhendo um funcionário ao acaso e sabendo que ele tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ele calçar 38,0 é; a) b) c) d) e) 2ª Questão: Numa turma de 50 alunos do colégio, 15 são do sexo masculino e 35 são do sexo feminino. 27 Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de: Ela ser do sexo Feminino se foi aprovada no exame; Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino 3ª Questão: Considere uma urna numerada de a . Qual é a probabilidade de retirarmos a bola 1 e, sem reposição a bola 2?. 4ª Questão: (Adaptada da Prova do ENEM) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Cor Urna 1 Urna 2 Amarela 4 0 Azul 3 1 Branca 2 2 Verde 1 3 Vermelha 0 4 Uma jogada consiste em: a) Um jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; b) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; c) Em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; d) Se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha. Solução: Este problema trata de saber a probabilidade de ocorrer um Evento B sabendo que já ocorreu um evento A, isto é, retirar da urna 2 uma bola com a mesma cor do palpite feito início do jogo, então neste caso o resultado a ser obtido ao retirar a bola da urna 2 está condicionado ao palpite, logo aplicamos diretamente as técnicas da probabilidade condicionada. Observe que podem ser feitos seis palpites diferentes, porque existem seis cores diferente de bolas, logo devemos fazer seis procedimentos de cálculos. Vamos fazer dois palpites e os outros vocês fazem como exercício. 1º Palpite possível: retirar uma bola de cor Amarela. Considere os eventos: = Tirar bola amarela da Urna 1 = Tirar bola amarela da Urna 2. 2º Palpite possível: retirar uma bola de cor Azul. Considere os eventos: = Bola Azul da Urna 1 = Bola Azul da Urna 2. 5ª Questão: (adaptada do ENEM 2008) O ministério do Desenvolvimento Social e combate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvido 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressam no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros abaixo, 28 a) Calcule a probabilidade das pessoas viverem na rua pelo motivo do alcoolismo e droga ou por terem perdido seus empregos; b) Calcule a probabilidade das pessoas viverem na rua pelo motivo do alcoolismo e droga ou por decepção amorosa, c) Calcule a probabilidade daqueles que vivem na rua porque perderam o emprego ou porque terminaram o ensino superior; d) Dentre os pesquisados, determine o número daquelas que vivem na rua por motivos familiares e perda de moradia. 6ª Questão: Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo: Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 de sinal em “X” distribuídas entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em 29 determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, qual é probabilidade de um cliente ganhar o prêmio? Dica para a solução: Veja que o jogador tem a possibilidade de ganhar o jogo tirando um bola em cada linha de maneira independente e, além do mais, como na linha 4 tem duas bolas e na linha 5 tem duas bolas e, como em cada linha tem pelo menos uma bola, então nas linhas 1, 2 e 3 tem exatamente uma bola em cada uma. Com esta dica construa sua solução. 7ª Questão: A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cana. idosos crianças Problemas respiratórios causados pelas queimas Problemas respiratórios de outras causas Outras doenças totais 50 150 150 210 60 90 260 450 Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado neste hospital por problema respiratório causado pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a. a) 0,26 que sugere a necessidade de implantação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratório. b) 0.50 o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas. c) 0.63 o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciando. d) 0.67 o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas. e) 0.75 o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimada, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado. Observação: Observe que este problema se limita somente a população da segunda coluna da tabela e trata de uma probabilidade simples. 8ª Questão: Copiado da prova do ENEM 2007. Uma das principais causas da degradação de peixe fresco é a contaminação por bactérias. O gráfico apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura de peixes frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal é que esses peixes sejam vendidos com temperatura entre 2° C e 4° C. Selecionando-se aleatoriamente uma das cinco peixarias pesquisadas: a) qual a probabilidade de ela vender peixes frescos na condição ideal; b) Qual a probabilidade de ele vender peixe com temperatura de 4° C; c) Qual a probabilidade de ela vender peixe com temperatura abaixo de 15° C e acima de 8° C. 30 9ª Questão: O Google site de busca da internet criado há doze anos, usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de pesquisa de forma muito eficiente. Na rede mundial de computadores, são realizadas, a cada segundo, 30.000 buscas, em média. A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total entre os maiores sites de busca, Sites Google Yahoo Microsoft Outros Total Buscas 21.000 2.700 800 5.500 30.000 De acordo esses dados, se duas pessoas fazem simultaneamente uma busca na internet, qual a probabilidade de que pelo menos uma delas ter usado o Google. Observação: Trata-se de um problema em que os eventos são independentes e é conveniente encontrar a probabilidade das duas pessoas não terem acessado o Google e subtrair de 100%, porque de outra maneira voce necessita fazer muito cálculo. 10ª Questão: Uma caixa contém bolas azuis, brancas e amarelas, indistinguíveis a não ser pela cor. Na caixa existem 20 bolas brancas e 18 azuis. Retirando-se ao acaso uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser amarela é 1/3. Calcule o número de bolas amarelas. Bibliografia: [1] PALHARES, ALEXANDRE, GOMES, ALEXANDRA & AMARAL, ELZA, Complementos de Matemática para Professores do Ensino Médio, ed. LIDEL, Lisboa – Porto, 2011. [2] JULIANELLI, José Roberval, et al, Curso de Análise Combinatória e Probabilidade, ed. Ciência Moderna, RJ 2009 [3] GRACIA, WANDER, Como se Dar Bem novo NOVO ENEM, 3ª Edição, ed. Foco, Campinas S.P, 2011 31
