Física Atómica e Nuclear

Física Atómica e Nuclear – Capítulo 6. Átomos num Campo Magnético.
Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão.
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Física Atómica e Nuclear
Notas de Aula
6.4.3 Teoria Quântica do Efeito Zeeman Anómalo com Acoplamento Spin-Órbita
Nesta secção estudaremos o acoplamento spin-órbita através da mecânica quântica. O
objectivo é dar uma justificação exacta do modelo vectorial do acoplamento spin-órbita.
Estamos interessados especificamente no acoplamento LS, e em justificar porque L2 S 2
e J 2 podem ser substituídos por l l  1 , ss  1 e j  j  1 , respectivamente. Quando
ignoramos o acoplamento spin-órbita, as energias do movimento orbital e de spin
(momento magnético) num campo magnético são aditivas. Isto significa que o
Hamiltoniano total corresponde simplesmente a soma do Hamiltoniano do movimento
orbital (6.39 - efeito Zeeman normal) e de spin (6.91) e a equação de Schrödinger será:
 2
 1 
e ˆ  

S  B   i
   eA   eV 

me
t


 2me  i
(6.116)
Esta equação é conhecida na literatura como a equação de Pauli. Como os
Hamiltonianos são aditivos e aplicados a graus de liberdade inteiramente diferentes,
podemos escrever a função de onda  como um produto da função de onda do
movimento orbital pela função de onda de spin.
Agora podemos tratar a interacção spin-órbita através do formalismo da
mecânica quântica. Para isso precisamos introduzir a expressão da energia de interacção

obtida anteriormente (4.5) em termos de operadores: o momento angular L passará a

̂
̂
operador momento angular L e o spin S passará a operador spin S . Obtemos:
ˆ ˆ
 Ze2 1 ˆ ˆ
Wˆ  L, S   0 2 3  L  S 

 8me r 

(6.117)
Acrescentamos este termo na equação de Schrödinger independente do tempo (com o
termo quadrático desenvolvido como em (6.41) - efeito Zeeman normal):
 e2 A2
 2 2
e 
e
e ˆ  0 Ze2 1  ˆ ˆ 



A





A


eV

SB
 L  S   E


2mei
2mei
2me
me
8me2 r 3 
 2me
(6.118)
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Para campos magnéticos baixos a interacção spin-órbita domina, por isso vamos
examinar primeiro a equação de Schrödinger na ausência de campo magnético (os

termos que não contém A ):
 2 2
0 Ze2 1  ˆ ˆ 


eV

 L  S   E


8me2 r 3 
 2me
(6.119)
Substituindo V  Ze / 40r na equação obtemos:
 2 2

Ze2
0 Ze2 1  ˆ ˆ  




L  S  r   E r 

2
3

40r 8me r 
 2me
(6.120)
̂
Como já vimos anteriormente o operador S é uma matriz, e por isso a função de onda
fica com duas componentes:
  
 r    1 
 2 
(6.121)
onde  1 corresponde ao spin  e  2 ao spin .
A interacção spin-órbita mistura estados de spin com estados orbitais, fazendo
com que seja necessário introduzir novos números quânticos. Sem a interacção spinórbita a função de onda é do tipo:
 n ,l , m, m  Rn,l r Ylm  ,  m
s
s
(6.122)
m
onde Ylm  ,   Nlm Pl cos eim é a parte espacial e  m s a função de onda de spin.
A função de onda (6.122) é caracterizada pelos números quânticos: principal n,
momento angular orbital l, magnético m e de spin ms. Para determinar os números
quânticos aplicáveis a interacção spin-órbita precisamos levar em conta as
considerações feitas anteriormente a respeito do momento angular orbital e examinar os
parâmetros para saber aqueles que podem ser observados simultaneamente. Como já
vimos anteriormente isto pode ser feito com a ajuda das relações de comutação. Se
ˆ ˆ ˆ
introduzirmos o operador momento angular total J  L  S e a sua componente na
direcção z, Ĵ z os seguintes parâmetros podem ser observados, com a precisão desejada,
 
 
 
simultaneamente: L2 , S 2 , J 2 , J z , L  S e J  S . Como temos L  S , podemos
caracterizar uma função de onda escolhendo os números quânticos que são valores
próprios dos operadores: Ĵ 2 , L̂2 , Ŝ 2 e Ĵ z . Temos as seguintes relações entre os
operadores e os números quânticos:
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Jˆ 2  j
Sˆ 2  s
106
Jˆ z  m j
Lˆ2  l
(6.123)
O acoplamento spin-órbita é muito menor que o espaço entre os níveis de energia, e por
isso o número quântico principal n continua a ser um bom número quântico e numa boa
aproximação ainda caracteriza a função de onda própria. A função de onda fica então
caracterizada por:
 n,l , m, m  Rr  (Função angular e de spin)
(6.124)
s
Teremos uma função de onda própria para o operador momento angular e de spin, uma
vez que, como já vimos, o acoplamento spin-órbita induz orientações relativas do
momento orbital e de spin.
Primeiro vamos estudar o efeito do campo magnético levando em conta a
interacção spin-órbita. Na equação de Schrödinger (6.118) podemos ignorar o termo
com A2 , uma vez que para um campo magnético muito pequeno este termo é muito

menor que os outros termos. Escolhemos um campo magnético B na direcção z e:
1
Ax   By
2
1
Ay   Bx e Az  0
2
(6.125)
 
e  A  0.
Com isso a equação de Schrödinger com o campo magnético, torna-se:
  2 2 Ze 2
e
e ˆ
0 Ze 2 1  ˆ ˆ 
ˆ




B
L

S
B

 L  S   E

z
z

40 2me
me
8me2 r 3 
 2me
(6.126)

Para o caso mais geral em que o campo magnético B tem outras componentes, o
Hamiltoniano tem a forma:
  2 2 Ze 2
e  ˆ e  ˆ 0 Ze 2 1  ˆ ˆ 
 

B  L
BS 
 L  S   E


40 2me
me
8me2 r 3 
 2me
(6.127)
ˆ   Ze 2 1  ˆ ˆ 
  2 2 Ze 2
e   ˆ




B

L

2
S

 0 2 3  L  S   E


 8me r 

2
m
4

2
m
e
0
e

(6.128)
ou
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107
Consideramos o caso em que o campo magnético é fraco, de maneira que a interacção
spin-órbita seja maior do que a interacção com o campo magnético externo. Agora
estamos na posição de justificar o modelo vectorial através da teoria quântica. Seja o
operador (relacionado com a energia devido ao campo magnético externo):

eB ˆ
Wˆmag 
Lz  2 Sˆ z
2me

(6.129)
mas como Jˆ  Lˆ  Sˆ , podemos escrever Lˆ  Jˆ  Sˆ . Substituindo em Ŵmag , obtemos:

eB ˆ
Wˆmag 
J z  Sˆ z
2me


(6.130)

Se tivéssemos Jˆ z  Lˆ z  Sˆ z em vez de Lˆ z  2Sˆ z , a solução seria muito simples e
análogo ao tratamento de um electrão sem spin (efeito Zeeman normal, só que tínhamos
Ĵ z em vez de L̂ z ) e a função de onda, que já estava caracterizada pelo número quântico
mj, também poderia ser função própria do operador Jˆ  Lˆ  Sˆ . O que queremos agora
z
z
z
é saber o que acontece quando temos o operador Jˆ z  Sˆ z , ou seja quando temos o termo
adicional Ŝ z . Vamos considerar:

Sˆz Jˆ 2  Sˆz Jˆ x2  Jˆ y2  Jˆ z2

(6.131)
Esse termo pode ser reescrito na forma:


ˆ ˆ
ˆ ˆ
Sˆz Jˆ 2  Sˆz Jˆ x2  Jˆ y2  Jˆ z2  Jˆ z  S  J   Jˆ z  S  J 




 

(6.132)

ˆ ˆ
 Sˆz Jˆx2  Jˆ y2  Jˆ z2  Jˆ z Sˆx Jˆ x  Sˆ y Jˆ y  Sˆz Jˆ z  Jˆ z  S  J 


(6.133)
ˆ ˆ
 Sˆz Jˆ x2  Sˆz Jˆ y2  Sˆz Jˆ z2  Jˆ z Sˆx Jˆ x  Jˆ z Sˆ y Jˆ y  Jˆ z Sˆz Jˆ z  Jˆ z  S  J 


(6.134)

 

ˆ ˆ
 Sˆz Jˆ x  Jˆ z Sˆx Jˆ x  Sˆz Jˆ y  Jˆ z Sˆ y Jˆ y  Jˆ z  S  J 


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(6.135)
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Quando aplicamos os dois primeiros operadores sobre as funções próprias de Ĵ z e de
̂
J , eles se anulam. Então ficamos somente com o último termo. Assim:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
Sˆ z Jˆ 2  Jˆ z  S  J   Jˆ z S   L  S   Jˆ z  S  L  Sˆ 2 





 
(6.136)
Anteriormente no acoplamento spin-órbita tínhamos que:
  1
S  L  J 2  L2  S 2
2


(6.137)


(6.138)
Substituindo na expressão (6.136) teremos:
1

Sˆz Jˆ 2  Jˆ z  Jˆ 2  Lˆ2  Sˆ 2  Sˆ 2 
2

É importante observar que estes parâmetros são operadores. Agora vamos aplicar estes
operadores na função  , que é caracterizada pelos números quânticos j, mj, l e s.
Assim:




2

1

Sˆz Jˆ 2  Jˆ z  Jˆ 2  Lˆ2  Sˆ 2  Sˆ 2   Jˆ z 
j  j  1  l l  1  ss  1   2 ss  1 
2

2

(6.139)
2

Sˆz  2 j  j  1  Jˆ z  j  j  1  l l  1  ss  1 
2
(6.140)
ou
j  j  1  l l  1  ss  1 ˆ
Sˆz 
J z
2 j  j  1
(6.141)
Se aplicarmos Ŵmag sobre  :


eB ˆ
Wˆmag 
J z  Sˆ z 
2me
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(6.142)
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obtemos:
eB 
j  j  1  l l  1  ss  1  ˆ
1 
 J z
Wˆmag 
2me 
2 j  j  1

(6.143)
ou
eB 
j  j  1  l l  1  ss  1 
1 
m j
Wˆmag 
2me 
2 j  j  1

(6.144)
A variação de energia de um estado quântico n , j , l e m j é:
E j ,l , m j 
e
Bgm j
2me
(6.145)
Podemos inferir que se trata do factor de Landé comparando com (6.110):
g  g j  g L 1 
j  j  1  l l  1  ss  1
2 j  j  1
(6.146)
Anteriormente o factor de Landé foi derivado intuitivamente através do modelo
vectorial, onde utilizamos a lei dos cossenos e substituímos J 2 por j  j  1 2 ,
L2 por l l  1 2 e S 2 por ss  1 2 . O cálculo da mecânica quântica apresentada aqui
fundamenta essa substituição.
6.5 Efeito Paschen – Back

Quando o campo magnético externo B é mais intenso do que o campo magnético


atómico interno, ele destrói o acoplamento entre S e L (numa primeira aproximação).
 

Neste caso S e L precessionam independentemente em torno da direcção de B (Figura
6.9). Com isso o número quântico do momento angular total, j, perde o significado,
porque os momentos angular e de spin são quantizados individualmente. Este caso
limite é denominado de efeito Paschen – Back, observado para campos externos pouco
superiores a 1 tesla.


As componentes do momento magnético orbital l z e do spin  s z na
direcção do campo são agora quantizados individualmente. A energia magnética para

um campo magnético B0 na direcção z é:
Vml , ms  ml  2ms B0
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(6.147)
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110


Figura 6.9. Efeito Paschen-Back. O momento angular L e de spin S , alinham-se


independentemente com o campo B0 . O momento angular total J não é definido.
As regras de selecção para as transições ópticas para os dois números quânticos
são novamente ml  0   , ml  1   com mais ms  0 . As linhas espectrais do
Paschen - Back são semelhantes ao do efeito Zeeman normal.
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111
Figura 6.10. a) As linhas D1 e D2 do átomo de sódio neutro. b) Efeito Zeeman anómalo
e c) efeito Paschen-Back. As linhas são semelhantes as do efeito Zeeman normal, mas
os espaçamentos entre os níveis de energia são diferentes.
A Figura 6.10 mostra o desdobramento das linhas D do Na. Mostra os resultados para o
efeito Zeeman e Paschen-Back.
No tratamento da mecânica quântica o operador Hamiltoniano para um campo

magnético B neste caso é semelhante a (6.125) mas sem a interacção spin-órbita:
ˆ 
  2 2 Ze2
e   ˆ




B

L

2
S

ml ms  Eml ms


40 2me 
 2me
(6.148)

e para o campo magnético na direcção B  0,0, B0 
  2 2 Ze 2
e
e ˆ 
 

B0 Lˆ z 
S z B0 ml m s  Eml m s

40 2me
me

 2me
(6.149)
onde ml m s são funções próprias. Os valores próprios de energia são calculados através
dessas funções próprias.
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