Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo
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1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Sinais e medidas no domínio do tempo Teresa Mendes de Almeida Condensador DEEC Área Científica de Electrónica Março de 2011 3 Sinal DC – componente constante (não varia com o tempo) grandeza – maiúscula índice – maiúscula características associação em série e em paralelo © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica propriedades da solução geral da equação diferencial função escalão circuitos RC circuitos RL aplicação em circuitos Exemplos de aplicação TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo x ( t ) = A cos (ωt + θ 0 ) A T AC 2T AC X Medio = grandeza – minúscula índice – maiúscula DC AC DC+AC VC = 2 V vc (t ) = 1,5sin ( 2π 800t ) V 0 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica t TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo 0 t Março de 2011 1 T t0 + T ∫ x ( t ) dt X ef = X rms = t0 1 T X ef = 1 T A ≈ 0, 707 A 2 t0 +T ∫ x 2 ( t ) dt t0 modo DC – valor médio modo AC – valor eficaz Visualização das formas de onda no osciloscópio t f = X med = 0 Medição experimental com Voltímetro vC (t ) = 2 + 1,5sin ( 2π 800t ) V vb (t ) = 2sin ( 2π 500t ) V VA = 10 V t iOUT ( t ) = I OUT + iout ( t ) DC 4 Valor Médio e Valor Eficaz ω = 2π f grandeza – minúscula índice – minúscula Março de 2011 Medidas no Domínio do Tempo Sinal DC+AC – componentes fixa e variável no tempo características associação em série e em paralelo transformador Sinal AC – componente variável no tempo Exemplos de aplicação vIN ( t ) = VIN + vin ( t ) DC Resistivo e Dinâmico análise de transitórios em circuitos de 1ª ordem solução da equação diferencial de 1ª ordem método de cálculo do transitório IST-DEEC- Notação para Sinais no Domínio do Tempo Bobine Resposta no tempo de circuitos RC e RL Tipos de circuitos eléctricos lineares [email protected] sinais AC e DC - notação valor médio e valor eficaz © T.M.Almeida ACElectrónica 2 Matéria modo AC – apenas se visualiza componente variável (AC) do sinal modo DC – visualiza-se componente DC e AC do sinal utilizar habitualmente modo DC © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 5 Tipos de Circuitos Eléctricos Circuito Resistivo Linear vR ( t ) = R × iR ( t ) todos os circuitos que foram considerados em TCFE até agora são do tipo resistivo linear resistência, fonte de tensão, fonte de corrente geometria e dieléctrico utilizado A – área de cada armadura d – distância entre armaduras ε – constante dieléctrica (permitividade) do dieléctrico ε = εr ε0 vazio: ε0=8,85E-12 F/m ar(puro, seco): εr ∼1 condensador C= iC ( t ) = C TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 7 ee- por intermédio de uma fonte de energia eléctrica Q V a carga é directamente proporcional à tensão surge campo eléctrico no dieléctrico entre as armaduras q (t ) = C × v (t ) energia eléctrica armazenada nessa região do espaço devido à existência do campo eléctrico condensador armazena energia eléctrica quando está a ser carregado + energia eléctrica é transferida da fonte para o condensador ++++++++ +Q Descarregar um condensador condensador liberta energia eléctrica que estava armazenada - © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 8 i (t ) = dq ( t ) dt corrente eléctrica carga armazenada no condensador a corrente é directamente proporcional à taxa de variação da tensão q (t ) = C × v (t ) iC ( t ) = C DC (sinais constantes no tempo) dvC ( t ) dt tensão constante ⇒ corrente nula em DC condensador comporta-se como um circuito aberto condensador bloqueia a componente contínua vC(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) Março de 2011 [Coulomb] [Volt ] TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo ideal – manteria indefinidamente essa energia real – tem perdas – vai muito lentamente perdendo a energia armazenada [ Farad ] = Relação entre vC(t) e iC(t) Condensador – componente com capacidade de armazenar energia eléctrica [C ] [V ] Condensador E --------Q V A d C=1F é uma capacidade muito elevada (1F = 1C / 1V) qe = −1, 602 × 10−19 C capacidades são geralmente de valor baixo expressas em microfarad (µF), nanofarad (nF), picofarad (pF) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica [F ] = ⇔ Q = CV dvC ( t ) dt C =ε é a medida da quantidade de carga (Q) armazenada em cada armadura para uma dada diferença de potencial (V) entre as armaduras carga armazenada no condensador é q(t) medida experimentalmente para um condensador plano pode calcular-se teoricamente impor uma diferença de potencial v(t) entre as armaduras Carregar um condensador depende de parâmetros definidos no processo de fabrico Condensador condensador e bobine relação v(t)-i(t) descrita por eq. diferencial linear © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Capacidade (C) absorvem energia, armazenam-na temporariamente e mais tarde podem devolver essa energia ao circuito descrito por conjunto de equações diferenciais lineares geralmente também contém componentes resistivos p. ex.: ar, silício, papel impregnado, cerâmico, mica, ... componentes dinâmicos 2 placas de material condutor (armaduras) separadas por material isolante – o dieléctrico contém elementos que podem armazenar energia Circuito Dinâmico Linear Constituição R resistência, fonte de tensão, fonte de corrente relação v(t)-i(t) descrita por eq. algébrica linear descrito por conjunto de equações algébricas lineares constituído por elementos resistivos 6 Condensador © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica obter-se-ia corrente infinita! energia eléctrica armazenada (associada ao campo eléctrico existente) não pode ser descontínua! vC(t) num instante tx qualquer − + vC ( t x ) = vC ( t x ) = vC ( t x ) TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo tx Março de 2011 9 Condensador Condição inicial iC ( t ) = C t t vC ( t ) = t dvC ( t ) dt 10 Exemplo de aplicação t 1 1 0 1 1 iC ( x ) dx = ∫ iC ( x ) dx + ∫ iC ( x ) dx = vC ( t0 ) + ∫ iC ( x ) dx ∫ C −∞ C −∞ C t0 C t0 Determinar iC(t) e wC(6ms) de um condensador com C=5µF a partir do gráfico da tensão, vC(t) 0 4 ×103 t vC ( t ) = 3 96 − 12 ×10 t 0 ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a tensão(carga) no condensador q (t ) = C × v (t ) Energia armazenada no condensador pC ( t ) = vC ( t ) × iC ( t ) t t dv ( x ) 1 1 wC ( t ) = ∫ pC ( x ) dx = ∫ vC ( x ) × C C dx = Cv 2C ( t ) − Cv 2C ( −∞ ) −∞ vC ( −∞ ) = 0 → 2 dx −∞ iC ( t ) = C dvC ( t ) dt 1 wC ( t ) = Cv 2C ( t ) 2 [ J ] [ Joule] TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 11 Associação de Condensadores , 6ms ≤ t ≤ 8ms , t ≥ 8ms 2 1 wC ( t ) = Cv 2C ( t ) 2 Condensadores em série v ( t ) = v1 ( t ) + v2 ( t ) + vN ( t ) KVL 0 20 mA iC ( t ) = −60 mA 0 1 1 2 wC ( 6ms ) = Cv 2C ( 6ms ) = 5 × 10−6 ( 24 ) 2 2 wC ( 6ms ) = 1, 44 mJ em cada instante, a energia no condensador apenas depende da tensão aos seus terminais nesse instante © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica , t≤0 , 0 ≤ t ≤ 6ms © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica , , , , t<0 0 < t < 6ms 6ms < t < 8ms t > 8ms TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 12 Exemplos de aplicação Determinar a corrente/tensão no condensador CT=? C=24µF C=25µF t 1 ∫ i ( x ) dx k = 1, 2,… , N Ck −∞ t 1 1 1 v (t ) = + + + ∫ i ( x ) dx CN −∞ C1 C2 vk ( t ) = 2 condensadores em série 1 1 1 1 = + + + CS C1 C2 CN 1 1 1 = + CS C1 C2 CS = C1C2 C1 + C2 C=2µF Condensadores em paralelo KCL i ( t ) = i1 ( t ) + i2 ( t ) + iN ( t ) dv ( t ) dv ( t ) dv ( t ) i ( t ) = C1 + C2 + + CN dt dt dt dv ( t ) i ( t ) = ( C1 + C2 + + CN ) dt © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica C=10µF CS < C1 , C2 CT=? C=100µF q(0)=0C C=50µF q(0)=0C CT=1µF C=? C=50µF CP = C1 + C2 + + CN TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 13 Bobine Constituição campo magnético e corrente estão relacionados de forma linear L – coeficiente de auto-indução (indutância) é a constante de proporcionalidade λ – fluxo de ligação magnética φ – fluxo magnético N – n. espiras da bobine L φ = iL N vL = dλ di =L L dt dt TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 15 Bobine Condição inicial t0 t iL ( t ) = diL ( t ) dt iL(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) obter-se-ia tensão infinita! energia armazenada (associada ao campo magnético existente) não iL(t) pode ser descontínua! − + i t i t i t = = num instante tx qualquer L( x ) L( x ) L( x) t x © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica vL ( t ) = L λ = LiL induz aos seus terminais uma tensão L é a constante de proporcionalidade λ = LiL DC (sinais constantes no tempo) corrente constante ⇒ tensão nula em DC bobine comporta-se como um curto-circuito bobine deixa passar componente contínua variação na corrente que atravessa a bobine dλ dt [H] [Henry] λ = Nφ a tensão é directamente proporcional à taxa de variação da corrente vL = Condutor onde passa corrente - cria um campo magnético Relação entre vL(t) e iL(t) não magnético – ar magnético – ferro, ferrite (concentram linhas de fluxo) fio condutor enrolado em forma de espiral núcleo de material 14 Bobine t t 1 1 1 1 ∫ vL ( x ) dx L −∞∫ vL ( x ) dx + L t∫ vL ( x ) dx = iL ( t0 ) + L t∫ vL ( x ) dx L −∞ 0 0 vL ( t ) = L diL ( t ) dt © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 16 Exemplo de aplicação Determinar vL(t), wL(2ms) e wL(4ms) de uma bobine com L=10mH a partir do gráfico da corrente 0 10t iL ( t ) = −3 40 × 10 − 10t 0 ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a corrente na bobine , , , , t≤0 0 ≤ t ≤ 2ms 2ms ≤ t ≤ 4ms 4ms ≤ t [ A] Energia armazenada na bobine pL ( t ) = vL ( t ) × iL ( t ) vL ( t ) = L di ( x ) 1 1 × iL ( x ) dx = Li 2 L ( t ) − Li 2 L ( −∞ ) wL ( t ) = ∫ pL ( x ) dx = ∫ L L 2 2 dx −∞ −∞ t iL ( −∞ ) = 0 t → wL ( t ) = 1 2 Li L ( t ) 2 em cada instante, a energia na bobine apenas depende da corrente aos seus terminais nesse instante © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo 1 2 Li L ( t ) 2 2 1 wL ( 2ms ) = (10 × 10−3 )( 20 ×10−3 ) = 2 µ J 2 wL ( 4ms ) = 0 J wL ( t ) = [ J ] [ Joule] Março de 2011 diL ( t ) dt © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 0 100 vL ( t ) = −100 0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo , , , , t<0 0 < t < 2ms 2ms < t < 4ms 4ms < t [ mV ] Março de 2011 17 Exemplo de aplicação Calcular energia total armazenada no circuito 1 wC ( t ) = Cv 2C ( t ) 2 circuito só tem fontes DC 1 wL ( t ) = Li 2 L ( t ) admitindo que foram ligadas há muito tempo (t=−∞) 2 todas as grandezas estão constantes no instante de análise → DC condensadores → circuito aberto bobines → curto-circuito 18 Associação de Bobines Bobines em série v ( t ) = v1 ( t ) + v2 ( t ) + vN ( t ) KVL v ( t ) = L1 di ( t ) dt + L2 di ( t ) dt + + LN di ( t ) dt di ( t ) v ( t ) = ( L1 + L2 + + LN ) dt LS = L1 + L2 + + LN DC ik ( t ) = analisar circuito resistivo resultante (KCL nó A, KVL malha exterior) I L1 + 3 = I L 2 I L1 = −1, 2 A − + + + = 9 6 I 3 6 I 0 ( ) I L 2 = 1,8 A L1 L2 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica WL1 = 1, 44 mJ WL 2 = 6, 48 mJ Março de 2011 19 Exemplos de aplicação WT = WC1 + WC 2 + WL1 + WL 2 = 13, 46 mJ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo 1 Lk t ∫ v ( x ) dx k = 1, 2,… , N −∞ t 1 1 1 i (t ) = + + + ∫ v ( x ) dx LN −∞ L1 L2 WC1 = 2, 62 mJ WC 2 = 2,92 mJ VC 2 = 6 I L 2 = 10,8 V VC1 = −6 I L1 + 9 = 16, 2 V Bobines em paralelo KCL i ( t ) = i1 ( t ) + i2 ( t ) + iN ( t ) Determinar a tensão/corrente na bobine 2 bobines em paralelo © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 1 1 1 1 = + + + LP L1 L2 LN 1 1 1 = + LP L1 L2 LP = L1 L2 L1 + L2 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo LP < L1 , L2 Março de 2011 20 Exemplos de aplicação Se energia total armazenada no circuito é 80mJ, quanto vale L? Calcular C sabendo que energia armazenada no condensador é igual à energia armazenada na bobine Calcular a potência dissipada na R=3Ω e a energia armazenada no condensador L=4mH L=10mH L=24mH L=50mH L=2H LAB=? L=4mH v(t)=0V , t<0 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica L=24mH v(t)=0V , t<0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo LT=2mH L=? Março de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 21 Transformador Constituição 2 bobines adjacentes primário e secundário existe ligação magnética – φ não existe ligação eléctrica isolamento eléctrico N v1 = 1 v2 N2 v1 N1 = v2 N 2 ∫ Hdl = N1i1 + N 2i2 = 0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 23 Análise de Transitórios em Circuitos Circuitos de 1ª ordem circuitos RC ou circuitos RL D dvC ( t ) dt Análise do circuito D interruptor abre/fecha fonte ligada/desligada ou com valor alterado num instante de tempo xp(t) – solução particular (forçada) é uma solução da eq. diferencial genérica depende da função f(t) xc(t) – solução complementar (natural) é uma solução da eq. diferencial homogénea só depende da topologia do circuito solução total da eq. diferencial de partida soma das duas soluções dt análise do circuito permite determinar qual a forma dos transitórios ao fim de algum tempo tensões e correntes ficam com valores constantes © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica regime estacionário TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Para uma função constante f(t)=A dx p ( t ) tensões e correntes vão-se alterar transitoriamente Março de 2011 24 dx ( t ) + ax ( t ) = f ( t ) dt dx ( t ) + ax ( t ) = 0 dt x ( t ) = x p ( t ) + xc ( t ) comportamento do circuito quando existem alterações no circuito E DE TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Solução da eq. diferencial de 1ª ordem genérica descritos por equação diferencial de 1ª ordem iC ( t ) = C p1 = − p2 Solução da eq. diferencial de 1ª ordem E N2 i2 = 0 v1i1 + v2i2 = 0 N1 reflectir grandezas do primário/secundário no secundário/primário usando as relações do quociente do número de espiras necessário ter atenção à marcação polaridade das tensões sentido das correntes sentido acoplamento magnético © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica contêm apenas um elemento armazenador de energia 2 N R1 = 1 R2 N2 Análise de circuitos com transformadores ideais i1 N =− 2 i2 N1 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica N1 v2 2 N v v1 N2 = R1 = = 1 2 N i1 − 2 i2 N 2 −i2 N1 Nível de Potência não se altera dφ dt dφ v2 ( t ) = N 2 dt N i1 = − 2 i2 N1 N1i1 + N 2i2 = 0 v1i1 + v1 resistência dos fios é desprezada fluxo φ no núcleo liga todas as espiras das 2 bobines v1 ( t ) = N1 Níveis de Tensão, Corrente e Resistência são alteradas Transformador ideal 22 Transformador Março de 2011 + a x p ( t ) = A → x p ( t ) = K1 = dxc ( t ) + a xc ( t ) = 0 → xc ( t ) = K 2 e − at dt © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica x ( t ) = K1 + K 2 e −t /τ A a τ= 1 a TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo x ( +∞ ) = K1 x ( 0 ) = K1 + K 2 Março de 2011 25 Análise de Transitório em circuito RC Como varia a tensão no condensador? Antes do interruptor fechar em t=0 vC ( 0− ) = 0 vC ( 0 + C C © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo 27 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica τ t0 – instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha) 1-e-x vC ( t0− ) = vC ( t0+ ) = vC ( t0 ) vC ( t0 ) = K1 + K 2 Março de 2011 28 relacionar i(t) com vC(t) i (t ) = vC ( t ) R2 t −t0 t0 = 0 determinar vC ( t ) = K1 + K 2e τ calcular K1 vC ( +∞ ) = 0 = K1 t=+∞ regime estacionário calcular K2 t=0– regime estacionário 3k 12 = 4 V 3k + 6k vC ( 0 + ) = vC ( 0 − ) = 4 V = K1 + K 2 + vC(+∞)=0V - vC ( 0 − ) = calcular RTh = resistência equivalente de Thévenin vista pelo condensador τ = RThC calcular τ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo − t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) vC ( +∞ ) = K1 fazer análise do circuito e determinar vC(+∞) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica t≥0 Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito tempo e muda para 2 em t=0s t=t0– regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar vC(t0–) continuidade na tensão no condensador calcular K2 t − = VS 1 − e RC Exemplo de aplicação t −t0 Calcular constante de tempo τ -e-x e-x t RC 5τ Março de 2011 Calcular constante K2 − 1 Calcular constante K1 − ∧ vC ( +∞ ) = K1 ⇒ K1 = VS dvC ( t ) 1 V + vC ( t ) = S dt RC RC Assumir que a solução para a tensão no condensador é ex A Método de cálculo de Transitório em RC vC ( t ) = K1 + K 2 e ⇒ K1 + K 2 = 0 A solução é: vC ( t ) = VS − VS e vC ( +∞ ) = VS a=1/ τ VS − vC ( t ) dv ( t ) =C C → R dt iR ( t ) = iC ( t ) vC ( +∞ ) = VS ) = v (0 ) = v ( 0) = 0 − τ = RC regime estacionário → grandezas constantes condensador comporta-se como circuito aberto KCL Determinar as constantes (K1, K2, τ ) a partir do circuito vC ( 0 ) = 0 ∧ vC ( 0 ) = K1 + K 2 tensão no condensador não pode variar instantaneamente Durante o transitório Assumir a solução da eq. diferencial vC ( t ) = K1 + K 2 e− t /τ regime estacionário → grandezas constantes fonte já estava ligada há muito tempo condensador estava inicialmente descarregado Deixando passar muito tempo t=+∞ Logo após o interruptor fechar t=0+ 26 Análise de Transitório em circuito RC Março de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica K2 = 4 V TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 29 Exemplo de aplicação Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito tempo e muda para 2 em t=0s calcular τ = RThC interruptor em 2 RTh vista pelo condensador − RTh τ [V ] , t≥0 4 3 i (t ) = t 4 e− 0,2 3 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica , t ≤0 [ mA] , t ≥0 Março de 2011 Propriedades da solução x(t)=K1+K2e-(t-t0)/τ Constante de tempo τ indica rapidez da variação da curva τ menor – mais rápida τ maior – mais lenta ∆t = τ variação de 63,2% (1 − e ) ×100% = 63, 2% variação de 99,3% ≈ 100% 63,2% (1 − e ) ×100% = 99,3% ≈ 100% considera-se que foi atingido o valor final (≈100%) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica iL ( t0 ) = K1 + K 2 τ= L RTh TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 32 permite a descrição matemática de mudança brusca duma grandeza 0 , t < t 0 u ( t − t0 ) = 1 , t > t0 Ligar fonte de tensão em t=0 Ligar fonte de corrente em t=t0 t0 t0+τ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo + v(t) - + v(t) - 100% t0+5τ −5 calcular RTh = resistência equivalente de Thévenin vista pela bobine calcular τ K1 K1+K2 ∆ t = 5τ iL ( t0− ) = iL ( t0+ ) = iL ( t0 ) t0 Ao fim de 5 constantes de tempo t=t0– regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar iL(t0–) continuidade na corrente na bobine calcular K2 0 , t < 0 u (t ) = 1 , t > 0 −1 iL ( +∞ ) = K1 Função escalão (unitário) τB > τA t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar iL(+∞) Função escalão K1 K1+K2 t0 – instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 5τB 5τA Ao fim de 1 constante de tempo 31 τ Calcular constante de tempo τ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo t −t0 Calcular constante K2 , t≤0 − Calcular constante K1 obter i(t) v (t ) i (t ) = C R2 iL ( t ) = K1 + K 2 e τ = RThC = 0, 2 s 4 vC ( t ) = − t 0,2 4e Assumir que a solução para a corrente na bobine é RTh = R1 // R2 = 2 k Ω vC ( t ) = K1 + K 2 e obter vC(t) t −t0 30 Método de cálculo de Transitório em RL τ i(t) i(t) t0 5τ Março de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 33 Função escalão Descrição matemática de impulso 0 < t < T Subtraindo 2 escalões Exemplos de aplicação Calcular vo(t) Calcular i1(t) Calcular i(t) 34 0 , t < 0 v (t ) = A , 0 < t < T 0 , t > T v ( t ) = Au ( t ) − Au ( t − T ) = A u ( t ) − u ( t − T ) Descrição matemática de impulso t0 < t < t0+T A – amplitude do impulso t0 – instante de início do impulso T – largura do impulso v ( t ) = A u ( t − t0 ) − u ( t − ( t0 + T ) ) Exemplo v ( t ) = 9 u ( t ) − u ( t − 0,3) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica [V ] TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011 35 Exemplos de aplicação Calcular vo(t) 1- calcular vC(t) para 0<t<0,3s como se não ocorresse a 2ª transição em v(t) 2- calcular vC(t) para t>0,3s como se não ocorresse a 1ª transição mas sabendo que vC(t=0,3s) é o ponto de partida 3- calcular vO(t) a partir de vC(t) Calcular vO(t) 0 − 3/ 2 t vo ( t ) = 4 1 − e ( ) − 3/ 2 t −1 3,11e ( )( ) ( © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo ) , t≤0 , 0 ≤ t ≤ 1s [V ] , 1s ≤ t Março de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2011
