CINEMÁTICA - CONCEITOS INICIAIS REFERENCIAL: é o ponto ou

REPOUSO E MOVIMENTO: Um ponto material éstá em
movimento quando sua posição varia no decorrer do
tempo em relação a um referencial. Se a posição não
muda, então o corpo está em repouso.
CINEMÁTICA - CONCEITOS INICIAIS
Ex.:
Quando estamos sentados num ônibus que está andando,
o mesmo está em repouso em relação a nós mas está em
movimento em relação à rua, casas, postes, etc.
3- TRAJETÓRIA
REFERENCIAL: é o ponto ou corpo tomado como
referência para o estudo do movimento.
1- PARTÍCULA OU CORPO EXTENSO
É a linha determinada pelas diversas posições que um
corpo ocupa no decorrer do tempo.
Ex.:
As marcas deixadas pelos esquis de um esquiador em
movimento, que representa o caminho percorrido pelo
esquiador em relação a uma pessoa parada no solo.
A trajetória depende do referencial adotado.
De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os
seguintes nomes:
- movimento retilíneo: a trajetória é uma reta
- movimento curvilíneo: a trrajetória é uma curva
PONTO MATERIAL: é todo corpo cujas dimensões não
interferem no estudo de um determinado fenômeno. É
também chamado de partícula.
CORPO EXTENSO: é todo corpo cujas dimensões
interferem no estudo de um determinado fenômeno.
Exemplo:
Um automóvel que transita por uma estrada entre uma
determinada cidade até outra é considerado ponto
material, ao passo que, se estiver manobrando para
ocupar um lugar no estacionamento é considerado corpo
extenso
4- POSIÇÃO ESCALAR
ESPAÇO (POSIÇÃO ESCALAR): é a medida da distância
do corpo até a origem das posições, num determinado
instante.
2- REPOUSO OU MOVIMENTO
- As posições à direita da origem tem sinal positivo
- As posições à esquerda da origem tem sinal negativo
1
5 - DESLOCAMENTO E CAMINHO PERCORRIDO
da velocidade escalar em cada instante. Essa velocidade é
denominada velocidade escalar instatânea.
- se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória
teremos v > 0
- se o carro se movimentar no sentido negativo da
trajetória teremos v < 0
- 1m/s = 3,6km/h
- Movimento Progressivo: móvel caminha no sentido
positivo da trajetória/ sua velocidade é positiva.
- Deslocamento de um móvel num dado intervalo de
tempo é a diferença entre a posição final e a posição inicial
que ocupa nos extremos desse intervalo.
- Caminho percorrido, também chamado, espaço
percorrido é e distância efetivamente percorrida (andada)
pelo móvel.
- Movimento Retrógrado (Regressivo): móvel caminha
no sentido negativo da trajetória/ sua velocidade é
negativa.
Ex.:
Um aluno saiu de sua casa, às 7h, foi até a escola e às
12h voltou para sua casa, pelo mesmo caminho. A
distância entre a casa e a escola é de 450m. Qual foi o
deslocamento desde o instante em que saiu de casa até o
instante em que retornou? Qual foi a distância percorrida
pelo aluno?
PROBLEMAS
1) Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com
velocidade constante igual a 80 km/h. No instante em que
o trem passa por uma estação, cai um objeto, inicialmente
preso ao teto do trem. A trajetória do objeto, vista por um
passageiro parado dentro do trem, será:
6 - VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA:
É o quociente entre a variação do espaço do móvel, no
decorrer do tempo, e o intervalo de tempo necessário
para essa variação.
Onde:
2) Em relação à situação descrita no teste anterior, qual
será a trajetória do objeto vista por um observador parado
na estação? (A seta imediatamente abaixo representa o
sentido do movimento do trem para esse observador.)
∆S = S – S0 e ∆t = t – t0
A unidade de velocidade no Sistema Internacional (SI) é
o metro por segundo e se indica por m/s.
Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora, que se
indica km/h.
Obs.:
- o velocímetro de um carro nos fornece o valor absoluto
3) Numa corrida de Fórmula 1 a volta mais rápida foi feita
em 1 min e 20 s a uma velocidade média de 180 km/h.
2
Pode-se afirmar que o comprimento da pista, em m, é de:
a) 180
b) 4000
c) 1800
d) 14400
e) 2160
d) 4 h 30 min
e) 5 h
9) Um atleta em treinamento percorre uma distância de
4000 m em 20 minutos, procurando manter a velocidade
constante e o ritmo cardíaco em 100 batidas por minuto. A
distância que ele percorre no intervalo entre duas batidas
sucessivas de seu coração é, em m, de:
a) 2
b) 4
c) 10
d) 20
e) 40
4) A velocidade escalar média de um atleta que corre 100
m em 10 s é, em km/h:
a) 3
b) 18
c) 24
d) 30
e) 36
10) Um menino sai de sua casa e caminha para a escola,
dando, em média, um passo por segundo. Se o tamanho
médio do seu passo é 0,5 m e se ele gasta 5 minutos no
trajeto, a distância entre a sua casa e a escola, em m, é
de:
a) 15
b) 25
c) 100
d) 150
e) 300
5) Um automóvel passou pelo marco 24 km de uma
estrada às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo
marco 28 km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos.
A velocidade média do automóvel, entre as passagens
pelos dois marcos, foi de aproximadamente:
a) 12 km/h
b) 24 km/h
c) 28 km/h
d) 60 km/h
e) 80 km/h
11) Um carro percorre 1 km com velocidade constante de
40 km/h e o quilômetro seguinte com velocidade constante
de 60 km/h. A sua velocidade média no percurso descrito
é:
a) 50 km/h
b) 48 km/h
c) 60 km/h
d) 40 km/h
e) n. r. a.
6) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o
formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O
primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100
km/h, o segundo e o terceiro a 120 km/h e o quarto a 150
km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso?
a) 110 km/h
b) 120 km/h
c) 130 km/h
d) 140 km/h
e) 150 km/h
12) Em 10 min, certo móvel percorre 12 km. Nos 15 min
seguintes, o mesmo móvel percorre 20 km e nos 5 min que
se seguem percorre 4 km. Sua velocidade média em m/s,
supondo constante o sentido do movimento, é:
a) 1,2 m/s
b) 10 m/s
c) 17 m/s
d) 18 m/s
e) 20 m/s
7) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da
chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo
cerca de 1000 km. Sendo de 4 km/h a velocidade média
das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas
águas da chuva em aproximadamente:
a) 30 dias.
b) 10 dias.
c) 25 dias.
d) 2 dias.
e) 4 dias.
13) Um carro faz um percurso de 140 km em 3 h. Os
primeiros 40 km ele faz com certa velocidade escalar
média e os restantes 100 km com velocidade média que
supera a primeira em 10 km/h. A velocidade média nos
primeiros 40 km é de:
a) 50 km/h
b) 47 km/h
c) 42 km/h
d) 40 km/h
e) 28 km/h
8) Ao fazer uma viagem de carro entre duas cidades, um
motorista observa que sua velocidade média foi de 70
km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro de
gasolina a cada 10 km. Se, durante a viagem, o motorista
gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a
viagem entre as duas cidades?
a) 3 h
b) 3 h 30 min
c) 4 h
14) Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de
3
tal forma que os carros, trafegando a uma determinada
velocidade, encontrem sempre os sinais abertos (onda
verde). Sabendo que a distância entre sinais sucessivos
(cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo
entre a abertura de um sinal e o seguinte é de 12 s, com
que velocidade os carros devem trafegar para encontrar os
sinais abertos?
a) 30 km/h
b) 40 km/h
c) 60 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h
GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME
Os gráficos facilitam a visualização global do movimento,
permitindo-nos focalizar um determinado instante sem
perder de vista o que aconteceu antes e depois do instante
focalizado. Gráfico Velocidade x Tempo No movimento
uniforme, como a velocidade escalar é constante, sua
representação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos
tempo.
Progressivo
Retrogrado
15) Um corpo deve percorrer 1500 m com velocidade
média de 30 m/s. Se ele parar no meio do caminho
durante 10 s, que velocidade média deverá desenvolver na
outra parte para chegar na hora marcada?
a) 60 m/s
b) 50 m/s
c) 40 m/s
d) 30 m/s
e) 15 m/s
GABARITO
Já o gráfico do Espaço em função do tempo é o gráfico de
uma função afim (polinomial do 1º grau)
MOVIMENTO UNIFORME
O movimento é uniforme quando a velocidade escalar do
móvel é constante em qualquer instante ou intervalo de
tempo, significando que, no movimento uniforme o móvel
percorre distâncias iguais em tempos iguais.
O movimento é retilíneo uniforme quando o móvel
percorre uma trajetória retilínea e apresenta velocidade
escalar constante.
O movimento de uma pessoa transportada numa escada
rolante, o da Lua em torno da Terra e o dos ponteiros de
um relógio são exemplos de movimentos praticamente
uniformes.
EXERCÍCIOS
1. (Fuvest) Uma moto de corrida percorre uma pista que
tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km de
lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média
de 100 km/h, o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o
quarto, a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto
nesse percurso?
a) 110 km/h
b) 120 km/h
c) 130 km/h
d) 140 km/h
e) 150 km/h
Função Horária
A função horária do espaço do movimento uniforme nos
fornece o espaço de um móvel em qualquer instante t≠0 ,
desde que sejam conhecidos o espaço inicial e a
velocidade.
S = S0 + vt
4
2. (UFMG) Uma pessoa vê um relâmpago e três segundos
(3,00 s) depois, escuta o trovão. Sabendo-se que a
velocidade da luz no ar é de aproximadamente 300 000
km/s e a do som, no ar, é de 330 m/s, ela estima a
distância a que o raio caiu.
A melhor estimativa para esse caso é:
a) 110 m
b) 330 m
c) 660 m
d) 990 m
e) 220 m
7. (UA-AM) Para atravessar um túnel de 1 800 m de
comprimento, um trem de 400 m de comprimento, com
velocidade de 20 m/s, gasta um tempo de:
a) 10 s.
b) 1 min.
c) 200 s.
d) 1 min 50 s.
e) N.R.A.
8. (Fatec-SP) Um veículo percorre 100 m de uma trajetória
retilínea com velocidade constante de 25 m/s e os 300 m
seguintes, com velocidade constante de 50 m/s. A
velocidade média durante o trajeto todo é de:
a) 37,5 m/s.
b) 40 m/s.
c) 53,3 m/s.
d) 75 m/s.
e) 80 m/s.
3. (Vunesp) Ao passar pelo marco "km 200" de uma
rodovia, um motorista vê um anúncio com a inscrição
"Abastecimento e Restaurante a 30 minutos".
Considerando-se que esse posto de serviços se encontra
junto ao marco "km 245" dessa rodovia, pode-se concluir
que o anunciante prevê, para os carros que trafegam
nesse trecho, uma velocidade média, em km/h, de:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
e) 120
9. (UFRN) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea
AB, onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e
com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e
MB. A velocidade da partícula no trecho AM é de 3,0 m/s e
no trecho MB é de 6,0 m/s. A velocidade média entre os
pontos A e B vale:
a) 4,0 m/s.
b) 4,5 m/s.
c) 6,0 m/s.
d) 9,0 m/s.
e) 18 m/s.
4. (UM-SP) Um caçador dá um tiro e ouve o eco dele 6,0 s
depois. A velocidade de propagação do som no ar é de
340 m/s. A que distância do anteparo refletor do som se
encontra o caçador ?
a) 340 m
b) 1,02 x 103 m
c) 2,04 x 103 m
d) 680 m
e) 750 m
10. (Cesgranrio) Uma patrulha rodoviária mede o tempo
que cada veículo leva para percorrer um trecho de 400
metros de estrada. Um automóvel percorre a primeira
metade do trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo de
80 km/h a velocidade-limite permitida, qual deve ser a
maior velocidade média do carro na segunda metade do
trecho para evitar ser multado?
a) 20 km/h
b) 48 km/h
c) 56 km/h
d) 60 km/h
e) 80 km/h
5. (FUEL-PR) Um automóvel mantém uma velocidade
escalar constante de 72,0 km/h. Em 1h10min ele percorre,
em quilômetros, uma distância de:
a) 79,2
b) 80,0
c) 82,4
d) 84,0
e) 90,0
6. (UFRN) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são
sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a
uma determinada velocidade, encontram sempre os sinais
abertos (verdes). Sabendo que a distância entre os sinais
sucessivos (cruzamentos) é de 175 m e que o intervalo de
tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do
seguinte é de 9,0 s, com que velocidade devem trafegar os
carros para encontrar os sinais sempre abertos?
a) 40 km/h
b) 50 km/h
c) 70 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h
Para as questões 11 e 12
Considere um movimento cuja posição s, em função do
tempo t, está representado no gráfico.
5
constante em qualquer instante ou intervalo de tempo, tal
que :
11. A distância percorrida pelo móvel entre os instantes t =
0 e t = 20s, em metros, vale:
a) -40
b) zero
c) 20
d) 40
e) 80
amédia = ainstantânea =
∆𝑽
∆𝑻
Este movimento também é acelerado porque o valor
absoluto da velocidade do pára-quedista aumenta no
decorrer do tempo (0,0 m/s, 9,8 m/s, 19,6 m/s, 29,4 m/s).
Observação: Quando o pára-quedas é acionado (V = 29,4
m/s), o movimento passa a ser uniforme porque a força
peso é equilibrada pela força de resistência do ar.
12. O móvel passa pela origem no instante:
a) zero
b) 5,0s
c) 10s
d) 15s
e) 20s
Vamos analisar agora o que acontece quando um carro
está sendo freado.
Quando um carro está com uma velocidade de 20 m/s e
freia até parar, como varia a sua velocidade?
GABARITO
1-B
7-D
2-D
8-B
3-B
9-A
4-B
10 - C
Carro freando em movimento uniformemente variado.
5-D
11 - E
6-C
12 - C
Sua velocidade inicial pode diminuir de 5 m/s em cada
segundo. Isto significa que em 1 s a sua velocidade passa
de 20,0 m/s para 15,0 m/s; decorrido mais 1 s a velocidade
diminui para 10,0 m/s e assim sucessivamente até parar.
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Neste caso o movimento é uniformemente variado e é
retardado, porque o valor absoluto da velocidade diminui
no decorrer do tempo (20,0 m/s, 15,0 m/s, 10,0 m/s, 5,0
m/s, 0,0 m/s).
Você já pensou o que acontece com a velocidade de um
pára-quedista quando ele salta sem abrir o pára-quedas?
A aceleração é constante e igual a -5 m/s2 (o sinal
negativo indica que a velocidade está diminuindo).
Equação da velocidade/ Equação horária - Movimento
uniformemente variado
Equação da velocidade - MUV
A aceleração média é definida como sendo:
Desprezando a resistência do ar, a força que atua sobre o
pára-quedista é a força peso. A força peso vai acelerar o
pára-quedista de forma que a sua velocidade aumentará
de 9,8 m/s em cada segundo . O pára-quedista terá uma
aceleração de 9,8 m/s2, que é constante para corpos
próximos à superfície da Terra e é denominada aceleração
da gravidade.
a=
∆𝑉
∆𝑇
=
𝑉−𝑉0
𝑇−𝑇0
Para t0 = 0 unidades de tempo e resolvendo a expressão
para V, tem-se que :
V = V0 + a t
Equação da velocidade - MUV
O movimento do pára-quedista apresenta trajetória
retilínea e aceleração constante; este tipo de movimento é
denominado Movimento Uniformemente Variado. No
Movimento Uniformemente Variado a aceleração é
6
Gráfico V X t - MUV
Para a equação da velocidade - MUV, V = V0 + at, sendo
uma função do 1o grau, o gráfico é uma reta passando ou
não pela origem
(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar
de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre
um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a
bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância
total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
PROBLEMAS
1. (Fuvest-SP) Um carro viaja com velocidade de 90 km/h
(ou seja, 25 m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia,
quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na
pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e
aquele em que começa a frear, o carro percorre 15 m. Se
o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s 2,
mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará
atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o
tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo,
a) 15 m
b) 31,25 m
c) 52,5 m
d) 77,5 m
e) 125 m
Gráfico V versus t - MUV
Equação horária - MUV
A variação de espaço pode ser calculada a partir do
gráfico V versus t pela área abaixo da reta obtida, tem-se
que:
S = S0 + v 0 t + (a t2)/2
Equação horária - MUV
2. Um passageiro corre em direção a um trem com
velocidade constante 2 m/s. O trem parte do repouso com
aceleração escalar 2 m/s2, estando o passageiro a 5 m do
trem. Nestas condições, a menor distância que ele chega
perto do trem é:
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) Alcança o trem
e) N.R.A.
Gráfico S X t - MUV
A equação horária do MUV, S-S0= V0t + ( at2 )/2 é uma
função do 2o grau. A representação gráfica desta função é
uma parábola .
3. (Mackenzie-SP) Um móvel parte do repouso com MRUV
e, em 5 s, desloca-se o mesmo que o outro móvel B em 3
s, quando lançado verticalmente para cima, com
velocidade de 20 m/s. A aceleração do móvel A é (adote g
= 10 m/s2):
a) 2,0 m/s2.
b) 1,8 m/s2.
c) 1,6 m/s2.
d) 1,2 m/s2.
e) 0,3 m/s2.
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Até agora, conhecemos duas equações do movimento
uniformemente variado, que nos permitem associar
velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se
prático encontrar uma função na qual seja possível
conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja
conhecido.
4. Dois móveis A e B se movimentam numa mesma
trajetória e a partir de uma mesma origem com equações
horárias:
SA = 24 + 16t e SB = -2t + 6t2 (SI). O encontro entre elas se
dará no instante:
a) t = 4 s
b) t = 6 s
7
c) t = 2 s
d) Não haverá encontro.
e.R.A.
10. (Cesesp-PE) Um carro parte do repouso e mantém
uma aceleração de 0,50 m/s 2 durante 40 segundos. A
partir desse instante, ele viaja 60 segundos com
velocidade constante. Finalmente, ele freia uniformemente
durante 30 segundos, até parar. A distância total, em m,
percorrida pelo carro, foi de:
a) 1 900
b) 2 600
c) 800
d) 1 200
e) 1 600
5. (ITA-SP) Um projétil de massa m = 5,00 g atinge
perpendicularmente uma parede com velocidade v = 400
m/s e penetra 10,0 cm na direção do movimento
(considere constante a desaceleração do projétil na
parede).
a) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 15,0 cm.
b) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 225 cm.
c) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 22,5 cm.
d) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 150 cm.
e) A intensidade da força imposta pela parede à
penetração da bala é 2 N.
11. (PUCC-SP) No instante em que a luz verde do
semáforo acende, um carro ali parado parte com
aceleração constante de 2,0 m/s 2. Um caminhão, que
circula na mesma direção e no mesmo sentido, com
velocidade constante de 10 m/s, passa por ele no exato
momento da partida.
Podemos, considerando os dados numéricos fornecidos,
afirmar que:
a) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo.
b) o carro não alcança o caminhão.
c) os dois veículos seguem juntos.
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo.
e) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo.
6. (Fuvest-SP) Partindo do repouso, um avião percorre a
pista com aceleração constante e atinge a velocidade de
360 km/h em 25 s. Qual o valor da aceleração, em m/s2?
a) 9,8
b) 7,2
c) 6,0
d) 4,0
e) 2,0
7. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso em
movimento retilíneo e acelera a 2 m/s2. Pode-se dizer que
sua velocidade e a distância percorrida, após 3 s, valem,
respectivamente:
a) 6 m/s e 9 m.
b) 6 m/s e 18 m.
c) 3 m/s e 12 m.
d) 12 m/s e 36 m.
e) 2 m/s e 12 m.
12. (Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se
desloca com velocidade escalar de 20 m/s. Esse trem, ao
iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente,
saindo completamente dela 10 s após, com velocidade
escalar de 10 m/s. O comprimento da ponte é de:
a) 150 m.
b) 120 m.
c) 90 m.
d) 60 m.
e) 30 m.
8. (UECE) Um trem, que se desloca com aceleração
constante, percorre a distância entre dois pontos
separados de 320 m em 4 s. Se a velocidade, ao passar
pelo segundo ponto, é 100 m/s, sua aceleração vale em
m/s2:
a) 15
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
13. (UPE) Uma partícula que se move com aceleração
constante de -4,5 m/s2 reduz a sua velocidade inicial para
a metade do seu valor enquanto percorre 27 m. A
velocidade inicial vale, em m/s:
a) 24
b) 20
c) 18
d) 15
e) 12
9. (FUEL-PR) Um trem deve partir de uma estação A e
parar na estação B, distante 4 000 m de A. A aceleração e
a desaceleração podem ser, no máximo, de 5,0 m/s2, e a
maior velocidade que o trem atinge é de 20 m/s. O tempo
mínimo para o trem completar o percurso de A a B é, em
segundos, de:
a) 98.
b) 100.
c) 148.
d) 196.
e) 204.
14. (CESGRANRIO) Um atleta desloca-se em MUV. Às 2
horas, 29 minutos e 55 segundos, sua velocidade é de 1
m/s e, logo a seguir, às 2 horas, 30 minutos e 25
segundos, está com 10 m/s. Qual a aceleração escalar
desse atleta em m/s2 ?
a) 0,03
b) 0,1
c) 0,3
d) 1,0
8
e) 3,0
20. (U.E. Londrina-PR) Um trem começa s ser observado
quando sua velocidade é de 30 m/s, e ele mantém essa
velocidade durante 15 s. Logo após, ele freia com
aceleração constante de módulo 0,50 m/s2 até parar numa
estação. O trem começou a ser observado quando estava
distante da estação:
a) 450 m
b) 900 m
c1 350 m
d) 1 850 m
e) 2 250 m
15. (UFRN) Um trem corre a 20 m/s quando o maquinista
vê um obstáculo 50 m à sua frente. A desaceleração
mínima ( em m/s2 ) que deve ser dada ao trem para que
não haja uma colisão é de:
a) 4
b) 2
c) 1
d) 0,5
e) 0
16. (UFAL) Um corpo descreve um movimento regido pela
função horária S = 20 t - 2 t2, sendo S medido em metros e
t medido em segundos. No instante t = 3 s, sua velocidade
é, em m/s, de:
a) 8
b) 14
c) 20
d) 42
e) 60
21. (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento
retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e
igual a 2,0 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar
e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem,
respectivamente:
a) 6,0 m/s e 9,0m;
b) 6,0m/s e 18m;
c) 3,0 m/s e 12m;
d) 12 m/s e 35m;
e) 2,0 m/s e 12 m
17. (UFAL) Um móvel descreve um movimento retilíneo
obedecendo a função horária
22. (FUND. CARLOS CHAGAS) Dois móveis A e B
movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às
equações móvel A: xA = 100 + 5,0t e móvel B: xB = 5,0t2,
onde xA e xB são medidos em m e t em s. Pode-se afirmar
que:
a) A e B possuem a mesma velocidade;
b) A e B possuem a mesma aceleração;
c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado;
d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma
distância;
e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual
a 10 m/s2.
S = 40 + 10 t - 2,5 t2
onde S é o espaço do móvel medido em metros e t, o
tempo em segundos. O espaço do móvel, em metros, ao
mudar de sentido vale:
a) 72
b) 50
c) 40
d) 30
e) zero
18. (UFAL) Um veículo, partindo do repouso, move-se em
linha reta com aceleração de 2 m/s2. A distância percorrida
pelo veículo após 10 s é:
a) 200 m
b) 100 m
c) 50 m
d) 20 m
e) 10 m
23. (MACKENZIE) Um móvel parte do repouso com
aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s2 em
uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear
uniformemente até parar a 500m do ponto de partida. Em
valor absoluto, a aceleração de freada foi:
a) 8,0 m/s2
b) 6,0 m/s2
c) 4,0 m/s2
d) 2,0 m/s2
e) 1,6 m/s2
19. (UFRS) Uma grande aeronave para transporte de
passageiros precisa atingir a velocidade de 360 km/h para
poder decolar. Supondo que essa aeronave desenvolva na
pista uma aceleração constante de 2,5 m/s2, qual é a
distância mínima que ela necessita percorrer sobre a pista
antes de decolar?
a) 10 000 m
b) 5 000 m
c) 4 000 m
d) 2 000 m
e) 1 000 m
24. (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração
constante de intensidade 10 m/s2. A velocidade inicial de
um motociclista, com esta motocicleta, que deseja
percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando
ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s
é:
a) zero
b) 5,0 m/s
c) 10 m/s
9
d) 15 m/s
e) 20 m/s
c) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor
que a bola A;
d) as duas bolas atingem a mesma altura;
e) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são
maiores que os gastos nas descidas.
25. (UFPA) Um ponto material parte do repouso em
movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m,
está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A
aceleração escalar do ponto material, em m/s vale:
a) 1,5
b) 1,0
c) 2,5
d) 2,0
e) n.d.a.
26. (UNIP) Na figura representamos a coordenada de
posição x, em função do tempo, para um móvel que se
desloca ao longo do eixo Ox.
29. (UFPR) Um corpo é lançado verticalmente para cima,
atinge certa altura, e desce. Levando-se em conta a
resistência do ar, pode-se afirmar que o módulo de sua
aceleração é:
a) maior, quando o corpo estiver subindo;
b) maior, quando o corpo estiver descendo;
c) igual ao da aceleração da gravidade, apenas quando o
corpo estiver subindo;
d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida;
e) igual ao da aceleração da gravidade, tanto na subida
quanto na descida.
30. (UCPR) Num local onde a aceleração da gravidade
vale 10 m/s2 uma pedra é abandonada de um helicóptero
no instante em que este está a uma altura de 1000m em
relação ao solo. Sendo 20s o tempo que a pedra gasta
para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do
abandono da pedra o helicóptero: (Desprezam-se as
resistências passivas)
a) subia
b) descia
c) estava parado
d) encontrava-se em situação indeterminada face aos
dados;
e) esta situação é impossível fisicamente.
Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de
simetria paralelos ao eixo das posições. No intervalo de
tempo em que o móvel se aproxima de origem dos
espaços o seu movimento é:
a) uniforme e progressivo;
b) retrógrado e acelerado;
c) retrógrado e retardado;
d) progressivo, retardado e uniformemente variado;
e) progressivo, acelerado e uniformemente.
GABARÍTO
27. (PUCC) Um vaso de flores cai livremente do alto de um
edifício. Após ter percorrido 320cm ele passa por um andar
que mede 2,85 m de altura. Quanto tempo ele gasta para
passar por esse andar? Desprezar a resistência do ar e
assumir g = 10 m/s2.
a) 1,0s
b) 0,80s
c) 0,30s
d) 1,2s
e) 1,5s
1-D
6-D
11 - E
16 - A
21 –A
26 – D
2-E
7-A
12 - E
17 - B
22- E
27 – C
3-D
8-C
13 - C
18 - B
23 – A
28 – D
4-A
9-E
14 - C
19 - D
24 – A
29 – A
5-C
10 - A
15 - A
20 - C
25 – A
30 - A
MOVIMENTO VERTICAL
No estudo de física a queda
livre é uma particularização do
movimento uniformemente
variado (MRUV). O movimento
de queda livre foi estudado
primeiramente por Aristóteles.
Ele foi um grande filósofo
grego que viveu
aproximadamente 300 a.C. Aristóteles afirmava que se
duas pedras caíssem de uma mesma altura, a mais
pesada atingiria o solo primeiro. Tal afirmação foi aceita
durante vários séculos tanto por Aristóteles quanto por
28. (PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual
ao dobro da massa de B, são lançadas verticalmente para
cima, a partir de um mesmo plano horizontal com
velocidades iniciais. Desprezando-se a resistência que o ar
pode oferecer, podemos afirmar que:
a) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o
gasto pela bola B também na subida;
b) a bola A atinge altura menor que a B;
10
seus seguidores, pois não tiveram a preocupação de
verificar tal afirmação.
Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na
direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.
Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o
movimento classifica-se com Uniformemente Variado. As
funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as
mesmas do movimento uniformemente variado, revistas
com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S)
e com aceleração da gravidade (g).
Séculos mais tarde, mais precisamente no século XVII, um
famoso físico e astrônomo italiano chamado Galileu Galilei,
introduziu o método experimental e acabou por descobrir
que o que Aristóteles havia dito não se verificava na
prática. Considerado o pai da experimentação, Galileu
acreditava que qualquer afirmativa só poderia ser
confirmada após a realização de experimentos e a sua
comprovação. No seu experimento mais famoso ele,
Galileu Galilei, repetiu o feito de Aristóteles. Estando na
Torre de Pisa, abandonou ao mesmo tempo esferas de
mesmo peso e verificou que elas chegavam ao solo no
mesmo instante. Por fazer grandes descobertas e pregar
idéias revolucionárias ele chegou a ser perseguido.
Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da
direção do movimento:
Quando Galileu realizou o experimento na Torre de Pisa e
fez a confirmação de que Aristóteles estava errado, ele
percebeu que existia a ação de uma força que retardava o
movimento do corpo. Assim sendo, ele lançou a hipótese
de que o ar exercesse grande influência sobre a queda de
corpos.
Lançamento Vertical para Cima
g é negativo
Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando
jogamos algo para cima, o movimento será acelerado
negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos
Altura Máxima.
Quando dois corpos quaisquer são abandonados, no
vácuo ou no ar com resistência desprezível, da mesma
altura, o tempo de queda é o mesmo para ambos,
mesmo que eles possuam pesos diferentes.
O movimento de queda livre, como já foi dito, é uma
particularidade do movimento uniformemente variado.
Sendo assim, trata-se de um movimento acelerado, fato
esse que o próprio Galileu conseguiu provar. Esse
movimento sofre a ação da aceleração da gravidade,
aceleração essa que é representada por g e é variável
para cada ponto da superfície da Terra. Porém para o
estudo de Física, e desprezando a resistência do ar, seu
valor é constante e aproximadamente igual a 9,8 m/s2.
Lançamento Vertical para Baixo
g é positivo
No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como
o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é
acelerado positivamente. Recebe também o nome de
queda livre.
As equações matemáticas que determinam o movimento
de queda livre são as seguintes:
Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra,
fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na
vertical, em direção ao centro do planeta.
O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a
altitude do local, mas durante fenômenos de curta
duração, é tomado como constante e seu valor médio no
nível do mar é:
g=9,80665m/s²
No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar
sem muita perda nos valores:
g=10m/s²
Exemplos:
1º) Uma bola de futebol é chutada para cima com
velocidade igual a 40m/s.
Lançamento Vertical
11
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual o tempo gasto na subida?
c) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar
ao solo.
d) Após quanto tempo a bola estará a 60 m do solo?
e) Qual a sua velocidade a 60 m do solo?
f) Qual a sua velocidade ao retornar ao solo?
a velocidade da bola é máxima, e a aceleração
da bola é vertical e para baixo.
B)
a velocidade da bola é máxima, e a aceleração
da bola é vertical e para cima.
C)
a velocidade da bola é mínima, e a aceleração
da bola é nula.
D)
a velocidade da bola é mínima, e a aceleração
da bola é vertical e para baixo
E)
a velocidade da bola é mínima, e a aceleração
da bola é vertical e para cima.
70 m
D)
90 m
E)
100 m
5º) (PUC-RIO)
Em um campeonato recente de vôo de precisão, os pilotos
de avião deveriam “atirar” um saco de areia dentro de um
alvo localizado no solo. Supondo que o avião voe
horizontalmente a 500 m de altitude com uma velocidade
de 144 km/h, e que o saco é deixado cair do avião, ou
seja, no instante do “tiro” a componente vertical do vetor
velocidade é zero, podemos afirmar que: (Considere a
aceleração da gravidade g = 10m/s2 e despreze a
resistência do ar)
2º) (PUC-RIO)
Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos
dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:
A)
C)
3º) (PUC-RIO)
Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base
com velocidade v = 30 m/s. Considerando a aceleração da
gravidade g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do
ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base
da qual foi lançado.
A)
o saco deve ser lançado quando o avião se
encontra a 100 m do alvo;
B)
o saco deve ser lançado quando o avião se
encontra a 200 m do alvo;
C)
o saco deve ser lançado quando o avião se
encontra a 300 m do alvo;
D)
o saco deve ser lançado quando o avião se
encontra a 400 m do alvo;
E)
o saco deve ser lançado quando o avião se
encontra a 500 m do alvo.
6º) (PUC-RIO)
Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do
solo, e atinge uma altura máxima de 20 m. Considerando a
aceleração da gravidade g = 10 m/s², a velocidade inicial
de lançamento e o tempo de subida da bola são:
A)
3s
B)
4s
C)
5s
A)
10 m/s e 1s
D)
6s
B)
20 m/s e 2s
E)
7s
C)
30 m/s e 3s
D)
40 m/s e 4s
E)
50 m/s e 5s
4º) (PUC-RIO)
Um objeto é lançado verticalmente para cima, de uma
base, com velocidade v = 30 m/s. Indique a distância total
percorrida pelo objeto desde sua saída da base até seu
retorno, considerando a aceleração da gravidade g = 10
m/s² e desprezando a resistência do ar.
A)
30 m
B)
55 m
7º) (PUC-RIO)
Duas esferas de aço, de massas iguais a m = 1,0 kg, estão
amarradas uma a outra por uma corda muito curta, leve,
inquebrável e inextensível. Uma das esferas é jogada para
cima, a partir do solo, com velocidade vertical de 20,0 m/s,
enquanto a outra está inicialmente em repouso sobre o
12
solo. Sabendo que, no ponto de máxima altura hmáx da
trajetória do centro de massa, as duas esferas estão na
mesma altura, qual o valor, em m, da altura hmáx?
(Considere g = 10 m/s²)
A)
5
B)
10
C)
15
D)
20
E)
25
e) doze vezes maior.
3. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma
altura de 20 m. Despreza-se a resistência do ar e adota-se
g = 10 m/s2. A velocidade da pedra ao atingir o solo e o
tempo gasto na queda valem, respectivamente:
a) v = 20 m/s e t = 2 s.
b) v = 20 m/s e t = 4 s.
c) v = 10 m/s e t = 2 s.
d) v = 10 m/s e t = 4 s.
e) N.R.A.
4. (UFPA) Em um local onde a aceleração da gravidade
vale 10 m/s2, deixa-se cair livremente uma pedra de uma
altura de 125 m, em direção ao solo. Dois segundos
depois, uma segunda pedra é atirada da mesma altura.
Sabendo que essas duas pedras atingiram o solo ao
mesmo tempo, a velocidade com que a segunda pedra foi
atirada vale:
a) 12,3 m/s.
b) 26,7 m/s.
c) 32 m/s.
d) 41,2 m/s.
e) 57,5 m/s.
8º) (PUC-RIO)
Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no
instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para
baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um
intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto.
Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo,
calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g =
10 m/s²).
A)
160 m.
B)
180 m.
C)
18 m.
D)
80 m.
E)
1800 m.
5. (UFSCar-SP) Um foguete é lançado de uma base. Ao
atingir uma altura de 480 m, o combustível do primeiro
estágio acaba e ele é desacoplado do foguete. Neste
instante, sua velocidade é de 100 m/s. Usando g = 10
m/s2, a velocidade com que o primeiro estágio atingirá o
solo será de:
a) 200 m/s.
b) 150 m/s.
c) 100 m/s.
d) 140 m/s.
e) 148 m/s.
PROBLEMAS
6. (Unisinos-99/2) Após saltar de um avião, e já com o
pára-quedas aberto, um pára-quedista desce com
velocidade vertical constante.
Nessa situação, o módulo do peso do conjunto (páraquedas+pára-quedista) é .................... módulo da
resistência do ar e a aceleração resultante ....................
1. Um balão sobe com velocidade constante V. Quando
ele está a uma altura h do solo, um projétil é disparado em
direção ao balão com velocidade V/2. Desprezando-se a
resistência do ar, poderemos afirmar que:
a) O projétil atingirá o balão.
b) O projétil chega mais perto do balão no instante t =
(V/2)g.
c) O projétil chega mais perto do balão no instante t =
(2V)/g.
d) O projétil atinge o balão na sua altura máxima.
e) N.R.A.
As lacunas são corretamente preenchidas,
respectivamente, por :
a) igual ao; é nula.
b) igual ao; está orientada para baixo.
c) maior que o; está orientada para baixo.
d) maior que o; é nula.
e) menor que o; está orientada para cima.
2. (UFRJ) Um corpo em queda livre percorre uma certa
distância vertical em 2 s. A distância percorrida em 6 s
será:
a) dupla.
b) tripla.
c) seis vezes maior.
d) nove vezes maior.
7. (Unifor-98) Um chumaço de algodão umedecido desceu
verticalmente, a partir do repouso, em movimento que
pode ser considerado retilíneo uniformemente acelerado.
Quando o algodão completou 4,5 m de percurso, a
velocidade era de 1,5 m/s. Com essas informações pode13
se determinar a velocidade do algodão ao completar 2,0 m
de percurso que é, em m/s, igual a:
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,60
d) 0,75
e) 1,0
"Se um corpo apresenta um movimento composto, cada
um dos movimentos componentes se realiza como se os
demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo."
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
8. (UFAL) Um corpo é deixado cair em queda livre, a partir
do repouso, da altura de 80 m. Adotando-se g = 10 m/s2,
pode-se afirmar que a velocidade média na queda é, em
m/s, de:
a) 80
b) 60
c) 40
d) 30
e) 20
O lançamento oblíquo estuda o movimento de corpos,
lançados com velocidade inicial V0 da superfície da Terra.
Na figura a seguir vemos um exemplo típico de
lançamento obliquo realizado por um jogador de golfe.
9. (UFAL) Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em
queda livre de uma altura de 80 m. Considerando g = 10
m/s2, o tempo de queda é:
a) 8 s
b) 6 s
c) 4 s
d) 2 s
e) 1 s
A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura
acima. Como a análise deste movimento não é fácil, é
conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de
Galileu. Veremos que ao projetramos o corpo
simultaneamente no eixo x e y teremos dois movimentos:
10. (UFAL) Um corpo é atirado verticalmente para cima
com velocidade de 40 m/s. Considerando-se a aceleração
da gravidade g = 10 m/s2, a altura máxima que o corpo
atinge, a partir do ponto de lançamento, é, em metros:
a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
e) 160
- Em relação a vertical, a projeção da bola executa um
movimento de aceleração constante e de módulo igual a g.
Trata-se de um M.U.V. (lançamento vertical)
- Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um
M. U.

GABARITO
1-E
6-A
2-D
7-E
3-A
8-E
4-B
9-C
5-D
10 - D


Observações:
Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a
um ponto (altura máxima) onde
, e desce
aumentando a velocidade.
O alcance máximo é a distância entre o ponto do
lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja,
onde y=0.
A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial
das velocidades horizontal e vertical, ou
seja,
. O vetor velocidade é tangente
à trajetória em cada momento.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
LANÇAMENTO OBLÍQUO
O lançamento balístico é um exemplo típico de
composição de dois movimentos. Galileu notou esta
particularidade do movimento balístico.
O lançamento oblíquo é um exemplo típico de composição
de dois movimentos. Galileu notou esta particularidade do
movimento balístico.
Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade:
Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade:
"Se um corpo apresenta um movimento composto, cada
14
um dos movimentos componentes se realiza como se os
demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo."
porém o módulo aumenta a medida que se aproxima do
solo
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
PROBLEMAS
O princípio da simultaneidade poderá ser verificado no
Lançamento Horizontal.
1) (CEFET) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma
mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da
mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos
pés da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do
ar e determine:
a) a altura da mesa.
b) o tempo gasto para atingir o solo.
2) (STA CASA-SP) Um canhão, em solo plano e
horizontal, dispara uma bala, com ângulo de tiro de 300 . A
velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo g = 10 m/s² o
valor da aceleração da gravidade no local, qual a altura
máxima da bala em relação ao solo, em km?
Um observador no solo, (o que corresponde a nossa
posição diante da tela) ao notar a queda do corpo do
helicóptero, verá a trajetória indicada na figura. A trajetória
traçada pelo corpo, corresponde a um arco de parábola,
que poderá ser decomposta em dois movimentos:
3) (PUCC-SP) Calcular o alcance de um projétil lançado
por um morteiro com velocidade inicial de 100 m/s,
sabendo-se que o ângulo formado entre o morteiro e a
horizontal é de 300. Adotar g = 10 m/s² .
4) (OSEC-SP) Um corpo é lançado obliquamente para
cima, formando um ângulo de 300 com a horizontal. Sabese que ele atinge uma altura máxima hmáx = 15 m e que
sua velocidade no ponto de altura máxima é v = 10 m/s.
Determine a sua velocidade inicial. Adotar g = 10 m/s² .
5) (FEI-SP) Um objeto voa numa trajetória retilínea, com
velocidade v = 200 m/s, numa altura H = 1500 m do solo.
Quando o objeto passa exatamente na vertical de uma
peça de artilharia, esta dispara um projétil, num ângulo de
600 com a horizontal. O projétil atinge o objeto decorrido o
intervalo de tempo Dt. Adotar g = 10 m/s2. Calcular a
velocidade de lançamento do projétil.
6) (FEI-SP) Calcular o menor intervalo de tempo t em que
o projétil atinge o objeto, de acordo com os dados da
questão anterior.
7) (PUCC-SP) Um avião, em vôo horizontal, está
bombardeando de uma altitude de 8000 m um destróier
parado. A velocidade do avião é de 504 km/h. De quanto
tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de
uma bomba ter sido lançada ? (g = 10 m/s² ).
- A projeção horizontal (x) do móvel descreve um
Movimento Uniforme.
8) (F.C.CHAGAS-SP) Um avião precisa soltar um saco
com mantimentos a um grupo de sobreviventes que está
numa balsa. A velocidade horizontal do avião é constante
e igual a 100 m/com relação à balsa e sua altitude é 2000
m. Qual a distância horizontal que separa o avião dos
sobreviventes, no instante do lançamento ? (g = 10 m/s²).
O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem
alterar a direção, sentido e o módulo.
- A projeção vertical (y) do móvel descreve um movimento
uniformemente variado.
9) (UF-BA) De um ônibus que trafega numa estrada reta e
horizontal com velocidade constante de 20 m/s desprende-
O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido
15
se um parafuso, situado a 0,80 m do solo e que se fixa à
pista no local em que a atingiu. Tomando-se como
referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no
instante em que se inicia a queda do parafuso e
considerando-se g = 10 m/s², determine, em m, a que
distância este será encontrado sobre a pista.
10) (CESGRANRIO-RJ) Para bombardear um alvo, um
avião em vôo horizontal a uma altitude de 2,0 km solta a
bomba quando a sua distância horizontal até o alvo é de
4,0 km. Admite-se que a resistência do ar seja desprezível.
Para atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a
mesma velocidade, mas agora a uma altitude de apenas
0,50 km, ele teria que soltar a bomba a que distância
horizontal do alvo?
RESPOSTAS
1) a) 0,8m b) 0,4s
2) 3125 m
3) 870 m
4) 34,6 m/s
5) 400 m/s
6) 4,6 s
7) 40 s
8) 2000 m
9) 8 m
10) 2000 m
16