D-10 - CONTABILIDADE GERAL

ESTATÍSTICA – AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO TCE–PA
Aula 00 – Demonstrativa
Prof. Alexandre Lima
Aula 00
Caro aluno,
Seja bem vindo ao curso de “ESTATÍSTICA para AUDITOR DE CONTROLE
EXTERNO DO TRIBUNAL DE CONTAS DO ESTADO DO PARÁ (TCE-PA)
CARGOS 12 e 31”.
Sigamos em frente ... vou me apresentar para você.
Sou o professor Alexandre Lima. É uma imensa satisfação tê-lo como meu
aluno. Obtive o grau de Bacharel em Ciências Navais com ênfase em Eletrônica
pela Escola Naval e os de Engenheiro Elétrico com ênfase em
Telecomunicações, Mestre e Doutor em Engenharia Elétrica, área de
concentração: Sistemas Eletrônicos, pela Escola Politécnica da Universidade de
São Paulo (EPUSP). Sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal de São Paulo. Em
paralelo, exerço o magistério universitário e ministro aulas de Matemática,
Raciocínio Lógico-Quantitativo, Estatística e Econometria aqui no Ponto dos
Concursos desde 2009. Sou professor orientador dos cursos de pós-graduação
stricto sensu em Eng. Elétrica da EPUSP e em Engenharia da Computação do
Instituto de Pesquisas Tecnológicas (IPT).
Voltemos ao curso. A exposição do conteúdo programático do edital não será
exaustiva, porque isso seria impraticável e improdutivo. Não obstante, farei
uma varredura nas últimas provas do CESPE com o intuito de detectar as
últimas tendências, ou seja, o “BIZU” do que poderá ser realmente cobrado na
sua prova. É preciso ser pragmático e ter “jogo de cintura” nessa hora. Você
precisará aprender o que (provavelmente) cairá na prova. Não é
necessário saber toda a matéria para ser aprovado em um concurso
público.
Resolveremos juntos um grande número de questões que foram cobradas
recentemente pelo CESPE. Por questões didáticas, também serão utilizadas
questões de bancas tradicionais como ESAF, FCC e Cesgranrio, dentre outras.
Ressalto que todas as questões incluídas nas aulas são cuidadosamente
selecionadas para que o seu aproveitamento seja máximo. As soluções
apresentadas são resultantes de um longo processo evolutivo, fruto de uma
intensa interação com os alunos via forum web etc.
Segue-se o conteúdo programático. Atenção: os tópicos em vermelho, apesar
de não terem sido listados pelo edital, são necessários para a fluência do
curso. Caso contrário, haveria descontinuidade da exposição teórica, e, por
conseguinte, lacuna de conhecimento.
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Aula 00 – Demonstrativa
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Aula 0 (DEMONSTRATIVA): apresentação do
metodologia de ensino e resolução de exercícios.
conteúdo
programático,
Aula 1: Estatística descritiva e análise exploratória de dados: gráficos,
diagramas, tabelas, medidas descritivas (posição, dispersão, assimetria e
curtose).
Aula 2: Probabilidade. Definições básicas e axiomas. Probabilidade condicional
e independência.
Aula 3: Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Distribuição de
probabilidades. Função de probabilidade. Função densidade de probabilidade.
Esperança e momentos. Distribuições especiais. Distribuições condicionais e
independência. Transformação de variáveis.
Aula 4: Variável aleatória bivariada. Nota: apesar deste tópico não constar do
edital, trata-se de uma ponte conceitual para o restante do curso.
Aula 5: Leis dos grandes números. Teorema central do limite. Amostras
aleatórias. Distribuições amostrais. Técnicas de amostragem: amostragem
aleatória simples, estratificada, sistemática e por conglomerados. Tamanho
amostral.
Aula 6: Inferência estatística. Estimação pontual: métodos de estimação,
propriedades dos estimadores, suficiência. Estimação intervalar: intervalos de
confiança, intervalos de credibilidade.
Aula 7: Testes de hipóteses: hipóteses simples e compostas, níveis de
significância e potência de um teste, teste t de Student, teste qui-quadrado.
Aula 8: Análise de regressão linear. Critérios de mínimos quadrados e de
máxima verossimilhança. Modelos de regressão linear.
Aula 9: Inferência sobre os parâmetros do modelo. Análise de variância.
Análise de resíduos.
Aula 10: Revisão/Resumão da matéria para a prova. Simulado preparatório.
As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, ao qual todos os
matriculados terão acesso. As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para
a caixa postal [email protected].
Por último, peço que você medite nas seguintes palavras de um grande sábio
judeu da antiguidade, o Rei Salomão:
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“O preguiçoso deseja e nada consegue, mas os desejos do diligente são
amplamente satisfeitos.”
Fé na missão e fé em Deus!
Prof. Alexandre Lima
Março/2016
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Exemplos de Exercícios Comentados e Resolvidos
Nota: nesta aula demonstrativa serão apresentadas apenas questões
comentadas; contudo, o curso será de teoria e exercícios.
(BACEN – Área 5/CESPE/2013)
2 4 8 4 8 1 2 32 12 1 5 7 5 5 3 4 24 19 4 14
Os dados mostrados acima representam uma amostra, em minutos, do tempo
utilizado na armazenagem de formulários no almoxarifado central de certa
instituição por diversos funcionários.
Com base nesses dados, julgue os itens a seguir.
1. A média da sequência de dados apresentada é superior ao dobro da moda.
Resolução
A tabela abaixo nos dá a distribuição de frequências dos dados mostrados no
enunciado.
x = tempo
(min.)
Freq. (f)
Freq.
Relativa (p)
x.f
1
2
3
4
5
7
8
12
14
19
24
32
Soma
2
2
1
4
3
1
2
1
1
1
1
1
n = 20
2/20 = 10%
2/20 = 10%
1/20 = 5%
4/20 = 20%
3/20 = 15%
1/20 = 5%
2/20 = 10%
1/20 = 5%
1/20 = 5%
1/20 = 5%
1/20 = 5%
1/20 = 5%
100%
2
4
3
16
15
7
16
12
14
19
24
32
164
Freq.
Acumulada
(F)
Freq. Relativa
Acumulada
(P)
2
4
5
9
12
13
15
16
17
18
19
20
10%
20%
25%
45%
60%
65%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
Cálculo da média:
x
1 k
164
f i xi 
 8,2

n i1
20
4
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O valor de maior frequência (ou moda) é o 4, pois foi observado quatro vezes.
Note que (média = 8,2) > (2 x moda) = 2 x 4,0 = 8,0  Item certo.
GABARITO: C
2. A mediana é maior que o 50º percentil.
Resolução
A mediana é igual ao 50º percentil, por definição. Logo o item é errado.
Por uma questão didática, calculemos o valor da mediana usando o rol de
dados abaixo,
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
1
1
2
2
3
4
4
4
4
5
5
5
7
8
8
12 14 19 24 32
em que
i = posição da observação no rol
x = observação
O rol contém n = 20 observações da variável x. Deste modo, a mediana é dada
pela média entre as 10ª e 11ª:
Mediana = (5 + 5) /2 = 5 = 50º percentil
GABARITO: E
3. É inviável a elaboração de um histograma em decorrência do fato de ser
este um conjunto de dados quantitativos discretos; dessa forma, apenas por
meio de um gráfico de barras pode ser realizada a representação gráfica.
Resolução
A descrição gráfica de variáveis quantitativas discretas é normalmente feita
por meio de um diagrama (gráfico) de barras. Não obstante, um conjunto de
dados quantitativos discretos também pode ser representado por um
histograma. Neste caso, as classes são formadas especificando-se os intervalos
que serão usados para agrupar os dados. Item errado.
GABARITO: E
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4. A distribuição de frequência acumulada para tempo de armazenagem
observado na amostra inferior a 8 minutos é igual a 13, o que corresponde a
uma frequência relativa superior a 0,60.
Resolução
A afirmação é correta, pois
F(x < 8) = 13
P(x < 8)= 65%
de acordo com a distribuição de frequências apresentada anteriormente.
Nota: a banca interpretou o termo “frequência relativa” do enunciado como
sendo “frequência relativa acumulada”. Essa interpretação é legítima no
contexto do item.
GABARITO: C
(ANAC/CESPE/2009) Um estudo sobre a duração de uma operação de
carregamento mostrou haver relação linear na forma Yk = βXk + εk, em que Yk
é o tempo (horas) do carregamento k; Xk é o volume total (em toneladas) do
carregamento k; β é o coeficiente angular; e εk representa um erro aleatório
com média zero e variância 2.
De uma amostra aleatória de 341 operações de carregamento, observam-se os
seguintes resultados:
341
 X k Yk  988 ;
k 1
341
Y
k 1
k
341
 X k2  1.704 ;
k 1
341
 X k  682 ;
k 1
341
Y
k 1
2
k
 681 ;
 341 .
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
5. O coeficiente R2 (ou coeficiente de determinação ou explicação) do modelo
apresentado é igual a 0,81, o que indica que 81% da variação total do tempo
de carregamento são explicadas pelo volume total do carregamento.
Resolução
Note que a regressão passa pela origem, pois o modelo especificado é
Yk = βXk + εk.
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O coeficiente R2 mede a percentagem da variação na variável
dependente Y (tempo em horas do carregamento) explicada pela variação
na variável explicativa X (volume total em toneladas do carregamento)
dentro do modelo de regressão.
Estimativa da declividade
b
X Y
X
k
k
2
k

988
 0,58
1.704
Cálculo de R2
SQE  Yk2  b 2  X k2  681  0,58 2  1.704  107,77
Y 

2
SQT  S yy   Y k
2
R2  1
k
n
 681 
3412
 340
341
SQE
107,77
 1
 0,68  0,81  item errado
SQT
340
Além disso, é errado dizer que
“(...) variação total do tempo de carregamento são explicadas pelo volume
total do carregamento.”
A afirmação correta seria
“(...) variação total do tempo de carregamento são explicadas pela variação do
volume total do carregamento.”
Calculemos o coeficiente de correlação.
r
S xy
S xx S yy
S xy   X k Yk 
 X  Y 
682  341
 988 
 306
k
 X 
k
n
2
S xx   X k2 
r
S xy
S xx S yy

k
n
306
340
2
 1.704 

341
682 2
 340
341
306
 0,90  r 2  0,81
340
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Constatamos que r 2  R 2 para regressão sem intercepto.
GABARITO: E
6. A correlação linear entre o tempo de carregamento e o volume total do
carregamento é superior a 0,85.
Resolução
O item está certo, pois vimos que r = 0,9. O cálculo do item anterior não foi
uma perda de tempo!
GABARITO: C
7. Sendo os erros aleatórios distribuídos segundo uma normal, então a
estimativa de máxima verossimilhança para o coeficiente β é inferior a 0,60 e
superior a 0,55.
Resolução
Se admitirmos os erros aleatórios do modelo de regressão distribuídos
normalmente, os estimadores de mínimos quadrados e de máxima
verossimilhança dos coeficientes da regressão são idênticos (*).
Vimos que a estimativa de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para o
coeficiente β é 0,58. Sob a hipótese de que os erros aleatórios do modelo de
regressão são normalmente distribuídos, os estimadores de mínimos
quadrados e de máxima verossimilhança dos coeficientes da regressão são
idênticos. Logo, 0,55 < b = 0,58 < 0,60  item certo.
(*) GUJARATI, D. N. “Econometria Básica”, 3ª Ed., Pearson Makron Books,
2000.
GABARITO: C
8. Sendo y , x e ˆ , respectivamente, a média dos tempos de carregamento, a
média dos volumes totais do carregamento e a estimativa de mínimos
quadrados do coeficiente angular do modelo, então y  ̂x .
Resolução
A estimativa de mínimos quadrados para o coeficiente angular do modelo é
 X k Yk .
ˆ 
 X k2
8
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  X k Yk
A linha de regressão é dada pela equação Yˆk  ˆX k  
 X2
k

  X k Yk
Faça X k  x na equação acima. Então, Yˆk  
 X2
k


X k .



 x  y  Item errado.


Observe que a linha de regressão não passa pelo ponto das médias ( x , y)
quando a reta não possui intercepto. Lembre que a reta de regressão
passa pelo ponto das médias quando existe o termo de intercepto.
Por outro lado, e ainda considerando o modelo de regressão pela origem, é
y
possível demonstrar que ̂  
é um estimador alternativo para o coeficiente
x
angular. Mas esse estimador não é de mínimos quadrados.
y
Neste caso, Yˆk  ̂  X k  X k . Fazendo X k  x , obtemos Yˆk  y .
x
GABARITO: E
(ANAC/CESPE/2012/Adaptada) Em relação aos modelos de regressão,
julgue os próximos itens.
9. O modelo de regressão Yi = 0 + 1exp(Xi) + i, i ~ N(0, 2) é um modelo
linear simples.
Resolução
É preciso esclarecer o significado do termo "linear".
Linearidade nas Variáveis
O primeiro significado de linearidade é que a esperança condicional de Y dado
x é uma função linear de x, como por exemplo, no modelo
E(Y|x) =  + x
em que a curva de regressão em função de x é uma reta.
Linearidade nos Parâmetros
A segunda interpretação de linearidade é que a esperança condicional de Y
dado x é uma função linear dos parâmetros  e ; isso pode ou não ser linear
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na variável X. Nesta interpretação,
E(Y|x) =  + .exp(x)
é um modelo de regressão linear simples.
De acordo com a segunda interpretação, o modelo de regressão Yi = 0 +
1exp(Xi) + i, i ~ N(0, 2) é um modelo linear simples nos parâmetros. Item
certo.
GABARITO: C
10. O gráfico abaixo mostra o consumo de combustível de aviação (em galões)
por milha náutica voada e o ajuste de uma reta a todos os pontos mostrados
via regressão linear. Sabendo-se que uma primeira regressão linear foi
realizada utilizando-se apenas os pontos com preenchimento e que a inclusão
do ponto sem preenchimento levou a um considerável deslocamento dessa
reta, então é correto afirmar que esse ponto denomina-se ponto de inflexão.
Resolução
Até onde é de meu conhecimento, a literatura não reconhece a existência
dessa terminologia chamada "ponto de inflexão" na regressão linear. Item
errado. Sem maiores comentários.
GABARITO: E
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(ANTT – Cargo15 – Área:Estatística/CESPE/2013)
parâmetro
estimativa
erro padrão
razão t
p-valor
0
60
6,0
10,0
0,00000
1
0,8
0,2
4,0
0,00007
2
3,6
2,0
1,8
0,07218
3
-0,10
0,05
-2,0
0,04578
Um estudo para investigar a associação da pressão arterial diastólica com o
tempo acumulado de trabalho dos motoristas de ônibus em determinada
cidade considerou o modelo de regressão linear na forma y i = β0 + β1X1i +
β2X2i + β3X1iX2i + i, em que yi representa a pressão arterial diastólica (mmHg)
do motorista i, X1i é a idade (em anos) do motorista i, X2i denota o logaritmo
natural do tempo de trabalho (em meses) do motorista i e i representa o erro
aleatório com média nula e variância 2. Esse estudo foi realizado com base
em uma amostra aleatória de 1.000 motoristas de ônibus. A tabela acima
apresenta a estimativa de cada parâmetro βi (i = 0, 1, 2, 3) obtida pelo
método de mínimos quadrados ordinários, o erro padrão, a razão t e o p-valor
correspondentes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue os itens a
seguir.
11. Considerando-se o nível de significância de 5%, não se rejeita a hipótese
H0: β2 = 0.
Resolução
Em primeiro lugar, relembremos alguns conceitos de testes de hipóteses.
Dado um problema de teste de hipóteses, precisamos formular as chamadas
hipótese nula e hipótese alternativa.
A hipótese nula ou hipótese de trabalho (H0) é a hipótese aceita como
verdadeira até prova estatística em contrário. É o ponto de partida para a
análise dos dados. Em geral, ela é formulada em termos de igualdade entre
parâmetros ou entre um parâmetro e uma constante. Ela geralmente
representa o contrário do que queremos provar, ou seja, representa a hipótese
que se quer rejeitar. Quando os dados mostrarem evidência suficiente de que
a hipótese nula (H0) é falsa, o teste rejeita-a, aceitando em seu lugar a
chamada hipótese alternativa (H1). Em geral, a hipótese alternativa é
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formulada em termos de desigualdades (, < ou >). Ela comumente
representa o que se quer provar, isto é, corresponde à própria hipótese de
pesquisa formulada em termos de parâmetros.
O valor-p (ou probabilidade de significância) é a probabilidade de a estatística
do teste acusar um resultado tão ou mais distante do esperado, como o
resultado ocorrido na particular amostra observada, supondo H0 como a
hipótese verdadeira.
Regra de decisão:
 Se valor-p ≤  , rejeitamos H0 em favor de H1.
 Se valor-p >  , não rejeitamos H0 em favor de H1.
Note que  = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) é o nível de
significância do teste.
Quando adotamos um modelo de regressão múltipla, admitimos que todas as
(k – 1) variáveis explanatórias influenciem a variável dependente y. Para
confirmar essa hipótese, devemos examinar se ela é, ou não, apoiada pelos
dados. Isto é, devemos procurar saber se os dados proporcionam evidência de
que y esteja relacionado com cada uma das variáveis independentes. Se
determinada variável explicativa, digamos Xk, não tem nenhuma influência
sobre y, então k = 0. O teste dessa hipótese nula é chamado teste de
significância para a variável explanatória Xk. Assim, a fim de verificar se os
dados apresentam alguma evidência empírica de que y esteja relacionado com
Xk, testamos a hipótese nula
H0 :  k = 0
contra a hipótese alternativa
H1: k  0
Seja bk a estimativa de k . A estatística do teste é a variável t de Student
t
bk
~ t( n  k )
ep (bk )
em que ep(bk) denota o erro padrão da razão t(n-k), que possui n–k graus de
liberdade, n é o número de elementos da amostra e k é o número de
parâmetros do modelo.
Como 0,07218 > 5% (valor-p > ) não há evidência suficiente para se rejeitar
H0 em favor de H1. Item certo.
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GABARITO: C
12. Para se obter a estimativa de um coeficiente do modelo pelo método de
mínimos quadrados ordinários, exige-se que o erro aleatório i siga uma
distribuição normal com média 0 e variância 2.
Resolução
Para se obter a estimativa de um coeficiente do modelo pelo método de
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), não se exige que o erro aleatório i siga
uma distribuição normal com média 0 e variância 2. Se os erros não são
distribuídos normalmente, então os estimadores de mínimos quadrados têm
distribuição aproximadamente normal em grandes amostras, nas quais n – k é
superior, digamos, a 50.
Item errado.
GABARITO: E
13. O produto X1iX2i, que se denomina interação, permite representar o efeito
multiplicativo da idade e do logaritmo natural do tempo de trabalho na pressão
arterial diastólica média de um motorista.
Resolução
Item trivial e auto-explicativo. O modelo conta um regressor X1iX2i denominado
interação, o qual permite representar o efeito multiplicativo da idade e do
logaritmo natural do tempo de trabalho na pressão arterial diastólica média de
um motorista. Item certo.
GABARITO: C
14. O estimador do coeficiente β1 segue uma distribuição t de Student com
995 graus de liberdade.
Resolução
Admitindo que os erros sejam distribuídos normalmente, yi também será
uma variável aleatória distribuída normalmente. Portanto, os estimadores de
mínimos quadrados terão distribuições normais (β1 inclusive), pois são funções
lineares de yi.
GABARITO: E
13
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15. Por meio do método estatístico análise de variância (ANOVA), é possível
testar, por exemplo, a hipótese nula β1 = β2 = β3 = 0.
Resolução
A análise de variância (ANOVA) pode ser usada para testar a significância da
regressão múltipla. A ideia é aplicar a ANOVA para testar a significância global
da regressão estimada, ou seja, para testar a hipótese nula de que os
verdadeiros coeficientes de inclinação são simultaneamente nulos (1 = 2 = ...
= k = 0).
Uma hipótese nula conjunta, que envolve um conjunto de hipóteses (como β1
= β2 = β3 = 0), é testada apenas por um teste F.
Item certo.
GABARITO: C
(ANTT – Cargo15 – Área: Estatística/CESPE/2013) Julgue os itens
seguintes, relativos à violação das suposições básicas dos modelos clássicos de
regressão.
16. Uma vez detectada a presença de heterocedasticidade, é possível estimar
o modelo por mínimos quadrados generalizados (MQG) para corrigir ou
minimizar o problema, de tal forma que os estimadores de MQG sejam
melhores que os estimadores de MQO.
Resolução
Consequências da heterocedasticidade e correlação serial para o estimador de
MQO:
a. O estimador de MQO ainda é linear e não tendencioso, mas não é mais o
MELNV;
b. Os erros padrão comumente calculados para o estimador de MQO são
incorretos. Os intervalos de confiança e os testes de hipóteses que
utilizam esses erros padrão podem ser enganosos.
Quando há heterocedasticidade e/ou correlação serial, o estimador
MELNV é o estimador de MQG. Item correto.
GABARITO: C
14
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17. Na presença de multicolinearidade, a variância e a covariância dos
estimadores serão afetadas, sendo possível que sejam alterados tanto os sinais
quanto a magnitude dos estimadores.
Resolução
Muitas vezes as variáveis econômicas podem caminhar juntas de maneira
sistemática. Tais variáveis chamam-se colineares, e o problema é a
colinearidade, ou , quando estão em jogo diversas variáveis,
multicolinearidade. Nesse caso, não há garantia de que os dados sejam ricos
em informação, nem de que seja possível isolar as relações ou parâmetros
econômicos de interesse1.
Para a regressão de 𝑘 variáveis envolvendo as variáveis explicativas
𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 (em que 𝑋1 = 1 para todas as observações, permitindo o termo de
intercepto), dizemos que existe uma multicolinearidade perfeita (ou
dependência linear exata entre as variáveis) se for satisfeita a seguinte relação
𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘 = 0
em que os 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 são constantes de modo que nem todos sejam
simultaneamente iguais a zero.
O termo multicolinearidade pode ser usado em um sentido mais amplo, como
ocorre quando as variáveis 𝑋 são intercorrelacionadas, mas não perfeitamente.
A multicolinearidade menos que perfeita é definida pela relação
𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢𝑖 = 0
em que 𝑢𝑖 é um termo de erro aleatório.
Consequências práticas da multicolinearidade2:
i.
Apesar de serem MELNV, os estimadores de MQO têm grandes variâncias
e covariâncias, dificultando uma estimativa precisa.
ii.
Em virtude da consequência anterior, os intervalos de confiança tendem
a ser maiores, resultando na aceitação da hipótese nula, a saber, que o
verdadeiro coeficiente na população é zero, mais prontamente.
iii.
Também por causa da consequência i, a razão t de um ou mais
coeficientes tende a ser estatisticamente insignificante.
iv.
Embora a razão t de um ou mais coeficientes seja estatisticamente
insignificante, o coeficiente de determinação R2 pode ser bastante alto.
1
2
R. C. Hill, W. E. Griffiths, G. G. Judge. Econometria, 2a edição, Editora Saraiva, 2006, pág. 217.
D. N. Gujarati. Econometria Básica, 3a edição, Pearson, 2000, pág. 326.
15
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v.
Os estimadores de MQO e seus erros padrão podem ser sensíveis a
pequenas variações nos dados.
A afirmação é correta
multicolinearidade.
de
acordo
com
a
primeira
consequência
da
GABARITO: C
18. A violação da suposição de homocedasticidade dos resíduos afeta a
distribuição de probabilidades dos estimadores sem afetar, contudo, o seu
valor esperado.
Resolução
Se a hipótese de mesma variância ou homocedasticidade dos choques
aleatórios  i é violada
Var ( i )  E ( i2 )   2 , i  1,2,...n ,
o estimador de MQO ainda continua sendo linear e não viesado. Mas não é o
MELNV.
O valor esperado do estimador de MQO não é afetado porque o estimador não
é viesado. A variância do estimador de MQO muda, não sendo mais a mínima.
Portanto, a distribuição de probabilidades do estimador é afetada.
Item correto.
GABARITO: C
Abraços e até a próxima aula.
Bons estudos!
Alexandre Lima
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Lista de Questões Comentadas na Aula
(BACEN – Área 5/CESPE/2013)
2 4 8 4 8 1 2 32 12 1 5 7 5 5 3 4 24 19 4 14
Os dados mostrados acima representam uma amostra, em minutos, do tempo
utilizado na armazenagem de formulários no almoxarifado central de certa
instituição por diversos funcionários.
Com base nesses dados, julgue os itens a seguir.
1. A média da sequência de dados apresentada é superior ao dobro da moda.
2. A mediana é maior que o 50º percentil.
3. É inviável a elaboração de um histograma em decorrência do fato de ser
este um conjunto de dados quantitativos discretos; dessa forma, apenas por
meio de um gráfico de barras pode ser realizada a representação gráfica.
4. A distribuição de frequência acumulada para tempo de armazenagem
observado na amostra inferior a 8 minutos é igual a 13, o que corresponde a
uma frequência relativa superior a 0,60.
(ANAC/CESPE/2009) Um estudo sobre a duração de uma operação de
carregamento mostrou haver relação linear na forma Yk = βXk + εk, em que Yk
é o tempo (horas) do carregamento k; Xk é o volume total (em toneladas) do
carregamento k; β é o coeficiente angular; e εk representa um erro aleatório
com média zero e variância 2.
De uma amostra aleatória de 341 operações de carregamento, observam-se os
seguintes resultados:
341
 X k Yk  988 ;
k 1
341
Y
k 1
k
341
 X k2  1.704 ;
k 1
341
 X k  682 ;
k 1
341
Y
k 1
2
k
 681 ;
 341 .
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
5. O coeficiente R2 (ou coeficiente de determinação ou explicação) do modelo
apresentado é igual a 0,81, o que indica que 81% da variação total do tempo
de carregamento são explicadas pelo volume total do carregamento.
6. A correlação linear entre o tempo de carregamento e o volume total do
carregamento é superior a 0,85.
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7. Sendo os erros aleatórios distribuídos segundo uma normal, então a
estimativa de máxima verossimilhança para o coeficiente β é inferior a 0,60 e
superior a 0,55.
8. Sendo y , x e ˆ , respectivamente, a média dos tempos de carregamento, a
média dos volumes totais do carregamento e a estimativa de mínimos
quadrados do coeficiente angular do modelo, então y  ̂x .
(ANAC/CESPE/2012/Adaptada) Em relação aos modelos de regressão,
julgue os próximos itens.
9. O modelo de regressão Yi = 0 + 1exp(Xi) + i, i ~ N(0, 2) é um modelo
linear simples.
10. O gráfico abaixo mostra o consumo de combustível de aviação (em galões)
por milha náutica voada e o ajuste de uma reta a todos os pontos mostrados
via regressão linear. Sabendo-se que uma primeira regressão linear foi
realizada utilizando-se apenas os pontos com preenchimento e que a inclusão
do ponto sem preenchimento levou a um considerável deslocamento dessa
reta, então é correto afirmar que esse ponto denomina-se ponto de inflexão.
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(ANTT – Cargo15 – Área:Estatística/CESPE/2013)
parâmetro
estimativa
erro padrão
razão t
p-valor
0
60
6,0
10,0
0,00000
1
0,8
0,2
4,0
0,00007
2
3,6
2,0
1,8
0,07218
3
-0,10
0,05
-2,0
0,04578
Um estudo para investigar a associação da pressão arterial diastólica com o
tempo acumulado de trabalho dos motoristas de ônibus em determinada
cidade considerou o modelo de regressão linear na forma yi = β0 + β1X1i +
β2X2i + β3X1iX2i + i, em que yi representa a pressão arterial diastólica (mmHg)
do motorista i, X1i é a idade (em anos) do motorista i, X2i denota o logaritmo
natural do tempo de trabalho (em meses) do motorista i e i representa o erro
aleatório com média nula e variância 2. Esse estudo foi realizado com base
em uma amostra aleatória de 1.000 motoristas de ônibus. A tabela acima
apresenta a estimativa de cada parâmetro βi (i = 0, 1, 2, 3) obtida pelo
método de mínimos quadrados ordinários, o erro padrão, a razão t e o p-valor
correspondentes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue os itens a
seguir.
11. Considerando-se o nível de significância de 5%, não se rejeita a hipótese
H0: β2 = 0.
12. Para se obter a estimativa de um coeficiente do modelo pelo método de
mínimos quadrados ordinários, exige-se que o erro aleatório i siga uma
distribuição normal com média 0 e variância 2.
13. O produto X1iX2i, que se denomina interação, permite representar o efeito
multiplicativo da idade e do logaritmo natural do tempo de trabalho na pressão
arterial diastólica média de um motorista.
14. O estimador do coeficiente β1 segue uma distribuição t de Student com
995 graus de liberdade.
15. Por meio do método estatístico análise de variância (ANOVA), é possível
testar, por exemplo, a hipótese nula β1 = β2 = β3 = 0.
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(ANTT – Cargo15 – Área: Estatística/CESPE/2013) Julgue os itens
seguintes, relativos à violação das suposições básicas dos modelos clássicos de
regressão.
16. Uma vez detectada a presença de heterocedasticidade, é possível estimar
o modelo por mínimos quadrados generalizados (MQG) para corrigir ou
minimizar o problema, de tal forma que os estimadores de MQG sejam
melhores que os estimadores de MQO.
17. Na presença de multicolinearidade, a variância e a covariância dos
estimadores serão afetadas, sendo possível que sejam alterados tanto os sinais
quanto a magnitude dos estimadores.
18. A violação da suposição de homocedasticidade dos resíduos afeta a
distribuição de probabilidades dos estimadores sem afetar, contudo, o seu
valor esperado.
20
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GABARITO
1. C
2. E
3. E
4. C
5. E
6. C
7. C
8. E
9. C
10. E
11. C
12. E
13. C
14. E
15. C
16. C
17. C
18. C
21
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