AAP – Recomendações Matemática – 2ª série do

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO
Caderno do Professor
2ª Série do Ensino Médio
Matemática
São Paulo
3º Bimestre de 2016
13ª Edição
1
APRESENTAÇÃO
A Avaliação da Aprendizagem em Processo – AAP - se caracteriza como ação desenvolvida
de modo colaborativo entre a Coordenadoria de Gestão da Educação Básica e a Coordenadoria de
Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional.
Iniciada em 2011, em apenas dois anos/séries, foi gradativamente sendo expandida e desde
2015 está abrangendo todos os alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio além de,
continuamente, aprimorar seus instrumentos.
A AAP, fundamentada no Currículo do Estado de São Paulo, propõe o acompanhamento da
aprendizagem das turmas e alunos, de forma individualizada, tendo caráter diagnóstico. Tem como
objetivo apoiar as unidades e os docentes na elaboração de estratégias adequadas, a partir da
análise de seus resultados, que contribuam efetivamente para melhoria da aprendizagem e
desempenho dos alunos, especialmente nas ações de recuperação contínua.
As habilidades selecionadas para a AAP, em Língua Portuguesa e Matemática, terão como
referência, a partir de 2016, a Matriz de Avaliação Processual elaborada pela CGEB e já
disponibilizada à rede no início deste ano. Além dessas, outras habilidades, compondo cerca de 20%
das provas, foram escolhidas na plataforma Foco Aprendizagem e serão repetidas nos diferentes
bimestres, articulando, dessa forma, a AAP com os aspectos mais significativos apontados pelo
SARESP para o desenvolvimento das competências leitora, escritora e conhecimentos matemáticos.
Nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental permanece a articulação com as expectativas de
aprendizagem de Língua Portuguesa e Matemática e com os materiais do Programa Ler e Escrever e
Educação Matemática nos Anos Iniciais – EMAI.
Além da formulação dos instrumentos de avaliação, na forma de cadernos de provas para os
alunos, também foram elaborados os respectivos Cadernos do Professor, com orientações
específicas para os docentes, contendo instruções para a aplicação da prova (Anos Iniciais), quadro
de habilidades de cada prova, exemplar da prova, gabarito, orientações para correção (Anos Iniciais),
grade de correção e recomendações pedagógicas gerais.
Estes subsídios, agregados aos registros que o professor já possui, além das informações
sistematizadas no SARA – Sistema de Acompanhamento dos Resultados de Avaliações – e agora
também com previsão de incorporação à Plataforma Foco Aprendizagem, devem auxiliar no
planejamento, replanejamento e acompanhamento das ações pedagógicas, mobilizando
procedimentos, atitudes e conceitos necessários para as atividades de sala de aula, sobretudo
aquelas relacionadas aos processos de recuperação das aprendizagens.
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA - CGEB
COORDENADORIA DE INFORMAÇÃO,
MONITORAMENTO E AVALIAÇÃO EDUCACIONAL - CIMA
2
MATRIZ DE REFERÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2ª Série do Ensino Médio
Habilidades da Matriz Processual de Matemática - CGEB
3º Bimestre
Questã
o
Código da
Habilidade
Descrição da Habilidade
01
MP11
Identificar a probabilidade como uma razão.
MP12
Expressar uma probabilidade na forma percentual.
MP13
Calcular a probabilidade simples da ocorrência de um
evento.
MP14
Resolver
problemas
envolvendo
multiplicativo da contagem.
02
03
04
05
06
07
08
o
princípio
09
10
MP15 e
MP16
Resolver problemas de análise combinatória, que
envolvam arranjos simples e /ou combinações.
MP17
Identificar a regularidade na construção do Triângulo
de Pascal.
11
12
Anulada
Habilidades das Matrizes de Referência para a Avaliação SARESP
Foco Aprendizagem
Questã
o
13
14
15
Cod. Hab.
Ano
H37
9º Ano
H17
3ª Série EM
H27
3ª Série EM
Descrição
Resolver problemas em diferentes contextos, a partir
da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos
agudos.
Identificar a localização de números reais na reta
numérica.
Resolver
problemas
que
envolvam
razões
trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno
e tangente).
3
Gabarito
A
B
C
D
E
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
4
Comentários e recomendações pedagógicas
A premissa básica, a respeito de um processo avaliativo deve ser considerada
como instrumento que subsidiará tanto o aluno no seu desenvolvimento cognitivo, quanto
ao professor no redimensionamento de sua prática pedagógica.
Desta forma, a avaliação da aprendizagem passa a ser um instrumento que
auxiliará o educador a atingir os objetivos propostos em sua prática educativa, neste caso
a avaliação sob essa ótica deve ser tomada na perspectiva diagnóstica, servindo como
instrumento para detectar as dificuldades e possibilidades de desenvolvimento do
educando.
Neste sentido, as 12 primeiras questões que constam deste caderno, procuram
verificar o nível de desenvolvimento das habilidades descritas na Matriz Processual de
Matemática, notadamente as do 3º bimestre letivo, e também de algumas habilidades que
o aluno desenvolveu em sua trajetória estudantil e que são estruturantes para a
continuidade nos estudos. Tais habilidades se referem às Matrizes de referência para a
Avaliação – SARESP.
Nas linhas a seguir, apresentamos uma breve caracterização das habilidades e o
seu respectivo conteúdo.
1. (MP11) – Identificar a probabilidade como uma razão.
Apresentar o cálculo de probabilidades sem a exigência de raciocínio combinatório
significa priorizar o fato de que podemos expressar a chance de ocorrência de um evento
por intermédio de uma razão entre dois valores: a parte e o todo. O numerador dessa
razão coincide com o número de resultados esperados para o experimento, enquanto o
denominador coincide com o número de resultados possíveis, todos eles considerados
igualmente prováveis.
2. (MP12) – Expressar uma probabilidade na forma percentual.
Uma razão entre dois valores, pode ser expressa na língua materna por intermédio
de uma fração, cujo denominador é 100, ou seja, através de um dado percentual, por
exemplo, em uma classe de 40 alunos, se qualquer um tem uma chance em quarenta de
ser sorteado, precisamos formalizar essa condição, que expressamos na língua materna
1
por intermédio de uma fração 40 , que pode ser representado por uma porcentagem, 2,5%.
5
Desta forma, os alunos da 2ª série do Ensino Médio o terreno preparado para o
estudo formalizado das probabilidades, desde que os casos a eles apresentados não
envolvam, inicialmente, raciocínio combinatório.
3. (MP13) – Calcular a probabilidade simples da ocorrência de um evento.
Problemas envolvendo raciocínio combinatório são, na maioria das vezes,
resolvidos por intermédio de uma adição ou de uma multiplicação, embora quase sempre
a escolha pela multiplicação, seja a mais aconselhável, já que envolve raciocínio mais
elaborado e eficiente.
A solução de situações-problema envolvendo simultaneamente raciocínio
combinatório e cálculo de probabilidades costuma acarretar dificuldades maiores do que
aquelas em que se aplicam esses conteúdos de maneira independente. Entre as diversas
justificativas possíveis, podemos enunciar o fato de que as características conjuntas
desses conteúdos impedem que os problemas sejam facilmente agrupados em tipos
padrão, de maneira que resolver um deles sempre passe pela mobilização da estratégia
de raciocínio que o associa a algum anteriormente resolvido e compreendido, como
ocorre, mais facilmente, com problemas de outros grupos de conteúdos matemáticos.
4. (MP14) – Resolver problemas envolvendo o princípio multiplicativo da
contagem.
Uma adição de n parcelas iguais a p pode ser representada pelo produto n ∙ p.
Muitas são as situações-problemas resolvidas por intermédio de uma adição desse tipo.
Outras adições não formadas por parcelas iguais, também podem ser expressas por
intermédio de um produto, como é o caso de 5 + 4 + 3 + 2 + 1, que é igual a (6 ∙ 5) 2 =
15, tal ordenação é chamada de princípio multiplicativo, que é válida apenas no interior
princípio aditivo.
Em notação matemática isso seria o mesmo que considerarmos, que determinada
atividade pode ser realizada em duas etapas, ou seja, de m e nas maneiras distintas, o
total de possibilidades será dado pelo produto de m por n (m x n).
5. (MP15) – Resolver problemas de arranjos simples.
No Ensino Médio, muitos cursos abandonam a ideia da representação da solução
por meio das árvores e passam a priorizar a classificação dos problemas em alguns tipos:
permutação, arranjos e combinações que, segundo essa opção didática, podem ser
resolvidos a partir da aplicação de fórmulas matemáticas.
Considerando que o ensino de análise combinatória e probabilidades a partir desse
enfoque
deixa
de favorecer
a
diversidade
de
estratégias
de
resolução
e,
consequentemente, de percursos de aprendizagem, uma vez que a representação da
solução do problema por intermédio de desenhos, diagramas e/ou tabelas é um dos
comportamentos heurísticos reconhecidos como um dos mais importantes a serem
mobilizados pelos estudantes quando enfrentam situações que são de fato problemas.
6. (MP16) – Resolver problemas de combinações.
A impossibilidade de padronização exige, mais do que em outros casos, que os
alunos mobilizem diversas estratégias de raciocínio. Portanto cabe ao professor estimular
a resolução de diversos problemas de análise combinatória e probabilidades com o foco
voltado para o tipo de raciocínio exigido, em vez da clássica separação em problemas
típicos, baseada no tipo de operação matemática envolvida.
Para a matriz de referência da avaliação de Matemática, consideramos a
união das duas habilidades destacadas nos itens 5 e 6, pelo motivo de não
particularizar o desenvolvimento de cada habilidade e sim o desenvolvimento do
conhecimento, relativo ao tratamento dos problemas de Análise Combinatória.
7. (MP17) – Identificar a regularidade na construção do Triângulo de
Pascal.
Um cálculo de probabilidades sempre está associado a um “sim” e a um “não”, ou
a um “sucesso” e a um “fracasso”, sem, todavia, que esses aspectos sejam expressos
por probabilidades iguais. Em outras palavras, nem sempre há 50% de chance para o
“sim” e 50% para o “não”, como no caso da face observada no lançamento de uma moeda
em que o “sim” pode ser coroa e o “não” pode ser cara.
Para o comprador de um número de uma rifa, em um total de 200, o “sim” é 0,5%
e o “não” é 99,5%. O que ocorre com o cálculo de probabilidades de eventos que se
repetem n vezes sob as mesmas condições, isto é, situações em que “sim” ou “não” são
esperados, cada um, mais de uma vez, como no caso do lançamento de quatro dados,
com o objetivo de se conseguir duas vezes o número seis na face superior? A resolução
desse tipo de problema pode ser associada ao desenvolvimento de um binômio do tipo
[(sim) + (não)]n, de modo que, assim procedendo, estamos atribuindo significado real à
busca do termo geral do Binômio de Newton, bem como aos elementos das linhas do
Triângulo de Pascal.
Adicionalmente são propostas, três habilidades notadamente fundamentais as
quais conferem as condições necessárias para a construção dos conceitos nas diferentes
áreas do pensamento.1
 H37 (9º Ano) – Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da
aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos.
No terceiro bimestre do 9º ano, os alunos terão contato com as razões
trigonométricas do triângulo retângulo e revisitaram esse assunto no primeiro bimestre da
2ª série do E.M, demonstrando que a consolidação das razões trigonométricas se faz
necessária.
 H17 (3ª Série - EM) – Identificar a localização de números reais na reta
numérica.
Para a construção de gráficos das funções trigonométricas, o aluno necessita
identificar e localizar números reais na reta numérica, principalmente o número irracional
pi.
 H27 (3ª Série - EM) – Resolver problemas que envolvam razões
trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente).
O estudo de trigonometria na 2ª série do EM, que foca a trigonometria no ciclo
trigonométrico, requer que os alunos saibam resolver problemas que envolvam relações
métricas fundamentais.
Finalmente, a avaliação, entendida aqui como processual, haverá que ser
percebida como um processo de mapeamento e da diagnose do processo de
aprendizagem, ou seja, a obtenção de indicadores qualitativos do processo de ensinoaprendizagem no trabalho docente.
Seguindo esta concepção, o PCN destaca que:
[...] cabe à avaliação fornecer aos professores as informações sobre
como está ocorrendo a aprendizagem: os conhecimentos
adquiridos, os raciocínios desenvolvidos, as crenças, hábitos e
valores incorporados, o domínio de certas estratégias, para que ele
possa propor revisões e reelaborações de conceitos e
procedimentos parcialmente consolidados.
(BRASIL, 2000, p. 54)
1
Fonte: http://focoaprendizagem.educacao.sp.gov.br – acesso: 27/11/2015
É importante salientar que as observações que constam nas grades de correção
deste caderno são apenas pressupostos de resolução, cabendo ao professor analisar os
registros dos alunos e não considerar as observações indicadas como norma padrão e
que o objetivo maior, é a proposição de uma grade de correção pelo próprio professor e
assim realizar uma análise de acordo com a realidade do processo de ensinoaprendizagem desenvolvido em sala de aula.
Equipe Curricular de Matemática – CEFAF/CGEB
1. Questões referentes às habilidades da Matriz de Avaliação Processual - CGEB
Habilidade
Identificar a probabilidade como uma razão.
MP11
Questão 01
Fácil
Os alunos da turma do 9º A, distribuem-se por idade e por sexo, de acordo
com a tabela a seguir:
Masculino
Feminino
14 anos
10
09
15 anos
4
3
16 anos
2
2
Será sorteado um estudante da turma ao acaso, para ser líder da sala.
A probabilidade de que este tenha 16 anos é de
(A)
8
15
(B)
7
15
(C)
7
30
(D)
2
15
(E)
2
30
10
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a compreensão do aluno sobre a relação entre o
conceito de fração e o conceito de probabilidade.
Probabilidade – “chance de um evento ocorrer”, em regra representada por:
p=
n° de casos favoráveis
n° de casos possíveis
, numa relação parte todo, na forma de uma razão, de um decimal
ou de porcentagem.
No problema, o total de alunos da turma é 30 (n° de casos possíveis), incluindo-se os
estudantes de todas as idades, a partir do que será escolhido aleatoriamente um
estudante de 16 anos entre todos.
Sendo 4 (n° de casos favoráveis), os alunos com 16 anos na turma, a probabilidade de
se escolher ao acaso um aluno dessa idade será dada pela possibilidade de 4 alunos
entre 30, da turma.
Representada por p =
4
30
=
2
15
Portanto, resposta correta: alternativa D.
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta
(A)
8
15
incorreta.
Ao
assinalar
essa
alternativa,
o
aluno
possivelmente soma as quantidades dos estudantes masculinos em
todas as idades, provavelmente induzido pelo termo “um estudante”
16
(30 =
8
15
).
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
(B)
7
15
equivocadamente considera a soma de todos os estudantes do sexo
14
feminino, não levando em conta as idades (30 =
7
15
)
7
30
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno possivelmente considera,
2
(D)
15
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
(C)
equivocadamente os 7 alunos de quinze anos.
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
11
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
(E)
2
30
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno possivelmente
considera apenas dois estudantes masculinos ou femininos.
Habilidade
Identificar a probabilidade como uma razão.
MP11
Questão 02
Médio
Observe a tabela com as quantidades de peças de formatos e cores
diferentes que foram colocadas em uma caixa.
Retirando ao acaso uma das peças dessa caixa, a probabilidade de que a
peça seja branca e triangular é de
(A)
35,00 %.
(B)
34,28 %.
(C)
15,00 %.
(D)
12,50 %
(E)
7,50 %.
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a compreensão do aluno sobre a relação entre o
conceito de porcentagem e o conceito de probabilidade.
A partir dos dados registrados na tabela de dupla entrada do problema observa-se que
há 12 peças brancas e triangulares entre as 80 peças existentes na caixa.
Assim, p =
12
80
=
3
20
= 0,15 = 15%
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno possivelmente considera
(A) 35,00 %. equivocadamente o total de peças brancas em relação ao total.
28
7
(p = 80 = 20 = 0,35 = 35%)
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
(B) 34,28 %. equivocadamente considera as 12 peças brancas e triangulares com o
12
total de peças triangulares.
(p = 35  0,3428  34,28%)
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(C) 15,00 %. Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
Resposta
(D) 12,50 %
incorreta.
Ao
assinalar
essa
alternativa,
o
aluno
equivocadamente considera as peças brancas e circulares em relação
ao total,
(p =
10
80
=
1
8
= 0,125 = 12,50%)
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno possivelmente
(E) 7,50 %.
pode ter considerado as peças brancas e retangulares em relação ao
total
(p =
6
80
=
3
40
= 0,075 = 7,5%)
13
Habilidade
Expressar uma probabilidade na forma percentual.
MP12
Questão 03
Difícil
Em um colégio há 900 estudantes. Destes, 45% são rapazes e apenas 20%
deles têm idade igual ou menor que 16 anos. Já entre as moças, a
porcentagem de estudantes maiores de 16 anos é 60%. Sorteando um dos
estudantes dessa escola, a probabilidade de que seja um rapaz com idade
acima de 16 anos é
(A)
80%.
(B)
65%.
(C)
36%.
(D)
33%.
(E)
22%.
14
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade de calcular a probabilidade em uma
situação problema.
A resolução dessa questão requer competências relacionadas à leitura, escrita e a
compreensão das condições expressas no enunciado que podem ser organizadas em
uma tabela.
Idade
Rapazes
Probabilidade
Moças
Probabilidade
Total
≤16 anos
20% = 81
9%
40% = 198
22%
279
>16 anos
80% = 324
= 36%
60% = 297
33%
621
Total
324
900
45%
55%
405
495
900
Então, a probabilidade de que seja sorteado um rapaz com idade acima de 16 anos é
dada por
324
900
= 0,36 = 36%
Portanto, C é a alternativa correta.
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno possivelmente adiciona as
(A)
80%.
porcentagens que expressam as idades explicitas no enunciado (60% +
20%).
(B)
65%.
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno adiciona as
porcentagens referentes aos rapazes (45% + 20%).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(C)
36%.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
15
Resposta incorreta. Ao assinalar essa alternativa, o aluno possivelmente
(D)
33%.
considera equivocadamente, o sorteio de uma moça com idade maior que
16 anos.
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno possivelmente
(E)
22%.
pode ter calculado a porcentagem para o sorteio de uma moça com idade
menor ou igual que 16 anos.
Habilidade
Expressar uma probabilidade na forma percentual.
MP12
Questão 04
Três moedas são lançadas ao mesmo tempo.
Qual é a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para
cima?
Médio
(A)
75%
(B)
50%
(C)
37,5%
(D)
25%
(E)
12,5%
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno quanto ao cálculo da
probabilidade de um evento.
No lançamento de uma moeda temos duas possibilidades, a de obter cara (c) e a de obter
coroa (k).
No lançamento de três moedas simultaneamente temos oito resultados possíveis:
1.
c
c
c
2.
c
c
k
3.
c
k
c
4.
c
k
k
5.
k
k
k
6.
k
k
c
7.
k
c
k
8.
k
c
c
Assim, a probabilidade de acontecerem a mesma face neste lançamento é de duas
ocorrências em oito possibilidades.
p=
2 1
= = 0,25 = 25%
8 4
Portanto, D é a alternativa correta.
17
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno pode ter
(A) 75%
considerado 25% para cada moeda, como são três moedas então
75%.
Resposta
(B) 50%
incorreta.
Ao
assinalar
essa
alternativa,
o
aluno
possivelmente considera quatro ocorrências em oito possíveis,
4
1
(8 = 2 = 0,5 = 50%).
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno pode ter considerado
(C) 37,5%
equivocadamente que, por serem três moedas, há três possibilidades
3
em oito possíveis, (8 = 0,375 = 37,5%).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(D) 25%
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes
ou não.
Resposta incorreta. Ao optar por esta resposta, o aluno possivelmente
(E) 12,5%
considerou apenas a ocorrência de uma das faces nas oito
1
possibilidades, (8 = 0,125 = 12.5%).
18
Habilidade Calcular a probabilidade simples da ocorrência de um
MP13 evento.
Questão 05
Fácil
Em uma caixa foram colocadas 10 bolas vermelhas, 4 bolas amarelas e 6
bolas azuis.
Pede-se para retirar, sem olhar, uma bola e em seguida colocá-la de volta
na caixa.
Nessa condição, a probabilidade de se retirar uma bola azul é de
(A)
50%.
(B)
30%.
(C)
20%.
(D)
10%.
(E)
4%.
19
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno ao calcular a probabilidade
de um evento.
Chamamos de P(A) a probabilidade de se retirar uma bola azul, considerando sua
reposição na caixa temos que:
Das vinte bolas colocadas na caixa seis delas são azuis, assim a probabilidade de se
retirar uma delas será dada por
P(A) =
6
3
=
= 0,30
20 10
Portanto, B é a alternativa correta.
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
(A) 50%.
equivocadamente pode ter considerado a probabilidade de se retirar uma
bola vermelha, (10/20 =1/2 = 0,50 = 50%).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(B) 30%.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno possivelmente considera
(C) 20%.
equivocadamente a probabilidade referente às bolas amarelas, (4/20 =
1/5 = 0,20 = 20%).
(D) 10%.
Resposta incorreta. Ao assinalar essa alternativa, o aluno possivelmente
considera como resposta o primeiro número que observa no enunciado
20
do problema, o que pode mostrar desconhecimento do conteúdo em
questão.
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno possivelmente
(E) 4%.
pode ter avaliado as seis bolas azuis em relação às outras dezesseis e
equivocadamente ter considerado,
4%.
6
14
= 0,428 como aproximadamente
Habilidade Calcular a probabilidade simples da ocorrência de um
MP13 evento.
Questão 06
Médio
Considere o lançamento de dois dados.
A probabilidade de se obter uma soma igual a quatro, como indica a figura
é dada a partir dos pares: (1,3), (2,2) e (3,1).
Com esse raciocínio, a probabilidade de sair a soma 8 é
(A)
8
36
(B)
5
36
(C)
4
36
(D)
2
36
(E)
1
36
22
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno para o cálculo de
probabilidade.
É preciso que o aluno saiba o que é par ordenado, espaço amostral, experimento
aleatório, evento, etc.
Neste caso, o espaço amostral é constituído por pares ordenados (i, j) em que i = número
em um dado e j = número no outro dado.
Deste modo teremos 6 x 6 = 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) em que i = 1, 2,
3, 4, 5, ou 6, e j = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6
i
j
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
I + j = 6 + 6 = 12
As somas iguais a (i + j = 8), ocorrerão nos casos: {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2)}.
Assim, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos.
Logo, a probabilidade de ocorrer “soma 8” será igual p(A) =
5
36
Portanto, B é a alternativa correta.
23
Grade de correção
Alternativa
(A)
8
36
Observação
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
equivocadamente pode ter considerado a “soma 8” citada no problema.
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(B)
5
36
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
4
36
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno possivelmente considera,
(C)
2
36
Resposta incorreta. Ao assinalar essa alternativa, o aluno possivelmente
(D)
1
36
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno possivelmente
(E)
equivocadamente a “soma 4” dada no exemplo do enunciado.
considera 2 em 36, por se tratar de dois dados.
pode ter considerado apenas uma soma em um lançamento.
24
Habilidade Resolver problemas envolvendo o princípio multiplicativo da
MP14 contagem.
Questão 07
Fácil
OBMEP – Clube da Matemática.
Uma lanchonete oferece no cardápio 3 tamanhos distintos de embalagens
com batatas fritas, 5 tipos de bebida, 8 tipos de sanduíche e 3 tipos
diferentes de sobremesa.
Ao escolher uma embalagem com batatas fritas, um sanduíche, uma
bebida e uma sobremesa, ela poderá realizar:
(A)
15 escolhas distintas.
(B)
24 escolhas distintas.
(C)
72 escolhas distintas.
(D)
120 escolhas distintas.
(E)
360 escolhas distintas.
25
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno ao organizar as informações
para resolver uma situação problema.
 Como o cardápio dispõe de 3 tamanhos distintos de embalagens com
batatas fritas e 5 tipos de bebidas, então para cada tamanho diferente de
embalagem com batatas fritas, essa pessoa pode escolher qualquer um dos
5 tipos de bebida. Desse modo, tal pessoa pode escolher a embalagem com
batatas e a bebida de 15 (3∙ 5) modos distintos.
 Para cada uma dessas 15 opções, a pessoa pode escolher qualquer um
dos 8 tipos de sanduíche, obtendo 120 (15∙ 8) formas distintas de escolha.
 Finalmente, para realizar o pedido, ela dispõe de 3 tipos de sobremesa,
podemos concluir que o total de possibilidades de escolha será 120 ∙ 3 =
360.
Observe que essa resposta poderia ser encontrada de imediato, realizando o produto do
total de maneiras de selecionar cada componente do pedido, ou seja, 3 ∙5 ∙ 8 = 360.
Portanto, alternativa correta E.
26
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Ao indicar esta alternativa, o aluno
(A) 15 escolhas distintas.
mostra que compreendeu o enunciado da questão, porém
resolveu parcialmente a questão, apresentando apenas a
quantidade de opções para batata frita e refrigerantes.
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
(B) 24 escolhas distintas.
equivocadamente multiplicou apenas as quantidades de
opções para os tipos de sanduíches e sobremesa.
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno pode ter
(C) 72 escolhas distintas.
cometido o equívoco de associar a cada tipo de sanduíche
um único sabor de suco.
Resposta incorreta. Ao assinalar essa alternativa, o aluno
(D)
120
distintas.
escolhas
pode ter compreendido a proposta do problema, porém
resolveu
parcialmente
a
questão,
multiplicando
a
quantidade de opções referente às embalagens de batatas
e bebidas (15) com tipos de sanduíches (8).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o
enunciado e aplicou seus conhecimentos para resolver a
(E)
360 escolhas
distintas.
questão.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno
se as estratégias utilizadas para a resolução do problema
são pertinentes ou não.
27
Habilidade Resolver problemas envolvendo o princípio multiplicativo da
MP14 contagem.
Questão 08
Fácil
Gabriel tem em seu guarda roupa dois tipos de calça: lisa e estampada;
dois tipos de camisa: de manga comprida e de manga curta; e dois pares
de sapato: um marrom e um preto.
Ao escolher uma calça, uma blusa e um par de sapatos, Gabriel pode fazer
(A)
12 combinações.
(B)
9 combinações.
(C)
8 combinações.
(D)
6 combinações.
(E)
4 combinações.
28
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno ao trabalhar o raciocínio
combinatório e o princípio multiplicativo.
A combinação “calça lisa, blusa de manga comprida e sapatos marrons” é representada
por um caminho no diagrama. A outra possibilidade “calça lisa, blusa de manga
comprida e sapatos pretos” é representada por outro caminho, conforme indica as
setas, e assim por diante.
Dessa forma temos 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades de combinações
Portanto, C é a alternativa correta.
29
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Nessa resposta, o aluno pode ter considerado
(A)
12
três tipos: calça, camisa e sapatos e as quatro possibilidades:
combinações.
manga comprida ou curta e sapatos marrom ou preto; assim, 3 x
4 = 12 combinações.
Resposta incorreta. Para a escolha dessa resposta, o aluno
(B) 9 combinações.
equivocadamente pode ter considerado os três tipos (calça,
camisa e sapatos) com três das características (mangas comprida
ou curta e sapatos marrom).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado
e aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(C) 8 combinações. Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são
pertinentes ou não.
Resposta incorreta. Ao assinalar essa alternativa, o aluno
(D) 6 combinações.
possivelmente considera três tipos de peças de vestuário (calça,
camisa e sapatos) e duas cores de sapatos; assim, 3 x 2 = 6
combinações.
Resposta incorreta. Ao optar por essa resposta, o aluno
(E)
4
provavelmente pode ter considerado dois tipos de peças de
combinações.
vestuário (calça e camisa) e duas cores de sapatos (marrom e
preto), assim 2 x 2 = 4 combinações.
30
Habilidade Resolver problemas de análise combinatória, que envolvam
MP15/MP16 arranjos simples e /ou combinações.
Questão 09
Médio
De quantas maneiras distintas podemos colorir a bandeira abaixo com as
cores AZUL, BRANCA e VERMELHA, de modo que todas as cores
apareçam com mesma área e cada retângulo menor seja pintado com uma
mesma cor?
Considere que os 9 retângulos menores são todos iguais.
(A)
20.
(B)
64.
(C)
84.
(D)
104.
(E)
1680.
31
Resolução comentada
O objetivo da questão está em avaliar a habilidade do aluno ao trabalhar o raciocínio
combinatório e o princípio multiplicativo.
Para uma primeira cor, temos três de nove retângulos para pintar, sem considerar a
ordem pela qual eles serão coloridos. Desta forma temos, uma combinação de nove
retângulos tomados três a três (C9,3 ).
Escolhido os três primeiros retângulos, sobram seis para escolher três novos retângulos
para pintar, ou seja, uma combinação de seis retângulos tomados três a três (C6,3 ).
Sobram apenas três retângulos para a outra cor (não temos escolhas)
Pelo Princípio Multiplicativo (se um evento ocorre em sucessivas etapas o total de
possibilidades de ocorrência desse evento é determinado pelo produto das possibilidades
de cada etapa), multiplicam-se esses resultados.
C9,3×C6,3=84×20=1680
Portanto, E é a alternativa correta.
Grade de correção
Alternativa
(A) 20.
Observação
Resposta incorreta. Ao indicar esta resposta, o aluno calculou somente
a combinação C6,3.
Resposta incorreta. Ao indicar esta resposta, o aluno calculou somente
(B) 64.
às combinações corretamente, não aplicando o princípio multiplicativo e
sim subtraiu os resultados.
(C) 84.
Resposta incorreta. Ao indicar esta resposta, o aluno calculou somente
a combinação C9,3.
Resposta incorreta. Ao indicar esta resposta, o aluno calculou somente
(D) 104.
às combinações corretamente, não aplicando o princípio multiplicativo e
somando os resultados.
(E) 1680.
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
32
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
Habilidade
Resolver problemas de análise combinatória, que envolvam
MP15 e
arranjos simples e /ou combinações.
MP16
Questão 10
Difícil
OBMEP – Clube da Matemática
Numa escola há 6 salas de aula. Uma funcionária possui as seis chaves
que abrem essas salas, mas ela não sabe a que porta corresponde cada
uma das chaves.
No máximo quantas tentativas serão necessárias para que ela saiba com
certeza qual é a chave que abre cada uma das portas?
(A)
6.
(B)
12.
(C)
15.
(D)
30.
(E)
36.
34
Resolução comentada
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de aplicar o raciocínio aditivo
à resolução de situações-problema.
O foco desta questão está relacionado ao termo “tentativas”. Para cada porta existe uma
única chave que a abre com certeza, as demais chaves são consideradas tentativas.
Desta forma, podemos encaminhar a resolução desta situação-problema da seguinte
maneira:
Tendo 6 chaves:
 para abrir a 1ª porta, temos no máximo 5 possibilidades de não conseguir;
 para abrir a 2ª porta, temos no máximo 4 possibilidades de não conseguir;
 e assim sucessivamente até 1 possibilidade para não conseguir abrir a 5ª porta,
sendo assim o máximo de tentativas é 15 ( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0).
Porta
Tentativas
1
5
2
4
3
3
4
2
5
1
6
0
Observação
Uma chave que abre a porta e
cinco chaves que são apenas
tentativas.
Uma chave que abre a porta e
quatro chaves que são apenas
tentativas.
Uma chave que abre a porta e
três chaves que são apenas
tentativas.
Uma chave que abre a porta e
duas chaves que são apenas
tentativas.
Uma chave que abre a porta e
uma chave que é apenas
tentativa.
Uma chave que sobra não
havendo a necessidade de
tentativa.
15
Portanto, alternativa correta (C).
35
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Possivelmente o aluno não compreendeu o objetivo
(A) 6.
da questão, e concluiu que bastam 6 tentativas para se abrir uma das
portas.
Resposta incorreta. Possivelmente não compreendeu o objetivo da
(B) 12.
questão, e destacou que em cada tentativa há duas possibilidades (abrir
ou não abrir), e assim destacou que existem 12 possibilidades (6∙2).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(C) 15.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
(D) 30.
(E) 36.
Resposta incorreta. Ao assinalar esta alternativa, o aluno possivelmente
escolheu aleatoriamente este item.
Resposta incorreta. O aluno possivelmente multiplicou a quantidade de
chaves (6) pela quantidade de portas (6).
36
Habilidade
Resolver problemas de análise combinatória, que envolvam
MP15 e
arranjos simples e /ou combinações.
MP16
Questão 11
Difícil
OBMEP (Clube da Matemática)
Usando as cinco letras A, M, O, S e U, podemos formar anagramas
com cinco letras.
Se esses anagramas são colocados em ordem alfabética, qual
posição o anagrama USAMO ocupará?
(A)
6ª.
(B)
18ª.
(C)
24ª.
(D)
96ª.
(E)
115ª.
37
Resolução comentada
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de aplicar o raciocínio aditivo
à resolução de situações-problema.
Desta forma, a resolução da questão será encaminhada a partir das possibilidades de
formação dos anagramas, conforme segue:
Neste caso, verifica-se que há 4! anagramas começando com A; 4! anagramas
começando com M; 4! anagramas começando com O e 4! anagramas começando com
S.

Portanto há, no total, 4! ∙ 4 anagramas começando com cada uma das primeiras
quatro letras A, M, O e S.
A partir daí temos 3! anagramas começando com a letra U seguida da letra A; 3!
anagramas começando com a letra U seguida da letra M e 3! anagramas começando
com a letra U seguida da letra O.

Portanto há, no total 3! ∙ 3 anagramas começando com a letra U e com cada uma
das outras letras (A, M, O) ocupando a segunda posição.

Depois desses, o primeiro anagrama que aparece é USAMO.
Pelo exposto, a resposta do problema é
4 ∙ 4! + 3 ∙ 3! + 1 = 4 ∙ 24 + 3 ∙ 6 + 1 = 96 + 18 + 1 = 115
Portanto, alternativa correta, E.
38
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. Possivelmente o aluno pode ter chegado nessa
(A) 6ª.
resposta considerando que a posição do anagrama USAMO,
corresponde à 3! (3∙2∙1=6).
Resposta incorreta. Possivelmente o aluno pode ter chegado nessa
(B) 18ª.
resposta considerando que a posição do anagrama USAMO,
corresponde à 3 ∙ 3! (3∙3∙2∙1=18).
Resposta incorreta. Possivelmente o aluno pode ter chegado nessa
(C) 24ª.
resposta considerando que a posição do anagrama USAMO,
corresponde à 4! (4∙3∙2∙1=24).
Resposta incorreta. Possivelmente o aluno pode ter chegado nessa
(D) 96ª.
resposta considerando que a posição do anagrama USAMO,
corresponde à 4 ∙ 4! (4∙4∙3∙2∙1=96).
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(E) 115ª.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
39
Habilidade Identificar a regularidade na construção do Triângulo de
MP17 Pascal.
Questão 12
(QUESTÃO ANULADA)
Fácil
Observe que no Triângulo de Pascal, a soma dos números contidos em
uma linha, resulta em uma potência de dois, como mostra a figura abaixo.
A partir do exemplo, a construção da sétima linha é:
(A)
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 27.
(B)
1 + 6 + 15 + 21 + 35 + 21 + 7 + 1 = 107 = 107.
(C)
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 128.
(D)
1 + 6 + 15 + 21 + 35 + 21 + 7 + 1 = 107 = 106.
(E)
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
40
Resolução comentada
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de identificar a regularidade
na construção do Triângulo de Pascal.
Resolução
As propriedades fundamentais do Triângulo de Pascal determinam:

Cada linha inicia e termina com o número 1.

Em cada linha, os termos equidistantes dos extremos possuem valor igual.

A partir da 2º linha, podemos perceber que cada elemento, com exceção do
primeiro e do último, é igual à soma de dois elementos da linha anterior, a saber:
o elemento imediatamente acima e o anterior.

A soma dos elementos de cada linha do triângulo é a potência de base 2 elevado
ao expoente referente à linha.
Portanto:
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 27.
O resultado encontrado, satisfaz a alternativa A da questão.
41
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta correta. O aluno interpretou
corretamente o enunciado e aplicou seus
conhecimentos para resolver a questão.
(A)
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128
= 27.
Cabe ao professor verificar através dos
registros do aluno se as estratégias
utilizadas para a resolução do problema
são pertinentes ou não.
Resposta incorreta. O aluno demonstra
(B)
1 + 6 + 15 + 21 + 35 + 21 + 7 + 1 = 107 não ter conhecimento das propriedades
fundamentais da construção do Triângulo
= 107.
de Pascal e as propriedades de potência.
Resposta incorreta. O aluno construiu a
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 sétima linha corretamente, porém não
(C)
soube demonstrar o resultado como
= 128.
potência de 2.
Resposta incorreta. O aluno demonstra
(D)
1 + 6 + 15 + 21 + 35 + 21 + 7 + 1 = 107 não ter conhecimento das propriedades
fundamentais da construção do Triângulo
= 106.
de Pascal e as propriedades de potência.
Resposta
(E) 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
incorreta.
Possivelmente
o
aluno pode ter considerado a quinta linha,
não tendo atenção à comanda dada.
42
2. Questões referentes às habilidades da Matriz de Referência para Avaliação –
SARESP.
H37 Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da
9º Ano aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos.
Questão 13
Médio
Se a base de um triângulo retângulo mede 12 cm e o ângulo agudo da
base tem 37°, quanto mede sua hipotenusa?
Dados:
sen37° = 0,60
(A)
7,2 cm
(B)
9,6 cm
(C)
15 cm
(D)
16 cm
(E)
20 cm
cos37° = 0,80
tg37° = 0,75
43
Comentários
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de resolver problemas
aplicando as razões trigonométricas em um triângulo retângulo.
Desta forma, podemos encaminhar a resolução desta situação-problema da seguinte
maneira:
Aplicando a relação trigonométrica cosseno
ℎ𝑖𝑝 =
𝑐𝑎
12
=
= 15
𝑐𝑜𝑠37° 0,8
Logo, C é alternativa correta.
44
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou de forma
indevida a relação trigonométrica seno e chegou a resposta
(A) 7,2 cm.
incorreta.
hip = ca. sen37° = 12.0,6 = 7,2.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou de forma
indevida a relação trigonométrica cosseno e chegou a resposta
(B) 9,6 cm.
incorreta.
hip = ca. cos37° = 12.0,8 = 9,6.
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(C) 15 cm.
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes
ou não.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou a relação
(D) 16 cm.
trigonométrica tangente e chegou a resposta incorreta.
ca
12
hip = tg37° = 0,75 = 16.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou a relação
(E) 20 cm.
trigonométrica seno e chegou a resposta incorreta.
ca
12
hip = sen37° = 0,6 = 20.
45
H17
3ª Série – Identificar a localização de números reais na reta numérica.
E.M
Questão 14
Médio
Observe a representação geométrica abaixo, na qual o arco da
circunferência com centro na origem (linha tracejada) contém o ponto P.
O valor da abscissa do ponto P nesse gráfico é
(A)
√4
(B)
√5
(C)
√9
(D)
√20
(E)
√41
46
Comentários
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de identificar a localização de
um número na reta numérica.
Para resolver essa questão, o aluno precisa conhecer e aplicar o conceito do teorema de
Pitágoras, na diagonal do retângulo. Ao aplicar tal conceito, remete o resultado para o
eixo das abscissas, indicando o valor do ponto P.
𝑑 2 = 52 + 42
𝑑 2 = 25 + 16
𝑑 2 = 41
𝑑 = √41
Logo E é a alternativa correta.
47
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta incorreta. O aluno possivelmente utilizou nessa resposta a
(A)
√4
ordenada do ponto (5,4), sem identificar a ordem de grandeza dessa
representação.
Resposta incorreta. O aluno possivelmente utilizou nessa resposta a
(B)
√5
abscissa do ponto (5,4), sem identificar a ordem de grandeza dessa
representação.
Resposta incorreta. O aluno possivelmente utilizou como resposta a
(C)
√9
soma das ordenada e abscissa do ponto (5,4), sem identificar a ordem
de grandeza dessa representação.
Resposta incorreta. O aluno possivelmente multiplicou a ordenada e a
(D)
√20
abscissa do ponto (5,4), sem identificar a ordem de grandeza dessa
representação.
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(E)
√41
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes ou
não.
48
H27
Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas
3ª Série – no triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente).
E.M
Questão 15
Médio
Para encontrar o comprimento de uma ponte que seria construída sobre
um rio, um engenheiro colocou-se em uma das margens e, marcou sobre
o solo, um ponto de onde avistava uma árvore na outra margem, de forma
que a linha de visada ficou perpendicular à margem. Em seguida,
caminhou 20 metros pela margem do rio, até parar em outro ponto, onde
a linha de visada para a mesma árvore era agora de 30°, conforme se vê
na figura a seguir.
Qual será, aproximadamente, o comprimento da ponte?
Dados: sen30° = 0,50
(A)
12 m
(B)
21 m
(C)
23 m
(D)
34 m
(E)
40 m
cos30° = 0,87
tg30° = 0,58
49
Comentários
O objetivo da questão está em verificar se o aluno é capaz de resolver problemas
aplicando as razões trigonométricas em um triângulo retângulo.
Desta forma, podemos encaminhar a resolução desta situação-problema da seguinte
maneira:
𝑡𝑔30° =
𝑐𝑜
,
𝑐𝑎
0,58 =
𝑐_𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒
,
20
𝑐𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒 = 0,58.20 = 11,6 ≅ 12
Logo, A é a alternativa correta.
50
Grade de correção
Alternativa
Observação
Resposta correta. O aluno interpretou corretamente o enunciado e
aplicou seus conhecimentos para resolver a questão.
(A) 12 m
Cabe ao professor verificar através dos registros do aluno se as
estratégias utilizadas para a resolução do problema são pertinentes
ou não.
(B) 21 m
Resposta Incorreta. O aluno possivelmente considerou esta resposta
de forma aleatória.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou de forma
(C) 23 m
indevida a relação trigonométrica seno e chegou a resposta
20
incorreta. c_ponte = 0,87 = 23.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou de forma
indevida a relação trigonométrica tangente e chegou a resposta
(D) 34 m
incorreta.
tg30° =
ca
,
co
0,58 =
20
cponte
,
20
cponte = 0,58 ≅ 34.
Resposta Incorreta. O aluno, possivelmente aplicou de forma
(E) 40 m
indevida a relação trigonométrica seno e chegou a resposta
20
incorreta. c_ponte = 0,5 = 40.
51
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO
Coordenadoria de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional
Coordenador: Antonio Celso de Paula Albuquerque Filho
Departamento de Avaliação Educacional
Diretora: Cyntia Lemes da Silva Gonçalves da Fonseca
Assistente Técnica: Maria Julia Filgueira Ferreira
Centro de Planejamento e Análise de Avaliações
Diretor: Juvenal de Gouveia
Ademilde Ferreira de Souza, Cristiane Dias Mirisola, Isabelle Regina de Amorim Mesquita,
Patricia de Barros Monteiro, Soraia Calderoni Statonato
Centro de Aplicação de Avaliações
Daniel Koketu, Denis Delgado dos Santos, José Guilherme Brauner Filho, Kamila Lopes
Candido, Lilian Sakai, Manoel de Castro Pereira, Nilson Luiz da Costa Paes, Teresa Miyoko
Souza Vilela
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Coordenadora: Valéria de Souza
Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão da Educação Básica
Diretora: Regina Aparecida Resek Santiago
Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional
Diretora: Valéria Tarantello de Georgel
Equipe Curricular CGEB de Matemática – Autoria, Leitura crítica e validação do material
Adriana Santos Morgado, Djalma de Oliveira Bispo Filho, João dos Santos Vitalino, Otávio
Yoshio Yamanaka, e Vanderley Aparecido Cornatione
Professores Coordenadores dos Núcleos Pedagógicos das Diretorias de Ensino Leitura crítica e validação do material de Matemática
Adriana Santos Morgado, Antonia Zulmira da Silva, Cristina Aparecida da Silva, Edson
Basilio Amorim Filho, Leandro Geronazzo, Lúcio Mauro Carnaúba, Marcelo Balduino
Silva, Márcia Cristine Ayaco Yassuhara Kagaochi, Maria Denes Tavares Sa Silva, Mario
José Pagotto, Nilton Celso Mourão, Rebeca Meirelles das Chagas, Rosana Jorge
Monteiro Magni, Rosemeire Lepinski, Sheila Cristina Aparecida Lima Camargo
52