6.1.1. Ponto 6.1.2. Linha 6.1.3. Plano

6. Geometria Euclidiana
Esse campo da matemática pode ter começado a ser inventado no Egito, nas margens do
Rio Nilo, por causa das subidas do rio que desmontavam as demarcações de terras de quem
morava ali. Daí, o nome Geometria (Geo – terra; metria – medição, medida). Depois de
Euclides, se tornou um bom instrumento para aprender a argumentar e aprender lógica dedutiva.
6.1. Conceitos primitivos
Em geometria temos ponto, linha e plano. São noções ou conceitos que aceitamos sem
demonstração e que sabemos o que significa, mas não conseguimos explicar o que são.
6.1.1. Ponto
Escrito com letras maiúsculas do nosso alfabeto. Menor unidade que temos, não tem
medidas de comprimento, profundidade, largura ou massa. Pode ser representado por um
simples toque de lápis (caneta) ou pela intersecção de dois traços.
É preciso cuidar para não representarmos pontos com pequenos círculos.
6.1.2. Linha
É a trajetória definida por um ponto em movimento no espaço. Também podemos
considerá-la como um conjunto de pontos sucessivos muito próximos um do outro.
6.1.3. Plano
São infinitos e podem ser representados de várias maneiras. São identificados por letras
minúsculas do alfabeto grego:, ,  etc. Falaremos mais de planos no principio de Geometria Espacial.
6.2. Linhas
6.2.1. Classificação de linhas quanto à sua forma, isto é, quanto ao formato que possui
Mista ou mistilínea: Formada por mais de um dos tipos vistos acima.
Curva ou curvilínea: Está sempre em mudança de direção, feita de forma harmoniosa.
Quebrada ou poligonal: As mudanças de direção são feitas bruscamente.
Reta ou retilínea: Possui uma única direção sendo ilimitada nos dois sentidos de crescimento.
Como a reta é ilimitada, podemos prolongar ela o quanto quisermos. É sempre identificada com letras
minúsculas do nosso alfabeto: a, b etc. Pode ser representada de várias maneiras:
Usaremos apenas a última representação: um traço e a letra de identificação, que deve
ser colocada na lateral da reta.
6.3. Relações
6.3.1. Entre ponto e reta
Os pontos C e D pertencem à reta r (
(
) e o ponto E não pertence à reta r
) porque um ponto só pertence a uma reta se estiver representado sobre ela (contido nela).
6.3.2. Entre pontos
Podemos notar que os pontos A, B e C pertencem à r, por isso são denominados
colineares, isto é, existe uma reta que passa pelos três pontos. Já os pontos A, B, C, D, E e F
(juntos) são não colineares.
Pontos coincidentes ocupam o mesmo lugar no espaço. Pontos distintos tem lugares diferentes.
6.4. Definições
Determinar, em geometria, significa que algo existe e é único. Se pensarmos um
pouco, vemos que as coisas podem existir ou não. E que se existem podem ser únicas ou várias.
Por isso consideramos bastante o caso de existir e ser único.
Axiomas ou postulados: Ideias geométricas que aceitamos como verdadeiras sem a
necessidade de demonstrar.
Postulado 1: Por um ponto passam infinitas retas.
Um ponto é comum a duas retas
quando pertence simultaneamente a essas
duas retas.
(Imaginem um ouriço).
Postulado 2: Dois pontos distintos determinam uma reta a qual eles pertencem. Dois pontos
são sempre colineares, pois, para quaisquer dois pontos A e B, existe uma reta r, tal que
.
Postulado 3: Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Postulado 4: Qualquer ponto de uma reta divide-a em duas partes. Cada uma dessas
partes, juntamente com o ponto, é chamada semirreta.
Para representarmos semirretas podemos fazê-lo com as letras do ponto de origem e da
reta, com uma seta sobre elas (
que se lê: semirreta r de origem A), com a letra de origem e
uma seta sobre ela ( que se lê: semirreta de origem A), com as letras do ponto de origem e de
outro ponto pertencente à semirreta, com uma seta sobre elas (
que se lê: semirreta de origem
A passando por B). Sempre a 1ª letra é a da origem e a seta deve indicar para a direita.
Planos e retas contém infinitos pontos. Mas, retas tem menos pontos que planos, sendo
que essas são subconjuntos dos planos.
6.5. Ângulos
É a figura formada por duas semirretas distintas de mesma origem.
6.5.1. Elementos de um ângulo
Vértice: Ponto de origem das semirretas que formam o ângulo. É também seu ponto de
intersecção.
Lados: Semirretas que definem o ângulo.
Abertura: Afastamento entre os lados, a partir do vértice. Seu símbolo é
.
Quando traçamos duas semirretas distintas e de mesma origem, estamos representando
dois ângulos. Isso porque as semirretas dividiram o plano em duas regiões. Por isso devemos
identificar o ângulo que queremos colocando um arco com setas nas extremidades na região
interna do ângulo ou colocando a letra V de vértice na região externa ao ângulo.
;
;
;
.
Identificamos os ângulos usando letras minúsculas do alfabeto grego com acento
circunflexo sobre ela ( ), usando uma letra do nosso alfabeto colocando um circunflexo sobre
ela (Â ou â), usando as letras que identificam as retas que se interceptaram formando os ângulos
colocando um acento circunflexo sobre elas (
) ou, se o ângulo for formado por segmentos de
reta, usamos as três letras que identificam os pontos de extremidades desses segmentos
colocando um circunflexo na letra que representa o vértice (
).
6.5.2. Tipos de ângulo
Quanto maior for a abertura de um ângulo, maior será sua medida.
Existem duas medidas de ângulos que iremos estudar: o grau e o radiano.
Duas retas que se interceptam formam quatro ângulos. Se os quatro são de mesma
medida, cada um deles recebe o nome de ângulo reto e dizemos que as retas que se interceptam
são perpendiculares. O símbolo desse ângulo é .
Ângulo agudo: Qualquer medida menor que a do ângulo reto.
Ângulo raso ou de meia volta: É formado pela existência de uma única reta.
Ângulo obtuso: Qualquer ângulo com medida maior que a do ângulo reto e menor que
a do ângulo raso.
Os ângulos reto, agudo e obtuso são chamados de ângulos convexos por serem menores
do que o ângulo raso.
Ângulo de volta inteira ou nulo: É formado pela existência de uma semirreta.
Ângulo côncavo: Qualquer ângulo maior que o raso e menor que a volta inteira.
Ângulos congruentes: Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida, ou
seja, se forem sobrepostos, todos os seus pontos coincidirão.
6.5.3. Posição relativas entre ângulos
Ângulos consecutivos
Quando possuem em comum o vértice e um dos lados.
Portanto,
são ângulos consecutivos.
Ângulos consecutivos adjacentes são ângulos que não têm pontos internos comuns.
Portanto,
são ângulos adjacentes.
Ângulos adjacentes complementares
Quando os lados não comuns são perpendiculares entre si, ou seja, quando a junção
desses ângulos equivale a um ângulo reto.
Complemento de um ângulo é o ângulo que falta para formar um ângulo reto.
Ângulos adjacentes suplementares
Dois ângulos adjacentes são suplementares quando os lados não-comuns têm a mesma
reta suporte, ou seja, são semirretas de sentidos opostos. Portanto, dois ângulos são
suplementares quando sua junção equivale a um ângulo raso.
Suplemento de um ângulo é o ângulo
que falta para formar um ângulo raso.
Ângulos Replementares
Dois ângulos são replementares quando o vértice e os dois lados desses ângulos são
coincidentes, ou seja, quando sua junção equivale a uma volta inteira.
Replemento de um ângulo é o
ângulo que falta para formar uma volta
inteira.
Ângulos opostos pelo vértice
Quando duas retas se interceptam, formam quatro ângulos opostos pelo vértice, dois a dois.
Ângulos opostos pelo vértice são
sempre congruentes.
6.5.4. Bissetriz
É a semirreta de origem no vértice do ângulo que o divide em duas partes exatamente iguais.
é a bissetriz do ângulo .
Abrevia-se btz.
6.5.5. Operações com ângulos
Transporte de ângulos
Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso em A e traçamos um
arco, determinando os pontos B e C nos lados de .
Traçamos a semirreta de origem V, na qual será representado o transporte do ângulo, o
ângulo . Com uma abertura igual a anterior, centramos o compasso em V e traçamos um arco
determinando o ponto D.
Com o compasso “pegamos” a distância de B a C em
e a transportamos para o outro arco
a partir de D. Obtemos, então, o ponto E.
Traçamos a semirreta que tem origem em V e passa pelo ponto E, obtendo o ângulo
transportado .
Adição
Efetue a soma gráfica entre os ângulos
e .
Construção: Traçamos a semirreta onde será representado o resultado da operação. Com
uma abertura qualquer no compasso, traçamos um arco em cada um dos três vértices, obtendo os
pontos C, D, E, F e G.
Transportamos a distância
transportamos a distância
para o arco de resposta, obtendo H. A partir de H,
, obtendo os pontos I e J. O ângulo definido por G, V e J é a resposta.
Subtração
Efetue a subtração gráfica entre os ângulos
e .
Construção: É análoga à adição, porém a distância
distância
é transportada internamente a
.
Multiplicação
Dado o ângulo , efetue graficamente
.
Construção: Basta transportar a distância
sucessivamente, tantas vezes quantas forem pedidas.
6.6. Posição relativa entre retas
Vimos que são absolutas as posições que a reta ocupa sozinha no plano. São três as
posições possíveis: horizontal, vertical ou inclinada.
Posições relativas entre retas são posições que duas ou mais retas ocupam no plano,
uma em relação à outra. De acordo com essas posições as retas são chamadas de paralelas,
concorrentes ou coincidentes.
6.6.1. Retas Paralelas
São aquelas que não possuem nenhum ponto em comum, pois não se interceptam;
conservam sempre a mesma distância uma da outra.
Símbolo: .
6.6.2. Retas coincidentes
Possuem todos os pontos em comum.
Símbolo: .
6.6.3. Retas concorrentes
Possuem apenas um ponto em comum: seu ponto de intersecção. Podem ser
perpendiculares ou obliquas.
6.6.3.1.
Retas concorrentes perpendiculares
Se interceptam formando quatro ângulos retos.
a
b.
Símbolo: .
6.6.3.2.
Retas concorrentes oblíquas
São retas que se interceptam formando quatro ângulos e nenhum reto.
.
Símbolo: .
6.6.4. Mediana e mediatriz
São as retas que passam pelo ponto médio de um segmento de reta.
Mediana: Qualquer reta que passa pelo ponto médio de um segmento formando
ângulos diferentes do ângulo reto. Abrevia-se mdn.
Mediatriz: Reta que passa perpendicularmente pelo ponto médio de um segmento
dividindo-o em duas partes congruentes. Abrevia-se mtz.
6.7. Segmentos
Uma parte de uma reta limitada por dois pontos distintos, que são suas extremidades, é
conhecida como segmento de reta. Para representarmos segmentos podemos fazê-lo com as
letras de suas extremidades com um traço sobre elas (
). Todo segmento tem uma reta
suporte (uma reta que contém o segmento).
A partir do segmento de reta, passamos a trabalhar com formas finitas.
6.7.1. Segmentos congruentes
São os segmentos que têm a mesma medida, ou seja, aqueles que, quando sobrepostos,
apresentam todos os pontos coincidentes.
Ponto médio é o ponto pertencente ao segmento e que está à mesma
distância das extremidades (equidistante as extremidades), dividindo o
segmento em duas partes congruentes.
6.7.2. Posições relativas entre segmentos de reta
Paralelos: Não têm ponto em comum.
Coincidentes: Têm todos os pontos em comum.
Concorrentes: Têm apenas um ponto em comum. Podem ser perpendiculares ou
oblíquos.
Colineares: Têm o mesmo alinhamento, ou seja, estão contidos na mesma reta suporte.
Consecutivos: Estão em sequencia, unidos pelas extremidades. Assim, temos
segmentos:

Colineares consecutivos: Contidos na mesma reta suporte, unidos pelas
extremidades.

Colineares não consecutivos: Contido na mesma reta suporte, mas não unidos
entre si.

Consecutivos não colineares: Unidos pelas extremidades, mas não contidos na
mesma reta suporte.
Não consecutivos não colineares: Não unidos entre si nem contidos na mesma reta suporte.
6.7.3. Operações com segmentos de retas
Transporte de segmentos: Quando mudamos um segmento de reta, na verdade
estamos transportando a sua medida.
Exm.: Dados
, tranporte
para a reta r.
Construção: Marcamos o ponto A em r:
Agora, “pegamos” com o compasso o segmento
, ou seja, afastamos as extremidades
do compasso para obter uma abertura que corresponda à medida do segmento.
Conservando a mesma abertura, marcamos o ponto B em r:
Adição
Efetue a soma gráfica dos segmentos
.
Construção: Traçamos uma reta auxiliar:
Transportamos
Transportamos
para a reta r:
para
a
reta
r,
marcando-o
a
partir
de
B.
Subtração
Efetue a subtração gráfica entre os segmentos
.
Construção: Traçamos uma reta auxiliar:
Transportamos
para a reta r:
Ou transportamos
para a reta r, marcando a partir de B indo para trás (
,
partir de A, indo para frente (
) ou o marcamos a
,
).
Multiplicação
Dado
, efetue a multiplicação gráfica desse segmento conforme pedido na indicação.
Construção: Traçamos uma reta auxiliar:
Transportamos
para a reta tantas vezes quantas forem pedidas.
Divisão
Dado
, divida este segmento em 9 partes iguais.
Construção: Traçamos a reta r passando pelo ponto A, com comprimento indefinido e
que ñ contenha o segmento
. Melhor que o ângulo seja agudo, pois ficam mais fáceis os
traçados. Com o compasso, descrevemos arcos de circunferências com raio qualquer.
Posicionando o compasso sobre o ponto A descrevemos um arco interceptando a reta r,
marcando o ponto P1; Posicionando o compasso sobre P1 e com mesmo raio, descrevemos um
arco interceptando a reta r, marcando o ponto P2; Repetindo este processo o no de vezes em que se
deseja dividir o segmento
. Tracemos um segmento que passa pelo ponto B e P9. Agora,
tracemos paralelas a este segmento de tal modo que passem pelos pontos P1, P2,... ,Pn. As
intersecções dessas retas com o segmento
, geram os pontos Qn dividindo-o em 9 partes iguais.
6.8. Distâncias
Qual a distância entre dois pontos? Depende do caminho percorrido. Veja:
A menor distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. A
partir de agora, quando dissermos distância, estamos falando da menor distância.
A distância entre um ponto e uma reta é a medida do segmento de reta perpendicular
que une o ponto à reta.
A distância entre duas retas paralelas é a medida do segmento de reta perpendicular
que une uma paralela à outra.
Equidistância (distância equivalente) significa à mesma distância. Por isso, o termo
equidistante é usado para indicar pontos que estão à mesma distancia de outros.
Exemplos de equidistância:
O ponto médio é equidistante das
extremidades
de
um
segmento:
Qualquer ponto da bissetriz é
equidistante dos lados de um ângulo:
; P é equidistante de
.
O centro (O) de uma circunferência
é equidistante de qualquer ponto da
circunferência.
;
; M é equidistante de
.
6.9. Linhas curvas
Linhas são os riscos que fazemos. Curvas são linhas que tem mudanças de direção de
maneira suave ou reta.
Uma curva fechada simples não tem extremidades e não se cruzam. Elas dividem o
plano em duas regiões, uma interna e outra externa a ela. A região interna pode ser convexa ou
côncava (não convexa).

Região convexa, algum segmento de reta que una dois pontos internos
quaisquer não intercepta a curva, isto é, o segmento é sempre interno a ela. Uma
região plana é convexa se qualquer reta f desse plano intersecta seu contorno
em, no máximo, dois pontos.

Região côncava, algum segmento de reta que una dois pontos internos
quaisquer intercepta a curva, isto é, o segmento é externo a ela em algum ponto.
6.10.
Não-convexa
Circunferência e circulo
Convexa
Circunferência: linha curva, plana, fechada, definida pelos pontos equidistantes de um
ponto fixo chamado centro (qualquer ponto da circunferência tem a mesma distância do centro).
O símbolo da circunferência é
.
Por ser fechada, a circunferência divide o plano em duas regiões, uma interna e outra
externa a ela. A parte do plano interna à circunferência e por ela limitada (região interna) recebe
o nome de círculo. O símbolo do círculo é
.
6.10.1. Elementos de uma circunferência
Centro: ponto equidistante de qualquer ponto da circunferência. O centro de uma
circunferência pode ser identificado por qualquer letra latina maiúscula, porém tornou-se hábito
identificá-lo pela letra O.
Raio: distância do centro à circunferência. O raio é a abertura do compasso para traçar a
circunferência.
Corda: qualquer segmento de reta que tenha as extremidades na circunferência.
Diâmetro: maior corda de uma circunferência, a que passa por seu centro. O diâmetro
mede exatamente o dobro do raio da circunferência.
Arco: parte da circunferência limitada por dois pontos. O arco que mede exatamente
metade da circunferência é chamado de semicircunferência.
6.10.2. Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
Exteriores: não tem nada em comum.
Tangentes: têm um ponto em comum que é chamado de ponto de tangencia.
Secantes: a reta e a circunferência têm dois pontos em comum. A parte da reta secante
interna à circunferência é uma corda.
6.10.3. Posições relativas entre duas circunferências
Exteriores: não possuem nada em comum e uma está fora da outra.
Tangentes externas: possuem um ponto em comum, mas uma está fora da outra.
Tangentes internas: possuem um ponto em comum e uma está dentro da outra.
Secantes: dois pontos em comum.
Excêntricas: uma está dentro da outra, mas não se tocam e têm centros diferentes.
Concêntricas: uma está dentro da outra, mas ñ se tocam e têm centros iguais (coincidentes).
6.11.
Divisão de ângulos
Dividir um ângulo em 3 partes iguais
Trace um ângulo qualquer AÔB.
Trace a bissetriz do ângulo AÔB que
cortará a circunferência em G.
Ligue H a E e D encontrando as
divisões I e J na circunferência.
Com centro em O trace uma circunferência de
qualquer raio que corte os dois lados do ângulo
em C, F, D, e E.
A partir de G marque na bissetriz a medida
= raio, encontrando assim o ponto H.
Os pontos I e J determinarão os três ângulos
procurados AÔJ, JÔI e IÔB.
Dividir um ângulo qualquer em "n" partes iguais
Trace uma circunferência com centro em O e
com qualquer valor de raio, mas que corte os
Seja AÔB um ângulo qualquer.
dois lados do ângulo. Em seguida, marque o
ponto C.
Com centro em C e raio igual ao
diâmetro
trace um arco de
circunferência. Repita o procedimento,
mas agora com centro em B e mesmo
valor de raio. Em seguida, marque o
ponto F na intersecção dos dois arcos.
Ligue
encontrando o ponto D em
.
Divida o segmento
em n partes
iguais, neste caso tome n igual a 4.
Utilizando o método de divisão de segmentos
marque os pontos das divisões em
.
Ligue F a cada uma das divisões de
, encontrando assim, as divisões no
arco
.
Ligue O a cada uma das divisões de
,
encontrando assim, as divisões do ângulo
.
Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer cujo vértice não é conhecido
Processo I
Marque M sobre a semirreta A e N sobre a
Seja AÔB qualquer, com O
desconhecido.
semirreta B. Em seguida, trace a semirreta
.
Trace as bissetrizes dos ângulos, sendo
os pontos S e T a intersecção das
bissetrizes.
Trace a semirreta
que será a bissetriz do
ângulo AÔB.
Processo II
Seja AÔB um ângulo qualquer cujo
vértice O é desconhecido.
Trace a bissetriz do ângulo formado
pelas paralelas obtendo assim, a
bissetriz do ângulo AÔB.
Trace duas retas paralelas a dois lados do
ângulo, mas que estejam situadas a uma igual
distancia dos mesmos.