FFC - Campo magnetico

Fundamentos de Física Clássica –Prof. Ricardo Arlen - UAF/CCT/UFCG
O Campo Magnético
Os primeiros registros de campos magnéticos foram feitos pelos gregos quando descobriram a
quase 600 anos A.C. uma pedra que tinha a propriedade de atrair metais Esta pedra, mais
precisamente um mineral (magnetita), é formada basicamente por ferro cuja fórmula é Fe3O4.
Porém, relatos atribuem aos chineses a descoberta do efeito de orientação natural dos ímãs. Uma
das mais famosas aplicação deste efeito é a bússola que sempre aponta para o Norte Magnético.
Limalhas de ferro sob ação de um campo magnético (Esquerda). Linhas de campo magnético da Terra (Direita)
Links interessantes: http://www.youtube.com/watch?v=fJ-nV63MpSI&NR=1&feature=endscreen
http://www.youtube.com/watch?v=t6wTZhsffEE (Como o HD funciona)
1 - A Força Exercida por um Campo Magnético
A presença de um campo magnético (ou densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética)
pode ser percebida através de uma bússola quando a agulha sofre uma deflexão caso ela esteja
desalinhada com o campo magnético. Se estiver presente um ímã, então a agulha apontará na
direção do campo magnético resultante naquele ponto.
Se uma carga q estiver presente num campo magnético B
se movendo com uma velocidade v, então a força
magnética F que atua sobre esta carga é dada por:
F = qv × B .
(1)
A Eq. 1 é um produto vetorial entre a velocidade e o
campo magnético (um pouco de produto vetorial pode ser
visto no final desta apostila). As propriedades do produto
vetorial ajudam a descrever a força sobre a partícula, por
exemplo, se a direção da velocidade for a mesma do
campo, então nenhuma força atuará sobre a partícula e
esta seguirá uma trajetória retilínea. Se a velocidade for
perpendicular ao campo, então a força será máxima. Neste caso, a regra da mão direita, como
mostrada na figura abaixo, ajuda a determinar a direção da força. Tente este ótimo link que mostra
1
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várias
situações
para
uma
partícula
dentro
de
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1972.0 .
um
campo
magnético
A unidade de campo magnético no sistema SI é o tesla, ou seja,
1T =1
N/C
= 1N/A.m .
m/s
Outra unidade comumente utilizada é o gauss (G), cujo valor é 1x10-4T, e o nanotesla, que equivale
a 1 nT = 1x10-9T
Se a carga for negativa, então o sinal deve ser considerado.
2 – Fio condutor num campo magnético
Se um fio condutor, conduzindo uma corrente I, estiver dentro de um campo B, então este fio
poderá sofrer uma força magnética, pois, quem conduz corrente elétrica são cargas que estão
sujeitas ao campo magnético.
Suponha um fio de comprimento l com cargas se deslocando com velocidade vd. Se n for o número
de cargas por unidade de volume, temos então que:
F = (qnAl )v d × B .
(2)
Mas, I = qnAvd, então a Eq. 2 fica:
F = I l ×B.
(3)
O vetor l tem um módulo que é igual ao
comprimento do fio cuja direção é paralela a qvd,
a direção da corrente.
A figura abaixo mostra que a regra da mão direita
também é utilizada para visualizar os vetores
relacionados com os parâmetros considerados
anteriormente.
Caso estejamos considerando apenas
elemento de corrente (I dl), então:
dF = I dl × B .
um
(4)
Podemos dizer que o dl é retilíneo, mesmo que o
fio não o seja.
Acesse este link para ver este vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=tbCXaER0w-s
2
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3 – Lei de Ampère
Diferente de uma carga elétrica, não se pode ter um pólo
isolado e assim a linha de campo magnético não tem fim
nem começo. Somando-se a isso, num condutor
conduzindo corrente, as linhas de campo sempre envolvem
este condutor e por isso, a Lei de Ampère é útil no cálculo
do campo B quando o problema tem alta simetria que pode
ser traduzida como sendo, digamos, B constante ao longo
da curva C. Ela, a lei, é semelhante à Lei de Gauss para o
campo elétrico.
B
dl
IC
r
A Lei de Ampère é:
∫ B ⋅ dl
C
= µ0 I C .
(5)
A Eq. (5) é uma integral de linha fechada onde C é a curva que limita a área por onde passa a
corrente que deve formar um circuito fechado.
Experimento de Oersted (http://www.youtube.com/watch?v=c3WWAghWbjo) – vale a pena ver este
simples experimento que mostra o efeito de uma corrente elétrica num fio condutor próximo a uma
bússola.
Exemplo
Cálculo de B devido a um fio comprido com corrente I.
Sabemos que o campo magnético, neste caso, é sempre tangente a uma circunferência de raio r e a
melhor curva para calcular o campo é um círculo.
∫ B ⋅ dl
C
= µ0 I C
⇒
∫
C
B cos(θ ) dl = B ∫ dl = B 2π r = µ0 I
C
⇒ B=
µ0 I
.
2π r
(6)
Exemplo
Cálculo do campo de um fio condutor de raio a
conduzindo uma corrente I .
Este problema é semelhante ao anterior, porém, uma
observação importante deve ser feita. A corrente que
passa fora do círculo de raio r não contribui com o
campo magnético dentro deste círculo. Neste caso,
devido ao alto grau de simetria, o uso da Lei de Ampère
é conveniente para o cálculo de B.
r
I
a
Considerando que a corrente está uniformemente distribuída no interior do fio (ver figura abaixo),
podemos dizer que a corrente que passa dentro do círculo de raio r (r < a) é:
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J=
I
I
= C2
2
πa
πr
⇒ IC = I
r2
.
a2
Aplicando a Lei de Ampère com a corrente dada pela equação anterior, obtemos:
∫ B ⋅ dl = µ 0 I C
⇒
C
B 2π r = µ 0 I
r2
a2
⇒
B(r ) =
B
µ0 I
r
.
2π a 2
Para r > a, a solução é mesma da Eq. (6). O comportamento
de B para o interior e exterior do fio é mostrado ao lado.
a
r
4 - Torque sobre Espiras com Correntes e Momento Magnético
Motor simples 01 (http://www.youtube.com/watch?v=oRSU4FnUSrA)
Motor simples 02 (http://www.youtube.com/watch?v=EyBISrhz5Cs)
A figura abaixo mostra uma espira dentro de um campo magnético conduzindo uma corrente
elétrica. A espira tem lados com comprimentos a e b. De acordo com a Eq. 3 ( F = I l × B ) não
existe força magnética onde a corrente é paralela ao campo e assim, a força resultante sobre a espira
são aquelas representadas por F1 e F2. A direção e o sentido das forças estão de acordo com a regra
de produto vetorial. Existe torque se o plano da espira está na posição vertical?
Veja que o módulo da força é dado por:
F1 = F2 = I a B .
(7)
z
F2
y
I
x
n
a
B
b
I
F1
O torque (módulo) sobre as espiras exercidas pelas forças é:
τ = F1.(b/2) + F2.(b/2) = F1.b = IabB = IAB.
(8)
A é a area da espira.
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Obs. Lembre-se que o torque é definido como sendo o produto vetorial entre o vetor braço do
momento e a força ( τ = r × F ). O torque representa uma força que tende a girar ou rodar um
objeto.
O vetor n é um vetor unitário que representa a orientação da espira e está sempre perpendicular a
esta. O seu sentido é determinado pela regra da mão direita. Assim, podemos representar uma forma
generalizada para calcular a força sobre uma espira, ou seja,
τ = I An × B .
(9)
I
n
Veja que nenhum torque existe quando a espira (vetor normal)
é paralelo ao campo magnético, porém, a força ainda existe, mas,
como estão na mesma linha de ação, não há torque. Se a espira
tem N voltas, então a Eq. (9) deve ser multiplicado por N.
5 – Definição de momento magnético
A Eq. (9) pode ser reescrita da seguinte maneira:
τ = m× B .
(10)
Onde m representa o momento magnético que é
sempre perpendicular à espira e é dado por:
m = I An .
B
m
m=I An
I
(11)
Por que a agulha de uma bússula sempre aponta para o
norte?
Na realidade, uma agulha de uma bússula é um ímã e está
livre para girar de acordo com o campo resultante sobre
ela. A bússola sempre aponta para o norte magnético
porque o ímã tem um momento magnético permanente e,
como já vimos, isto pode criar um torque na presença de
um campo e assim girar a agulha. Vimos no ensino
médio, pólos de sinais contrários se atraem e, no caso da
bússola, o que vemos como sendo pólo norte da Terra, na
verdade é o pólo sul magnético porque as linhas de campo
entram no pólo sul e saem do pólo norte. No caso do
campo geomagnético, as linhas de campo saem do interior
da Terra no hemisfério sul.
A declinação (ângulo entre o norte magnético e o norte geográfico) do campo geomagnético está
representada na figura abaixo à esquerda. Podemos também definir latitudes magnéticas. O equador
magnético é uma linha imaginária onde as linhas de campo são horizontais.
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Latitudes geomagnéticas (esquerda) e declinação magnética (direita).
6 – Definição de pólo magnético (qm)
Suponha uma barra imantada num campo magnético como mostrado na figura abaixo. Se o ponto
central da barra está livre para girar, então o torque que atua sobre o ímã fará com que a barra gire
até alinhar-se com o campo.
F
N
l
F
B
θ
S
Força magnética atuando nos pólos de uma barra
imantada dentro de uma campo magnético
A intensidade do pólo magnético (qm) é definido de tal forma que a força magnética sobre um pólo
é dada por:
F = qm B .
(12)
O pólo é positivo para o pólo norte e negativo para o pólo sul.
O momento magnético de um ímã de comprimento l é dado por:
m = qm l .
(13)
Da Eq. (10) e da Eq. (13) podemos escrever que o torque sobre uma barra imantada é;
τ = qm l × B .
(14)
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7 – Indução Magnética
Fluxo Magnético
O fluxo magnético (http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=pB7oZNBIqqc&NR=1) está
relacionado com o número de linhas que passam por uma determinada área limitada por um circuito
simples conduzindo corrente. Matematicamente ela é dada por:
φ m = B ⋅ nˆ A = B. A. cos(θ ) .
(15)
n
A unidade no sistema MKS é o weber (Wb) que é
igual a T.m2.
Semelhante ao que vimos para lei de Gauss, o vetor
unitário é o vetor perpendicular à superfície plana de
área A. A figura ao lado mostra o campo magnético
passando por uma superfície é simples perceber que,
se o vetor unitário for perpendicular a B nenhum fluxo
passa pela superfície.
θ
B
A
E se a superfície não for plana?
Neste caso, uma superfície curva pode ser vista como sendo formada por várias superfícies
infinitesimais planas de área ∆A.
Então, o fluxo magnético nesta área infinitesimal pode ser obtido a partir da equação 1, ou seja,
∆φ mi = B ⋅ nˆ i ∆Ai .
(16)
O fluxo total é dado então pelo somatório de cada fluxo.
∆φ m = lim
∆Ai →0
∑ B ⋅ nˆ
i
i
Ai = ∫ B ⋅. nˆ dA .
(17)
S
Para o caso em que temos N espiras (o que foi feito acima foi para uma espira ou circuito), o fluxo
magnético é dado pelo Eq. 3 porem multiplicada por N.
Exemplo
Um campo magnético uniforme de 2000G (0,2 T) faz um angulo de 30° com o eixo de uma bobina
circular de raio igual a 4 cm e tem 300 espiras. Calcular o fluxo magnético que passa através da
bobina.
A superfície da seção transversal da bobina é um circulo de área igual a π r2. Então o fluxo
magnético é dado por:
φ m = N B A cos(30 0 ) = 300 × 0,2 × 3,14 × 0,04 2 × 0,866 = 0,26 Wb .
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Força Eletromotriz Induzida e Lei de Faraday
Quando o fluxo magnético que passa através de um circuito é modificado, uma fem é gerada e é
igual, em módulo, a taxa de variação do fluxo magnético. Esta fem, diferente da bateria, está
distribuída em todo circuito, mesmo que este esteja aberto. A fem induzida sempre é gerada com a
finalidade de manter o fluxo original.
Veja estes links:
Indução 01 (http://www.youtube.com/watch?v=stUDqGzpev8)
Indução 02 (http://www.youtube.com/watch?v=hajIIGHPeuU)
http://ocw.mit.edu/ans7870/8/8.02T/f04/visualizations/faraday/12-faradayapp/12-faradayslaw320.html
faraday_en.jar
Na realidade, podemos variar o fluxo magnético que passa por uma espira de duas formas, ou
variando o valor do campo magnético ou variando a área da espira (melhor, variando o n.A). Vimos
no capítulo de potencial elétrico que a diferença de potencial elétrico sobre uma carga de prova era
igual à integral do campo elétrico com o vetor deslocamento desta carga. Mas a fem é o trabalho
efetuado por uma força associada a esta fem por unidade de carga (E=F/q), ou seja, existe um
campo elétrico também associado a fem que é induzida ao longo do circuito quando o fluxo
magnético varia. A fem, em função deste campo induzido numa espira, é dada por:
ε = ∫ E ⋅ dl
(18)
C
Lei de Faraday
Para o caso de uma fem induzida, onde a força não é conservativa, a integral de linha da Eq. (18) é
igual a:
ε = ∫ E ⋅ dl = −
C
dφ m
.
dt
(19)
A Eq. (19) é conhecida como a Lei de Faraday e o sinal negativo se deve a direção contrária da
forca induzida (Lei de Lens).
Exemplo
Considere um campo magnético perpendicular ao plano
da página e uniforme dentro de uma região circular de
raio R conforme o desenho abaixo. Fora do círculo, o
campo magnético é zero, mas, dentro do círculo, varia a
uma taxa de dB/dt. Mostre que o campo magnético
variável induz um campo elétrico num circuito circular de
raio r.
1º caso - r < R (só temos interesse no módulo de dB/dt.
Vamos utilizar inicialmente a Lei de Faraday (sem o sinal
negativo), ou seja,
ε = ∫ E ⋅ dl =
C
dφm
dt
Espira circular de raio R imerso num campo
magnético. Fora de R o campo é nulo.
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Como E é tangente a curva de raio r, então a integral de linha é igual a
E 2π r =
d
dB
BA = π r 2
dt
dt
⇒ E=
r dB
.
2 dt
*
2º caso - r > R.
Neste caso, temos que levar em conta que o fluxo que passa por uma circunferência de raio r é dado
por:
φm = BA = B π R 2 .
Veja que para r > R não tem campo magnético, logo não tem fluxo.
Por ouro lado, a integral de linha tem como resultado a seguinte expressão:
E.2πr.
Levando estes resultados na Equação (19), obtemos:
E 2π r =
d
dB
BA = π R 2
dt
dt
⇒ E=
R 2 dB
.
2r dt
**
Os resultados acima (* e **) mostram que, ao se ter uma variação temporal no campo magnético,
geramos um campo elétrico, também variável no tempo.
Exemplo
0,6
Suponha que as linhas de campo são perpendiculares ao
plano da bobina. Neste caso temos que:
Fluxo e fem
0,4
0,2
0
UA
O fluxo magnético através de uma bobina é dado por
φm (t ) = (t 2 − 4 t ) ×10−1 T.m 2 . Considere t em segundos.
Calcule a fem (ε) induzida em função do tempo e b)
fazer um gráfico de fluxo e fem em função do tempo.
0
1
2
3
-0,2
4
5
6
tempo (s)
-0,4
-0,6
Fluxo magnético
fem induzida
-0,8
EL = ε = −
dφm
d
= − (t 2 − 4t ) / 10 = 0,4 − 0,2t ⇒ ε = 0,4 − 0,2t.
dt
dt
Quando o fluxo não varia, a fem se torna nula; isto ocorre no tempo de 2 segundos. O fluxo começa
a crescer e a fem se torna negativa.
Lei De Lenz
A fem e a corrente induzidas têm uma direção que se opõe à variação que as provocou.
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Em outras palavras: se o fluxo magnético que passa por uma espira está diminuindo, a fem induzida
estará numa direção que tentará se opor à diminuição do fluxo, ou seja, ela tentará criar uma
corrente que fará com que um campo magnético “induzido” seja criado e que tente manter o fluxo
original.
8 – Efeito Hall
O Efeito Hall (http://www.youtube.com/watch?v=_ATDraCQtpQ) é o fenômeno pelo qual uma carga
elétrica, ao passar por um condutor imerso num campo magnético, tende a seguir uma trajetória
retilínea após ocorrer um acúmulo de cargas nas laterias do condutor. Este efeito permite determinar
o sinal e o número de portadores de cargas. Isto se deve ao equilíbrio entre a força magnética e a
força elétrica sobre cada portador. As figuras abaixo mostram este efeito. A figura superior mostra a
provável trajetória que a carga positiva irá seguir no momento que a corrente for estabelecida no
condutor. Aqui, devido ao campo magnético, uma força magnética atuará sobre a partícula
deslocando-a para a parte superior. Com o acúmulo de cargas na parte superior e a “falta” de carga
na parte inferior, um campo é estabelecido e uma força elétrica começa a aparecer. Se a condição de
equilíbrio for alcançada, com força magnética igual em módulo a força elétrica, os portadores
passarão em linha reta pelo condutor. Neste caso, uma ddp, denominada de voltagem Hall, é
formada. Se ligarmos um fio entre a parte superior e a parte inferior da fita, então uma corrente é
estabelecida e os elétrons (se estes forem os portadores) migram através do fio. Neste caso, o campo
elétrico diminui fazendo com que novas cargas se movam para a superfície.
ε
I
I
Fm
w
B – para trás
ε
I
I
Fm
w
vd
Fe
B – para trás
Representação esquemática do Efeito Hall. A carga se desloca com velocidade vd dentro de um
condutor de espessura w.
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A ddp Hall é dada por:
VH = E w = vd B w
(15)
A Eq. 15 é obtida quando igualamos a força elétrica (qE) e a força magnética (qvdB) que atuam
sobre uma partícula que se desloca com velocidade vd.
Pergunta: o que acontecerá se os portadores de carga forem negativos (elétrons, por exemplo)?
Determinação do número de portadores
A corrente elétrica, que é função da velocidade das cargas e da área do condutor, permite, fazendo
uso da Eq. 15, obter o número de portadores por unidade de volume, ou seja,
I = n qv d A = n q v d t w ⇒ n =
IB
I
=
.
qt wv d qt V H
(16)
w
I
t
9 – Força de Lorentz
Vimos que se uma partícula carregada (carga) está dentro de um campo elétrico E a força elétrica
que atua sobre esta carga é dada pela seguinte equação:
Fe = q E .
Se a carga é positiva então a força sobre ela está na mesma direção do campo elétrico e o contrário
ocorre se a carga for negativa. Neste caso, se a carga é deslocada por uma distância qualquer, então
um trabalho foi realizado sobre esta. Suponha agora que neste mesmo espaço que se encontra a
carga, também está presente um campo magnético. Neste caso, também já vimos que a força
magnética que atua sobre esta carga, caso ela esteja com uma determinada velocidade v, é dada por:
Fm = q v × B.
Ao contrário da força elétrica, a força magnética nunca realiza trabalho sobre a carga, pois, a força
está sempre perpendicular ao deslocamento dela. Assim, se no espaço existe tanto o campo
magnético como o campo elétrico, então a força resultante sobre esta carga é dada por:
F = qE + q v × B .
(17)
A equação (17) é conhecida como a Força de Lorentz.
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10 – Ondas Eletromagnéticas: A natureza da Luz
O Espectro Eletromagnético compreende uma larga faixa de ondas eletromagnéticas que vai desde
os Raios Gama, passando pelos Raios X, ultravioleta, luz visível, infravermelho, ondas curtas,
microondas até ondas longas. Estas ondas têm a propriedade de se propagar no vácuo com uma
velocidade de 2,99792458 x 108 m/s.
A velocidade de propagação da luz num meio transparente a ela, depende de seu índice de refração
n, ou seja:
v=c/n.
(18)
O índice de refração não só depende do meio mas também do comprimento de onda da luz.
O espectro eletromagnético desde os raios gama até as ondas de rádio, está mostrado na figura
abaixo.
Espectro eletromagnético. A primeira coluna de números refere-se a frequência em Hertz (s-1) e a segunda ao
comprimento em metros. A região do espectro visível está ampliada e ela localiza-se entre o infravermelho e o
ultravioleta. Ela compreende ondas com comprimentos que variam de 400 a 700 nm.
O Sol é uma fonte natural de radiação eletromagnética que vai desde os raios X (comprimentos
entre 0,1 e 100Å) até o infravermelho. Abaixo vemos duas fotografias tiradas do Sol em 05/12/2012
utilizando dois filtros distintos. A foto da esquerda foi tirada no comprimento de onda de 6768 Å
enquanto a foto da direita foi tirada com um filtro de 171 Å que permite ver o UV extremo.
Fotografia do Sol otida a partir de dois filtros de luz diferentes.
Fonte: http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/realtime-images.html
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Suponha que um observador, estacionado num ponto P, pudesse ver os vetores dos campos E e B
devido a uma OEM plana passando por ele. Depois de um determinado tempo, ele poderia fazer
figuras do que tinha visto em intervalos regulares. Ele, então, percebe que os campos E e B são
perpendiculares e assumem valores máximos e mínimos. A figura abaixo mostra as configurações
das linhas de campos quando uma onda plana passa por um observador no ponto P. Ele descreve,
então, que uma OEM é formada por campos magnéticos e elétricos perpendiculares entre si e que
estes assumem valores senoidais passando por máximos e mínimos.
B
E
campos fortes
campos fracos
campos mulos
campos fracos
campos fortes
campos fracos
campos mulos
campos fracos
Descrição de uma OEM feita por um observador num ponto P após quase um ciclo completo. Ele, o observador,
representa os campos elétricos com setas claras e, os campos magnéticos, com setas pretas. As direções e sentidos dos
campos também são representadas. Os valores dos campos estão relacionados com o número de linhas dentro do
quadrado imaginário. Vela este link:
http://www.phys.hawaii.edu/~teb/java/ntnujava/emWave/emWave.html
Os campos, se a onda se propaga na direção +x, são matematicamente representados pelas seguintes
equações:
(19)
E = Em sen (k x − ω t ) .
(20)
B = Bm sen (k x − ω t ) .
onde k = 2/λ é o número de ondas, λ é o comprimento de onda e w é a frequencia radial da onda (w
= 2 π f. A velocidade de propagação da onda é dada por:
v=
ω
k
=λ f .
(21)
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Produto Vetorial
Por definição, temos que o produto vetorial entre dois vetores é:
a × b = nˆ a . b .sin (θ ) .
Teta é o ângulo entre a e b. O vetor resultante é perpendicular ao plano formado por a e b.
O vetor unitário i, j e k para um dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes
igualdades:
i×j=k,
j×k=i
e
k×i=j
Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser
calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja:
a = a1 i + a2 j + a3 k = [a1, a2, a3]
e
b = b1 i + b2 j + b3 k = [b1, b2, b3].
Então
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:
i
a × b = a1
j
a2
k
a3 = i ( a2b3 − a3b2 ) − j ( a1b3 − a3b1 ) + k ( a1b2 − a2b1 )
b1
b2
b3
14