uma sequência didática para o ensino da matemática

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu
Mestrado Profissional em Educação Matemática
ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM
APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
VASSOURAS
2015
ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM
APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
Produto da dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Educação Matemática da
Universidade Severino Sombra como requisito
parcial para obtenção do grau de Mestre em
Educação Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marco Antônio Pereira Araújo
VASSOURAS
2015
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Histograma da Probabilidade clássica de duas moedas ............................................ 16
Figura 2: Tela com par de moedas............................................................................................ 17
Figura 3: Histograma das Probabilidades Clássica................................................................... 20
Figura 4: Histograma das Probabilidades relativas em 50 lançamentos .................................. 21
Figura 5 : Histograma das Probabilidades Relativas em 100 lançamentos .............................. 21
Figura 6: Tela do Jogo de Dados .............................................................................................. 25
Figura 7: Histograma clássico da Soma das Faces de dois Dados ........................................... 26
Figura 8:Histograma da Probabilidade Relativa em 300 lançamentos de dois dados .............. 26
Figura 9:Histograma clássico da soma das faces de dois Dados .............................................. 30
Figura 10:Tela do Jogo de Dados ............................................................................................. 31
Figura 11:Histograma da Probabilidade Relativa em 250 lançamentos de dois dados ............ 32
Figura 12:Janela principal do Software Simulaprob ................................................................ 34
Figura 13: Janela de execução dos experimentos ..................................................................... 35
Figura 14:Espaço amostral para o lançamento de duas moedas ............................................... 35
Figura 15:Resultados da distribuição de frequência eventos.................................................... 36
Figura 16: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 10 lançamentos ... 36
Figura 17: Interseção dos histogramas empírico, clássico e evento ......................................... 37
Figura 18: Resultados da distribuição de frequência dos eventos ............................................ 40
Figura 19: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 50 lançamentos ... 40
Figura 20:Interseção dos histogramas empírico e clássico evento ........................................... 40
Figura 21: Resultado da distribuição de frequência dos eventos.............................................. 41
Figura 22: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 100 lançamentos . 41
Figura 23: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento ..................................... 42
Figura 24: Resultados da distribuição de frequência dos eventos ............................................ 42
Figura 25: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 200 lançamentos . 43
Figura 26: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento ..................................... 43
Figura 27: Janela de execução dos experimentos para os dados .............................................. 46
Figura 28:Espaço amostral dos dados ...................................................................................... 46
Figura 29:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 400 lançamentos ...................................... 46
Figura 30:Quantidade de pontos feitos por Íasmin em 400 lançamentos ................................. 47
Figura 31:Quantidade de pontos feitos por Ísadora em 400 lançamentos ................................ 47
Figura 32: Histograma da distribuição de frequência dos eventos ........................................... 47
Figura 33:Janela de execução dos experimentos para os dados ............................................... 50
Figura 34:Espaço amostral dos dados ...................................................................................... 51
Figura 35:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 500 lançamentos ...................................... 51
Figura 36:Quantidade de pontos feitos por Íasmin em 500 lançamentos ................................. 52
Figura 37:Quantidade de pontos feitos por Íasadora em 500 lançamentos .............................. 52
Figura 38: Histograma da distribuição de frequência dos eventos ........................................... 53
LISTAS DE TABELAS
Tabela 1: Evento de interesse suas probabilidades clássicas ............................................16
Tabela 2:Eventos e suas probabilidades ..................................................................19
Tabela 3:Lançamento virtual de duas moedas ...........................................................20
Tabela 4:Espaço Amostral Ω .............................................................................24
Tabela 5:Probabilidades clássicas ........................................................................24
Tabela 6:Probabilidades Relativa em 300 lançamentos .................................................25
Tabela 7:Espaço Amostral Ω .............................................................................29
Tabela 8:Probabilidades clássicas ........................................................................30
Tabela 9:Probabilidades Relativa em 250 lançamentos de dos dados ...................................31
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Sequência Para Cada Encontro em Ambas as Partes do Trabalho ......................................... 8
Quadro 2: Tutorial do aplicativo Dice 1 ............................................................................................... 10
Quadro 3: Tutorial do aplicativo Dice 2 ............................................................................................... 12
Quadro 4: Tutorial do software Simulaprob ......................................................................................... 13
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................ 8
2 TUTORIAL.............................................................................................10
2.1 Como baixar o jogo Dice nos dispositivos móveis..................................10
2.2 Como baixar o simulador de jogos Simulaprob .....................................12
3 PRIMEIRA PARTE DAS ATIVIDADES COM O JOGO DICE ...............................14
4 SEGUNDA PARTE DAS ATIVIDADES COM SOFTWARE SIMULAPROB ..............33
5 QUESTIONÁRIO DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS.........................................54
6 QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO .................................56
REFERÊNCIA ............................................................................................58
8
1 INTRODUÇÃO
A proposta deste produto é disponibilizar um material de apoio para o ensino da
probabilidade relativa tendendo a probabilidade clássica em função do número de
experimentações (jogadas). Este produto é o resultado de uma pesquisa de mestrado na qual a
sequência e os testes propostos foram aplicados a um grupo de alunos da terceira série do
ensino médio. O objetivo desta sequencia didática é auxiliar os alunos no processo de ensinoaprendizagem com o apoio de dispositivos móveis, jogos e resolução de problemas.
Este material está dividido em duas partes: na primeira, serão apresentados para os
alunos quatro situações entre três irmãs em uma discussão sobre quem irá lavar a louça do
almoço, intitulado o problema da louça, onde receberão papel milimetrado, régua de trinta
centímetros, lápis e borracha. Logo após serão divididos em trio para realização das
atividades. Mesmo com os dispositivos móveis sendo frequentes no cotidiano dos alunos
ainda sim devemos fazer um levantamento em sala de aula da quantidade de aparelhos
celulares, tablets, smarphones, etc, com sistema operacional andróide para que seja instalado
através do Google play (play store)um aplicativo de jogo de dados e moedas (Dice).
A segunda parte, usando laptops com o software Simulaprob, temos a sequência de
ensino dividida para ambas as parte em quatro encontros em toda explanação. A sequência
dos encontros na primeira e na segunda parte encontra-se conforme quadro abaixo:
Quadro 5: Sequência Para Cada Encontro em Ambas as Partes do Trabalho
ENCONTROS
1°
2°
3°
4°
ATIVIDADES
Aplicação
do
questionário
sobre
os
conhecimentos prévios dos alunos.
Apresentação do Aplicativo Dice ( primeira parte
do trabalho), Software Simulaprob ( segunda
parte do trabalho) e Orientações para Download.
Atividades a priori com o aplicativo Dice.
Discussão entre experimentos determinísticos e
não determinístico, ideia de acontecimentos
aleatórios e apresentação das atividades;
Construção dos gráficos e tabelas.
Questionário de verificação da aprendizagem a
priori.
Implementação das atividades a posteriori com o
Software Simulaprob.
Análise critica das observações e questionário da
verificação da aprendizagem a posteriori.
CARGA HORÁRIA
Duas aulas
Quatro aulas
Duas aulas
Duas aulas
9
Os conceitos trabalhados nas aulas serão vistos a partir de situações problematizadas,
nas quais os alunos devem ser questionados a respeito do conteúdo de probabilidade relativa e
probabilidade clássica. Durante a sequência de ensino os alunos deverão ser divididos em trio
para que cada um assuma o personagem em questão nas atividades com objetivo de
argumentarem socialmente a situação problema motivadora e serem levados a resolver às
atividades e discutir com os outros grupos antes da explanação do professor.
Por fim, propõem-se a aplicação da verificação da aprendizagem, ou teste diagnóstico a
posteriori em abas as partes do trabalho, composto de nove questões objetivas que abordam
todos os assuntos trabalhados na sequência de ensino, de forma a validar o trabalho efetuado.
10
2 TUTORIAL
2.1 Como baixar o jogo Dice nos dispositivos móveis
Existem duas maneiras de baixarmos este jogo, a primeira seria com a liberação do wi fi
da escola, a segunda baixando em computador desktop e passando para os dispositivos
móveis dos alunos via cabo de transferência, tudo com a orientação do professor através dos
seguintes passos conforme tutoriais abaixo.
Quadro 6: Tutorial do aplicativo Dice 1
Sequencia de instalação e usabilidade do aplicativo Dice
Dispositivo móvel com tela de acesso ao play
store.
Clicar em APPS
Digitar Dice e clicar enter
Clicar em cima do dado
Finalmente clicar em instalar
Interface do aplicativo Dice que aparecerá nos
dispositivos.
11
Tela de opções dos dados e modas
Escolha de quantos dados e ou modas queremos
incluir no jogo.
Tela de exclusão de aplicativos
A segunda maneira de baixarmos o aplicativo seria para um PC comum ou laptops e
instalar nos dispositivos móveis via cabo de transferência, a sugestão deste recurso seria para
as escolas com dificuldades de acesso a internet e wi fi.
12
Quadro 7: Tutorial do aplicativo Dice 2
Sequencia de instalação do aplicativo Dice através do site https://apps.evozi.com/apk-downloader/
Janela de acesso para baixar aplicativos do
sistema android em Pcs ou Laptops com sistema
operacional Windows.
Clicar e acessar diretamente o Play store
Buscar o aplicativo Dice
Clicar para iniciar o processo de Dowloand
Copiar o URL do aplicativo na pagina do Google
play
Colar o URL do aplicativo na aba de busca do
apk downloader e clicar em GENERATE
DOWNLOAD LINK
Clicar em Clik here to dowloand com.teazel now
para iniciar o download
Ao buscar na pasta de downloads do computador
o ícone de instalação
com.teazel.apk
2.2 Como baixar o simulador de jogos Simulaprob
O Software Simulaprob é livre e pode ser obtido gratuitamente através do site
http://pcc.uasnet.mx/~dchavira/. Produto da tese de mestrado Diego Gastélum e Santiago
Inzunsa, destinado ao estudo de Probabilidade e Estatística. Pode ser utilizado no Ensino
Fundamental e Médio.
13
Quadro 8: Tutorial do software Simulaprob
Sequência de instalação do simulador de jogos de dados e moedas simulaprob
Após entrar no site especificado acima Clicar em
Simulaprob.
No próprio site existe um roteiro de instalação do
simulador de jogos Simulaprb.
Baixando
Após download aparecerá um ícone zipado do
Simulaprob
Clicar em cima do ícone com o mouse do lado
direito e extrair o arquivo
Ícone do Simulaprob em Java
Ao clicar no ícone teremos a interface dos jogos
disponíveis no Simulaprob e finalmente iniciar as
atividades.
14
3 PRIMEIRA PARTE DAS ATIVIDADES COM O JOGO DICE
AULA 1: FUNÇÕES E GRÁFICOS
No início da aula, os alunos devem ser divididos em trios. Cada um dos grupos devem receber
as atividades, ler e organizarem-se para solução.
JOGO DICE
Atividade nº 1
Conteúdo: Probabilidade Clássica.
Objetivo: Pretendemos com esta atividade as noções de probabilidade na concepção clássica
focando o acaso, espaço amostral, equiprobabilidade de cada evento, experimentação com
objetos virtuais próximos da realidade, socialização dos resultados, construção de tabelas e
confecção de histogramas.
Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o
aplicativo no Google player ou cabo de transferência para o executável, papel milimetrado
para construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício
para construção de tabelas.
Duração: Uma aula.
Público - alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
15
1. A turma será dividida em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
3. Jogar as moedas virtualmente uma única vez após a solução do problema para
verificação da solução.
Situação Problema
Adaptado - (Questão do caderno de atividades pedagógicas de aprendizagem auto-regulada –
02 - 3ª Série | 2° Bimestre – atividade 1.2 - CEEDUC/RJ)
Yasmin, Isadora e Ísis são três irmãs e resolveram usar duas moedas comuns, não
viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do almoço, lançando duas moedas
simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, Yasmin lavará a louça,
se aparecerem duas caras, Isadora lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma
coroa, Ísis lavará a louça.
Responda:
a) Quais as possibilidades possíveis de faces das duas moedas?
OBJETIVO: Observar a importância dos eventos elementares do espaço amostral e
equiprobabilidade.
Solução: para resolver a situação descrita, devemos selecionar o conjunto de possibilidades
para as duas moedas, totalização de eventos possíveis, chamado de espaço amostral.
(Ω) = {(Cara, Cara),(Cara, Coroa),(Coroa, Cara),(Coroa, Coroa)}.
b) Organize uma tabela da probabilidade clássica envolvendo os casos de Yasmin,
Isadora e Ísis.
OBJETIVO: Classificar o evento de interesse (cara) como referencia de forma organizada e
ter uma visão geral do evento em questão.
Solução: para resolver essa alternativa, devemos solicitar aos alunos a organização de uma
tabela com os eventos e suas respectivas probabilidades.
16
Tabela 9: Evento de interesse suas probabilidades clássicas
Ω
(Coroa,coroa) - Yasmin
Cara
0
Probabilidades
¼ = 0,25 ou 25%
(cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis
1
½ = 0,5 ou 50%
(cara,cara) - Isadora
2
¼ = 0,25 ou 25%
Fonte: próprio autor
c) Construa um histograma em papel milimetrado utilizando lápis, borracha e uma
régua de trinta centímetros, utilizando os dados encontrados na tabela.
OBJETIVO: Utilização de gráfico e visualização da estabilidade da probabilidade clássica.
Solução: esta alternativa será desenvolvida abarcando as noções básicas de plano cartesiano,
porcentagem e leitura de gráficos evidenciando a maior probabilidade de Isis lavar a louça do
almoço.
Figura 1: Histograma da Probabilidade clássica de duas moedas
Fonte: próprio autor
d) Terá que lavar a louça quem tiver maior probabilidade nos eventos, (cara,cara),
(coroa,coroa), (cara,coroa) e (coroa, cara) ?
Objetivos:
17
1. A análise de resultados após a resolução do problema levando os alunos a
responderem e concluírem o enunciado após uma discussão da tabela e do
histograma.
2.
Mostrar que na probabilidade o maior grau de certeza ou incerteza pode não
ocorrer, pois a mesma enfatiza o acaso.
Solução: Diante de todas as evidencias podemos concluir que Isis tem 50% de chances
de lavar a louça do almoço contra 25% de Isadora e 25% e Yasmin, logo lavara a
louça.
Para finalizar a atividade sugere-se ao professor que cada grupo faça uma única jogada
virtualmente através do jogo Dice, anote a resposta e provoque uma discussão sobre a
situação com o objetivo de socializar as visões encontradas quanto a solução do
problema focando sempre que o menor grau de incerteza pode acontecer nos casos de
experimentos aleatórios. Uma atividade como essa em uma aula expositiva
tradicionalmente falando pode passar despercebido a grande injustiça probabilística de
25% de possibilidades para cada uma das duas irmãs lavarem a louça do almoço. Após
o resultado do experimento virtual na figura 2 tela com par de modas em uma única
jogada, consultando a tabela ou o histograma Yasmin lavara a louça do almoço.
Figura 2: Tela com par de moedas
em uma única jogada
Fonte: próprio autor
18
Atividade nº 2
Conteúdos: Probabilidade Clássica e Frequência Relativa.
Objetivos:
1. Mostrar uma tendência à estabilização da freqüência relativa de um evento apoiado
pelo jogo virtual de dados (Dice) (instalado em dispositivos móveis com sistema
Android) repetindo-se o experimento um pequeno número de vezes, fazendo uma
inferência sobre sua probabilidade clássica.
2. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa
determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável
(pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos
(número total de jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
3. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω (cara,coroa) e (coroa, cara)
continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da
probabilidade clássica.
4.
Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o aplicativo
no Google player ou cabo de transferência para o executável, papel milimetrado para
construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para
construção de tabelas.
Duração: uma aula.
19
Público-alvo : Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema android em todo o experimento e instalar o
jogo (Dice).
2. A partida será composta por 100 jogadas que serão disputadas por três alunos
representando Yasmin, Isadora e Isis.
3. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
4. Análise dos resultados entre o grupo.
5. Análise dos resultados entre a turma.
Situação Problema
Isis questiona o resultado do jogo e resolve apelar com as irmãs dizendo que em uma única
jogada seria injusto o resultado, e propõe resolver a questão repetindo o experimento 50 e 100
vezes utilizando o aplicativo Dice. O fato de aumentarem o número de jogadas, a
probabilidade de Isis lavar a louça será maior, menor ou não se altera?
Solução:
1. Repetir a tabela do exercício anterior.
Tabela 10:Eventos e suas probabilidades
Ω
(Coroa,coroa) - Yasmin
Cara
0
Probabilidades
¼ = 0,25 ou 25%
(cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis
1
½ = 0,5 ou 50%
(cara,cara) - Isadora
2
¼ = 0,25 ou 25%
Fonte: próprio autor
20
2. Repetir o histograma do exercício anterior.
Figura 3: Histograma das Probabilidades Clássica
Fonte: próprio autor
3. Organizar uma tabela com o número de jogadas, total de pontos e a frequência
relativa.
Tabela 11:Lançamento virtual de duas moedas
Ω
(Coroa,coroa) - Yasmin
Número
de Jogadas
50
Total de
pontos
13
(Coroa,coroa) - Yasmin
100
23
(cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis
50
22
(cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis
100
52
(cara,cara) - Isadora
50
15
(cara,cara) - Isadora
100
25
Frequência relativa ou
probabilidade relativa
P(A) ≈ nA/ n ≈ 13/50≈
0,26 ou 26%
P(A) ≈ nA/n ≈ 23/100 ≈
0,23 ou 23%
P(A) ≈ nA/n ≈ 22/50≈ 0,44
ou 44%
P(A) ≈ nA/n ≈ 52/100 ≈
0,52 ou 52%
P(A) ≈ nA/n ≈ 15/50≈ 0,3
ou 30%
P(A) ≈ nA/n ≈ 25/100 ≈
0,26 ou 25%
Fonte: próprio autor
4. Provocar uma discussão dos resultados da tabela fazendo um paralelo a probabilidade
clássica e a frequência relativa, tendo como conclusão a perda de Isis em função do
número de jogadas.
5. Construir os histogramas das probabilidades relativas.
21
Figura 4: Histograma das Probabilidades relativas em 50 lançamentos
Fonte: próprio autor
Figura 5 : Histograma das Probabilidades Relativas em 100 lançamentos
Fonte: próprio autor
6. Enfatizar a análise dos histogramas comparando-os com o histograma da
probabilidade clássica mostrando as frequências como uma probabilidade a medida
que o número de jogadas aumentam.
Atividade nº 3
Conteúdos: Frequência Relativa
Objetivos:
22
1. Distribuição de frequência focando a equiprobabilidade e a não equiprobabilidade.
2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em:
(a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência.
(b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e
aleatório.
(c) Estimativa de probabilidades frequência.
3. Evidenciar a probabilidade Empírica pelo enfoque da frequência relativa determinada
com base na proporção de vezes que ocorrer um resultado favorável ( pontos marcados
nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos ( número total de
jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior
probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica.
5. Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o
aplicativo no Google player ou cabo transferência para executável, papel milimetrado para
construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para
construção de tabelas.
Duração: Uma aula.
Público-alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
23
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Android em todo o experimento e instalar
o jogo (Dice).
2. A partida será composta por 300 jogadas que serão disputadas por três alunos
representando Yasmin, Isadora e Isis.
3. Cada aluno do grupo terá uma função, por exemplo, anotar os pontos dos jogadores,
anotarem as frequências relativas para cada soma das faces dos dados e jogar os dados
virtualmente.
4. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
5. Análise dos resultados entre o grupo.
6. Análise dos resultados entre a turma.
Situação problema:
Isis fica sem saída no que se refere a probabilidade relativa do jogo das duas moedas e solicita
as irmãs um jogo de dois dados honestos e distinguíveis, propondo a divisão da louça em três
partes, panelas, frigideiras, tabuleiros e travessas ,condição (A); Pratarias e talheres, condição
(B);copos, taças e arrumar a mesa, condição (C). Todas entram em comum acordo, Isadora
rapidamente propõe uma regra do jogo para as irmãs, todas as vezes que a soma das faces dos
dados forem sete Ísis fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem cinco Isadora
fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem doze Yasmin fará um ponto. Quem
tiver a maior probabilidade relativa argumentando através de tabelas de distribuição de
frequências e histogramas obedece a condição (C), a menor obedece a condição(A)
,intermediário a condição (B) em caso de empate ambas lavarão a louça. A vencedora será
definida em 300 jogadas com a maior probabilidade.
24
Solução
1.
Determinar o espaço Amostral Ω constituído por 36 resultados possíveis em uma
tabela de dupla entrada.
Tabela 12:Espaço Amostral Ω
Dado 1
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
Fonte: próprio autor
2. Representação de todos os casos de eventos equiprováveis e não equiprováveis em
uma tabela e a visualização das probabilidades clássicas encontradas.
Tabela 13:Probabilidades clássicas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Subconjunto
do Espaço
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Amostral
Espaço
Amostral
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
Probabilidade
em %
2,77 5,55 8,33 11,11 13,88 16,66 13,88 11,11 8,33 5,55 2,77
Fonte: próprio autor
3. Em todos os lançamentos do jogo, o jogador utilizará os dois dados.
25
Figura 6: Tela do Jogo de Dados
Fonte: próprio autor
4. A partida será composta por 300 jogadas que serão disputadas por três alunos
representando Yasmin, Isadora e Isis.
Tabela 14:Probabilidades Relativa em 300 lançamentos
Número de
Pontos
Número de
Jogadas
Probabilidade
Relativa
em %
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
10
8
30
39
46
35
36
20
10
8
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
2
3,2
2,8
10
13,2
15,6
11,6
12,8
6,4
3,2
2,4
Fonte: próprio autor
5. Os casos equiprováveis e não equiprováveis da probabilidade clássica também
ocorreram na probabilidade relativa.
6. Construir dois histogramas utilizando os dados das tabelas 4 e 5.
26
Figura 7: Histograma clássico da Soma das Faces de dois Dados
Fonte: próprio autor
Figura 8:Histograma da Probabilidade Relativa em 300 lançamentos de dois dados
Fonte: próprio autor
7. O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e
histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do
número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.
8. Podemos então concluir em função da análise de tabelas e histogramas das
probabilidades clássicas e frequentista que; Isis obedecerá a condição (C), pois teve a
maior probabilidade de ocorrência da soma sete em ambos os casos probabilísticos
clássicos e frequentista; Yasmin ficou com a condição (A) pois teve a menor
ocorrência; Isadora ficou com a condição (B) pois sua probabilidade ficou entre Isis e
Yasmin.
27
Atividade nº 4
Conteúdos: Probabilidade de Eventos Mutuamente Exclusivos e Frequência Relativa
Objetivos:
1. Identificar o problema como experimento aleatório e os seus eventos. Calcular e
comparar as probabilidades desses eventos mutuamente exclusivos.
2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em:
(a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência.
(b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e
aleatório.
(c) Estimativa de probabilidades frequência.
3. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa
determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável
(pontos marcados nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos
(número total de jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior
probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica.
5. Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o
aplicativo no Google player ou cabo transferência para o executável, papel milimetrado para
28
construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para
construção de tabelas.
Duração: Uma aula.
Público-alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema android em todo o experimento e instalar o
jogo (Dice).
2. A partida será composta por 250 jogadas que serão disputadas por três alunos
representando Yasmin, Isadora e Isis.
3. Cada aluno do grupo ficará responsável por anotar os pontos dos jogadores, anotarem
as frequências relativas para cada soma das faces dos dados e jogar os dados
virtualmente.
4. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
5. Análise dos resultados entre o grupo.
6. Análise dos resultados entre a turma.
Situação problema:
(ENEM 2006 – adaptado)
Ainda em relação a louça. Yasmin diz o seguinte - se temos um jogo deve haver um vencedor
único? Tive uma ideia! Jogar os dados para que uma das três não lave a louça. No caso a
vencedora. Ela diz que o time de ambas é o Timbucio Futebol Clube, que venceu um
29
campeonato amador. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um
deles. Todos quiseram guardar a taça em sua casa. Então, sugeriu-se o seguinte:
- São 11 jogadores e suas camisas estão numeradas de 2 a 12. Os dois dados têm as faces
numeradas de 1 a 6. Se jogar os dois, a soma dos números das faces pode variar de 2 (1+1) a
12 ( 6+6 ). Vamos jogar os dados 250 vezes, e quem tiver a camisa com o número de pontos
maior vai ficar com a taça (não lavará a louça).
- Isis rapidamente escolhe o número doze. Iasmin logo diz - não sei não... Isis sempre na
esperteza dês do inicio nos convencendo e não aceitando as probabilidades... acho que ela está
levando alguma vantagem... mas, tudo bem por mim pode ficar com o doze..
- Iasmin diz – vou ficar com o número sete, pois sete é o número da perfeição segundo a
Bíblia Sagrada.
- Isadora diz – vou ficar com número nove, pois nove é uma raiz exata.
Solução:
1.
Determinar o espaço Amostral Ω constituído por 36 resultados possíveis em uma
tabela de dupla entrada.
Tabela 15:Espaço Amostral Ω
Dado 1
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
Fonte: próprio autor
2. Separar os conjuntos de eventos de interesse.
Eventos de interesse para:
30

Isis - (6,6)

Yasmin - (1,6); (2,5); (3,4);(5,2);(6,1)

Isadora - (3,6); (4,5); (5,4); (6,3)
3. Construir a tabela da probabilidade clássica.
Tabela 16:Probabilidades clássicas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Subconjunto
do Espaço
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Amostral
Espaço
Amostral
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
Probabilidade
em %
2,77 5,55 8,33 11,11 13,88 16,66 13,88 11,11 8,33 5,55 2,77
Fonte: próprio autor
4. Construir o histograma da probabilidade clássica.
Figura 9:Histograma clássico da soma das faces de dois Dados
Fonte: próprio autor
5. A partida será composta por 250 jogadas que serão disputadas por três alunos
representando Yasmin, Isadora e Isis.
31
Tabela 17:Probabilidades Relativa em 250 lançamentos de dos dados
Número de
Pontos
Número de
Jogadas
Probabilidade
Relativa
em %
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
8
7
25
33
39
29
32
16
8
6
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
250
2
3,2
2,8
10
13,2
15,6
11,6
12,8
6,4
3,2
2,4
Fonte: próprio autor
6. Em todos os lançamentos do jogo, o jogador utilizarão os dois dados.
Figura 10:Tela do Jogo de Dados
Fonte: próprio autor
7. Construir o histograma da probabilidade relativa.
32
Figura 11:Histograma da Probabilidade Relativa em 250 lançamentos de dois dados
Fonte: próprio autor
8. O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e
histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do
número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.
33
4 SEGUNDA PARTE DAS ATIVIDADES COM SOFTWARE SIMULAPROB
Atividade nº 1
Conteúdo: Probabilidade Clássica.
Objetivo: Pretendemos com esta atividade abordar noções de probabilidade na concepção
clássica focando o acaso, espaço amostral, equiprobabilidade de cada um dos eventos,
experimentação com objetos virtuais próximos da realidade, socialização dos resultados,
construção de tabelas e confecção de histogramas.
Material: Laptop com sistema operacional Windows, internet para baixar o executável do
software Simulaprob ou instalar via pendrive.
Duração: Uma aula.
Público-alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas de informática.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. A turma será dividida em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
3. Simular a Jogada das moedas virtualmente uma única vez após a solução do problema.
4. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma
conversão de sol para coroa e aguila para cara.
34
Situação Problema
Adaptado - (Questão do caderno de atividades pedagógicas de aprendizagem auto-regulada –
02 - 3ª Série | 2° Bimestre – atividade 1.2 - CEEDUC/RJ)
Yasmin(A), Isadora(C) e Ísis(B) são três irmãs e resolveram usar duas moedas comuns, não
viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do almoço, lançando duas moedas
simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, Yasmin lavará a louça, se
aparecerem duas caras, Isadora lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, Ísis
lavará a louça. Responda:
a) Quais as possibilidades possíveis para as duas moedas?
OBJETIVO: Observar a importância dos eventos elementares do espaço amostral e
equiprobabilidade.
Solução: para resolver a situação descrita, devemos selecionar os conjuntos de
possibilidades para as duas moedas, totalização de eventos possíveis chamados espaço
amostral.

Simular o lançamento das duas moedas honestas com o auxílio do Simulaprob.
Procedimentos de resolução:
1° - Abrir a janela principal conforme figura 13.
Figura 12:Janela principal do Software Simulaprob
Fonte: próprio autor
2° - Clicar na janela indicada para determinar o espaço amostral conforme figura 14.
35
Figura 13: Janela de execução dos experimentos
Fonte: próprio autor
3° - Espaço amostral conforme figura 15.
Figura 14: Espaço amostral para o lançamento de duas moedas
Fonte: próprio autor
b) Organize a tabela da frequência relativa com 10 simulações envolvendo os casos de
Yasmin, Isadora e Ísis.
OBJETIVO: Classificar o evento de interesse (cara - aguila) como referencia de forma
organizada e ter uma visão geral do evento em questão.
36
Solução: Demonstrar a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de
distribuição de frequência do evento de interesse conforme figura 15.
Figura 15:Resultados da distribuição de frequência eventos
de interesse das duas moedas em 10 lançamentos
Fonte: próprio autor
c) Construa os histogramas da frequência relativa e da probabilidade clássica.
OBJETIVO: Utilização de gráfico e visualização da estabilidade da probabilidade clássica.
Solução: esta alternativa será desenvolvida abarcando as noções básicas de plano
cartesiano, porcentagem e leitura dos gráficos evidenciando a maior probabilidade de
Isis lavar a louça do almoço conforme figura 17.
Figura 16: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 10 lançamentos
Fonte: próprio autor
Sobreposição da frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 18.
37
Figura 17: Interseção dos histogramas empírico, clássico e evento
de interesse de duas moedas em 10 lançamentos
Fonte: próprio autor
d) Terá que lavar a louça quem tiver maior probabilidade nos eventos ,(cara - aguila,cara –
aguila),(coroa – sol ,coroa – sol ), (cara – aguila,coroa – sol ) e (coroa – sol , cara - aguila) ?
Objetivos:
1. A análise de resultados após a resolução do problema levando os alunos
responderem e concluírem o enunciado após uma discussão da tabela e do
histograma.
2.
Mostrar que na probabilidade o maior grau de certeza ou incerteza pode não
ocorrer, pois a mesma enfatiza o acaso.
Solução: Diante dos fatos podemos concluir que Isis tem 50% de chances de lavar a
louça do almoço contra 25% de Isadora e 25% e Yasmin, logo lavará a louça.
Para finalizar a atividade sugere-se ao professor que cada grupo faça um comentário
sobre os histogramas, provocar uma discussão sobre a situação com o objetivo de
socializar as visões encontradas quanto a solução do problema focando sempre que o
menor grau de incerteza pode acontecer nos casos de experimentos aleatórios.
Atividade 2
38
Conteúdos: Probabilidade Clássica e Frequência Relativa.
Objetivos:
1. Mostrar uma tendência a estabilização da frequência relativa de um evento apoiado
pelo simulador de jogos virtuais de dados e moedas Simulaprob, repetindo-se o
experimento um pequeno número de vezes, fazendo uma inferência sobre sua
probabilidade clássica.
2. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da freqüência relativa
determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável (
pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos (
número total de jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
3. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω (cara,coroa) e (coroa, cara)
continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da
probabilidade clássica.
4. Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já
citado ou instalação via pendrive.
Duração: Uma aula.
Público-alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
39
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. A turma será dividida em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma
conversão de sol para coroa e aguila para cara.
4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar
o simulador de jogos Simulaprob.
5. A partida será realizada em três rodadas de 50, 100 e 200 pontos.
6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
7. Análise dos resultados entre o grupo.
8. Análise dos resultados entre a turma.
Situação Problema
Isis questiona o resultado do jogo e resolve apelar com as irmãs dizendo que em uma única
jogada seria injusto o resultado, e propõe resolver a questão repetindo o experimento 50, 100
e 200 vezes, utilizando o simulador Simulaprob. O fato de aumentarem o número de jogadas,
a probabilidade de Isis lavar a louça será maior, menor ou não se altera?
Procedimentos para resolução:

50 jogadas
1° - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição
de frequência do evento de interesse conforme figura 19.
40
Figura 18: Resultados da distribuição de frequência dos eventos
de interesse das duas moedas em 50 lançamentos
Fonte: próprio autor
2° - Histograma das frequências relativas e probabilidade clássica com forme figura 20.
Figura 19: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 50 lançamentos
Fonte: próprio autor
3° - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 21.
Figura 20:Interseção dos histogramas empírico e clássico evento
de interesse de duas moedas em 50 lançamentos
Fonte: próprio autor
41

Procedimentos para 100 jogadas
1° - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição
de frequência do evento de interesse conforme figura 22.
Figura 21: Resultado da distribuição de frequência dos eventos
de interesse das duas moedas em 100 lançamentos
Fonte: próprio autor
2° - Histograma da frequência relativa e probabilidade clássica conforme figuras 23.
Figura 22:
Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 100 lançamentos
Fonte: próprio autor
3° - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 24.
42
Figura 23: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento
de interesse de duas moedas em 100 lançamentos
Fonte: próprio autor

Procedimentos para 200 jogadas
1° - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição
de frequência dos eventos de interesse conforme figura 25.
Figura 24: Resultados da distribuição de frequência dos eventos
de interesse das duas moedas em 200 lançamentos
Fonte: próprio autor
2° - Histograma da frequência relativa e probabilidade clássica conforme figuras 26.
43
Figura 25:
Histograma empírico e clássico (teórico) de duas moedas em 200 lançamentos
Fonte: próprio autor
3° - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 27.
Figura 26: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento
de interesse de duas moedas em 200 lançamentos
Fonte: próprio autor
4° - Para finalizar o professor pode gerar uma discussão dos resultados da tabela de
distribuição de frequência fazendo um paralelo entre a probabilidade clássica e a frequência
relativa ou probabilidade relativa, tendo como conclusão a perda de Isis em função do número
de jogadas.
5° - Enfatizar a análise dos histogramas comparando-os com o histograma da probabilidade
clássica mostrando as frequências como uma probabilidade a medida que o número de
jogadas aumentam.
44
Atividade 3
Conteúdos: Frequência Relativa
Objetivos:
1. Distribuição de frequência enfocando a equiprobabilidade e a não equiprobabilidade.
2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em:
(a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência.
(b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e
aleatório.
(c) Estimativa de probabilidades frequência.
3. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa
determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável
(pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos
(número total de jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior
probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da probabilidade clássica.
5. Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já
citado ou instalação via pendrive.
Duração: Uma aula.
Público-alvo : Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
45
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. A turma será dividida em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma
conversão de sol para coroa e aguila para cara.
4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar
o simulador de jogos Simulaprob.
5. A partida será finalizada em um total de 400 pontos.
6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
7. Análise dos resultados entre o grupo.
8. Análise dos resultados entre a turma.
Situação problema:
Isis fica sem saída no que se refere a probabilidade relativa do jogo das duas moedas e solicita
as irmãs um jogo de dois dados honestos e distinguíveis, propondo a divisão da louça em três
partes, panelas, frigideiras, tabuleiros e travessas ,condição (A); Pratarias e talheres, condição
(B);copos, taças e arrumar a mesa, condição (C). Todas entram em comum acordo, Isadora
rapidamente propõe uma regra do jogo para as irmãs, todas as vezes que a soma das faces dos
dados for sete Ísis fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces for cinco Isadora fará
um ponto; todas as vezes que a soma das faces for doze Yasmin fará um ponto. Quem tiver a
maior probabilidade relativa argumentando através de tabelas de distribuição de frequências e
histogramas obedece a condição (C), a menor obedece a condição(A) ,intermediário a
condição (B) em caso de empate ambas lavarão a louça. A vencedora será definida em 400
jogadas com a maior probabilidade.
Procedimentos de solução
46
3° - Determinar o espaço amostral conforme figuras 28.
Figura 27: Janela de execução dos experimentos para os dados
Fonte: próprio autor
Figura 28:Espaço amostral dos dados
Fonte: próprio autor
4° - Separar os conjuntos de eventos de interesse:
Figura 29:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 400 lançamentos
Fonte: próprio autor
47
Figura 30:Quantidade de pontos feitos por Yasmin em 400 lançamentos
Fonte: próprio autor
Figura 31:Quantidade de pontos feitos por Isadora em 400 lançamentos
Fonte: próprio autor

Histograma dos resultados conforme figura 33.
Figura 32: Histograma da distribuição de frequência dos eventos
de interesse dos dois dados em 400 lançamentos
Fonte: próprio autor
48
5°- O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas
como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de
experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.
6°- Podemos então concluir em função da análise das tabelas e histogramas das
probabilidades clássicas e frequentista que; Isis obedecerá a condição (C), pois teve a maior
probabilidade de ocorrência da soma sete em ambos os casos probabilísticos clássicos e
frequentista; Yasmin ficou com a condição (A) pois teve a menor ocorrência; Isadora ficou
com a condição (B) pois sua probabilidade ficou entre Isis e Yasmin.
Atividade nº 4
Conteúdos: Probabilidade de Eventos Mutuamente Exclusivos e Frequência Relativa
Objetivos:
1.
Identificar o problema como experimento aleatório e os seus eventos. Calcular e
comparar as probabilidades desses eventos mutuamente exclusivos.
2.
Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em:
(a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência .
(b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e
aleatório.
(c) Estimativa de probabilidades frequência.
3.
Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa
determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável
(pontos marcados nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos
(número total de jogadas).
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
49
4.
Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de
experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior
probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica.
5.
Construir, ler e interpretar histogramas.
Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já
citado ou instalação via pendrive.
Duração: Uma aula.
Público-alvo: Terceira série do ensino médio.
Pré-requisitos para resolução:
1. Noções básicas com tecnologias móveis.
2. Básico de conjuntos.
3. Porcentagem.
4. Introdução à combinatória.
5. Leitura e construção de gráficos.
Procedimentos:
1. A turma será dividida em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma
conversão de sol para coroa e aguila para cara.
4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar
o simulador de jogos Simulaprob.
5. A partida será finalizada em um total de 400 pontos.
6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas).
7. Análise dos resultados entre o grupo.
8. Análise dos resultados entre a turma.
50
Situação problema:
(ENEM 2006 – adaptado)
Ainda em relação à louça. Yasmin diz o seguinte - se temos um jogo deve haver um vencedor
único? Tive uma ideia! Jogar os dados para que uma das três não lave a louça.. No caso a
vencedora.. Ela diz que o time de ambas, o Timbúcio Futebol Clube, venceu um campeonato
amador. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos
quiseram guardar a taça em sua casa. Então, sugeriu-se o seguinte:
- São 11 jogadores e suas camisas estão numeradas de 2 a 12. Os dois dados têm as faces
numeradas de 1 a 6. Se jogar os dois, a soma dos números das faces pode variar de 2 (1+1) a
12 ( 6+6 ). Vamos jogar os dados 500 vezes, e quem tiver a camisa com o número de pontos
maior vai ficar com a taça (não lavar a louça).
- Isis rapidamente escolhe o número doze. Yasmin logo diz - não sei não... Isis sempre na
esperteza dês do inicio nos convencendo e não aceitando as probabilidades... Acho que ela
esta levando alguma vantagem... Mas, tudo bem por mim pode ficar com o doze..
- Yasmin diz – vou ficar com o número sete, pois sete é o número da perfeição segundo a
Bíblia sagrada.
- Isadora diz – vou ficar com número nove, pois nove é uma raiz exata.
Procedimentos de solução
3° - Determinar o espaço amostral conforme figuras 34 e 35.
Figura 33:Janela de execução dos experimentos para os dados
Fonte: próprio autor
51
Figura 34:Espaço amostral dos dados
Fonte: próprio autor
4° - Separar os conjuntos de eventos de interesse:
Figura 35:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 500 lançamentos
Fonte: próprio autor
52
Figura 36: Quantidade de pontos feitos por Yasmin em 500 lançamentos
Fonte: próprio autor
Figura 37: Quantidade de pontos feitos por Isadora em 500 lançamentos
Fonte: próprio autor
53
Figura 38: Histograma da distribuição de frequência dos eventos
de interesse dos dois dados em 500 lançamentos
Fonte: próprio autor
5° - O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas
como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de
experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.
54
5 QUESTIONÁRIO DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS
QUESTIONÁRIO – Dissertação de Mestrado
Tema: Aplicação do software “Simulaprob” e aplicativo “Dice”
Mestrando: Rogério Delfino de Souza
INFORMAÇÕES SOBRE OS CONHECIMENTOS PRÉVIOS DOS ALUNOS
Este questionário faz parte da pesquisa “Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade
no Ensino Médio”, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e
deverá ser respondido pelos alunos da terceira série do Ensino Médio. Não é necessário se identificar.
Obrigado pela colaboração.
1. Qual a sua idade?_____________ anos
2. Você disponibiliza e utiliza algum dispositivo móvel como, celular, smartphone, tablet ou laptop?
SIM Qual(is) ? ______________________________________
NÃO
3. Para a resposta sim, quanto tempo aproximadamente utiliza por dia?
_________________________________________________________________________________________
4. Para que você utiliza?
__________________________________________________________________________
5. Você conhece algum software educacional de probabilidade?
SIM
Qual(is)? ______________________________________
NÃO
6. Como você Explicaria as palavras, aleatório e acaso? Exemplifique.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
55
7. Em 100 lançamentos de “cara ou coroa” obtêm-se 60 coroas e 40 caras. Aumentando-se o número de
lançamentos para 1000 lançamentos existirão mudanças nos números anteriores?
SIM Justifique sua escolha.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
NÃO Justifique sua escolha.____________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
8. Ainda em relação ao item anterior se fizermos 1000000 de lançamentos em qual eventualidade você
apostaria?
a) Existirão mais coroas que caras.
b) Existirão mais caras que coroas.
c) Caras e coroas tendem a se igualar.
Explique sua escolha ______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
9. Lançam-se ao mesmo tempo dois dados idênticos. A frase seguinte é verdadeira ou falsa? “A probabilidade
de aparecerem o numero “1” nas duas faces dos dados são as mesma para os números “5” e “6”.”
Verdadeira
Falsa
Explique sua escolha _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
OBRIGADO POR SUA PARTICIPAÇÃO!
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6 QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO
QUESTIONÁRIO – Dissertação de Mestrado
Tema: Aplicação do software “Simulaprob” e aplicativo “Dice”
Mestrando: Rogério Delfino de Souza
QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO
Este questionário faz parte da pesquisa “Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade no
Ensino Médio”, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e deverá ser
respondido pelos alunos da terceira série do Ensino Médio. Não é necessário se identificar. Obrigado pela
colaboração.
1) 1. A definição de probabilidade de Laplace (probabilidade clássica) é válida somente quando o Espaço Amostral
possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis?
2)
( ) pouco provável; ( ) muito provável; ( ) impossível de ocorrer;
( ) Não sei.
2. Marque verdadeiro ou falso nos exemplos de experimentos aleatórios as seguintes situações:
• Tempo de espera na fila de um banco ( )
• Horário em que irá começar a chover ( )
• O resultado da face voltada para cima no lançamento de uma moeda (
• Número de ganhadores na Mega Sena ( )
• Resultado de um jogo de roleta ou dados ( )
)
3. Podemos dizer que ao observar a tendência a estabilidade de um histograma em função do número de
experimentos (jogadas) ele aproxima-se da probabilidade clássica?
(
) pouco provável de ocorrer;
(
) Não sei.
(
) muito provável de ocorrer;
( ) impossível de ocorrer;
4. No lançamento de uma moeda honesta a probabilidade de sair cara é igual a 1/2?
(
) pouco provável de ocorrer; (
) muito provável de ocorrer; (
) impossível de ocorrer; (
) Não sei.
5. Como pensas que devem ser os resultados ao supor o lançamento de duas moedas 10 vezes seguidas? Anotar os
possíveis resultados sem lançar nenhuma moeda. Escreva Ca para cara e Co para coroa .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. Se lançarmos duas moeda honesta 50 vezes, então a obtenção de 25 (cara, coroa) ou (coroa,cara ) é um evento:
( ) pouco provável de ocorrer; ( ) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei.
7) No lançamento de um dado honesto teremos mais chances em obter a face 1 do que a face 6?
( ) pouco provável de ocorrer; (
) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei.
8. Os histogramas indicam frequências de eventos da soma das faces de dois dados honestos em 5, 100 e 1000
experimentações (jogadas). Qual dos histogramas A, B ou C esta mais próximo da probabilidade clássica.
A
(
B
)
(
C
)
(
)
9. O experimento aleatório tem sua formação num conjunto circunstancial com respostas observáveis e incertas.
Em 400 repetições quando clicamos no ícone simular experimento 10 vezes a distribuição de frequência abaixo
permanecerá a mesma?
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REFERENCIA
BRASIL. 1999. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Matemática.
Brasília. Ministério da Educação, Secretaria da Educação média e Tecnologia, 1999.
COUTINHO, C. de Q. e S. Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma Visão
Frequentista. 1994. 151p. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo, 1994.
DIAS,
R.A.
Tecnologias
Móveis.
Disponível
em
netsaber.com.br/resumo_artigo_17302/artigo_sobre_tecnologias_moveis.
26/08/2014.
http://artigos.
Acessado em
INSUNZA, S., GASTÉLUM, D. y ÁLVAREZ, A. (Junio 2009). Desarrollo de software para
el aprendizaje y razonamiento probabilístico: el caso de SIMULAPROB. UNIÓN: Revista
Iberoamericana
de
Educación
Matemática,
18,
135-149.
Disponible
en:
http://www.scribd.com/doc/24002441/Union-018.