Mecânica dos Sólidos II - Prof. Arthur Braga - PUC-Rio

Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II
Parte 1 (Revisão)
Prof. Arthur M. B. Braga
2014.2
ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II
•  Prof. Arthur M. B. Braga
–  Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica
–  E-Mail: [email protected]
–  Tel: 3527-1181
•  Aulas: 2a e 6as – 07:00-09:00 – Sala 210L
•  Notas de aula:
http://abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/mecsol2.html
•  Textos
–  J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson
–  S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The
Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978
–  T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGrawHill, 1994
Mecânica dos Sólidos II
Critério de Avaliação
Critério 6:
NF =
G1 + G2
2
Se G1 e G2 >= 3,0 e NF >= 5,0 então MÉDIA = NF
Em outros casos o aluno faz G3:
Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 e G3 >= 3,0, então:
Gm + Gn
MÉDIA =
2
Gm e Gn são as duas maiores notas entre G1, G2 e G3
Se G1 ou G2 < 3,0 e G3 < 3,0, então:
MÉDIA =
G1 + G2 + 2 ∗ G3
4
Mecânica dos Sólidos II
Data das Provas
•  P1: Segunda-feira, 29 de setembro
•  P2: Segunda-feira, 17 de novembro
•  P3: Sexta-feira, 30 de novembro
Mecânica dos Sólidos II
Ementa
ENG1704 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
Deslocamento de vigas retas devido à flexão. Relação momentocurvatura. Flambagem de colunas.Condições de
estabilidade.Critérios de falha por flambagem.Métodos de
energia.Teorema de Catigliano.Teorema dos trabalhos
mínimos.Introdução ao método dos elementos finitos.Vigas
curvas.Deslocamentos sob diversas formas de
solicitação.Cilindros de paredes grossas.Discos girantes.Flexão
oblíqua.Centro de cisalhamento.Vigas sobre funções elásticas.
Mecânica dos Sólidos II
Programa
•  Estado de tensão em um ponto (revisão)
•  Introdução à teoria da elasticidade
–  Equações de equilíbrio (revisão)
–  Relação entre deslocamentos e deformações (revisão)
–  Relações constitutivas (revisão)
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Deformações em vigas
Cilindros de paredes grossas
Comportamento além do regime elástico (carga limite)
Flambagem (instabilidade elástica)
Vigas curvas
Métodos de energia (Teorema de Castigliano)
Tópicos avançados
Mecânica dos Sólidos II
Mecânica dos Sólidos
Problema
Corpo sujeito a ação de esforços
externos (forças, momentos, etc.)
Determinar
•  Esforços internos (tensões)
•  Deformações
•  Deslocamentos
F1
F8
F2
F7
F3
F4
F6
F5
Mecânica dos Sólidos II
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um
conjunto de forças externas
F1
F8
F2
F3
n
∆A
∆F
n
F4
∆F – Força de superfície resultante
atuando sobre o elemento de
área ∆A
Mecânica dos Sólidos II
Definição do Vetor Tensão
Vetor tensão
s
ΔF
t = lim
ΔA→0 ΔA
ts
∆A
∆F t
Componente normal
(tensão normal)
tn = t ⋅ n
tn
n
Componente tangencial
(tensão cisalhante)
ts = t − (t ⋅ n)n
Mecânica dos Sólidos II
Determinação da Distribuição de Tensão no
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
F1
F8
F2
F7
F3
P (x,y,z)
⎡σ xx σ xy σ xz ⎤
⎢
⎥
[σ ] = ⎢σ xy σ yy σ yz ⎥
⎢σ xz σ yz σ zz ⎥
⎣
⎦
σzz
F4
σxz
F6
σxx
F5
x
σzx
σxy
z
σ ( x, y, z )
σzy
σyz
σyx
σyy
y
Mecânica dos Sólidos II
Representação Gráfica do Estado de Tensão
no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)
σzz
σxz
σxx
x
σzx
σxy
z
σzy
σyz
σyx
σyy
y
Mecânica dos Sólidos II
Estado de Tensão em um Ponto
•  Tensão é uma grandeza tensorial: [σ], ou σ, é chamado o tensor
de tensões
•  Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja,
σxy= σyx , σxz= σzx , e σyz= σzy . Logo, [σ] possui apenas seis
componentes independentes!
•  Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões é necessária
para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da
quantidade de movimento angular) seja satisfeito.
•  Uma vez conhecidas as seis componentes independentes do
tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando
sobre qualquer plano que passa pelo ponto.
Mecânica dos Sólidos II
Estado de Tensão em um Ponto
O vetor tensão associado à direção cuja normal é n,
pode então ser calculado a partir do tensor de tensões:
⎧t (x n ) ⎫ ⎡σ xx
⎪ (n) ⎪ ⎢
⎨t y ⎬ = ⎢σ yx
⎪t ( n ) ⎪ ⎢ σ
⎩ z ⎭ ⎣ zx
σ xy
σ yy
σ zy
σ xz ⎤ ⎧nx ⎫
⎥⎪ ⎪
σ yz ⎥ ⎨n y ⎬
σ zz ⎥⎦ ⎪⎩ nz ⎪⎭
em notações mais concisas:
{t }= [σ ]{n}
( n)
ou t ( n) = σ n
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são
definidos como aqueles planos onde a componente
tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula
A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um
plano definido pela norman n com o tensor de tensões:
t ( n) = σ n
ou, em forma matricial:
{t }= [σ ]{n}
(n )
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas
normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles
têm a forma:
t
( n)
= λn
Substituindo-se esta expressão na equação da tela
anterior, obtém-se:
σ n = λn
ou em forma matricial:
[σ ]{n}= λ{n}
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Portanto, a determinação dos planos principais fica
reduzida à solução de um problema de autovalores:
σ n = λn
–  Os autovetores do tensor de tensão definem os
planos (direções) principais.
–  Os autovalores do tensor de tensão, l, são as
tensões principais.
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais
Estado 3D de tensão
Tensões Principais
σ2
σ1
σ3
Mecânica dos Sólidos II
Barras Carregadas Axialmente
⎡σ xx
[σ ] = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
F
0 0⎤
0 0⎥⎥ σ xx = F
A
0 0⎥⎦
y
σxx
z
F
σxx
x
FL
ΔL =
EA
Mecânica dos Sólidos II
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
T
τ (r ) = r
J
φ1
φ2
T
TL
Δφ =
GJ
x
T
Mecânica dos Sólidos II
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
y
A
τ = σ xz (> 0)
z
y
z
x
⎡ 0
[σ ] = ⎢⎢ 0
⎢⎣σ xz
A
T
0 σ xz ⎤
0 0 ⎥⎥
0 0 ⎥⎦
TD
σ xz = τ ( D 2) =
2J
x
T
Mecânica dos Sólidos II
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
y
z
B
y
z
τ = σ xy (< 0)
x
⎡ 0 σ xy
[σ ] = ⎢⎢σ xy 0
⎢⎣ 0
0
T
σ xy
B
x
T
0⎤
0⎥⎥
0⎥⎦
TD
= −τ ( D 2) = −
2J
Mecânica dos Sólidos II
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
Vasos esféricos
σ θθ
PD
=
4t
σ ϕϕ
σ ϕϕ
p
PD
=
4t
σ θθ
Mecânica dos Sólidos II
Vasos de Pressão (pressão interna)
Vasos Cilíndricos (D t >> 1)
σpθθ =
pD
2t
⎡0 0
[σ ] = ⎢⎢0 σ θθ
⎢⎣0 0
σ θθ
0 ⎤
0 ⎥⎥
σ zz ⎥⎦
pD
=
2t
pD
σ zz =
4t
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões Normais de Flexão
y
q (x )
M (x)
x
V (x)
⎡σ xx ( x, y ) 0 0⎤
[σ ( x, y, z )] = ⎢⎢ 0
0 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 0⎥⎦
σ xx ( x, y ) = − y
M ( x)
I
σ xx
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Lâminas “Coladas”
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Lâminas Independentes
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Tensões de
cisalhamento
horizontais
impedem o
deslizamento
entre as
lâminas
Lâminas “Coladas”
Lâminas
deslizam
umas sobre
as outras
Lâminas Independentes
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
σ xy
σ xy
Forças de
cisalhamento
horizontal
Tensões
Cisalhantes
Mecânica dos Sólidos II
Tensões cisalhantes em vigas sob
carregamentos de flexão
y
q (x )
M (x)
x
V (x)
Mecânica dos Sólidos II
Tensões cisalhantes em vigas sob
carregamentos de flexão
Viga de seção retangular:
y
2
3V ⎡
y
⎛ ⎞ ⎤
σ xy ( y ) =
⎢1 − 4⎜ ⎟ ⎥
2 bh ⎢⎣
⎝ h ⎠ ⎥⎦
3V
max{σ xy ( y) } = σ xy (0) =
2 bh
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões produzidas pela flexão
y
q (x )
M (x)
x
V (x)
⎡ σ xx (x, y) σ xy (x, y) 0 ⎤
⎢
⎥
0
0 ⎥
[σ (x, y, z)] = ⎢ σ xy (x, y)
⎢
⎥
0
0
0
⎢⎣
⎥⎦
σ xx ( x, y ) = − y
M ( x)
I
2
3 V (x) ⎡
⎛ y⎞ ⎤
σ xy (x, y) =
⎢1 − 4 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥
2 bh ⎣
h ⎦
Seção Retangular
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões produzidas pela flexão
y
q (x )
M (x)
x
V (x)
Para L >> h : max{σ xx } >> max{σ xy }
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Estado 3D de tensão
Tensões
Principais
σ2
Início do escoamento no
ensaio de tração
Sy
σ1
Sy
Critério de
Escoamento
σ3
σeq
σeq
Estado uniaxial
equivalente
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Critério de von Mises
Tensão de von Mises
[
]
1
2
2
2
(σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 )
σ VM =
2
De acordo com o critério de von Mises, o material se
comporta elasticamente quando
σ VM < S y
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante)
Deformações plásticas ocorrem num ponto do material quando a
máxima tensão cisalhante atinge o valor da máxima tensão
cisalhante que causa o início do escoamento no ensaio de tração
τ max
σ 1 − σ 3 Sy
=
<
2
2
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante)
Critério de von Mises
Onde nS é o Coeficiente de Segurança (maior do que 1)
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Tensão Plana
σII
σI
σII
σII
σI
Sy
Critério de
Tresca
−Sy
σI
Sy
Critério de
von Mises
σII
−Sy
σI
σII
σI
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
Problema
Corpo sujeito a ação de
esforços externos (forças,
momentos, etc.)
F1
F8
F2
F7
Determinar
•  Esforços internos (tensões)
•  Deformações
•  Deslocamentos
F3
F4
F6
F5
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Equações de Equilíbrio
y
Δz
Δy
z
Δx
x
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Equações de Equilíbrio (estado plano de tensões)
σ yy ( x, y + Δy )
y
σ xy ( x, y + Δy )
σ xx ( x, y)
σ xy ( x + Δx, y )
σ xx ( x + Δx, y)
σ xy ( x, y )
σ xy ( x, y )
σ yy ( x, y )
x
z
Mecânica dos Sólidos II
σ yy ( x, y + Δy )
Teoria da Elasticidade
y
σ xy ( x, y + Δy )
σ xy ( x + Δx, y )
σ xx ( x, y)
•  Balanço de forças
σ xx ( x + Δx, y)
σ xy ( x, y )
σ xy ( x, y )
σ yy ( x, y )
x
z
∑F
= −σ xx ( x, y)ΔyΔz − σ xy ( x, y)ΔxΔz
∑F
= −σ xy ( x, y)ΔyΔz − σ yy ( x, y)ΔxΔz
x
y
+ σ xx ( x + Δx, y)ΔyΔz + σ xy ( x, y + Δy)ΔxΔz = 0
+ σ xy ( x + Δx, y)ΔyΔz + σ yy ( x, y + Δy)ΔxΔz = 0
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Para Δx e Δy muito pequenos:
∂σ xx
σ xx ( x + Δx, y ) = σ xx ( x, y ) +
Δx
∂x
∂σ yy
σ yy ( x, y + Δy) = σ yy ( x, y) +
Δy
∂y
∂σ xy
σ xy ( x + Δx, y) = σ xy ( x, y) +
Δx
∂x
∂σ xy
σ xy ( x, y + Δy) = σ xy ( x, y) +
Δy
∂y
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Equações de Equilíbrio (Estado plano de tensão)
∂σ xx ∂σ xy
+
=0
∂x
∂y
∂σ xy
∂x
+
∂σ yy
∂y
=0
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Equações de Equilíbrio
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂σ xy
∂x
+
∂σ yy
∂y
+
∂σ yz
∂z
=0
∂σ xz ∂σ yz ∂σ zz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Relações entre deslocamentos e deformações
∂u x
ε xx =
∂x
∂u y
ε yy =
∂y
∂u z
ε zz =
∂z
ε xy
ε xz
ε yz
1
1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞
⎟⎟
= γ xy = ⎜⎜
+
2
2 ⎝ ∂y
∂x ⎠
1
1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞
= γ xz = ⎜
+
⎟
2
2 ⎝ ∂z
∂x ⎠
1
1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎞
⎟⎟
= γ yz = ⎜⎜
+
2
2 ⎝ ∂z
∂y ⎠
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
ε xx =
σ xx
E
ε yy = −ν
ε zz = −ν
−ν
σ xx
E
σ xx
E
σ yy
E
+
−ν
σ yy
−ν
E
E
−ν
σ yy
E
σ zz
+
+ α ΔT
σ zz
E
σ zz
E
+ α ΔT
+ α ΔT
ε xy =
ε xz =
ε yz =
σ xy
2G
σ xz
2G
σ yz
2G
E
G=
2(1 + ν )
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
•  15 Equações
–  Equilíbrio (3)
–  Deformação vs. Deslocamentos (6)
–  Tensão vs. Deformação (6)
•  15 Variáveis:
F1
F8
F2
F7
F3
ux , u y , uz
F4
σ xx , σ yy , σ zz , σ xy , σ xz , σ yz
ε xx , ε yy , ε zz , ε xy , ε xz , ε yz
F6
F5
•  Condições de contorno
Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
q(x)
z
Teoria de Vigas
(aproximação)
n(x)
3D
x
y
q(x)
n(x)
1D
x
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
σ0
b
pi
a
po
σ0
Mecânica dos Sólidos II