SEP 1 - Cap 3 item 3.1.3 - Indutancia e Reatancia Indutiva
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Sistemas Elétricos de Potência 3. Elementos de Sistemas Elétricos de Potência 3.1.3 Indutância e Reatância Indutiva das Linhas de Transmissão Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito E-mail:[email protected] disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito 1 Conteúdo - Introdução; - Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D; - Indutância de uma Linha a dois fios (bifilar); - Indutância de uma Linha Trifásica; - Indutância de uma Linha Trifásica com arranjo equilátero de Condutores; - Transposição de Condutores; - Múltiplos Condutores por fase e Raio Médio Geométrico (RMG); - Reatância Indutiva 2 Introdução • A indutância, assim como a resistência ôhmica, é um dos parâmetros que mais afetam a capacidade de transporte de energia em linhas de transmissão. • A corrente elétrica que flui através de um condutor de uma linha produz um campo magnético e um fluxo magnético associado a este campo. • Por sua vez, a intensidade do fluxo magnético depende de alguns fatores: – do valor da corrente elétrica; – da geometria e distribuição espacial do condutor; – do meio no qual o condutor está inserido. Lei de Ampère r r r r ∫γ H ⋅ dl = ∫s j ⋅ ds 3 Introdução • Por outro lado, a variação de fluxo magnético que concatena (fluxo concatenado) o circuito (espira) induz uma tensão elétrica. Pela lei de Faraday: dφc e= dt (V ) onde ϕc é o fluxo concatenado em Webers-espiras (Wb-e). • Considerando que o meio onde se estabelece o campo magnético tenha permeabilidade constante, temos uma relação linear entre ϕc e corrente elétrica, logo: e= dφ c di =L dt dt (V ) sendo L a indutância, também chamada indutância própria L= dφ c φ c = di i (H ) 4 Introdução • Além da indutância própria, existirá a indutância mútua quando existe mais que um circuito. A indutância mútua entre dois circuitos, por exemplo, é definida como a relação entre o fluxo concatenado com um circuito (devido à corrente no outro circuito) pela corrente. • Se uma corrente i2 produz num circuito 1 o fluxo concatenado ϕ12, a indutância mútua será: M 12 = L12 = φC12 i2 (H ) 5 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D • Considere um condutor cilíndrico de raio “r”, conduzindo corrente i, e que está a uma distância “D” de um condutor de raio ínfimo “P” (com i=0). Figura : Condutor de raio r e condutor de raio ínfimo sem carga • Para calcularmos a indutância total causada pelo condutor até “P”, devemos considerar duas parcelas: - a indutância devido ao fluxo interno; 6 - a indutância devido ao fluxo externo ao condutor Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância interna (Lint): • Considerando a corrente uniforme dentro do condutor, e aplicando a lei de Ampère para uma distância “x”, sendo 0< x ≤ r, podemos calcular a intensidade do campo magnético (Hx) devido à parcela Ix : ∫ r r r r H x ⋅ ds = ∫A j ⋅ dA = I x H x ⋅ 2π ⋅ x = Hx = π ⋅r2 ⋅ πx 2 parcela da corrente devido ao raio “x” em relação ao raio “r” x 2π ⋅ r i densidade de corrente no interior do condutor 2 ⋅i Ae m 7 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância interna (Lint): A partir da intensidade de campo magnético (H), calcula-se a densidade de campo Bx = µ ⋅ H x µ⋅x Bx = ⋅ i Wb 2 2 m 2π ⋅ r onde µ é a permeabilidade magnética do meio (µ = µ r µ o). Observe que Bx é a densidade de campo magnético calculada a uma distância “x” do centro do condutor. • Aproveitando o resultado acima, vamos calcular o fluxo magnético considerando uma espessura dx, conhecido como fluxo incremental. Assim o fluxo incremental dϕ (ou dB) será Bx vezes a área da seção transversal do elemento, que neste caso é (L dx), sendo L o comprimento do 8 condutor. Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância interna (Lint): Logo, para 1 metro de comprimento do condutor temos a seguinte expressão para fluxo incremental (dϕ): dφ = B x ⋅ L ⋅ d x dφ = µ ⋅ x ⋅i ⋅ d x Wb 2 m 2π ⋅ r • Já o fluxo incremental concatenado (dϕc), corresponderá a uma parcela de dϕ, pois o fluxo incremental dϕ se concatena (enlaça) apenas com uma fração da corrente i. Logo: Ax π ⋅ x2 dφ c = ⋅ dφ = ⋅ dφ 2 Ar π ⋅r dφ c = x2 r2 ⋅ µx ⋅ i ⋅ dx 2 2π ⋅ r µ ⋅ x3 dφ c = ⋅ i ⋅ dx 4 2π ⋅ r Wbe 9 m Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância interna (Lint): A partir da integral da equação anterior para um intervalo de (0, r), obtemos o fluxo concatenado interno: 3 r µ⋅x ⋅ i ⋅ dx φ c = ∫0 4 2π ⋅ r 4 φc = µ ⋅i r 3 µ ⋅i x x dx ⋅ = ⋅ 4 ∫0 4 4 2π ⋅ r 2π ⋅ r µ ⋅ i ⋅ (r 4 ) µ ⋅ i = φc = 4 8π 8π ⋅ r Wbe r 0 m Como ϕc = L i ,temos que Lint = µ 8π H m 10 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância interna (Lint): −7 Considerando µ = µ o = 4π ⋅ 10 , obtemos: Lint 4π ⋅ 10 −7 1 = = ⋅ 10 −7 8π 2 H m • Obs.: a expressão acima é a equação para cálculo da indutância por unidade de comprimento devido ao fluxo magnético interno ao condutor. 11 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância externa (Lext): • Para o condutor de raio ínfimo “P”(i=0) afastado “D” metros do centro do condutor de raio “r”, com D >> r, a intensidade e a densidade do campo magnético externa ao condutor de raio “r” podem ser calculados por : H= i Ae 2π ⋅ x B = µ⋅H = µ ⋅i 2π ⋅ x m Wb m2 12 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância externa (Lext): • Diferentemente da situação anterior, neste caso o fluxo incremental concatenado (dϕc), externo ao condutor de raio “r”, será igual ao fluxo incremental (dϕ). Isto porque o fluxo externo ao condutor concatena toda a corrente do condutor uma vez. Logo: µ ⋅i dφ c = dφ = B ⋅ dx = dx Wbe m 2π ⋅ x • Por conseqüência, o fluxo concatenado externo, entre o condutor de raio “r” e “P”, pode ser calculado através da seguinte integral: µ⋅ µ ⋅i D 1 ⋅ i ⋅ dx = ⋅ dx ∫ r 2π ⋅ x 2π ⋅ x x µ ⋅i µ ⋅i D φc = ln x r = [ln D − ln r ] 2π 2π D φcext = ∫r φc = µ ⋅ i D Wbe ln m 2π r 13 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Cálculo da indutância externa (Lext): Como ϕc = L i ,temos que Lext = µ D ln 2π r H m −7 Considerando µ = µ o = 4π ⋅ 10 , podemos escrever: D Lext = 2 ⋅ 10 −7 ln r H m 14 Indutância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D Indutância Total L = Lint + Lext L= µ µ D µ 1 D + ln = + ln 8π 2π r 2π 4 r µ L= 2π L= µ 2π D µ e1 / 4 ⋅ D 1/ 4 ln e + ln r = 2π ln r D µ D ln = ln r ' −1 / 4 2 π r ⋅e H m O termo r ' = r ⋅ e −1 / 4 = r ⋅ 0,7788 é chamado de raio reduzido de “r” (ou RMG), e representa a parcela do fluxo concatenado pelo próprio condutor de raio “r”. Assim, de modo geral: L= D µ ln 2π r' H m ou D L = 2 ⋅10 − 7 ln r' H m 15 Indutância de uma linha a dois fios (bifilar) • Considere um condutor cilíndrico de raio “r1” e outro condutor de raio “r2” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que i2 = - i1. Figura: Condutores de raios distintos • Como a corrente do condutor 2 (i2) tem o sentido oposto à corrente i1, o fluxo concatenado por ela produzido envolve o circuito com o mesmo sentido do fluxo produzido pela corrente i1. • Logo, o fluxo resultante é a soma dos fluxos dos dois condutores e, como conseqüência, a indutância total do circuito será: L = L1 + L2 16 Indutância de uma linha a dois fios (bifilar) Através de resultados anteriores, temos: L = L1 + L2 L == µ 2π D µ D ln + ln π r ' 2 1 r '2 µ µ D2 D2 L == ln = ln 2π ( r '1 ⋅r ' 2 ) π ( r '1 ⋅r ' 2 ) L= µ D ln π r '1 ⋅r ' 2 H m Se r ' 2 = r '1 = r ' , teremos: L= µ D ln π r' H m −7 Considerando µ = µ o = 4π ⋅ 10 , podemos escrever: L = 4 ⋅ 10 −7 ln D r' H m 17 Exercício 1) Em uma fazenda, um condutor cilíndrico de alumínio (unifilar) com retorno pelo solo e tensão de 127 Volts eficazes, fornece energia elétrica para iluminação de um galpão que está a 500 metros de distância da sede da fazenda. Considerando que o raio deste condutor é de 1,5 cm e que a distância entre o condutor e o solo seja de 3 metros de altura, calcule: a) a indutância para um metro deste condutor até o solo; b) a indutância total causada por este condutor até o solo, considerando a distância total entre a sede e o galpão. µ = µ o = 4π ⋅ 10 −7 r ' = r ⋅ e −1 / 4 = r ⋅ 0,7788 18 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico • Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, que constituem uma linha trifásica onde I&1 + I& 2 + I& 3 = 0 . Considere também um ponto P (ou condutor de raio ínfimo) afastado desses condutores conforme a figura abaixo: Figura: Condutores de uma Linha Trifásica distantes de um ponto P 19 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico • Nosso objetivo é calcular a matriz de indutância trifásica: φC1P L11 = L φ C 2 P 21 φC 2 P L31 L12 L22 L32 L13 I&1 & L23 ⋅ I 2 L33 I&3 • Inicialmente, calcularemos o fluxo concatenado total entre P e o condutor 1. Entretanto, tal fluxo é composto de três parcelas: φC1P = φC1PI 1 + φC1PI 2 + φC1PI 3 - A parcela do fluxo concatenado devido à corrente I1 ; A parcela do fluxo concatenado devido à corrente I2 ; A parcela do fluxo concatenado devido à corrente I3 . 20 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico • O fluxo concatenado em P com o condutor 1, devido à corrente I1, pode ser calculado como: φC1PI 1 = D µ ln 1P ⋅ I&1 Wbe m 2π r '1 • Já o fluxo concatenado em P com o condutor 1, devido à corrente I2, pode ser expresso por: φC1PI 2 = D µ ln 2 P ⋅ I&2 Wbe m 2π D12 • De modo análogo, temos o fluxo concatenado em P com o condutor 1, devido à corrente I3: φC1PI 3 = D µ ln 3 P ⋅ I&3 Wbe m 2π D13 21 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico • A partir das três equações anteriores, o fluxo concatenado total em P com o condutor 1 é: φ C1P = φ C1PI 1 + φ C1PI 2 + φC1PI 3 φ C 1P = µ 2π D1P & D3 P & Wbe D2 P & I I ln ⋅ + ln ⋅ + ln ⋅ I3 1 2 m r D D ' 1 12 13 A expressão acima ainda pode ser escrita da seguinte forma: φ C 1P = µ 2π 1 & 1 & 1 & & + ln D ⋅ I& + ln D ⋅ I& Wbe ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ln ln ln ln I I I D I 1 2 3 1P 1 2P 2 3P 3 m D12 D13 r '1 X como a soma fasorial das três correntes é igual a zero, temos I&1 = − I&2 − I&3 e a parcela X pode ser reescrita como a seguir: ( ) X = ln D1P ⋅ − I&2 − I&3 + ln D2 P ⋅ I&2 + ln D3 P ⋅ I&3 X = − ln D ⋅ I& − ln D ⋅ I& + ln D ⋅ I& + ln D 1P X = ln 2 1P 3 D D2 P & ⋅ I 2 + ln 3 P ⋅ I&3 D1P D1P 2P 2 3P ⋅ I&3 22 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico D D 3P 2P Fazendo P → ∞ , as parcelas D1P e D1P tenderão para 1, e os logaritmos respectivos se anulam. Assim, a parcela X será nula e o fluxo concatenado no condutor 1 torna-se: φ C 1P µ = 2π 1 & 1 & 1 & Wbe ⋅ I 1 + ln ⋅ I 2 + ln ⋅ I3 ln m r ' D D 1 12 13 • Utilizando o mesmo raciocínio, podemos calcular os fluxos concatenados com os condutores 2 e 3, respectivamente por: φC 2 P = µ 2π 1 & 1 & 1 & Wbe ln ⋅ I + ln ⋅ I + ln ⋅ I3 1 2 m D r ' D 12 2 23 φC 3P = µ 2π 1 & 1 & 1 & ln ln ln ⋅ + ⋅ + ⋅ I3 I I 1 2 ' D D r 13 23 3 Wbe m 23 Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico • Matriz de indutância trifásica da linha de transmissão (desprezando efeito do solo): 1 ln φ C1 r '1 φ = µ ln 1 C 2 2π D 12 φC 2 ln 1 D13 1 D12 1 ln r '2 1 ln D23 ln 1 D13 I& 1 1 & ln ⋅ I2 D23 & 1 I3 ln r '3 ln • Outra forma de representar a equação matricial acima pode ser obtida utilizando-se a hipótese inicial de que I&1 + I&2 + I&3 = 0 . Assim, eliminando I3 da primeira e da segunda equação, e eliminando I1 da terceira equação, temos: D13 ln φ C1 r '1 φ = µ ln D23 C 2 2π D 12 φC 2 0 D13 D12 D ln 23 r '2 D ln 13 D23 ln I&1 0 ⋅ I&2 I&3 D ln 13 r '3 0 24 Indutância de uma linha trifásica com arranjo equilátero de condutores • Considere um arranjo equilátero entre os condutores, assim como ilustrado através da figura a seguir: Figura: Linha trifásica com arranjo equilátero Inspecionando-se a última equação apresentada anteriormente substituindo D12 = D13 = D23 = D , obtemos a seguinte simplificação: D ln r' φ C1 µ φ = C 2 2π 0 φ C 2 0 0 ln D r' 0 0 & I1 0 ⋅ I&2 & I3 D ln r' e 25 Indutância de uma linha trifásica com arranjo equilátero de condutores • Considere um arranjo equilátero entre os condutores, assim como ilustrado através da figura a seguir: Figura: Linha trifásica com arranjo equilátero Concluímos que a disposição equilátera dos condutores elimina (ou minimiza) a indutância mútua causada pelos condutores quando I&1 + I&2 + I&3 = 0 26 Transposição de Condutores • A transposição dos condutores pode ser aplicada a qualquer tipo de arranjo e serve como uma transformação da linha original em uma linha equilátera equivalente (minimizando ou eliminando as indutâncias mútuas). • A transposição é realizada conforme mostrado na figura a seguir: 27 Transposição de Condutores Considerando os raios iguais para os três condutores (r), obtemos a seguinte expressão matricial simplificada: ln φ C1 µ φ = C 2 2π φ C 2 Deq 0 r' 0 0 ln Deq r' 0 I&1 0 ⋅ I&2 Deq I&3 ln r ' 0 sendo que Deq é a Distância Média Geométrica entre os condutores (de fases distintas), e calculada neste caso (3 condutores) como: Deq = 3 D12 ⋅ D 23 ⋅ D13 Observe que Deq é o espaçamento equilátero equivalente das três distâncias, causado pela transposição dos três condutores. 28 Múltiplos condutores por fase e Raio Médio Geométrico (RMG) Raio Médio Geométrico de um Cabo • Usualmente, cada condutor elétrico utilizado em transmissão de energia elétrica é composto por um conjunto de subcondutores, formando assim um cabo encordoado ou um feixe. No caso de cabos ou feixes, o raio equivalente considerando o conjunto de subcondutores é expresso pela Distância Média Geométrica Própria (DS), também chamada de Raio Médio Geométrico (RMG). Podendo ser calculada através de: D s = req = n (r '1 ⋅D12 ⋅ ... ⋅ D1n ) ⋅ (D21 ⋅ r ' 2 ⋅... ⋅ D2 n ) ⋅ (Dn1 ⋅ Dn 2 ⋅ ... ⋅ D1n −1 ⋅ r ' n29 ) 2 Múltiplos condutores por fase e Raio Médio Geométrico (RMG) Raio Médio Geométrico de Cabos Múltiplos • Em sistemas elétricos cujas tensões são maiores que 230kV (EAT) é usual a utilização de cabos (ou condutores) múltiplos por fase. Isto é feito, principalmente, para diminuir o gradiente de potencial elétrico nos condutores, e assim, evitar ou minimizar a ocorrência do Efeito Corona. • Além disso, a utilização de cabos múltiplos reduz a indutância por fase e total da linha, já que o raio reduzido formado pelo grupo de condutores múltiplos (chamado de Raio Médio Geométrico de cabos múltiplos - DsCM) aumenta. Em situações práticas, os cabos múltiplos apresentam sempre condutores iguais, espaçados uniformemente, circunscritos em um círculo (o que facilita os cálculos do raio equivalente, que é feito conforme a última equação mostrada no slide anterior). Veja a 30 seguir: Múltiplos condutores por fase e Raio Médio Geométrico (RMG) Raio Médio Geométrico de Cabos Múltiplos Fig.: Casos mais comuns de cabos múltiplos por fase Considerando Ds como raio médio geométrico de um cabo (ou raio reduzido de um cabo), e DsCM como o raio médio geométrico de cabos múltiplos (ou raio reduzido de cabos múltiplos), temos: 2 - p/ dois cabos por fase: => DSCM = 2 (DS ⋅ d )2 = 2 DS ⋅ d - p/ três cabos por fase: => - p/ quatro cabos por fase: => 2 DSCM = 3 (DS ⋅ d ⋅ d )3 = 3 DS ⋅ d 2 2 ( DSCM = 4 DS ⋅ d ⋅ d ⋅ 2 ⋅ d ) 4 = 1,09 ⋅ 4 DS ⋅ d 3 31 Múltiplos condutores por fase e Raio Médio Geométrico (RMG) Raio Médio Geométrico de Cabos Múltiplos Observação importante: • A partir do valor de DsCM , devemos substituir este valor no lugar de r’ (raio reduzido) nas equações anteriores de fluxo concatenado e indutância, onde considerávamos a existência de apenas um condutor por fase. • Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar as distâncias entre os centros dos cabos múltiplos. 32 Expressão Geral de Indutância por Fase (resumo) • A expressão geral para cálculo da indutância por fase em circuitos trifásicos com transposição de condutores é: Deq µ L= ⋅ ln 2π Ds sendo: (H m ) Deq = 3 Dab ⋅ Dbc ⋅ Dca a distância média geométrica entre as três fases; Ds = RMG raio médio geométrico de um cabo ou raio reduzido de um condutor, considerando também o efeito pelicular (geralmente é fornecido pelo fabricante do condutor); • Para cabos múltiplos por fase, temos: L= Deq µ ⋅ ln CM 2π DS (H m ) sendo DsCM o raio médio geométrico de cabos múltiplos e calculado como mostrado anteriormente. 33 Reatância Indutiva • A reatância indutiva (XL) por fase da linha de transmissão corresponde à parte imaginária da impedância complexa em série (Z) da linha, e depende do valor da freqüência (f) e da indutância (L), sendo calculada por: X L = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L (Ω ) m • O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua forma matricial, desde que L seja a matriz de indutância trifásica. • Observe que a parcela real da impedância complexa em série da linha é dada pela resistência por fase associada ao condutor (ou aos cabos múltiplos), assim podemos escrever a impedância de uma fase da linha como: Z = R + j ⋅ X L (Ω ) m 34 Referências Bibliográficas [1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003. [2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986. [3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição; Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979. [4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005. 35 Transposição de Linhas Colaborador: Alain Toyama Figura 2 – transposição modificado Fonte: wikimedia (2013). Figura 1 – transposição Fonte: wikimedia (2013). Figura 4 – transposição de média tensão Fonte: BUTLER (2013). Figura 3 – transposição de média tensão Fonte: Myinsulators (2013). Figura 5 – transposição na federação russa - Рондоль Fonte: Panoramio (2010). Referências: • Panoramio. Disponível em: <http://www.panoramio.com/photo_explorer#view=photo&position=218 &with_photo_id=34990768&order=date_desc&user=4043981>. Acesso em: 16 fev.2013. • Wikimedia. Disponível em: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Facility4508_Pylo n206.JPG>. Acesso em: 16 fev.2013. • BUTLER, Lloyd. The transmission section of the postmaster generals department in adelaide. Mar. 2011. Disponível em: <http://users.tpg.com.au/users/ldbutler/TranSectPMG.htm>. Acesso em: 17 fev.2013. • Interference Between Power and Telecom Lines. Disponível em: <http://www.myinsulators.com/acw/bookref/interference/index.html>. Acesso em: 17 fev.2013.
