Dissertação

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
TRIGONOMETRIA, MODELAGEM E TECNOLOGIAS: um estudo sobre uma
sequência didática
Marlizete Franco da Silva
Belo Horizonte
2011
Marlizete Franco da Silva
TRIGONOMETRIA, MODELAGEM E TECNOLOGIAS: um estudo sobre uma
sequência didática
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre.
Orientadora: Profa. Dra. Maria Clara
Rezende Frota
Belo Horizonte
2011
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
S586t
Silva, Marlizete Franco da
Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma
sequência didática / Marlizete Franco da Silva. Belo Horizonte, 2011.
236f. : Il.
Orientadora: Maria Clara Rezende Frota
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais. Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Trigonometria. I. Frota,
Maria Clara Rezende. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51:37.03
17
AGRADECIMENTOS
A Deus, sem o qual nada é possível, e que faz tudo acontecer no momento
certo.
À minha família, em especial meus pais e irmãos, pelo carinho e apoio
incondicionais às minhas decisões.
Aos amigos que sempre me apoiaram, mesmo à distancia.
A Profª. Drª Maria Clara pela orientação, paciência, dedicação, exemplo e
comprometimento, que tornaram possíveis esse trabalho.
Aos amigos de Mestrado, com quem tive o privilégio de conviver e aprender.
Aos professores Eliane, Dimas, João Bosco, Agnela, Lídia e Amauri nos quais
pude me inspirar na busca em oferecer um ensino melhor a meus alunos.
Aos colegas e funcionários da Escola Estadual “Frei Marcelino de Milão”, pelo
apoio, em especial à direção da escola, que permitiu a aplicação da sequência
didática, e aos alunos que se empenharam durante a aplicação da sequência,
mostrando-se comprometidos com sua aprendizagem.
“Só aprende quem quer. E a arte de ensinar depende da conquista para o querer
aprender.”
Maria Salett Biembengut e Nelson Hein
RESUMO
A presente pesquisa investigou as contribuições de uma abordagem envolvendo
modelagem e diferentes tecnologias no ensino de trigonometria. A metodologia da
pesquisa, inspirada na Engenharia Didática, compreendeu as etapas de: análises
prévias, concepção e análise a priori, implementação, análise a posteriori e
validação da sequência didática. A sequência didática é composta de 23 atividades,
que constituem uma unidade de ensino de trigonometria. As atividades, com
referência na realidade, foram propostas objetivando motivar os alunos, para que
descobrissem
propriedades
trigonométricas,
ressignificando
modelos
da
trigonometria, a partir do uso de material concreto e de applets construídos no
GeoGebra. O estudo empírico envolveu 70 alunos de duas turmas da 2ª série do
Ensino Médio de uma escola pública do interior do Estado de Minas Gerais. Os
resultados evidenciam que a abordagem proposta contribuiu para que os alunos
atribuíssem significado aos conteúdos trigonométricos estudados, incentivando seu
envolvimento e empenho na aprendizagem desse assunto.
Palavras chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Tecnologias para o
ensino de trigonometria. Ressignificação de modelos da trigonometria.
ABSTRACT
This research investigated the contributions of an approach to teach trigonometry
that uses mathematical modeling and different technologies. The research
methodology was inspired on the didactic engineering, consisting of: previous
analysis; conception and prior analysis, implementation, posteriori analysis and
validation of the didactic sequence. The didactic sequence is composed of 23
activities. The activities had reference on the reality and were proposed with the aim
of: motivating the students to investigate trigonometric proprieties. We expected they
could give meaning to the trigonometric models by using modeling, concrete material
and applets made in GeoGebra. An empiric study was developed with 70 students
from two classes of a public high school (K-11, 16 years old) of the countryside of the
state of Minas Gerais. Results pointed out that the proposed approach helped the
students give meaning to the trigonometric contents they studied, encouraging their
involvement and dedication to the subject.
Keywords: Mathematics education. Mathematical modeling. Technologies to teach
trigonometry. Giving meaning to trigonometric models.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exercício relativo às razões trigonométricas no triângulo retângulo...........26
Figura 2: Exercício relativo às razões trigonométricas no triângulo retângulo...........26
Figura 3: Atividade de conhecimentos práticos em trigonometria..............................27
Figura 4: Introdução ao capitulo de trigonometria......................................................30
Figura 5: Situação problema que inicia o capítulo de trigonometria página 187........34
Figura 6: Situação problema que inicia o estudo do cosseno....................................35
Figura 7: Situação problema que inicia o estudo do seno.........................................35
Figura 8: situação problema que inicia o estudo da tangente....................................36
Figura 9: Triângulo retângulo ABC.............................................................................61
Figura 10: Triângulos retângulos semelhantes..........................................................61
Figura 11: Triângulos retângulos semelhantes..........................................................62
Figura 12: Grupo 6, 2º B, realizando a Atividade 1..................................................145
Figura 13: Resultado do grupo 1, 2º B, da Atividade 1, letra a................................147
Figura 14: Resultado do grupo 9, 2º A, da Atividade 1, letra a................................148
Figura 15: Resultado do grupo 8, 2º A, da Atividade 1, letra a................................149
Figura 16: Grupo 1 e grupo 2, 2º B, respectivamente, realizando a Atividade 2......151
Figura 17: Resposta grupo 14, 2º A, Atividade 2, tarefa a.......................................151
Figura 19: Resultado grupo 8, 2º A, Atividade 2, tarefa a........................................152
Figura 20: Resultado do grupo 6, 2º A, na Atividade Preparatória B, tarefa 4.........154
Figura 21: Resultado do grupo 6, 2º B, na Atividade Preparatória B, tarefa 4.........154
Figura 22: Resultado grupo 16, 2 B, Atividade Preparatória B, tarefa 5..................154
Figura 23: Resultado grupo 14, 2º A, Atividade Preparatória B, tarefas 2 e 5.........154
Figura 24: Resposta grupo 1, 2º A, Desafio da Planta, tarefa 4...............................155
Figura 25: Resultado grupo 5, 2ªA, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a.....157
Figura 26: Resultado grupo 7, 2ªA, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a.....157
Figura 27: Resultado grupo 3, 2ªA, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a.....157
Figura 28: Resultado grupo 1, 2ªB, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a.....157
Figura 29: Resultado grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a e c
..................................................................................................................................158
Figura 30: Resultado grupo 14, 2ªB, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a e c.
..................................................................................................................................158
Figura 31: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra a..159
Figura 32: Resultado grupo 14, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra a..159
Figura 33: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra b..160
Figura 34: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra b..160
Figura 35: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra c..160
Figura 36: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra c....160
Figura 37: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 4..............161
Figura 38: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 3, tarefa I.........................................163
Figura 39: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade 3, tarefa II........................................164
Figura 40: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade 3, tarefa III.......................................164
Figura 41: Resultado grupo 14, 2º B, Atividade 3, tarefa III.....................................165
Figura 42: Resultado grupo 8, 2ª série B, Atividade Complementar 3.....................166
Figura 43: Resultado grupo 11, 2ª série A, Atividade Complementar 3...................167
Figura 44: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade Complementar 3.............................167
Figura 45: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra a............................169
Figura 46: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra a..........................169
Figura 47: Resultado grupo 2, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra b............................169
Figura 48: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra b............................169
Figura 49: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra b............................170
Figura 50: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra c1...........................170
Figura 51: Resultado grupo 2, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c1...........................170
Figura 52: Resultado grupo 4, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c1..........................171
Figura 53: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c2...........................171
Figura 54: Resultado grupo 4, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c2 ..........................171
Figura 55: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade 5, tarefa 2, letra a............................172
Figura 56: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 2, letra b............................172
Figura 57: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 2, letra b............................172
Figura 58: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra a..........................173
Figura 59: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra a............................173
Figura 60: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 3, letra a............................173
Figura 61: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 5, tarefa 3, letra b............................173
Figura 62: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra c............................173
Figura 63: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra a............................174
Figura 64: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra a............................174
Figura 65: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade 6, tarefa 1, letra a............................174
Figura 66: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 6, tarefa 1, letra a............................174
Figura 67: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra b............................175
Figura 68: Resultado grupo 7, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra b............................175
Figura 69: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a............................175
Figura 70: Resultado grupo 7, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a............................175
Figura 71: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a............................175
Figura 72: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra a............................175
Figura 73: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a............................175
Figura 74: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b............................176
Figura 75: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b............................176
Figura 76: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b............................176
Figura 77: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra c............................177
Figura 78: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra a............................177
Figura 79: Resultado grupo 18, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra a..........................177
Figura 80: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c............................178
Figura 81: Resultado grupo 18, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c..........................178
Figura 82: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c............................178
Figura 83: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra d............................178
Figura 84: Resultado grupo 10, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra d..........................179
Figura 85: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 7, tarefa 2, letra d............................179
Figura 86: Resultado grupo 10, 2º A, Atividade 7, tarefa 2, letra d..........................179
Figura 87: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade 8, tarefa 1,letra a...........................180
Figura 88: Resultado grupo 1, 2 A, Atividade 8, tarefa 1, letra c..............................180
Figura 89: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 8, tarefa 1, letra d...........................180
Figura 90: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 4...............182
Figura 91: Resultado grupo 15, 2º A, Atividade Complementar 5, tarefa 4..............183
Figura 92: Resultado grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 4..............183
Figura 93: Resultado do grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 6.........184
Figura 94: Resultado do grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 6...........184
Figura 95: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa1.................185
Figura 96: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa 4..............185
Figura 97: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa 5................186
Figura 98: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade Complementar 6, tarefa 5..............186
Figura 99: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 8, tarefa 1................186
Figura 100: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade Complementar 8, tarefa 1..............187
Figura 101: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade Complementar 8, tarefa 2..............187
Figura 102: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade Complementar 8, tarefa 2..............188
Figura 103: Grupo2, 2º B, Escada circular, Cartaz apresentado em socialização...190
Figura 104: Grupo 2, 2º B, Escada circular, modelo apresentado na Feira de
Matemática...............................................................................................................190
Figura 105: Grupo 5, 2º B, Tesoura de terraço, cartaz apresentado em socialização
..................................................................................................................................191
Figura 106: Grupo 5, 2º B, Tesoura de terraço, modelo apresentado na Feira de
Matemática...............................................................................................................191
Figura 107: Grupo 3, 2º A, Rampa da escola, Cartaz apresentado em socialização.
..................................................................................................................................191
Figura 108: Grupo 3, 2º B, Rampa da escola, modelo apresentado na Feira de
Matemática...............................................................................................................191
Figura 109: Grupo 4, 2º B, Telhado do chalé, Cartaz apresentado em socialização.
..................................................................................................................................192
Figura 110: Grupo 4, 2º B, Telhado do Chalé, modelo apresentado a Feira de
Matemática...............................................................................................................192
Figura 111: Grupo5, 2º A, Telhado do chalé, Cartaz apresentado em socialização.
..................................................................................................................................194
Figura 112: Resultado aluna P, 2º A, Teste 1, questão 4, letra c............................197
Figura 113: Resultado aluno A, 2º B, Teste 1,questão 4, letra c.............................197
Figura 114: Resultado aluna Q, 2º A, Teste 1, questão 4, letra c............................197
Figura 115: Resultado Aluna Q, 2º A, Teste 1, questão 2.......................................198
Figura 116: Resultado Aluno T, 2º A, Teste 1, questão 2........................................198
Figura 117: Resultado Aluna R, 2º A, Teste 1, questão 1........................................198
Figura 118: Resultado Aluno Z, 2º B, Teste 2, questão 5, letra b............................200
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro I ...............................25
Quadro 2: Distribuição de exemplos e exercícios a partir dos eixos de conteúdos...27
Quadro 3: Seções de exercícios especiais e suas quantidades ao longo da parte
trigonométrica, RUBIÓ; FREITAS, 2005....................................................................27
Quadro 4: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro II...............................29
Quadro 5: Distribuição exercícios resolvidos e propostos a partir dos eixos de
conteúdos...................................................................................................................31
Quadro 6: Seções de exercícios especiais e suas quantidades ao longo da parte
trigonométrica, nos três volumes de STOCCO; DINIZ, 2005.....................................32
Quadro 7: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro III..............................34
Quadro 8: Distribuição exemplos exercícios a partir das categorias estabelecidas
pelas pesquisadoras...................................................................................................37
Quadro 9: Seções especiais, suas descrições e quantidades ao longo da unidade
trigonométrica da obra DANTE, 2005........................................................................37
Quadro 10: Comparação das três obras analisadas..................................................38
Quadro 11: Relação de identidades a serem abordadas no trabalho........................66
Quadro 12: Organização das atividades em grupos..................................................95
Quadro 13: Implementação da sequência de atividades.........................................138
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Acertos dos 34 alunos no Teste 1...........................................................196
Gráfico 2: Acertos dos 34 alunos no Teste 2...........................................................199
LISTA DE SIGLAS
EJA – Educação para Jovens e Adultos
PAV – Programa Acelerar para Vencer
PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
PNLEM – Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio
TICs – Tecnologias de Comunicação e Informação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................16
2 SUSTENTAÇÃO DA PESQUISA: OS REFERENCIAIS TEÓRICOS....................20
2.1 O Ensino de Trigonometria à luz dos PCNEM e das Orientações
Curriculares para o Ensino Médio..........................................................................20
2.2 A trigonometria nos livros didáticos................................................................23
2.2.1 Livro I - Matemática e suas tecnologias........................................................24
2.2.2 Livro II - Matemática no Ensino Médio..........................................................28
2.2.3 Livro III – Matemática......................................................................................34
2.2.4 A título de comparação...................................................................................38
2.3 O que dizem as pesquisas sobre o Ensino de Trigonometria.......................39
2.4 Possibilidades do uso de modelos matemáticos e modelagem no ensino da
trigonometria............................................................................................................46
2.4.1 Modelagem e modelos matemáticos no ensino de Matemática.................47
2.4.2 Modelagem e modelos matemáticos no ensino da Trigonometria.............57
2.4.2.1 Triângulo retângulo......................................................................................58
2.4.2.2 Teorema de Pitágoras..................................................................................59
2.4.2.3 Razões trigonométricas no triângulo retângulo........................................59
2.4.2.4 Círculo trigonométrico.................................................................................62
2.4.2.5 Funções seno e cosseno.............................................................................63
2.4.2.6 Relações algébricas ou identidades fundamentais da Trigonometria....65
2.5 A tecnologia no ensino da trigonometria.........................................................69
3 METODOLOGIA.....................................................................................................78
3.1 A Engenharia Didática associada a uma abordagem de Trigonometria.......78
3.2 Contexto da pesquisa........................................................................................84
3.3 O estudo piloto...................................................................................................85
4 UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO
ENSINO MÉDIO.........................................................................................................87
4.1 Fundamentação teórica da proposta................................................................87
4.2 Organização da sequência................................................................................93
4.3 Descrição dos blocos e das atividades............................................................95
4.4 A implementação da sequência didática.......................................................137
5 OS ALUNOS REALIZANDO ATIVIDADES DE MODELAGEM: UMA ANÁLISE
DOS RESULTADOS................................................................................................143
5.1 Atividades 1 e 2................................................................................................143
5.2 Atividade Preparatória B e Desafio da Planta do Telhado...........................153
5.3 Atividade Complementares 1 e 2....................................................................156
5.4 Atividade 3 e Atividade Complementar 3.......................................................162
5.5 Atividades com recursos computacionais- Atividades 5, 6, 7 e 8...............168
5.6 Atividades Complementares 5, 6 e 8..............................................................182
5.7 Projeto e Feira de Matemática.........................................................................188
5.8 Teste1 e Teste2..............................................................................................195
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................202
REFERÊNCIAS........................................................................................................207
APÊNDICE...............................................................................................................222
ANEXO.....................................................................................................................233
16
1 INTRODUÇÃO
A presente pesquisa aborda a Trigonometria no Ensino Médio, indagando
sobre o uso da modelagem e das tecnologias de comunicação e informação com
vistas à melhoria da aprendizagem desse conteúdo pelos alunos. Pretendemos
utilizar atividades de modelagem, associando modelos matemáticos trigonométricos
no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico a situações práticas, utilizando
tecnologias variadas, de materiais concretos a recursos computacionais.
A partir de nossa prática docente, identificamos algumas dificuldades
apresentadas pelos alunos na aprendizagem da trigonometria, entre elas: perceber a
utilidade das razões trigonométricas, além das situações escolares; aplicar os
conhecimentos trigonométricos teóricos na resolução de problemas; compreender e
assimilar conhecimentos trigonométricos e aplicá-los em momentos posteriores.
Disciplinas cursadas no Mestrado motivaram a escolha desse tema e
despertaram para a necessidade de pensar alternativas para o ensino de
trigonometria, a partir de hipóteses levantadas durante discussões com colegas e
professores do curso.
Algumas leituras teóricas iniciais incentivaram a continuidade dos estudos
sobre o tema.
Costa (1997), por exemplo, aponta que a forma como os conhecimentos
trigonométricos são apresentados e ensinados aos alunos, pode influenciar na
retenção desses conhecimentos pelos alunos e influencia em sua aprendizagem.
Kendal e Stacey (1998), através de uma pesquisa, com adolescentes do 9º e
10º anos de escolarização, em que utilizaram dois métodos diferentes para introduzir
o ensino da trigonometria, constataram que o método de ensino escolhido
influenciou mais os resultados do que o professor que aplicou as atividades.
Paralelamente
aos
estudos
teóricos
sobre
o
tema,
optamos
pelo
desenvolvimento de uma primeira atividade, com alunos de duas 2ª séries do Ensino
Médio em 2009, na qual investigamos a possibilidade de propiciar aos alunos uma
experiência de aproximação dos conhecimentos trigonométricos trabalhados em
sala, com possíveis modelos matemáticos explicativos de dados coletados em
situações práticas.
17
Este primeiro estudo foi conduzido a partir da indagação se os alunos eram
capazes de aplicar conhecimentos trigonométricos, como as razões trigonométricas
no triângulo retângulo ou o teorema de Pitágoras, para identificar modelos
matemáticos descritivos e explicativos para algumas situações práticas, vivenciadas
por pedreiros, carpinteiros, técnicos em eletrônica.
Os resultados desse estudo, apresentados na forma de um relato de
experiência (SILVA; FROTA, 2010a) evidenciaram a necessidade de uma maior
ênfase no estudo das relações trigonométricas e do círculo trigonométrico, para
além do triângulo retângulo. Os resultados apontaram que o uso de atividades que
abordem modelos matemáticos, visando sua identificação e aplicação pode ampliar
as possibilidades de o aluno atribuir significado a esse conteúdo, além de motivar e
despertar o interesse dos alunos acerca do tema.
A experiência conduzida incentivou-nos a desenvolver a pesquisa aqui
relatada. Atividades que apliquem conhecimentos trigonométricos poderiam
melhorar o interesse dos alunos acerca do aprendizado de trigonometria? Os alunos
seriam capazes de aplicar conhecimentos trigonométricos, como as razões
trigonométricas no triângulo retângulo para matematizar problemas advindos de
situações reais? O uso de recursos tecnológicos poderia ser um instrumento
facilitador para o entendimento dos alunos acerca da trigonometria? Como o
software Geogebra interfere na aprendizagem?
Cada um desses questionamentos demandou estudos teóricos sobre
perspectivas da modelagem na condução de conteúdos matemáticos escolares, a
partir de atividades com referência na realidade. (BARBIERI; BURAK, 2005;
BARBOSA, 2001, 2004, 2007; BURAK, 2005, 2010; KAISER; SRIRAMAN, 2006;
ALMEIDA; FERRUZZI, 2009; ALMEIDA; VERTUAN, 2010; SOUSA; ALMEIDA, 2008;
CALDEIRA, 2007; BASSANEZI, 2009; BIEMBENGUT; HEIN, 2007). Estudos sobre
as tecnologias de comunicação e informação também foram conduzidos, indagandose sobre as potencialidades desses recursos no ensino, particularmente da
trigonometria. (BLACKETT; TALL, 1991; KEMP, 2009; PIETROBON; COSTA;
OLIVEIRA, 2010; FRANCHI, 2007; DELLA NINA, 2007; COSTA, 1997; BORBA;
PENTEADO, 2001, 2003; VALENTE, 1999).
Fazendo a interlocução entre modelagem e tecnologia, delineamos a questão
que norteou nossa pesquisa e sua condução: Uma abordagem de ensino
18
envolvendo modelagem e diferentes tecnologias de comunicação e informação
pode contribuir para a aprendizagem da trigonometria no triângulo retângulo e
no círculo trigonométrico?
Assim, o trabalho tem como objetivo principal analisar as possibilidades de
abordagem da trigonometria no Ensino Médio, através da modelagem, com
tecnologia, visando à mobilização do interesse dos alunos para melhor compreensão
dos conceitos abordados e a aplicação dos conhecimentos trigonométricos a
situações com referência na realidade.
A presente dissertação relata resultados de uma pesquisa que busca
responder a questão posta e é organizada em seis capítulos, sendo esta introdução,
o primeiro deles.
No segundo capítulo abordamos o ensino da Trigonometria, destacando como
ele é mencionado em documentos oficiais, tais como os Parâmetros Curriculares
para o Ensino Médio e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio; em livros
didáticos e de que maneira outros pesquisadores abordam esse assunto. A análise
dos livros foi feita observando quais as abordagens utilizadas pelos autores para
desenvolver o conteúdo de Trigonometria e que tipo de exercícios eram privilegiados
nas obras. Nesse capítulo também promovemos a interlocução com alguns autores
de modelagem e outros que discutem o uso das tecnologias de comunicação e
informação na educação matemática, referenciais teóricos que embasam o trabalho
apresentado, os principais deles já referenciados anteriormente.
No terceiro capítulo apresentamos a metodologia adotada, inspirada na
Engenharia didática, que estruturou a pesquisa e auxiliou na elaboração da
sequência didática. Exploramos as etapas da Engenharia Didática associando-as às
etapas do trabalho. E apresentamos como análises prévias, primeira fase da
Engenharia Didática, o contexto de pesquisa: caracterizando a escola, uma escola
estadual do interior de Minas Gerais; os alunos participantes da pesquisa, da 2ª
série do Ensino Médio; bem como um estudo piloto conduzido.
No quarto capítulo apresentamos a sequência didática proposta, produto da
pesquisa desenvolvida no Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática, mestrado profissionalizante, oferecido pela PUC Minas. Esse capítulo
corresponde à segunda e terceira fases da Engenharia Didática, apresentando a
19
análise a priori, a concepção e a implementação, além de retomar a fundamentação
teórica, que sustentou a elaboração e a organização da sequência didática proposta.
No quinto capítulo procedemos à análise das descobertas dos alunos,
correspondendo à fase de validação – quarta e última fase da Engenharia Didática,
na qual confrontamos as análises a priori com as análises a posteriori. Realizamos
um estudo qualitativo, no qual discutimos alguns aspectos importantes para nossa
pesquisa como: a conexão com a realidade; o uso de recursos diferenciados:
material concreto e manipulável e recursos tecnológicos; aproveitamento das
potencialidades de cada recurso didático disponível; ressignificação de modelos
clássicos da Trigonometria; exploração do trabalho em grupos ou pares; dificuldades
dos alunos ao resolver as atividades.
No sexto e último capítulo fazemos as considerações finais, relatando as
potencialidades e as limitações do trabalho realizado, procurando responder à
questão de pesquisa, pautando-nos nos referenciais teóricos e metodológicos, que
embasaram esta pesquisa. Com o intuito de verificar a abrangência dos resultados,
quanto ao ensino da Trigonometria no Ensino Médio e expressando nossas
expectativas e impressões enquanto profissionais do ensino e pesquisadoras ao
desenvolver essa pesquisa. Além disso, apontamos nesse capítulo questões que
não puderam ser discutidas no presente trabalho, que poderão fazer parte de
pesquisas posteriores.
Esperamos que o material elaborado, que acompanha esta dissertação,
possa ser aplicado por outros colegas professores, motivando os alunos para a
aprendizagem da trigonometria, partindo de situações práticas, em que possam
modelar os dados e utilizar modelos matemáticos para explicar a realidade
estudada. Através do uso dos applets, esperamos que os alunos compreendam
melhor como se dá a passagem da trigonometria do triângulo retângulo para o
círculo trigonométrico e como as funções seno e cosseno se relacionam com o
círculo trigonométrico.
20
2 SUSTENTAÇÃO DA PESQUISA: OS REFERENCIAIS TEÓRICOS
Nesse capitulo procedemos a um estudo teórico acerca do Ensino da
Trigonometria investigando as recomendações dos documentos oficiais sobre as
abordagens desse tema, analisando a abordagem do conteúdo em três coleções de
livros didáticos e identificando os resultados de outras pesquisas sobre o assunto.
Buscamos esclarecer como a modelagem, a modelação e o uso de tecnologias
podem auxiliar no ensino desse conteúdo, bem como explicitar os modelos
trigonométricos clássicos que escolhemos explorar e qual a concepção de
modelagem e modelação que adotamos.
2.1 O Ensino de Trigonometria à luz dos PCNEM e das Orientações
Curriculares para o Ensino Médio
As orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
(PCNEM) explicitam o papel da Matemática como não se restringindo à simples
repetição de procedimentos. A Matemática assume um papel formativo e
instrumental na vida do aluno.
O papel é formativo, à medida que contribui para o desenvolvimento do
pensar matemático, que pode auxiliar o aluno na aquisição da capacidade de
resolver problemas, gerar hábitos de investigação e no desenvolvimento da
autonomia e confiança em sua capacidade para enfrentar e solucionar novas
situações problemáticas que surjam em seu caminho.
A Matemática assume um papel instrumental, conforme municia o aluno de
ferramentas, de um sistema de códigos e regras que o auxiliam a resolver
problemas relacionados ao seu dia-a-dia. (BRASIL, 1999).
Contudo, o mundo moderno e globalizado exige uma nova postura. Não é
mais suficiente apenas ter o conhecimento, é preciso saber aplicá-lo em diversas
situações: nas atividades cotidianas, no uso de tecnologias e na interpretação das
ciências. Os conceitos apresentam diversas representações equivalentes, que
precisam ser reconhecidas, relacionadas e aplicadas em situações oportunas.
21
Estas exigências da “modernidade” traduzem a necessidade de outro olhar
sobre a Matemática, não mais como algo fragmentado e distante da realidade dos
alunos, mas parte integrante e importante em suas vidas.
Vivemos novos tempos, temos outras prioridades. Não podemos conceber o
ensino de Matemática ainda como outrora. É preciso mudança, não só de
metodologia, mas também do conteúdo a ser ensinado. Conceitos vistos de forma
fragmentada, ainda que aprofundada, não garantem sua significação por parte do
aluno. (BRASIL, 1999).
Um bom exemplo das consequências dessa fragmentação é a dificuldade
apresentada por alunos no ensino da trigonometria, principalmente em sua transição
do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico e deste, para o plano cartesiano.
Cria-se um obstáculo no processo ensino-aprendizagem dos alunos, uma vez que o
ensino isolado desse tema não permite aos estudantes explorar ou visualizar a
conexão entre as diferentes formas representativas da trigonometria.
Outro ponto crítico, no ensino desse conteúdo, é a extensão do assunto a ser
abordado, frente ao número de aulas de matemática no ensino médio. Há muito a
ser aprendido em pouco tempo. Logo, faz-se necessário priorizar alguns elementos
dessa parte da matemática; respeitada a base nacional comum1, as escolas podem
selecionar assuntos que julguem importantes de acordo com o projeto pedagógico
de cada uma.
Contudo, o ensino da trigonometria deve estar relacionado às aplicações, à
análise de funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e seus gráficos,
evitando-se o uso excessivo de cálculos algébricos. Devemos considerar que muitos
alunos não seguirão carreira acadêmica na área de exatas. Logo, em consonância
com os PCNEM (1999), precisamos garantir a esses alunos a aprendizagem do
conteúdo de trigonometria para que eles possam resolver problemas que envolvam
medições, cálculo de distâncias inacessíveis e construção de modelos relativos a
fenômenos periódicos. Esses estudos, independentemente do caminho seguido
após o Ensino Médio, serão úteis em seu dia-a-dia.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio corroboram com os
PCNEM, sendo mais específicas as determinações quanto ao que ensinar:
1
Por base nacional comum entendemos o conteúdo mínimo a ser estudado por alunos de todo o
país, sobre determinado assunto. Independente da proposta pedagógica de cada escola, este
conteúdo básico tem que ser ensinado.
22
No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um
trabalho com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das
funções seno, co-seno e tangente, priorizando as relações métricas no
triângulo retângulo e as leis do seno e do cosseno como ferramentas
essenciais a serem adquiridas pelos alunos no ensino médio. Na introdução
das razões trigonométricas seno e cosseno, inicialmente para ângulos com
medida entre 0° e 90°, deve-se ressaltar que são as propriedades de
semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições; segue-se,
então, com a definição das razões para ângulos de medida entre 90° e
180°. A partir das definições e de propriedades bás icas de triângulos,
devem ser justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos
de medida 30°, 45° e 60°. (BRASIL, 2006, p.73).
Quanto às razões trigonométricas no triângulo retângulo, um destaque é dado
à função tangente:
Também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela
sua importância na resolução de diversos tipos de problemas. Problemas de
cálculos de distâncias inacessíveis são interessantes aplicações da
trigonometria, e esse é um assunto que merece ser priorizado na escola.
Por exemplo, como calcular a largura de um rio? Que referências (árvore,
pedra) são necessárias para que se possa fazer esse cálculo em diferentes
condições – com régua e transferidor ou com calculadora? (BRASIL, 2006,
p.73-74).
Nas orientações curriculares fica evidente a preocupação na transição da
trigonometria do triângulo retângulo para o círculo ou para o gráfico das funções
trigonométricas:
É preciso atenção à transição do seno e do co-seno no triângulo retângulo
(em que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e o cosseno,
definidos como as coordenadas de um ponto que percorre um arco do
círculo de raio unitário com medida em radianos. As funções trigonométricas
devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas então
definidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. Os alunos devem ter a
oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui
se entendendo que, quando se escreve f (x) = seno (x), usualmente a
variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em radianos. As
funções trigonométricas seno e co-seno também devem ser associadas aos
fenômenos que apresentam comportamento periódico. (BRASIL, 2006,
p.74).
Considerando a pertinência das observações acima citadas, após análise,
tanto do PCNEM quanto das orientações curriculares para o Ensino Médio, em
consonância com nossa prática e experiência na condução do ensino desta parte da
Matemática, destacamos a relevância da pesquisa aqui conduzida. Nosso foco vai
de encontro ao que percebemos, é o objetivo do ensino da trigonometria no ensino
médio: enfatizar as aplicações trigonométricas no triângulo retângulo não perdendo
23
de vista a transição trigonométrica para suas outras formas de representação: o
círculo e o plano cartesiano.
Não basta ser detentor de tais conhecimentos, é
preciso saber aplicá-los em situações onde se fazem necessários.
2.2 A trigonometria nos livros didáticos
Considerando-se que os livros didáticos podem, em alguns casos, representar
a principal fonte de informação em sala de aula, para ampliarmos nossa visão sobre
as formas de abordar os conteúdos da Trigonometria no Ensino Médio, achamos
necessária uma análise de como esse assunto é apresentado em alguns desses
livros.
Em livros das décadas de 80 e 90, época em que a pesquisadora e
professora estudou, a trigonometria era, geralmente, introduzida seguindo a ordem:
definição (formalização) – exemplo – exercícios de fixação. Havia uma formalização
precoce e o uso de fórmulas era proposto muito cedo. Nossa análise, entre outros
pontos, pretende verificar se este modelo ainda prevalece nos livros didáticos atuais.
Para tal análise escolhemos três obras, parte integrante do Programa
Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), indicadas como
sugestões para adoção em escolas públicas brasileiras.
Os textos analisados foram:
a)
RUBIÓ, Angel Panadés; FREITAS, Luciana Maria Tenuta de.
Matemática e suas tecnologias. Coleção áreas do conhecimento. 3
volumes, São Paulo: IBEP, 2005.
b)
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 3
volumes, São Paulo: Saraiva, 2005.
c)
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante. Volume único, São Paulo:
Ática, 2005.
O primeiro livro analisado é adotado na instituição onde a pesquisa foi
realizada. O conteúdo de trigonometria é abordado, na sua totalidade, no volume 1,
indicado para o 1o ano do Ensino Médio.
24
Na segunda obra o conteúdo de trigonometria é distribuído em três volumes,
sendo visto nos três anos do Ensino Médio.
O terceiro livro escolhido apresenta em um volume único todo o conteúdo
matemático do Ensino Médio. Uma unidade de sete capítulos discute a
trigonometria, cabendo ao professor decidir como distribuí-la ao longo dos três anos
do Ensino Médio.
O conteúdo de trigonometria das obras foi analisado quanto aos seguintes
aspectos: introdução do conteúdo, abordagem metodológica adotada, exercícios
propostos.
2.2.1 Livro I - Matemática e suas tecnologias
A distribuição do conteúdo de trigonometria se dá em um único volume: o 1º.
Essa distribuição não foge à forma usual de abordagem desse assunto nos livros
didáticos, que pode vir no volume 1 ou no volume 2, dependendo da obra.
Segundo os autores, a organização da proposta curricular de Matemática da
coleção, se dá em blocos e sub-blocos temáticos. Cada sub- bloco é dividido em
tópicos específicos de conteúdo ordenados a partir de encadeamentos lógicos
adequados à série para a qual são propostos. (RUBIÓ; FREITAS, 2005).
A coleção ainda divide os conhecimentos matemáticos em três eixos, que
devem ser contemplados ao longo dos três volumes da obra:
a) conteúdos práticos: que têm aplicação na vida cotidiana do aluno;
b) conteúdos básicos: que constituem a base da Matemática e que dão
suporte a outras disciplinas;
c) conteúdos formais: que não têm aplicação direta em situações
cotidianas nem podem ser considerados básicos, mas que interessam
à Matemática como ciência com linguagem, rigor e métodos próprios.
(RUBIÓ; FREITAS, 2005; Manual pedagógico, p.38).
O conteúdo trigonométrico está assim distribuído nesta obra:
25
Matemática e suas tecnologias.
Conteúdo de trigonometria abordado
*O raio da Terra e a Trigonometria;
*Trigonometria no triângulo retângulo;
*Do triângulo para a circunferência;
*Ângulos e arcos na circunferência;
*Medindo arcos e ângulos;
*Ciclo trigonométrico;
*Arco trigonométrico;
*Arcos trigonométricos notáveis;
Volume 1: Funções
*Seno e cosseno de um arco trigonométrico;
trigonométricas
*Redução ao 1º quadrante;
*Arcos complementares;
*Fenômenos periódicos e funções periódicas;
*Função seno;
*Função cosseno;
*A senóide e a música;
*Outras funções trigonométricas;
*Resolução de triângulos.
Quadro 1: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro I
Fonte: Dados de Pesquisa
Volume
O início da unidade sobre trigonometria traz a pergunta: “Qual é o raio médio
da Terra?” e como esta questão foi solucionada ainda na Grécia Antiga. O problema
liga a História da Matemática com o assunto abordado.
Os autores dialogam com o aluno todo o texto da obra, promovendo as
conexões entre um tópico e outro e situando o estudo trigonométrico.
Para introduzir a trigonometria no triângulo retângulo os autores o fazem de
forma usual, analisando a semelhança entre triângulos, de forma direta, sem muita
problematização ou referências a aplicações cotidianas.
Em seguida são fornecidos, sem demonstrações, os valores de seno,
cosseno e tangente dos arcos notáveis e a tábua de razões trigonométricas. Há
uma preocupação em não fragmentar a trigonometria, tanto que os autores sempre
iniciam uma nova sessão situando o que já foi aprendido e conectando ao que será
aprendido a partir desse momento.
Os autores, intencionalmente, não esgotam o assunto logo na introdução.
Elaboram atividades, ao longo da coleção, que permitem que algumas propriedades
sejam descobertas pelos alunos à medida que resolvem os exercícios. Estas
descobertas são fruto de atividades, que classificamos como atividades guiadas, em
que os autores questionam e levam os alunos a encontrar propriedades e padrões e
a estabelecer suas conjecturas, sendo esta uma das intenções da coleção.
26
Esta intenção converge com os objetivos perseguidos por esta pesquisa, de
em alguns momentos guiar o aluno para que ele próprio descubra as propriedades,
se envolva com sua aprendizagem e se aproprie e dê significado a modelos
matemáticos já existentes.
Nas Figuras 1 e 2 abaixo, temos exemplos desse tipo de atividades, que
permitem ao aluno, de forma ainda guiada, descobrir propriedades não
apresentadas previamente:
Figura 1: Exercício relativo às razões
trigonométricas no triângulo retângulo
Fonte: RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.209.
Figura 2: Exercício relativo às razões
trigonométricas no triângulo retângulo
Fonte: RUBIÓ; FREITAS, 2005, p209.
Os exercícios são bem diversificados, consistindo em: problemas de
aplicação ligados a situações práticas, atividades que induzem o aluno a questionar
e raciocinar acerca dos conceitos, atividades que classificamos como guiadas,
atividades de raciocínio lógico, desafios, atividades de reflexão e investigação
acerca do assunto. O número de ilustrações da obra é pequeno, mas há um número
suficiente de esboços e gráficos que auxiliam na aprendizagem por meio da
visualização de formas geométricas. Os exercícios têm um grau de dificuldade
crescente, e não têm o intuito de esgotar o conteúdo de uma vez só. Há poucas
atividades abertas, representadas pelas atividades investigativas ao longo do
capítulo.
Optamos por classificar os exemplos e exercícios envolvendo trigonometria,
agrupados a partir dos três eixos, já mencionados.
Percebemos que a maioria dos exemplos e exercícios são de conteúdos
básicos, seguidos por conteúdos formais e conteúdos práticos. O Quadro 2
especifica as quantidades de exemplos e exercícios, segundo cada eixo:
27
Conteúdos práticos Conteúdos básicos
Conteúdos formais
Total
Exemplos
2
45
15
62
Exercícios
25
119
44
188
Quadro 2: Distribuição de exemplos e exercícios a partir dos eixos de conteúdos
Fonte: Dados de Pesquisa
A Figura 3 ilustra um dos tipos de atividades existentes ao longo da obra, por
nós classificada como uma atividade de conteúdo prático em trigonometria:
Figura 3: Atividade de conhecimentos práticos em trigonometria
Fonte: RUBIÓ; FREITAS, 2005, p. 211.
Além das atividades já citadas, a obra dispõe de seções especiais, com
atividades mais desafiadoras e abertas. O Quadro 3 apresenta algumas dessas
seções especiais de exercícios e as respectivas quantidades, ao longo do capítulo
de trigonometria:
Seção
Refletindo
É lógico
Investigando
Criando
Descrição
Lança perguntas e questionamentos sobre os tópicos
abordados no texto. Propicia uma interação direta e
constante do aluno com o conteúdo.
Envolve problemas de lógica: raciocínio lógico, lógica
espacial, lógica numérica, verdades e mentiras, questões
de pesagem, questões de contagem.
Propõe atividades encadeadas de forma que o aluno
chegue, sozinho ou em grupo, a resultados matemáticos
novos.
Atividade de criação de problemas pelo aluno, a partir de
uma situação concreta inicialmente proposta.
Exercícios
presentes na obra
31
7
2
3
Magia dos
Propõem atividades de raciocínio numérico.
6
números
Quadro 3: Seções de exercícios especiais e suas quantidades ao longo da parte trigonométrica,
RUBIÓ; FREITAS, 2005.
2
Fonte: Dados de Pesquisa
2
Quadro e distribuição realizados pelas pesquisadoras a partir de análise do manual pedagógico da
obra, p.51
28
Os autores preocupam-se em não formalizar ou algebrizar demais o ensino
da trigonometria, tanto que apenas na última unidade, no estudo das equações e
relações trigonométricas, identificamos o uso das expressões algébricas em
trigonometria e um maior número de demonstrações. A relação fundamental da
trigonometria (sen2x + con2x = 1), só aparece no final dessa unidade, ao se tratar as
identidades trigonométricas. Ainda assim a introdução da unidade se faz por meio de
um problema prático, que interliga os conceitos dados anteriormente com o assunto
seguinte: as equações e inequações trigonométricas.
2.2.2 Livro II - Matemática Ensino Médio
Nesta coleção o conteúdo de trigonometria é distribuído nos três volumes da
obra, ou seja, é visto nas três séries do Ensino Médio. Esta distribuição é justificada
pelas autoras em função do tempo que os alunos levam para aprender os conceitos
e relações trigonométricas.
Esse fato de certa forma caracteriza a obra,
diferenciando-a de outras. (SMOLE; DINIZ, 2005).
Apoiando-se no documento dos PCNEM (1999) as autoras distribuíram os
conteúdos de sua obra de acordo com três eixos temáticos:
a) Números e Álgebra: trata de números e variáveis em conjuntos infinitos
e quase sempre contínuos;
b) Geometria e Medidas: tem como objetos de estudo as formas planas e
tridimensionais e suas representações na forma de desenhos,
planificações, modelos e objetos do mundo concreto;
c) Análise de dados: aborda os conjuntos de dados finitos, que podem ser
numéricos
ou
informações
qualitativas,
percebendo-se
uma
preocupação com o desenvolvimento de competências relativas à
contextualização
sociocultural.
(STOCCO; DINIZ,
2005;
Manual
pedagógico, p.11).
As autoras preocuparam-se, ainda, em explicar aos professores, por meio de
um manual com sugestões pedagógicas apresentado ao final do exemplar do
professor, o que, nesta obra, significa trabalhar a partir desses eixos:
29
Não basta tratar os conteúdos de cada eixo consecutivamente; é preciso
organizar o ensino para que muitas conexões possam ser aprendidas pelos
alunos. É importante lembrar que os alunos aprendem de forma diferente
em tempos diferentes, o que significa que se tratarmos uma única forma de
pensar em Matemática estaremos favorecendo uns e excluindo outros.
(SMOLE; DINIZ, 2005; Manual pedagógico, p.11).
Ao analisar a obra, procedemos na tentativa de perceber os focos da obra,
perceber na parte trigonométrica a presença dos eixos mencionados pelas autoras.
Percebemos que o primeiro eixo - Números e Álgebra - está presente no
estudo trigonométrico quando trabalhamos com as funções trigonométricas no
conjunto dos números reais e suas representações algébricas. O segundo eixo,
Geometria e Medidas, é percebido no estudo dos triângulos e em todos os
momentos em que esboços ou gráficos são necessários para resolver problemas. O
terceiro eixo, Análise de dados, é utilizado quando as autoras lidam com problemas
aplicados e contextualizados.
O conteúdo da obra encontra-se distribuído, ao longo dos três volumes,
conforme informa o Quadro 4 abaixo:
Matemática Ensino Médio. 3 volumes
Conteúdo de trigonometria abordado
*Unidade 11: Trigonometria do triângulo retângulo;
*Unidade 12: Arcos de circunferência, ângulos e círculo trigonométrico;
Volume 1:
*Unidade 13: Funções trigonométricas: definição, periodicidade e gráfico;
*Unidade 14: Relações trigonométricas num triângulo qualquer;
*Unidade 11: Funções trigonométricas: redução ao 1º quadrante;
*Unidade 12: Equações trigonométricas e inequações trigonométricas;
Volume 2:
*Unidade 13: Funções trigonométricas da soma;
*Unidade 14: Funções trigonométricas inversas.
Volume 3:
*Unidade 7: Funções trigonométricas: cotangente, secante e cossecante.
Quadro 4: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro II
Fonte: Dados de Pesquisa
Volume
No primeiro volume dessa coleção, o tratamento dado à Trigonometria, se
inicia a partir de uma situação problema que trata de objetos iluminados pela luz do
Sol num determinado horário do dia e a relação entre os comprimentos de suas
sombras e de suas alturas. A partir dessa situação, é estabelecida uma constante
proveniente de uma razão entre duas grandezas. Faz-se a conexão com a
trigonometria citando-se sua importância e aplicabilidade para solucionar tal
problema. Explora-se a etimologia da palavra trigonometria, como é usual na maioria
dos livros didáticos e seguem-se revisões acerca do triângulo retângulo, teorema de
Pitágoras, teorema de Tales e suas aplicações, até chegar às razões
30
trigonométricas, através da semelhança de triângulos, quando estas são então
estabelecidas. Logo em seguida faz-se a demonstração dos valores de seno,
cosseno e tangente dos arcos notáveis a partir de triângulos equiláteros e
quadrados.
Na Figura 4 exemplificamos a situação problema que inicia o estudo
trigonométrico da coleção:
Figura 4: Introdução ao capitulo de trigonometria
Fonte: SMOLE; DINIZ, 2005, p.266.
A apresentação dos assuntos subsequentes se faz a partir de aplicações do
conteúdo em situações práticas ou em outras ciências. Há relatos históricos
associados aos assuntos ao longo dos capítulos e aplicações em diversas áreas. A
obra utiliza muitos esboços e desenhos para explicar os assuntos e relacioná-los a
outras áreas dentro da própria matemática ou fora dela. Contudo, percebe-se
ausência de diálogo das autoras com os alunos, no que diz respeito a conectar
conteúdos já trabalhados com os que serão aprendidos. Por vezes, os assuntos se
iniciam sem a conexão com o que se tratava anteriormente. A relação fundamental
31
da trigonometria é utilizada logo no início, logo após a tabela de razões
trigonométricas.
Para verificar a distribuição dos três eixos temáticos na abordagem do tópico
trigonometria procedemos à classificação dos exercícios propostos e resolvidos,
segundo os mesmos, apresentada no Quadro 5.
Números e
Geometria e
Análise de
Total
Álgebra
Medidas
dados
resolvidos
14
18
4
36
Volume 1
propostos
55
68
17
140
resolvidos
20
13
0
33
Volume 2
propostos
66
24
3
93
resolvidos
5
0
0
5
Volume 3
propostos
19
1
0
20
Quadro 5: Distribuição exercícios resolvidos e propostos a partir dos eixos de conteúdos
3
Fonte: Dados de Pesquisa
Exercícios
No volume 1 a maioria dos exercícios refere-se ao eixo Geometria e Medidas,
devido ao estudo dos triângulos, presença forte neste volume, seguida pelos
exercícios do eixo Números e Álgebra e, em menor quantidade, os exercícios
referentes ao eixo Análise de dados.
Nos volumes 2 e 3 da obra, a parte trigonométrica, apresenta uma
predominância de exercícios do eixo Números e Álgebra, em relação aos eixos
Geometria e Medidas e Análise de dados. O que é justificado pela natureza do
conteúdo abordado nestes dois volumes, que explora mais as ideias da Álgebra do
que dos demais eixos.
Os exercícios da obra são diversificados: há quadros com atividades
investigativas, aplicações do conteúdo, de uso da calculadora, atividades em que o
aluno é chamado a elaborar seus próprios problemas, atividades voltadas para o
vestibular, atividades guiadas que exigem análise de algumas propriedades,
exercícios de raciocínio lógico. Mas a maioria dos exercícios é do tipo fixação de
procedimentos algébricos, exercícios mais comuns e usuais no ensino da
trigonometria.
O Quadro 6, abaixo, relaciona estas seções especiais, informando a
quantidade de exercícios sobre o conteúdo trigonometria:
3
Quadro montado a partir da análise da obra Matemática Ensino Médio, SMOLE; DINIZ, 2005.
Classificação dos exercícios a partir da análise das orientações pedagógicas, p.11.
32
Seção
Jogo
Projeto
Invente você
Saia dessa
Para
recordar
Calculadora
Flash
Matemático
Descrição
Cria situações que exigem soluções vivas, originais e
rápidas. Envolvem, dentre as estratégias de raciocínio
lógico empregadas, investigação, tentativa e erro,
levantamento e checagem de hipóteses.
Relaciona-se a uma ação específica, não repetitiva, com
caráter experimental. Está ligado a uma investigaçãoação e representa uma oportunidade do aluno explorar
uma ideia ou construir um produto imaginado, planejado,
que tenha significado para quem o produziu.
Oportunidades para que os alunos criem seus próprios
problemas, que podem ser parecidos com outros
problemas já resolvidos por eles, a partir de uma
expressão, pergunta ou resposta.
Instiga os alunos a resolverem problemas não
convencionais, exigindo reflexão, criatividade e
originalidade. Por vezes são exemplos de problemas de
lógica.
Faz-se a revisão de temas abordados no Ensino
Fundamental quando necessário, podendo acontecer no
próprio texto ou seção.
Atividades que estimulam o uso planejado da calculadora
como tecnologia a serviço da aprendizagem.
Explicita o desenvolvimento histórico de algum conceito
ou amplia determinados aspectos do assunto
desenvolvido na teoria. Tem sempre relação com o tema
apresentado na unidade em que se encontra.
Estabelece relações entre a Matemática, a vida cotidiana
e outras áreas do conhecimento. Tem caráter mais livre,
podendo ou não se relacionar ao tema da unidade.
Exercícios
presentes na obra
V1
1
V2
1
V3
0
V1
1
V2
0
V3
0
V1
V2
4
3
V3
1
V1
V2
10
9
V3
V1
V2
V3
V1
V2
V3
V1
V2
2
20
15
6
4
7
1
3
3
V3
1
V1
4
V2
4
V3
1
V1
26
Exercícios
Atividades variadas e atualizadas extraídas de
V2
29
de Vestibular vestibulares de instituições de todo o Brasil.
V3
7
Quadro 6: Seções de exercícios especiais e suas quantidades ao longo da parte trigonométrica, nos
três volumes de STOCCO; DINIZ, 2005.
4
Fonte: Dados de Pesquisa
Elo
Matemático
Percebe-se a preocupação em detalhar as demonstrações e a resolução dos
exercícios. Os conceitos são apresentados na seguinte ordem: situação problema
ilustrativa, definição, exemplo, exercício.
A obra conta com sugestões de jogos e projetos sobre trigonometria que
visam tanto aproximar a trigonometria da realidade dos alunos quanto fixar de forma
diferente os conteúdos já trabalhados.
Nos volumes 2 e 3 da obra, as introduções se processam a partir de revisões
de conceitos vistos na série anterior.
4
Quadro e distribuição realizados pelas pesquisadoras a partir de análise do manual pedagógico da
obra, p.15-23
33
No volume 2 o estudo trigonométrico se inicia com uma revisão conceitual da
trigonometria no triângulo retângulo, a definição das razões seno, cosseno e
tangente a partir da análise de triângulos semelhantes, a retomada da relação
fundamental da trigonometria, a lei dos senos, em forma de problema aplicado; o
círculo trigonométrico e os arcos nele representados, bem como as duas unidades
mais usuais: o grau e o radiano. E uma retomada breve acerca das propriedades
das funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico e seus gráficos.
Após esta revisão, a trigonometria do volume 2 é retomada com o estudo da
redução ao 1º quadrante, que é abordada associando-se os aspectos algébricos e
geométricos desse conhecimento. Explora-se o uso de esboços e desenhos nos
textos explicativos e nos exemplos.
Neste volume, também são estudadas as equações e inequações
trigonométricas, funções trigonométricas da soma e da diferença de dois números,
arcos duplos e arcos metade e funções trigonométricas inversas.
No volume 3,
novamente aparece uma revisão dos conceitos
de seno,
cosseno e tangente no triângulo retângulo, só que se dá de forma mais breve do que
a realizada no volume 2.
Neste último volume, o conteúdo trigonométrico é bem menor que nos
volumes anteriores. Há o estudo das outras três funções trigonométricas: a secante,
a cossecante e a cotangente, no círculo trigonométrico e de seus gráficos. Para
iniciar este estudo, é feito um resgate histórico mostrando a origem dos primeiros
relógios de sol, que utilizavam como conhecimento matemático, tabelas que hoje se
sabe são antepassadas das funções trigonométricas: secante, cossecante e
tangente.
Nestes dois volumes também percebemos a presença de exercícios dos três
eixos: Números e Álgebra, Geometria e Medidas e Análise de dados. Mas notamos
um aumento de atividades algébricas, relacionado, talvez, com a natureza dos
tópicos trigonométricos explorados nesses dois volumes.
2.2.3 Livro III - Matemática
Esta coleção apresenta uma unidade de sete capítulos sobre Trigonometria,
cabendo ao professor decidir como distribuir o conteúdo ao longo do Ensino Médio.
34
Nesta obra, os tópicos estão assim organizados:
Matemática
Conteúdo de trigonometria abordado
*Capítulo 14: Trigonometria no triângulo retângulo;
Unidade 3:
*Capítulo 15: Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer;
Trigonometria *Capítulo 16: Conceitos trigonométricos básicos;
*Capítulo 17: Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica;
*Capitulo 18: Relações e equações trigonométricas;
*Capítulo 19: Transformações trigonométricas;
*Capítulo 20: Senóides e os fenômenos periódicos.
*Capítulo 14: Trigonometria no triângulo retângulo;
*Capítulo 15: Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer;
*Capítulo 16: Conceitos trigonométricos básicos;
*Capítulo 17: Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica;
*Capitulo 18: Relações e equações trigonométricas;
*Capítulo 19: Transformações trigonométricas;
*Capítulo 20: Senóides e os fenômenos periódicos.
Quadro 7: Distribuição do conteúdo de trigonometria do Livro III
Fonte: Dados de Pesquisa
Volume único
O primeiro capítulo da unidade introduz o assunto fazendo uma abordagem
histórica acerca da trigonometria e propõe situações-problema a serem analisadas
pelo aluno, para perceber a utilidade da trigonometria e seu estudo.
A Figura 5 apresenta a primeira situação problema que inicia o tratamento da
Trigonometria nesta obra:
Figura 5: Situação problema que inicia o capítulo de trigonometria página 187.
Fonte: DANTE, 2005, p 187
Na sequência, o autor propõe três situações a serem analisadas pelo aluno,
que envolvem semelhança de triângulos, análise de índices e proporcionalidade, e
que, ao final, recairão nas três razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Somente após uma análise criteriosa e explorar bem as situações propostas, o autor
apresenta as definições. A partir desse momento aborda a relação fundamental da
Trigonometria, faz demonstrações e propõe um exercício em que orienta o aluno
35
para que ele consiga obter os valores de seno, cosseno e tangente de arcos
notáveis.
As Figuras 6, 7 e 8 ilustram a proposta de que, a partir de situações
problemas, chega-se às razões trigonométricas seno, cosseno e tangente;
Figura 6: Situação problema que inicia o estudo do cosseno.
Fonte: Dante, 2005, p 189
Figura 7: Situação problema que inicia o estudo do seno
Fonte: Dante, 2005, p. 189
36
Figura 8: situação problema que inicia o estudo da tangente
Fonte: Dante, 2005, p.189
A obra conta com um grande número de ilustrações e esboços que facilitam a
compreensão dos assuntos, além de chamar a atenção dos alunos. Ao final dos
capítulos há um pouco da História da Matemática associada ao assunto trabalhado,
numa seção chamada: Leituras.
Os demais capítulos sempre se iniciam seguindo um padrão. Uma situação
problema é proposta e é explorada, servindo como fio-condutor de todo o capítulo.
Na introdução dos novos capítulos, há uma pequena conversa com os alunos, em
que se faz a conexão entre o que já foi ensinado e o que está por vir, antecedendo a
situação problema. Quando se faz necessário, o autor faz uma pequena revisão de
conceitos anteriores.
Os exercícios contam com muitos desenhos, são diversificados, apesar de
apresentados todos juntos, em forma de uma lista.
37
O autor não menciona distribuição dos conteúdos em eixos, mas deixa clara
sua opção por atividades relacionadas ao cotidiano, considerando-se a quantidade
expressiva de atividades aplicadas em sua obra. Utiliza atividades investigativas, na
seção para refletir, problemas práticos, problemas básicos de fixação, problemas
que pedem demonstração, desafios para serem resolvidos em dupla, atividades com
calculadora.
Para permitir uma visão dos tipos de exemplos e exercícios contemplados na
obra, agrupamos os mesmos segundo três categorias, por nós estabelecidas:
atividades de fixação básica, atividades de aplicação e atividades que pedem
demonstração:
Atividade de
Atividades de
Atividades de
Total
fixação básica
aplicação
demonstração
Exemplos
40
11
18
69
Exercícios
126
41
12
179
Quadro 8: Distribuição exemplos exercícios a partir das categorias estabelecidas pelas pesquisadoras
Fonte: Dados de Pesquisa
Constatamos a preocupação do autor com o rigor visto o número de
demonstrações feitas ao longo da obra.
Percebemos que a maioria dos exercícios e exemplos são de atividades de
fixação básica, seguidas de atividades aplicação e exemplos de demonstrações.
O número de exercícios das seções especiais dessa obra está relacionado no
Quadro 9:
Seção
Descrição
Exercícios na obra
Estimulam o trabalho coletivo, e o raciocínio
Desafios em dupla
4
criativo.
Atividades exploratórias que objetivam que o
Para refletir
aluno descubra propriedades que ainda não
64
conheça.
Aborda fatos históricos relacionados à
Leitura
2
Matemática.
Atividades com
Atividade que explora o uso da tecnologia
2
calculadora
calculadora.
Iniciam capítulos e norteiam o trabalho ao longo
Situações problema
2
do mesmo.
Quadro 9: Seções especiais, suas descrições e quantidades ao longo da unidade trigonométrica da
obra DANTE, 2005.
5
Fonte: Dados da pesquisa
5
Quadro e distribuição realizados pelas pesquisadoras a partir de análise do manual pedagógico da
obra.
38
Nesta obra, diferente das demais, o estudo dos fenômenos periódicos é feito
separadamente e ao final da unidade. Destacamos nesse capítulo o número de
aplicações a outras áreas do conhecimento.
2.2.4 A título de comparação
Após um estudo das obras citadas, percebemos semelhanças e algumas
diferenças quanto à introdução do conteúdo, abordagem metodológica adotada,
exercícios propostos.
O Quadro 10, busca destacar as similaridades e singularidades de cada obra.
Coleção
Introdução do conteúdo
Abordagem
metodológica
Divide o conteúdo
em
três
eixos:
conteúdos práticos,
básicos e formais.
1- Matemática e
suas tecnologias
Inicia-se com um enfoque
histórico,
citando
um
problema trigonométrico
da Grécia Antiga.
2- Matemática
Ensino Médio
Inicia-se
com
uma
situação
problema
relacionando o tamanho
das sombras e alturas de
objetos.
3- Matemática
Dante
Inicia-se o capítulo com
Predominam
uma
retrospectiva
exercícios de fixação
histórica e uma situação
básicos,
mas
se
problema, contextualizada
sobressaem exercícios
e norteadora de todo o
aplicados
sobre
capítulo.
demonstrações.
Quadro 10: Comparação das três obras analisadas
Fonte: Dados de pesquisa
Divide o conteúdo
em
três
eixos:
Números
e
Álgebra, Geometria
e Medida e Análise
de dados.
Resolução
de
problemas
contextualizados.
Exercícios propostos
Predominam
exercícios referentes a
conteúdos básicos e
formais,
poucos
exercícios aplicados.
Predominam
exercícios referentes a
Números e Álgebra e
poucos de Análise de
dados
A análise das três obras evidencia uma tendência da forma de abordar o
ensino da trigonometria. Se antes o ensino trigonométrico era iniciado pelas
definições e seguido de exemplos e exercícios que repetiam procedimentos
algébricos, percebemos a tentativa, nestas três obras, de voltarmos os olhos para as
aplicações desses conhecimentos trigonométricos. Apesar de ainda predominarem
por vezes exercícios algébricos de fixação, notamos uma tendência crescente de
trabalhar a partir de situações que exigem aplicações da trigonometria, propondo
atividades que estimulem a criatividade e o raciocínio do aluno.
39
As três obras apresentam alguns pontos comuns para o estudo da
trigonometria, como: a introdução das razões trigonométricas por meio de
semelhança de triângulos não relacionadas a situações do cotidiano, nas duas
primeiras obras e muitas demonstrações algébricas, na terceira; evidenciam uma
preocupação em alterar, em alguns aspectos, o estudo trigonométrico, na tentativa
de tornar o seu ensino mais estimulante e proveitoso pelos alunos. Essa perspectiva
é percebida na primeira obra, nas conexões que os autores estabelecem entre as
formas de representação trigonométrica e com o diálogo mantido com o aluno ao
longo da obra, nas atividades que não esgotam o assunto de uma só vez e permitem
ao aluno descobrir as propriedades. Na segunda coleção são propostos projetos de
aplicação na área trigonométrica. Na terceira obra a forma de introduzir o estudo
trigonométrico e o número de atividades aplicadas atestam as opções do autor em
valorizar aspectos do cotidiano do aluno.
Na pesquisa desenvolvida tivemos como uma meta importante estimular a
criatividade e a motivação dos alunos. Procuramos enfatizar com este trabalho,
como a trigonometria está inserida no cotidiano dos alunos e como ela pode facilitar
alguns aspectos da vida das pessoas.
2.3 O que dizem as pesquisas sobre o Ensino de Trigonometria
Dentre as pesquisas que investigam a trigonometria e o seu ensino
analisamos 5 dissertações de mestrado e 23 trabalhos divulgados em congressos
ligados à Educação Matemática. Estes trabalhos, sob diferentes olhares e enfoques,
buscaram motivar os alunos para o ensino da trigonometria, sugeriram abordagens
diversas na tentativa de promover um maior entendimento do conteúdo.
Dentre as dissertações analisadas, a de Costa (1997) chamou nossa atenção
por conduzir seu experimento de forma comparativa, analisando a influência de três
ambientes de aprendizagem: mundo experimental, computador e sala de aula. Seu
objetivo era encontrar subsídios para afirmar que tipo de introdução surtiria melhores
resultados na aprendizagem das funções trigonométricas no círculo: se o início pelo
mundo experimental ou pelo uso do computador. Em nosso trabalho, não
pretendemos comparar que tipo de abordagem surtiria melhores resultados.
40
Percebendo a importância em aproveitar esta ideia, utilizando ambientes parecidos
com os de Costa (1997) (ambiente experimental e computacional), pretendemos
aproveitar as potencialidades de cada um destes ambientes, de forma a conduzir um
ensino de trigonometria que permita ao aluno se apropriar de alguns modelos
matemáticos trigonométricos, atribuindo-lhes significado.
O trabalho de Costa (1997) propõe que o aluno desempenhe um papel ativo e
trabalhe em grupo realizando investigações, utilizando tanto material concreto
quanto softwares de geometria dinâmica. Consideramos importante investir em tais
ideias, valorizando a utilização de ambientes diferenciados.
Já Lindegger (2000) apresenta uma proposta de ensino para a trigonometria
no triângulo retângulo, no qual também utiliza material concreto, só que em forma de
maquetes ou triângulos de madeira e papel. Nossa pesquisa pretende explorar
medidas e proporcionalidade assim como Lindegger (2000), mas numa abordagem
com referência na realidade do aluno, representada por medição de paredes da sala
de aula e elaboração de croquis e maquetes de algumas edificações da cidade.
Lindegger (2000) valorizou o trabalho em grupo e conduziu sua investigação
partindo de situações particulares, práticas, para depois generalizar. Buscou
contextualizar e dar significado ao conhecimento que o aluno adquiria. É nosso
interesse, também, que os alunos se apropriem dos conceitos, atribuindo-lhes
significado, para depois lhes apresentarmos as definições e generalizações.
Acreditamos que este caminho possa propiciar que o conteúdo seja compreendido
pelos alunos.
Oliveira (2006) concentrou seus esforços em avaliar as dificuldades
enfrentadas por professores no ensino de Trigonometria. Seu objetivo era
categorizar as dificuldades relacionadas por professores e propor formas de se
trabalhar minimizando os efeitos nocivos destas dificuldades sobre o ensino.
A metodologia utilizada em seu trabalho foi a Engenharia Didática,
metodologia que também inspirou nosso trabalho. Algumas das dificuldades citadas
por ele, também nós enfrentamos durante o desenvolvimento de nossas atividadespiloto, o que demandou de nossa parte uma reestruturação das atividades para sua
adequação ao trabalho que aqui será apresentado. As dificuldades, em nossa
percepção, comuns ao trabalho de Oliveira (2006) foram: grande número de alunos
por sala; dificuldades apresentadas pelos alunos, como, não ter habilidade com o
41
material de desenho, terem poucas atitudes positivas ao iniciar o trabalho, demorar
para terminar as atividades.
Brito e Morey (2004) também abordaram dificuldades apresentadas por
professores no ensino da trigonometria. Sugerem que a dificuldade enfrentada pelos
professores está relacionada a sua formação inicial e às abordagens em
trigonometria que os livros didáticos traziam quando estes professores ainda
frequentavam a educação básica. Os resultados deste artigo corroboram nossa
preocupação em evitar a formalização precoce de conceitos e sua memorização
sem significado. Visto que os professores pesquisados apresentavam dificuldades
em conceitos como simetria e proporcionalidade, porque em sua formação não
experienciaram situações que relacionassem as representações, geométrica e
algébrica nos estudos de trigonometria, não compreendiam o assunto em sua
totalidade. Apenas a faceta da álgebra da trigonometria havia sido enfatizada e de
forma distanciada das demais, o que resultou em insegurança ao tratar do assunto
com seus alunos, impossibilitando que desenvolvessem com os alunos o conteúdo
integrando as abordagens da geometria e da álgebra de forma significativa.
Pinheiro (2008) abordou em seu trabalho as funções trigonométricas no
círculo, unindo a álgebra e a geometria, através de desenhos que permitiram a
visualização e análises geométricas de suas propriedades. Utilizou um plotador de
gráficos6 ao final de suas atividades para confirmar as construções feitas com papel
e lápis. Neste trabalho, chamou-nos a atenção a exploração da visualização e das
análises geométricas do desenho no círculo trigonométrico, minimizando o uso de
fórmulas, explorando a compreensão do conceito. Consideramos que o autor adotou
uma linha investigativa por meio de atividades ainda num modelo de descoberta
guiada, segundo Ernest (1996). Concordamos que esta pode ser uma abordagem
proveitosa, se nos preocupamos com a assimilação de conceitos.
Borges (2009) analisou a influência de atividades manipulativas e o uso do
computador na aprendizagem da transição das razões trigonométricas do triângulo
retângulo para o círculo trigonométrico. Optamos também por utilizar, o software
Geogebra, pois também acreditamos em suas potencialidades na transição do
círculo para o plano cartesiano.
6
Entendemos por plotador de gráficos um programa computacional, ou software, que desenhe
gráficos, não dinâmicos, uma vez inseridas as funções referentes aos gráficos.
42
Quanto aos artigos analisados, destacamos alguns pontos que consideramos
relevantes em relação a nossa pesquisa.
Blackett e Tall (1991) analisaram em seu trabalho como meninos e meninas
se comportariam frente ao ensino trigonométrico subsidiado pelo uso de recursos
computacionais. O objetivo era verificar como este recurso influenciaria na
aprendizagem de meninos e meninas.
Assim como os autores, acreditamos nos benefícios de uma abordagem
computacional. O artigo deixou evidente que o uso de softwares dinâmicos pode
melhorar a compreensão de conceitos, uma vez que relacionam propriedades
numéricas, algébricas e geométricas do mesmo conteúdo, de forma versátil,
conferindo aos alunos a possibilidade de ligarem habilidades visuais a numéricas.
Kendal e Stacey (1998), assim como Costa (1997), comparam dois métodos
de introduzir um conceito trigonométrico. Mas, diferente de Costa (1997) que
analisou a introdução das funções trigonométricas seno e cosseno no círculo
trigonométrico, Kendal e Stacey (1998) abordam a trigonometria no triângulo
retângulo.
Os métodos analisados pelas autoras foram: o método proporcional7 e o do
círculo unitário8. A pesquisa indicou que os alunos cujo trabalho se iniciou pelo
método proporcional apresentaram melhores resultados, evidenciando que este
método é mais indicado quando o que se pretende é o estudo das aplicações das
ideias da trigonometria para resolver triângulos e os aplicativos práticos a eles
associados.
Acreditamos, assim como as autoras, que o método proporcional seja o mais
simples e que possibilite que alunos, com diferentes capacidades de aprendizagem,
possam superar suas dificuldades e compreender os conceitos envolvidos.
Quanto ao método do círculo unitário, as autoras acreditam que ele poderia
trazer benefícios a longo prazo, pois o consideraram ideal para a extensão das
definições das funções trigonométricas para além do primeiro quadrante. Mas os
resultados do estudo indicam cautela antes de escolhê-lo.
7
As autoras definem o método proporcional aquele que parte da semelhança de triângulos para
definir as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
8
As autoras definem o método do círculo unitário aquele que parte da circunferência de raio um para
definir as razões trigonométricas seno e cosseno como funções de números reais e não mais
relacionadas a ângulos e triângulos.
43
Em Weber
(2005)
comparou-se
a
eficiência
de
dois
métodos
de
aprendizagem das funções trigonométricas: um através de aula expositiva e um
através de instrução experimental, utilizando um modelo de círculo unitário. O artigo
evidenciou que o segundo método surtiu mais efeito, porém são feitas ressalvas
quanto ao uso do método do círculo unitário, não acreditando que todas as formas
de uso desse método conduziriam o aluno a ser bem-sucedido.
Assim como Weber (2005) e Lindegger (2000) consideramos importante
realizar atividades em grupos, fazer discussões e sínteses de resultados das
atividades em sala e para casa e utilizar recursos computacionais e de desenho.
Estas abordagens valorizam o raciocínio do aluno e o auxiliam a organizar e
sistematizar o que está aprendendo.
Sidericoudes (1999) apresenta uma experiência que usa o brinquedo Lego
associado ao ambiente computacional LOGO, a atividade propicia um envolvimento
do aluno na resolução de problemas em sala de aula, matematizando situações e
aplicando diversos métodos matemáticos, o que converge com nossa proposta. As
razões trigonométricas no triângulo retângulo são introduzidas à medida que a
necessidade de encontrar um ângulo de inclinação se faz presente. O ponto central
desse trabalho é o aprendizado através do fazer. “O aluno aprende fazendo.”
(SIDERICOUDES, 1999, p.9).
Costa (2003) destaca aspectos sobre os objetivos do ensino da trigonometria,
o seu desenvolvimento no mundo antigo a partir de necessidades práticas,
principalmente ligadas à Astronomia, Agrimensura e Navegação. As bases para seu
desenvolvimento foram as necessidades relativas à vida prático desses povos.
Houve grande evolução e sua aplicabilidade foi ampliada a outras áreas da
Matemática, recebendo a vertente algébrica. Mas a Álgebra, assim como a
Geometria representam partes importantes, mas não precisam se contrapor ao
aspecto de solucionar problemas com referência na realidade das pessoas.
Também numa linha histórica, Mendes (2002), fez uma análise de como o
ensino da trigonometria era abordado em livros didáticos desde o início do século
XX até meados dos anos 80. O autor criticou a fragmentação deste assunto e
pontua as tentativas criativas, da época, de introdução e combinação da
trigonometria com suas vertentes geométrica e algébrica.
44
Silveira e Balieiro Filho (2010) abordaram a trigonometria no triângulo
retângulo e o círculo trigonométrico, baseando-se na evolução histórica do conceito,
a partir de uma postura investigativa. O artigo descreve atividades que partiam de
um texto relativo ao desenvolvimento histórico desse conhecimento, seguido de
exercícios propostos. A abordagem é interessante, visto que o hábito de leitura entre
estudantes em matemática é por vezes escasso. Ainda nesta linha histórica,
destacamos o trabalho de Esteve, Vallhonesta e Puit (2010), que tratam da história
da trigonometria a partir da análise de trechos trigonométricos nos Elementos de
Euclides. Como esta abordagem mescla geometria e trigonometria, torna-se
estimulante e interessante para os alunos.
As idéias de Quinlan (2004) recomendam imergir os alunos no contexto do
novo trabalho, deixando termos técnicos para um segundo momento. Assim como
Lindegger (2000), o autor incentiva ir do particular para o geral, do concreto para o
abstrato, evitando as definições logo no início. Kemp (2009), também nesta linha,
estimula analisar a repetição das propriedades para depois formalizar o conceito.
Cavanagh (2008) não define as razões trigonométricas logo de início. Ele
realiza, primeiramente, um trabalho explorando inclinações de retas e depois um
trabalho aplicativo, buscando resolver um problema com referência na realidade,
calcular a altura do mastro de uma bandeira, para só depois introduzir a definição
formal. Iniciou-se pela tangente e depois foram sugeridos outros problemas que
exigiram o uso do seno e do cosseno, quando estes conceitos foram introduzidos.
Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b) exploraram o conceito trigonométrico com
atividades investigativas antes de defini-lo formalmente e usaram o computador
como forma de manipular as formas geométricas. Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b)
sugeriram utilizar métodos diferentes para o estudo do triângulo (método da
proporção) e do círculo trigonométrico (método do círculo unitário) já que os dois
métodos trazem contribuições positivas para o estudo da trigonometria, cada um
aplicado a uma parte do conteúdo.
Silva e Santos-Wagner (2010), Gil e Mendes (2010) e Briguenti (2000),
exploraram a utilização de materiais manipuláveis como recurso para auxiliar o aluno
em seu processo de ensino e aprendizagem. Briguenti (2000) mencionou, ainda, a
forte influência da representação gráfica em seu trabalho e o fato de apresentar os
45
conceitos informalmente, para, somente depois, em momento oportuno, retomá-los e
ensiná-los formalmente.
Pietrobon, Costa e Souza (2010) propuseram atividades com diversas
abordagens para o estudo da trigonometria no triângulo retângulo. Dentre estas
atividades destacamos: construção de um instrumento que se parece com um
teodolito, vídeos sobre telhados e suas inclinações, observação de telhados da
cidade, construção de maquetes para analisar razões trigonométricas no triângulo
retângulo, desenhos com régua, transferidor e compasso.
Pietrobon, Costa e Souza (2010), também defendem o uso de instrumentos
tecnológicos para otimizar o tempo gasto no desenvolvimento de atividades,
resguardando ao aluno o tempo para a análise e compreensão de propriedades.
Consideramos que os autores concordam com Franchi (2007), ao afirmar que o
ensino pode dar uma ênfase menor às técnicas e priorizar a compreensão de
conceitos e sua apropriação pelos alunos.
Assim como Sidericoudes (1999) e Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b), que
investiram em recursos computacionais e softwares para o desenvolvimento de suas
atividades, Góes e Colaço (2009), Carvalho et al (2009), Lima Filho, Rocha e
Cavalcanti (2007), também utilizaram softwares em seus trabalhos. Góes e
Colaço(2009) utilizaram o software “Car Metal”, uma adaptação do régua e
compasso, que permite a visualização e manipulação de desenhos. Carvalho et al
(2009) utilizaram o software S.E.T.9 para explorar a trigonometria no círculo
trigonométrico. Lima Filho, Rocha e Cavalcanti (2007) fizeram uso do software
LEMAT para ensinar os alunos a desenhar as funções seno e cosseno e analisar as
variações ocorridas quando se modificavam os parâmetros que compunham as
funções.
Com todos estes trabalhos que fazem uso de recursos tecnológicos, nossa
pesquisa compartilha o interesse pelo uso de softwares de geometria dinâmica para
visualizar e relacionar propriedades que não poderiam ser exploradas em desenhos
feitos com papel e lápis, pelo fato de que além de demandarem muito tempo,
poderiam ter imperfeições que comprometeriam as análises.
9
Segundo os autores o software S.E.T. foi desenvolvido para ser um software educativo com
características de exercícios e atividades práticas, quanto de simulações.
46
Considerando os trabalhos analisados até o presente momento temos
elementos para delinear e descrever nossa proposta identificando seu diferencial em
relação às pesquisas já comentadas.
Nosso trabalho propõe uma abordagem da trigonometria baseada numa
“engenharia de modelagem”. Entendemos um trabalho como engenharia da
modelagem uma atividade que seja inspirada na Engenharia Didática, com suas
etapas de análises prévia, à priori e à posteriori, mas que leve em conta o caráter
mais aberto do processo de modelagem, não se conformando totalmente dentro da
engenharia. Nesse formato, temos dois focos:
a) A modelagem a partir de materiais concretos: plantas baixas,
esquadros,
réguas,
transferidores,
paredes,
telhados,
escadas,
rampas;
b) A modelagem a partir de modelos abstratos:
a)
Com papel e lápis;
b)
Em ambiente computacional.
O pano de fundo do trabalho desenvolvido foi um projeto proposto aos alunos:
Enxergando e Modelando a Trigonometria das construções da cidade. Os alunos
foram estimulados a analisar construções da cidade e extrair delas a trigonometria
implícita em suas formas, elaborando desenhos e maquetes que utilizaram escalas,
modelos trigonométricos abstratos com referência na realidade.
A partir dos dados trazidos pelos alunos, o conteúdo trigonométrico foi sendo
abordado e oportunamente formalizado, fazendo uso do recurso computacional à
medida que o conteúdo assim permitia.
Diferindo dos trabalhos analisados, que utilizaram um software dinâmico
específico, optamos pela utilização de applets10 construídos com a ajuda do software
Geogebra. Tal opção foi devida a impossibilidade em instalar um software de
geometria dinâmica nos computadores da escola, em que a pesquisa foi realizada e
da
necessidade
em
utilizar
ferramentas
que
permitissem
aproveitar
as
potencialidades dos softwares sem esbarrar no inconveniente de não poder instalálos.
10
Entendemos por applets pequenos programas feitos em linguagem Java, disponibilizados em
servidores Web, que não precisam ser instalados nos computadores onde serão utilizados e que
desempenham tarefas próximas às desempenhadas por softwares dinâmicos.
47
2.4 Possibilidades do uso de modelos matemáticos e modelagem no ensino da
trigonometria
Nessa seção abordaremos perspectivas de modelagem de alguns autores,
acerca de delinearmos a concepção de modelagem adotada. Discorreremos sobre
alguns modelos trigonométricos clássicos que consideramos importantes para a
pesquisa.
2.4.1 Modelagem e modelos matemáticos no ensino de Matemática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio de Matemática
apontam, como uma das metas a perseguir durante a educação básica, o
desenvolvimento da competência para investigar e compreender a realidade. Para
isso os alunos devem ser capazes de reconhecer, utilizar, interpretar e propor
modelos para situações-problema. Dessa forma, devem ser incentivados o uso e a
elaboração de modelos e das várias formas de representação em matemática para
analisar situações reais. (BRASIL, 1999).
Essa orientação sustenta-se, no fato de que o gosto pela matemática se
desenvolve mais facilmente quando é motivado por interesses e estímulos externos
à Matemática, vindos do cotidiano dos alunos, imersos em seu contexto, em sua
realidade. (BASSANEZI, 2009).
A Matemática aplicada pode propiciar um ambiente favorável de motivação e
envolvimento dos alunos. Esta transferência de procedimentos da matemática
aplicada para a matemática escolar vem se configurando na forma de propostas
metodológicas conhecidas com o nome de “Modelagem11”. (BEAN, 2001).
Ações em prol da Educação Matemática no Brasil têm influenciado
reformulações curriculares e a implantação de novas propostas pedagógicas. Dentre
11
Adotaremos o termo Modelagem todas as vezes em que nos referirmos à Modelagem Matemática
em nosso texto, a fim de não sobrecarregá-lo com expressões desnecessárias, visto que a
Modelagem abordada nele é a Matemática.
48
estas tendências atuais de ensino, destaques são feitos à modelagem e ao uso de
modelos matemáticos, como formas de compreender a matemática e relacioná-la a
outras áreas de conhecimento e a situações reais. (BIEMBENGUT, 2009). “Trata-se
de uma das tendências que viabiliza a interação da Matemática com a realidade.”
(FIDELES; ALMEIDA, 2004, p.3).
A Educação Matemática tem como meta melhorar a aprendizagem da
Matemática, direcionando o ensino desta disciplina para que os alunos
percebam seu significado dentro da estrutura sócio-cultural em que vivem e
que devem aprender matemática para participar da construção do
conhecimento, tendo em vista a necessidade humana de entender a
natureza. [...] A Modelagem Matemática busca trabalhar os conteúdos
matemáticos de uma forma que possibilite a construção dos conceitos
matemáticos, buscando as relações destes com o dia-a-dia, sua aplicação,
utilização e importância. (BARBIERI; BURAK, 2005, p.2).
Sendo assim, no processo de modelagem matemática, expressam-se
situações–problema através da linguagem matemática, visando uma análise mais
aprofundada de partes de um problema, sua compreensão, levantamento de
possíveis causas desse problema e hipóteses para solucioná-lo. (BIEMBENGUT;
HEIN, 2007).
Dentre as muitas pesquisas realizadas nessa área, percebemos o uso da
modelagem matemática a partir de diferentes perspectivas. “A Modelagem
Matemática não tem um estatuto definido. Não é possível redigir um manual de
instruções sobre a construção de modelos”. (HEIN; BIEMBENGUT, 2007, p.35). Não
há consenso acerca de seu conceito no campo da Educação Matemática.
(RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009).
Sob certo aspecto essas diferentes formas de abordagem podem ser um
ganho para as pesquisas em Modelagem Matemática na Educação; cada professor
pode desenvolver suas próprias atividades de modelagem, junto de seus alunos,
respeitando suas particularidades e se adequando a sua realidade. (RIPARDO;
OLIVEIRA; SILVA, 2009). Quando nos referimos a realidade, nos referimos às
condições socioeconômicas, ao espaço físico e de tempo na escola e as condições
cognitivas dos alunos.
Monteiro e Almeida (2010) entendem a Modelagem Matemática como uma
possibilidade de interação entre diferentes práticas dentro da escola, e não a
implantação de uma prática específica. As autoras visualizam o papel da escola
como o de garantir aos estudantes o maior número de situações diversificadas no
49
processo de ensino. Vêm na Modelagem Matemática um ambiente de aprendizagem
favorável a essa interação entre diversas práticas no contexto escolar.
A Modelagem Matemática pode, assim, ser utilizada de diferentes maneiras
em sala de aula, cabendo ao professor escolher a forma mais adequada para
abordá-la de acordo com sua turma e suas necessidades de aprendizagem. O
objetivo da modelagem escolar não está em treinar técnicas matemáticas, mas
concentrar seus esforços na simulação da realidade a qual se escolhe pesquisar,
objetivando um ensino de Matemática contextualizado. (BORGES, 2010).
São muitas as produções no campo da modelagem na Educação Matemática.
Para uma revisão de literatura nos pautamos em Klüber (2009) que, partindo da
análise de 42 comunicações científicas apresentadas na V Conferência Nacional
sobre Modelagem na Educação Matemática, destacou os autores de modelagem
mais citados como referência nos trabalhos apresentados. Os seis autores mais
citados foram: Barbosa, Bassanezi, Almeida, Biembengut e Hein, Araújo e Burak.
Destacaremos como esses autores concebem o ensino por meio da
modelagem, complementando com a referência a outros autores cujas concepções e
visões da modelagem no ensino da Matemática estão de acordo com a que
adotamos.
Para Bassanezi (2009), a modelagem no ensino é uma estratégia de
aprendizagem, em que o mais importante não é encontrar imediatamente um
modelo definitivo e bem elaborado, mas caminhar seguindo etapas, nas quais o
conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado. Seus objetivos incluem
desenvolver a criatividade matemática do aluno no sentido de torná-lo um modelador
matemático ao se dedicar ao estudo de alguma situação com referência em sua
realidade.
Para este autor,
é necessário buscar estratégias alternativas de ensino-aprendizagem que
facilitem sua compreensão e utilização. A modelagem matemática, em seus
vários aspectos, é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário
na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios
para agir sobre ela e transformá-la. (BASSANEZI, 2009, p.17).
Segundo Bassanezi (2009), a participação dos alunos na escolha do tema de
trabalho é muito importante, pois faz com que eles se sintam responsáveis por sua
aprendizagem e sua atuação torna-se mais efetiva. O que converge com as ideias
50
de Miranda (2009), ao afirmar que enquanto uma estratégia de ensino a intenção em
utilizar a modelagem é de aproximar o ensino da Matemática da área de interesse
do aluno, aumentando seu envolvimento com a própria aprendizagem
Para Bassanezi (2009) o desafio do professor, que adota este caminho como
método de ensino, é ajudar o aluno a compreender, construindo relações
matemáticas significativas, em cada etapa do processo. A modelagem matemática
pode ser um dos caminhos a serem seguidos para tornar um curso de matemática
mais atraente e agradável, independente do nível de ensino.
Na perspectiva de Araújo (2007), o uso de Modelagem Matemática na
Educação Matemática trata-se de:
uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não-matemático
da realidade, ou de uma situação não-matemática da realidade, escolhida
pelos alunos reunidos em grupos, de tal forma que as questões da
Educação Matemática Crítica embasem o desenvolvimento do
trabalho.(ARAÚJO, 2007, p.30).
Com este enfoque a autora sugere que o objetivo da Modelagem Matemática
seria envolver os alunos na discussão e resolução de problema levantado a partir da
realidade do aluno.
Araújo (2009) defende uma abordagem de modelagem numa perspectiva
sócio-crítica, que não se preocupe, apenas, em munir os estudantes de ferramental
matemático e apresentar-lhes exemplos de aplicação da matemática em sua
realidade, mas que os faça refletir sobre a presença e a influência da Matemática na
sociedade.
Cifuentes e Negrelli (2007) afirmam que para compreender um processo de
modelagem matemática em situações não matemáticas, faz-se necessário uma
interpretação empirista desse processo, devido ao caráter experimental atribuído à
modelagem. Toda realidade estudada é captada através de algum tipo de
experiência, que pode ser sensorial ou intelectual. Esta experiência pode ser
entendida como o contato com a realidade.
Para Biembengut e Hein (2007) a modelagem é um processo oriundo da
própria razão que participa de nossa vida como forma de constituir e de expressar
um conhecimento. É um processo que envolve a obtenção de um modelo que pode
ser formulado em termos familiares, fazendo uso de expressões numéricas ou
51
fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas,
tabelas, programas computacionais etc.
Segundo Hein e Biembengut (2007), dentre as limitações que rodeiam o
ensino da Matemática, a primeira delas é que a Matemática, enquanto ciência tem o
papel de desenvolver e construir estruturas formais. Mas, não podemos negar que a
realidade já possui certas estruturas. Logo não se pode afirmar com segurança, que
estruturas captadas pela mente, correspondem ao contexto real e quais são devidas
às abstrações do pensamento, tentando conceber, estruturar e informar essa
realidade. As estruturas formais finais representarão abstrações e reelaborações dos
objetos materiais reais, captados por nossa mente, logo, representarão construções
do espírito humano.
Vale lembrar que “a matemática não nasceu como ciência pura, mas como
uma tentativa de explicar a realidade que o homem tinha à sua frente, centrada na
aplicação à realidade”. (HEIN; BIEMBENGUT, 2007, p.45). E há um consenso a
respeito de seu ensino precisar voltar-se para a promoção do conhecimento
matemático e da habilidade em utilizá-lo em outro ambiente além do escolar,
propiciando ao aluno uma formação sólida em primeiro lugar. (BIEMBENGUT; HEIN,
2007).
De acordo com Caldeira (2007), a matemática apresenta-se camuflada no
cotidiano e as pessoas não necessariamente percebem a sua importância como um
instrumento da compreensão do mundo; a Matemática é vista como um elemento
utilitário apenas quando é necessária na resolução de alguns problemas cotidianos.
Conceitos matemáticos institucionalizados, como os encontrados nos livros, sob o
ponto de vista epistemológico, não foram colocados prontos e acabados. Eles foram
construídos e reconstruídos a partir do que a comunidade já conhecia, e que era
reconhecidamente válido para ela.
Para este autor,
sob a perspectiva da Modelagem Matemática, como método, o estudante vê
regras Matemáticas e convenções a serem “aplicadas” a contextos da sua
realidade, favorecendo uma maior participação aos estudantes no processo
educacional. A diferença fundamental, nesse caso, é que, no primeiro, as
regras e convenções vêm antes, transmitidas pelo professor, e, somente
depois, as aplicações, já na Modelagem Matemática como método; invertese a ordem: primeiro, as aplicações; depois, as regras e convenções. Mas
sempre a mesma e única matemática. (CALDEIRA, 2009, p.45).
52
No processo de modelagem, de acordo com Biembengut e Hein (2007),
destacamos as seguintes etapas: interação, matematização e modelo. O objetivo
principal desse trabalho é criar condições para que os alunos aprendam a fazer
modelos matemáticos de naturezas diversas, geométricos, algébricos ou numéricos,
aprimorando seus conhecimentos.
Espera-se com esta abordagem: incentivar a
pesquisa, desenvolver a habilidade em formular e resolver problemas, lidar com
temas de interesse dos alunos, aplicar conteúdo matemático e desenvolver a
criatividade.
O papel do professor, na perspectiva de Biembengut e Hein (2007), na
implementação da modelagem matemática é de suma importância, para orientar e
acompanhar os alunos no desenvolvimento do trabalho, principalmente no momento
da escolha do tema; utilizar estratégias que facilitem aos alunos a escolha de um
assunto abrangente, motivador e sobre o qual seja fácil obter dados ou informações.
Santos e Bisognin (2007) vêm na modelagem uma possibilidade para que
alunos percebam a importância da Matemática apresentada na escola, uma vez, que
ao usar a modelagem matemática, o professor tem nas mãos a chance de
transformar sua prática em algo que apresente motivação e interesse, desperte a
vontade de aprender, a participação e a colaboração, tenha aplicabilidade e
utilidade, exija a investigação e a pesquisa, reflexão e crítica.
As autoras destacam que professores de matemática precisam refletir sobre a
falta de situações de interesse, curiosidade, criatividade e motivação em suas aulas
e buscar criar ambientes que propiciem momentos de construção de conhecimento,
de descoberta, de troca de idéias, de produção de significados e de crítica, tratando
questões e assuntos do dia-a-dia, partindo do cotidiano do aluno.
Para Almeida e Ferruzzi (2009), a modelagem matemática se refere à busca
de uma representação matemática para um objeto que pode ser matemático ou não.
Tal visão é compartilhada por Almeida e Vertuan (2010) e Sousa e Almeida (2008).
Desta forma não restringem a abordagem de modelagem a situações externas à
matemática, podendo haver a modelagem a partir de situações dentro da própria
Matemática.
As autoras, Almeida e Ferruzzi (2009), vêm nas atividades de Modelagem
uma prática investigativa que considera a criatividade e a curiosidade dos alunos
como ferramentas que podem possibilitar a construção de seus conhecimentos
53
matemáticos. As atividades de Modelagem estão intimamente ligadas às
experiências cotidianas e os conhecimentos matemáticos suscitados por meio
dessas atividades se organizam em torno de experiências e abstrações dos alunos,
ao longo do processo. (ALMEIDA; VERTUAN, 2010).
Segundo Santos e Bisognin (2007), os alunos demonstram interesse pela
Matemática quando percebem sua aplicação no cotidiano. O ambiente favorável à
aprendizagem que se cria durante a aplicação de atividades de modelagem permite
que a Matemática deixe de ser uma disciplina de difícil aprendizagem. As autoras
apontam motivos para incluir a Modelagem no currículo escolar: motivação;
facilitação de aprendizagem; desenvolvimento de habilidades gerais de exploração.
A utilização da Modelagem nas aulas pode auxiliar de modo significativo para a
aprendizagem da Matemática. Porque além da motivação que o assunto pode gerar,
o aluno tem a oportunidade de perceber as diferentes facetas da Matemática, em
seu cotidiano percebendo sua importância. (FRANCHI, 2007).
Burak (2005) deixa transparecer em seus trabalhos a evolução de sua
concepção de modelagem. Inicialmente, via na modelagem matemática um modo de
trabalhar com a matemática visando superar o ensino que enfatizava a memória, as
regras, os algoritmos prontos em detrimento do pensamento matemático. A partir do
momento em que essa forma de ensinar elegeu o interesse do aluno como princípio,
se deu o rompimento com a forma usual de se tratar o processo de ensino da
Matemática nas escolas. Nesta fase de seus estudos, ainda inseguro, destaca que a
preocupação maior em seu trabalho era empregar, nas atividades de Modelagem, os
conteúdos matemáticos das séries nas quais trabalhava.
Com a evolução de seu trabalho e seu amadurecimento enquanto adepto da
Modelagem Matemática, Burak pôde perceber a Modelagem Matemática como uma
Metodologia de Ensino de Matemática, um conjunto de procedimentos que objetivam
deflagrar formas de se explicar matematicamente fenômenos presentes no cotidiano
do ser humano, podendo ajudá-lo a tomar decisões e fazer inferências; parte-se de
um tema de interesse de um grupo de pessoas e os dados coletados são retirados
dos locais de interesse dessas pessoas. (BURAK; BRANDI, 2010).
Para favorecer o processo de Modelagem Matemática em sala de aula, Burak
(2010) descreve etapas a serem seguidas, deixando claro que tais etapas não
devem ser tomadas de forma rígida e inquestionável: 1)Escolha do tema; 2)pesquisa
54
exploratória; 3)levantamento do(s) problema(s); 4)resolução do(s) problema(s) e o
desenvolvimento dos conteúdos no contexto do tema; 5)análise crítica da solução.
Burak (2010) enfatiza a necessidade de quem se propõem a abordar a
Matemática por meio da Modelagem de ter clareza da opção por essa abordagem e
não por outra. Toda prática educativa tem implícitas concepções de ensino e de
aprendizagem e não há garantias de que o simples uso de uma metodologia surtirá
os efeitos de aprendizagem esperados.
Para Barbosa (2001, 2004, 2007) a Modelagem Matemática pode ser vista
como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a investigar,
através da matemática, situações com referência em sua realidade. Sob o olhar
deste autor podemos pensar a sala de aula como um ambiente de modelagem
riquíssimo, associado à problematização e à investigação.
O autor associa a Modelagem ao modelo abstrato de um “guarda-chuva”,
“onde cabe quase tudo”. (BARBOSA, 2004, p.1). Não com a intenção de limitar e
criar fronteiras definidas de uma forma ou outra de modelagem, mas para atentar
aos que pretendem realizar atividades de modelagem que faz-se necessário ter
clareza sobre que concepção de modelagem será adotada, sob que perspectiva de
modelagem serão elaboradas e conduzidas as atividades a serem aplicadas aos
alunos.
As atividades de Modelagem podem ser vistas como oportunidades de
experimentação de papéis que a Matemática exerce na sociedade. Não devem ser
tomadas como “fins em si mesmas”, mas formas de se analisar a realidade. A
modelagem é uma das abordagens em educação matemática que favorece a
construção do conhecimento matemático pelo aluno, mas não é a única e nem
autossuficiente. (BARBOSA, 2001).
Enquanto ambiente de aprendizagem, a modelagem pode estimular os alunos
à investigação e à indagação de realidades, por meio da matemática. Realidades
que podem ou não estar diretamente relacionadas à Matemática. (BARBOSA, 2001;
SOUSA; ALMEIDA, 2008; ALMEIDA; FERRUZI, 2009; ALMEIDA; VERTUAN, 2010;
KATO et al, 2010).
Em ambientes de modelagem os alunos desenvolvem diversas atividades,
que preferencialmente são feitas em grupos. Nestes ambientes os alunos podem
realizar ações como: operações aritméticas, gerar equações, fazer desenhos, traçar
55
gráficos e, principalmente, produzir discursos. (BARBOSA, 2007). Diversos recursos
podem ser utilizados na sala de aula subsidiados pela modelagem, inclusive o uso
das Tecnologias de Comunicação e Informação. (BISPO; ARCANJO, 2010).
Barbosa (2001) destaca que no Brasil, as atividades de Modelagem estão
ligadas a trabalhos de projeto, nos quais os alunos são divididos em grupos e, sob a
orientação e acompanhamento do professor, investigam, por meio da Matemática,
temas que lhes pareçam interessantes. Associar Modelagem “exclusivamente” ao
trabalho com projetos, não é uma ideia que o autor acredita ser viável, pois limita os
trabalhos com Modelagem, visto que há outros tipos de atividades de Modelagem
que demandam menos tempo, são mais simples e podem ser consideradas.
Barbosa destaca diferentes possibilidades de configurar um currículo
lançando mão de atividades de Modelagem.
Ele classifica essas possibilidades
como casos:
Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com
as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado,
cabendo aos alunos o processo de resolução.
Caso 2. O professor traz para a sala um problema de outra área da
realidade, cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua
resolução.
Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem
problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e
simplificação das situações-problema. É via do trabalho de projetos.
(BARBOSA, 2001, p.8-9).
O autor concebe a aplicação de atividades de Modelagem diversas,
embasado em pesquisas nacionais e internacionais, como forma de adequação às
condições de cada sala de aula, de cada escola e da experiência e confiança de
cada professor, como caminhos para que professores e alunos tenham um ambiente
propício à aprendizagem. (BARBOSA, 2001).
Concordando com Barbosa, Kaiser e Sriraman (2006), também subsidiadas
por pesquisas nacionais e internacionais, afirmam não haver um entendimento
homogêneo de modelagem e suas bases epistemológicas. Com base nessas
pesquisas, destacam perspectivas de modelagem presentes nas produções
analisadas:
56
Modelagem realista ou aplicada: com objetivos pragmáticos-utilitaristas,
isto é: resolver problemas do mundo real, a compreensão do mundo real,
promoção e modelagem de competências;
Modelagem contextual: possui objetivos psicológicos relacionados ao
assunto, ou seja, resolvendo problemas do contexto do aluno.
Modelagem Educacional: dividida em:
a)Modelagem didática: com
objetivos pedagógicos relacionados à
estruturação e aprendizagem de processos;
b)Modelagem conceitual: com objetivos pedagógicos relacionados à
introdução e desenvolvimentos de conceitos.
Modelagem sócio-crítica: possui objetivos
pedagógicos como
compreensão crítica do mundo que nos rodeia;
Modelagem teórica ou epistemológica: com objetivos de teoria-orientada,
ou seja, a promoção e desenvolvimento da teoria. (KAISER; SRIRAMAN,
12
2006, p.304, tradução nossa ).
Estas perspectivas confirmam que não há uma forma específica e única de
se desenvolver atividades de Modelagem. Há uma gama de possibilidades que
podem ser exploradas. E argumentos favoráveis a sua implementação nas salas de
aula.
Destacamos cinco argumentos citados em pesquisas, que defendem a
inserção da Modelagem nos currículos escolares: a motivação, facilitação da
aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em outras áreas do
conhecimento, desenvolvimento de habilidades de exploração e investigação e
percepção e compreensão do papel social e cultural da Matemática. (BARBOSA,
2004; KATO et al, 2010). O uso da modelagem é justificado, mais uma vez, ao
favorecer a aprendizagem, não no sentido do conhecimento transmitido, mas sim
quando este conhecimento é reconstruído pelo estudante no espaço criado pela
atividade de modelagem, e quando assimilado por este é aplicado em uma situação
contextualizada. (FRANCHI, 2007).
Para Kfouri e D’Ambrósio (2006), a Modelagem Matemática representa a arte
de tornar uma situação do cotidiano, seja escrita ou falada, em linguagem corrente,
proposta pela realidade, para uma linguagem matemática simbólica, fazendo surgir
um modelo. No Ensino Básico favorece a atribuição de significados em sala de aula.
Além disso, a Modelagem:
12
Realistic or applied modelling: Pragmatic-utilitarian goals, i.e.: solving real world problems,
understanding of the real world, promotion of modeling competencies; Contextual modeling: Subjectrelated and psychological goals, i.e. solving word problems; Educational modelling; differentiated in
a)didactical modelling and b) conceptual modeling: Pedagogical and subject-related goals: a)
Structuring of learning processes and its promotion b) Concept introduction and development; Sociocritical modeling: Pedagogical goals such as critical understanding of the surrounding world;
Epistemological or theoretical modeling: Theory-oriented goals, i.e. promotion of theory
development.
57
ao inverter a seqüência normalmente utilizada no ensino tradicional da
Matemática – definição/exemplos/exercícios/aplicações, começando por
aplicações/problemas, oferece a oportunidade de implementarmos na sala
de aula, um ambiente de aprendizagem contextualizado e desenvolver de
forma mais significativa os conceitos matemáticos. (KFOURI; D’AMBRÓSIO,
2006, p.7).
A partir da análise dos textos dos autores mencionados, concordamos com
Anastácio (2010) que, independente da concepção e definição de modelagem
adotada pelo autor, existe a referência a um problema da realidade que poderá ser
solucionado mediante um processo de modelagem, que poderá ou não gerar um
modelo acerca desse problema. Para esta autora, o objetivo do conhecimento
matemático não é refletir nem a realidade nem o pensador em si, mas a realidade
representada pela interação entre os dois.
Contudo, a natureza aberta presente nas atividades de modelagem não
garante que alguns modelos matemáticos estarão presentes nas abordagens dos
alunos, no que concordamos com o ponto de vista de Barbosa (2001). Portanto,
para utilizar a modelagem para subsidiar o ensino da trigonometria adotamos a
perspectiva de modelagem educacional citada por Kaiser e Sriraman (2006), na qual
os exemplos do mundo real e suas associações com a Matemática tornam-se um
elemento central para a estruturação e o desenvolvimento do ensino e
aprendizagem em Matemática; e pautamos nosso trabalho adotando os casos 1 e 2
elaborados por Barbosa, como configurações de inserção de atividades de
modelagem no currículo escolar.
Concebemos em nosso trabalho a Modelagem inspirada na perspectiva de
Barbieri e Burak (2005), uma forma de trabalhar os conteúdos matemáticos,
possibilitando a construção de conceitos, buscando relações com o cotidiano,
aplicações, utilização e importância na vida dos alunos.
2.4.2 Modelagem e modelos matemáticos no ensino da Trigonometria
Podemos considerar um modelo uma representação simplificada de uma
realidade, que pode ser fruto da abstração dessa realidade.
58
Consideremos
como
alguns
autores
definem
modelos
e
modelos
matemáticos.
Levy e Epírito Santo (2007) descrevem o modelo como uma imagem mental
que se forma quando o intelecto humano tenta compreender e expressar de forma
intuitiva uma sensação, estabelecendo relações com algo já conhecido e elaborando
deduções e generalizações.
Para Franchi “um modelo matemático pode ser explicado como uma
representação abstrata de uma parte do mundo real, através de estruturas e
conceitos matemáticos”. (FRANCHI, 2007, p.181). Para a autora, o processo de
construção de modelos pode favorecer o desenvolvimento de habilidades como: a
observação, a exploração, a criatividade, a resolução de problemas. Além de
desenvolver a capacidade de buscar informações e analisar possibilidades de
utilização de recursos diversos, avaliar soluções, tomar decisões e analisar as
conseqüências das ações realizadas.
Para Cifuentes e Negrelli (2007), modelar uma realidade, sob uma
perspectiva epistemológica, é conhecer tal realidade através de um modelo ou
representação. Sob este olhar, o modelo pode ser entendido como uma forma de
enxergar a realidade, de perceber o seu sentido. Adequar empiricamente os
fenômenos estudados ao modelo representa um recurso epistemológico para a
compreensão do modelo e do fenômeno em si. Experiências matemáticas revelam
as estruturas íntimas dos objetos matemáticos e seu modo de geração, através da
manipulação de suas representações, e para que isso ocorra é necessário intuição
matemática.
Contudo, percebe-se uma atitude ainda presente na maioria das instituições
escolares: o ensino ainda se encontra vinculado à ideia de transmissão de
conhecimento pronto e acabado, de caráter utilitário. O modelo didático vigente em
sala de aula para as atividades de Matemática, nem sempre apresenta
considerações sobre o significado dos objetos matemáticos, não prevê atividades
em que estes conhecimentos possam ser reconstruídos pelos alunos e raramente
apresenta aplicações. (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009).
Na Educação Básica, o trabalho desenvolvido por meio da Modelagem,
dependendo da concepção que se adote, não prioriza a elaboração de modelos
definitivos e totalmente validados. Nesse nível de escolaridade, a maioria dos
59
conteúdos trabalhados faz uso de modelos prontos: funções, equações lineares,
formas geométricas, fórmulas e relações trigonométricas. Dependendo da
perspectiva de Modelagem adotada o modelo pode ser compreendido como uma
representação, que pode contemplar modelos além dos matemáticos, como: plantas
de casas, croquis, maquetes, listas de compras. E quando a intenção é expressar
uma situação nova, para qual não se tem um modelo definido ainda, aí sim, os
modelos podem ser priorizados e construídos. (BURAK, 2010).
Em Matemática percebemos a existência de vários modelos de uso
consagrado, em suas diversas áreas. Procuraremos discutir alguns modelos
clássicos do campo trigonométrico: Triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras,
razões trigonométricas no triângulo retângulo, círculo trigonométrico, funções seno e
cosseno, relações algébricas ou identidades fundamentais da Trigonometria.
2.4.2.1 Triângulo retângulo
Chamamos de triângulo retângulo todo triângulo que possui um ângulo reto,
ou seja, de 90°. Como “um triângulo não pode ter ma is que um ângulo reto ou
obtuso” (JUDICE, 2011, p. 3), os demais ângulos desse triângulo serão agudos. Os
lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais, podemos dizer que ele é
formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do
triângulo e é localizada, sempre, oposta ao ângulo reto.
Trata-se de um modelo geométrico presente em muitas construções como:
escadas, rampas, telhados, tesouras de sustentação de terraços etc. Estas
construções podem ser graficamente representadas por este modelo matemático,
que é uma abstração da realidade.
2.4.2.2 Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras pode ser enunciado da seguinte forma:
60
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados dos catetos pode ser assim representado
algebricamente.
Na forma algébrica a tese do teorema pode ser escrita como: a2 = b2 + c2
Onde a representa a medida da hipotenusa, b e c as medidas dos catetos.
Atribui-se a Pitágoras a primeira demonstração desse teorema, que por sinal,
leva seu nome. Mas há indícios de que esse teorema já era conhecido por
babilônicos, a mais de um milênio antes de sua primeira demonstração. Sua
importância na Trigonometria é inegável, inclusive, desse teorema deriva a relação
fundamental da Trigonometria. (COSTA, 2003; EVES, 2004).
2.4.2.3 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Desde a Antiguidade, os geômetras se preocuparam com a construção de
triângulos e com a resolução de problemas envolvendo essas figuras. [...]
Para tratar desses problemas foi criada a Trigonometria, da qual Hiparco foi
o grande pioneiro. Com a introdução das razões trigonométricas de um
ângulo, foram por ele desenvolvidos os fundamentos dessa disciplina.
(JUDICE, 2011, p.4-5).
De acordo com Moise e Downs (1971), dada uma correspondência entre dois
triângulos, se dois pares de ângulos desses triângulos são correspondentes e
congruentes, então esta correspondência representa uma semelhança entre
triângulos.
Tomando esse corolário como princípio e considerando dois triângulos
retângulos com um par de ângulos agudos congruentes, sabemos que os triângulos
em questão são semelhantes:
∆ABC ~ ∆DEF. Logo temos:
= =
A partir de tais relações, podemos estabelecer que :
61
=
=
=
Percebemos que estas razões
,
e
não dependem das dimensões do
triângulo; conhecida a medida do ângulo agudo , essas razões ficam determinadas.
Tais razões são chamadas razões trigonométricas.
Assim, num triângulo retângulo temos a hipotenusa a e ângulos agudos
agudos
, , opostos respectivamente aos catetos b e c, temos as definições:
cos =
= (cateto adjacente ÷ hipotenusa)
sen =
= (cateto oposto ÷ hipotenusa)
tg =
= (cateto oposto ÷ cateto adjacente)
Por analogia, podemos obter cos =
, sen
=
e tg =
.
C
a
b
A
c
B
Figura 9: Triângulo retângulo ABC
Fonte: Dados da pesquisa
Tais relações definem o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo
qualquer, visto que todos os ângulos de um triângulo retângulo, exceto o ângulo
reto, são agudos. (LIMA et al, 2006a). É importante perceber que, como também
afirmam Moise e Downs (1971), cos , sen e tg dependem única e exclusivamente
do ângulo agudo
e não do tamanho do triângulo retângulo ao qual pertence. Dois
triângulos retângulos quaisquer, que tenham um ângulo agudo igual a
semelhantes.
são
62
F
C
A
B
D
E
Figura 10: Triângulos retângulos semelhantes
Fonte: Dados da pesquisa
Se os dois triângulos dados são ABC e DEF com
=
e
=
, sendo
um
ângulo reto, temos dois triângulos retângulos semelhantes. Então a semelhança nos
auxilia a afirmar que:
=
=
=
sen = sen ; cos
então
= cos e tg = tg .
Concluem que o seno, o cosseno e a tangente estão relacionados ao ângulo
e não ao triângulo que os contém. Independente do tamanho do triângulo, mantida a
medida do ângulo, os valores de seno, cosseno e tangente continuarão os mesmos.
Essa afirmação é baseada no fato de que as razões trigonométricas no triângulo
retângulo fazem sentido graças à semelhança de todos os triângulos retângulos nos
quais um dos ângulos agudos é
, por isso essas razões são sempre as mesmas,
independentes do tamanho do triângulo. (LIMA et al, 2006b).
Conforme destacam Lima e colaboradores (2006a) “a semelhança de
triângulos é a base de sustentação da Trigonometria”. (LIMA et al, 2006a, p. 215).
Devido a isso, pensamos nossa proposta também fundamentada em seu início na
semelhança de triângulos.
Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo ABC, com
AB= c, AC= b e BC= a, percebemos que a seguinte relação se estabelece:
(cos )2 + (sen )2 =
+
=
=
=1,
Da situação exposta extraímos a relação fundamental: cos2 + sen2 = 1
Um
modelo
matemático
muito
útil,
do
qual
derivam
identidades
trigonométricas utilizadas, inclusive, em cálculo integral. (STEWART, 2008).
63
2.4.2.4 Círculo trigonométrico
Chamamos de círculo trigonométrico a circunferência orientada, de raio
unitário, tendo o sentido anti-horário como sentido positivo, com centro no ponto O
(0,0), origem do sistema cartesiano. O ponto A (1, 0), ponto de interseção entre a
circunferência e o eixo x é a origem de todos os arcos, do qual se parte, podendo
percorrer o círculo no sentido positivo ou negativo. (JUDICE, 2011).
Os eixos x e y dividem o círculo trigonométrico em quatro partes iguais: os
quadrantes.
(1,0)
O (0,0)
Figura 11: Círculo trigonométrico orientado
Fonte: Dados da pesquisa
Todos os pontos do plano podem ser representados por um par ordenado (x,
y) no sistema cartesiano. Numa circunferência orientada os pontos podem ser
representados da seguinte maneira: A (cosα, senα), em que o cosα representa a
abscissa (x) e o senα representa a ordenada (y) do ponto posicionado sobre a
circunferência.
2.4.2.5 Funções seno e cosseno
De acordo com Lima et al,
A Trigonometria teve seu início na antiguidade, quando se acreditava que
os planetas descreviam órbitas circulares em Terra, surgindo daí o interesse
em relacionar o comprimento da corda de uma circunferência com o ângulo
central por ela subtendido. [...] a origem da palavra seno vem de uma
tradução equivocada do árabe para o latim, em que confundiu-se o termo
jiba (corda) com jaib (dobra, cavidade, sinus em latim). (LIMA et al, 2006a,
p.213).
64
O papel inicial da Trigonometria estava associado com a resolução de
problemas que podiam ser relacionados a triângulos. Mas
Com a criação do Cálculo Infinitesimal, e da Análise Matemática, surgiu a
necessidade de atribuir às noções de seno e cosseno suas associadas
tangente, secante, cossecante, cotangente, o status de função real de uma
variável real. (LIMA et al, 2006a, p. 213).
Se observarmos a relação fundamental, percebemos que ela sugere que,
para todo ângulo α, os números cosα e senα são coordenadas de um ponto de uma
circunferência de raio 1 e centro na origem de ℝ2. (LIMA et al, 2006a).
Os autores indicam com a notação C essa circunferência, que chamam de
circunferência unitária, em que C = { (x,y)∈ ℝ; x2 + y2 = 1}.
Para definirmos as funções sen: ℝ→ℝ e cos:ℝ→ℝ, devemos associar a cada
número real p um ângulo e considerarmos o seno e o cosseno do referido ângulo. O
número p desempenhará o papel da medida do ângulo. (LIMA et al, 2006a).
Para estes autores, a maneira natural de definir as funções trigonométricas
tem como ponto de início a relação de Euler E: ℝ→C, que faz corresponder a cada
número real p o ponto E(p) = (x, y) da circunferência unitária, na qual as seguintes
condições são definidas:
a) E(1,0);
b) se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0),
um caminho de comprimento p, sempre seguindo no sentido positivo, ou
anti-horário. O ponto final do caminho será chamado E(p).
c) se t < 0, E(p) será a extremidade final de um caminho sobre C, de
comprimento |p|, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no
sentido negativo, ou horário.(LIMA et al, 2006a, p.218).
Podemos associar a função de Euler E: ℝ→C a um processo de enrolar a
reta, relacionada a um fio inextensível, sobre a circunferência C, como se fosse um
carretel.
As funções sen:ℝ→ℝ e cos:ℝ→ℝ, chamadas função seno e função cosseno
respectivamente, são definidas:
E(p) = (cos p, sen p), para cada p ∈ ℝ.
65
x = cos p e y = sen p são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto
E(p) da circunferência unitária, para qual vale a relação fundamental:
cos2 p + sen2 p = 1
Uma função f: ℝ→ℝ chama-se periódica quando existe um número P ≠ 0 de
modo que f(p + P) = f(p) para todo p ∈ℝ. Quando isso ocorre, temos f(p + kP) = f(t)
para todo p ∈ ℝ e todo k ∈ ℤ. O menor número P> 0 que estabelece f(p + P) = f(p)
para todo p ∈ℝ é chamado de período da função f. As funções seno e cosseno são
periódicas, de período 2π.
Podemos afirmar ainda, de acordo com os autores, que a função f: ℝ→ℝ é
par se tem f( – p )= f(p) para todo p ∈ℝ. E se tem f( – p) = – f(p) para todo p ∈ℝ, a
função é chamada ímpar. Sob tais perspectivas, podemos afirmar que seno é uma
função ímpar e cosseno é uma função par. (LIMA et al, 2006a).
2.4.2.6 Relações algébricas ou identidades fundamentais da Trigonometria
A partir das funções seno e cosseno derivam as outras funções
trigonométricas, que são expressas, algebricamente, sob a forma de relações
fundamentais: tgx =
, cotgx =
, secx =
e cossecx =
.
Considerando que tais funções são definidas por meio de quocientes, elas
têm domínios restritos aos números reais para os quais o denominador é diferente
de zero. (LIMA et al, 2006a).
Além das referidas funções, temos as identidades trigonométricas, que são
equações envolvendo funções trigonométricas, verdadeiras para todos os ângulos
para os quais os dois lados da equação estão definidos. (ANTON; BIVENS; DAVIS,
2007).
Uma das identidades mais importantes da Trigonometria, considerada como a
relação fundamental, é a relação de Euler. Deduzida a partir do Teorema de
Pitágoras, como já foi mencionado, é definida como:
66
cos2x + sen2x = 1.
Outras relações podem ainda ser definidas a partir da relação fundamental
envolvendo as definições de tangente, cotangente, secante e cossecante. Estas
relações são chamadas de decorrentes:
tg2x + 1 = sec2x
e
2
1+ cotg x = cossec2x
Mas, estas relações, não serão objeto de nosso estudo, visto que nosso foco
serão as relações fundamentais.
Apesar de não pretendermos explorar relações que não sejam as
fundamentais, ao final de nosso trabalho abordaremos algumas identidades,
consequências das identidades básicas, como forma de estimular a obtenção de
alguns modelos algébricos, a partir de outros, pelos alunos. No Quadro 11,
relacionamos os modelos que pretendemos abordar:
Fórmulas de adição
sen(x+ y) = senx.cosy + seny.cosx
cos(x + y) = cosx.cosy – senx.seny
Fórmulas dos ângulos duplos
sen(2x) = 2.senx.cosx
2
2
cos(2x) = cos (2x) – sen (2x)
2
cos(2x) = 2.cos x – 1
2
cos(2x) = 1 – 2.sen x
Fórmulas de subtração
sen(x – y) = senx.cosy – seny.cosx
cos(x – y) = cosx.cosy + senx.seny
Fórmulas do ângulo-metade
2
cos x =
2
sen x=
Quadro 11: Relação de identidades a serem abordadas no trabalho
Fonte: STEWART, 2008
Não pretendemos utilizar excessivamente essas identidades, para não
desmotivar nossos alunos, visto que o excesso de expressões algébricas distancia o
objeto matemático do entendimento dos alunos. (BASSANEZI, 2009). Mas não
pretendemos privá-los do contato com estes modelos importantes da Trigonometria.
No ensino-aprendizagem de trigonometria o que observamos, às vezes, é
uma grande preocupação com cálculos algébricos e pouco espaço para aplicações
da trigonometria em situações práticas. Embora os livros didáticos proponham
muitos problemas que exigem aplicações dos conhecimentos trigonométricos, os
alunos parecem demonstrar uma maior preocupação com os cálculos algébricos.
67
Esse fato pode decorrer do incentivo que, por vezes, os professores dão a esse
aspecto e não à resolução de problemas, ou ao fato de que estes problemas,
mesmo aplicados, se encontram longe da realidade dos estudantes.
Como destacado por Bassanezi,
a modelagem é eficiente a partir do momento que nos conscientiza que
estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade, que estamos
elaborando sobre representações de um sistema ou parte dele.
(BASSANEZI, 2009, p.24).
Contudo, o uso da modelagem propriamente dita, é citada em algumas
pesquisas como de difícil implementação em cursos regulares. Alguns obstáculos
citados são:
os alunos estão acostumados com o professor sendo o transmissor de
conhecimentos e, quando são colocados como o centro do processo de
ensino-aprendizagem, podem sentir-se incapazes e ficarem apáticos nas
aulas. Pode haver grande dificuldade inicialmente na proposição de
problemas, pois os alunos estão condicionados a receber tarefas prontas e
não a pensar ou questionar a realidade. (FERREIRA; WODEWOTZKI, 2007,
p.118;120).
Faltam aos profissionais, tempo e disponibilidade, tanto para acompanhar os
grupos de alunos – pois há, geralmente, um número excessivo de alunos em sala –
quanto para novos estudos, pesquisa e estratégias especiais, exigidos pelos temas
escolhidos pelos alunos, além do fato de que a escola possui um programa
curricular a ser cumprido, que não pode ser ignorado e certa dificuldade em conciliar
os conteúdos curriculares a projetos de Modelagem. (MIRANDA, 2009; DINIZ, 2010;
BURAK, 2005). Também identificamos:
falta de clareza em como trabalhar com a Modelagem em sala de aula sem
abrir mão dos conteúdos pré-estabelecidos no currículo; dúvidas com
relação à elaboração, condução e avaliação das atividades de Modelagem;
insegurança, pois as atividades de Modelagem ocorrem através de projetos
nos quais o professor é um agente participante e mediador de todo o
processo, o que se configura como um permanente desafio, tendo em vista
que o docente, muitas vezes, precisa reformular toda a sua prática para
atingir os objetivos traçados.(BORBA; MALHEIROS, 2007, p.201).
Considerando os pontos destacados até o momento, para a implementação
de uma proposta condizente a nosso nível de intimidade com a Modelagem e o que
pretendemos atingir, optamos em nosso trabalho por uma abordagem de
68
Modelagem que permitisse ao professor recriar com os alunos modelos já existentes
na Matemática, e, em nosso caso, em trigonometria. (BIEMBENGUT; HEIN, 2007).
Para Bassanezi (2009), a Modelagem na Educação, trata-se do uso da
modelagem como estratégia a ser usada para o ensino e aprendizagem de
Matemática em cursos regulares ou não, em que a validação do modelo pode não
ser uma etapa prioritária.
Mais importante que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise
crítica e sua inserção no contexto sócio-cultural. O fenômeno modelado
deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas
e conteúdos da própria matemática. As discussões sobre o tema escolhido
favorecem a preparação do estudante como elemento participativo da
sociedade em que vive. (BASSANEZI, 2009, p.38).
O autor destaca que a modelagem está voltada para a aprendizagem da
Matemática como ciência básica vinculada às suas aplicações ao “mundo real”.
Segundo Biembengut e Hein (2007), para utilizar a modelagem matemática
como metodologia de ensino-aprendizagem, favorecendo a pesquisa, a criação de
modelos e respeitando as regras educacionais vigentes, são necessárias
adaptações que tornem sua utilização possível.
Na modelagem em Educação Matemática, “o professor pode optar por
escolher determinados modelos matemáticos clássicos, fazendo sua recriação em
sala, juntamente com os alunos” (BIEMBENGUT; HEIN, 2007, p.29), de forma que
estes se apropriem de tais modelos e sejam capazes de recriá-los e aplicá-los na
resolução de problemas aplicados. Para implementar a modelagem em suas aulas,
o professor deve ser audacioso, ter o desejo e a coragem de modificar sua prática e
estar disposto a conhecer e aprender, pois essa proposta permite descobertas
significativas tanto para os alunos quanto para o professor. (BIEMBENGUT; HEIN,
2007).
Na perspectiva de Biembengut e Hein (2007), ao longo do desenvolvimento
da modelagem, os conteúdos matemáticos instrumentalizam os alunos para a
resolução dos problemas propostos.
O uso da modelagem no ensino de trigonometria pode ser uma oportunidade
de aproximar este conteúdo do “mundo real”, enfatizando o uso de modelos
matemáticos, que empregam a linguagem da álgebra e da geometria para descrever
e explicar situações com referência na realidade.
69
Pretendemos neste trabalho, utilizando a modelagem, permitir a nossos
alunos que se apropriem de modelos matemáticos trigonométricos clássicos, que
atribuam a estes modelos abstratos significado e os utilizem na resolução de
problemas com referência na realidade.
No entanto, devemos lembrar que a elaboração e o uso de modelos
dependem do conhecimento matemático que possuímos. “Não se constrói um
modelo matemático sem saber matemática” (HEIN; BIEMBENGUT, 2007, p. 46).
Quanto maiores forem estes conhecimentos, maiores serão as possibilidades na
resolução de problemas mais complexos e mais elaborados serão os modelos
originados no processo. (BIEMBENGUT; HEIN, 2007).
Nesse sentido concordamos que:
É necessário que usemos “melhor” os modelos matemáticos em nossas
aulas, ao invés de utilizá-los da maneira como eles vêm sendo usados:
onde os modelos são “dados” ao aluno de forma “pronta e acabada”, sem
vida, sem história, sem motivação. É preciso “reconstruí-los” em sala de
aula, não estamos falando em “dedução de fórmulas”, mas de recriação de
ambientes necessários a mostrar que um modelo matemático é muito mais
que uma simples fórmula “congelada” no tempo: é uma criação humana.
(SOUZA, 2010, p.3).
Com relação aos conhecimentos trigonométricos, é preciso que o aluno saiba
transitar desde o Teorema de Pitágoras, das razões trigonométricas no triângulo
retângulo até interpretações no ciclo trigonométrico. Os vários modelos matemáticos
podem então ser compreendidos de forma integrada: noções estudadas no Ensino
Fundamental são retomadas e ampliadas no Ensino Médio, utilizando as diversas
formas de representação em matemática.
Definidas nossas concepções de modelo e modelagem, discorreremos acerca
do papel da tecnologia no estudo e aprendizagem em trigonometria.
2.5 A tecnologia no ensino da trigonometria
Uma das dificuldades para o ensino da trigonometria está na interpretação e
relação de suas várias representações: geométrica, algébrica, no triângulo
retângulo, no círculo trigonométrico e no plano cartesiano. Em um ambiente
tradicional, que se baseia no uso de quadro e giz, relacionar estas múltiplas
70
interpretações não é tarefa fácil, sem mencionar que, por vezes, pode gerar uma
visão fragmentada dos conceitos trigonométricos.
Como afirmam Gravina e Santarosa:
O mundo físico é rico em objetos concretos para o inicio da aprendizagem
em Matemática, no geral de caráter espontâneo. Mas se o objetivo é a
construção de conceitos mais complexos, e abstratos, estes não têm
suporte materializado, entrando em jogo a “concretização mental”, que nem
sempre é simples, mesmo para o matemático profissional. (GRAVINA;
SANTAROSA, 1998, p.8).
O nível de abstração necessário na aprendizagem em trigonometria,
principalmente ao sairmos do ambiente do triângulo retângulo, exige novas
abordagens, que sejam capazes de relacionar as diversas representações e
permitam tornar concretas e visíveis as propriedades dos objetos com os quais
trabalhamos, de forma a permitir a construção sólida dos conceitos trigonométricos
(SILVA; FROTA, 2010b).
O uso de recursos tecnológicos tem se mostrado uma das possíveis
abordagens; primeiro pela motivação que o uso de computadores promove, já que
os alunos o manipulam de várias formas, fora do ambiente escolar; segundo, pela
praticidade e agilidade em disponibilizar resultados para as tarefas propostas.
(SILVA; FROTA, 2010b).
E, de acordo com Bezerra (2010), como a Matemática é uma ciência viva que
permite a construção de seu conhecimento, a utilização de tecnologias
computacionais torna-se uma possibilidade de mediação e interação entre alunos, e
por vezes os próprios professores, e o conteúdo a ser abordado. Permite aos alunos
simular, visualizar, experimentar e manusear com maior participação e motivação
das atividades com este apelo, que no modo tradicional com papel e lápis.
Blackett e Tall (1991) afirmam que uma abordagem computacional, permite
que o aluno manipule a imagem de um objeto matemático de forma dinâmica,
visualize as mudanças que ocorrem e as relacionem com os conceitos numéricos
correspondentes, o que amplia sua compreensão. Enquanto o computador se
encarrega da construção do objeto, o aluno pode se concentrar nas relações
específicas presentes no objeto matemático. Os autores acreditam que esta
possibilidade representa um forte princípio educacional para o uso dessa nova
tecnologia. Corroborando estas idéias, Pietrobon, Costa e Souza (2010), Franchi
71
(2007) e Della Nina (2007), afirmam que os instrumentos tecnológicos, utilizados
como recursos didáticos em atividades da sala de aula, permitem ao aluno a
liberdade em não consumir seu tempo em procedimentos que não contribuam para
seu real desenvolvimento, utilizando-o para compreender propriedades e conceitos.
Mesmo que o objeto físico exista e haja a possibilidade de sua manipulação
concreta, transpô-lo para o ambiente computacional, também apresenta vantagens,
pois este ambiente permite a realização de vários experimentos em pouco tempo, o
que pode não ser possível com a manipulação concreta. As ações favorecem a
investigação e a abstração, e a construção de conceitos e relações, por
consequência. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998).
Ao utilizar o computador em sala de aula vemos que ele possibilita a
realização de diferentes tipos de atividades: permite realizar simulações, manipular
figuras, visualizar padrões e resultados em tempo reduzido. Em exercícios que
exijam construções de gráficos, que de modo usual demandariam muito tempo, ele
permite visualizações rápidas e múltiplas, em cores diferentes, a partir das quais,
podem-se destacar propriedades, elaborar conjecturas, fazer inferências. Além
disso, conforme afirma Costa (1997), o uso do computador pode permitir ao aluno,
ter contato, ao mesmo tempo com várias formas de representação do mesmo
conceito trigonométrico, permitindo-lhe se apropriar do conceito de forma ampla,
podendo relacionar suas propriedades nas diversas representações.
O computador deixou de ser apenas uma ferramenta de cálculo,
representando hoje um instrumento que permite a comunicação e a interação entre
as pessoas e das pessoas com objetos de aprendizagem disponibilizados. A Internet
e sua constante exploração representam possibilidades de interação entre pessoas
distantes geograficamente, mas próximas em objetos de estudo. Introduzir esta
ferramenta em nossas salas de aula pode abrir possibilidades para que nossos
alunos façam parte desse processo de interação. (ISOTANI; SAHARA; BRANDÃO,
2003). Podemos abrir espaço para o desconhecido, é verdade; mas, em
contrapartida, podemos nos abrir para o amplo, rico e diferente. (SILVA, 2010).
O uso de abordagens que relacionem as diversas representações
trigonométricas possibilita um conhecimento profundo e abrangente acerca de seus
significados. Um ambiente computacional pode favorecer esse tipo de abordagem, à
72
medida que permite a visualização e a vinculação de diversas representações, de
uma maneira dinâmica e simultânea. (BORBA; PENTEADO, 2001).
O uso do computador propicia a articulação entre as diversas formas de
representação matemática: as expressões algébricas, os gráficos, as tabelas, não
com a intenção de privilegiar uma ou outra representação, mas de mostrar as
relações e conexões existentes entre elas. Traz a visualização para o centro da
aprendizagem em matemática e enfatiza a experimentação. As novas mídias
permitem ao aluno experimentar e explorar o conceito ao máximo, extraindo das
atividades elaboradas com o uso da tecnologia o maior número de informações, o
que lhes estimulará a formular conjecturas e relacionar as várias representações do
mesmo conceito, destacando novos aspectos que, até então, não eram evidentes.
Torna mais fáceis as conexões entre representações, flexibiliza as investigações e
permite que os envolvidos desenvolvam novas formas de resolver um problema.
(BORBA; PENTEADO, 2001, 2003).
Vale ressaltar que, optar pelo uso da tecnologia informática em sala de aula,
não representa obrigatoriamente abandonar outras metodologias de ensino.
Devemos avaliar nossos objetivos de ensino e optar por mídias que atendam a
nossos
propósitos.
(BORBA;
PENTEADO,
2001).
Os
diferentes
recursos
pedagógicos existentes, bem como, as diversas formas de lançar mão do
computador na educação, não são mutuamente excludentes, vão continuar
coexistindo. Cada instrumento tem características próprias, com pontos positivos e
negativos. Existem para serem usadas em situações de ensino e aprendizagem aos
quais se adéquem melhor e beneficiem um número maior de estudantes.
(VALENTE, 1999).
Dentre as várias formas de se utilizar recursos computacionais com
finalidades de ensino, os softwares de Geometria dinâmica apresentam grandes
possibilidades ao ensino, particularmente, da matemática. Como afirmam Richit e
Maltempi (2010), a dinamicidade apresentada por estas ferramentas, favorece
experimentações em matemática. Oferecem ao aluno possibilidades de interagir
com as formas geométricas, preservando suas propriedades auxiliando-o a observar
relações entre objetos matemáticos. (SANTOS, 2008).
Os softwares de Geometria Dinâmica, segundo Oliveira, Costa e Moreira
(2001), são softwares educativos, elaborados com o objetivo de favorecer processos
73
de ensino-aprendizagem. De acordo com estes autores, o que diferencia este tipo de
software de softwares aplicativos comuns é o fato de serem desenvolvidos com uma
intencionalidade: ajudar o aluno a construir determinado conhecimento acerca de um
conteúdo didático. Este tipo de software instrumentaliza o professor e age como
ferramenta, auxiliando o professor a cumprir seu papel de ajudar o aluno a construir
seu conhecimento de forma ativa.
Os softwares educativos, de acordo com nomenclatura proposta por Valente
(1999) podem ser: tutoriais, exercício e prática, jogos educacionais e simulação.
Devido às particularidades de cada um e os objetivos da presente pesquisa,
enquadramos nossa abordagem junto a softwares educacionais de simulação, pois
estes utilizam, ainda sob a perspectiva de Valente (1999), a pedagogia da
exploração autodirigida e não a instrução direta.
“O software de simulação engloba a criação de modelos dinâmicos e
simplificados do mundo real” (VALENTE, 1999, p.11), esta simulação oferece ao
aluno a possibilidade de criar hipóteses e testá-las, observar resultados,
propriedades, construir e se apropriar de conceitos. De acordo com o nível de
intervenção do aluno no processo simulado, software e computador agem como
ferramentas de ensino e de aprendizagem.
Contamos com uma série de softwares dinâmicos que podem facilitar o
desenvolvimento de um trabalho integrado entre as várias formas representativas
dos modelos trigonométricos. Temos o Cabri Géomètre, Geogebra, Thales,
Descartes, Régua e Compasso, Geometricks, Lemat, entre outros, que permitem ao
aluno movimentar objetos, visualizar as modificações ocorridas e compreender as
relações estabelecidas, influenciando o processo de aprendizagem.
Alguns softwares, como o Cabri Géomètre, podem ser comprados, outros,
como o Geogebra e o Thales, podem ser conseguidos gratuitamente, pela Internet.
Todos podem ser instalados em computadores pessoais e utilizados por alunos e
professores.
Apesar das facilidades em adquirir e instalar esses programas, podemos nos
deparar com empecilhos técnicos como, por exemplo, os sistemas operacionais
instalados nos computadores, que não necessariamente permitem a instalação de
programas externos. Mesmo assim, é possível o uso de recursos computacionais
dinâmicos. Podemos utilizar os applets, pequenos aplicativos dinâmicos, escritos em
74
linguagem Java, executáveis e embutidos em páginas da web, que são
disponibilizados prontos. Podemos fazer uso de applets caso não seja possível a
instalação de um software, ainda que livre.
Em matemática, os applets permitem investigar, levantar hipóteses, testar
conjecturas e auxiliar na construção de conhecimentos. (BARCELOS, 2009). Mas,
sua principal característica e atrativo estão no fato de não precisarem ser instalados
nos computadores onde serão utilizados. Esta vantagem é decorrência da
linguagem Java, que possibilita sua execução em qualquer computador que possua,
instalado, o ambiente Java; o que, atualmente, representa a maioria dos
computadores, com sistema operacional livre Linux ou Windows. De modo particular
os computadores disponibilizados pelos governos Estaduais, cujo sistema
operacional é o Linux, também podem executar applets. (SILVA; FROTA, 2010b).
Segundo Pedroso (2008) e Macêdo (2009), os applets representam uma
forma inovadora de abordar conteúdos nos quais as demonstrações práticas tornamse inviáveis. Permitem adequar o trabalho em sala de aula às necessidades
apresentadas pelos alunos, face aos apelos do ambiente tecnológico em que vivem.
Por meio de simulações virtuais, eles atraem a atenção dos alunos em decorrência
do movimento, das cores, da possibilidade de interação e de interferir no resultado
por meio da manipulação. Oferecem inúmeras possibilidades no campo da
aprendizagem,
pois,
como
Lopes
e
Feitosa
(2009)
afirmam,
possibilitam
“materializar” e visualizar conhecimentos e falas abstratas, expostos durante as
aulas. (SILVA; FROTA, 2010b).
Os applets podem ser utilizados em atividades de investigação, em que um
modelo pronto é apresentado ao aluno, para que seja explorado, entendido e
analisado, representando um desafio intelectual para compreender as ideias
intrínsecas a ele. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998).
Barcelos (2009) afirma que em matemática os applets possibilitam
investigações, levantamento de hipóteses, teste de conjecturas, construção de
conhecimento. Complementando essa afirmação, Santos (2008), menciona que a
utilização dos applets permite investigações e experimentações através da
manipulação dessa ferramenta tecnológica, o que possibilita a visualização de
padrões, verificação de propriedades, estabelecimento de conjecturas e a
construção de conceitos de forma ampla e consistente.
75
Os applets, quando usados no ensino de matemática, podem ser chamados
de “mathlets”, como nas produções de Santos (2008), Santos, Paixão e Pereira
(2007) e Marinho et al (2010). Santos (2008), em sua pesquisa descreve: “Mathlets
fazem parte de uma aplicação da Internet desenvolvida com o objetivo específico de
fazer uso da tecnologia disponível para ensinar Matemática de forma interativa.”
(SANTOS, 2008, p.15). E acrescenta que a grande vantagem atribuída aos mathlets
reside na possibilidade de interatividade e a seu caráter independente, pois não
necessitam estar associados a nada, além de um navegador da web.
No ensino da trigonometria, os applets mostram-se instrumentos valiosos,
principalmente na transição do círculo para o plano cartesiano. A manipulação
dessas ferramentas permite acompanhar a transição e identificar as propriedades,
variando-se as formas de representação dos conceitos. O uso dos applets
representa uma alternativa para o professor interessado em utilizar recursos
tecnológicos em salas de informática que não permitam a instalação de softwares,
por limitações, por exemplo, do sistema operacional usado, como é o caso da
presente pesquisa. (SILVA; FROTA, 2010b).
A fim de atingirmos os objetivos propostos no início deste trabalho optamos
por utilizar, em algumas das atividades da sequência didática que elaboramos,
applets dinâmicos desenvolvidos com o uso do software de Geometria Dinâmica
Geogebra e um extraído de uma página na Internet.
Nossa opção pelo Geogebra justifica-se, concordando com Amorim e Sousa
(2010), porque, além de ser um software livre e de Geometria Dinâmica, podendo
ser “baixado” via Internet, professor e aluno não precisam ter conhecimentos de
programação para utilizá-lo. É prático e de fácil utilização, permitindo a visualização
para melhor entendimento dos conceitos e possibilitando a articulação entre os
aspectos algébricos, geométricos e gráficos dos conceitos trigonométricos. Permite a
manipulação dos objetos geométricos sem alterar suas propriedades. (FERREIRA;
CARVALHO; BECKER, 2010).
Também são oferecidos por este software: interface simples, permitindo
exploração e manipulação rápida dos objetos; menu de ajuda; medição de ângulos ,
distâncias;
construção
possibilidades.
de
retas
paralelas,
perpendiculares,
dentre
outras
76
Ainda de acordo com Ferreira, Carvalho e Becker (2010), o recurso de
planilha eletrônica oferecido pelo Geogebra, permite que este aplicativo gere applets
com arquivos de extensão HTML, podendo ser aberto em computadores que não
tenham o Geogebra instalado, bastando ter um navegador web com plug in Java
instalado.
Mas, deve-se ressaltar que o simples uso dos applets ou dos computadores
na escola não garante a aprendizagem ou a melhoria da qualidade do ensino.
Mudanças no processo educacional não são obtidas simplesmente usando
softwares e computadores, faz-se necessário ter objetivos claros de cada etapa de
seu uso com os alunos. Deve-se permitir que esses possam manipular, desenvolver
proposições e tirar conclusões por meio das atividades realizadas. É preciso que os
professores saibam ensinar usando as tecnologias. (LOPES; FEITOSA, 2009;
FERREIRA; CARVALHO; BECKER, 2010).
Colocar os applets nas mãos dos alunos não garantirá que eles aprendam o
que quer que seja, da mesma forma que a simples introdução de material concreto e
manipulável não garante a melhoria na aprendizagem de geometria plana ou
espacial. Cada material pedagógico, concreto ou tecnológico, é elaborado a partir de
uma proposta pedagógica e, como Fiorentini e Miorim (1990) ressaltam, faz-se
necessário uma profunda reflexão sobre o que se quer atingir com o uso de cada um
deles antes de utilizá-los, a fim de se aproveitar suas potencialidades e obter
resultados positivos de sua aplicação. (SILVA; FROTA, 2010b).
O uso das Tecnologias de Comunicação e Informação (TICs) em Matemática
é estimulado, inclusive, no documento dos PCNEM (BRASIL, 1999), que menciona a
necessidade de uma reflexão acerca da relação entre Matemática e tecnologias,
dadas as possibilidades oferecidas pela tecnologia e as necessidades impostas pela
vida moderna à Matemática:
Como afirma Almeida (2011), incorporar as TICs na escola, não é tarefa fácil,
é preciso ousar, transpor desafios, articular saberes e ter a vontade de fazê-lo, pois:
Inserir-se na sociedade da informação não quer dizer apenas ter acesso à
tecnologia de informação e comunicação (TIC), mas principalmente saber
utilizar essa tecnologia para a busca e a seleção de informações que
permita a cada pessoa resolver os problemas do cotidiano, compreender o
mundo e atuar na transformação de seu contexto. (ALMEIDA, 2011, p.1).
77
O computador é uma ferramenta educacional, na medida em que
complementa , aperfeiçoa e age na melhoria da qualidade do ensino. Este novo
papel desempenhado é devido a mudanças tanto nas condições de vida dos alunos
quanto na natureza do conhecimento. (VALENTE, 1999).
O recurso computacional é um instrumento importante no estudo, pois permite
a visualização e descoberta de propriedades, mas não pode ser tomado como uma
verdade absoluta. Como todo instrumento, pode apresentar falhas que podem
induzir ao erro, por isso temos que ter o cuidado ao utilizar tal ferramenta, para não
criarmos obstáculos à aprendizagem dos alunos. Como afirma Carneiro (2005,
p.114): “O professor não pode se iludir sobre o alcance da tecnologia”, precisa estar
atento a suas limitações, não apenas a suas potencialidades.
O aparato tecnológico “por si só não cria a melhor situação de aprendizagem”
(VALENTE, 1999, p.12) nem substitui a capacidade humana de abstração.
(FERREIRA; CARVALHO; BECKER, 2010).
É mais um recurso que pode ser
integrado ao projeto pedagógico das escolas, como auxiliar na mediação do
processo educativo, utilizado pelos professores. Mas de forma alguma dispensa a
figura do professor. (OLIVEIRA; COSTA; MOREIRA, 2001). O professor, como
sujeito condutor do ato pedagógico, é quem deve organizar as situações que
propiciem a aprendizagem. (AIMI, 2010).
E o professor deve estar disposto e preparado para este processo de
mudança pelo qual ele passa e, juntamente com o aluno, ser um aprendiz.
Compartilhando as descobertas e angústias durante o processo. (DELLA NINA,
2007).
Pensando em nosso papel e compromisso com o ato de educar, propomos o
presente trabalho, com o intuito de que ele possa ajudar alunos e professores no
ensino de trigonometria, possibilitando que, entre outras, vivenciem experiências de
uso de material concreto, experiências de modelação com lápis e papel e
experiências de manipulação de alguns applets.
78
3 METODOLOGIA
Neste capítulo apresentamos a metodologia que fundamentou a estruturação
da pesquisa. Escrevemos as etapas da Engenharia Didática, metodologia na qual o
trabalho se inspirou, destacando como essas etapas acontecem na pesquisa.
3.1 A Engenharia Didática associada a uma abordagem de Trigonometria
Uma abordagem de ensino envolvendo modelagem e diferentes tecnologias
de comunicação e informação pode contribuir para a aprendizagem da trigonometria
no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico?
Para investigar esta questão, desenvolvemos uma sequência didática,
utilizando atividades investigativas que demandam a modelação, com apoio eventual
de recursos computacionais.
O foco foi a trigonometria no triângulo retângulo e sua conexão com as
funções seno e cosseno no círculo trigonométrico.
Pretendemos analisar a
possibilidade de utilizar softwares de geometria dinâmica como ferramentas
auxiliares para institucionalizar a transição do triângulo retângulo para o círculo
trigonométrico e desse para o plano cartesiano analisando as variações ocorridas
nas funções seno e cosseno.
A abordagem por nós escolhida foi qualitativa, inspirada na Engenharia
Didática, proposta por Artigue (1988, 1996) e apresentada por Pais (2002), Machado
(1999), Almouloud e Coutinho (2008). A metodologia direcionou a pesquisa, que foi
desenvolvida em quatro etapas: análises prévias; concepções e análise a priori de
experiências didático-pedagógicas; implementação das experiências; análise a
posteriori e validação da experiência. (CARNEIRO, 2008).
O termo Engenharia Didática se aplica a um trabalho didático que é
comparável ao trabalho de um engenheiro; para desenvolver um projeto, apóia-se
sobre conhecimentos científicos que domine, mas lida com objetos mais complexos
que os explicados pela ciência e os enfrenta com os meios de que dispõe.
(ARTIGUE, 1988, 1996).
79
De acordo com Machado (1999), a Engenharia Didática é uma das vertentes
da Didática Matemática, que apresenta duas funções: ser um produto de uma
análise a priori e uma produção para o ensino. Pode ser “vista como referencial para
o desenvolvimento de produtos para o ensino gerados na junção do conhecimento
prático com o conhecimento teórico.” (CARNEIRO, 2005, p.90).
Almouloud e Coutinho (2008) caracterizam a Engenharia Didática, enquanto
metodologia de pesquisa, como uma pesquisa experimental baseada em atividades
didáticas em sala de aula, desde a concepção, realização, observação e análise das
“sessões de ensino”, até o confronto entre a análise a priori e a posteriori.
A Engenharia Didática pode ser classificada em dois níveis: microengenharia
e macroengenharia.
A microengenharia envolve pesquisas locais, que têm como objetos de estudo
um determinado assunto, abordado em um determinado local, levando em conta as
ocorrências de uma sala de aula específica. Em nossa pesquisa abordamos o
assunto trigonometria sob o recorte de uma realidade específica: nossa sala de aula,
no interior de Minas Gerais, buscando desenvolver uma microengenharia.
A macroengenharia é mais abrangente, permite analisar a complexidade das
microengenharias e as associar às relações de ensino e aprendizagem globais, com
as dificuldades metodológicas e institucionais que apresentam. Relacionando à
nossa pesquisa, uma macroengenharia associaria nosso estudo a estudos
desenvolvidos em outras instituições e seus efeitos a longo prazo, por exemplo, não
sendo objeto do nosso trabalho.
Na descrição de nossa pesquisa consideramos as etapas: análises prévias;
concepções e análise a priori de experiências didático-pedagógicas; implementação
das experiências; análise a posteriori e validação da experiência. (CARNEIRO,
2008).
As análises prévias ou preliminares, de acordo com Pais (2002), representam
a fase na qual fazemos o levantamento de observações a partir de nossas
experiências docentes, destacando as crenças dos envolvidos e a realidade onde a
experiência será realizada.
Tais análises são feitas por meio de considerações acerca de: quadros
teórico-didáticos; conhecimentos didáticos pré-estabelecidos e o assunto a ser
abordado. Outros aspectos a serem analisados são, por exemplo: a análise
80
epistemológica dos conteúdos, análises do ensino atual, da concepção dos alunos,
das dificuldades e obstáculos apresentados, dos entraves para a implementação
didática. (MACHADO, 1999).
Carneiro (2005) coloca que nas análises prévias, buscamos os motivos para
se manter ou não o ensino usual, enumerando pontos que dificultam ou propiciam a
mudança, direcionando o trabalho de forma a atingir um novo nível de ensino, mais
satisfatório que o anterior.
Na pesquisa conduzida, na fase de análises prévias, investigamos como o
tema trigonometria é abordado nos livros didáticos e as pesquisas desenvolvidas
sobre o ensino desse conteúdo (Capítulo 2), a realidade da escola e dos alunos, as
dificuldades e potencialidades existentes no ambiente escolar, o número de alunos e
de aulas disponíveis para o ensino do conteúdo de trigonometria (Capítulo 3).
Os estudos teóricos que fizemos permitiram identificar dificuldades no ensino
e aprendizagem de trigonometria, que podem ser agrupadas em três tipos, de
acordo com as dimensões destacadas por Artigue (1996):
a)epistemológico: o estudo da trigonometria desenvolveu-se, desde o mundo
antigo, a partir das necessidades dos povos, seja na Navegação, Agrimensura,
Astronomia, construções, etc. Ao longo de sua evolução, tornou-se independente de
seu caráter prático original, tornando-se parte da Análise Matemática. (COSTA,
2003). Devido à transposição desse conhecimento construído pela humanidade em
conhecimento escolar, mudanças foram necessárias. Inclusive para que este
conhecimento fosse abordado em livros didáticos. Estas modificações, por vezes,
fragmentaram a trigonometria, separando suas vertentes algébrica, geométrica e
numérica, não permitindo que os alunos visualizassem suas conexões e
compreendessem os conceitos por inteiro; afastando-o, também, de seu caráter
prático original, com referências na realidade.
b)cognitivo: a forma usual de abordar a trigonometria demanda menos tempo
por parte do professor, o que pode ser cômodo e usual , mas que pode acarretar
uma formalização precoce e memorização sem significação dos conceitos. (BRITO;
MOREY, 2004).
A segunda fase da Engenharia Didática - concepções e análises a priori de
experiências didático-pedagógicas - consiste em definir certo número de variáveis de
81
comando do sistema de ensino, que acreditamos interferir no fenômeno estudado.
(PAIS, 2002).
Artigue (1988, 1996) diferencia as variáveis de comando em dois grupos: a)
macrodidáticas ou globais: que se referem à organização global da engenharia; b)
microdidáticas ou locais: que se referem à organização específica de uma sessão da
sequência didática.
A partir de uma visão global, procuramos estabelecer os objetivos gerais da
sequência didática a ser elaborada:
a) Motivar os alunos, por meio de atividades com referência na realidade,
de modo que eles próprios descubram as propriedades trigonométricas
presentes nas situações.
b) Ressignificar com os alunos, através da modelação, modelos
trigonométricos
Pitágoras,
já
razões
existentes:
triângulo
trigonométricas,
retângulo,
relação
de
Teorema
Euler,
de
círculo
trigonométrico, gráfico das funções trigonométricas.
c) Propiciar aos alunos situações em que eles atribuam significado ao
conteúdo trigonométrico, seja com o uso de material concreto ou
utilizando applets de geometria dinâmica;
A partir dessa perspectiva global, elaboramos as atividades integrantes de
nossa sequência didática na qual incidem as variáveis locais. As variáveis locais se
articulam com o que esperamos dos alunos. Nesse sentido levantamos algumas
hipóteses que poderão ser confrontadas com os resultados finais, auxiliando na
validação da engenharia. (CARNEIRO, 2005).
Nossas hipóteses estão abaixo relacionadas:
a) uma abordagem a partir de medidas, observando construções da cidade,
medindo, usando material manipulável e recursos computacionais pode
manter a motivação e estimular o empenho em desenvolver as tarefas;
b) a ordem estabelecida para a apresentação e aplicação das atividades a
partir de situações muitas delas com referência na realidade, pode facilitar
o entendimento de conceitos trigonométricos;
c) o uso de recursos computacionais pode favorecer a visualização e facilitar
a identificação de propriedades trigonométricas, permitindo que os alunos
estabeleçam relações entre os vários conceitos;
82
d) partir de casos particulares para investigar possibilidades de generalizar
ideias pode ser uma estratégia didática para compreender os processos
de formalização das mesmas.
Na fase de concepções e análise a priori, em nosso trabalho, elaboramos a
sequência de atividades, estabelecendo os objetivos pretendidos, assim como os
resultados esperados. Ainda como parte das análises a priori, mas surgindo
posteriormente ao início da elaboração da sequência de atividades, uma Feira de
Matemática foi proposta. Achamos interessante agregá-la a nosso trabalho,
aproveitando o projeto da escola participante e colaboradora da pesquisa, como
outro instrumento de validação da sequência proposta.
Para auxiliar os alunos a desenvolver habilidades e fazê-los capazes de
encontrarem por si próprios, respostas às perguntas que necessitem responder, sem
esperarem respostas prontas do professor ou do livro, faz-se necessário,
investimentos em uma Matemática aplicada e contextualizada e em metodologias
que os habituem a utilizar conhecimentos prévios para solucionar as situações
problema. (KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006).
Na implementação das experiências (Capítulo 4), temos a realização da
engenharia, com o grupo de alunos escolhido. Ela se inicia a partir do primeiro
contato entre professor/pesquisador e grupo de alunos-objeto de investigação.
(MACHADO, 1999).
Esta etapa da engenharia prevê: a explicação dos objetivos e condições em
que a pesquisa será realizada, apresentar os alunos que dela participarão; aplicação
das atividades, instrumentos da pesquisa; registro das observações feitas durante a
pesquisa. (MACHADO, 1999).
É durante esta fase que se dá a coleta e organização do “corpus” da
pesquisa, composto por: produções dos alunos, fotos, registros de observações
feitas ao longo do experimento, registros de questionamentos, dúvidas, descobertas,
ocorridos durante as atividades. (CARNEIRO, 2005).
Nesta fase, colocamos em funcionamento todo o dispositivo montado,
podendo corrigi-lo, caso isso se faça necessário. O que implica em um retorno às
análises a priori, para uma complementação. Esta etapa é seguida por uma análise
a posteriori, apoiada nos dados recolhidos durante o experimento. (ALMOULOUD;
COUTINHO, 2008).
83
Na fase de implementação das experiências, levamos em conta o número de
aulas disponíveis para o ensino de trigonometria e aplicamos a sequência de
atividades em 18 aulas de 40 minutos no turno normal de aulas e em quatro aulas
extraturno na sala de informática.
A última fase da engenharia compreende a análise a posteriori e a validação
da experiência, o que, de acordo com Machado (1999), se apóia nas informações
coletadas durante a aplicação do experimento. Tratam-se os dados pertinentes à
análise a posteriori. Complementando Machado (1999), Almouloud e Coutinho
(2008), consideram as análises a posteriori como um conjunto de resultados
provenientes da exploração dos dados obtidos e que podem contribuir para a
melhoria dos conhecimentos didáticos conhecidos.
Na análise à posteriori estabelecemos o confronto entre os dados obtidos e os
objetivos pretendidos estabelecidos quando desenhamos a sequência, na fase das
análises a priori, apresentada no Capítulo 5.
A validação dos resultados é obtida pelo confronto entre as análises a priori e
a posteriori, verificando se foram satisfeitas as hipóteses levantadas no início da
pesquisa. (PAIS, 2002). Neste ponto as hipóteses podem ser validadas ou refutadas.
(MACHADO, 1999). Mas, como afirma Carneiro (2005), neste momento, é
importante perceber o quanto a caminhada proposta pela Engenharia Didática
contribuiu para a produção do conhecimento, devido a reflexão e o enfrentamento
das dificuldades e impasses.
Além de relacionar as observações com os objetivos definidos a priori, a
intenção é, também, “estimar a reprodutibilidade e regularidade dos fenômenos
didáticos identificados”. (ALMOULOUD; COUTINHO, 2008, p.68).
A observação dos resultados obtidos e o confronto entre as análises a priori e
a posteriori nos permitiram avaliar a sequência didática aplicada, verificando se as
hipóteses levantadas foram confirmadas e se os objetivos propostos foram atingidos
ou não. Optamos por apresentar essa discussão no Capítulo 6.
84
3.2 Contexto da pesquisa
A pesquisa foi desenvolvida na Escola Estadual “Frei Marcelino de Milão”
localizada na cidade de Iapu, Minas Gerais. A escola trabalha com alunos de todos
os níveis da Educação Básica: anos iniciais e finais do Ensino Fundamental, PAV
(Programa Acelerar para Vencer), Ensino Médio, Educação para jovens e adultos
(EJA) e ProJovem. Em média, as turmas do Ensino Fundamental e Médio, possuem
de 35 a 40 alunos, a maioria de baixo poder aquisitivo, oriundas da cidade e da zona
rural.
O Ensino Médio da escola funciona predominantemente no noturno, havendo
apenas uma turma no matutino. A grade curricular da escola, neste nível de ensino,
conta com 3 aulas de Matemática na 1ª série, 4, na 2ª série e 5, na 3ª série.
Especificamente na 2ª série, série na qual a sequência foi aplicada, contamos com 4
aulas semanais de Matemática de 40 minutos cada uma. Os horários de 40 minutos
se devem ao fato de ser um ensino no noturno.
A escola adota o modelo bimestral para avaliação, a distribuição de pontos é
estabelecida de forma igualitária nos quatro bimestres (25 pontos em cada um). Esta
pontuação é distribuída em uma avaliação bimestral, marcada pela instituição, que
pode ter o seu valor variando entre 32% a 40% da nota bimestral, 12% da nota é
destinada a conceito, determinado pela participação e comprometimento do aluno
durante as aulas; o restante da nota bimestral é distribuída em testes, trabalhos e
atividades em classe, de acordo com os critérios estabelecidos pelo professor em
sala de aula.
Nesta escola nossa experiência é com turmas de 8º e 9º anos do Ensino
Fundamental, com as quais trabalhamos como conteúdo de Ciências, e também 1ª,
2ª e 3ª séries do Ensino Médio, a quem ministramos o conteúdo de Matemática.
A pesquisa foi desenvolvida junto a duas turmas de 2ª série do Ensino Médio
no noturno. As turmas pesquisadas eram bem heterogêneas em níveis de
aprendizagem e homogêneas na faixa etária, sendo compostas de adolescentes de
15 a 16 anos.
Os instrumentos de coleta dados foram os questionários, os trabalhos
escritos, cartazes, desafios e maquetes oriundos do projeto, bem como, todas as
atividades feitas em casa e em sala de aula, que foram entregues pelos alunos à
85
professora e fizeram parte do “corpus” da pesquisa, complementados por anotações
e observações, feitas pela própria professora, no momento de socialização e
discussão em sala dos resultados obtidos pelos alunos.
3.3 O estudo piloto
Em 2010 foi desenvolvido um estudo piloto, utilizando atividades que, foram
aperfeiçoadas e fazem parte da Sequência Didática para o estudo de trigonometria
no Ensino Médio, produto do Mestrado Profissional cursado. O estudo piloto teve o
intuito de sondar as influências do desenvolvimento de atividades utilizando recursos
computacionais na assimilação de conceitos trigonométricos, considerando-se uma
das metas pretendidas com a pesquisa.
Para realização desta atividade, os alunos foram distribuídos em grupos de
três ou quatro alunos por computador, considerando o reduzido número de
computadores na sala de informática. Esse piloto compreendia a resolução de uma
folha de atividades contendo dois tipos de tarefas, a serem realizadas utilizando-se
applets que poderiam ser acessados por um endereço eletrônico. O primeiro bloco
de atividades era relacionado às funções seno, cosseno e tangente no círculo
trigonométrico. O segundo bloco de atividades remetia à análise da construção dos
gráficos das funções seno, cosseno e tangente. Seu objetivo era permitir aos alunos
a percepção das variações ocorridas com as funções seno, cosseno e tangente à
medida que se completasse uma volta no círculo trigonométrico, tanto ao longo do
círculo, quanto na composição dos gráficos no plano cartesiano.
Mesmo considerando a atividade, por vezes difícil, os alunos avaliaram
positivamente o trabalho desenvolvido, apontando que o recurso utilizado facilitou a
compreensão das funções trigonométricas e a visualização de suas propriedades.
O estudo piloto permitiu testar as possibilidades do uso de applets no estudo
da trigonometria, evidenciando a necessidade de um maior investimento na redação
das tarefas propostas, de forma a diminuir as dúvidas que os alunos tiveram ao
longo de sua realização. Indicou, ainda, a necessidade de repensar formas de
utilização dos recursos tecnológicos, devido ao número limitado de computadores
86
disponíveis e de que os applets fossem elaborados de acordo com os objetivos e
necessidades pretendidos.
Os
resultados
desse
estudo
piloto
influenciaram
positivamente
o
desenvolvimento de nossa pesquisa. À semelhança do que apontam Amorim e
Sousa (2010), o estudo piloto auxiliou nossa prática como pesquisadores, levandonos a avaliar se nossa opção metodológica era a mais adequada e permitindo refinar
e direcionar as atividades que compõem nosso produto, aprimorando-as.
Estes
resultados foram, ainda, apresentados sob a forma de um relato de experiência
(SILVA; FROTA, 2010b), em um seminário promovido pelo Programa de Mestrado
em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas.
87
4 UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO
ENSINO MÉDIO
Apresentamos a seguir uma sequência didática que objetiva introduzir os
estudos de Trigonometria no Ensino Médio. Esta sequência pretende ser uma
contribuição para o ensino desse conteúdo, fruto de uma pesquisa desenvolvida no
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas.
A
apresentação
da
sequência
foi
estruturada
da
seguinte
forma:
fundamentação teórica da proposta, organização da sequência, com a descrição dos
blocos e das atividades, apresentando os objetivos pretendidos de cada uma delas e
as expectativas de desempenho dos alunos, apontando possíveis dificuldades e, ao
final, a implementação da sequência didática.
4.1 Fundamentação teórica da proposta
A sequência didática aqui apresentada é pensada como uma abordagem da
Trigonometria a partir da modelagem, com referências na realidade, utilizando
material concreto e recursos computacionais, aproveitando as potencialidades de
tipos diferenciados de instrumentos didáticos.
Os objetivos gerais da sequência didática foram: motivar os alunos,
desenvolvendo atividades com referência na realidade, de modo que eles próprios
descobrissem padrões e propriedades trigonométricas; incentivar a redescoberta
através da modelagem, de idéias da trigonometria, reconstruindo modelos abstratos
da trigonometria; propiciar experiências variadas que conduzam o aluno a atribuir
significado ao conteúdo programático de trigonometria, seja através do uso de
material concreto, das tecnologias de lápis e papel, ou utilizando applets de
geometria dinâmica.
A utilização de recursos didáticos diversificados se justifica em Richit e
Maltempi (2010) e Smole e Diniz (2005), ao afirmarem que para atingirmos o maior
número de alunos devemos combinar vários recursos metodológicos (software, lápis,
papel, calculadora, material concreto, medições, plantas, etc.). Por isso utilizamos
material concreto, papel e lápis e recursos computacionais para a compreensão e
representação algébrica e geométrica de modelos abstratos da Trigonometria.
88
O uso do material concreto tem como grande vantagem oferecer “referentes”,
símbolos que significam algo para o estudante, que permitem dar significado à
situação como um todo, pois para o estudante, o material concreto já possui uma
utilidade, que por meio de analogias facilitará o processo de abstração e
entendimento do novo conhecimento. No entanto, não será somente a presença do
material concreto que facilitará a compreensão, mas o que ele significa para o
estudante, que o ajudará a conferir significado à linguagem matemática. Por um
lado, o material concreto permite uma manipulação física, palpável da situação, os
“referentes” que este material possui, permitem uma manipulação mental do que
está ocorrendo. (SPINILLO; MAGINA, 2004).
A proposta é fundamentada em alguns princípios destacados por Biembengut
e Hein (2007) quanto à Modelagem em Educação Matemática e na concepção de
Modelagem de Barbieri e Burak (2005). Adotamos a perspectiva de modelagem
educacional citada por Kaiser, Sriraman (2006), na qual os exemplos do mundo real
e suas associações com a Matemática tornam-se um elemento central para a
estruturação e o desenvolvimento do ensino e aprendizagem em Matemática; e
pautamos nosso trabalho adotando os casos 1 e 2 de Barbosa (2001), como
configurações de inserção de atividades de modelagem no currículo escolar. Assim,
são propostos aos alunos situações-problema, com informações para que os alunos
resolvam além de problemas, nos quais, além da resolução, a coleta de dados
também fica sob a responsabilidade dos alunos.
Consideramos que a aprendizagem de novos conceitos matemáticos se
consolida mais rapidamente quando se inicia pela apresentação de uma situação
problema ao aluno, ficando a formalização e generalização do conceito como a
última etapa do processo de aprendizagem. O conteúdo matemático abordado por
meio de Modelagem e investigações é desencadeado no decorrer das atividades
com a formalização posterior a sua utilização. Isso permite que à medida que o
aluno busca ferramentas para resolver a situação problema, ele mobilize
conhecimentos já adquiridos e perceba que novos conteúdos se fazem necessários.
(KATO et al, 2010).
Tal abordagem, concordando com Quinlan (2004), pretende, antes de
introduzir o conteúdo formalizado, mergulhar os alunos num contexto próximo às
situações que desencadearam sua necessidade e, em consequência, o originaram.
89
Partimos do pressuposto de que podemos seguir um caminho diferente do usual,
indo de situações particulares para gerais, assim como Lindegger (2000).
O
conhecimento
trigonométrico,
enquanto
conhecimento
matemático
produzido historicamente pela humanidade se desenvolveu de tal forma, que
enquanto conhecimento escolar se distanciou do empirismo do qual se originou.
(AIMI, 2010).
Uma parte considerável de suas ideias são fruto de abstrações de situações
empíricas, que delas se distanciam ao serem generalizadas e aprofundadas.
Aumenta-se o nível de detalhes e sua complexidade, tornando-se menos
significativa e mais complicada para quem está fora desse campo de estudo.
(BASSANEZI, 2009).
No processo ensino-aprendizagem, por que não, reaproximar o conhecimento
trigonométrico escolar do empirismo que lhe deu origem. Pesquisas apontam que os
alunos demonstram mais interesse pela disciplina quando percebem sua aplicação
em seu dia-a-dia. A modelagem cria um ambiente favorável à aprendizagem durante
a implementação das atividades, pois reorienta o ensino dessa disciplina. (SANTOS;
BISOGNIN, 2007).
Podemos
considerar que
estamos
realizando
aulas
inspiradas
pela
Modelagem Matemática, permitindo que os alunos se envolvam em experiências
educativas, em processos de construção do conhecimento ligados a conhecimentos
práticos. E tendo a oportunidade de perceber que os conhecimentos sistematizados
não surgem por acaso, mas para suprir necessidades humanas, após um árduo
trabalho de observação, coleta de dados, levantamento de hipóteses e muitos
testes. (BARBIERI; BURAK, 2005).
A aprendizagem com modelagem leva em consideração a motivação e a
abstração, objetivando o desenvolvimento da argumentação matemática, na qual a
escolha de problemas vindos de situações concretas funciona como o elemento
motivador inicial, e age de modo a incorporar, por parte do aluno, conhecimentos
necessários ao seu convívio social. (BASSANEZI, 2009). Escolher o tema com o
qual se trabalhará desperta a participação e interesse do aluno, que se vê parte
importante do processo e que este se relaciona com seu contexto. (SANTOS;
BISOGNIN, 2007; BASSANEZI, 2009).
90
Elaborar os próprios problemas pode, também, ser um bom caminho, pois,
além de permitir a percepção se os estudantes entenderam o conceito matemático
proposto ou não, também contribui para a ampliação dos conhecimentos dos
mesmos, pois a partir do momento em que são convidados a criar os próprios
problemas, eles deverão se preocupar com a coerência das informações dadas, da
pertinência ao assunto e a criatividade em sua elaboração. (LOSS; BIEMBENGUT,
2010). Trata-se de outra oportunidade de desenvolver nos alunos habilidades que
lhes permitam empregar de forma eficaz os instrumentos que possuem oriundos de
seu meio e cultura. (SANTOS; BISOGNIN, 2007).
Durante a realização das atividades
é interessante que os alunos partilhem idéias, raciocínios, processos,
estabeleçam conexões, comparações e analogias, construam conjecturas e
negociem significados e desenvolvam capacidades de comunicar e
argumentar.Nesse sentido, durante as atividades, o aluno deve observar,
experimentar, comparar, relacionar, analisar, justapor, compor, encaixar,
levantar hipóteses e argumentar.(KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006, p.2).
Debatendo assim com seus pares para resolver o problema o aluno
conseguirá apurar e consolidar seus conhecimentos matemáticos acerca do
conteúdo.
As atividades da sequência foram propostas como exercícios de modelagem
numa linha investigativa (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ERNEST, 1996;
KATO et al, 2010; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009), de forma a favorecer a descoberta
de propriedades trigonométricas, bem como a associação entre as formas como a
trigonometria se apresenta: no triângulo, no círculo ou no plano cartesiano. Nessa
perspectiva, lidamos com Modelagem Matemática como prática investigativa, que se
delineou em introdução, realização das atividades e discussão dos resultados.
(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009).
Como os alunos não estavam habituados ao formato de atividades abertas,
foi necessário elaborar as primeiras atividades seguindo uma linha próxima a de
Ernest (1996), quando se refere a descobertas guiadas. As primeiras atividades
eram guiadas, para motivá-los, em seguida acrescentávamos, gradativamente,
atividades mais abertas.
As atividades, de cunho investigativo, caracterizam-se pela ênfase dada ao
processo, em que as situações de ensino propostas são mais abertas, cabendo aos
alunos o papel de definir atitudes e tomar decisões durante o processo. As
91
atividades de modelagem podem auxiliar a apropriação de conceitos matemáticos,
na medida em que contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático
dos alunos. (KATO et al, 2010; FREITAS, 2010).
Optamos por atrelar um projeto às atividades, pelo fato de que, nas escolas, a
pedagogia de projetos tem sido muito aplicada e tem obtido resultados satisfatórios.
Além da motivação inicial que ele apresenta, pois se propõe a resolver um problema
específico cujos resultados são esperados, mas não se tem certeza de que serão
alcançados. Permite “alavancar” processos durante sua execução que são muito
importantes num ambiente de ensino: análise, previsão, proposição, execução e
inovação. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009).
Ripardo, Oliveira e Silva (2009), destacam em seu trabalho várias formas de
projetos educacionais. Para os interesses dessa pesquisa, nos ateremos aos
projetos educacionais de ensino e de trabalho.
Projetos de ensino: voltados a uma ou mais disciplinas do currículo escolar
com o propósito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem de
conteúdos específicos dessa(s) disciplina(s). É desenvolvida pelo professor;
Projetos de trabalho: tem basicamente os mesmos predicativos dos
projetos de ensino, contudo, é desenvolvido por alunos sob a coordenação
do professor. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009, p.93).
O projeto, aqui proposto, se situa como um projeto educacional de trabalho na
visão de Ripardo, Oliveira e Silva (2009), voltado para a melhoria do processo
ensino-aprendizagem de conteúdos trigonométricos, desenvolvido por alunos sob a
orientação da professora pesquisadora.
Além dos motivos já expostos em nosso texto, corroboramos nossa opção por
desenvolver um projeto, à luz de Richit e Maltempi:
concebemos projetos como atividades educativas que geram situações de
aprendizagem reais, diversificadas e interessantes, que devem permitir aos
estudantes decidir, opinar, debater e conduzir seu processo de
conhecimento, favorecendo o desenvolvimento da autonomia e a
participação social. (RICHIT; MALTEMPI, 2010, p.20).
As decisões tomadas pelos alunos e opiniões por eles expressadas,
iniciaram-se na escolha de que construções existentes na cidade eles acreditavam
ser interessantes e que poderiam ser objetos de estudo. Acreditamos que essa
escolha feita pelos alunos é de suma importância dentro da concepção em que
enquadramos nosso trabalho: inspirada em Modelagem Matemática.
92
Este projeto foi inspirado no que autores, como Araújo (2009) e Barbosa
(2001), chamam de projetos de modelagem matemática, que, devido a uma tradição
brasileira, aproxima as práticas de modelagem matemática do trabalho com projetos.
Tal proximidade é justificada graças a importância do planejamento desses projetos
e das incertezas que seu desenvolvimento carrega.
Como Franchi (2007) coloca, além da Modelagem Matemática, a Informática,
também pode construir ambientes de aprendizagem muito férteis, permitindo o
desenvolvimento das potencialidades do estudante. Já que atividades relacionadas
a temas de interesse, ainda mais envolvendo recursos tecnológicos, motivam os
estudantes a participarem ativamente de seu processo de aprendizagem.
O uso de tecnologia computacional propicia, dentre outras coisas,
visualização, algo que favorece a apropriação de conhecimento em matemática, já
que a visualização, articulada à dinâmica desse recurso, evidencia propriedades e
relações entre objetos matemáticos, que conduzem à compreensão ampla dos
conceitos. Possibilita testar mudanças associadas a características algébricas ou
geométricas e observar as variações nos aspectos gráficos dos conceitos
matemáticos. (RICHIT; MALTEMPI, 2010; FRANCHI, 2007).
Chamamos de apropriação a ação do estudante ao assimilar determinado
conceito, de retirá-lo da condição de símbolo para instrumento, parte integrante de
seu conhecimento intelectual, que pode ser utilizado quando se fizer necessário.
(RIBEIRO; BITTAR, 2010). Para que tal apropriação se dê, o aluno deve
experimentar o ente carregado de simbologia, manipulá-lo, explorá-lo, até que este
passe de símbolo para conceito adquirido, atingindo a ideia abstrata a que se
propõe.
Nessa perspectiva, o computador torna-se uma ferramenta computacional,
sob a visão de Valente (1999), pela qual o aluno desenvolve uma tarefa, ele aprende
por estar executando algo sob o intermédio do computador. Esta ferramenta facilita
a assimilação de conceitos presentes em diversas atividades.
Mas, ressalva-se que, mesmo com todos os recursos que apresenta e as
potencialidades que oferece apenas a presença do computador não garante
promoção de aprendizagem. (VALENTE,1999). Cabe ao professor atuar como
estimulador da investigação e reflexão, enquanto as tecnologias são recursos que
favorecem tais ações. (RICHIT; MALTEMPI, 2010). É sua função investir nas
93
potencialidades de cada material utilizado, permitindo ao aluno transferir suas
compreensões para o conceito matemático abstrato. (SOUZA; OLIVEIRA, 2010).
4.2 Organização da sequência
A sequência didática é organizada em cinco blocos de atividades, mesclando
o tipo de tecnologia e a abordagem metodológica adotada, de acordo com um foco
principal estabelecido. Cada bloco é composto por um número específico de
atividades, na forma de atividades em sala de aula e atividades complementares
para casa, a serem resolvidas por vezes em duplas, outras em grupos de 4 a 6
pessoas, dependendo da intencionalidade de cada uma.
No Bloco 1, temos
duas Atividades Preparatórias. No Bloco 2, temos 8
atividades: três Atividades em sala, um Desafio, três Atividades Complementares e
um projeto: Enxergando e Modelando a Trigonometria das construções da cidade.
No Bloco 3, temos 2 atividades:
uma Atividade em sala e uma Atividade
Complementar. No Bloco 4, temos 8 atividades: quatro Atividades na sala de
informática e quatro Atividades Complementares. No Bloco 5, temos 4 Atividades
Avaliativas: dois Testes, um Questionário e a Feira de Matemática.
As Atividades em sala de aula objetivam instigar e desafiar os alunos a
mobilizar conhecimentos prévios e, sob a linha investigativa, solucionar os
problemas propostos. As Atividades Complementares, a serem resolvidas em casa,
objetivam resgatar conhecimentos anteriores dos alunos, fixar conceitos e
procedimentos explorados em sala de aula e iniciar a formalização de conceitos.
O primeiro bloco de atividades pretende retomar alguns conceitos como:
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala e consiste de duas
Atividades Preparatórias A e B, a serem resolvidas em casa, prevendo-se um
momento de socialização e sistematização de conceitos, conduzido pela professora.
O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo
retângulo. Conta com atividades realizadas em grupos, nas quais os alunos
necessitam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar, utilizando alguns
materiais concretos como esquadros, trenas, transferidor, canudos de refrigerante, o
que os remete a origem empírica desse conhecimento trigonométrico. Há atividades
94
em que os alunos devem escolher, entre vários problemas aplicados de
trigonometria, retirados de livros didáticos, três para serem resolvidos. Após esta
atividade são impelidos a elaborar seus próprios problemas. Temos um desafio que
utiliza a planta de uma casa, no qual os alunos são convidados a analisar a
inclinação do telhado nela representado. A Atividade lhes permite empregar
conceitos de escala e associar a forma do telhado com representações abstratas
(formato triangular, representação em plantas, elementos que os formam). A última
atividade desse bloco é o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das
construções da cidade. Que estimula os alunos a enxergar a Trigonometria nas
construções da cidade, partindo de construções que eles próprios consideram
interessantes.
O terceiro bloco de atividades aborda a transição da trigonometria do triângulo
retângulo
para
o
círculo
trigonométrico.
Contempla
uma
introdução
e/ou
apresentação do que seja um círculo orientado, unidades comumente utilizadas para
representarmos ângulos e arcos e atividades numa perspectiva de descoberta
guiada de Ernest (1996).
O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano
cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus
gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de
complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades
utilizam recursos computacionais, explorando a manipulação de applets, pequenos
programas em linguagem Java feitos no software Geogebra, acessados via web.
Esses applets são de fácil manipulação, proporcionando melhor compreensão dos
conceitos, mediante a associação das dimensões geométrica, algébrica e gráfica
dos conceitos abordados. (RICHIT; MALTEMPI, 2010; SANTOS, 2008).
O quinto bloco de atividades prevê Atividades Avaliativas, compreendendo
dois testes, feitos individualmente, ao longo da aplicação da sequência didática; a
aplicação de um questionário em que os alunos avaliam, individualmente, a
experiência vivenciada, ao final da sequência; e uma Feira de Matemática, na qual
os resultados obtidos no projeto, do bloco 2, são apresentados à comunidade
escolar, ocorrendo também ao final da aplicação da sequência didática.
95
4.3 Descrição dos blocos e das atividades
As atividades e seus respectivos objetivos, são expostos a seguir, seguidos
das análises prévias, que comentam algumas soluções que imaginamos serem
apresentadas pelos alunos.
O Quadro 12 mostra de forma concisa como estas atividades foram
agrupadas:
Blocos
1
Atividades
Atividades
preparatórias
2
Semelhança
de triângulos
e
trigonometria
no triângulo
retângulo
3
Transição do
triângulo para
o
circulo
trigonométrico
Descrição
Atividade A: Exploração de conhecimentos prévios dos alunos
acerca de triângulos, visando recuperar informações como:
classificação de triângulos quanto aos lados e ângulos, soma de
seus ângulos internos.
Atividade B: Exploração da planta baixa de uma casa e dos
conceitos nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos.
Pretendia estimular a observação e o manejo de plantas baixas,
bem como o uso instrumentos de medida.
Atividade 1: Mobilização de conhecimentos sobre semelhança de
triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula,
dispondo de régua, esquadro e canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 1: Atividades de fixação com
semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações.
Atividade 2: Busca pelo ângulo de inclinação conhecidos a altura
da parede e a distância até ela, dispondo de um transferidor e um
canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 2: Formalização da definição das razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e
exploração destas relações em triângulos variados, em posições
diversas. Exploração de relações fundamentais na trigonometria.
Desafio da planta do telhado:
Visa conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de
triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras;
Explorou o telhado e sua inclinação a partir de sua planta.
Atividade 3: Pretende que o aluno escolha e resolva três
problemas aplicados, que abordem razões trigonométricas
diferentes, a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de
livros didáticos.
Atividade Complementar 3: Pede aos alunos que elaborem
exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções
da cidade.
Pretende selecionar, junto aos alunos, construções que eles
consideram interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria
presente: telhados, escadas, rampas, etc.
Atividade 4: Fixação dos conceitos de círculo trigonométrico e
arco orientado, o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e
quais seus intervalos de existência;
Exploração de noções de arcos côngruos e de primeira
determinação positiva e negativa.
Atividade Complementar 4: Exploração do conceito de
comprimento de circunferência e comprimento de arcos de
circunferência.
96
Quadro 12
(Continuação)
Blocos
4
5
Atividades
Descrição
Atividade 5: Utilização de applets de trigonometria feitos no
Geogebra para estimular os alunos a perceberem o que ocorria aos
valores de seno, cosseno e tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo
trigonométrico;
Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno,
cosseno ou tangente, utilizando os applets;
Identificar os eixos correspondentes às funções seno, cosseno e
tangente no círculo trigonométrico.
Atividade Complementar 5: Atividades de fixação dos conceitos
abordados na atividade com recurso computacional.
Atividade 6: Observação de como são formados os gráficos das
funções seno, cosseno e tangente, à medida que completamos uma
volta na circunferência trigonométrica, utilizando applets dinâmicos;
Reconhecimento de o que é uma função periódica, avaliando se as
funções trigonométricas citadas são ou não periódicas, podendo
identificar tal período.
Atividade Complementar 6: Desenho dos gráficos das funções
seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo
Trigonometria
plano cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem entre as
no círculo
funções;
trigonométrico
Destaque de características dos gráficos e funções trigonométricas,
e no plano
associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras
cartesiano
áreas de conhecimento.
Atividade 7: Análise de situações de simetria no círculo
trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à origem) para
estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante,
considerando o quadrante em que os ângulos se encontram.
Atividade Complementar 7: Atividades de fixação dos conceitos
sobre redução ao primeiro quadrante, abordados na atividade com
recurso computacional.
Atividade 8: Percepção de relações de complementaridade entre
ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de arcos
num mesmo quadrante;
Exploração das fórmulas de soma e subtração de ângulos através
de abordagem geométrica em software dinâmico.
Atividade Complementar 8: Fixação das relações de
complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores
do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante;
Aplicação das fórmulas de soma e subtração de ângulos e sua
utilização para obter alguns modelos abstratos clássicos da
trigonometria numa exploração algébrica.
Os dois Testes: Verificação de aprendizagem dos conteúdos
abordados.
Questionário: Verificação das impressões que os alunos tiveram
acerca da sequência de atividades aplicada.
Atividades
Feira de Matemática: Apresentar à comunidade escolar os
Avaliativas
resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a
trigonometria das construções da cidade;
Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com
os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto, para
serem expostos durante a Feira.
Quadro 12: Organização das atividades em grupos
Fonte: Dados da pesquisa
97
Bloco 1: Atividades Preparatórias
Objetivos:
Atividade A: revisitar a geometria, investigando padrões de triângulos e
sistematizando propriedades.
Atividade B: investigar a planta baixa de uma casa e atribuir sentido às medidas
utilizadas, relacionando com as medidas reais, a partir do entendimento do que seja
uma escala.
ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados
1-Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. Você poderia
dizer o nome desse polígono?
2-Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura?
3-Num triângulo, dois ângulos medem, respectivamente, 25° e 108°. Qual é a
medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado?
4-Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você
observa em cada um deles:
Triângulo
Característica
Triângulo
Característica
D
A
B
E
F
C
98
ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados
(Continuação)
5-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos
Que nome recebem?
Os três lados iguais
Dois lados iguais e um
diferente
Os três lados diferentes
6-Observando os triângulos abaixo, o que se pode dizer acerca dos ângulos
de cada um desses triângulos?
Características
Características
quanto aos
quanto aos
Triângulos
Triângulos
ângulos
ângulos
7-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos
Que nome recebem?
Um ângulo maior que 90°
Três ângulos menores
que 90°
Um ângulo de 90°
99
A primeira tarefa objetiva recuperar o modelo abstrato do polígono de três
lados, triângulo, tanto por meio de um desenho quanto o seu nome. A segunda
pretende recuperar as propriedades de um triângulo qualquer: ter três lados, três
ângulos, três vértices, ter a soma dos ângulos internos igual a 180º etc. A terceira
tarefa explora a aplicação da relação entre os ângulos internos de um triângulo,
suscitando sua recordação pelos alunos.
A quarta e quinta tarefas exploram as classificações dos triângulos quanto a
seus lados. A quarta tarefa oferece modelos de triângulos desenhados para que os
alunos destaquem características relacionadas aos seus lados. Na tarefa 5
sumarizam-se as características, fazendo alusão a que desenhos as apresentam e
como poderiam ser chamados. Esperamos que os alunos associem os triângulos de
três lados iguais ao termo equilátero; o de dois lados iguais e um diferente ao termo
isósceles e o de três lados diferentes ao termo escaleno.
A sexta e sétima tarefas se remetem às classificações dos triângulos quanto a
seus ângulos. A sexta tarefa, como a quarta, oferece desenhos para que os alunos
deles destaquem características associadas a seus ângulos.
Na tarefa 7, em
conformidade com a quinta, oferecem-se as características sistematizadas,
esperando que os alunos destaquem os desenhos a elas associadas e identifiquem
as classificações
dos respectivos triângulos: se acutângulo, retângulo ou
obtusângulo.
Para o desenvolvimento da Atividade Preparatória B, é disponibilizado aos
alunos uma cópia da planta baixa de uma casa popular da cidade de Belo Horizonte
(ANEXO A). A primeira tarefa pretende que os alunos, a partir da exploração da
planta baixa, destaquem as características geométricas dos cômodos como seu
formato, retangular ou quadrado, e sua quantidade. A segunda tarefa apresenta a
necessidade do uso de régua para medir as distâncias expressas no desenho da
planta em centímetros. Além de estimular o uso de material para desenho esta
atividade pretende mobilizar conhecimentos acerca de áreas de figuras planas. A
tarefa 3 visa analisar como os alunos chegam a área da casa toda desenhada na
planta, se pela soma das áreas dos cômodos, já calculada na tarefa 2, ou pelo
cálculo de área do desenho completa da casa na planta.
A tarefa 4 explora o conceito de escala, o que ele significa. Espera-se que os
alunos associem cada 1cm do desenho a 50cm da casa real, já que a escala dada
100
foi de 1/50. As tarefas 5 e 6 tem praticamente os mesmos objetivos das tarefas 2 e
3, com a diferença de pedirem as medidas reais, em metros, dos cômodos. Nessas
tarefas faz-se necessário a aplicação dos conhecimentos de escala, já suscitados na
tarefa 4.
Atividade B- Explorando a planta baixa de uma casa
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
A planta baixa de uma casa é a representação gráfica, num plano, da
casa vista de cima, sem o telhado. Onde se evidencia apenas o chão e a
distribuição dos cômodos nesse espaço. Na planta que entregamos a vocês,
temos um projeto de casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo
Horizonte, que apresenta, além da planta baixa da casa, vista das fachadas da
casa, planta do telhado e vista de cortes verticais. Para resolver às questões
abaixo, observe no projeto a planta 1 quarto, que é a planta baixa.
1-O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm,
quantos são, etc)?
2-Utilizando uma régua para efetuar as medidas, complete o quadro abaixo:
CÔMODOS
LARGURA (cm) COMPRIMENTO (cm) ÁREA (cm2)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
3-Considerando os dados até aqui coletados, é possível encontrar a área de
toda a casa? Como?
4-Para que toda a extensão da casa caiba em uma folha, ela precisa ser
reduzida de forma proporcional, para não perder suas formas originais. Para
isso usamos a escala. Nessa planta a escala utilizada é de 1/ 50. O que essa
escala significa?
5-Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta, complete o
quadro, agora informando as medidas reais de cada cômodo, em metros.
CÔMODOS
LARGURA (m)
COMPRIMENTO (m) ÁREA (m2)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
6- Qual é a área, em m2, da casa toda?
Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo
Objetivos
Atividade 1: mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para
encontrar a altura da parede da sala de aula, dispondo de régua, esquadro e canudo
de refrigerante.
Atividade Complementar 1: fixar os conceitos sobre semelhança de triângulos
verificando a invariância de relações.
101
Atividade 2: encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a
distância até ela, dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 2: formalizar a definição das razões trigonométricas seno,
cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos
variados, em posições diversas. Introduzir, de forma empírica algumas relações
fundamentais da trigonometria.
Desafio da Planta do Telhado: conhecer e associar algumas partes do telhado à
formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras. Explorar
o telhado e sua inclinação a partir de sua planta.
Atividade 3: permitir aos alunos aplicar e fixar seus conhecimentos acerca das
razões trigonométricas no triângulo retângulo, desde a
escolha à resolução de
problemas aplicados.
Atividade Complementar 3: verificar o grau de familiaridade dos alunos com o
assunto dado, além de permitir que usem sua criatividade na concepção de
problemas aplicados.
Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade:
aproximar a Trigonometria do cotidiano dos alunos, à medida em que eles escolhem
as construções que, na opinião deles, são mais interessantes para um estudo
trigonométrico. Aproveitar tal motivação para extrair o máximo de trigonometria que
estas construções têm a oferecer, neste nível de ensino para que posteriormente
seja modelada e transformada em desafios matemáticos pelos alunos.
Atividade 1 – Medida da Altura da Parede
1-Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de
um esquadro, uma régua e um canudo de refrigerante, sem poder se
aproximar da parede para medi-la diretamente?(Anote todos os passos
realizados para resolver este problema e ao final faça um esboço da situação
apresentada).
*Atenção, indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando:
( )45/90/45
( )30/90/60 ( )60/90/30
b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
A primeira tarefa da Atividade 1 envolve o uso de materiais concretos:
esquadros, trenas e canudos de refrigerante. Como não é permitido medir
diretamente a parede, pretende-se que os alunos criem estratégias, usando o
material dado, para encontrar a altura da parede. Espera-se que os alunos utilizem o
102
esquadro para estabelecer uma situação de semelhança de triângulos, encontrando
uma posição na sala na qual esta situação seja possível. A trena poderá ser utilizada
para medir distâncias no chão e do esquadro. O canudo pode ser utilizado como se
fosse uma luneta, pelo qual enxergamos o ponto mais alto da parede. É pedido aos
alunos que criem desenhos que representem a situação de forma a estimulá-los a
criar modelos abstratos com papel e lápis e facilitem o estabelecimento de relações
e compreensão da situação para que possam resolvê-la.
Abaixo da primeira tarefa é pedido aos alunos que assinalem que tipo de
esquadro está sendo utilizado, o que favorecerá as conjecturas acerca dos
resultados encontrados no momento de socialização. Espera-se que os alunos
associem aos ângulos o fato de utilizando esquadros diferentes, obterem a mesma
altura
Ao final dessa atividade é pedido aos alunos que mencionem toda a
Matemática que eles identificam na atividade desenvolvida. Esperamos que eles
mencionem terem utilizado semelhança de triângulos para resolver esta atividade,
bem como triângulos e distâncias.
A Atividade Complementar 1 pretende fixar os conceitos de semelhança de
triângulos. As tarefas dessa atividade pretendem que os alunos utilizando
semelhança de triângulos encontrem os valores desconhecidos de x. A tarefa 1 traz
triângulos
semelhantes
separados,
alguns
posicionados
da
mesma
maneira,facilitando suas associações, e outros posicionados de maneira diferente o
que exige mais concentração ao resolvê-los.
As tarefas 2, 4 e 5 trazem triângulos sobrepostos, assim chamados pois se
encontram “um dentro do outro”, situação análoga a enfrentada pelos alunos na
Atividade 1 de sala de aula. Espera-se que os alunos consigam encontrar os valores
desconhecidos.
A tarefa 3 difere das demais tarefas, pois não apresenta desenho, sendo este
uma das ações necessárias a sua resolução. Nesta tarefa pretende-se que, além de
encontrar a distância desconhecida, os alunos sejam capazes de elaborar um
desenho esquemático e saibam explicar como encontrar a medida desconhecida,
relacionando a tarefa sob a forma de uma situação de semelhança de triângulos.
103
Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos
1-Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os
valores desconhecidos:
a)
b)
c)
d)
e)
2-As figuras abaixo representam dois triângulos sobrepostos, que possuem
um vértice em comum. Determine os valores desconhecidos de x, em cada
caso:
a)C
b) H
J
E
A
D
B
AB= 7cm, BD= 4,5 cm, DE= 2cm, AC= x
F
I
FG= 14cm, GI= 9cm, GJ= 20cm, GH= x
c) M
O
K
N
G
L
KM= 9cm, NO= 6cm, LN= 13,5cm, KL= x
3-No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1,10m,
fincada a seu lado. Numa tarde ensolarada, no mesmo instante em que a
sombra da estaca projetada no chão era de 85 cm, a sombra do pinheiro era
de 3,72m.
a) Ilustre esta situação, fazendo um desenho;
b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos
semelhantes imaginários?
c) Você saberia determinar a altura do pinheiro?
104
Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos (Continuação)
4 -Na figura, as retas r, s e t são paralelas e determinam dois triângulos
semelhantes:
13
Nessas circunstâncias, encontre o valor de x, base do triângulo maior:
5-O telhado de uma casa é sustentado por uma estrutura de madeira em
forma de triângulos semelhantes:
E
G
F
A
B
C
D
Considerando as distâncias AB = 1,40m, AC= 2,80m, AD= 4,20m e DE=
1,20m, quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos: BG
e CF?
Atividade 2 – Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do
teodolito.
1-Na Atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala, utilizando um
esquadro posicionado a certa distância da parede.
Percebemos que esquadros com ângulos diferentes podem fornecer a mesma
altura da parede, desde que posicionados a distâncias diferentes da mesma.
a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante, conhecidas as
medidas da altura da parede e da distância do transferidor à mesma,
como você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas
medidas? (Anote todos os passos realizados para resolver este problema,
registre os cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada).
b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
Na Atividade 2, os alunos utilizam as medidas encontrados na Atividade 1: a
altura da parede da sala e a distância, medida no chão da sala, do local onde
posicionaram o esquadro até a parede. Os alunos dispõem de um transferidor, um
13
Atividade retirada de IMENES; LELLIS, 2009, p.26
105
canudo de refrigerante e de uma trena. Nesta tarefa o objetivo é encontrar o ângulo
de observação dadas as distâncias mencionadas. Pretende-se que os alunos
encontrem o ângulo, façam desenhos representando suas ações e após
encontrarem o ângulo verifiquem que corresponde aproximadamente ao ângulo do
esquadro utilizado na Atividade 1.
Ao final da Atividade 2, é pedido que os alunos relacionem os conteúdos
matemáticos que eles puderam perceber nesta atividade, esperamos que os alunos
mencionem o uso das razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno
ou tangente.
A Atividade Complementar 2 objetiva formalizar os conceitos sobre razões
trigonométricas no triângulo retângulo, por isso traz as definições sistematizadas no
início da folha de atividades. A primeira tarefa dessa atividade pede que os alunos
relacionem as razões trigonométricas recém-sistematizadas às atividades 1 e 2
feitas anteriormente.
A tarefa 2 disponibilizava aos alunos uma tabela com ângulos e suas
respectivas razões trigonométricas. Na letra a dessa tarefa, temos uma tabela com
três triângulos retângulos, que possuem uma das medidas em comum igual 4 cm.
Sobre estes triângulos são feitos alguns questionamentos: quais os valores de seus
três ângulos, qual o valor de suas medidas x e y e como os alunos as encontraram.
Espera-se que nesse ponto os alunos utilizem pelo menos uma das razões
trigonométricas para encontrar a primeira variável, para encontrar a segunda eles
podem utilizar o Teorema de Pitágoras ou outra razão trigonométrica. A letra b pede
que os alunos destaquem semelhanças entre os triângulos, em que esperamos que
os alunos destaquem o fato de que há uma medida igual entre os três triângulos. A
letra c pede que os alunos registrem suas observações. Esperamos que os alunos
identifiquem que utilizaram razões trigonométricas semelhantes apesar de estarem
lidando com ângulos diferentes e que as razões trigonométricas estão ligadas ao
ângulo e não às dimensões do triângulo.
106
Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas
Num triângulo retângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos.
Estas relações recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo
retângulo.
Chamamos de seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão
entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Chamamos de cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a
razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo
retângulo.
Chamamos de tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo a
razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente a este ângulo.
1-Conhecidas as definições de tais razões, responda:
Entre as atividades realizadas em sala, há alguma em que você poderia ter
utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente.
2-Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno,
cosseno e tangente. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas
respectivas razões trigonométricas.
ângulos
22°
40°
68°
seno
≈ 0,375
≈ 0,643
≈ 0,927
cosseno
≈ 0,927
≈ 0,766
≈ 0,375
tangente
≈ 0,404
≈ 0,839
≈ 2,475
a)Consultando o quadro complete o que se pede para os triângulos dados:
Triângulos
Cite seus
três
ângulos
Encontrem os
valores de x
(explique os
caminhos
matemáticos
utilizados)
x
4cm
22°
y
4cm
x
40°
y
4 cm
y
68°
x
b)Destaque semelhanças entre os triângulos acima:
c)Registre outras observações sobre a tarefa 2?
Encontrem os
valores de y
(explique os
caminhos
matemáticos
utilizados)
107
Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas(Continuação)
3- No triângulo retângulo representado, são especificados os valores de seus
lados e de dois ângulos agudos α e β.
β
10
6
α
8
a)Determine os valores de:
I-senα =
V-senβ =
II-cosα =
VI-cosβ=
III-tgα =
IV-
VII-tgβ =
senα
=
cos α
VIII-
senβ
=
cos β
b)Considere os resultados encontrados nas letras I, II, V, VI. O que observou?
Como se explica o que você observou?
c)Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações;
4-Para os triângulos 1, 2 e 3, calcule os valores de sen2α+ cos2α:
123α
3cm
5cm
5cm
13cm
8cm
α
α
4cm
6cm
12cm
10cm
O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique
A tarefa 3 apresenta um triângulo retângulo no qual são conhecidos as
medidas dos três lados e dois ângulos α e β. Relativo a este triângulo, na letra a é
dada uma tabela em que os alunos devem completá-la calculando-se os valores de
I-senα, II-cosα, III-tgα; IV-
; V-senβ; VI-cosβ; VII-tgβ; VIII-
.
Na letra b os
alunos são indagados acerca de relações entre situações I, II, V e VI. Esperamos
que os alunos percebam que senα é igual a cos β e que senβ é igual a cos α e
possivelmente associem tal observação ao fato de que α e β sejam ângulos
complementares. Na letra c é pedido que os alunos registrem outras observações
que eles notaram nos elementos da tabela. É esperado que eles relacionem a
108
situação III com a situação IV e a situação VII com a situação VIII e compreendam
que a razão tangente é equivalente ao quociente da razão seno pela razão cosseno.
Na tarefa 4 são dados aos alunos três triângulos retângulos em posições
diferentes e que apresentam medidas de lados e ângulos diferentes. Sobre estes
triângulos é pedido que os alunos apliquem a relação “sen2α + cos2α” e relatem o
que observam. Esperamos que eles concluam que independente do ângulo ou do
triângulo considerado essa relação sempre terá como resultado o número 1.
Atividade 3 – Problemas aplicados
Escolha três problemas da lista, cuja solução envolva uma das razões
trigonométricas. Você resolverá, assim, um problema envolvendo a razão
trigonométrica seno, um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno
e um problema envolvendo a razão trigonométrica tangente.
I-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
II-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
III-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
Para desenvolverem a atividade três, é entregue aos alunos uma lista de
problemas trigonométricos aplicados retirados de livros didáticos (APÊNDICE A).
Dessa lista os alunos devem escolher três problemas a serem resolvidos, devendo
estes problemas serem de razões trigonométricas diferentes: um deverá abordar a
razão trigonométrica seno, outro o cosseno e outro a tangente. Esperamos que os
alunos
ao
resolver
estes
problemas
apliquem
corretamente
as
razões
trigonométricas e utilizem esboços para resolver as situações.
Atividade Complementar 3: Problema Aplicado
Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões
trigonométricas.
Atenção! Você precisa saber resolver o problema, mas não precisa entregar a
solução do mesmo
Na Atividade Complementar 3 é dada aos alunos a chance de usar sua
criatividade e elaborar um problema aplicado sobre uma das razões trigonométricas.
Esperamos que os alunos redijam e ilustrem um problema que seja coerente, que
109
necessite de uma das razões trigonométricas: seno, cosseno ou tangente, e seja
passível de resolução.
Desafio da Planta do Telhado
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
O telhado é uma das partes importantes em uma casa. Há vários tipos
de telhados, cada um composto por partes específicas. Para nosso trabalho
consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro, apoiado
sobre uma estrutura de madeira.
Observe a figura que representa um telhado, especificando algumas
destas partes:
Pendural
Empena
Diagonal
Linha
Na planta entregue a você há o corte AA, que mostra o telhado e suas
partes, e a planta de cobertura, que mostra o telhado visto de cima e sua
inclinação de i=35%. Estas partes obedecem à escala 1/50, escala utilizada na
construção da planta.
1-Observando o Corte AA, complete a tabela abaixo, informando as medidas
da planta, as medidas reais e o método utilizado para obter estas informações:
Medida na planta
Medida real (m) Método utilizado
Partes do telhado
(cm)
Pendural
Linha
Empena
2-Que relações você pode estabelecer entre a linha, o pendural e a empena
de um telhado?
3-Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as
atividades anteriores.
4-Para evitar goteiras, os telhados devem ser projetados com uma
determinada inclinação.
a)Consulte o Corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do
telhado em relação à horizontal. Explique o método utilizado para encontrar
esta resposta.
b)É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural, o
tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique
O Desafio da Planta do Telhado proposto volta a interligar as atividades
trigonométricas com a exploração de plantas baixas. Para o desenvolvimento dessa
110
atividade é novamente entregue aos alunos a planta baixa utilizada na Atividade
Preparatória B (ANEXO A). Esta atividade se inicia tecendo comentário sobre os
telhados de uma casa e os nomes de suas partes: empena, linha e pendural.
Chama-se a atenção para a inclinação do telhado e para a observação de um corte
específico da planta. Além de mencionar qual a escala em que a planta foi
desenhada.
Na tarefa 1 pede-se que os alunos encontrem as medidas das partes do
telhado na planta (em centímetros), no tamanho real (em metros) e descrevam que
métodos foram utilizados. Espera-se que os alunos utilizem régua para extraírem as
medidas da planta, possivelmente podem utilizar o Teorema de Pitágoras para
encontrar o pendural. Esperamos que utilizem a escala para encontrarem as
medidas em metros.
Nas tarefas 2 e 3 é pedido que os alunos estabeleçam relações entre as
partes do telhado e as associem às atividades desenvolvidas anteriormente. Esperase que os alunos consigam associar a formação de um triângulo e o Teorema de
Pitágoras aos elementos do telhado e perceber que as atividades 1, 2 e 3 têm
relação com este desafio.
A tarefa 4 explora a ideia de inclinação, na letra a analisa a inclinação dada
em porcentagem pela planta e tenta associá-la a um ângulo; espera-se que os
alunos, utilizando possivelmente um transferidor, encontrem o ângulo de inclinação
em graus. Na letra b tentamos associar as partes do telhado e a inclinação do
mesmo. Esperamos que os alunos associem a razão trigonométrica tangente ao
ângulo de inclinação.
No projeto os alunos serão indagados sobre que construções da cidade eles
acham mais interessantes e que trigonometria pode ser associada a estas
construções. Os alunos deverão proceder a uma coleta de dados referente a
construção escolhida e de posse dos dados fazer um croqui da referida construção,
sob determinada escala, efetuando os cálculos que acharem pertinentes para
responder aos questionamentos iniciais. Esperamos que eles escolham construções
de telhados de forma triangular com inclinações diferenciadas, tesouras de terraços,
escadas comuns que lembram modelos triangulares, rampas, escadas que lembram
modelos circulares, etc.
111
Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da
cidade.
Que construções da sua cidade você acha interessante?
Grupos
Construção
Grupo1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Grupo 5
Grupo 6
Cada grupo deverá fotografar a construção, desenhar um croqui (esboço de
uma planta) utilizando a escala 1: 50, informando as devidas medidas e
destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada.
O trabalho deverá ser entregue em duas vias.
Primeira via: em folha A4 contendo a fotografia (cópia scaneada ou imagem
impressa), o croqui (esboço da planta), informando as devidas medidas e os
cálculos feitos para obtê-las, destacando os elementos geométricos e a
trigonometria relacionada.
Segunda via: em folha AG, na forma de um pôster, informando o nome do
trabalho, os membros do grupo e a turma. Na folha AG será colada uma folha
A4 contendo as mesmas informações da folha A4 da primeira via.
Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4, colocando margem e cuidando
para não cometer erros ortográficos.
*A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03, data em que cada grupo
apresentará o seu pôster.
Durante a execução do projeto esperamos que os alunos associem como
trigonometria a estas construções: razões trigonométricas seno, cosseno ou
tangente; triângulo retângulo; Teorema de Pitágoras; círculo trigonométrico;
circunferência; semelhança de triângulos; soma dos ângulos internos de um
triângulo; classificação de triângulos, etc.
Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico
Objetivos
Atividade 4: fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado, o que são
os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência.
Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa.
Atividade Complementar 4: explorar o conceito de comprimento de circunferência e
comprimento de arcos.
112
Atividade 4- O círculo trigonométrico
Se fixarmos um sentido positivo em uma circunferência pode-se dizer que se
trata de uma circunferência orientada.
Uma circunferência orientada de centro na origem do sistema cartesiano, de
raio unitário e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado círculo
trigonométrico. Vamos considerar a origem do círculo trigonométrico no ponto
A (1,0), interseção da semirreta Ox com a circunferência c.
O eixo x e o eixo y dividem o círculo trigonométrico em 4 partes iguais,
chamadas quadrantes.
1-Complete a tabela abaixo, indicando os intervalos de variação, em graus e
em radianos, de cada quadrante:
Quadrante
Intervalo em graus
Intervalo em radianos
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
2-Observe o círculo trigonométrico:
Marque no círculo trigonométrico os pontos que correspondem aos ângulos:
15°, 75°, 30°, 60°,
750°, 780°,
, 120°, 150°,
,
, 240°,
, 330°, 420°, 480°, 540°, 600°,
, - 135°, - 225°.
2-Há arcos que se posicionaram no mesmo ponto? Quais?
3-Há arcos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico? Como
você descobriu?
4-O que podemos dizer sobre os ângulos - 60°, - 135 ° e - 225°?
5-O que têm em comum os ângulos: 420°, 480°, 540°, 600°, 750°, 780°?
6-Os ângulos de 60° e 420° são côngruos. Observando suas posições no
círculo trigonométrico da tarefa 2, o que isso significa?
7-Um ponto que descreve um ângulo de 1500° dá vária s voltas, no sentido
anti-horário de um círculo trigonométrico.
a)Quantas voltas exatamente ele dá?
b)Em que quadrante ele para?
c)Dê exemplos de outros dois ângulos, aos quais ele poderia ser côngruo.
113
A Atividade 4 introduz o círculo trigonométrico, associando a circunferência ao
sistema de coordenadas cartesianas. Orientando e estabelecendo sua origem. Na
tarefa 1 os alunos são indagados acerca dos intervalos em que os quadrantes se
encontram, em graus e em radianos. Esperamos que os alunos identifiquem a
existência de intervalos de 90° em 90° e que estes podem ser representados em
duas unidades diferentes. Na tarefa 2 após definidos os intervalos dos quadrantes, é
pedido que os alunos posicionem alguns ângulos, em graus e radianos, num círculo
trigonométrico.
A tarefa 3 questiona a existência de arcos que se posicionam no mesmo
ponto no círculo. Esperamos que os alunos percebam essa situação e identifiquem
os ângulos 30° e 750°; 60°, 420° e 780; 120° e 480
°;
e – 225°; 240° e 600°;
como ângulos que se posicionaram no mesmo ponto.
Na tarefa 3 é pedido que se identifique se há ângulos que deram mais de uma
volta no círculo trigonométrico e como se deu sua descoberta. Esperamos que os
alunos mencionem: 420°, 480°, 540°, 600°, 750° e 78
0°;
como ângulos que
apresentam mais de uma volta, devido ao fato de serem ângulos maiores que 360°,
o que representaria uma volta. Acreditamos que essa resposta auxiliará na
resolução da tarefa 5, pois é perguntado o que os referidos ângulos têm em comum,
esperamos que seja dito, que todos apresentam mais de 360°.
Na tarefa 4 pedem-se observações acerca dos ângulos – 60°, –135° e –
225°, esperamos que informem que são ângulos negati vos e, devido a isso, se
posicionam no sentido horário do círculo trigonométrico.
A tarefa 6 apresenta um exemplo de ângulos côngruos e questiona os alunos,
a partir da observação do posicionamento de dois ângulos, sobre o significado de tal
afirmação. Esperamos que os alunos informem que os ângulos são côngruos pois se
posicionaram no mesmo ponto no círculo trigonométrico, diferindo entre si apenas
pelo número de voltas dadas no círculo.
A tarefa 7 representa uma tarefa de fixação, um ponto percorre no sentido
anti-horário do círculo trigonométrico um ângulo de 1500°, após esta afirmação os
alunos são questionados quanto a quantas voltas foram dadas no círculo, em que
quadrante o ângulo se posiciona e pede-se exemplos de outros ângulos côngruos a
esse. Esperamos que os alunos encontrem como número de voltas completas o
valor 4, como quadrante onde se localiza a primeira determinação positiva o primeiro
114
e como exemplos de ângulos côngruos 420°, 780°, ou qualquer ângulo cuja primeira
determinação positiva seja 60°.
Atividade Complementar 4- Explorando a circunferência e seus arcos
Uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que estão
a uma mesma distância de um ponto dado. O ponto fixo dado é o chamado
centro e a distância constante é chamada raio. Seu comprimento pode ser
calculado pela expressão: C = 2.π.r.
Nesta expressão o símbolo π (pi) representa uma constante que vale
aproximadamente 3,14.
1-Em uma casa, um arquiteto deseja projetar um jardim de forma circular. O
diâmetro desse jardim deverá ser de 2m. Quanto de arame será necessário
para contornar o jardim, a fim de protegê-lo de animais até que ele esteja
totalmente formado? Descreva seu raciocínio.
2-No jardim da tarefa 1 serão plantados 4 tipos de flores, igualmente
distribuídas neste canteiro circular.
a)Represente a situação por meio de um desenho.
b)Considerando que o canteiro tem forma circular e que sua representação
pode ser associada a um círculo trigonométrico, quantos graus desse desenho
são ocupados por este canteiro? Descreva os procedimentos.
c)Entre as flores a serem plantadas, rosas vermelhas serão plantadas em uma
das regiões do círculo. Para cercar com arame, apenas a região com rosas, é
possível encontrar este comprimento, dado em metros? Descreva seus
métodos e faça um desenho esquemático sobre a situação.
3-Se um determinado ponto descrevesse uma trajetória circular em uma
circunferência, no sentido anti-horário, quando ele completasse uma volta,
quantos graus ele teria percorrido? ______________
4-a)Num relógio o ponteiro dos minutos descreve uma circunferência ao longo
de seu movimento. Quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos
descreve em cada minuto? Descreva como obteve sua resposta.
b)No relógio abaixo, o menor ângulo formado entre os ponteiros das horas e
dos minutos, corresponde a quantos graus? Explique como você encontrou
este valor.
A Atividade Complementar 4 explora noções intuitivas de comprimento de
circunferência e comprimento de arcos de circunferência. A tarefa 1 propõe uma
situação problema na qual os alunos devem, conhecido o diâmetro de um canteiro
de flores circular, encontrar a quantidade de arame necessária para cercá-lo.
115
Espera-se que os alunos associem a quantidade a indagação do problema ao
conceito de comprimento de circunferência, citado no texto inicial, aplicando a
expressão C = 2.π.r para encontrar a solução da tarefa.
A tarefa 2 aproveita a ideia da tarefa 1 e propõe uma situação em que o
canteiro circular precisará ser dividido em quatro partes iguais. Na letra a dessa
tarefa é solicitado um desenho que representa a situação. Na letra b pede-se que
este desenho seja associado a um círculo trigonométrico e pergunta-se quantos
graus essa região ocuparia nesse círculo trigonométrico. Esperamos que os alunos
associem essa região a um quarto do círculo trigonométrico, equivalente a 90°. Na
letra c, temos o pedido para cercar com arame a região equivalente a um quarto do
círculo trigonométrico. Espera-se que os alunos encontrem o comprimento do arco
correspondente ao ângulo de 90°, possivelmente util izando uma regra de três, e o
adicionem a dois raios, que também limitam a região considerada.
A tarefa 3, por nós considerada simples, pretende fixar o valor em graus de
uma volta no círculo trigonométrico, tomado em seu sentido anti-horário. Esperamos
que os alunos utilizem o valor 360° como resposta.
A tarefa 4 associa o movimento do ponteiro dos minutos de um relógio à
circunferência. Na letra a questiona-se quantos graus o deslocamento do ponteiro
dos minutos descreve em cada minuto. Esperamos que os alunos encontrem o valor
de 6°. Na letra b, sendo dado a figura de um relógi o marcando três horas, indaga-se
qual o valor em graus do menor ângulo descrito entre os ponteiros das horas e dos
minutos nesse horário. Esperamos que seja encontrado o valor de um ângulo de
90°, podendo ser encontrado pela multiplicação de 1 5’x 6° ou dividindo-se 360° por
4.
Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano
Objetivos
Atividade 5: perceber o que ocorre com os valores de seno, cosseno e tangente
quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo
trigonométrico. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno,
cosseno ou tangente. E identificar os eixos correspondentes às funções seno,
cosseno e tangente no círculo trigonométrico.
116
Atividade Complementar 5: fixar os conceitos abordados na atividade com recurso
computacional: comportamento das funções seno e cosseno em cada quadrante, as
variações de sinais dessas funções em cada quadrante, comparar senos e cossenos
de ângulos diferentes e utilizar senos e cossenos de arcos notáveis para resolver
expressões que necessitem desses valores.
Atividade 6: observar como são formados os gráficos das funções seno, cosseno e
tangente, à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica.
Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando se as funções trigonométricas
citadas são ou não periódicas, podendo identificar tal período.
Atividade Complementar 6: desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a
partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano cartesiano, para facilitar a
descoberta da defasagem entre as funções. Destacar características dos gráficos e
funções trigonométricas, associando-as às partes de um telhado e a aplicações a
outras áreas de conhecimento.
Atividade 7: analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical,
horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º
quadrante, considerando o quadrante em que os ângulos se encontram.
Atividade Complementar 7: fixar os conceitos sobre redução ao primeiro
quadrante, abordados na atividade com recurso computacional.
Atividade 8: perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso
afeta os valores seno e de cosseno de ângulos de um mesmo quadrante. Explorar
as fórmulas de soma e subtração de arcos através de abordagem geométrica em
software dinâmico.
Atividade Complementar 8: Fixar as relações de complementaridade entre ângulos
e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo
quadrante. Aplicar as fórmulas de soma e subtração de ângulos e utilizá-las para
obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração
algébrica.
117
Atividade 5- Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico
1-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_seno.html
a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
b)Observe o que ocorre com o valor do seno quando aumentamos ou diminuímos o
valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
c1)Cada sentença apresenta resultados para o seno de um ângulo desconhecido x.
Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças:
a)sen x= 0.77 x= ____________
c)sen x= 0.50
x= ___________
b)sen x= - 0.34 x=___________
d)sen x= - 0.80 x= ____________
c2)É possível termos mais de um resultado em cada sentença? Explique
2-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_cosseno.ht
ml
a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
b)Observe o que ocorre com o valor do cosseno quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
c)Cada sentença apresenta resultados para o cosseno de um ângulo desconhecido
x. Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças:
a)cos x= 0.77 x= ___________
c)cos x= 0.50
x=___________
b)cos x= - 0.34 x= ___________
d)cos x= - 0.68 x= ___________
3-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_tangente.ht
ml
a)Identifique a reta que representa o eixo das tangentes;
b)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
c)Observe o que ocorre com o valor da tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
A Atividade 5 é a primeira atividade que utiliza o recurso computacional. Nela
realizam-se tarefas associadas a manipulação e observação de applets dinâmicos
feitos no Geogebra. A primeira tarefa solicita que os alunos abram um link de
internet que os permitirá acessar o applet da função seno no círculo trigonométrico.
Na letra a dessa tarefa é pedido que os alunos movimentem um ponto do applet,
observem o que ocorre e façam registro de suas observações. Espera-se que os
alunos citem, entre suas observações, o fato de que o ponto A representa um ângulo
marcado num círculo trigonométrico e no applet está associado a seu seno, que a
medida que o ângulo muda de valor, também se altera. Na letra b, a pergunta é
direcionada para que os alunos observem e mencionem como se dá a variação dos
valores de seno do ângulo, em cada quadrante. Esperamos que além de perceber
que o valor do seno aumenta no 1º e no 4º quadrantes e diminui no 2º e 3º
quadrantes, os alunos associem os sinais assumidos pelo seno nos respectivos
quadrantes. Na letra c, são apresentadas pequenas equações trigonométricas, são
118
dados os resultados do seno e é pedido o valor dos ângulos associados a cada
resultado. Esperamos que os alunos movimentem o applet e descubram que
ângulos estão associados a cada valor de seno. Complementando esta letra c,
perguntamos se é possível obter mais de um resultado para cada sentença,
esperamos que os alunos identifiquem que dependendo dos quadrantes
investigados, podemos obter resultados diferentes para o mesmo valor de seno.
A tarefa 2 refere-se à função cosseno no círculo trigonométrico e são
propostas tarefas similares à tarefa 1, só que agora referentes ao cosseno.
Esperamos que sejam realizadas observações com o mesmo critério que na tarefa1,
mas associando às características do cosseno: que aumenta no 3º e 4º quadrantes
e diminui no 1º e 2º quadrantes, além de apresentar sinais diferenciados
dependendo do quadrante.
A tarefa 3 analisa a função tangente no círculo trigonométrico. Traz como
diferencial em relação às duas tarefas anteriores o fato de questionar a reta que
representa o eixo da tangente. Esperamos que os alunos identifiquem a reta como
sendo paralela ao eixo y, passando pelo ponto (1,0), ou ainda como sendo uma reta
do tipo x = 1. Pretendemos que eles percebam que diferente das funções seno e
cosseno, a tangente posiciona-se externamente ao círculo e é uma função
crescente, não tendo intervalos de decrescimento, mas pontos nos quais ela não se
define.
A Atividade Complementar 5 visa fixar os conteúdos explorados na Atividade
5, sem utilizar o recurso computacional. A tarefa 1 oferece um círculo orientado, na
letra a dessa tarefa, é pedido que nele sejam assinalados pares de ângulos, alguns
em graus outros em radianos. Após posicionar os pares de ângulos no círculo é
pedido que os alunos completem uma tabela, na qual deverão informar os valores
dos ângulos em graus, se estes forem dados em radianos, ou em radianos, se forem
dados em graus; a que quadrante eles pertencem; que variação sofrem os valores
de seno e de cosseno desses pares de ângulos. Na letra b, pede-se que relações
observadas sejam relatadas. Esperamos que os alunos percebam que dependendo
do quadrante no qual os ângulos se posicionem, à medida que aumentamos ou
diminuímos os valores dos ângulos isso acarretará uma mudança nos valores de
seno e cosseno que nem sempre serão diretamente proporcionais e que tal fato está
intimamente relacionado ao quadrante.
119
Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico
1-Considere o círculo trigonométrico abaixo:
a)Assinale neste círculo os seguintes pares de ângulos:
e
e
; 120° e 150°;
; 300° e 330°. Realizada esta tarefa, complete a ta bela:
Pares de
ângulos em
graus
Pares de
ângulos em
radianos
Quadrante
Variação do
seno neste
quadrante
Variação do
cosseno neste
quadrante
e
120° e 150°
e
300° e 330°
b)Que relações é possível estabelecer entre os valores de seno e cosseno em
cada par de ângulos?
2- a)Desenhe uma circunferência de raio 1 cm e assinale nela os ângulos de 0°,
30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.
b)Observando a posição deste ângulos na circunferência, complete a tabela com
os valores de seno e cosseno dos ângulos do abaixo:
Ângulo
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
seno
cosseno
3-Você sabe já sabe que o seno está associado ao eixo y e o cosseno ao eixo x.
Preencha, em cada quadrante, os sinais que o seno e o cosseno assumem:
Seno
Explicação para o
sinal
1ºQ:
2º Q:
3º Q:
4º Q:
Cosseno
Explicação para
sinal
1ºQ:
2º Q:
3º Q:
4º Q:
120
Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico(Continuação)
4-Complete a tabela seguinte:
Razão
Sinal
Justificativa
Razão
Sinal
Justificativa
sen40°
cos20°
sen140°
cos 130°
cos200°
sen
sen340°
cos
5- Marque os ângulos no círculo trigonométrico e
complete a tabela com o sinal < (menor que) ou >
(maior que), de forma que as sentenças sejam
verdadeiras:
a)sen50° ____sen12° e)cos60° _____cos240º
b)sen80° ____sen110º f)cos (- 270°)____cos300°
c)sen60º ____sen300º g)sen60°_____ cos (- 300°)
d)cos70° ____cos410°
6-Resolva as expressões abaixo, consultando a tabela de razões trigonométricas de
arcos notáveis, que você completou na tarefa 2, letra a, dessa atividade:
a)Sendo x = , calcule o valor de
sen7x + cos14x.
b)Calcule
A tarefa 2 é uma tarefa de fixação que solicita aos alunos que desenhem um
círculo de raio unitário e nele posicionem os arcos notáveis, depois completem uma
tabela com os valores de seno e cosseno desses ângulos. Consideramos essa
tarefa de simples resolução, pois os alunos poderão consultar livros ou apostilas
para completar tanto a tabela quanto o círculo. Esperamos que os alunos não
apresentem grandes dificuldades para resolvê-la.
A tarefa 3 explora o sinal das funções seno e cosseno em cada quadrante,
pedindo que os alunos justifiquem estes sinais. Esperamos que os alunos associem
os sinais ao posicionamento dos eixos x (cosseno) e y (seno) , do plano cartesiano.
A tarefa 4 complementa a tarefa 3, pois apresenta alguns senos e cossenos de
ângulos em graus ou radianos e solicita o sinal de tais razões trigonométricas.
Esperamos que os alunos, embasados nos quadrantes em que estes ângulos se
posicionam, informem os sinais de cada uma das razões apresentadas.
A tarefa 5 pede que os alunos comparem razões trigonométricas diferentes.
Esperamos que os alunos utilizem o desenho do círculo trigonométrico dado para
121
posicionar os ângulos e comparar os tamanhos de suas projeções no eixo x, no caso
do cosseno, ou no eixo y, no caso do seno; para então afirmar quais razões são
maiores ou menores em relação as outras.
A tarefa 6 representa expressões comumente encontradas em livros
didáticos, em que se faz necessário substituir e/ou aplicar valores de senos e
cossenos de arcos notáveis para solucionar a expressão. Acreditamos que, como
essa tarefa exige a aplicação de técnicas matemáticas e não somente uma análise,
alguns alunos possam sentir dificuldade em desenvolvê-la, por mais simples que ela
pareça.
Atividade 6 - Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente
1- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_seno.html
Movimente o ponto P e analise a função seno:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função seno é periódica? Por quê?
2-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_cosseno.ht
ml
Movimente o ponto P e analise a função cosseno:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função cosseno é periódica? Por quê?
3-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_tangente.html
Movimente o ponto A e analise a função tangente:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função tangente é periódica? Por quê?
4- Que limitações você percebeu ao usar os applets?
A Atividade 6 utiliza um applet que associa as funções seno, cosseno e
tangente no círculo trigonométrico aos gráficos no plano cartesiano. A tarefas 1, 2 e
3 pedem que os alunos observem o que acontece com os gráficos das funções
seno, cosseno e tangente, à medida que é completa uma volta na movimentação de
um ponto específico e analisem se tais funções são periódicas ou não e qual seria o
respectivo valor desse período. Esperamos que os alunos notem que a cada volta
completa no círculo um período do gráfico é desenhado, logo são funções periódicas
e têm como períodos 2π, no caso das funções seno e cosseno, e π, no caso da
tangente. Acreditamos que devido à presença das assíntotas verticais a função
122
tangente traga um pouco de dificuldade a sua compreensão pelos alunos, no que
achamos que a manipulação do applet minimizará tal situação.
A tarefa 4 questiona os alunos acerca de possíveis limitações dos applets.
Esperamos que os alunos mencionem o fato de que os applets não permitem o
desenho do gráfico além da primeira volta no círculo trigonométrico, ou seja, só
desenha o gráfico em seu primeiro período.
A Atividade Complementar 6 visa fixar os conceitos sobre gráficos das
funções seno e cosseno, explorados pelos applets em sala de aula. A tarefa 1 pede
que os alunos montem gráficos das funções seno e cosseno na mesma malha
quadriculada, após preencher duas tabelas acerca dos valores de seno e cosseno
de ângulos notáveis que se posicionam para além de uma volta. Esperamos que os
alunos desenhem os gráficos no mesmo plano, sobrepondo-os, facilitando a
visualização da defasagem entre eles, mas podemos esperar que eles os desenhem
separadamente, já que a malha oferecida é grande.
Na tarefa 2 é pedido que os alunos registrem suas observações referentes
aos dois gráficos e mencionem o valor da defasagem entre os dois. Esperamos que
os alunos indiquem que as formas dos gráficos lembram duas ondas e que sua
defasagem é de um quarto do círculo trigonométrico, ou seja, 90°.
A tarefa 3 é uma tarefa de fixação, e pede que os alunos mencionem valores
de domínio, imagem, intervalos crescentes ou decrescentes e se as funções seno e
cosseno são pares ou ímpares.
A tarefa 4, que consideramos um pouco mais complexa que as demais dessa
atividade, pede que os alunos apresentem um modelo algébrico que represente uma
função periódica. Acreditamos que essa tarefa seja mais complexa, pois exige dos
alunos apresentar uma representação abstrata de um modelo geométrico, algo com
o qual os alunos não estão acostumados. Esperamos que eles apresentem a
representação: f(x) = f(x + p).
A tarefa 5 pede que os alunos observem um corte transversal de uma telha de
amianto e associem este corte a uma das funções trigonométricas: seno ou
cosseno. Esperamos que os alunos associem o formato desse corte ou a função
seno ou a função cosseno.
A tarefa 6 pretende associar as funções seno e cosseno com conteúdos de
Física, pede que os alunos associem tais funções a conteúdos de Física do livro da
123
2ª série. Pretendemos que os alunos encontrem no livro de Física conteúdos como
Estudo de Ondas, Acústica, Óptica e os associem aos gráficos das funções seno e
cosseno.
Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação
Vamos agora esboçar os gráficos das funções seno e cosseno.
1- Complete as tabelas:
Ângulo
Arco em Seno
Ângulo
Arco em Cosseno
(arco em
graus
(arco em
graus
radiano)
radiano)
0
0
π
π
2π
2π
3π
3π
4π
4π
A partir dos dados das tabelas, esboce o gráfico da função seno e da função
cosseno na malha quadriculada:
2-a)Registre suas observações acerca dos gráficos.
b)Os gráficos das funções seno e cosseno representam dois tipos de ondas.
Observando seus desenhos na malha quadriculada percebemos que seus
gráficos são defasados entre si, pois se iniciam em coordenadas diferentes.
Você seria capaz de encontrar o valor dessa defasagem entre as ondas?
Informe o valor dessa defasagem.
124
Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação- (Continuação)
3- Você conheceu duas novas funções: a função seno e a função cosseno,
complete de acordo com o que você aprendeu:
Função Seno
Função Cosseno
Domínio
Imagem
Intervalo onde é
crescente
Intervalo onde é
decrescente
È par ou ímpar?
4- Você aprendeu que as funções seno e cosseno são periódicas. Diga com
palavras o que isso significa. Se uma função é periódica, de período p,
represente usando a linguagem simbólica o que isso significa.
5- A telha de amianto é muito usada em telhados. Se fizermos um corte
transversal na telha, a que função ela pode ser associada? Justifique.
6-Analisando livros de Física da 2ª série, que assuntos você consideraria ter
alguma relação com os gráficos das funções seno e cosseno? Justifique.
A Atividade 7 apresenta applets que exploram as relações de simetria e
redução ao uma primeiro quadrante. As tarefas 1, 2 e 3, cada uma se relacionando
a um dos casos de redução ao 1º quadrante, pedem que os alunos observem e
anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor
na tela do computador, pedem que informem em que quadrante variam os ângulos
observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem
como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os
alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α+ β= 180°; β- α= 180° e α+
β= 360°, para representar as relações entre os ângul os em cada par de quadrantes
e perceber que em cada um desses pares de quadrantes há uma relação diferente
entre senos e cossenos, que podem ser iguais ou simétricos entre si.
125
Atividade 7- Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante
1- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_1_reducao_quadrante.h
tml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor α.
b) Em que quadrante varia o ângulo α? E o ângulo β?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos α e β, e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de α e β?
2- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet2_reducao_quadrante.ht
ml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor α.
b)Em que quadrante varia ângulos α ? E o ângulo β?
c) Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos α e β, e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de α e β?
3- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_3_reducao_quadrante.h
tml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor α.
b) Em que quadrante varia o ângulo α? E o ângulo β?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos α e β, e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de α e β?
A Atividade Complementar 7 pretende fixar as técnicas de redução ao
primeiro quadrante. A primeira tarefa explora situações em que estas técnicas
devem ser aplicadas. A segunda tarefa associa estes conceitos com a resolução de
expressões. Esperamos que os alunos apliquem corretamente as técnicas de
redução ao primeiro quadrante e, especialmente, que resolvam a expressão da
tarefa 2, que consideramos mais complexa, mas que já foi debatida anteriormente.
126
Atividade complementar 7- simetrias e redução ao primeiro quadrante
As tabelas de razões trigonométricas apresentam senos, cossenos e
tangentes de ângulos de 1° a 89°. O motivo para só constarem nestas tabelas
os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos do primeiro quadrante está
no fato de existirem relações de simetria entre estes ângulos e os demais
quadrantes do círculo trigonométrico. Estas relações simétricas permitem
descobrir as razões trigonométricas nos demais quadrantes, por meio de
associações geométricas no círculo trigonométrico.
A partir das associações geométricas podemos estabelecer relações
que nos permitem determinar as razões trigonométricas para todo o círculo
trigonométrico.
Observe:
*arcos de 2º quadrante(x), compreendidos entre 90° e 180°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu suplemento, ou seja, subtraindo-os de
180°( π): π- x;
*arcos de 3º quadrante(x), compreendidos entre 180° e 270°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu explemento, ou seja, subtraindo deles
180°( π): x - π;
*arcos de 4º quadrante(x), compreendidos entre 270° e 360°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu replemento, ou seja, subtraindo-os de
360°(2 π): 2π- x;
Os valores das razões trigonométricas serão iguais aos seus simétricos,
modificando-se apenas os sinais, que respeitam o quadrante do arco original.
Conhecendo estas relações, resolva as atividades abaixo:
1-Determine os valores de:
a)sen300°:
d)cos510°
b)cos(-60°):
e)cos225°
c)sen
2-Calcule o valor de sen
f)sen450°
+ cos
+ cos
+ sen
A Atividade 8 explora tanto relações de complementaridade quanto fórmulas
de soma de ângulos. A tarefa 1 pede que os alunos observem e anotem suas
observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do
computador, pede que informem em que quadrante variam os ângulos observados e
que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem como qual é a
relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os alunos sejam
capazes de produzir expressões do tipo: α + β= 90° para representar a relação de
complementaridade entre os ângulos e que o seno de um dos ângulos é igual ao
cosseno do outro.
127
Atividade 8- Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de
arcos
1-Acesse o endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_arcos_complem
entares.htmlF:\home\aluno\Marlizete\appletarcoscomplementares.html
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor α. Que relações é possível
estabelecer entre os ângulos α e β?
b)Em que quadrante variam os dois ângulos?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos α e β, e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de α e β?
2- Acesse o endereço eletrônico:
http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2001/2001/trig/funcoes2.htm14
No applet presente nessa página, há dois ângulos desenhados em um círculo
trigonométrico. Externamente ao círculo, temos três segmentos azul, vermelho e
verde.
2.1. Clique na caixa sin(A + B) e na caixa “characters”:
a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos
segmentos?
Azul: ______________________ Vermelha: _____________________
Verde: _____________________
b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B.
Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando
aumentamos ou diminuímos um desses ângulos:
Semirreta
Aumentamos
Diminuímos
Aumentamos Diminuímos
A
A
B
B
Azul
Vermelha
Verde
c)O que você percebe após analisar a tabela acima?
2.2.Clique na caixa cos(A + B) e na caixa “characters”:
a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos
segmentos?
Azul: ______________________ Vermelha: _____________________
Verde: _____________________
b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B.
Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando
aumentamos ou diminuímos um desses ângulos:
Semirreta
Aumentamos Diminuímos
Aumentamos Diminuímos
A
A
B
B
Azul
Vermelha
Verde
c) O que você percebe após analisar a tabela acima?
14
O site esteve disponível na época da aplicação da atividade, mas se encontra fora do ar desde
13/05/2011.
128
A tarefa 2 explora as fórmulas de soma entre os ângulos. A tarefa 2.1 e 2.2
analisam, respectivamente, a fórmula do seno e do cosseno da soma de dois
ângulos. Nessas tarefas é pedido que os alunos observem o applet durante o
movimento e anotem o que ocorre a cada ângulo e com seu somatório à medida que
estes são manipulados e estabeleçam relações entre estes comportamentos.
Esperamos que os alunos observem e destaquem que à medida que aumentam o
valor da soma do ângulo o seno da soma aumenta, mas seu cosseno diminui e viceversa e que somar os ângulos não significa somar diretamente os senos e cossenos
pois estamos lidando com uma combinação gráfica de informações.
A
Atividade
Complementar
8
objetiva
fixar
conceitos
acerca
de
complementaridade e de soma e diferença de ângulos. A tarefa 1 aborda
especificamente ângulos complementares. É dada uma tabela em que dois ângulos
estão associados, numa relação de complementaridade. Esperamos que os alunos
utilizem os conhecimentos adquiridos para completá-la, calculando ângulos
complementares e percebendo que os senos desses ângulos são iguais aos
cossenos de seus complementos e vice-versa.
A tarefa 2 explora o conceito de soma e diferença de ângulos, são dadas as
fórmulas de seno e cosseno e uma tabela de senos e cossenos de alguns ângulos e,
baseados nessas informações, é solicitado aos alunos que completem uma tabela
com senos e cossenos de ângulos obtidos pela soma ou diferença dos ângulos
iniciais.
As tarefas 3, 4 e 5, consideramos as mais complexas até aqui propostas, pois
pedem que os alunos elaborem expressões algébricas a partir de outras expressões
algébricas. Consideramos tarefas mais complexas, pois nossos alunos não estão
habituados a lidar com este nível de abstração.
129
Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma
e da diferença de arcos
Ângulos complementares são ângulos cuja soma é 90°. A complementaridade
interfere nas razões trigonométricas. O seno de um ângulo representa o
cosseno de seu complemento e vice-versa. Com esta informação percebe-se
que não precisamos conhecer o seno e o cosseno de todos os ângulos do
primeiro quadrante, basta conhecer os valores de 1° a 45°, os demais poderão
ser obtidos partindo da complementaridade.
1-Complete a tabela com as razões trigonométricas ausentes.
Ângulo (α)
senα
35°
0,57
25°
0,42
cosα
Complemento
de α
(ângulo β)
senβ
cosβ
0,82
0,91
0,59
0,81
2- Você aprendeu que há fórmulas para a soma e para a diferença de senos e
cossenos de ângulos no círculo trigonométrico:
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa
sen(a – b) = sena.cosb – senb. Cosa
cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb
cos(a – b) = cosa.cosb + sena.cosb
Conhecidas as fórmulas da soma e da diferença e os valores de seno e
cosseno dos ângulos abaixo:
Ângulos (α)
20°
senα
0,34
cosα
0,94
30°
0,5
0,87
45°
0,71
0,71
55°
0,82
0,57
60°
0,87
0,5
70°
0,94
0,34
Encontre os valores de seno e de cosseno de:
Ângulo
a)50°
b)75°
c)90°
d)100°
Seno
Cosseno
130
Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma
e da diferença de arcos (Continuação)
3-Sabendo que sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa e
cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb, estabeleça expressões matemáticas
que representem: o sen(2α) e o cos(2α).
sen(2α)
cos(2α)
4-É possível afirmar que cos2 α= ½ [ 1+cos(2 α)]?Verifique se a afirmativa é
verdadeira.
5-Use as relações estabelecidas para cos(a+b) e cos(a – b) para expressar
sen2 α em função de cos(2α).
Bloco 5: Atividades Avaliativas
Objetivos
Dois testes: verificar a aprendizagem dos conteúdos abordados.
Teste 1: resolver problemas aplicados que envolvessem razões trigonométricas no
triângulo retângulo. Interpretar e converter informações em graus e radianos. Saber
operar com ângulos maiores que 360°, obtendo sua 1ª determinação positiva, o nº
de voltas feitas e o quadrante em que esta determinação positiva se encontra.
Saber encontrar o comprimento de uma ou mais voltas na circunferência orientada,
bem como o comprimento de um arco menor que 360°.
Teste 2: comparar senos e cossenos de ângulos diferentes, no mesmo quadrante ou
em quadrantes diferentes. Ser capaz de encontrar os valores de seno e cosseno de
arcos fora do 1º quadrante, utilizando a redução ao primeiro quadrante. Analisar e
extrair propriedades de gráficos das funções seno e cosseno. Resolver expressões
que utilizem valores de seno e cosseno de ângulos notáveis.
Questionário: verificar que impressões os alunos tiveram acerca da sequência de
atividades aplicada, tanto das atividades que utilizaram materiais de medição quanto
as que utilizaram recursos computacionais.
Feira de Matemática: apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos no
projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade.
Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com os dados
coletados durante o desenvolvimento do projeto, para serem expostos durante a
Feira.
131
Teste 1(A)
1-(IMENES; LELLIS, 2009, p. 278) Para vencer o desnível de 3,15m será
construída uma rampa com inclinação de 15°. Com que comprimento a rampa
ficará? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97; tg 15° = 0,27)
2-Observe o telhado:
x
Sabendo que o pendural (viga vertical) mede 0,90 metros e que a empena e a
linha (viga horizontal) formam um ângulo de 15° ent re si, determine o valor da
linha, representada pela variável x. (Dados sen15°= 0,26; cos15°=0,96 ;
tg15°=0,27)
3-(DANTE, 2005, 199) na construção de um telhado foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em rel ação ao plano horizontal.
Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que,
até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra
o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94;
tg20°=0,36.)
4-Uma pessoa numa bicicleta dá 6 voltas em torno de uma pista circular de
diâmetro 8 m.
a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste
ciclista, em uma volta completa. (Use: π = 3, 14)
b)Determine a distância percorrida ao final das 6 voltas.
c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45°
de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido?
5-Um ângulo de 4° em radianos corresponde a um ângu lo de
rad. Esta
afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
6- Se transformarmos
rad em graus, obteremos quantos graus?
132
Teste 1(A)
(Continuação)
7- Marque no plano cartesiano abaixo os ângulos:
,
,
8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente
circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy
e alguns pontos. Veja a representação:
Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente
a um ângulo de 230°, ele estará entre os pontos:
a)A e B
b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C
9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4750°.
a)Quantas voltas completas ele deu?
b)Em qual quadrante ele parou?
c)Qual a 1ª determinação positiva desse arco?
10-Qual a questão que você mais gostou de resolver?
Esta primeira Atividade Avaliativa será por nós chamada de Teste 1 (A).
Nesta Atividade, as tarefas 1, 2 e 3 abordam as razões trigonométricas no triângulo
retângulo. Esperamos que os alunos apliquem corretamente a razão seno na tarefa
1 e a razão tangente nas tarefas 2 e 3. A tarefa 4 explora a ideia de comprimento de
circunferência e comprimento de arco de circunferência. A letra a espera o cálculo
do comprimento de uma volta na circunferência, utilizando a expressão C= 2.π. r; a
letra b explora a descoberta do comprimento da circunferência quando são dadas
mais voltas, esperando que o resultado seja obtido multiplicando-se o resultado da
letra a, pelo número de voltas. A letra c pede o comprimento de um arco de 45°
dessa mesma circunferência, para encontrar este valor esperamos certa criatividade,
133
pois além da regra de três que pode ser aplicada a este caso, o aluno pode dividir a
circunferência em oito partes e encontrar o comprimento desse arco a partir do
resultado da letra a.
As tarefas 5 e 6 exploram as conversões de unidades em graus e radianos,
esperando que os alunos expliquem como chegaram aos respectivos resultados. As
tarefas 7 e 8 pedem o posicionamento de alguns ângulos no círculo trigonométrico,
tarefas que consideramos mais simples.
A tarefa 9 explora a ideia de arcos côngruos apresentando um arco bem
maior que 360° solicitando o número de voltas dadas além de 360°, em que
quadrante sua determinação positiva parou e qual era seu valor. Considerando que
o arco da tarefa é um arco negativo, acreditamos que os alunos podem ter
dificuldade em encontrar a 1ª determinação positiva, mas não a negativa e o número
de voltas dadas.
A tarefa 10 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de
resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da
atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
Foi elaborado um segundo tipo de teste sobre esse assunto, por nós
identificado como Teste 1 (B) (APÊNDICE B), possuindo as mesmas características
que o Teste 1(A) anteriormente comentado, com análises análogas.
134
Teste 2 (A)
1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°,
círculo trigonométrico:
250°, 280° e 320°, no
Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada
sentença seja verdadeira:
a)sen 35° ______sen72°
c)cos250° ______ cos200°
b)cos 280°______cos320°
d)sen120°______sen 100°
2-Sabendo que o ângulo x vale
determine o valor da expressão:
sen(6x) – cos(12x)
3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos
notáveis:
4-Determine o sinal da expressão:
x
x
5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°.
a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante
ele pára?
b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do sen1560°
vale:
a) positivo
b)
negativo c)
negativo
d)
positivo e)
positivo
6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você
aprendeu, encontre os valores abaixo:
a)sen135°:
b)cos240°
c)sen300°
135
Teste 2 (A)
(Continuação)
7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica:
Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso)
para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função.
a)( )Esta função é uma função par.
b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a
decrescente no intervalo de
e de
a 2π; e é
.
c)( )Esta função é uma função ímpar
d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo
de 0 a π.
e)( )este gráfico é da função y = senx.
f)( )este gráfico é da função y = cosx.
8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo:
1
–3
–2
π 5
–
6
7 8
–1
I.Qual o seu domínio?__________
II-Qual a sua imagem?_________
III-Qual o seu período?_________
IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico:
a)y= cosx
b)y= 2cosx c)y= cos
d)y= senx
e)y= sen
9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique.
Esta segunda Atividade Avaliativa é chamada de Teste 2 (A). A primeira
tarefa explora, como na Atividade Complementar 5, as relações entre senos e
cossenos de alguns ângulos, inicialmente, oferecemos um círculo trigonométrico
para que posicionem os ângulos e depois possam comparar se seus senos ou
cossenos são maiores ou menores. As tarefas 2 e 3, como envolvem resolução de
expressões já abordadas na Atividade Complementar 5, esperamos que os alunos
sintam menos dificuldades ao resolvê-las. A tarefa 4 consideramos simples, pois
136
solicita apenas o sinal da expressão envolvendo senos e cossenos de alguns
ângulos, visto que não é necessário saber os valores de seno e de cosseno dos
ângulos.
As tarefas 5 e 6 abordam as reduções ao primeiro quadrante, diferindo
apenas pelo fato de que a tarefa 5 oferece um ângulo maior que 360°.
As tarefas 7 e 8 referem-se aos gráficos das funções seno e cosseno,
pedindo que os alunos analisem os gráficos prontos, que apresentam mais de um
período em seus desenhos, para depois destacarem suas características. A tarefa 7
apresenta sentenças prontas, pedindo a associação de V, para sentenças
verdadeiras em relação ao gráfico dado, e F, em relação a sentenças falsas em
relação ao gráfico dado. A tarefa 8, um pouco mais complexa, pede informações
acerca do domínio, imagem, período e da função algébrica relacionada ao gráfico
dado.
A tarefa 9 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de
resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da
atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
Foi elaborado um segundo tipo de teste sobre esse assunto, por nós
identificado como Teste 2 (B) (APÊNDICE C), possuindo as mesmas características
que o Teste 2 (A) anteriormente comentado, com análises análogas.
Avaliação das atividades integrantes do projeto de modelação em
trigonometria- questionário
1-O que você achou das atividades que envolveram as medições em sala de aula,
utilizando trena, esquadros, transferidor e canudo? (Descreva todas as suas
impressões, com detalhes)
2-Destaque os pontos positivos e negativos do trabalho realizado durante as
medições em sala de aula;
3-O que você achou do trabalho sobre a trigonometria das construções da cidade?
(Descreva todas as suas impressões, com detalhes)
4-Destaque pontos positivos e negativos durante a execução do projeto:
Trigonometria das construções da cidade;
5-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas em sala,
efetuando as medições, e do projeto?
6-O que você achou das atividades realizadas com applets na sala de informática?
(Descreva todas as suas impressões, com detalhes)
7-Destaque pontos positivos e negativos do trabalho realizado na sala de
informática com o uso dos applets.
8-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas na sala de
informática?
137
O Questionário avaliativo pretende analisar todo o percurso da sequência
didática. As perguntas 1 e 2 referem-se às Atividades 1 e 2 aplicadas em sala de
aula, em que os alunos efetuavam medições, utilizando materiais concretos
e
tinham que encontrar a altura da parede da sala de aula e/ou um ângulo de
inclinação. Estas perguntas visam perceber quais impressões os alunos tiveram
dessa forma de abordagem.
As perguntas 3 e 4 pretendem avaliar o projeto que relacionava os
conhecimentos trigonométricos aprendidos em sala de aula com as construções
existentes na cidade. Objetivamos saber que impactos este trabalho teve na
concepção dos alunos.
As perguntas 6 e 7 referem-se às atividades realizadas na sala de informática
e analisam como estas atividades influenciaram a visão dos alunos sobre sua
aprendizagem utilizando esse recurso.
As perguntas 5 e 8 pedem aos alunos sugestões para posteriores melhorias
nas atividades, visamos aproveitar o envolvimento dos alunos para enriquecer estas
atividades.
Ao final da aplicação da sequência didática uma Feira de Matemática é
proposta. Como um instrumento avaliativo, visa apresentar à comunidade escolar os
resultados obtidos pelos alunos no desenvolvimento do projeto do bloco 2. Com o
uso da pesquisa realizada durante o projeto pretende-se que os alunos elaborem
desafios, problemas associados aos dados coletados e maquetes, obedecendo a
uma determinada escala, acerca das construções escolhidas.
4.4 A implementação da sequência didática
Para implementar a sequência apresentamos uma proposta, desenvolvida
num conjunto de 18 aulas, distribuídas ao longo de 5 semanas, num regime de 4
aulas semanais.
No total foram 22 aulas de aplicação da sequência de atividades, quatro
aulas extraturno na sala de informática, duas aulas para a aplicação de testes, na
última aula de aplicação da sequência, foi proposto o questionário para que os
138
alunos avaliassem a sequência de atividades. A culminância, com a Feira de
Matemática, se deu após o término da aplicação da sequência.
O Quadro 13 apresenta a forma como foi desenvolvido o trabalho junto aos
alunos;
Atividades
Objetivos
Preparatória A
Casa
08/02/2011
Recuperar os conhecimentos anteriores dos alunos
acerca de triângulos: classificação quanto aos lados,
ângulos, soma dos ângulos de seus ângulos internos.
Explorar a planta baixa de uma casa e os conceitos
nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos.
Estimular a observação e o manejo de plantas baixas,
bem como o uso instrumentos de medida.
Mobilizar conhecimentos sobre semelhança de
triângulos para encontrar a altura da parede da sala de
aula, dispondo de régua, esquadro e canudo de
refrigerante.
Atividades de fixação com semelhança de triângulos
para verificar a invariância das relações.
Preparatória B
Casa
11/02/2011
Atividade 1
Sala
16/02/2011
Complementar
1
Casa
Atividade 2
Sala
18/02/2011
Complementar
2
Casa
Sala
21/02/2011
Desafio
Casa
21/02/2011
Sala
22/02/2011
Projeto
Casa
22/02/2011
Atividade 3
Sala
23/02/2011
Complementar
3
Casa
Encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura
da parede e a distância até ela, dispondo de um
transferidor e um canudo de refrigerante.
Formalizar a definição das razões trigonométricas
seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e
explorar estas relações em triângulos variados, em
posições diversas;
Explorar relações fundamentais na trigonometria.
Sistematização e socialização das atividades 1 e 2
(correção, comentários e formalização dos conceitos).
Conhecer e associar algumas partes do telhado à
formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o
Teorema de Pitágoras;
Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua
planta.
Discutir o desafio e explicar o projeto: Enxergando e
modelando a trigonometria das construções da cidade.
Enxergando e modelando a trigonometria das
construções da cidade.
Selecionar, junto aos alunos, construções que eles
achavam interessantes na cidade e delas extrair a
trigonometria presente: telhados, escadas, rampas,etc.
Escolher e resolver três problemas aplicados, que
abordem razões trigonométricas diferentes, a partir de
uma lista de problemas aplicados retirados de livros
didáticos.
Pedir aos alunos que elaborem exercícios a partir de
situações práticas que envolvam razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Tempo
Disposição
dos alunos
1h/a
Dupla
1h/a
1h/a
Dupla
Grupos de
4a6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Grupos de
4a6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Individual
1h/a
Dupla
1 h/a
Individual
8h/a
Grupos de
4a6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
139
Quadro 13
Atividades
Sala
25/02/2011
Atividade 4
Sala
28/02/2011
Complementar
4
Casa
Teste
Sala
01/03/2011
Atividade 5
Sala de
informática
02/03/2011
Complementar
5
Casa
Atividade 6
Sala de
informática
04/03/2011
Sala
04/03/2011
Complementar
6
Casa
Sala
14/03
Sala
15/03/2011
Objetivos
Retomar a atividade de casa;
Introduzir o conceito de circunferência, visualizando
nela outro campo para o estudo de ângulos e razões
trigonométricas;
Introduzir o conceito de radiano e conversões de
unidade de arcos;
Formalizar conceitos de comprimento de arco e de
circunferência.
Fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco
orientado, o que são os quadrantes do círculo
trigonométrico e quais seus intervalos de existência;
Explorar noções de arcos côngruos e de primeira
determinação positiva e negativa.
Explorar o conceito de comprimento de circunferência
e comprimento de arcos.
(Continuação)
Disposição
Tempo
dos alunos
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Individual
1h/a
Duplas
Verificação de aprendizagem do conteúdo trabalhado.
Perceber o que ocorre com os valores de seno,
cosseno e tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do
círculo trigonométrico;
Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores
de seno, cosseno ou tangente;
Identificar os eixos correspondentes às funções seno,
cosseno e tangente no círculo trigonométrico.
Atividades de fixação dos conceitos abordados na
atividade com recurso computacional.
Observar como são formados os gráficos das funções
seno, cosseno e tangente, à medida que completamos
uma volta na circunferência;
Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando
se as funções trigonométricas citadas são ou não
periódicas, podendo identificar tal período.
Sistematização e retomada das atividades 5 e 6 da
sala de informática
Desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a
partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano
cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem
entre as funções. Destacar características dos gráficos
e funções trigonométricas, associando-as às partes de
um telhado e a aplicações a outras áreas de
conhecimento.
Construção de gráficos das funções seno e cosseno
em papel quadriculado;
Retomada das atividades complementares 5 e 6
Apresentação dos resultados do projeto: Enxergando
e modelando a trigonometria das construções da
cidade.
Mostra de pôster.
1h/a
Dupla
1h/a
Duplas
1h/a
Individual
2h/a
Dupla
1h/a
individual
1h/a
Grupos de
4a6
pessoas
140
Quadro 13
Atividades
Atividade 7
Sala de
informática
16/03/2011
Sala
16/03/2011
Complementar
7
Casa
Sala
18/03/2011
Teste
21/03/2011
Sala
22/03/2011
Atividade 8
Sala de
informática
23/03/2011
Sala
23/03/2011
Complementar
8
Casa
Sala
25/03/2011
07/04/2011
Feira de
Matemática
Objetivos
Analisar as situações de simetria no círculo
trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à
origem) para estabelecer as expressões de redução
ao 1º quadrante, considerando o quadrante em que os
ângulos se encontram.
Sistematização da atividade 6: reduções ao primeiro
quadrante
Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao
primeiro quadrante, abordados na atividade com
recurso computacional.
Retomada das atividades 7 e complementar 7,
sistematização e fixação.
Verificação de aprendizagem dos conteúdos
abordados.
Aula expositiva: Identidades trigonométricas, relações
fundamentais e outras funções trigonométricas.
Perceber relações de complementaridade entre
ângulos e como isso afeta os valores de seno e de
cosseno de arcos num mesmo quadrante;
Explorar as fórmulas de soma e subtração de ângulos
através de abordagem geométrica em software
dinâmico.
Sistematização e retomada da atividade 8;
(Continuação)
Disposição
Tempo
dos alunos
1h/a
Duplas
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
Individual
1h/a
Individual
1h/a
Individual
1h/a
Dupla
1h/a
Individual
Fixar as idéias sobre complementaridade de ângulos e
sua influência sobre os valores de seno e cosseno;
1h/a
Fixar as fórmulas de soma e diferença de ângulos;
Permitir aos alunos a recriação de alguns modelos
algébricos abstratos clássicos em trigonometria.
Retomada e sistematização da atividade
complementar 8.
1h/a
Questionário de avaliação dos alunos.
Expor os resultados do projeto para a comunidade
escolar, apresentando modelos representativos das
4h/a
construções estudadas a luz da matemática e desafios
elaborados a partir de dados obtidos ao longo do
desenvolvimento do projeto.
Quadro 13: Implementação da sequência de atividades
Fonte: Dados da pesquisa
Dupla
Individual
Grupo
4a6
pessoas
Participaram dessa proposta de implementação da sequência, 70 alunos de
duas turmas de 2ª série do Ensino Médio, que aqui denominaremos: turma A (36
alunos) e B (34 alunos).
Na primeira aula da aplicação da sequência, após a apresentação da
proposta, procedemos à divisão dos grupos em cada turma, conforme a
necessidade de cada atividade.
Todas as atividades, tanto de sala quanto complementares, eram feitas em
duas vias: ao grupo de alunos era entregue duas folhas, onde os alunos resolviam
141
os questionamentos colocando as observações que achassem pertinentes. Ao
terminarem as atividades, apenas uma folha era entregue à professora, a outra folha
ficava com o grupo que a utilizava no momento de discussão e socialização das
descobertas e como parte do conteúdo escolar.
Ao longo da execução dessas atividades, os alunos foram estimulados a se
expressarem e representarem suas descobertas sob os mais diversos tipos de
modelos: figuras, textos escritos, expressões numéricas e algébricas.
O primeiro bloco de atividades retomou alguns conceitos como: Teorema de
Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala. Consistiu de duas atividades
preparatórias A e B, que foram resolvidas em casa e socializadas em sala de aula,
momento em que o conteúdo nelas abordado foi sistematizado.
O segundo bloco de atividades se referia à Trigonometria no triângulo
retângulo. Contava com atividades diversificadas: duas realizadas em grupos, nas
quais os alunos necessitavam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar,
utilizando alguns materiais concretos. Uma em que os alunos escolheram, entre
vários problemas aplicados de trigonometria, retirados de livros didáticos, três para
serem resolvidos e depois elaboraram seus próprios problemas aplicados. Um
desafio com a planta de uma casa em que os alunos analisaram a inclinação do
telhado nela representado, empregando conceitos de escala e associando o telhado
a modelos abstratos. E o projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das
construções da cidade. No qual os alunos foram estimulados a enxergar a
trigonometria nas construções da cidade. Os alunos listaram construções que eles
consideravam interessantes: telhados de chalés, telhados da escola, tesouras de
terraços, escadas de igreja, escadas circulares, rampas da escola.
A partir da
enumeração dessas construções, os alunos foram divididos em grupos de até 6
pessoas cada um, cada grupo analisaria uma das construções enumeradas. Os
alunos tinham que fotografar a construção e desenhar um croqui, utilizando um
modelo matemático que expressasse a construção fotografada, numa escala de
1:50, informando nesse desenho as medidas correspondentes e destacando a
trigonometria presente, com cálculos, descrições, desenhos auxiliares ou o que o
grupo achasse necessário para expressar suas conclusões. O trabalho foi entregue
em duas vias: uma escrita em folha A4 e uma em forma de pôster, em papel AG,
para apreciação da comunidade escolar.
142
Antes da aplicação das atividades do terceiro bloco, foram introduzidos
conceitos como: circunferência, comprimento de circunferência, ângulos medidos em
graus e em radianos, arcos de circunferência, comprimento de arcos de
circunferência, círculo trigonométrico orientado. Após essas considerações, as
atividades do bloco três foram aplicadas como atividades de fixação necessárias
para a estruturação do conteúdo. Abordaram a transição da trigonometria do
triângulo retângulo para o círculo trigonométrico.
O quarto bloco contemplou a trigonometria no círculo trigonométrico e no
plano cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus
gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de
complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades
utilizaram recursos computacionais, explorando a manipulação de applets. A
sistematização das atividades em sala e complementares ocorreu nos horários
normais de aula, uma vez que o uso do recurso computacional foi realizado
extraturno.
Durante o desenvolvimento da sequência didática, foram aplicados dois
testes, previstos no calendário escolar, para verificação da aprendizagem do
conteúdo ministrado até a data de cada teste. Ao final da sequência, foi aplicado aos
alunos um questionário, para que os próprios registrassem suas impressões acerca
da sequência didática. O questionário foi analisado de forma a indicar os pontos
positivos e negativos, destacados pelos alunos, da aplicação da sequência e da
forma como as atividades foram conduzidas. Finalizando a sequência, aproveitando
uma Feira de Matemática realizada na escola, os resultados obtidos no projeto:
Enxergando e Modelando a trigonometria das construções, foram apresentados à
comunidade escolar sob a forma de desafios, problemas aplicados elaborados a
partir dos dados coletados e maquetes das construções pesquisadas.
143
5 OS ALUNOS REALIZANDO ATIVIDADES DE MODELAGEM: UMA ANÁLISE
DOS RESULTADOS
Nesse capítulo discutimos os principais resultados da pesquisa, procurando
identificar se as hipóteses levantadas ao longo das análises à priori foram
confirmadas e os objetivos atingidos, buscando relatar os processos utilizados pelos
alunos, enquanto modelando as situações matemáticas e descobrindo relações.
Conduzimos a análise qualitativa das atividades, comparando os resultados
da análise a posteriori com a análise a priori, observando os alunos durante o
processo de modelação dos dados, resolvendo desafios propostos, buscando
relacioná-los a modelos clássicos da Trigonometria.
Selecionamos as atividades de maior relevância para fins de análise,
agrupando-as
segundo
a
proximidade
dos
objetivos
pretendidos,
independentemente do bloco da sequência ao qual pertenciam.
5.1 Atividades 1 e 2
As Atividades 1 e 2 por demandarem o uso de material concreto, sendo
situações com referência na realidade da sala de aula foram agrupadas.
A primeira atividade mobilizou conhecimentos de semelhança de triângulos
para encontrar a altura da sala, sem medi-la diretamente. A aplicação dessa
atividade, relacionando semelhança de triângulos, precedendo um estudo da
Trigonometria justifica-se por ser a semelhança de triângulos o conteúdo base da
trigonometria no triângulo retângulo. (BRASIL, 2006; LIMA et al, 2006a). A segunda
atividade complementou a primeira, pois foram utilizadas as medidas encontradas
na primeira para associar um ângulo de inclinação, pelo qual o ponto mais alto da
parede podia ser observado.
Ambas se inspiraram em Quinlan (2004), e pretendiam mergulhar os alunos
num contexto próximo ao que deu origem ao conhecimento trigonométrico que se
pretendia introduzir. As formalizações e sistematizações dos referidos conteúdos
144
trigonométricos só vieram depois, partindo das descobertas dos alunos. (QUINLAN,
2004; LINDEGGER, 2000; CAVANAGH, 2008). A opção por essas atividades
fundamentou-se em Bassanezi (2009), considerando que escolher problemas
relacionados a situações concretas age como elemento motivador e estimula a
participação do aluno.
Para essas atividades os alunos foram organizados em 7 grupos por turma.
Na turma A tivemos 5 grupos de 5 pessoas, um grupo de 6 pessoas e um grupo de 4
pessoas, assim distribuídos devido a afinidade entre os colegas. Na turma B tivemos
5 grupos de 4 pessoas, um grupo de 6 pessoas e um grupo de 5 pessoas, também
distribuído assim devido a afinidade entre os alunos.
Para realizar a Atividade 1, a cada grupo foi entregue um esquadro, uma
trena e um canudo de refrigerante, para encontrarem a altura da parede da sala,
sem medi-la diretamente. Esta tarefa foi elaborada inspirada no caso 1 de
Modelagem proposto por Barbosa (2001): uma situação problema descrita e
apresentada pelo professor, com informações necessárias a sua resolução cabendo
aos alunos sua resolução. E associa a utilização de materiais manipuláveis como
recursos que podem auxiliar os alunos em seu processo de ensino-aprendizagem
durante a execução da tarefa. (SILVA; SANTOS-WAGNER, 2010; GIL; MENDES,
2010; BRIGUENTI, 2000).
Tanto numa turma quanto na outra os alunos tiveram dificuldades em
encontrar uma forma de utilizar o esquadro para resolver o problema proposto,
mesmo associando seu formato a um triângulo retângulo. Tal dificuldade era
esperada, pois os alunos informaram nunca terem tido experiências assim antes, e,
como em Oliveira (2006), nos deparamos com alunos sem habilidades com materiais
de desenho e medida, com poucas atitudes positivas no início do trabalho e que
demoraram a terminar as atividades.
Os alunos fizeram algumas tentativas, desnecessárias, de encontrar o
perímetro da sala e de calcular a hipotenusa do esquadro que tinham em mãos.
Somente após questionamentos e sugestões da professora começaram a associar a
atividade a uma situação que envolvesse semelhança de triângulos.
145
Figura12: Grupo 6, 2º B, realizando a Atividade 1.
Fonte: Dados da pesquisa
As maiores dificuldades encontradas pelos alunos, residiam na identificação
de quais os conteúdos que eles poderiam utilizar. (FIDELES; ALMEIDA, 2004). Não
estavam acostumados com problemas investigativos no formato proposto pela
modelagem matemática. O usual para eles era resolver problemas usando sempre
conteúdos vistos anteriormente. O professor expunha o conteúdo, mostrava
exemplos eles repetiam o processo em exercícios, sempre nessa ordem.
Como toda mudança, essa também gerou uma insegurança inicial. Informada
pelos alunos no questionário de avaliação, proposto ao final da aplicação da
sequência. Dos 67 questionários respondidos, todos afirmaram que de início
consideraram as atividades difíceis, o que só mudou ao longo da execução.
Concordamos que as atividades tinham um nível de complexidade alto em
sua execução: a proposta era concreta, mas demandava abstração para que fosse
associado o modelo matemático para a situação. Apesar de utilizar material
concreto, como o esquadro, este era pequeno comparado à dimensão da parede,
era necessário abstrair, imaginar, para associar a situação a um modelo matemático
conhecido. Como afirmam Cifuentes e Negrelli (2007), a formalização, ou
generalização, do conteúdo num processo de modelagem, é possível a partir de
uma situação particular, seguida de sua abstração e associação com outras
situações. Mas este não é um processo simples, demanda amadurecimento e
intuição matemática para ser realizada.
Apresentamos abaixo as declarações de alguns alunos, acerca dessas
atividades:
146
Achei interessante, pois é melhor colocar em prática o que estamos
estudando do que ficar só na teoria. Achei desafiadora também, porque não
podíamos encostar na parede, tivemos que “quebrar a cabeça”. (ALUNO A,
2º B).
Achei bastante construtivas (as atividades), pois serviram de base para as
outras atividades que fizemos na sala. (ALUNA B, 2º B).
Achei bem interessante a atividade, através da matéria tiramos a conclusão
que a matemática é muito usada no dia-a-dia, através dos modelos
matemáticos explorados conseguimos achar as devidas medidas. (ALUNA
C, 2º B).
Eu achei bem interessante, só que foi um trabalho bem difícil de ser
realizado. (ALUNA D, 2º B).
Eu achei interessante, pois foi uma aula diferente onde os alunos puderam
ficar de pé e quebrar a cabeça, coisa que nas outras aulas não é possível.
Foi uma aula prática e não uma aula monótona. (ALUNO E, 2º B).
Eu achei muito legal, porque parece que tudo que tá lá fora é em forma de
equações matemáticas. (ALUNO F, 2º A).
Percebemos, pelas declarações dos alunos, que mesmo considerando a
atividade de difícil execução ela foi classificada como muito interessante, pois
alterou o modelo usual de aula, em que os alunos se mantém sentados recebendo
as informações. O fato de terem que se movimentar para realizar as atividades, os
estimulou; fez com que percebessem que a Matemática está imersa no cotidiano e
que é necessária sua compreensão, como forma de interagir de maneira mais
efetiva com a realidade que os cerca. (BARBIERI; BURAK, 2005; CALDEIRA, 2007).
Na turma A, percebemos uma dependência maior dos alunos em relação à
ajuda da professora, o que já era esperado dadas as dificuldades de aprendizagem
de alguns alunos pertencentes à turma. Dos grupos da turma A nenhum conseguiu
concluir a Atividade 1 durante a aula, ficando os grupos responsáveis por terminar
os cálculos e justificativas em casa e trazer os resultados na aula seguinte, para o
momento de socialização. Na turma B os alunos se mostraram mais autônomos que
na turma A, mas mesmo assim demonstraram dificuldades; contudo, 5 grupos
concluíram a Atividade 1, dois não concluíram e não quiseram terminar o que faltava
em casa. A socialização se deu na aula seguinte.
Dos 14 grupos formados, 11 realizaram a tarefa toda, respondendo as letras a
e b; dois fizeram apenas a letra a e um fez apenas a letra b.
Dez grupos conseguiram resolver o problema proposto. Como se tratou de
uma atividade inspirada em Modelagem Matemática, em que a coleta dos dados era
responsabilidade dos alunos, a princípio observamos apenas os cálculos
matemáticos, que por sinal os 10 grupos realizaram corretamente. Todos
147
encontraram uma relação de semelhança de triângulos entre o esquadro e o sistema
parede e chão, associando-os e modelando-os corretamente.
Mas, modelar de forma matematicamente correta não significa que o valor
encontrado para a altura da parede tenha sido o correto. Percebemos que os erros
cometidos estavam ligados à forma de coleta dos dados. O que consideramos
compreensível, pois os alunos estavam habituados a receber os dados prontos para
aplicar uma técnica de resolução já conhecida por eles. Ter de coletar os dados e
decidir de que forma proceder não era algo com que estivessem acostumados, daí a
dificuldade inicial em saber como proceder.
Como nosso trabalho se inspirou em uma perspectiva de modelagem que
buscou trabalhar os conteúdos matemáticos de forma a possibilitar a construção de
conceitos matemáticos relacionando-os ao cotidiano, aplicações e utilizações.
(BARBIERI; BURAK, 2005), treinar técnicas matemáticas não era nosso objetivo
inicial, concentramos nossos esforços em simular a realidade visando um ensino de
Matemática contextualizado. (BORGES, 2010). Uma abordagem com a qual nossos
alunos não estavam familiarizados.
Destacaremos alguns exemplos que ilustram o que afirmamos:
Figura 13: Resultado do grupo 1, 2º B, da Atividade 1, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
148
Percebemos que este grupo foi o que mais se aproximou da altura real da
parede, aproximadamente 3,5 metros de altura. Os alunos descreveram seus
métodos, efetuaram o cálculo corretamente e adicionaram corretamente a altura da
mesa sobre a qual estava o esquadro e fizeram um desenho para a situação. Apesar
de apresentarem os cálculos e raciocínios corretos, deixando transparecer que
utilizaram corretamente o esquadro, nos chamou a atenção o fato de que a
representação geométrica não foi correta. Isso pode ilustrar o quanto as
representações geométrica e algébrica dos alunos estavam desconexas. Mas,
mesmo com a representação geométrica feita de modo errado, o grupo conseguiu
um resultado correto e próximo da representação real.
Em outro grupo, percebemos que faltou atenção para encontrar o valor da
altura da parede, o grupo efetuou os cálculos corretos e como encontrou um
resultado plausível, não se lembrou que faltava adicionar a altura da mesa em que
posicionaram o esquadro.
Figura 14: Resultado do grupo 9, 2º A, da Atividade 1, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Alguns grupos efetuaram cálculos corretos, porém encontraram valores muito
grandes para a medida da altura:
149
Figura 15: Resultado do grupo 8, 2º A, da Atividade 1, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos que o grupo desenhou formas geométricas coerentes com o
esquadro que utilizavam, a partir dos dados coletados, mas obteve um valor muito
grande para a medida da altura, o que nos leva à crença de que o erro nesse caso
se deve ao mal posicionamento do esquadro.
Esse resultado nos indica que, embora a situação problema tivesse uma
relação com a realidade, essa relação é tão pouco explorada que os alunos
perderam a perspectiva da realidade. Na atividade em questão, seria como se,
mesmo a parede estando na frente dos alunos, ela não fosse concreta para eles, a
partir do momento em que não podiam medi-la diretamente. O fato de os alunos
encontrarem uma altura de 5,5 m para esta parede e não reconsiderarem a coleta
de dados é indicativo que eles perderam a referência na realidade.
Doze grupos resolveram a letra b, desses apenas um não citou a semelhança
de triângulos como parte da matemática envolvida. Percebemos que o uso do
material concreto propiciou a associação do problema com a resolução por
semelhança de triângulos, já que o esquadro, material concreto em questão, possui
forma triangular, um referente que auxiliou os alunos a selecionarem o tipo de
informação necessário para resolver o problema. (SPINILLO; MAGINA, 2004).
150
Sete grupos não descreveram as etapas utilizadas para resolver a tarefa o
que nos faz perceber que os alunos apresentam dificuldades em se expressar na
forma escrita.
Apesar das dificuldades os alunos se mantiveram motivados durante a
execução da atividade, não percebendo inclusive o sinal de encerramento da aula,
dado o grau de envolvimento que demonstraram. Um indício de que a abordagem
inspirada na modelagem manteve a motivação e o envolvimento dos alunos na
atividade. (SANTOS; BISOGNIN, 2007; BASSANEZI, 2009; FRANCHI, 2007;
BARBOSA, 2004; KATO et al, 2010).
No momento da socialização os alunos confrontaram seus resultados com os
dos colegas e explicitaram os procedimentos adotados na resolução da Atividade 1.
Concordaram que a dificuldade enfrentada foi decorrência de não terem tido
experiências anteriores similares. Justificaram que posicionaram o esquadro, mas
não tinham certeza se conseguiam visualizar o ponto mais alto da parede da posição
escolhida, ou seja, não estavam conseguindo manusear o material concreto
corretamente. Concluímos, assim que é importante investir nesse tipo de abordagem
para permitir que os alunos se envolvam e tenham a oportunidade de aplicar
técnicas conhecidas e verificar quando elas são viáveis ou não.
Quando questionados quanto ao porquê de, mesmo com esquadros
diferentes e se posicionando a distâncias diferentes da parede, a altura dela deveria
ser a mesma, os alunos afirmaram que era devido ao ângulo de cada esquadro,
quanto maior o ângulo pelo qual observavam o ponto mais alto da parede, através
do esquadro, mais próximos da parede deveriam se posicionar. (ANOTAÇÃO 1 DA
PROFESSORA, aula dia 18/02/2011).
No desenvolvimento da Atividade 2, os alunos das duas turmas tiveram
menos dificuldades, provavelmente devido ao fato de terem desenvolvido a
Atividade 1. Todos os grupos conseguiram concluir a atividade no horário de aula,
em um espaço de tempo menor. Para esta atividade foi disponibilizado aos grupos
de alunos um transferidor, uma trena, um canudo de refrigerante e os dados da
Atividade 1(altura da parede e a distância até ela encontrados pelos grupos). Com
estes materiais e os dados os alunos deveriam encontrar o ângulo de observação
pelo qual o ponto mais alto da parede poderia ser visto. Pretendíamos que os alunos
verificassem se o posicionamento do material, (carteira e esquadro) na aula anterior
151
havia sido correto, o que seria confirmado se encontrassem o mesmo ângulo do
esquadro que utilizaram.
Figura 16: Grupo 1 e grupo 2, 2º B, respectivamente, realizando a Atividade 2.
Fonte: Dados da pesquisa
Dos 14 grupos, 5 confirmaram que haviam se posicionado corretamente,
encontrando o mesmo ângulo do esquadro e um valor plausível para a altura da
parede.
O grupo 14 da 2ª série A, foi um dos que confirmou as medições feitas na
Atividade 1:
Figura 17: Resposta grupo 14, 2º A, Atividade 2, tarefa a
Fonte: Dados da pesquisa
O grupo confirmou o ângulo de 30° do esquadro utili zado na atividade anterior
e ainda apresentou um modelo geométrico correto para representar a situação.
Cinco grupos encontraram novos ângulos, percebendo que haviam se
posicionado de forma errada, por isso alguns valores inadequados foram
encontrados. O grupo 8, da 2ª série A, foi um dos grupos que corrigiu os valores
encontrados:
152
Figura 19: Resultado grupo 8, 2º A, Atividade 2, tarefa a
Fonte: Dados da pesquisa
O grupo 8, da 2ª série A, encontrou um valor absurdo para a altura da parede
(5,5 m), após a constatação de que esse valor não era correto, eles se posicionaram
com o transferidor e o canudo, como se fosse uma luneta, de um ponto à distância
da parede,
encontrada na Atividade 1 e verificaram que o ângulo correto para
aquela posição era de 20°. Elaboraram um modelo par a representar a situação: um
triângulo retângulo e dele determinaram sua hipotenusa, utilizando o Teorema de
Pitágoras.
Quatro grupos continuaram se posicionando de forma errada, mostrando que
não conseguiram assimilar o uso do instrumento de medida.
Na tarefa b, quando indagados sobre a Matemática que eles conseguiriam
associar à Atividade 2, três grupos citaram figuras semelhantes, um grupo não
resolveu esta tarefa, três grupos mencionaram o triângulo retângulo e o Teorema de
Pitágoras, três grupos mencionaram ângulos de 90° e 30° e quatro grupos
associaram as razões trigonométricas tangente e cosseno como matemática
relacionada à situação estabelecida. (ANOTAÇÃO 2 DA PROFESSORA, aula dia
21/02/2011).
A partir desses quatro grupos que mencionaram as razões trigonométricas
foram iniciados os diálogos acerca desse assunto e a formalização do conteúdo.
153
Nesse sentido, nos aproximamos das abordagens de autores como: Lindegger
(2000), Cavanagh (2008) e Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b).
A opção por uma pesquisa inspirada pela modelagem nos levou a não
apresentar inicialmente a formalização alterando a ordem usualmente proposta.
(CALDEIRA, 2009; KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006).
5.2 Atividade Preparatória B e Desafio da Planta do Telhado
A Atividade Preparatória B, pertencente ao Bloco 1, e o Desafio da Planta do
Telhado, pertencente ao Bloco 2, foram agrupadas para serem analisadas juntas,
por explorarem a manipulação de modelos abstratos presentes no cotidiano dos
alunos, como as plantas baixas de casas. A análise das plantas baixas pode ser
considerada como um exemplo de Matemática aplicada, pois explora a
representação de um modelo externo à matemática: a planta baixa. (BURAK, 2010).
Explora conhecimentos de formas geométricas, o uso de escalas e culmina, no
desafio da planta, com a associação dos modelos abstratos geométricos ao
conteúdo de trigonometria que se pretende explorar. O uso desse recurso funciona
como motivador inicial, e age na tentativa de que o aluno incorpore conhecimentos
que poderão ser úteis ao seu convívio social. Esta abordagem, de acordo com
Bassanezi (2009), agrega dois pontos importantes de um ensino inspirado pela
modelagem: a motivação, já discutida, e a abstração, ao buscar associar as
situações concretas a modelos matemáticos clássicos.
Percebemos que na Atividade Preparatória B, o reconhecimento da forma
geométrica presente na planta não representou dificuldade para os alunos, nem a
determinação da área de cada cômodo e de toda a casa. Quanto ao reconhecimento
do significado da escala, quatorze das trinta e quatro duplas que fizeram a atividade,
apresentaram erros ao explicar o que significava uma escala de 1 para 50. Dois
erros são citados nas Figuras 20 e 21 abaixo:
154
Figura 20: Resultado do grupo 6, 2º A, na Atividade Preparatória B, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 21: Resultado do grupo 6, 2º B, na Atividade Preparatória B, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa.
O primeiro resultado sugere que a dupla não soube interpretar a escala como
uma razão entre informações de mesma unidade, já que não havia menção a
unidade diferente em sua indicação. Mas o segundo resultado destacado evidencia
que a dupla não sabia o que era uma escala.
Quanto às conversões de escala, nessa atividade os alunos sentiram uma
dificuldade considerável, o que se evidencia pelo fato de que o número de duplas
que conseguiu converter corretamente os valores utilizando escalas, 16 duplas, foi
inferior ao número daqueles que a fizeram de forma errada. Na Figura 22, vemos um
exemplo conversão correta feita por uma das duplas:
Figura 22: Resultado grupo 16, 2 B, Atividade Preparatória B, tarefa 5.
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 23, vemos o erro cometido pelo grupo 14, 2º A. Os alunos não
consideraram a escala, apenas trocaram o símbolo da unidade centímetro para o da
unidade metro.
Figura 23: Resultado grupo 14, 2º A, Atividade Preparatória B, tarefas 2 e 5.
Fonte: Dados da pesquisa
155
Esta primeira atividade foi considerada por nós necessária para estimular nos
alunos a não esperarem respostas prontas do professor e desenvolverem
habilidades para encontrarem por si próprios as respostas, utilizando conhecimentos
prévios para solucionar a situação problema. (KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006).
O Desafio da Planta do Telhado foi aplicado 10 dias após a Atividade
Preparatória B. Nesse intervalo de tempo outras atividades foram propostas aos
alunos em sala, inclusive com o propósito de amenizar as dificuldades encontradas
no trabalho com escalas. Percebemos que os problemas que demandavam o uso da
escala não representaram as mesmas dificuldades da primeira atividade. Das 35
duplas que realizaram a atividade, 22 fizeram corretamente a conversão de
unidades.
A partir dessa atividade, nossa intenção foi de ampliar os conhecimentos dos
alunos mencionando, ou tentando suscitar neles, o uso de modelos trigonométricos
clássicos,
como:
triângulo
retângulo,
Teorema
de
Pitágoras
ou
razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Na resolução da tarefa 2 dessa atividade, todos as duplas mencionaram que
ao modelo apresentado na planta poderia ser associado a um triângulo retângulo; na
tarefa 4, ao buscarem pela inclinação do telhado, doze duplas utilizaram o
transferidor e dez duplas utilizaram razões trigonométricas para fazê-lo.
A Figura 24 traz um exemplo de um modelo trigonométrico destacado por
uma das duplas:
Figura 24: Resposta grupo 1, 2º A, Desafio da Planta, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
A dupla, além de calcular o seno do ângulo de inclinação, sem conhecê-lo,
soube utilizar uma tabela de razões trigonométricas para encontrar o valor
aproximado do ângulo. É interessante perceber que, não foram apresentados
previamente exemplos desse tipo, mas os alunos foram capazes de resolver
situações problema com os quais ainda não haviam se deparado.
156
A dupla 8 da 2ª série B sugeriu outra forma de se encontrar esse ângulo de
inclinação: “Olhar qual razão trigonométrica é mais viável usar e fazer a
tangente.”(GRUPO 8, 2º B).
Os registros escritos dos alunos mostram que as razões trigonométricas
foram utilizadas, por 10 duplas, de forma correta, mesmo que a abordagem não
tenha sido a usual de definir, mostrar exemplos e depois propor exercícios. Este fato
ilustra que a abordagem com materiais concretos, realizada nas Atividades 1 e 2, e a
posterior formalização teórica, pode surtir um efeito positivo, representando uma
oportunidade de oferecer um momento de aprendizagem que propicie um
desenvolvimento significativo no conteúdo de Matemática. (KFOURI; D’AMBRÓSIO,
2006).
Esperávamos que os alunos identificassem na figura das partes de um
telhado, triângulos retângulos e associassem ao Teorema de Pitágoras, porém,
apenas uma dupla estabeleceu tal relação. Transcrevemos abaixo a resposta da
dupla 17, 2º B, única dupla a mencionar o Teorema de Pitágoras como uma
associação possível entre os elementos de um telhado:
A metade da linha, o pendural e a empena formam um triângulo retângulo,
logo medindo apenas o pendural e a linha, podemos aplicar o Teorema de
Pitágoras para calcular a hipotenusa. (GRUPO 17, 2ºB).
5.3 Atividade Complementares 1 e 2
As Atividades Complementares tinham o intuito de fixar os conceitos
abordados nas atividades em sala e perceber como alguns conceitos estavam sendo
aplicados. Algumas poderiam não estar diretamente ligadas a problemas com
referência na realidade, mas decorreram de atividades anteriores que tinham relação
com situações práticas.
A Atividade Complementar 1, aplicada logo após a Atividade 1, pretendia
verificar se os alunos reconheciam e aplicavam conceitos de semelhança de
triângulos. Como se tratava de uma atividade de fixação, optamos por analisar
apenas a tarefa 3, que além da fixação de técnicas de resolução, demandava a
elaboração de um modelo geométrico para a situação exposta na forma escrita.
157
Os resultados destacados apresentam formas diferentes de se representar
uma mesma situação-problema.
Figura 25: Resultado grupo 5, 2ªA, Atividade
Complementar 1, tarefa 3, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 26: Resultado grupo 7, 2ªA, Atividade
Complementar 1, tarefa 3, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 27: Resultado grupo 3, 2ªA, Atividade
Complementar 1, tarefa 3, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 28: Resultado grupo 1, 2ªB, Atividade
Complementar 1, tarefa 3, letra a.
Fonte: Dados da pesquisa
Nas Figuras 25 e 26, os alunos representaram a situação, na letra a, sem
fazer alusão ao modelo geométrico triângulo, o que fizeram na letra b; nas figuras
27 e 28, os desenhos já foram feitos pensando na associação com os triângulos
semelhantes e repetiram o modelo triângulo na letra b. A diferença entre as duas
formas de representação era o uso de triângulos separados e o uso de triângulos
justapostos
Das 35 duplas que fizeram a atividade, apenas 7 não conseguiram resolver a
tarefa proposta. A Figura 29 mostra um erro que começou no desenho e se
estendeu até o cálculo da altura do pinheiro. Como não conseguiram fazer uma
representação correta da situação (sombras projetadas no chão), o grupo não foi
capaz de identificar o ferramental matemático necessário para resolver o problema.
O grupo demonstrou ainda, pela forma como resolveu a tarefa, não compreender o
que estava sendo pedido. Esse resultado confirma o erro cometido pela dupla nas
Atividades 1 e 2. Novamente o grupo perdeu a referência de realidade.
158
Figura 29: Resultado grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a e c
Fonte: Dados da pesquisa
A Figura 30 ilustra um erro de interpretação no próprio desenho; a dupla
desenhou a estaca na frente da sombra do pinheiro, não entendendo que estes
valores eram independentes entre si.
Figura 30: Resultado grupo 14, 2ªB, Atividade Complementar 1, tarefa 3, letra a e c.
Fonte: Dados da pesquisa
Antes de formalizar os conceitos de razões trigonométricas no triângulo
retângulo propusemos a Atividade Complementar 2, após o desenvolvimento da
Atividade 2. A intenção era a de promover essa formalização a partir da atividade,
fornecendo as definições das razões trigonométricas logo de início. Pretendíamos
com a sistematização que os alunos ressignificassem e aplicassem os modelos
clássicos da Trigonometria, associando-os entre si, percebendo suas propriedades,
fazendo uso da modelagem. (BIEMBENGUT; HEIN, 2007; BASSANEZI, 2009).
Para fins de análise discutiremos as tarefas 3 e 4 que além de aplicarem as
definições das razões trigonométricas que pretendíamos introduzir, suscitavam a
descoberta de propriedades e relações que são fundamentais na trigonometria.
A tarefa 3 apresentou um triângulo retângulo do qual eram conhecidos todos
os elementos. Foi dada uma tabela e pedido que os alunos a completassem
calculando os valores de algumas razões trigonométricas relativas ao triângulo em
questão. Das 32 duplas que realizaram a atividade, 15 preencheram todo o quadro
corretamente e 7 o preencheram parcialmente correto. Sinalizando uma maior
dificuldade por parte dos alunos no cálculo das tangentes.
159
Na Figura 31 destacamos o quadro resposta da dupla 11, percebemos que a
dupla resolveu praticamente todo o quadro corretamente, descuidando- se nas
sentenças IV e VIII, evidenciado, talvez, falta de atenção. Esse fato comprometeu a
análise da dupla na letra c dessa tarefa, pois não puderam estabelecer corretamente
as relações existentes entre as sentenças III e IV ou VII e VIII.
I
V
II
VI
III
VII
IV
VIII
Figura 31: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 32, ilustra o erro de outra dupla; os alunos não souberam identificar
os catetos opostos e adjacentes da sentença III e não houve coerência nos
resultados das sentenças VII e VIII.
I
V
II
VI
III
VII
IV
VIII
Figura 32: Resultado grupo 14, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Nas letras b e c dessa tarefa foi pedido que os alunos relatassem
observações acerca dos resultados do quadro. A letra b chamava a atenção para as
sentenças I, II, V e VI. Esperávamos que os alunos identificassem senα igual a cosβ
e vice-versa, e associassem esta ocorrência ao fato de α e β serem ângulos
complementares. A primeira previsão se confirmou, todas as duplas relataram as
igualdades, mas não conseguiram creditar o ocorrido ao fato dos ângulos serem
complementares. Essa constatação só pode ser feita no momento de socialização,
quando a professora efetuou uma intervenção. (ANOTAÇÃO 3 DA PROFESSORA,
aula dia 21/ 02/ 2011).
160
As Figuras 33 e 34 mostram duas constatações dos alunos. A segunda
constatação é ainda mais clara em termos matemáticos, o grupo especifica o porquê
do seno de um ângulo ser igual ao cosseno do outro. O que mostra que o grupo
conseguiu enxergar as propriedades presentes na atividade e estabelecer uma
conjectura, um tanto tímida, mas considerável, visto que o conteúdo não havia sido
formalizado.
Figura 33: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 34: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
A letra c dessa tarefa pedia que os alunos escrevessem que outras
observações eles poderiam destacar. Esperávamos que eles percebessem que as
sentenças III e IV ou VII e VIII tinham o mesmo resultado pois eram consequências
de uma mesma definição.
Doze duplas não fizeram a letra c, o que poderia estar associado ao fato de
terem completado o quadro da letra a de forma incorreta. Não permitindo que
visualizassem padrões ao comparar as respostas. Destacamos duas das
conjecturas citadas por grupos de alunos:
Figura 35: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 36: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 3, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
A primeira dupla, a partir de seus resultados, conseguiu visualizar que tgα
tinha resultado idêntico a
e, de forma análoga estendeu essa conclusão para as
razões do ângulo β. A segunda dupla respondeu apresentando uma generalização,
161
não mais se referindo aos ângulos α ou β, mas fazendo entender que esse
comportamento ocorreria para qualquer ângulo, embora faltassem ao rigor da
linguagem matemática ao expressar sua ideia. Percebemos que bem mais que
aplicar as técnicas, a atividade guiou e estimulou a descoberta de propriedades,
auxiliando na elaboração de conjecturas, referendando resultados de Kemp (2009)
relativos ao fato de que a análise de padrões que se repetem, auxilia na
formalização de conceitos e na descoberta de propriedades gerais.
Na tarefa 4 dessa atividade, exploramos a descoberta da relação fundamental
da trigonometria ou relação de Euler, tal como ela se desenvolveu dentro da própria
matemática, partindo de relações no triângulo retângulo, pela aplicação do teorema
de Pitágoras. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007; LIMA et al, 2006; MOISE; DOWNS,
1971). Ela foi desenvolvida com sucesso por 17 duplas.
Destacamos a seguir um dos resultados encontrados por uma dupla de
alunos. Uma estratégia interessante da dupla 11, Figura 37, foi utilizar valores
decimais aproximados para resolver a atividade. Em seu registro a dupla afirma
estar lidando com uma relação fundamental da trigonometria e que seu resultado
sempre se aproximará de 1.
Figura 37: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade Complementar 2, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
162
Ressaltamos que esta atividade foi realizada antes que se falasse de tal
relação com os alunos, sinal de que a atividade de cunho investigativo, mesmo
sendo guiada como sugere Ernest (1996), atingiu os objetivos propostos a priori.
5.4 Atividade 3 e Atividade Complementar 3
Precisávamos saber se a abordagem adotada permitia que os alunos
compreendessem e fossem capazes de aplicar as razões trigonométricas em
problemas aplicados, de acordo com a proposta da sequência em utilizar a
modelagem numa perspectiva didática e conceitual, que permitisse a introdução e o
desenvolvimento dos conceitos do conteúdo programático e a estruturação e
aprendizagem de processos e técnicas matemáticas. (KAISER; SRIRAMAN, 2006).
Para essa verificação, sem perder a linha de condução do trabalho,
propusemos a Atividade 3, tanto como uma atividade de fixação, realizada em sala,
como uma oportunidade para os alunos escolherem os problemas que queriam
resolver. As duplas receberam uma lista com 28 problemas aplicados de
trigonometria no triângulo retângulo (APÊNDICE A), retirados de livros didáticos
voltados para a Educação Básica. O objetivo não era resolver exaustivamente todos
os exercícios, mas perceber se os alunos eram capazes de escolher e resolver
corretamente um exercício referente a cada razão trigonométrica, anteriormente
formalizada, o que, na perspectiva de Loss e Biembengut (2010), permitiria perceber
se os alunos entenderam o conceito matemático proposto. Para tanto os exercícios
estavam dispostos de forma não sequencial, de tal maneira que os alunos deveriam
ler, interpretar para escolher o problema e só escolheriam corretamente, se
soubessem aplicar as razões trigonométricas.
Nesta atividade os alunos não demonstraram dificuldade. Inclusive, uma
dupla afirmou querer resolver novamente as Atividades 1 e 2, pois considerou que
havia adquirido novas formas para resolvê-las. (ANOTAÇÃO 4 DA PROFESSORA,
aula dia 23/02/2011).
163
Chamou nossa atenção o fato de que os alunos preferiam resolver problemas
que possuíam figuras, indicando que a presença de uma representação visual da
situação tornava mais fácil a escolha e aplicação da razão trigonométrica correta.
A única dificuldade demonstrada foi a de encontrar problemas relacionados
com a razão cosseno, o que é compreensível, pois na lista de exercícios os
problemas relacionados ao cosseno apareciam em menor quantidade.
Dos problemas escolhidos pelos alunos, o que envolvia a função seno que foi
mais citado foi o número 8 da lista. Na Figura 38 destacamos uma das duplas que o
escolheu como modelo a ser resolvido.
Figura 38: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 3, tarefa I.
Fonte: Dados da pesquisa
Esta dupla foi bem minuciosa ao destacar informações relacionadas ao
problema. Buscou representar o modelo matemático geométrico para mostrar o
raciocínio feito. Das 33 duplas que fizeram a atividade, doze escolheram esse como
problema sobre a razão seno a ser resolvido.
Para a função tangente, 19 duplas optaram pelo problema 22. Segue uma das
resoluções desse problema.
164
Figura 39: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade 3, tarefa II.
Fonte: Dados da pesquisa
Esta dupla não foi tão minuciosa ao destacar as informações dadas pelo
problema, mas buscou representar o modelo matemático de um triângulo para
ilustrar o raciocínio feito.
O problema 27 foi resolvido, como um exemplo de problema que envolvia a
razão cosseno, por 9 duplas e por uma dupla como exemplo de função tangente, já
que ele envolve duas razões trigonométricas distintas.
Figura 40: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade 3, tarefa III.
Fonte: Dados da pesquisa
165
Além do exercício 27, o exercício 7 também foi muito mencionado entre as
duplas , 6 duplas o resolveram; o que chama a atenção é que este problema era um
dos problemas de cosseno que não apresentava desenho representativo. A dupla
14, da 2ª série B, esboçou o próprio desenho para conseguir resolver o problema.
Figura 41: Resultado grupo 14, 2º B, Atividade 3, tarefa III.
Fonte: Dados da pesquisa
Mesmo sendo um desenho simples, ele carrega todas as informações que os
alunos acharam necessárias para resolver o exercício.
Apesar de se tratar de uma atividade de fixação, procuramos manter a
inspiração na Modelagem matemática, propondo que os alunos escolhessem os
problemas que queriam resolver. Nossa intenção foi de aproximar a atividade da
área de interesse dos alunos para que se envolvessem mais, já que a escolha, como
uma das etapas de modelagem, faria com que se sentissem responsáveis por sua
aprendizagem e agissem com mais empenho. (BASSANEZI, 2009; MIRANDA,
2009).
Complementando essa atividade, propusemos a Atividade Complementar 3,
de forma que os alunos elaborassem problemas aplicados sobre uma das razões
trigonométricas. Pretendíamos aproveitar o envolvimento na Atividade 3, para que
elaborassem suas próprias atividades, seus próprios modelos de situaçõesproblema com referência na realidade. Essa tarefa, além da percepção do
entendimento do conteúdo matemático proposto, ampliaria os conhecimentos dos
alunos, pois tendo que criar os próprios problemas, deveriam se preocupar com a
166
coerência das informações, pertinência ao assunto e criatividade na elaboração.
(LOSS; BIEMBENGUT, 2010).
Dos 31 grupos que realizaram essa atividade, 29 elaboraram problemas
relativos a uma das razões trigonométricas estudadas. Dois grupos trouxeram
problemas que envolviam outros conteúdos matemáticos: lei dos cossenos e
relações métricas no triângulo retângulo, mas que não representavam problemas
aplicados, o que nos levou a acreditar que tais problemas foram copiados de livros
didáticos, pelos alunos.
Dos problemas elaborados, verificamos que 15 deles, se referiam à tangente,
onze à razão seno e três ao cosseno. Acreditamos que o fato da razão tangente ter
sido a mais contemplada pelos alunos, reside no fato de que se trata de uma das
razões mais presentes em situações cotidianas. A necessidade de encontrar
distâncias inacessíveis como altura de prédios, postes, montanhas, paredes,
conhecidas as distâncias até estes pontos está presente no cotidiano dos alunos.
Por isso, explorar esta razão trigonométrica e sua importância é algo solicitado nas
Orientações Curriculares para o Ensino Médio. (BRASIL, 2006).
Destacamos alguns problemas que consideramos interessantes:
Figura 42: Resultado grupo 8, 2ª série B, Atividade Complementar 3.
Fonte: Dados da pesquisa
Neste problema percebemos a criatividade dos alunos ao se inspirarem em
uma das construções da cidade: a Igreja Matriz. Como a altura da igreja pode ser
167
considerada uma distância inacessível, empregaram coerentemente a razão
tangente para encontrar sua altura. Apesar de a redação do problema apresentar
limitações, podendo confundir o leitor, para um problema elaborado em sala, já que
este grupo foi o único que conseguiu resolver os problemas aplicados e elaborar
este problema na mesma aula, tal resultado foi um avanço.
Figura 43: Resultado grupo 11, 2ª série A, Atividade Complementar 3.
Fonte: Dados da pesquisa
Chamou a atenção a dupla ter se inspirado nas atividades realizadas em sala
de aula para elaborar o problema. Concordamos que a redação do problema precisa
ser melhorada, mas o fato de utilizarem a experiência vivida na tentativa de elaborálo, evidencia que a abordagem foi marcante para os alunos.
No problema apresentado na Figura 44, percebemos que a dupla se
confundiu ao posicionar as informações no desenho, a redação do exercício
apresentou problemas que confundiram os próprios elaboradores. Acreditamos que
a intenção de início era elaborar um problema que abordasse a função seno, mas
como a situação conduzia para a tangente, a dupla modificou a posição da
informação equivocadamente.
168
Figura 44: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade Complementar 3.
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando a Atividade Complementar 3,
percebemos a importância de
incentivar os alunos a elaborarem exercícios em Matemática, a partir de modelos já
conhecidos. A modelagem matemática enquanto uma estratégia de ensinoaprendizagem, não precisa valorizar demasiadamente o encontro imediato do
modelo definitivo, mas pode valorizar o processo, seguindo as etapas nas quais o
conteúdo matemático vai sendo sistematizado. (BASSANEZI, 2009).
5.5 Atividades com recursos computacionais- Atividades 5, 6, 7 e 8
As Atividades 5, 6, 7 e 8 demandavam o uso de recursos tecnológicos para
sua execução. A interlocução com a tecnologia objetivou utilizar recursos de
simulação e a dinamicidade de applets de forma a facilitar o entendimento dos
modelos abstratos da trigonometria, facilitando a atribuição de significados aos
modelos clássicos pelos alunos.
Optamos pelo uso dos applets, como já mencionado, devido a impossibilidade
de instalar nos computadores da escola softwares livres, como o Geogebra. Para
atingirmos os objetivos propostos a professora pesquisadora elaborou os applets
para esta pesquisa no Geogebra e os disponibilizou em um site para que os alunos
pudessem acessá-los via Internet.
Para a aplicação das quatro atividades com recursos computacionais,
utilizamos a sala de informática na escola. Como esta sala dispunha de apenas 12
computadores conectados à Internet, foi necessário dividir as turmas em dois
grupos, já que para um trabalho dessa natureza havia um grande número de alunos
169
por sala. Esta dificuldade também foi mencionada em Oliveira (2006) e para
contorná-la, sugerimos a divisão das turmas, nos pautando em resultados do estudo
piloto aplicado em 2010, conforme sugestão dos alunos participantes.
A proposta inicial era dividir a turma em dois grupos; um grupo viria extraturno
realizar a atividade e outro grupo a realizaria no horário de aula. O grupo que
realizou a atividade extraturno, faria atividades complementares no horário de aula,
enquanto a professora acompanhava o restante da turma na sala de informática;
mas, devido a problemas na rede elétrica da escola, que não suportou os
computadores ligados no período de aula (noturno), somente os alunos que
puderam vir extraturno participaram da atividade. Foi liberado, aos demais alunos, o
acesso ao site que disponibilizava os applets utilizados durante as atividades, para
que fizessem as atividades em casa, sem a supervisão da professora.
Para fins de análise, as Atividades 5, 6, 7 e 8 foram agrupadas e os dados
analisados dizem respeito a registros dos alunos participantes extraturno.
Da Atividade 5 participaram 20 duplas. Essa atividade explorou as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente como funções no círculo trigonométrico.
Três applets foram disponibilizados aos alunos: um sobre a função seno, um sobre a
função cosseno e um sobre a função tangente. Os alunos movimentavam pontos
posicionados no círculo trigonométrico, através da tela do computador e do mouse,
viam as modificações e registravam as observações na folha de Atividades.
A primeira tarefa dessa atividade se referia ao seno ( APÊNDICE D, Figura 1),
solicitava aos alunos que , acessando e movimentando o applet, escrevessem o que
observavam e como variava a função em cada quadrante. As 20 duplas
mencionaram que ao movimentar o ponto A os valores do ângulo α e do seno
variavam, diminuíam e aumentavam. Destacamos algumas respostas que
consideramos interessantes devido a redação:
Figura 45: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 46: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
170
Percebemos duas formas de descrever o que ocorria ao movimentar o ponto
A; a segunda dupla mencionada demonstra, talvez, mais concisão descrever.
As descrições ficam mais interessantes na letra b:
Figura 47: Resultado grupo 2, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 48: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 49: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos que os alunos destacam de várias formas o comportamento da
função seno ao longo dos quadrantes. Desde simplesmente informar em que
quadrantes a função diminui ou aumenta (Figuras 47 e 48), até mencionar os sinais
e os respectivos intervalos de variação (Figura 49). As repetições observadas
ajudam os alunos a sistematizar os conceitos. (KEMP, 2009).
Quando solicitados, na letra c da tarefa 1, a resolver pequenas equações com
o uso do applet, os alunos tiveram dúvidas se poderiam resolver apenas pelo
método de tentativa e erro ao movimentar o applet. Quando solucionada a dúvida
afirmaram ser mais fácil de resolver as atividades pelo computador que no caderno e
que seria melhor se pudessem utilizar o applet em casa para tirar dúvidas. Durante a
resolução desta sentença, alguns alunos utilizaram aproximações de valores que o
applet disponibilizava, por isso encontraram respostas decimais e diferentes de uma
dupla para outra.
Das 20 duplas que realizaram a atividade onze apresentaram uma resposta
correta para cada equação. Quatro informaram duas respostas corretas para cada
equação. Na Figura 50 temos um exemplo de uma dupla que informou dois valores
para cada equação.
171
Figura 50: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 1, letra c1
Fonte: Dados da pesquisa
A dupla 2, da 2ª série A, (Figura 51) apresentou uma única resposta para
cada equação, inclusive com uma aproximação diferente na sentença a do valor
encontrado pelo grupo 3 da 2º serie B, considerando as limitações do applet.
Figura 51: Resultado grupo 2, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c1
Fonte: Dados da pesquisa
Mesmo utilizando o applet, algumas duplas tiveram dificuldades em resolver
as equações que envolviam valores negativos, não estava claro para eles que
mesmo o seno estando negativo, o ângulo depende do sentido de movimentação,
poderia ser positivo.
Figura 52: Resultado grupo 4, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c1
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos na Figura 52 que as equações que envolviam resultados
positivos não ofereceram dificuldade, sendo apresentados dois resultados sem
arredondamentos, porém, corretos.
As equações que lidavam com valores
negativos, apresentam respostas equivocadas, respostas que desconsideraram o
sinal do seno, colocando como resposta ângulos do 1º e do 2º quadrantes, quando
estes deveriam estar no 3º e 4º quadrantes.
Quando perguntados se seria possível encontrar mais de uma resposta
correta para as equações, todas as duplas escreveram que seria possível.
Destacamos duas justificativas que consideramos interessantes:
Figura 53: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c2
Fonte: Dados da pesquisa
172
Nesta resposta, na Figura 53, a dupla justifica o fato de termos mais de uma
resposta para o mesmo resultado devido a termos dois quadrantes positivos e dois
negativos. Esta dupla, porém, só enxerga possibilidades em uma volta no círculo
trigonométrico, o que é compreensível, pois é a primeira vez que estes alunos
exploravam o círculo trigonométrico, ainda não estavam familiarizados com suas
propriedades. Outra dupla extrapolou as observações, informando que seria possível
termos mais de uma resposta correta se levarmos em conta mais voltas no círculo,
uma descoberta importante nessa fase do processo de ensino.
Figura 54: Resultado grupo 4, 2º A, Atividade 5, tarefa 1, letra c2
Fonte: Dados da pesquisa
Mesmo não acertando todas as equações, confundindo-se com os valores
negativos, a dupla apresentou uma conjectura interessante para seu nível de ensino,
que seria mais difícil de ser constatada sem o uso do recurso computacional. O uso
do recurso computacional otimiza o tempo gasto na resolução das atividades. O
aluno não se ocupa com cálculos numéricos dispondo de mais tempo para a
compreensão de propriedades e conceitos. (PIETROBON; COSTA; SOUZA, 2010;
FRANCHI, 2007; DELLA NINA, 2007).
A tarefa 2 referia-se à função cosseno, e utilizava outro applet, semelhante
ao primeiro. Os objetivos dessa tarefa eram muito próximos dos objetivos da tarefa
1, não oferecendo dificuldades ao alunos, que, como já haviam resolvido a primeira
tarefa, resolveram a segunda de maneira similar.
Destacamos alguns registros feitos pelos alunos acerca do que observavam
ao movimentar o ponto A nesse segundo applet:
Figura 55: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade 5, tarefa 2, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 56: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 2, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
173
Figura 57: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 2, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
De formas diferentes as duplas descrevem suas impressões fazendo
aparecer as características da função cosseno no círculo sem a necessidade de
uma aula expositiva. Percebemos que os alunos são capazes de associar à função
seus sinais em cada quadrante, seus intervalos de crescimento e decrescimento e a
variação da imagem da função cosseno.
A tarefa 3, envolvia a função tangente. Inicialmente pedia a identificação do
eixo da tangente, em seguida pedia que se registrassem as observações acerca de
seu movimento, como nas funções anteriores.
Quanto à identificação de seu eixo, os alunos o caracterizam de maneiras
distintas:
Figura 58: Resultado grupo 11, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 59: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 60: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 5, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Mesmo sendo a primeira vez com que trabalhavam com a função tangente no
círculo trigonométrico, os alunos conseguiram caracterizar o eixo das tangentes de
forma interessante, seja como reta paralela ao eixo seno ou ao eixo y, passando
pelo ponto (1, 0) ou como a reta x = 1.
Quanto a suas características, os alunos mencionam:
Figura 61: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 5, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
174
Figura 62: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 5, tarefa 3, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
Os alunos destacaram, a partir da manipulação do recurso computacional, os
quadrantes em que a tangente é positiva ou negativa e perceberam que se trata de
uma função crescente em todos os quadrantes.
Não podemos afirmar que esta seja a melhor ou pior forma de abordar este
assunto, nem que conseguiríamos, ou não, o mesmo resultado com uma aula
expositiva, mas podemos dizer que a motivação dos alunos se manteve durante a
aplicação dessa atividade, o que justificou o uso desse recurso. (SILVA; FROTA,
2010b).
A Atividade 6 utilizava applets que associavam as funções seno, cosseno e
tangente no círculo trigonométrico a seu gráfico no plano cartesiano, pretendendo
que os alunos percebessem que suas características, mesmo em representações
diferentes, se mantinham. (COSTA, 1997; BORBA; PENTEADO, 2001).
Acerca desse applet (APÊNDICE D, Figura 2), dois questionamentos eram
feitos: o que estava ocorrendo, à medida que movimentavam o ponto P, se a função
seno era periódica e qual seria esse período.
No início dessa Atividade os alunos sentiram dificuldade, não conseguiam
descrever o que viam na tela do computador, queriam uma resposta pronta da
professora, sem a necessidade de raciocinar acerca do que viam. Após alguns
minutos de observações e questionamentos, algumas ideias começaram a surgir.
Parte da dificuldade percebida foi devida ao fato de que o rastro do ponto que
formava o gráfico não podia ser apagado, logo os alunos não tinham como reiniciar
o processo, sem fechar o applet, para verificar as observações feitas.
Dentre os resultados obtidos, destacamos na tarefa 1, letra a, algumas
impressões e descrições que os alunos fazem ao movimentar o ponto P:
Figura 63: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 64: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
175
Figura 65: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade 6, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 66: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 6, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos uma evolução de raciocínios acerca da formação do gráfico da
função seno. Temos desde uma descrição totalmente empírica, nas Figuras 63 e 64,
até caracterizações mais detalhadas, mencionando mudanças de sinal, período e o
nome do gráfico na Figura 66. A dupla 3, da 2ª série B, mostrou com seu registro já
possuir algum tipo de informação sobre estas funções, já que mencionou um nome
para o desenho, de maneira bem formal.
Quanto à pergunta relativa a periodicidade da função seno, das 19 duplas que
participaram da Atividade, todas concordaram que a função é periódica, informando
o que consideravam ser seu período. Destacamos algumas justificativas e períodos
mencionados pelos alunos.
A Figura 67 apresenta apenas uma justificativa para considerar a função
como periódica, a Figura 68, vai além, informando um valor para seu período
fundamental. Destacamos as dificuldades dos alunos em explicar na forma escrita o
que observavam.
Figura 67: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 68: Resultado grupo 7, 2º A, Atividade 6, tarefa 1, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
A tarefa 2, referia-se à função cosseno. Os alunos não apresentaram grandes
dificuldades em resolver esta tarefa.
A tarefa 3, da Atividade 6, foi a que os alunos mais apresentaram dificuldade.
O fato de a função tangente possuir descontinuidades e assíntotas confundiu os
alunos. Para eles o gráfico da função não poderia ter interrupções, deveria ser
contínuo. Vejamos algumas colocações quanto ao formato desse gráfico.
176
Figura 69: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 70: Resultado grupo 7, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 71: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 72: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 73: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 6, tarefa 3, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
A dificuldade em lidar com a tangente se faz notar pelos registros dos alunos.
Não sabendo como descrever o que via a dupla 5, da 2ª série A, descreve o
desenho como uma cerâmica ilustrada, a definição mostra-se bem abstrata e
indefinida, o que nos faz imaginar o quanto a dupla se sentiu perdida ao tentar
elaborar essa descrição. As Figuras 70, 71 e 72, refletem o que mencionamos antes,
a descontinuidade do desenho confundiu os alunos, tanto que afirmaram estar
diante de três curvas, três gráficos ou três partes do gráfico. A forma do desenho,
com o qual não estavam acostumados, os fez fragmentá-lo, como se ele não
pudesse existir daquela forma e ser correto ao mesmo tempo. Apesar da dificuldade,
apenas três duplas apresentaram respostas que consideramos totalmente erradas.
Entre as duplas que acertaram, destacamos a resposta da dupla 1, da 2ª série A,
que informou o período da função tangente ao descrever o que via.
Quanto à periodicidade da função tangente, ela também trouxe algumas
dúvidas, apesar de só uma dupla ter apresentado uma resposta totalmente errada.
Destacamos 3 respostas apresentadas pelos alunos à letra b da tarefa 3:
Figura 74: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
177
Figura 75: Resultado grupo 3, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 76: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra b
Fonte: Dados da pesquisa
A Figura 74 apresenta a resposta equivocada da dupla 1, 2ª série B,
consequência da má interpretação na letra a; os alunos não conseguiram identificar
a periodicidade da função devido às descontinuidades. As Figuras 75 e 76,
apresentam os registros em que os alunos conseguiram associar à função o seu
período, apesar das diferenças em relação às outras duas funções, seno e cosseno.
A tarefa 4 dessa Atividade pedia que mencionassem limitações que a
ferramenta applet apresentou. Esta questão foi proposta dialogando com Carneiro
(2005), que considera que o professor também deve estar atento às limitações dos
recursos tecnológicos, cuidando para que estas limitações e as discussões sobre
elas, não se configurem em obstáculos, mas sirvam como instrumento de ensino e
aprendizagem. As duplas foram unânimes em pontuar o fato de que o applet não
permitia o preenchimento da linha do gráfico além da primeira volta, ou seja, até um
intervalo de 2π radianos. Apresentamos um desses registros.
Figura 77: Resultado grupo 1, 2º B, Atividade 6, tarefa 3, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
Os alunos conseguiram abstrair, apesar de o applet sugerir que as funções
fossem definidas em um intervalo finito.
Para a Atividade 7, foram disponibilizados aos alunos outros três applets,
cada um relativo a uma situação de redução ao 1º quadrante. Lembrando que
nossos alunos não tinham visto nenhuma situação de redução ao primeiro quadrante
até o momento dessa aula.
Cada tarefa tinha seu applet específico e solicitava aos alunos que
mencionassem o que observavam, em que quadrante variavam cada um dos
ângulos, que relação ou expressão matemática poderia ser associada a cada applet
e como os valores de seno e cosseno se comportavam em cada situação.
178
A tarefa 1, envolvia ângulos do 1º e 2º quadrantes (APÊNDICE D, Figura 3).
Destacamos alguns relatos dos alunos.
Figura 78: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 79: Resultado grupo 18, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra a
Fonte: Dados da pesquisa
Diante dos relatos dos alunos percebemos que eles descrevem de maneira
própria suas impressões. Na Figura 78, a dupla é minuciosa em relatar de que forma
se modificam os ângulos observados e como eles se relacionam, na medida em que
o menor aumenta, o maior diminui, num intervalo de 180°. Na Figura 79 , a dupla
não vê necessidade de detalhar muito para dar esta informação.
Percebemos que nas três tarefas propostas, as letras a e b não foram
consideradas difíceis pelos alunos, resolvidas sem erros pelas 17 duplas.
As dificuldades surgiram nas letras c das tarefas 1 e 2, já que era solicitado
aos alunos a elaboração de uma expressão matemática ou a apresentação de uma
relação que envolvesse os ângulos presentes em cada applet. Para encontrar a
primeira relação, houve muita dificuldade; abstrair o que estavam vendo e converter
em uma expressão aplicável a qualquer ângulo foi algo demorado. Foi necessário
um período de indagações e observações de regularidades para que chegassem às
primeiras expressões, formalizando o conceito. (KEMP, 2009).
Figura 80: Resultado grupo 3, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 81: Resultado grupo 18, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
179
Figura 82: Resultado grupo 5, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra c
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 80 a dupla elaborou uma expressão correta que associa os dois
ângulos considerados percebendo que a sua soma era sempre 180°; o que a dupla
18, da 2ª série A, expressou na forma escrita. É interessante como a dupla 5, da 2ª
série A, descreve a relação entre os ângulos, os alunos estabelecem um valor
máximo para o ângulo β e um valor mínimo para o ângulo α e os relacionam: à
medida que α vai aumentando e seu valor é subtraído do valor máximo de β. Após a
descoberta dessa primeira relação, os alunos se sentiram mais seguros para relatar
outras observações, que se referiam aos valores de seno e cosseno dos dois
ângulos observados.
Figura 83: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra d
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 84: Resultado grupo 10, 2º A, Atividade 7, tarefa 1, letra d
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos que não foi difícil estabelecer as relações entre os senos e
cossenos dos ângulos observados. O applet facilitou a descoberta dessas
regularidades. (KEMP, 2009). A forma de registro mais comum, apresentada por
treze duplas, foi β – α = 180°.
Quanto às relações entre seno e cosseno os alunos apresentaram conclusões
semelhantes:
180
Figura 85: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 7, tarefa 2, letra d
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 86: Resultado grupo 10, 2º A, Atividade 7, tarefa 2, letra d
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos que as constatações dos alunos estavam corretas, embora não
se expressassem por vezes de forma correta.
Na
tarefa
3,
correspondente
à
redução
dos
valores
das
razões
trigonométricas dos ângulos do 4º quadrante para o primeiro, os alunos conseguiram
estabelecer expressões simples como a soma dos ângulos quanto encontrar as
relações entre os valores de seno e de cosseno nos referidos quadrantes.
Nesta atividade, ficou evidente uma dificuldade em lidar com expressões que
possuíam apenas incógnitas, o que nos deixou apreensivos uma vez que os estudos
algébricos de trigonometria ainda seriam abordados.
A Atividade 8 utilizava dois applets: um relativo a ângulos complementares e
um associado às fórmulas de soma de ângulos. Na primeira tarefa os alunos não
apresentaram
dificuldades,
conseguiram
perceber
as
propriedades
de
complementaridade dos ângulos e formalizá-las com a ajuda do applet, novamente
concordando com Kemp (2009), que percebe a facilidade oferecida pelo recurso
computacional em descobrir propriedades matemáticas por meio da manipulação
dessas ferramentas.
Ao destacarem suas impressões ao observar o applet (APÊNDICE D, Figura
4), achamos interessante mencionar algumas considerações dos alunos.
A Figura 101 destaca como os alunos interpretaram o que viram na tela do
computador, perceberam que os ângulos se movimentavam em lados opostos, um
partindo de 0° e outro de 90°. Na letra b dessa tar efa, os alunos deveriam apresentar
uma expressão matemática que expressasse o comportamento que eles viam na
letra a. Como essa atividade remetia à Atividade 7, na qual eles deduziram
pequenas expressões, nesta atividade eles não tiveram dificuldades. Apresentaram
181
expressões corretas para a relação entre α e β e também para o que ocorria aos
valores de seno e cosseno desses ângulos. Destacada, na Figura 103, ilustramos a
resposta dada para a relação entre senos e cossenos desses ângulos
complementares. Essa atividade os remetia à Atividade Complementar 2, na qual os
alunos, a partir da observação de senos e cossenos de ângulos agudos do mesmo
triângulo retângulo, perceberam que o seno de um ângulo era igual ao cosseno do
outro ângulo, e isso se devia ao fato de que esses ângulos eram complementares.
Os alunos se lembraram da Atividade Complementar 2 à medida que resolviam essa
tarefa.
Figura 87: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade 8, tarefa 1, etra a.
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 88: Resultado grupo 1, 2 A, Atividade 8, tarefa 1, letra c.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 89: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade 8, tarefa 1, letra d.
Fonte: Dados da pesquisa
Apesar de consideradas em alguns momentos difíceis e complicadas, as
atividades com o recurso computacional foram avaliadas de forma positiva pelos
alunos. O caráter dinâmico motivou os alunos e os estimulou a realizar a sequência,
apesar de algumas dificuldades.
Destacamos os comentários de alguns alunos acerca das atividades na sala
de informática, ao responder o questionário ao final da aplicação da sequência:
As declarações: “Achei muito bom e prático! Nos adiantou muito, pois fazendo
desenhos na sala e tal a gente demoraria bem mais, além de nos ajudar a entender
melhor.” (ALUNO A, 2º B); e: “seria muito difícil realizar uma atividade daquelas no
quadro. Então além de facilitar pra gente, foi um modo diferente e mais divertido de
aprender que chama mais atenção e dá mais vontade de estudar a matéria.”
(ALUNA G, 2º B).
O caráter motivacional esteve presente nas declarações: “Achei muito
interessante, não imaginava que a Matemática seria divertida assim usando
computador, o que eu mais gostei foi de hoje (Atividade 8), apesar de ser de fácil
182
resolução.” (ALUNA B, 2ºB); e “Achei diferente, alem de ser mais fácil de chegar a
um resultado, foi muito interessante”. (ALUNA H, 2º B)
Dentre os pontos positivos destacados, chamamos a atenção para: “as
imagens com movimentos, torna mais fácil o entendimento do exercício.” (ALUNA B,
2ºB). O caráter dinâmico aqui destacado concorda com nossa opção por essa
abordagem, corroborados por autores como: Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b),
Borba e Penteado (2001), Richit e Maltempi (2010), Franchi (2007) e Valente (1999).
Um ponto negativo destacado pelos alunos faz referência ao fato de nem
todos os alunos puderam participar da atividade devido aos problemas técnicos já
mencionados. Dos alunos que se interessaram em fazer a atividade em casa, uma
declaração nos chamou a atenção: o aluno achou a atividade interessante, mas
destacou como ponto negativo “ter algumas dúvidas sobre a matéria e não ter um
professor ao lado.” (ALUNO F, 2ª A) o que mostra que o recurso computacional não
substitui o papel do professor como orientador e mediador do processo; ele é quem
pode, ao conduzir seu trabalho, extrair o melhor dos alunos através do
aproveitamento das potencialidades da ferramenta tecnológica. (VALENTE, 1999;
RICHIT; MALTEMPI, 2010; SOUZA; OLIVEIRA, 2010).
Como sugestões para melhorar as aulas com o recurso computacional, os
alunos citaram a necessidade de aumento de carga horária do curso, com um tempo
maior para explorar e utilizar o software. Apontaram ainda a necessidade de
mudanças na rede elétrica da escola; a falta de infraestrutura da escola
impossibilitou que vários alunos participassem das atividades. Percebemos que as
escolas ainda não estão preparadas para um trabalho assim, falta apoio, não das
escolas diretamente, mas dos órgãos que dão suporte a elas.
Como Borba e Penteado (2001) afirmam o uso de determinada ferramenta
não invalida as demais. Por isso, ao longo da sequência didática proposta,
investimos na utilização de tecnologias variadas, retornando, por vezes, ao lápis e
papel, não perdendo de vista nossa inspiração na Modelagem e na recriação de
modelos pela modelação.
183
5.6 Atividades Complementares 5, 6 e 8
As atividades complementares objetivavam a passagem do que foi aprendido
manipulando o recurso computacional para o papel. Percebemos que esta
passagem foi complicada e que o fato de manipular applets não era garantia de que
esta passagem seria tranquila para todos, principalmente no trabalho com gráficos
que demandavam o domínio de várias formas de representação do mesmo conceito.
Na Atividade Complementar 5, focamos nossa análise nas tarefas 4, 5 e 6. As
tarefas 4 e 5 exploram análises geométricas e associações com propriedades
trigonométricas no círculo, o que pretendemos observar se foi favorecido pelo uso
anterior do applet. A tarefa 6 associa o que foi aprendido com um modelo algébrico
muito comum em livros didáticos, por isso nosso interesse em sua análise. Fizeram
esta atividade 30 duplas, das quais 18 participaram da aula na sala de informática.
Percebemos que nas atividades que demandavam a análise de informações visuais
os alunos que participaram da atividade com applets tiveram mais facilidade. Na
tarefa 4, por exemplo, das 17 duplas que acertaram totalmente a tarefa, 10
participaram da Atividade 5.
Destacamos na Figura 90 um dos resultados que os alunos apresentaram:
Figura 90: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 91: Resultado grupo 15, 2º A, Atividade Complementar 5, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
184
Figura 92: Resultado grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
Das três figuras destacadas, somente a primeira representa uma dupla que
realizou a Atividade 5, na sala de informática. Percebemos que na Figura 90, a dupla
foi mais objetiva ao se expressar e pontuar sua justificativa acerca do motivo de
cada sentença possuir um sinal + ou –. A Figura 90 deixa claro o nº do quadrante
para justificar suas respostas. A Figura 92, que também respondeu corretamente a
tarefa, mesmo não estando entre os que utilizaram o recurso computacional,
apresenta diferenças no momento de caracterizar os intervalos em que as funções
serão positivas ou negativas, percebe-se pouca familiaridade entre os alunos e o
termo “quadrantes”. Na Figura 91, percebemos que a dupla não compreendeu o que
a tarefa queria, talvez pelo fato de
não ter participado da aula na sala de
informática. Dessa forma a dupla não pôde movimentar o ponto no círculo
trigonométrico e verificar que o sinal do seno e do cosseno mudava, ora era positivo
ora era negativo. A dupla usou indevidamente os símbolos > ou <, demonstrando
não entender o significado dos próprios símbolos, que exigem comparações entre
duas grandezas.
Um resultado a ser destacado é relacionado à tarefa 6; o número de acertos
entre os que participaram da aula com applets foi menor do que entre os que não
participaram.
Figura 93: Resultado do grupo 16, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 6.
Fonte: Dados da pesquisa
185
Figura 94: Resultado do grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 5, tarefa 6.
Fonte: Dados da pesquisa.
A tarefa 6 apresentava duas sentenças a serem resolvidas, o maior número
de acertos foi percebido na letra a: 6 acertos entre os que não fizeram aula na sala
de informática e 1 acerto entre os que participaram dessa aula. Na letra b, só
tivemos 1 acerto, pertencente à dupla que participou da aula de informática, a dupla
5, da 2ª série B, representado na Figura 94. Entre os alunos que não participaram da
aula de informática, percebemos 6 resoluções parcialmente corretas, parecidas com
a letra b da Figura 93.
A partir dos resultados podemos perceber que a atividade no computador não
favoreceu a aplicação de técnicas algébricas, visto que os alunos que tentaram
resolver esta atividade, de forma parcial ou totalmente correta, não participaram da
atividade no computador. Isso nos remete novamente às colocações de Carneiro
(2005), que não podemos nos iludir quanto ao alcance da tecnologia, temos ser
realistas para podermos aproveitar o que ela pode oferecer, mas termos outras
estratégias para caminhar em direções em que ela não tem alcance.
A Atividade Complementar 6 pretendia formalizar e fixar conceitos acerca dos
gráficos das funções seno e cosseno. Neste momento percebemos a dificuldade em
passar para o papel o que havia sido visto na tela do computador, tanto dos
participantes da aula de informática quanto dos não participantes.
Das 30 duplas que realizaram o trabalho, apenas 10 conseguiram desenhar
os gráficos na malha quadriculada dada; duas delas não participaram da aula de
informática. Esse número revela como essa passagem foi considerada difícil.
Apesar da dificuldade o applet parece ter influenciado positivamente, uma vez que
metade das duplas que desenvolveu o trabalho computacional acertou a questão.
Destacamos a seguir alguns resultados:
186
Figura 95: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa1.
Fonte: Dados da pesquisa
Ao oferecer a malha quadriculada, imaginamos que os alunos desenhariam
os gráficos sobrepostos, algo que nós faríamos para facilitar conjecturas acerca da
fase entre as funções seno e cosseno. Mesmo não tendo feito o desenho como
imaginávamos, os alunos apresentaram observações interessantes.
A tarefa 4 da Atividade Complementar 6 buscou que os alunos expressassem
com palavras e na forma algébrica a ideia de periodicidade. A melhor resposta
encontrada foi a da dupla 11, 2ª série A, apresentada na Figura 96. Percebemos a
dificuldade dos alunos em expressar as ideias algebricamente.
Figura 96: Resultado grupo 11, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa 4.
Fonte: Dados da pesquisa
A tarefa 5 da Atividade Complementar 6 retoma a referência na realidade de
acordo com a meta de inspiração na modelagem. (BARBOSA, 2001). Nessa
tentativa propusemos uma atividade em que os alunos deveriam associar a um
objeto cotidiano uma das funções trigonométricas e a justificativa para tal escolha. O
objeto escolhido foi o corte transversal de uma telha de amianto, muito usada em
telhados de terraços.
Destacamos duas respostas que consideramos interessantes.
187
Figura 97: Resultado grupo 1, 2º A, Atividade Complementar 6, tarefa 5.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 98: Resultado grupo 10, 2º B, Atividade Complementar 6, tarefa 5.
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 97 notamos que a dupla desenha o que seria um eixo x para
associar a forma do corte transversal na telha à função seno. Na Figura 98, a dupla
associa a imagem a uma função cosseno. Esperávamos tanto indicações da função
seno quanto da função cosseno, nosso objetivo era permitir aos alunos observar um
objeto cotidiano e buscar características que o ligassem a uma das funções,
sabendo que qualquer uma das duas poderia ser uma resposta correta, dependendo
de como fosse imaginado o corte.
A Atividade Complementar 8, pedia a sistematização tanto dos ângulos
complementares quanto das fórmulas da soma de ângulos.
Quanto aos ângulos complementares e as propriedades de seno e cosseno
desses ângulos, 14 das 30 duplas fizeram corretamente esta atividade,
apresentando mais dificuldade em encontrar o complemento do que os valores de
seno e cosseno pedidos.
Figura 99: Resultado grupo 5, 2º B, Atividade Complementar 8, tarefa 1.
Fonte: Dados da pesquisa
188
Na Figura 99, percebemos que a dupla completou corretamente os valores de
seno e de cosseno, mas não conseguiu encontrar os valores dos ângulos
complementares, informando o valor dos ângulos ora em graus ora em sua
representação em radianos.
Na Figura 100, isso não ocorre, a dupla completa corretamente toda a tabela.
Figura 100: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade Complementar 8, tarefa 1.
Fonte: Dados da pesquisa
Na tarefa 2 era pedido que, conhecendo as fórmulas de adição e subtração
de ângulos os alunos calculassem os valores de seno e cosseno de ângulos que
poderiam ser representados pela soma de ângulos de um quadro dado. Percebemos
que independente de terem participado ou não da atividade com ferramenta
computacional, as dificuldades dos alunos foram similares e o cálculo da soma ou
diferença dos cossenos foi considerado o mais difícil, talvez pela questão do sinal.
Percebemos que a primeira parte da tarefa não foi dificuldade para as duplas,
ocorrendo poucos erros. O ponto crítico dessa tarefa foi o cosseno, apresentando
erros como o ilustrado na Figura 101 em 23 duplas das 33 que realizaram a
atividade.
Figura 101: Resultado grupo 9, 2º A, Atividade Complementar 8, tarefa 2.
Fonte: Dados da pesquisa
189
Figura 102: Resultado grupo 7, 2º B, Atividade Complementar 8, tarefa 2.
Fonte: Dados da pesquisa
Apesar das dificuldades já especificadas nessa atividade, as maiores se
deram nas tarefas 3, 4 e 5; tarefas que demandavam a obtenção de fórmulas,
modelos matemáticos algébricos, pelos alunos. A tarefa pretendia que eles, partindo
de alguns modelos clássicos da trigonometria, encontrassem outros. Estas tarefas
evidenciaram que trabalhar apenas com manipulações algébricas, de identidades
trigonométricas, por exemplo, carregam dificuldades nas quais o uso do recurso
computacional parece não ter ajudado.
Nos registros apresentados pelos alunos, predominaram tarefas em branco.
Nas poucas soluções apresentadas os alunos se limitaram a informar a resposta
final, não apresentando desenvolvimentos. Por exigirem maior manipulação
algébrica estas atividades foram consideradas muito difíceis pelos alunos.
Os resultados da Atividade Complementar 8 permitiram perceber que apesar
das potencialidades dos recursos computacionais, eles também
possuem
limitações. Eles favorecem manipulações de objetos matemáticos, valorizam o
aspecto visual, geométrico, podem propiciar a descoberta de propriedades e a
compreensão de conceitos; mas, precisam estar combinados a outras estratégias
para abranger as dificuldades que nossos alunos podem apresentar. O campo
algébrico, pelos resultados obtidos, pareceu demandar de outras abordagens.
5.7 Projeto e Feira de Matemática
Durante a aplicação da sequência, um projeto educacional de trabalho, assim
classificado por Ripardo, Oliveira e Silva (2009), foi proposto aos alunos. Estes
deveriam escolher construções da cidade que achassem mais interessantes para
190
investigarem, coletarem dados, na tentativa de associar às construções modelos da
trigonometria.
As construções escolhidas pelas duas turmas foram: uma escada circular,
uma tesoura de terraço, a escada da Igreja Matriz, uma das rampas da escola,
telhado de um chalé e a torre da Igreja Matriz. Devido a dificuldades para efetuar as
medidas, a torre da Igreja foi substituída pelo telhado de uma sala de aula da escola.
Ao final desse projeto os alunos foram convidados a socializar com os
colegas seus resultados, o que para nós representou uma oportunidade para
desenvolverem sua capacidade de explicar, argumentar, perguntar, justificar e
defender ideias. É um momento que assegura que ocorreu uma aprendizagem
efetiva dos conteúdos. (FIDELIS; ALMEIDA, 2004).
Ao final da aplicação da sequência didática, em decorrência de uma Feira de
Matemática na escola, os alunos foram convidados a apresentar além dos cartazes
elaborados para a primeira fase do projeto, maquetes, que representariam modelos
das construções pesquisadas.
Os dados coletados para este projeto foram ainda utilizados para que os
alunos desenvolvessem desafios, problemas trigonométricos que utilizassem dados
reais e fossem relacionados com os conteúdos trigonométricos estudados. Esta
etapa da atividade representou um momento muito rico em que os alunos puderam
aplicar as informações coletadas e utilizar sua criatividade e o que aprenderam
sobre os conteúdos para elaborar suas próprias atividades.
Tal atividade
é
relevante
no
contexto
do
ensino-aprendizagem
de
trigonometria dos alunos, pois, como pontuado por Burak (2010):
1) os problemas são elaborados a partir dos dados coletados em campo; 2)
prioriza a ação do estudante na elaboração; 3) parte sempre de uma
situação contextualizada; 4) favorece a criatividade; 5) confere maior
significado ao conteúdo matemático usado na resolução; 6) favorece a
tomada de decisão. (BURAK, 2010, p.22-23).
Estas ações auxiliam o aluno a desenvolver habilidades que ele poderá
utilizar em seu cotidiano, adquirindo autonomia e detendo confiança no conteúdo
aprendido.
Os alunos tiveram um prazo de 21 dias para a execução das etapas do
projeto: coleta, tratamento dos dados e elaboração de croquis que representassem,
em uma escala determinada, o modelo matemático associado à construção
191
escolhida. Destacamos os resultados de quatro das seis construções escolhidas,
cujos grupos utilizaram processos e ferramentas mais diversificados, apresentando
paralelamente alguns modelos apresentados na Feira de Matemática.
A Figura 103 mostra a foto do cartaz apresentado por um dos grupos que
analisou uma escada circular e a Figura 104 mostra um dos modelos de escada
circular apresentado na Feira de Matemática.
Figura 103: Grupo2, 2º B, Escada circular,
Cartaz apresentado em socialização,
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 104: Grupo 2, 2º B, Escada circular, modelo
apresentado na Feira de Matemática.
Fonte: Dados da pesquisa
Como a escala solicitada era pequena (1/50) os alunos optaram por aumentar
essa escala para melhorar a apresentação no cartaz. O trabalho desse grupo foi
minucioso nos detalhes apresentados no croqui, porém, a falta de experiência não
permitiu explorar o modelo o quanto podiam. Os alunos só conseguiram associar a
seu trabalho a escala e o círculo representado pela planta de cobertura da escada15.
Para a feira este mesmo grupo elaborou a maquete apresentada na Figura 104,
construída numa escala de 1:12 e com palitos de sorvete.
Esperávamos que os grupos responsáveis por esta construção citassem que
o círculo trigonométrico, além da circunferência, poderia ser associado a essa
construção. Mas isso não ocorreu. Acreditamos que esta construção realmente era
mais complexa que as demais. No momento de socialização abordamos outras
15
Desenho obtido quando a observamos de cima para baixo.
192
associações possíveis e na feira um dos grupos elaborou desafios associados ao
círculo trigonométrico e à localização de ângulos em seus devidos quadrantes.
Na Figura 105, destacamos a tesoura de um terraço da casa de um aluno e o
modelo apresentado na Feira de Matemática.
Figura 105: Grupo 5, 2º B, Tesoura de terraço,
cartaz apresentado em socialização
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 106: Grupo 5, 2º B, Tesoura de terraço,
modelo apresentado na Feira de Matemática.
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 105, temos o cartaz com as informações encontradas pelo grupo 5.
Como a escala de 1/50 era muito pequena para o cartaz, o grupo optou por fazer um
croqui na escala 1:25 e para a maquete, da Feira, escala de 1:10. Quanto à
trigonometria envolvida, o grupo associou o triângulo retângulo. Na Feira o grupo 5
do 2o B mencionou também as razões trigonométricas no triângulo retângulo,
presentes em seus desafios.
Na Figura 107 temos o cartaz de um dos grupos que investigou a rampa da
escola e na Figura 108 temos um modelo de rampa apresentado por outro grupo
que explorou a mesma construção.
Figura 107: Grupo 3, 2º A, Rampa da escola,
Cartaz apresentado em socialização.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 108: Grupo 3, 2º B, Rampa da escola,
modelo apresentado na Feira de Matemática.
Fonte: Dados da pesquisa
193
Na Figura 107 o grupo apresenta no cartaz um croqui na escala 1/50, como
foi pedido e um modelo em tamanho maior, para facilitar sua visualização. Este
grupo explora ao máximo o seu modelo matemático. Desenharam um triângulo
retângulo, utilizaram a razão trigonométrica tangente para encontrar um dos ângulos
internos e utilizaram a relação entre os ângulos internos de um triângulo qualquer
para determinar o outro ângulo agudo. Este grupo na feira optou por não construir
um modelo, mas criaram um modelo totalmente baseado na realidade, montaram
um triângulo retângulo utilizando uma escada posicionada em uma parede, fazendo
alusão aos problemas que resolveram em sala e que de certa forma se
relacionavam com seu trabalho. O empenho desse grupo confirma o que Bassanezi
(2009) defende: quando o aluno é convidado a escolher sobre o assunto que quer
pesquisar ele se empenha, se dedica mais.
O grupo do qual escolhemos o modelo de rampa da Figura 108, apresentou
um cartaz similar ao da Figura 107, o que nos chamou a atenção em seu modelo foi
o fato de o elaborarem numa escala de 1/15 e em suas explicações e desafios
chamarem a atenção para a inclinação da rampa que deve ser considerada em sua
construção.
Na Figura 109 apresentamos o cartaz referente ao telhado de um chalé, uma
construção que encontramos num clube nas proximidades da cidade. Na Figura 110
apresentamos o modelo construído para ser apresentado na Feira.
Figura 109: Grupo 4, 2º B, Telhado do chalé,
Cartaz apresentado em socialização.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 110: Grupo 4, 2º B, Telhado do Chalé,
modelo apresentado a Feira de Matemática.
Fonte: Dados da pesquisa
194
O croqui apresentado foi muito bem desenhado, porém, o grupo não explorou
como deveria a construção. Associou ao telhado um triângulo retângulo,
correspondendo à metade do telhado, em que um dos ângulos da base media 30º e
informaram ter utilizado as razões trigonométricas seno e tangente para encontrar
esse ângulo. Os alunos não se preocuparam em encontrar os outros ângulos desse
telhado, ou medidas como: pendural, linha ou empena do telhado, somente
informando parte da altura do chalé de 2,40 m. No modelo apresentado na feira os
alunos não informaram a escala utilizada, mas elaboraram desafios que envolviam
razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Na turma A, no momento da socialização do grupo que também explorou o
telhado do chalé, surgiu uma discussão muito rica. O grupo apresentou como
modelo matemático desenhado um croqui na forma de um triângulo, a princípio
isósceles, a partir das medidas das empenas do telhado. Como as empenas tinham
o mesmo tamanho, 4,6m, o grupo deduziu que o telhado obedeceria um modelo de
triângulo isósceles. Com um transferidor teriam encontrado um dos ângulos da base
igual a 30º. Quando questionados acerca dos demais ângulos o grupo respondeu
que o outro ângulo da base também valeria 30°, pois era um triângulo isósceles e o
ângulo oposta a base seria de 120°.
Uma aluna, do grupo 3, que acompanhava a apresentação, se manifestou
dizendo que estes valores estavam errados. Quando questionada quanto ao porque
dessa afirmação ela se justificou: “se o ângulo de cima (se referindo ao ângulo
oposta à base) vale 120°, esse triângulo é obtusâng ulo, mas pelo desenho todos
esses ângulos devem ter menos de 90° cada um ” (ALUNA X, 2º A).
Consideramos que tal observação foi importantíssima para nosso trabalho,
mostra o desenvolvimento da autonomia e criticidade nos alunos, que está inserida
na concepção de projeto com a qual concordamos. (RICHIT; MALTEMPI, 2010). A
partir das observações da colega, o grupo reavaliou seus dados e percebeu um erro
de medida, os ângulos da base valiam na verdade 60°, aproximadamente. Eles
tinham em suas mãos não um triângulo isósceles, mas equilátero, o que eles
comprovaram utilizando a razão trigonométrica cosseno. Após as correções o grupo
apresentou um pequeno esquema que destacamos na Figura 111.
195
Figura 111: Grupo5, 2º A, Telhado do chalé, Cartaz apresentado em socialização.
Fonte: Dados da pesquisa
A outra construção explorada pelos alunos foi a escada da igreja, cujos
conteúdos matemáticos apontados pelos alunos foram o teorema de Pitágoras, o
triângulo retângulo e a escala.
No questionário de avaliação, aplicado antes da feira, mas ao final da
sequência, os alunos se manifestaram positivamente quanto ao projeto.
Alguns alunos destacaram o fato de ser uma atividade em que eles puderam
sair do ambiente da sala de aula e lidar com situações aplicadas: “Achei interessante
sairmos da sala de aula para trabalharmos a matemática e também nos fez nos
questionar sobre como deveríamos fazer”. (ALUNO A, 2ºB). “Achei ótimo, ainda mais
para quem deseja seguir uma profissão, tipo engenharia, e pode ajudar algumas
pessoas a perceber se gostam desse tipo de área”. (ALUNA J, 2º A). “Eu achei esse
trabalho um dos mais importantes ele exigiu bastante criatividade na hora de medir
as construções e na hora de desenhar o esboço da planta.” (ALUNA D, 2º B).
Alguns alunos destacaram dificuldades encontradas ao longo da execução do
projeto e algumas reflexões quanto à postura ao longo do trabalho, evidenciando
amadurecimento enquanto pessoas, participantes de um processo de ensinoaprendizagem: “Ficamos muito preocupados com a estética do trabalho e
esquecemos de preocupar com o mais importante”. (ALUNA M, 2º B). “Achei fácil,
mas por parecer tão fácil acho que a gente acaba relaxando numa coisa ou outra.
Mas também foi legal, pois assim eu pude ver pra que serve o que estudamos em
matemática” (ALUNO E, 2º B).
196
Alguns alunos mostraram que um trabalho para ser interessante aos olhos
dos alunos ele tem que ser desafiador, não necessariamente fácil. Comprovamos
isso nos registros dos seguintes alunos: “Esse trabalho foi o mais difícil e o mais
legal de todos os trabalhos que foi dado no 1º Bimestre”. (ALUNO F, 2ºA). “Se fosse
mais fácil não ia ter graça”. (ALUNO N, 2º B).
Seguindo nossa perspectiva de modelagem, na qual buscamos trabalhar os
conteúdos de uma forma que os conceitos pudessem ser assimilados e suas
relações com o dia-a-dia, as aplicações e a importância pudessem ser evidenciadas
(BARBIERI; BURAK, 2005), percebemos que os alunos puderam experimentar um
pouco dessa abordagem: “O ponto positivo do projeto foi que estudamos um coisa
que ainda não tínhamos visto em nenhum ano letivo e tudo dentro da matéria que
estávamos estudando”. (ALUNO O, 2º B). “Aprendi a fazer um croqui”. (ALUNO J, 2º
A).
Pudemos com o projeto, não só permitir que os alunos percebessem a
utilidade da matemática, ou dos modelos trigonométricos clássicos. Nossos alunos
mostraram ter desenvolvido a capacidade de articular dados, de formular problemas
a partir dos dados coletados durante a pesquisa, de questionar e propor soluções,
cooperar com os colegas e se empenhar no desenvolvimento de um projeto
educacional de trabalho em prol da própria aprendizagem. Como Burak (2010)
afirma participar disso, junto ao aluno, é “um privilégio educativo”. (BURAK, 2010,
p.22).
5.8 Teste1 e Teste2
Dois testes foram aplicados durante a sequência didática (Teste 1, p.129;
Teste 2, p.132). O primeiro relativo às razões trigonométricas no triângulo retângulo,
abordando também a introdução da trigonometria no círculo trigonométrico. O
segundo relacionava as funções seno e cosseno no círculo trigonométrico e no
plano cartesiano e as situações de redução ao primeiro quadrante. Analisaremos
qualitativamente algumas questões que consideramos importantes para avaliar a
abordagem adotada.
197
O Gráfico 1 apresenta o número de acertos de cada questão do Teste 1(A),
do qual participaram 34 alunos, 17 de cada uma das turmas.
Fonte: Dados da pesquisa
Pela análise do gráfico percebemos que a questão que obteve o maior
número de acertos foi a questão 8, apesar de não ter sido escolhida como a mais
fácil do teste pelos alunos, sua resolução se parece com a da questão 7, questão
que os alunos escolheram como a questão mais fácil do teste.
A questão que parece ter oferecido mais dificuldade foi a questão 4, letra c,
apresentando apenas 3 acertos. Esta questão pedia aos alunos que determinassem,
na letra a, o comprimento de um círculo em sua primeira volta dado seu diâmetro; na
letra b, o comprimento de um total de 6 voltas em torno desse círculo; e, na letra c, o
comprimento de um arco de 45° desse círculo. A pri meira sentença desta questão,
apresentou como erros mais frequentes utilizar o diâmetro no lugar do raio, 9 erros
dessa natureza, ou o número de voltas como raio, 4 erros relativos a isso. Errar
essa sentença acarretava errar a letra b. Nesta questão a sentença mais difícil
parece ter sido a letra c, na qual encontrar o comprimento do arco de 45° foi o
grande desafio, em que apenas três pessoas acertaram. Destacamos as três
respostas abaixo.
198
Figura 112: Resultado aluna P, 2º A, Teste 1(A), questão 4, letra c.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 113: Resultado aluno A, 2º B, Teste 1(A), questão 4, letra c.
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 114: Resultado aluna Q, 2º A, Teste 1(A), questão 4, letra c.
Fonte: Dados da pesquisa.
Na Figura 112, a aluna mostra que utilizou conhecimentos acerca da relação
entre os ângulos para resolver a questão: percebeu que 360° era um múltiplo de 45°,
e, portanto, poderia obter o comprimento do arco dividindo o comprimento da
circunferência. O mesmo raciocínio seguido pelo Aluno A, na Figura 113, só que ele
dividiu 360° pelo comprimento da circunferência e m ultiplicou esse valor decimal por
45°. Colocar um arco de 45° foi de propósito, pois pretendíamos verificar se algum
aluno modelaria os dados e resolveria esta sentença de uma forma não usual, mais
prática, utilizando raciocínio lógico, algo tão importante quanto dominar as técnicas
ensinadas em sala. A Aluna Q, na Figura 114, resolveu este problema utilizando
uma regra de três, método geralmente utilizado e ensinado aos alunos. Percebemos
que apenas a Aluna Q utilizou um método ensinado em sala de aula e os outros dois
alunos se valeram de outras ferramentas e raciocínios para resolver questão;
consideramos importante a iniciativa de buscar resolver com métodos próprios.
Dos exercícios avaliados achamos importante observar as três primeiras
questões, pois se referem diretamente à abordagem de nossas atividades iniciais
que utilizaram materiais concretos associados a situações da realidade. Este teste
representou uma oportunidade de verificarmos reflexos que essa abordagem surtiu
na aprendizagem dos alunos.
199
Nos exercícios 1 e 2, tivemos 19 acertos de um total de 34 alunos que fizeram
o teste. 56% dos alunos resolveu corretamente os exercícios, aplicando as razões
trigonométricas adequadas, mostrando que nossa abordagem surtiu um efeito
positivo. O exercício 3 parece ter sido o que ofereceu mais dificuldade, sendo que
apenas 12 alunos o acertaram. Como esse exercício além da aplicação da razão
trigonométrica, exigia que fosse somada uma medida ao resultado, três alunos não
se lembraram de realizar essa soma, se tivessem se lembrado teríamos 15 acertos,
ou seja, seriam 44% de acertos.
Percebemos
que
alguns
alunos
escolhiam o
modelo
trigonométrico
corretamente, mas se confundiam ao fazer as substituições, utilizavam valores
incorretos ou não conseguiam distinguir os catetos corretamente, e acabavam por
errar os exercícios. Vejamos algumas dessas situações.
Figura 115: Resultado Aluna Q, 2º A, Teste 1(A), questão 2
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 116: Resultado Aluno T, 2º A, Teste 1(A), questão 2
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 117: Resultado Aluna R, 2º A, Teste 1(A), questão 1.
Fonte: Dados da pesquisa
Percebemos que, na Figura 115, a Aluna Q, escolheu corretamente o modelo
trigonométrica tangente para resolver o exercício, mas não soube diferenciar os
catetos, invertendo a relação, consequentemente, errando o exercício. O Aluno T, na
Figura
116,
estava
resolvendo
corretamente
o
exercício
até
substituir
equivocadamente 0,25 no lugar da tangente do ângulo, como este valor não estava
no exercício, supomos que o aluno não prestou atenção ao consultar a informação,
finalizando com o erro no resultado. A Aluna R demonstrou mais desatenção do que
200
dificuldades; ela escolheu a razão trigonométrica correta, substituiu corretamente,
mas ao finalizar o exercício multiplicou errado as informações, não consideramos um
erro, mas uma falta de atenção da aluna, que compreendeu o conceito proposto,
mas precisa se concentrar mais.
No Teste 2(A), do qual participaram 34 alunos, 17 de cada turma, procuramos
relacionar os resultados obtidos com as atividades feitas na sala de informática.
Como nem todos os alunos participaram desse tipo de atividades, analisamos os
dados de forma comparativa, a fim de verificar se participar dessas atividades
significou melhor desempenho no teste. No Gráfico 2, destacamos o número de
acertos em cada questão, comparando os alunos que participaram das aulas na sala
de informática com os que não puderam participar.
Fonte: Dados da pesquisa
Pela análise do Gráfico 2 percebemos que os alunos que participaram da
atividade com recurso computacional se saíram melhor em 10 itens do teste, em
relação aos que não puderam participar da atividade. Os resultados evidenciam que
esta parte da matéria foi difícil para todos, mas um pouco mais para quem não pode
participar das aulas com recursos tecnológicos.
Das atividades que os alunos mais gostaram de resolver, os alunos que
realizaram a atividade com recurso computacional, escolheram a questão 6, que
envolvia redução ao primeiro quadrante, mesmo não sendo a questão que mais
201
acertaram, esta escolha evidencia que a atividade influenciou positivamente na
resolução do teste, pois além da questão 6, a questão 5 também dependia desse
conhecimento e teve um número considerável de acertos. Entre os alunos que não
fizeram atividades na sala de informática, a questão citada como mais fácil foi a
primeira, que ainda assim foi acertada em menor número comparativamente aos que
utilizaram o recurso computacional, visto a necessidade de interpretação visual que
a questão demandava.
As questões do teste que optamos por analisar mais detalhadamente foram
as de números 5, 6, 7 e 8, já que estas têm influência direta do uso dos applets e da
compreensão dos conceitos a partir da visualização.
Na questão 5, como o Gráfico 2 já mostrou, os alunos que fizeram a atividade
na sala de informática apresentaram maior número de acertos, evidenciando que a
abordagem favoreceu a aquisição de conhecimentos acerca de reduções ao
primeiro quadrante e na compreensão de modelos visuais.
Na Figura 118, temos um exemplo de resposta em que o aluno, além de
resolver corretamente usando a redução ao primeiro quadrante, apresenta um
modelo geométrico para justificar sua resposta.
Figura 118: Resultado Aluno Z, 2º B, Teste 2(A), questão 5, letra b
Fonte dados da pesquisa
A resposta desse aluno sinaliza que os o uso do applet pode melhorar a
compreensão do conceito, relacionando propriedades numéricas, algébricas e
geométricas do mesmo conteúdo. (BLACKETT; TALL, 1991).
Na questão 6, além do que pôde ser visualizado no Gráfico 2, 19 acertos dos
participantes da aula na sala de informática e 12 acertos dos não participantes; os
resultados obtidos ainda nos mostraram que, dos erros cometidos, entre os
participantes da aula de informática, 16 foram devidos a falta de sinal, mas redução
correta ao primeiro quadrante; contra 11, entre os não participantes. O uso do
recurso melhorou o desempenho de quem pôde usufruir dele.
202
Na questão 7, que demandava análise do gráfico para posterior analise de
propriedades, percebemos melhor desempenho entre os participantes da aula de
informática (13 acertos16), que os não participantes (8 acertos).
Na questão 8, os alunos que participaram da aula de informática
apresentaram melhores resultados nas sentenças III e IV, que pediam o período da
função e a função ao qual o gráfico pertencia. Os alunos que não participaram da
aula de informática se sobressaíram na sentença II, em obter a imagem do gráfico.
Pelos resultados expostos, percebemos que o uso do recurso computacional
favoreceu a identificação do período e da natureza da função a partir da visualização
do gráfico, além de facilitar a percepção de propriedades provenientes de uma
representação gráfica. Esta utilização favoreceu, em parte, a apropriação dos
conceitos pelos alunos, dados os resultados que pudemos analisar. (RIBEIRO;
BITTAR, 2010).
As Atividades: 4, Complementar 4 e Complementar 7, representaram
atividades estruturadoras e de fixação, introduzidas de maneira usual, necessárias à
sequência do conteúdo curricular, não foram comentadas devido à logística da
dissertação, mas compõem a sequência didática e o produto que acompanha esta
dissertação.
A condução do trabalho nos trouxe outras ideias, outros questionamentos,
uma série de possibilidades. Esperamos que o material aqui exposto possa ser útil e
auxiliar outros alunos e também profissionais que lidem com a Trigonometria;
inspirando-os, suscitando outras abordagens que possam contribuir com o ensino
em Matemática.
16
Cada acerto nessa questão foi contado a partir do acerto de 3 a 6 sentenças na questão.
203
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa pretendeu, através de uma abordagem da Trigonometria
inspirada na modelagem, utilizar recursos didáticos diferenciados, e incentivar os
alunos para que descobrissem propriedades trigonométricas presentes em
situações-problema com referência na realidade. Também foram objetivos desse
trabalho ressignificar com os alunos modelos trigonométricos clássicos, através da
modelação, propiciando-lhes situações em que pudessem atribuir significado ao
conteúdo trigonométrico, seja utilizando material concreto ou applets de geometria
dinâmica.
Para elaborar a sequência didática que integra essa pesquisa, além de nossa
motivação pessoal em conduzir uma unidade temática sobre Trigonometria,
procedemos a uma revisão bibliográfica que nos permitisse conhecer como esse
assunto é abordado em documentos oficiais, livros didáticos e em outras pesquisas.
Nos documentos oficiais analisados, PCNEM (BRASIL, 1999) e Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), percebemos a preocupação em
oferecer um ensino de trigonometria pautado em experiências e aplicações que o
tornem mais próximo ao aluno, sendo este capaz de conferir significados aos
conceitos e definições.
Nos livros didáticos analisados percebemos uma opção por investir em
problemas de aplicação, embora transparecendo ainda uma ênfase em exercícios
de fixação e algébricos. Percebemos uma tendência crescente em partir de
realidades próximas aos alunos, mostrar aplicações do conhecimento trigonométrico
e propor atividades que estimulem criatividade e raciocínio.
Para dar embasamento teórico e justificar a relevância de nosso trabalho,
analisamos, outras pesquisas e documentos referentes a Trigonometria. Pesquisas
como as de Costa (1997, 2003), Kendal e Stacey (1998), Lindegger (2000), Quinlan
(2004), Weber (2005), Borges (2009), dentre outras, nos inspiraram para elaborar a
abordagem
trigonométrica
especificada
nesse
trabalho,
estimulando-nos
a
aproveitar as potencialidades de cada recurso didático disponível para delinear
atividades que pudessem favorecer a aprendizagem da trigonometria por um
número significativo de estudantes do Ensino Médio.
204
Como metodologia de ensino, optamos pela modelagem, considerando que,
independente da concepção e definição de modelagem adotadas, há sempre a
referência a um problema da realidade que poderá ser resolvido e gerar, ou não, um
modelo sobre o problema. (ANASTÁCIO, 2010). Uma vez que pretendíamos que os
alunos ressignificassem modelos clássicos da trigonometria, utilizar a modelagem
seria um bom caminho. Para delinearmos as concepções de modelagem utilizadas
nesse trabalho, foi necessária uma revisão bibliográfica de diversos autores que
trabalham com modelagem, não especificamente em trigonometria, para que
pudéssemos adotar como nossas perspectivas de modelagem as interlocuções
entre: Barbieri e Burak (2005), Barbosa (2001, 2004, 2007), Kaiser e Sriraman
(2006), Almeida e Ferruzzi (2009), Almeida e Vertuan (2010), Sousa e Almeida
(2008), Biembengut e Hein (2007) e Bassanezi (2009).
Para a abordagem que pretendíamos permitisse aos alunos associar as
várias formas de representação do mesmo conceito trigonométrico, apropriando-se
dele de forma ampla, relacionando suas propriedades nas diversas representações
(COSTA, 1997), inclusive no círculo trigonométrico e no plano cartesiano, uma
conversa com tecnologias e ferramentas dinâmicas no ensino foi necessária. Dessas
leituras,
destacamos
aquelas
que
nos
estimularam
a
utilizar
recursos
computacionais em nosso trabalho: Costa (1997), Kemp (2009), Valente (1999),
Steer, Vila e Eaton (2009a, 2009b), Franchi (2007), Pietrobon, Costa e Oliveira
(2010), Della Nina (2007), Borba e Penteado (2001, 2003).
A partir da análise dos livros didáticos e das pesquisas relacionadas ao
Ensino da Trigonometria, à modelagem e ao uso de tecnologias, procuramos meios
de responder a questão norteadora dessa pesquisa: Uma abordagem de ensino
envolvendo
modelagem
e
diferentes
Tecnologias
de
Comunicação
e
Informação pode contribuir para a aprendizagem da Trigonometria no triângulo
retângulo e no círculo trigonométrico?
A resposta a essa pergunta foi obtida a partir da elaboração e aplicação da
sequência de atividades elaborada, parte integrante dessa pesquisa, e da análise
dos registros feitos pelos alunos.
A abordagem metodológica foi inspirada na Engenharia Didática. (ARTIGUE,
1988, 1996; PAIS, 2002; MACHADO, 1999; ALMOULOUD; COUTINHO, 2008;
205
CARNEIRO, 2008). Essa metodologia estruturou e orientou o desenvolvimento da
pesquisa.
Ao longo da condução das várias etapas da pesquisa, levantamos algumas
hipóteses de trabalho, repostas provisórias da questão levantada a) uma abordagem
a partir de medidas, observando construções da cidade, medindo, usando material
manipulável e recursos computacionais, pode manter a motivação e estimular o
empenho em desenvolver as tarefas; b)a ordem estabelecida para a apresentação e
aplicação das atividades a partir de situações muitas delas com referência na
realidade, pode facilitar o entendimento de conceitos trigonométricos; c)o uso de
recursos computacionais pode favorecer a visualização e facilitar a identificação de
propriedades trigonométricas, permitindo que os alunos estabeleçam relações entre
os vários conceitos; d)partir de casos particulares para investigar possibilidades de
generalizar ideias pode ser uma estratégia didática para compreender os processos
de formalização das mesmas.
Comparando os resultados obtidos com os pretendidos, pudemos avaliar a
sequência didática proposta que poderá ser aprimorada enquanto instrumento de
ensino e aprendizagem da trigonometria.
As atividades da sequência motivaram os alunos, o que pudemos verificar
segundo dizeres dos próprios alunos: “Achei interessante, pois é melhor colocar em
prática o que estamos estudando do que ficar só na teoria. Achei desafiadora
também, porque não podíamos encostar na parede, tivemos que “quebrar a
cabeça”.” (ALUNO A, 2º B). Percebemos que a abordagem instigou o aluno a
resolver a situação, associando a ela conceitos matemáticos fora da ordem usual:
definição – exemplo - exercício. Ser uma atividade interessante, desafiadora, não
significou que ela tenha sido de fácil resolução para eles, não foi. Porém, ser difícil
não representou motivo para que desistissem. “Esse trabalho foi o mais difícil e o
mais legal de todos os trabalhos que foi dado no 1º Bimestre” (ALUNO F, 2º A). “Se
fosse mais fácil não ia ter graça” (ALUNO N, 2º B).
Quanto
à
ressignificação
de
modelos
clássicos
da
trigonometria,
presenciamos descobertas feitas pelos alunos ao longo da realização das tarefas,
algumas aqui destacadas: associar o trabalho de medida da parede, com o
esquadro ou com o transferidor, com semelhança de triângulos ou razões
trigonométricas; encontrar a partir da manipulação de applets expressões que
206
representassem
ângulos
suplementares,
complementares,
replementares
e
explementares; encontrar modelos geométricos abstratos que pudessem ser
associados às construções da cidade. Algumas respostas dadas pelos alunos em
atividades complementares, também indicam a “descoberta”, ou ressignificação, de
modelos matemáticos clássicos: “A metade da linha, o pendural e a empena [partes
do telhado] formam um triângulo retângulo, logo medindo apenas o pendural e a
linha, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa”.
(GRUPO 17, 2ºB). “O valor do sen2α+ cos2α é sempre bem aproximado de 1, será
sempre verdade, pois é uma relação fundamental do triângulo retângulo.” (GRUPO
11, 2ºB). Notamos que a atividade permitiu ao grupo11 recriar, a partir do Teorema
de Pitágoras, a relação fundamental da Trigonometria; e, ao grupo 17, “enxergar” um
modelo abstrato em um telhado.
A utilização dos recursos tecnológicos visava ampliar as possibilidades de
aprendizagem no círculo trigonométrico, permitindo que os alunos atribuíssem
significado ao conteúdo matemático, mesmo que não apenas às situações-problema
com referência na realidade com as quais lidaram. Notamos que eles cumpriram seu
papel: “as imagens com movimentos, torna mais fácil o entendimento do exercício.”
(ALUNA B, 2ºB). “Fazendo desenhos na sala e tal a gente demoraria bem mais,
além de nos ajudar a entender melhor.” (ALUNO A, 2º B). “Seria muito difícil realizar
uma atividade daquelas no quadro. Então além de facilitar pra gente, foi um modo
diferente e mais divertido de aprender que chama mais atenção e dá mais vontade
de estudar a matéria.” (ALUNA G, 2º B).
Acreditamos que a abordagem contribuiu para a aprendizagem de
trigonometria. Mais que isso, contribuiu para modificar a forma de ensino da
professora-pesquisadora, antes pautada predominantemente no modelo: definição –
exemplo - exercício. Outras abordagens são possíveis e merecem ser aplicadas.
A implementação da sequência didática foi um processo dinâmico, em que
buscamos acoplar ideias e sugestões dos alunos, na medida do possível. A Feira
realizada foi um exemplo disso, que enriqueceu o trabalho. Consideramos que a
sequência didática desenvolvida atendeu aos objetivos delineados, pois motivou os
alunos; mesmo a sequência sendo extensa, eles se mantinham firmes, realizando as
atividades. Permitiu que ressignificassem, mesmo que de forma tímida, alguns
modelos clássicos da trigonometria, apesar de concordarmos que a abordagem
207
favoreceu mais os aspectos de interpretação geométrica e gráfica, do que os
aspectos algébricos da trigonometria e a modelação algébrica das situações. Em
algumas situações percebemos que os alunos atribuíram significado ao conteúdo
matemático, conforme algumas declarações do tipo: “achei bem interessante a
atividade, através da matéria tiramos a conclusão que a matemática é muito usada
no dia-a-dia, através dos modelos matemáticos explorados conseguimos achar as
devidas medidas.” (ALUNA C, 2º B). Deparamo-nos com relatos que evidenciam
descobertas e abstrações dos alunos, além do conteúdo especifico de trigonometria:
“Eu achei muito legal, porque parece que tudo que tá lá fora é em forma de
equações matemáticas.” (ALUNO F, 2º A).
Percebemos que nosso papel vai além de ensinar, podemos propiciar
experiências que estimulem os alunos a indagar, investigar e fazer escolhas que
poderão fazer diferença em sua vida profissional futuramente. “Achei ótimo, ainda
mais para quem deseja seguir uma profissão, tipo engenharia, e pode ajudar
algumas pessoas a perceber se gostam desse tipo de área”. (ALUNA J, 2º A).
Consideramos que a grande contribuição de nossa pesquisa foi o
desenvolvimento de recursos e atividades de matemática que promovam uma
matemática escolar mais atraente aos alunos, que possam inspirar outros colegas a
melhorarem sua prática em sala de aula, nossa expectativa enquanto participante
desse programa de Mestrado.
Tal aprendizagem não consiste em repassar conteúdos, mas em um processo
de apropriação, por parte do aluno, do saber produzido pela sociedade.
Independente do recurso didático utilizado, a aprendizagem deve ser um processo
ativo que conduza a transformações no indivíduo. (AVILA; CALEJON; DIAS, 2010).
Permanecem em aberto considerações sobre o desenvolvimento de applets
mais adequados para o estudo de relações de soma e diferença de ângulos, que se
mostraram limitações no presente trabalho.
Alguns pontos merecerão nossa atenção futura. Talvez seja uma conjectura
errônea de nossa parte imaginar que, como a Álgebra costuma ser uma ênfase do
ensino,
questões
que
exploram a
Álgebra
da
trigonometria
sejam mais
compreendidas pelos alunos que conhecimentos de Geometria. Percebemos através
dos resultados da pesquisa que os alunos apresentam dificuldades em lidar com as
questões algébricas. O uso da álgebra para modelar situações expressando padrões
208
particulares em termos gerais exige cuidados, e outras abordagens, talvez com mais
tempo para investigações. O que deixamos para pesquisas futuras.
209
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224
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
1-(IMENES, LELLIS, 2009, p.165) Numa indústria, deseja-se construir uma rampa de
comprimento c para vencer um desnível de 2,3m. O ângulo de inclinação da rampa deve ter
20°. Qual deve ser o comprimento c da rampa, sabendo que o ângulo de i = 20°, possui
razões trigonométricas iguais a: sen20°= 0,34; cos2 0°= 0,94; tg20° = 0,36.
2-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 168) Para instalar um teleférico, os engenheiros mediram o
ângulo  e o desnível entre os pontos A e B.
x
Sabendo que sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°= 0, 70. Calcule a medida de AB,
segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado.
3-(IMENES, LELLIS, 2009, p.164, modificado) Um rapaz observa um poste de uma
determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante. O ângulo de
inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em relação à horizontal é de
15°. Considerando que este rapaz possui 1,5m de alt ura e que está a 22, 3 m do poste,
qual é a altura aproximada do poste? (Dados: sen15° = 0,26; cos15°=0,97; tg 15° = 0,27)
4-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada da torre? (Dados:
sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°=0,70)
5-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira?
(Dados: sen 25°= 0,42; cos25°= 0,91; tg 25°= 0,47)
225
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
6-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.323) Uma escada apoiada em uma
parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o
comprimento da escada em m? (Dados: sen60°= 0,87; c os60°= 0,5; tg60°= 1,73)
7-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m,
seguindo uma direção que forma um ângulo de 30° com uma das margens. Calcule a
distância percorrida pelo barco para atravessar o rio. (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58)
8-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324)Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20°. Após percorrer 2000m em li nha reta, a altura atingida pelo avião
será de, aproximadamente: (Dados: sen20°= 0,34;
cos20°= 0,94; tg20°= 0,36)
a)728m b)1880m c)1000m d)1720m e)684m
9-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) Na situação do mapa abaixo,
deseja-e construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC. Essa estrada medirá:
(Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58)
a)15km b)20km c)25km d)30km e)40km
10-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) A fim de medir a largura de um
rio, num certo local, adotou-se o seguinte procedimento: marcou-se um ponto B numa
margem; 30m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que AB seja perpendicular a
BC, e do ponto C mediu-se o ângulo BCA, encontrando-se 30°. Dessa forma, concluiu-se
que a largura AB do rio é: (Dados: sen30°= ; cos30°=
a) m
b)
m
c)5
m
d)10
m e)50
; tg30°=
)
m
11-(IEZZI et al, 2002, p. 220) Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício,
sabendo que AB mede 25m e senθ= 0,8; cosθ = 0,6; tgθ= 1,3.
a)h= 22,5m
b)h= 15m c)h= 18,5m
d)h= 20m
226
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
12-(RUBIÓ, FREITAS, 2005, p.209) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no
topo de um muro, em terreno plano. Ela faz ângulo de 40° com o solo. Obtenha a altura do
muro e a distância do pé da escada à base do muro. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77;
tg40°= 0,84)
13-( IMENES, LELLIS, 2009, p. 165, modificado) Para conhecer a largura de um rio o
esquema abaixo ilustrado foi montado. Sabendo que sen63° = 0,89; cos63° = 0,45;
tg63°= 1,96; calcule a largura aproximada do rio?
14-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 292) Em certo momento do dia, um poste de 5m de altura
projeta uma sombra de 1,8m. De acordo com a tabela, qual é, aproximadamente, o ângulo
de inclinação do Sol nesse momento?
a)68° b)69° c)70° d)71° e)n.d.a.
68°
69°
70°
71°
Seno
0,92
0,93
0,94
0,95
Cosseno
0,37
0,35
0,34
0,32
Tangente
2,4
2,6
2,7
2,9
15-(IMENES; LELLIS, 2009, p.308)Na tarde em que Cícero foi pela primeira vez ao cinema,
encantou-se com a grande tela da sala de projeção. O garoto ficou em pé a 15m da tela,
com os olhos a 1,20m do piso horizontal, conforme mostra a figura. Nessa posição, Cícero
via o ponto mais baixo da tela na altura AB de seus olhos e o ponto mais alto sob um
ângulo de 30°. Qual é, aproximadamente, a altura AB da tela? (Dados: sen30°= ;
cos30°=
; tg30°=
;
= 1,7)
16-(FERREIRA, 2001, p. 10, modificado) Uma pessoa de 1,70m de altura observa o topo
de uma árvore sob um ângulo 40°. Conhecendo a distâ ncia de 6m do observador até a
árvore, determinar a altura da árvore. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77; tg40°= 0,84)
17-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20°
com a horizontal. Após percorrer 1 km em linha reta, em que altitude ele estará? (Dados:
sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20° = 0,36)
227
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
18-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um carro sobe uma ladeira de inclinação constante,
que faz ângulo de 15° em relação à horizontal. Quan tos metros ele terá percorrido sobre a
rampa, quando a elevação vertical for de 20m? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97;
tg 15° = 0,27)
19-(DANTE, 2005, p. 198) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em relação ao
plano horizontal. Se a rampa tem 30m de comprimento, a quantos metros o caminhão se
eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados: sen10° = 0,17; cos10° = 0,98;
tg10°= 0,18)
20-(SMOLE, DINIZ, 2005, p. 281) Observe o desenho. O vento conserva o fio esticado
formando um ângulo de 60° com a horizontal. Quando se desenrolam 70m de fio, a que
altura fica a pipa? (As mãos do menino estão a 1,80m do chão, aproximadamente.)
(Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
21-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.320) Um avião levanta vôo em B e
sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horiz ontal. A que altura estará e qual a
distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do
ponto de partida? (dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,9 7; tg15° = 0,27)
22-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.321) Uma torre vertical de altura 12m
é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua
base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a distância
x.(Dados: sen30°= 0,5, cos30°= 0,87, tg30° = 0,58. )
23-(DANTE, 2005, p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45
m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que
distância o barco está da plataforma? (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
228
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
24-(DANTE, 2005, p. 198)Queremos saber a largura l de um rio sem atravessá-lo. Para
isso, adotamos o seguinte processo:
*marcamos dois pontos, A(uma estaca) e B(uma árvore), um em cada margem;
*marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir ângulos
(teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto;
*obtemos uma medida de 70° para o ângulo ACB.
Nessas condições, qual a largura l do rio? (Dados: sen70°= 0,94; cos70° = 0,34;
tg70° = 2,75)
25-(IMENES, LELLIS, 2009, 277) Num certo instante, um muro de 1,82m de altura projeta
uma sombra de 6,80m de largura.
Qual é, nesse instante, a medida aproximada do ângulo ê de elevação do Sol?
26-(DANTE, 2005, p. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em uma ilha,
avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da
torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre.) (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58)
27-(DANTE, 2005, p. 199) Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um ângulo constante
de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar
uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,97;
tg15°= 0,27)
28-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma sombra de
229
4
m sobre o solo. Qual a inclinação dos raios luminosos que originaram a sombra?
APÊNDICE B – Teste 1(B)
Teste 1 (B)
1-(DANTE, 2005, p.197) Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo
de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira
eleva-se quantos metros verticalmente? (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58.)
2-(DANTE, 2005, p. 199) na construção de um telhado foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em rel ação ao plano horizontal.
Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que,
até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra
o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94;
tg20°=0,36.)
3-Sabendo que metade da linha (viga horizontal) do telhado abaixo mede
3,80m e que o ângulo de inclinação é de 17°. Qual é o tamanho do pendural?
(Dados: sen17°= 0,29; cos17° = 0,96; tg17°= 0,31)
x
17°
3,80m
4-Uma pessoa numa bicicleta dá 7 voltas em torno de uma pista circular de
diâmetro 6 m .
a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste
ciclista, em uma volta completa. (Use: π = 3, 14)
b)Determine a distância percorrida ao final das 7 voltas.
c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45°
de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido?
5- Um ângulo de 36° em radianos corresponde a um ân gulo de rad. Esta
afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
230
6-Se transformarmos
rad em graus, obteremos quantos graus?
APÊNDICE B – Teste 1(B)
Teste 1 (B) (Continuação)
7- Marque no plano cartesiano abaixo os arcos:
,
,
,
8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente
circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy
e alguns pontos. Veja a representação:
Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente
a um ângulo de 130°, ele estará entre os pontos:
a)A e B
b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C
9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4250°.
a)Quantas voltas completas ele deu?
b)Em qual quadrante ele parou?
c)qual a 1ª determinação positiva?
10-Qual a questão que você mais gostou de resolver?
231
APÊNDICE C – Teste 2 (B)
Teste 2 (B)
1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°,
círculo trigonométrico:
250°, 280° e 320°, no
Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada
sentença seja verdadeira:
a)cos 35° ______cos72°
c)sen250° ______sen20 0°
b)sen 280°______sen320° d)cos120°______cos100°
2-Sabendo que o ângulo x vale
determine o valor da expressão:
sen(6x) – cos(3x)
3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos
notáveis:
4-Determine o sinal da expressão:
x
x
5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°.
a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante
ele pára?
b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do cos1560°
vale:
a) positivo
b)
negativo c)
negativo
d)
positivo e)
positivo
6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você
aprendeu, encontre os valores abaixo:
a)cos135°:
b)sen240°
c)cos300°
232
APÊNDICE C – Teste 2 (B)
Teste 2 (B) (Continuação)
7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica:
Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso)
para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função.
a)( )Esta função é uma função par.
b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a
decrescente no intervalo de
e de
a 2π; e é
.
c)( )Esta função é uma função ímpar
d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo
de 0 a π.
e)( )este gráfico é da função y = senx.
f)( )este gráfico é da função y = cosx.
8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo:
2
– 2π
–π
π
2π
3π
4π
–2
I.Qual o seu domínio?__________
II-Qual a sua imagem?_________
III-Qual o seu período?_________
IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico:
a)y= senx
b)y= sen2x c)y= 2senx d)y= cosx
e)y= 2cosx
9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique.
233
APÊNDICE D – Applets
Figura 1: Applet da função seno
17
Fonte: Applet consultado
17
Disponível em: <http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_seno.
html> Acesso em: 13 maio 2011.
234
Figura 2: Applet do gráfico da função seno
Fonte: Applet consultado
APÊNDICE D - Applets
Figura 3: Applet redução do 2º para o 1º quadrante
Fonte: Applet consultado
235
Figura 4: Applet arcos complementares
Fonte: Applet consultado
236
ANEXO A – Planta baixa de uma casa